Ważny przykład oscylator harmoniczny

Transkrypt

1 Ważny przykła oscylator harmoniczny 73 Rozział 6 Ważny przykła oscylator harmoniczny 6. Wprowazenie Klasyczny, jenowymiarowy oscylator harmoniczny opowiaa potencjałowi energii potencjalnej: V x = kx. Potencjał ten określa siłę ziałającą na oscylator V x F x = = kx, 6. x zgoną z prawem Hooke a. Zwróćmy w tym miejscu uwagę, że wiele potencjałów mających minimum, można w okolicach tego minimum przybliżyć potencjałem typu oscylatora. Jeżeli potencjał φx ma minimum w punkcie x 0, to można go w otoczeniu tego punktu rozwinąć w szereg Taylora φx = φx 0 + φx! x x=x0 x x W rozwinięciu tym nie ma pierwszej pochonej, bo z założenia potencjał φx ma w x 0 minimum, więc φ x x=x0 = 0, zaś ruga pochona φ x x=x0 > 0. Dokonując zamiany zmiennych y = x x 0, przeskalowując energie tak aby było φx 0 = 0, oraz kłaąc φ x x=x0 = k sprowazamy problem w przybliżeniu o potencjału kwaratowego. Jest to jeen z powoów, la których oscylator harmoniczny jest rzeczywiście ważnym przykłaem. Równanie ruchu oscylatora newtonowskie ma postać mẍ + kx = 0, które można też zapisać w postaci ẍ + ω k x = 0, gzie ω = m. 6.5 Nietruno jest też skonstruować klasyczny hamiltonian oscylatora: H kl = p m + kx = p m + x 6.6 Klasyczny oscylator co łatwo pokazać ma energię całkowitą niezależną o czasu stałą ruchu, bowiem czas jest zmienną cykliczną nie występuje jawnie w hamiltonianie 6.6. Ponato klasyczny ruch oscylatora jest przestrzennie ograniczony x A, A, gzie A amplitua. 6.7 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 73

2 Ważny przykła oscylator harmoniczny 7 6. Stacjonarne równanie Schröingera la oscylatora harmonicznego W poprzenich rozziałach stwierziliśmy, że rozwiązanie równania Schröingera w gruncie rzeczy sprowaza się o znalezienia rozwiązań tzw. stacjonarnego równania Schröingera, czyli o zaganienia własnego la hamiltonianu rozważanego ukłau fizycznego. Operator Hamiltona la kwantowo-mechanicznego oscylatora harmonicznego skonstruujemy za pomocą zasay opowieniości. Bierzemy hamiltonian klasyczny 6.6, w którym pę i współrzęne zastępujemy operatorami położenia i pęu. Otrzymujemy więc operator Ĥ = ˆp m + ˆx = m x + ˆx, 6.8 bowiem ˆp = i/x, mamy tu przypaek jenowymiarowy, zaś ziałanie operatora położenia ˆx polega na mnożeniu funkcji falowej przez opowienią funkcję. Wobec tego stacjonarne równanie Schröingera la oscylatora ma postać m ψx x + x ψx = Eψx. 6.9 Ponieważ ograniczamy się o jenego wymiaru, więc funkcja falowa w problemie stacjonarnym zależy jeynie o współrzęnej x. Uwaga. Na gruncie kwantowo mechanicznym nie ma a priori żanego powou ograniczać obszar zmienności współrzęnej x. A więc mamy x R. Równanie 6.9 jest równanie różniczkowym, można więc owołać się o teorii równań różniczkowych i okonać ogólnej yskusji hamiltonianu 6.8 i rozwiązań zaganienia własnego 6.9. Nie bęziemy jenak tego robić. Poprzestaniemy na stwierzeniu wóch faktów. Wartości własne energii są oatnie, co wynika także z analogii klasycznej. Wynik ten otrzymamy zresztą jako rezultat bezpośrenich obliczeń. Funkcje własne hamiltonianu 6.8 mają określoną parzystość, tzn. funkcje własne są albo parzyste albo nieparzyste. Zbiór funkcji własnych rozpaa się na wie klasy. Fakt ten jest konsekwencją parzystości potencjału V x = kx. Ta własność równania Schröingera omawiana jest w Uzupełnieniach. Rozwiązanie zaganienia własnego 6.9 pozielimy na etapy. Szukamy rozwiązań następującego równania różniczkowego, ψx me x + m ω x ψx = 0, 6.0 które w oczywisty sposób wynika z 6.9. Funkcje falowe spełniające to równanie muszą spełniać warunki fizyczne, jakim jest na przykła żąanie aby funkcje te były normowalne w kwaracie interpretacja probabilistyczna. 6.. Zamiana zmiennych Dyskutując różne zaganienia fizyczne wielokrotnie potrzebujemy określenia, czy ana wielkość fizyczna jest uża czy mała. Aby móc coś takiego stwierzić musimy mieć opowienią skalę porównawczą. Stwierzenie, że masa atomu jest mała nie barzo ma sens, bowiem jest ona rzeczywiście mała w porównania z pyłkiem kurzu, lecz uża w porównaniu z masą elektronu. Ewientnie potrzebujemy skali porównawczej. Jenym ze sposobów jest znalezienie skal, naturalnych S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 7

3 Ważny przykła oscylator harmoniczny 75 la anego problemu fizycznego. Omówimy to na przykłazie skali ługości naturalnej la kwantowo-mechanicznego oscylatora harmonicznego opisywanego równaniem Schröingera 6.9 lub 6.0. Oscylator jest scharakteryzowany trzema parametrami: m, ω i mechanika kwantowa!. Z tych trzech parametrów konstruujemy wielkość o wymiarze ługości. Musimy więc mieć [ług.] = m a ω b c, 6. gzie wykłaniki a, b i c są liczbami rzeczywistymi. Ponieważ [m] = kg, [ω] = kg m, [] = J s = s s 6. więc warunek 6. sprowaza się o [ług.] b kg m = kg a c = kg a+c m c s b c. 6.3 s s Żąamy zgoności wymiarów, ską wynika ukła równań na wykłaniki a + c = 0, b c = 0 c =. 6. Stą zaś mamy o razu c =, a = i b =. Wracając o równania 6. otrzymujemy [ług.] = m / ω /b / =. 6.5 Jest to właśnie poszukiwana naturalna "jenostka" ługości charakteryzująca kwantowo-mechaniczny oscylator harmoniczny. Wprowazamy nową, bezwymiarową zmienną ξ = x. 6.6 Wynikają stą wie korzyści. Po pierwsze, teorie matematyczne a więc i teoria równań różniczkowych otyczą zmiennych bezwymiarowych. Po rugie, nabierają teraz sensu stwierzenia typu ξ, co oznacza, że opowienia współrzęna x przyjmuje wartości znacznie większe niż naturalna jenostka 6.5. Szukamy rozwiązania w funkcji nowej zmiennej. Z efinicji 6.6 wynikają relacje x = ξ x x = x ξ = x = ξ x ξ ξ, ξ = ξ. 6.7a 6.7b Posługując się powyższymi relacjami w równaniu 6.0 i skracając pojawiający się czynnik /, otrzymujemy równanie w zmiennej ξ ψξ ξ + E ξ ψξ = 0, 6.8 gzie wprowaziliśmy oznaczenie la energii przeskalowanej o wielkości bezwymiarowej E = E ω. 6.9 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 75

4 Ważny przykła oscylator harmoniczny 76 Wizimy więc, że naturalną jenostką energii la oscylatora jest więc iloczyn ω. Oczywiście równanie 6.8 ma naal strukturę zaganienia własnego, tyle że w zmiennych bezwymiarowych. Poszukiwane funkcje falowe w zmiennej x wyrażają się teraz w myśl okonanej zamiany zmiennych wzorem ψx = ψξ = ψ x, 6.0 o czym należy pamiętać, bowiem zmierzamy o konstrukcji funkcji falowych jako funkcji współrzęnej x. 6.. Zachowanie asymptotyczne Funkcje falowe, bęące rozwiązaniami równania Schröingera muszą być całkowalne w kwaracie, oczekujemy więc, że la użych bezwzglęnych wartości argumentu powinny zbiegać o zera. Aby to zbaać rozważymy równanie 6.8 la użych wartości zmiennej, tzn. la takich, że ξ E, gy wartość własna Ew równaniu 6.8 jest zaniebywalna. Wobec tego, w przybliżeniu, mamy równanie ψξ ξ ξ ψξ Łatwo jest zganąć przybliżone rozwiązanie tego równania. Mianowicie ψξ exp ± ξ, 6. jest takim rozwiązaniem. Istotnie, przez proste różniczkowanie mamy ψξ ξ = ± ξψξ, ψξ ξ = ± ψξ + ξ ψξ. 6.3 Dla użych ξ pierwszy człon w rugiej pochonej jest zaniebywalny w porównaniu z rugim. Funkcja 6. spełnia więc w przybliżeniu asymptotyczne równanie 6.. Funkcja falowa musi być normowalna. Wobec tego, matematycznie opuszczalne rozwiązanie exp+ξ /, jest fizycznie nie o przyjęcia. A zatem, jako przybliżone rozwiązanie la użych ξ przyjmujemy ψξ exp ξ, 6. które można unormować. Funkcja 6. jest rozwiązaniem przybliżonym, zaowalającym la użych ξ. Potrzebujemy rozwiązania ścisłego. Postulujemy więc rozwiązanie równania 6.8 w postaci ψξ = exp ξ fξ, 6.5 gzie fξ jest funkcją, którą trzeba znaleźć. Zanim przystąpimy o poszukiwania fξ, poczynimy na jej temat pewne uwagi. Funkcja falowa musi być normowalna, a więc funkcja fξ musi być taka, aby ξ exp ξ fξ <. 6.6 Skoro funkcja falowa ψx ma być normowalna, to to samo otyczy normowalności w zmiennej ξ, bowiem obie zmienne są wzajemnie proporcjonalne. Wnioskujemy więc, że funkcja fξ musi S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 76

5 Ważny przykła oscylator harmoniczny 77 być "przyzwoita". Wiaomo, że funkcja exp ξ / wygasza la ostatecznie użych ξ owolny wielomian. Można by więc z góry żąać, aby fξ była wielomianem. Wykażemy alej, że tak jest istotnie, bez żanych założeń wstępnych. Zauważmy jeszcze, że może się wyawać, iż matematycznie poprawne rozwiązanie asymptotyczne exp+ ξ zostało orzucone. Jak się okaże, wcale ono nie "znikło". Rzeczywiście efinitywne ograniczenie się o rozwiązań należących o klasy funkcji normowalnych nastąpi później. Postulat 6.5 traktujemy więc jako pomocniczy Równanie la funkcji fξ Funkcja 6.5 ma ściśle spełniać równanie 6.8. Postawiamy więc 6.5 o 6.8. Różniczkując, otrzymujemy prim oznacza pochoną wzglęem argumentu ψ ξ = exp [ ξfξ ξ + f ξ ], 6.7a ψ ξ = exp [ ] ξ ξ fξ fξ ξf ξ + f ξ. 6.7b Po postawieniu obliczonych pochonych o równania 6.8, uproszczeniu wspólnego czynnika wykłaniczego i elementarnym skróceniu, otrzymujemy f ξ ξf ξ + E fξ = 0, 6.8 które stanowi poszukiwane równanie la nieznanej funkcji fξ. Onotujmy jeszcze, że "wyjściowa" funkcja falowa ψx, wyrażona w zmiennej ξ za pomocą wzoru 6.0, przyjmuje teraz postać ψx = exp x f x. 6.9 Dalsze kroki rozwiązania można przeprowazić na różne sposoby. Przestawimy tutaj jeen z nich. Drugi sposób znaleźć można w Uzupełnieniach. 6.3 Rozwiązanie via konfluentna funkcja hipergeometryczna 6.3. Konfluentne równanie hipergeometryczne. Rozwiązanie Dalej analizując równanie 6.8 wprowazimy jeszcze jeną zmienną pomocniczą y = ξ = ξ = y ξ y Dla rugiej pochonej analogicznie otrzymujemy ξ = ξ ξ = ξ = ξ ξ y ξ y + y = ξ y = ξ y ξ y + y = ξ y + y = y y + y. 6.3 Po okonaniu takiej zamiany zmiennych równanie 6.8 przybiera postać y y + fy ξ ξ fy + E fy = y y S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 77

6 Ważny przykła oscylator harmoniczny 78 Uporząkowanie tego równania prowazi o y y fy + y E fy + y które ma okłanie postać konfluentnego równania hipergeometrycznego fy = 0, 6.33 z uz z + c z uz auz = 0, 6.3 z Postawowe własności tego równania omówione są w Doatkach matematycznych, a więc nie ma potrzeby ich tu powtarzać. Dla skrócenia notacji, oznaczymy konfluentną funkcję hipergeometryczną jako Φa, c, z F a, c, z Porównując równanie 6.33 z ogólnym równaniem stwierzamy, że parametry naszego równania hipergeometrycznego są następujące a = E = E, c =, niecałkowite Możemy więc, korzystając z ogólnych wzorów, zapisać rozwiązania równania 6.33 za pomocą funkcji Φ. Zauważmy przy tym, że c =, a c + = E A zatem ogólne rozwiązanie równania 6.33 la fy to kombinacja liniowa E 3 E fy = C Φ,, y + D y / 3 Φ,, y, 6.38 gzie C i D stanowią stałe owolne na razie nieokreślone. Oczywiście uzyskane wyniki wymagają alszej yskusji o barziej fizycznym charakterze a także normowania Dyskusja rozwiązań Wracając w ogólnym rozwiązaniu 6.38 o zmiennej ξ mamy więc E 3 E fξ = C Φ,, 3 ξ + D ξ Φ,, ξ Zwróćmy o razu uwagę, że skoro funkcja Φa, c, z jest określona za pomocą rozwinięcia w szereg, to pierwszy skłanik w 6.39 proporcjonalny o C jest funkcją parzystą argumentu ξ, zaś rugi proporcjonalny o D jest funkcją nieparzystą. Przypominamy, że szukamy funkcji falowej w postaci ψx = exp ξ /fξ, gzie ξ = / x. Asymptotyczne własności konfluentnej funkcji hipergeometrycznej sprawiają, że rozwiązania la ξ zachowują się z okłanością o stałej jak fξ exp ξ ξ a c, 6.0 ξ przy czym w pierwszym członie a = E/ oraz c = /, natomiast w rugim a = 3 E/ oraz c = 3/. Ponieważ funkcją falową otrzymujemy mnożąc fξ przez exp ξ /, więc wizimy, że otrzymane funkcje są nienormowalne, bowiem znów pojawia się asymptotyczne uże ξ rozwiązanie postaci exp+ ξ. Uniknięcie tej truności jest możliwe tylko wtey, gy szeregi przestawiające funkcję Φ urywają się, a więc reukują się o wielomianów, co zachozi wtey, gy pierwszy parametr funkcji Φ jest ujemną liczbą całkowitą. Potencjał oscylatora jest funkcją parzystą, a więc funkcje własne hamiltonianu tworzą wie klasy: funkcji parzystych i nieparzystych. Rozważymy więc wa ozielne przypaki. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 78

7 Ważny przykła oscylator harmoniczny 79 Rozwiązania parzyste Rozwiązania parzyste "siezą" w pierwszych członie funkcji Przyjmiemy więc C 0 oraz D = 0, i wówczas mamy E fξ = C Φ,, ξ. 6. Szereg się urywa, jeżeli spełniony jest warunek E = n, n =,, 3,, Wobec tego oczywiście mamy E = n +. Weług oznaczenia 6.9 otrzymujemy E n ω = n + = E = ω +, 6.3 co oczywiście stanowi warunek kwantowania energii. Rozwiązania nieparzyste Rozwiązanie nieparzyste to rugi skłanik w Przyjmiemy teraz C = 0 oraz D 0. W tym przypaku mamy 3 E 3 fξ = D ξ Φ,, ξ. 6. I teraz szereg się urywa, jeżeli spełniony jest warunek 3 E = n, n =,, 3,, Tym razem więc mamy E = n + 3. Ponownie w/g oznaczeń 6.9 ostajemy E n ω = n + 3 = E = ω + +, 6.6 co oczywiście stanowi rugi warunek kwantowania energii. Posumowanie Posumowując możemy stwierzić, że uzyskaliśmy rozwiązania stacjonarnego równania Schröingera zaganienia własnego la energii la oscylatora harmonicznego ψx = exp ξ fξ gzie ξ = x. 6.7 Funkcje falowe i energia la rozwiązań parzystych ψ N x = ψ n x = C exp ξ Φ E N n, 3, ξ, 6.8a = ω N +, N = n, n =,, b Funkcje falowe i energia la rozwiązań nieparzystych ψ N x = ψ n+ x = D ξ exp ξ E N Φ n,, ξ, 6.9a = ω N +, N = n +, n =,, b S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 79

8 Ważny przykła oscylator harmoniczny 80 Wielomiany Hermite Występujące tu konfluentne funkcje hipergeometryczne można powiązać z wielomianami Hermite a Φ n,, z = n n! n! H nz, 6.50a z Φ n, 3, z = n n! n +! H n+z. 6.50b Włączając współczynniki liczbowe o stałych normalizacyjnych które obliczymy później możemy rozwiązania parzyste i nieparzyste zapisać opowienio w postaci ψ n x = N n exp H n ξ, E n = ω n +, 6.5a ξ ψ n+ x = N n+ exp H n+ ξ, E n+ = ω n + + ξ 6.5b Oczywiście rozwiązania te możemy połączyć, kłaąc k = n la rozwiązań parzystych i k = n+ la nieparzystych. Mamy wtey ψ k x = N k exp E k = ω k + ξ H k ξ, 6.5a 6.5b gzie k =,,......, a także ξ = x /. Zwróćmy uwagę, że zbiór wartości własnych energii tworzy "rabinkę" równooległych poziomów, a oległości pomięzy nimi są równe ω. Nieprzypakowo więc iloczyn ω stanowi naturalną jenostkę energii oscylatora. Oczywiście rezultaty uzyskane tu, są w pełni zgone z wynikami otrzymanymi w Uzupełnieniach za pomocą zupełnie innych meto rachunkowych Wielomiany Hermite a. Funkcje własne Hipergeometryczna funkcja konfluentna, choć pożyteczna w obliczeniach, mniej przemawia o wyobraźni niż wielomiany Hermite a. Dlatego też w alszej yskusji konsekwentnie posługujemy się tymi wielomianami. Najważniejsze własności wielomianów Hermite a są przestawione w Doatkach matematycznych. Poamy tu tylko kilka faktów, z których bęziemy korzystać. Wielomiany Hermite a spełniają la n relacje rekurencyjne H n+ x = x H n x n H n x, 6.53a x H nx = n H n x. 6.53b Spełniają także następującą relację ortogonalności x e x H n xh m x = n n! π δ nm. 6.5 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 80

9 Ważny przykła oscylator harmoniczny 8 Nietruno jest też sprawzić, że wielomiany Hermite a spełniają równanie różniczkowe f ξ ξf ξ + nfξ = 0, la fx = H n x Równanie to jest formalnie ientyczne z naszym równaniem 6.8, w którym zamiast parametru E położyć trzeba n n całkowite, zgonie z warunkiem 6.5b. Moglibyśmy o razu żąać, aby rozwiązaniem równania 6.8 były wielomiany. Jest to możliwe tylko wtey, gy E = n. A więc moglibyśmy w ten sposób otrzymać zarówno poszukiwane funkcje falowe ψ n ξ, jak i warunek kwantowania. Postępowanie takie jest jenak mało eleganckie. O funkcji fξ spełniającej równanie 6.8 wiemy, że musi spełniać warunek normowalności 6.6, z czego nie wynika jenoznacznie, że fξ jest wielomianem. Normowanie funkcji falowych Funkcje falowe 6.5a w zmiennej x mają postać ψx = ψ n x = N n exp x H n x Pozostaje określić stałą N n, którą wyznaczymy z warunku normowania = x ψx Przypominamy, że całkowanie obywa się po całej przestrzeni, nie ma tu bowiem żanych ograniczeń na zmienną x. Wstawiamy więc funkcję falową 6.56 o warunku 6.57 i musimy obliczyć całkę = N n x exp x H n x H n x Wprowazamy nową zmienną całkowania y = x /. Zatem z 6.58 mamy = N n y e y H n y H n y Całka po prawej, to nic innego niż całka ortogonalizacyjna wielomianów Hermite a 6.5, wobec tego otrzymujemy = N n n n! π, = N n = Wybierając fazę równą zeru, otrzymujemy finalnie N n = π n n! [ ] / π n n! Posumowanie: funkcje i energie własne oscylatora Hamiltonian 6.8 jenowymiarowego kwantowo-mechanicznego oscylatora harmonicznego ma następujące funkcje własne ψ n x = / π n n! exp x H n x. 6.6 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 8

10 Ważny przykła oscylator harmoniczny 8 Funkcje te opowiaają energiom E n = ω n +, 6.63 gzie n =,, 3,.... Przypomnijmy, że kwantowanie energii jest warunkiem otrzymania normowalnych, a więc fizycznie akceptowalnych, rozwiązań stacjonarnego równania Schröingera. Kwantowanie energii jest więc konsekwencją narzucenia warunków fizycznych na matematycznie możliwe o otrzymania rozwiązania. Ogólna funkcja falowa oscylatora harmonicznego jest kombinacją liniową stanów własnych 6.6, które tworzą bazę w przestrzeni stanów. Wobec tego, la owolnego stanu oscylatora mamy funkcję falową ψx = n=0 c n ψ n x, n=0 c n =. 6.6 Współczynniki c n są na ogół zespolone. Drugie równanie stanowi więc warunek unormowania owolnej funkcji falowej. Wielkości c n są amplituami prawopoobieństwami tego, że w wyniku pomiaru energii oscylatora opisanego funkcją falową 6.6, otrzymamy energię E n aną wzorem Pewne zastosowania Oscylator harmoniczny jest często tylko przybliżonym moelem wielu ukłaów fizycznych. Otrzymane co ważniejsze ścisłe rozwiązania stacjonarnego równania Schröingera la oscylatora harmonicznego są więc często pożyteczne. Przestawimy tu obliczenia pewnych elementów macierzowych operatorów związanych z oscylatorem. 6.. Element macierzowy operatora położenia Obliczymy element macierzowy operatora położenia, który z efinicji, any jest całką k x n = x ψ kx x ψ n x Biorąc z 6.6 funkcje własne oscylatora harmonicznego, otrzymujemy k x n = x π k k! n exp n! x H k x x H n x Dokonujemy zamiany zmiennych y = x x = y, zatem y = x 6.67 wobec czego całka powyższa przyjmuje postać k x n = y H ky y H n y π k k! n n! e y 6.68 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 8

11 Ważny przykła oscylator harmoniczny 83 Zwróćmy uwagę, że prze całą pojawia się naturalna ługość 6.5, a funkcja pocałkowa jest bezwymiarowa. Obliczenia elementu macierzowego operatora położenia la oscylatora harmonicznego sprowaziliśmy więc o gzie I kn k x n = oznacza całkę I kn = π k k! n n! I kn, 6.69 y H k y H n y y e y, 6.70 Obliczenia powyższej całki są przestawione w Doatkach matematycznych. Na postawie formuły B.39 lub B. korzystając z własności elt Kroneckera otrzymujemy π k x n = [ n n +! δ n,k π k k! n n! ] + n n! δ n,k+ = = = = n n + n! k k! δ n,k + n n! k k! δ n,k+ [ n n +! n + n+ δ n,k n +! ] + n n! n n! δ n,k+ [ ] n + n δ n,k + δ n,k+ n n + δ k, n + δ k, n+,, 6.7 co stanowi końcowy rezultat. Wartość oczekiwana położenia la oscylatora znajującego się w stanie własnym energii ψ n, wynikająca z powyższego wzoru wynosi x = n x n = x ψ nx x ψ n x = 0, 6.7 czego mnożna by o razu oczekiwać, bowiem funkcje ψ n x mają określoną parzystość, zatem funkcja pocałkowa jest nieparzysta, więc całka musi znikać. 6.. Element macierzowy operatora pęu W tym wypaku, bezpośrenio z efinicji mamy k p n = x ψ kx ˆp ψ n x. = i x ψ kx x ψ nx Postawiamy funkcje własne oscylatora harmonicznego z 6.6 i ostajemy k p n = i π k k! n x exp x n! [ H k x ] exp x H n x. 6.7 x S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 83

12 Ważny przykła oscylator harmoniczny 8 Ponownie okonujemy zamiany zmiennej całkowania zgonie z Wobec tego k p n = i π k k! n y n! exp y H k y [ exp ] y y H n y = i π k k! n n! y e y H k y [ y H n y + H ] ny y Na mocy relacji rekurencyjnej 6.53b eliminujemy pochoną wielomianu Hermite a k p n = i π k k! n y e y H k y n! [ y H n y n H n y ] Jest to suma wóch całek. Pierwszą z nich rozpoznajemy jako całkę I kn obliczoną w B.39, ruga zaś to po prostu całka ortogonalizacyjna 6.5. Wobec tego piszemy k p n = i [ n δ k,n + n π k k! n n! n + δ k,n+ π k k! δ k,n ] Porząkujemy czynnik w trzecim skłaniku korzystając z elty Kroneckera n k k! n n n! δ k,n = n n δ k,n = δ k,n Wobec tego z 6.77 otrzymujemy k p n = i [ n + δ k,n+ ] n δ k,n, 6.79 co stanowi poszukiwany element macierzowy operatora pęu. Zwróćmy uwagę, że otrzymany rezultat jest czysto urojony, co może wyawać się niepokojące, bowiem pę jest obserwablą fizyczną. Nie ma jenak powou o niepokoju, bowiem element macierzowy nie jest wielkością mierzalną. Taką jest wartość oczekiwana n p n, która, ze wzglęu na obecność elt Kroneckera, zeruje się. Można się o tym przekonać także w inny sposób. Wartość oczekiwana pęu la oscylatora w stanie własnym energii ana jest jako p = n p n = i x ψ nx x ψ nx = 0, 6.80 bowiem ψ n x i jej pochona mają owrotne parzystości. Funkcja pocałkowa jest znów nieparzysta i całka znika. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 8

13 Ważny przykła oscylator harmoniczny Elementy macierzowe k ˆx n oraz k ˆp n Elementy te można obliczyć posługując się tymi samymi metoami rachunkowymi, które stosowaliśmy powyżej. Ze wzglęu na kwaraty położenia i pęu obliczenia są nieco barziej żmune, choć nie powinny przestawiać truności koncepcyjnych. Na przykła obliczając k ˆx n regułę rekurencyjną 6.53a trzeba zastosować wukrotnie. Nie bęziemy tu przestawiać niezbęnych obliczeń, a jeynie poamy końcowe rezultaty. Element macierzowy kwaratu operatora położenia ma postać k ˆx n = n + δ k, n + + nn n + n + δ k, n δ k, n+ Natomiast element macierzowy kwaratu operatora pęu to k ˆp n = n + nn δ k, n n + n + δ k, n δ k, n+ 6.. Zasaa nieoznaczoności i energia stanu postawowego Dyskutując zasaę nieoznaczoności położenie-pę stwierziliśmy, że nie istnieją takie stany kwantowo-mechaniczne, w których znikają jenocześnie yspersje położenia i pęu. Zbaajmy sytuację la oscylatora harmonicznego znajującego się w jenym ze stanów własnych ψ n x. Wykazaliśmy por. 6.7 i 6.80, że wartości oczekiwane położenia i pęu wówczas znikają, tj. n x n = n p n = 0. I alej, na postawie wzorów 6.8 i 6.8, w których kłaziemy k = n, mamy kolejne wartości oczekiwane n x n = n +, n p n = n Łatwo obliczamy yspersje σ nx = x x = σ np = p p = Wobec tego ich iloczyn wynosi n + n + 6.8a. 6.8b σ nx σ np = n +, 6.85 gzie ineks n mówi, że rozważamy stan własny ψ n energii hamiltonianu oscylatora harmonicznego. Ponieważ n 0, więc wizimy, że la oscylatora znajującego się w stanie własnym energii zachozi nierówność σ nx σ np, 6.86 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 85

14 Ważny przykła oscylator harmoniczny 86 co oznacza, że spełniona jest zasa nieoznaczoności. Ponato, z relacji 6.85 jasno wynika, że w stanie postawowym n = 0 jest ona minimalizowana. Co więcej, łatwo obliczamy wartość oczekiwaną energii w stanie ψ n : E = n Ĥ n = m n ˆp n + n ˆx n = ω + n = E n Nie jest to wynik nieoczekiwany, bo stan ψ n jest stacjonarnym stanem własnym opowiaającym właśnie energii własnej E n. Wiemy zaś. że energia ukłau fizycznego znajującego się w stanie stacjonarnym nie ulega zmianom. Warto jeszcze zwrócić uwagę, że stanowi postawowemu ψ 0 oscylatora opowiaa energia E 0 = ω 0. Energia stanu postawowego nie może być równa zeru. Gyby tak było, oznaczałoby to, że wartości oczekiwane x i p są także równe zeru. Zeru byłyby równe opowienie yspersje, a to awałoby σ xσ p = 0, co jest jawnie sprzeczne z zasaą nieoznaczoności, która stwierza, że takie stany nie istnieją. Możemy więc powiezieć, że fakt iż E 0 0 jest konsekwencją zasay nieoznaczoności. W Uzupełnieniach pokazujemy, że tak istotnie jest. Zasaa nieoznaczoności wymaga, aby energie stanów własnych oscylatora spełniały warunek E ω. A więc minimalna energia stan postawowy n = 0 to właśnie ω. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 86