WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

Transkrypt

1 ELEMENTY TEORII GRAFÓW Literatura: N.Deo Teoria grafów i e zastosowania... PWN (1980) Ross, Wright Matematyka yskretna PWN (199) R.Wilson Wprowazenie o teorii grafów PWN (1999) J.Kulikowski Zarys teorii grafów PWN (198) GRAFY postawowe efinice Graf: G = ( V, E ) V = { 1,,..., n } - ziór wierzchołków grafu E { {i, } : i i i, V }- ziór krawęzi grafu Terminologia: graf = graf symetryczny, graf nieskierowany, graf niezorientowany Rysunek grafu: wierzchołek i przestawiamy symolicznie i krawęź {i, } przestawiamy ako ocinek łączący wa wierzchołki i Przykła grafu i ego rysunku G = ( V, E ): V = { 1,..., }, E = {{1, }, {1, }, {1, }, {, }, {, }, {, }} Graf skierowany: G = ( V, A ) V = { 1,,..., n } - ziór wierzchołków grafu A V V - ziór łuków grafu Terminologia: graf skierowany = igraf, graf zorientowany Rysunek grafu skierowanego: wierzchołek i przestawiamy symolicznie i łuk (i, ) przestawiamy ako ocinek skierowany o enego wierzchołka o rugiego i Przykła grafu skierowanego i ego rysunku G = ( V, A ): V = { 1,..., }, A = {(1, ), (1, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} Dla grafu skierowanego G = ( V, A ) efiniuemy pochony graf nieskierowany G = ( V, E ): { i, } E ( i, ) A (, i ) A, i MATEMATYKA DYSKRETNA () J.Sikorski Strona 1 /

2 Przykła grafu pochonego V = { 1,..., }, E = {{1, }, {1, }, {, }, {, }, {, }} Związek grafów z relacami Dla grafu skierowanego G = ( V, A ): A relaca na ziorze V Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ): E może wynikać z relaci R na ziorze V, która est ona symetryczna i nie est zwrotna: ( i, ) R (, i ) R { i, } E STOPNIE WIERZCHOŁKÓW Graf (nieskierowany) la G = ( V, E ) i ego krawęzi e = { i, } E mówimy, że wierzchołki i, są incyentne z krawęzią e (krawęź e łączy wa wierzchołki i, ). Wierzchołki incyentne z aną krawęzią nazywamy wierzchołkami sąsienimi. V ziór wierzchołków sąsienich z wierzchołkiem i : V = { V : {i, } E } = V stopień wierzchołka i (inne stosowane oznaczenie eg ) Wierzchołek stopnia 0 nazywamy wierzchołkiem izolowanym. Dla pozioru M V efiniuemy: V M = { M : {i, } E } M = V M stopień wierzchołka i wzglęem pozioru M Przykła wyznaczania stopni wierzchołków w grafie 1 V(1) = {,,, } (1) = ; V() = {1,, } () = ; V() = () = 0 (wierzchołek izolowany) la M = {, }: M (1) =, M () = 1, M () = 0 Graf skierowany la G = ( V, A ) i ego łuku a = ( i, ) A mówimy, że wierzchołki i, są incyentne z łukiem a (łuk a prowazi z wierzchołka i o ). Wierzchołki incyentne z anym łukiem nazywamy opowienio ego początkiem i końcem () V ziór końców łuków wychozących z wierzchołka i : V = { V : (i, ) A } V ziór początków łuków wchozących o wierzchołka i : V = { V : (, i) A } = V stopień wyściowy wierzchołka i = V stopień weściowy wierzchołka i = stopień wierzchołka i Dla pozioru M V efiniuemy: V M = { M : (i, ) A } V M = { M : {, i} A } M M M = M = V M stopień wyściowy wierzchołka i wzglęem M = V M stopień weściowy wierzchołka i wzglęem M M stopień wierzchołka i wzglęem M MATEMATYKA DYSKRETNA () J.Sikorski Strona /

3 Przykła wyznaczania stopni wierzchołków w grafie skierowanym V () = {,, } () = ; V () = {, } () = ; () = V () = {} () = 1; V () = {} () = 1; () = la M = {, }: () =, () = 1, M () = M Twierzenie (lemat o uściskach łoni) Dla owolnego grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) zachozi Twierzenie Dla owolnego grafu skierowanego G = ( V, A ) zachozi MACIERZ INCYDENCJI M = = E = Graf (nieskierowany) G = ( V, E ) ziór wierzchołków V = { 1,,..., n }, ziór krawęzi E = {e 1, e,..., e m } { { i, }: i, V } Macierz incyenci grafu: I E = [ a i : i =1,..., n, =1,..., m ] 1 esli i e ai = 0 w przeciwnym przypaku Przykła wyznaczania macierzy incyenci V = { 1,,,, } E = {e 1, e, e, e, e, e } = {{1, }, {1, }, {, }, {, }, {, }, {, }} e 1 A e1 e e e e e 1 e e e e e (1) = () = I E = () = () = () = 1 Σ = 1 Graf skierowany (ez pętli) G = ( V, A ) ziór wierzchołków V = { 1,,..., n }, ziór krawęzi A = {a 1, a,..., a m } V V Macierz incyenci grafu skierowanego ez pętli: I A = [ a i : i =1,..., n, =1,..., m ] 1 esli a = ( k, i) ai = 1 esli a = ( i, k) 0 w przeciwnym przypaku MATEMATYKA DYSKRETNA () J.Sikorski Strona /

4 Przykła wyznaczania macierzy incyenci V = { 1,, }, E = {a 1, a, a, a } = {(1, ), (, 1), (, 1), (, )} a 1 a 1 a a a 1 a a a (1) = 1, (1) =, (1) = I A = () = 1, () = 1, () = () =, () = 1, () = Σ =, Σ =, Σ = 8 Twierzenie (raz eszcze) Dla grafu (nieskierowanego) zachozi: Dla grafu skierowanego zachozi: = E = = Dowó Wystarczy policzyć sumy niezerowych elementów o enakowych znakach w opowienich macierzach incyenci Wniosek W owolnym grafie skierowanym lu nieskierowanym licza wierzchołków stopnia nieparzystego est parzysta A! MACIERZ SĄSIEDZTWA WIERZCHOŁKÓW Graf (nieskierowany) G = ( V, E ), V = { 1,,..., n } Macierz sąsieztwa wierzchołków grafu: B E = [ i : i =1,..., n, =1,..., n ] i = i 1 esli { i, } E = 0 w przeciwnym przypaku Przykła wyznaczania macierzy sąsieztwa wierzchołków V = { 1,,,, } (1) = () = B E = () = () = () = 1 (1) = () = () = () = () = 1 MATEMATYKA DYSKRETNA () J.Sikorski Strona /

5 Graf skierowany G = ( V, A ), V = { 1,,..., n } Macierz sąsieztwa wierzchołków grafu: B A = [ i : i =1,..., n, =1,..., n ] i 1 esli ( i, ) A = 0 w przeciwnym przypaku Przykła wyznaczania macierzy sąsieztwa wierzchołków V = { 1,, } (1) = B A = () = () = (1) = 1 () = () = 1 TYPY GRAFÓW Dwa grafy (nieskierowane) G = ( V, E ) i G = ( V, E ) są izomorficzne, eśli istniee wzaemnie enoznaczne owzorowanie f : V 11 V, takie że la owolne pary wierzchołków i, V zachozi { i, } E { f, f () } E Dla grafów skierowanych G = ( V, A ) i G = ( V, A ) warunek ma postać Izomorfizm grafów zapisuemy: Przykła grafów izomorficznych ( i, ) A ( f, f () ) A G G 1 8 e a c h g f Owzorowanie wykazuące izomorficzność: i 1 8 f a c e f g h Graf nazywamy regularnym, eśli wszystkie wierzchołki maa ten sam stopień. Uwaga Dwa grafy regularne o te same liczie wierzchołków i tym samym stopniu wierzchołków nie muszą yć izomorficzne. MATEMATYKA DYSKRETNA () J.Sikorski Strona /

6 Przykła ilustruący uwagę Graf nazywamy pełnym, eśli la każe pary wierzchołków istniee krawęź łącząca te wierzchołki. Symoliczne oznaczenie grafu pełnego o n wierzchołkach K n K 1 K K K K Graf nazywamy wuzielnym, eśli ziór ego wierzchołków można pozielić na wa rozłączne poziory, tak że żane wa wierzchołki należące o tego samego pozioru nie są sąsienie. G = ( V 1 V, E ) V 1 = r, V = s, V 1 V = Graf G = ( V 1 V, E ) nazywamy pełnym grafem wuzielnym, eśli est wuzielny i zawiera wszystkie krawęzie łączące wierzchołki ze zioru V 1 z wierzchołkami ze zioru V. Oznaczenie pełnego grafu wuzielnego K r, s Przykłay pełnych grafów wuzielnych K, K 1, Pografem grafu G = ( V, E ) nazywamy owolny graf G = ( V, E ), la którego V V oraz E E. Graf est planarny (płaski), eśli można go narysować na płaszczyźnie ez przecięć krawęzi. Twierzenie (Kuratowski, 190) Graf est planarny wtey i tylko wtey, gy nie zawiera pografu, który można otrzymać z grafów K lu K, przez poział krawęzi (czyli wprowazenie oatkowych wierzchołków stopnia ). MATEMATYKA DYSKRETNA () J.Sikorski Strona /

7 MATEMATYKA DYSKRETNA () J.Sikorski Strona / Przykłay zastosowania twierzenia Kuratowskiego o stwierzenia nieplanarności Graf Petersena a e f g i h c a e f g i h c graf Petersena nie est planarny