Dyfrakcja fal elektromagnetycznych na sieciach przestrzennych

Transkrypt

1 FOTON 13, Wiosna nm Dyfrakcja fal elektromagnetycznych na sieciach przestrzennych Jerzy Ginter Wyział Fizyki UW Dyfrakcja fal elektromagnetycznych na przestrzennych strukturach perioycznych jest interesująca co najmniej w wóch ziezinach. I. Dyfrakcja promieni Roentgena na kryształach Dyfrakcję promieni Roentgena na kryształach rozpoczęły słynne prace Maxa von Lauego 1, potwierzające atomową buowę materii i fakt, że w kryształach atomy ustawione są w regularnej sieci przestrzennej. Obecnie przestrzenny perioyczny ukła atomów kryształów można wprost ogląać, na przykła za pomocą mikroskopu elektronowego (rys. 1). Rys. 1. Fotografia z mikroskopu elektronowego. Na ole monokryształ krzemu Si, na górze bezpostaciowa krzemionka SiO W tak zwanej metozie Lauego na monokryształ kieruje się niemonochromatyczną ( białą ) wiązkę promieniowania rentgenowskiego o ość szerokim zakresie wimowym (rys. ). Obraz yfrakcyjny rejestruje się na przykła za pomocą kliszy fotograficznej. Ma on postać wielu ozielnych punktów. Przy opowienim ustawieniu obraz ozwierciela symetrię baanego kryształu (rys. 3). Rys.. Zasaa metoy Lauego Rys. 3. Obraz yfrakcji promieni Roentgena na krysztale NaCl uzyskany metoą Lauego 1 Nagroa Nobla w roku 1914.

2 44 FOTON 13, Wiosna 016 Kryształy fotoniczne W ostatnich latach uże zainteresowanie buzą tak zwane kryształy fotoniczne. Są to struktury przestrzenne o perioyczności porównywalnej z ługością fali promieniowania wizialnego, czyli rzęu 1 µm. Mogą to być: przestrzenne ukłay komórek piór ptasich czy skrzyeł motyli (rys. 4). Ukłay takie oświetlone światłem białym stają się kolorowe, mimo że nie zawierają barwników; sztucznie otrzymane przestrzenne struktury z materiałów przezroczystych. Szerokie baania tego typu ukłaów rozpoczęła praca Eli Yablonovitcha z 1987 roku. Oczekuje się, że bęą miały one szerokie zastosowanie w elektronice 3. Rys. 4. Fotografia struktury przestrzennej skrzyła motyla rusałki pawika. Źróło: Wikipeia, hasło Structural coloration Uproszczony moel Precyzyjny opis właściwości wymienionych wyżej ukłaów wymaga rozważenia rozchozenia się fali elektromagnetycznej w ośroku o perioycznie zmiennym współczynniku załamania 4. Interesujące może być jenak rozpatrzenie moelu skrajnie uproszczonego przestrzennej sieci punktowych centrów rozpraszających. Tutaj omówimy tylko najprostszy z takich ukłaów: jenakowych punktów oległych o, tworzących sześcienną sieć przestrzenną, nazywaną siecią kubiczną prostą (rys. 5). Ograniczymy się przy tym o przypaku: kiey promień paający jest równoległy o krawęzi sześcianów, obserwacja jest prowazona w płaszczyźnie, zacieniowanej na rysunku 5. Zob. John Timmer, Photonic crystals use to make optical RAM, ars technica, May 8, 014, 3 Warto obejrzeć w internecie obrazy, które pojawiają się na hasła structural coloration i photonic crystals. 4 W przypaku promieni Roentgena mówmy wtey o ynamicznej teorii rozpraszania.

3 FOTON 13, Wiosna Rys. 5. Sieć kubiczna prosta Warunki wzmocnienia promieniowania Aby nastąpiło wzmocnienie promieniowania rozproszonego przez rozważaną sieć przestrzenną, muszą zostać spełnione jenocześnie wa warunki (rys. 6): 1 3 Rys. 6. Wzmocnienie fal rozproszonych 1. muszą się wzmacniać fale należące o pionowego łańcucha centrów rozpraszających, zaznaczone na rysunku jako punkty 1 i ;. muszą się wzmacniać fale, należące o poziomego łańcucha centrów rozpraszających, zaznaczone na rysunku jako punkty 1 i 3. Rys. 7. Ilustracja warunków wzmocnienia fal

4 46 FOTON 13, Wiosna 016 Oznacza to wa warunki na różnicę róg (rys. 7), które muszą zostać spełnione jenocześnie. Pierwszy: 1 AD sin n, (1) jak la zwykłej siatki yfrakcyjnej; rugi: AC AE cos 1 cos m, () gzie m i n to liczby całkowite. Warunki 1 i możemy też zapisać w postaci: Rysunek 7 opowiaa n = 3, m = 1, 1. 5 Co wynika z warunków wzmocnienia? sin n, (3) cos 1 m. (4) Ponieśmy teraz (3) i (4) o kwaratu, oajmy o siebie stronami i skorzystajmy ze związku sin α + cos α = 1. Dostaniemy: Przekształćmy to wyrażenie: Dzielimy obie strony przez : n 1 m 1. (5) n 1 m m 1 (6) n m m 0 (7) n m m (8) n m m (9) ( )

5 FOTON 13, Wiosna m n m. (10) Długości fali λ promieniowania rozproszonego nie mają owolnych wartości, a jeynie takie, które spełniają warunek (10). Oznacza to, że gybyśmy na nasz ukła skierowali wiązkę monochromatyczną, moglibyśmy nie uzyskać żanego wzmocnienia yfrakcyjnego! Różni to yfrakcję na sieciach przestrzennych o yfrakcji na sieciach jeno- i wuwymiarowych. II. Dyfrakcja światła wizialnego Przypuśćmy teraz, że stała sieci = 1 µm, a na ukła skierowaliśmy wiązkę światła białego, obejmującego cały obszar wizialny, o 0,4 µm (światło fioletowe) o 0,7 µm (światło czerwone). Nie przeanalizujemy okłanie wszystkich możliwości, ograniczymy się jeynie o kilku przykłaów. Przykła 1, m = n Jeżeli m = n, wzór (10) się upraszcza i ostajemy Oznacza to kolejno: n = 1: λ = 1 µm poczerwień; n = : λ = 0,5 µm światło wizialne zielone; n = 3: λ = 0,33 µm nafiolet. n 1. (11) n n n Za pomocą wzoru (3) ustalimy, jaki jest kąt α. Dla wszystkich trzech przypaków sin n1 1 1 n (1) Zatem α = 90, wiązka rozproszona jest prostopała o wiązki paającej. Dla n = 1 przestawia to rys Rys. 8. Ilustracja przykłau 1

6 48 FOTON 13, Wiosna 016 Przykła, n = 0, m 0 Przypaek ten opowiaa rozpraszaniu ściśle wstecz. Ze wzoru (3) wynika, że sin α = 0, α = 180 (α 0, patrz alej). Wyrażenie (10) przyjmuje postać. (13) m Wzór ten poobny jest o (11), ale różni się o niego o czynnik. Ze wzorów (13) i (4) wynika, że czyli rzeczywiście α = 180. cos 1 m 1 1, (14) m Wzór (13) oznacza kolejno: m = 1: λ = µm poczerwień; m = : λ = 1 µm poczerwień; m = 3: λ = 0,667 µm światło wizialne czerwono-pomarańczowe; m = 4: λ = 0,5 µm światło zielone; m = 5: λ = 0,4 µm skrajny fiolet; m = 6: λ = 0,333 µm nafiolet. Przykła 3, n =, m owolne W tym przypaku m (15) 4 m Oznacza to: m = 1: λ = 0,4 µm skrajny fiolet, sin α = 0,8, cos α = 0,6, α = 53; m = : λ = 0,5 µm zieleń (patrz przykła 1); m = 3: λ = 0,46 µm niebieskie, sin α = 0,9, cos α = 0,39, α = 113 ; m = 4: λ = 0,4 µm skrajny fiolet, sin α = 0,8, cos α = 0,6, α = 17 ; m = 5: λ = 0,345 µm nafiolet. III. Dyfrakcja promieni Roentgena c. Powróćmy o wymienionej na początku yfrakcji promieni Roentgena na kryształach. Bliska wyżej omówionym przykłaom jest yfrakcja na krysztale chlorku potasu KCl (rys. 9). Chlorek potasu ma buowę poobną o chlorku sou. Natężenie fali rozproszonej na pojeynczym atomie lub jonie la promieni Roentgena jest w pierwszym przybliżeniu proporcjonalne o liczby elektronów.

7 FOTON 13, Wiosna W przypaku jonu K + i jonu Cl liczba ta jest równa 18. Zatem sieć KCl la promieni Roentgena może być potraktowana jak sieć kubiczna prosta. Cl K + = 0,31nm Rys. 9. Buowa kryształu KCl Wynika stą, że wszystkie prowazone wyżej rozważania la fikcyjnej sieci centrów rozpraszających można po prostu zastosować o rozpraszania promieni Roentgena na KCl. Należy je tylko przeskalować, zmieniając stałą sieci z = 1 µm na = 0,31 nm. Na przykła la n =, m owolnego: m = 1: λ = 0,4 0,31 nm = 0,14 nm, sin α = 0,8, cos α = 0,6, α = 53; m = : λ = 0,5 0,31 nm = 0,155 nm, sin α = 1, α = 90; itp. Pokreślmy: Różnym plamkom na fotografii typu 3 opowiaają na ogół różne ługości fali (różne barwy rentgenowskie ), czego nie rejestruje zwykła klisza fotograficzna. Aby uzyskać obraz yfrakcyjny metoą Lauego trzeba stosować wiązkę niemonochromatyczną bo la wiązki o jenej określonej ługości fali moglibyśmy nie uzyskać żanego wzmocnienia, a co za tym izie, nie zaobserwować żanego refleksu na kliszy. Uwaga końcowa Nasz moel sieci punktowych centrów rozpraszających otyczyć może także rozpraszania innego typu fal na strukturach przestrzennych, na przykła yfrakcji neutronów na kryształach.