WAHADŁO FIZYCZNE ZE ZMIENNĄ OSIĄ ZAWIESZENIA

Transkrypt

1 WAHADŁO FIZYCZNE ZE ZMIENNĄ OSIĄ ZAWIESZENIA I. Cel ćwiczenia: zapoznanie z własnościami ruchu rająceo w oparciu o wahało fizyczne, wyznaczenie przyspieszenia ziemskieo i ramienia bezwłaności wahała. II. Przyrząy: metalowy symetryczny pręt mocowany w uchwycie, czasomierz cyfrowy, optyczny ukła pomiarowy. III. Literatura: [1] J. L. Kacperski, I Pracownia fizyczna, [] B.Jaworski, A. Dietłaf i inni Kurs fizyki t.1, [3] J. L. Kacperski Opracowanie anych pomiarowych. IV. Wprowazenie Ruchem rającym lub wprost raniami, nazywamy każy ruch lub zmianę stanu, które charakteryzuje powtarzalność w czasie wartości wielkości fizycznych, określających ten ruch lub stan. Wielkościami tymi moą być np. wychylenie, prękość, ciśnienie, napięcie itp. Drania moą być okresowe lub nieokresowe. Ruch rający nazywamy okresowym (perioycznym), jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające się poczas rań, powtarzają się w równych ostępach czasu. Przykłaem takieo okresoweo ruchu jest ruch wahała fizyczneo, wychyloneo z położenia równowai (kierunek pionu) o niewielki kąt ϕ. Wahałem fizycznym nazywamy każą bryłę sztywną wahającą się po ziałaniem siły ciężkości ookoła osi, nie przechozącej przez śroek masy tej bryły. Wypakowa sił ciężkości ziałających na elementarne masy wahała równa się ciężarowi wahała P = m, a punktem przyłożenia tej wypakowej jest śroek ciężkości wahała C. O oś obrotu śroek masy φ C φ P Rys. 1 Siła ciężkości P ziałająca na bryłę sztywną wychyloną z położenia równowai o kąt ϕ. P 1 a x P 0 Rozważmy bryłę sztywną owolneo kształtu zawieszoną powyżej jej śroka ciężkości i ochyloną z położenia równowai o kąt ϕ. Zakłaamy, że śroek ciężkości wahała porusza się w jenej płaszczyźnie jak również pomijamy opory ruchu (tarcie w punkcie zawieszenia, opór ośroka). Wahało jest w równowaze wtey, y jeo śroek ciężkości znajuje się w 1

2 płaszczyźnie pionowej przechozącej przez oś obrotu O (rys.1). Jeśli ochylone o kąt ϕ wahało przestaniemy przytrzymywać, zacznie wykonywać okresowy ruch wahałowy, który możemy uważać za szczeólny przypaek ruchu obrotoweo zmienneo. Na ochyloną z położenia równowai bryłę sztywną ziała moment siły (rys. 1): N= P = msinϕ (1) Dla małych kątów ochylenia ϕ (< 5 o ) sin ϕ ϕ (zie kąt ϕ jest wyrażony w raianach) i wówczas moment siły any jest zależnością N mϕ (1a) Znak minus we wzorach (1) i (1a) oznacza, że siła P zwrócona jest zawsze w kierunku położenia równowai, tzn. zawsze ma zwrot przeciwny o wychylenia ϕ. Z II zasay Newtona la ruchu obrotoweo wynika równanie: ϕ N= I ε= I () t zie I oznacza moment bezwłaności bryły, a ε przyspieszenie kątowe. Momentem bezwłaności bryły wzlęem jakiejś owolnej osi O nazywamy sumę iloczynów mas m małych elementów objętości bryły przez kwaraty ich olełości r o tej osi: I = m i Gy element masy m jest nieskończenie mały, czyli m m; wówczas moment bezwłaności I jest równy I= r m Ze wzorów (1a) i () otrzymujemy równanie ruchu wahała: ϕ m + ϕ= 0 (3) t I Skłaowa P siły ciężkości P, opowiezialna za ruch wahała, jest proporcjonalna o kąta wychylenia ϕ z położenia równowai (la małych kątów). Ruch śroka masy wahała jest zatem ruchem harmonicznym prostym, który any jest równaniem oólnym: ϕ + ω ϕ = 0 (4) t π zie ω= jest częstością kątową. T Przypomnijmy w tym miejscu, że Ruchem harmonicznym prostym nazywamy ruch rający ciała, w którym siła ziałająca na to ciało jest proporcjonalna o wychylenia z położenia równowai i ma zwrot przeciwny o wychylenia. Porównując (4) z (3) mamy: m ω = = (5) T I Z ostatnieo związku można znaleźć okres wahań wahała: i r i I T= π (6) m Zonie ze wzorem Steinera moment bezwłaności bryły sztywnej o masie m wzlęem osi równolełej o osi przechozącej przez śroek masy bryły sztywnej i olełej o niej o wynosi I = I o + m (7)

3 zie I o jest momentem bezwłaności wzlęem osi przechozącej przez śroek masy. Moment bezwłaności I o możemy przestawić w postaci I o = m k zie k nazywa się ramieniem bezwłaności bryły sztywnej. Po uwzlęnieniu wzoru (7) na okres rań otrzymamy zależność mk + m k + T = π = π (8) m Jeżeli okres wahań wahała fizyczneo jest równy okresowi wahań wahała matematyczneo o łuości l, to ta łuość l nazywa się łuością zreukowaną. Mamy więc T = π k + = π l (9) zie l = k + jest łuością zreukowaną. Minimalną wartość okresu otrzymujemy przyrównując o zera pochoną okresu T obliczoną wzlęem zmiennej T = π k + 1 k + 1 = 0 Ponieważ czynnik w pierwszym nawiasie teo wyrażenia jest zawsze oatni, to pochona jest równa zeru, y czynnik w ruim nawiasie równa się zeru, a zatem Stą k + 1 = 0 k=± (10) T min = π T [s] k (11) T min 0 [m] Rys. Zależność okresu rań T o olełości osi obrotu o śroka ciężkości wahała. 3

4 Wyznaczenie minimalneo okresu rań T min z wykresu (rys. ) pozwala na znalezienie k i. Ponieważ jenak oczytana z wykresu wartość T min obarczona jest użym błęem, zastosujemy inną metoę, zapisując w nieco innej formie równanie (8): T = ( k + ) (1) Postawiając y = T oraz x = otrzymujemy prostą y = a + bx. Współczynniki a i b wynoszą k a =, b = W tej skali funkcyjnej wyniki ułożą się w przybliżeniu wzłuż linii prostej przecinającej oś y k w punkcie a =. Parametry a i b można znaleźć raficznie lub metoą najmniejszych kwaratów. Przyspieszenie ziemskie i ramię bezwłaności bryły k znajujemy wówczas ze związków: V. Ukła pomiarowy = (13a) b a k= (13b) b Wahałem fizycznym użytym w oświaczeniu jest symetryczny metalowy pręt o łuości ok. 1,5m z poziałką co 1cm. Pręt umieszczony jest w uchwycie (rys. 4) i unieruchamiany za pomocą śruby. Dolny swobony koniec wahała poczas pomiaru powinien przecinać wiązkę promieniowania poczerwoneo wysyłaną przez ioę elektroluminescencyjną fotobramki. Fotobramka umieszczona jest na statywie i można zmieniać jej położenie w pionie. Do fotobramki połączony jest czasomierz elektroniczny, którym mierzy się czas zaanej liczby okresów. uchwyt mocujący ustalający położenie osi wahań wahała pręt wahała fotobramka o czasomierza cyfroweo Rys.3 Schemat ukłau pomiaroweo. 4

5 Rys. 4 Uchwyt mocujący i położenie osi wahań wahała. oś wahań VI. Pomiary 1. Sprawzić, ile okresów wahań polea pomiarowi przez czasomierz elektroniczny używany oświaczeniu. Jeśli przez t n oznaczymy czas n wahnięć, to T = t n /n.. Wyznaczyć śroek masy (ciężkości) metaloweo pręta (śroek eometryczny pręta). 3. Ustawić pręt wahała w taki sposób, aby olełość osi obrotu o śroka ciężkości wahała była różna o zera. Zmieniając olełość osi wahań o śroka ciężkości co 5cm, zmierzyć wartość t n la aneo. Wyniki zapisać w tabeli1. Tabela 1 Lp [m] t n [s] T = t n /n x = [m ] y = T 1 Wyonie jest rozpocząć pomiar o końca pręta przesuwając się ku jeo śrokowi. W pobliżu wartości, la której T = T min wskazane jest zmieniać olełość o wartość mniejszą niż 5cm. Pomiary wykonać także la ruiej połowy pręta owracając o o 180 o po zakończeniu pomiarów opisanych w tym punkcie. VII. Opracowanie pomiarów. 1. Sporzązić wykres zależności T = T() oraz oczytać z nieo T min.. Sporzązić wykres zależności y = f(x) la obu połówek wahała i wyznaczyć raficznie lub metoą najmniejszych kwaratów parametry a i b (b jest współczynnikiem nachylenia prostej). y [s m] x o a 0 x [m ] Rys. 5 Wykres wyników pomiarów w ukłazie współrzęnych liniowych. 3. Obliczyć przyspieszenie ziemskie ze wzoru (13a) oraz ramię bezwłaności k ze wzoru (13b). Ponieważ otrzymuje się wie wartości i k, obliczyć wartość śrenią i k. 4. Wyznaczyć metoą najmniejszych kwaratów niepewności a i b. 5

6 Obliczenia a, b, a, b najłatwiej wykonać w Excelu stosując mięzy innymi opowienią opcję Kreatora wykresów. Można też użyć inneo narzęzia posiaająceo opcję opasowywania funkcji teoretycznej o anych oświaczalnych np. ORIGIN. Niepewności pomiarowe przyspieszenia i ramienia bezwłaności k wynoszą b 1 a b = ± k = ± k + b a b Uwaa t Niepewności pomiarowe T i wynoszą: T = n 1ms, = 0,00m. Wzlęne n T niepewności i la poszczeólnych punktów pomiarowych są zbyt małe by T i T można w każym przypaku zaznaczyć na wykresie. Z teo sameo powou kłopotliwe bęzie zaznaczenie niepewności pomiarowych x i y na wykresie 5 ( y = T ±y ( + ) i x = ± x ). Stą też raficzne wyznaczenie niepewności a i b T bęzie barzo trune. W rozważaniach pominięto masę zamocowania pręta, pozwalająceo przesuwać oś wahań. Masa ta jest co prawa znacznie mniejsza o masy pręta (co najmniej o rzą wielkości), lecz nie uwzlęnienie jej wprowaza pewien stały błą systematyczny. 6