Ważny przykład oscylator harmoniczny

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ważny przykład oscylator harmoniczny"

Transkrypt

1 Ważny przykła oscylator harmoniczny 73 Rozział 6 Ważny przykła oscylator harmoniczny 6. Wprowazenie Klasyczny, jenowymiarowy oscylator harmoniczny opowiaa potencjałowi energii potencjalnej: V x = kx. Potencjał ten określa siłę ziałającą na oscylator V x F x = = kx, 6. x zgoną z prawem Hooke a. Zwróćmy w tym miejscu uwagę, że wiele potencjałów mających minimum, można w okolicach tego minimum przybliżyć potencjałem typu oscylatora. Jeżeli potencjał φx ma minimum w punkcie x 0, to można go w otoczeniu tego punktu rozwinąć w szereg Taylora φx = φx 0 + φx! x x=x0 x x W rozwinięciu tym nie ma pierwszej pochonej, bo z założenia potencjał φx ma w x 0 minimum, więc φ x x=x0 = 0, zaś ruga pochona φ x x=x0 > 0. Dokonując zamiany zmiennych y = x x 0, przeskalowując energie tak aby było φx 0 = 0, oraz kłaąc φ x x=x0 = k sprowazamy problem w przybliżeniu o potencjału kwaratowego. Jest to jeen z powoów, la których oscylator harmoniczny jest rzeczywiście ważnym przykłaem. Równanie ruchu oscylatora newtonowskie ma postać mẍ + kx = 0, które można też zapisać w postaci ẍ + ω k x = 0, gzie ω = m. 6.5 Nietruno jest też skonstruować klasyczny hamiltonian oscylatora: H kl = p m + kx = p m + x 6.6 Klasyczny oscylator co łatwo pokazać ma energię całkowitą niezależną o czasu stałą ruchu, bowiem czas jest zmienną cykliczną nie występuje jawnie w hamiltonianie 6.6. Ponato klasyczny ruch oscylatora jest przestrzennie ograniczony x A, A, gzie A amplitua. 6.7 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 73

2 Ważny przykła oscylator harmoniczny 7 6. Stacjonarne równanie Schröingera la oscylatora harmonicznego W poprzenich rozziałach stwierziliśmy, że rozwiązanie równania Schröingera w gruncie rzeczy sprowaza się o znalezienia rozwiązań tzw. stacjonarnego równania Schröingera, czyli o zaganienia własnego la hamiltonianu rozważanego ukłau fizycznego. Operator Hamiltona la kwantowo-mechanicznego oscylatora harmonicznego skonstruujemy za pomocą zasay opowieniości. Bierzemy hamiltonian klasyczny 6.6, w którym pę i współrzęne zastępujemy operatorami położenia i pęu. Otrzymujemy więc operator Ĥ = ˆp m + ˆx = m x + ˆx, 6.8 bowiem ˆp = i/x, mamy tu przypaek jenowymiarowy, zaś ziałanie operatora położenia ˆx polega na mnożeniu funkcji falowej przez opowienią funkcję. Wobec tego stacjonarne równanie Schröingera la oscylatora ma postać m ψx x + x ψx = Eψx. 6.9 Ponieważ ograniczamy się o jenego wymiaru, więc funkcja falowa w problemie stacjonarnym zależy jeynie o współrzęnej x. Uwaga. Na gruncie kwantowo mechanicznym nie ma a priori żanego powou ograniczać obszar zmienności współrzęnej x. A więc mamy x R. Równanie 6.9 jest równanie różniczkowym, można więc owołać się o teorii równań różniczkowych i okonać ogólnej yskusji hamiltonianu 6.8 i rozwiązań zaganienia własnego 6.9. Nie bęziemy jenak tego robić. Poprzestaniemy na stwierzeniu wóch faktów. Wartości własne energii są oatnie, co wynika także z analogii klasycznej. Wynik ten otrzymamy zresztą jako rezultat bezpośrenich obliczeń. Funkcje własne hamiltonianu 6.8 mają określoną parzystość, tzn. funkcje własne są albo parzyste albo nieparzyste. Zbiór funkcji własnych rozpaa się na wie klasy. Fakt ten jest konsekwencją parzystości potencjału V x = kx. Ta własność równania Schröingera omawiana jest w Uzupełnieniach. Rozwiązanie zaganienia własnego 6.9 pozielimy na etapy. Szukamy rozwiązań następującego równania różniczkowego, ψx me x + m ω x ψx = 0, 6.0 które w oczywisty sposób wynika z 6.9. Funkcje falowe spełniające to równanie muszą spełniać warunki fizyczne, jakim jest na przykła żąanie aby funkcje te były normowalne w kwaracie interpretacja probabilistyczna. 6.. Zamiana zmiennych Dyskutując różne zaganienia fizyczne wielokrotnie potrzebujemy określenia, czy ana wielkość fizyczna jest uża czy mała. Aby móc coś takiego stwierzić musimy mieć opowienią skalę porównawczą. Stwierzenie, że masa atomu jest mała nie barzo ma sens, bowiem jest ona rzeczywiście mała w porównania z pyłkiem kurzu, lecz uża w porównaniu z masą elektronu. Ewientnie potrzebujemy skali porównawczej. Jenym ze sposobów jest znalezienie skal, naturalnych S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 7

3 Ważny przykła oscylator harmoniczny 75 la anego problemu fizycznego. Omówimy to na przykłazie skali ługości naturalnej la kwantowo-mechanicznego oscylatora harmonicznego opisywanego równaniem Schröingera 6.9 lub 6.0. Oscylator jest scharakteryzowany trzema parametrami: m, ω i mechanika kwantowa!. Z tych trzech parametrów konstruujemy wielkość o wymiarze ługości. Musimy więc mieć [ług.] = m a ω b c, 6. gzie wykłaniki a, b i c są liczbami rzeczywistymi. Ponieważ [m] = kg, [ω] = kg m, [] = J s = s s 6. więc warunek 6. sprowaza się o [ług.] b kg m = kg a c = kg a+c m c s b c. 6.3 s s Żąamy zgoności wymiarów, ską wynika ukła równań na wykłaniki a + c = 0, b c = 0 c =. 6. Stą zaś mamy o razu c =, a = i b =. Wracając o równania 6. otrzymujemy [ług.] = m / ω /b / =. 6.5 Jest to właśnie poszukiwana naturalna "jenostka" ługości charakteryzująca kwantowo-mechaniczny oscylator harmoniczny. Wprowazamy nową, bezwymiarową zmienną ξ = x. 6.6 Wynikają stą wie korzyści. Po pierwsze, teorie matematyczne a więc i teoria równań różniczkowych otyczą zmiennych bezwymiarowych. Po rugie, nabierają teraz sensu stwierzenia typu ξ, co oznacza, że opowienia współrzęna x przyjmuje wartości znacznie większe niż naturalna jenostka 6.5. Szukamy rozwiązania w funkcji nowej zmiennej. Z efinicji 6.6 wynikają relacje x = ξ x x = x ξ = x = ξ x ξ ξ, ξ = ξ. 6.7a 6.7b Posługując się powyższymi relacjami w równaniu 6.0 i skracając pojawiający się czynnik /, otrzymujemy równanie w zmiennej ξ ψξ ξ + E ξ ψξ = 0, 6.8 gzie wprowaziliśmy oznaczenie la energii przeskalowanej o wielkości bezwymiarowej E = E ω. 6.9 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 75

4 Ważny przykła oscylator harmoniczny 76 Wizimy więc, że naturalną jenostką energii la oscylatora jest więc iloczyn ω. Oczywiście równanie 6.8 ma naal strukturę zaganienia własnego, tyle że w zmiennych bezwymiarowych. Poszukiwane funkcje falowe w zmiennej x wyrażają się teraz w myśl okonanej zamiany zmiennych wzorem ψx = ψξ = ψ x, 6.0 o czym należy pamiętać, bowiem zmierzamy o konstrukcji funkcji falowych jako funkcji współrzęnej x. 6.. Zachowanie asymptotyczne Funkcje falowe, bęące rozwiązaniami równania Schröingera muszą być całkowalne w kwaracie, oczekujemy więc, że la użych bezwzglęnych wartości argumentu powinny zbiegać o zera. Aby to zbaać rozważymy równanie 6.8 la użych wartości zmiennej, tzn. la takich, że ξ E, gy wartość własna Ew równaniu 6.8 jest zaniebywalna. Wobec tego, w przybliżeniu, mamy równanie ψξ ξ ξ ψξ Łatwo jest zganąć przybliżone rozwiązanie tego równania. Mianowicie ψξ exp ± ξ, 6. jest takim rozwiązaniem. Istotnie, przez proste różniczkowanie mamy ψξ ξ = ± ξψξ, ψξ ξ = ± ψξ + ξ ψξ. 6.3 Dla użych ξ pierwszy człon w rugiej pochonej jest zaniebywalny w porównaniu z rugim. Funkcja 6. spełnia więc w przybliżeniu asymptotyczne równanie 6.. Funkcja falowa musi być normowalna. Wobec tego, matematycznie opuszczalne rozwiązanie exp+ξ /, jest fizycznie nie o przyjęcia. A zatem, jako przybliżone rozwiązanie la użych ξ przyjmujemy ψξ exp ξ, 6. które można unormować. Funkcja 6. jest rozwiązaniem przybliżonym, zaowalającym la użych ξ. Potrzebujemy rozwiązania ścisłego. Postulujemy więc rozwiązanie równania 6.8 w postaci ψξ = exp ξ fξ, 6.5 gzie fξ jest funkcją, którą trzeba znaleźć. Zanim przystąpimy o poszukiwania fξ, poczynimy na jej temat pewne uwagi. Funkcja falowa musi być normowalna, a więc funkcja fξ musi być taka, aby ξ exp ξ fξ <. 6.6 Skoro funkcja falowa ψx ma być normowalna, to to samo otyczy normowalności w zmiennej ξ, bowiem obie zmienne są wzajemnie proporcjonalne. Wnioskujemy więc, że funkcja fξ musi S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 76

5 Ważny przykła oscylator harmoniczny 77 być "przyzwoita". Wiaomo, że funkcja exp ξ / wygasza la ostatecznie użych ξ owolny wielomian. Można by więc z góry żąać, aby fξ była wielomianem. Wykażemy alej, że tak jest istotnie, bez żanych założeń wstępnych. Zauważmy jeszcze, że może się wyawać, iż matematycznie poprawne rozwiązanie asymptotyczne exp+ ξ zostało orzucone. Jak się okaże, wcale ono nie "znikło". Rzeczywiście efinitywne ograniczenie się o rozwiązań należących o klasy funkcji normowalnych nastąpi później. Postulat 6.5 traktujemy więc jako pomocniczy Równanie la funkcji fξ Funkcja 6.5 ma ściśle spełniać równanie 6.8. Postawiamy więc 6.5 o 6.8. Różniczkując, otrzymujemy prim oznacza pochoną wzglęem argumentu ψ ξ = exp [ ξfξ ξ + f ξ ], 6.7a ψ ξ = exp [ ] ξ ξ fξ fξ ξf ξ + f ξ. 6.7b Po postawieniu obliczonych pochonych o równania 6.8, uproszczeniu wspólnego czynnika wykłaniczego i elementarnym skróceniu, otrzymujemy f ξ ξf ξ + E fξ = 0, 6.8 które stanowi poszukiwane równanie la nieznanej funkcji fξ. Onotujmy jeszcze, że "wyjściowa" funkcja falowa ψx, wyrażona w zmiennej ξ za pomocą wzoru 6.0, przyjmuje teraz postać ψx = exp x f x. 6.9 Dalsze kroki rozwiązania można przeprowazić na różne sposoby. Przestawimy tutaj jeen z nich. Drugi sposób znaleźć można w Uzupełnieniach. 6.3 Rozwiązanie via konfluentna funkcja hipergeometryczna 6.3. Konfluentne równanie hipergeometryczne. Rozwiązanie Dalej analizując równanie 6.8 wprowazimy jeszcze jeną zmienną pomocniczą y = ξ = ξ = y ξ y Dla rugiej pochonej analogicznie otrzymujemy ξ = ξ ξ = ξ = ξ ξ y ξ y + y = ξ y = ξ y ξ y + y = ξ y + y = y y + y. 6.3 Po okonaniu takiej zamiany zmiennych równanie 6.8 przybiera postać y y + fy ξ ξ fy + E fy = y y S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 77

6 Ważny przykła oscylator harmoniczny 78 Uporząkowanie tego równania prowazi o y y fy + y E fy + y które ma okłanie postać konfluentnego równania hipergeometrycznego fy = 0, 6.33 z uz z + c z uz auz = 0, 6.3 z Postawowe własności tego równania omówione są w Doatkach matematycznych, a więc nie ma potrzeby ich tu powtarzać. Dla skrócenia notacji, oznaczymy konfluentną funkcję hipergeometryczną jako Φa, c, z F a, c, z Porównując równanie 6.33 z ogólnym równaniem stwierzamy, że parametry naszego równania hipergeometrycznego są następujące a = E = E, c =, niecałkowite Możemy więc, korzystając z ogólnych wzorów, zapisać rozwiązania równania 6.33 za pomocą funkcji Φ. Zauważmy przy tym, że c =, a c + = E A zatem ogólne rozwiązanie równania 6.33 la fy to kombinacja liniowa E 3 E fy = C Φ,, y + D y / 3 Φ,, y, 6.38 gzie C i D stanowią stałe owolne na razie nieokreślone. Oczywiście uzyskane wyniki wymagają alszej yskusji o barziej fizycznym charakterze a także normowania Dyskusja rozwiązań Wracając w ogólnym rozwiązaniu 6.38 o zmiennej ξ mamy więc E 3 E fξ = C Φ,, 3 ξ + D ξ Φ,, ξ Zwróćmy o razu uwagę, że skoro funkcja Φa, c, z jest określona za pomocą rozwinięcia w szereg, to pierwszy skłanik w 6.39 proporcjonalny o C jest funkcją parzystą argumentu ξ, zaś rugi proporcjonalny o D jest funkcją nieparzystą. Przypominamy, że szukamy funkcji falowej w postaci ψx = exp ξ /fξ, gzie ξ = / x. Asymptotyczne własności konfluentnej funkcji hipergeometrycznej sprawiają, że rozwiązania la ξ zachowują się z okłanością o stałej jak fξ exp ξ ξ a c, 6.0 ξ przy czym w pierwszym członie a = E/ oraz c = /, natomiast w rugim a = 3 E/ oraz c = 3/. Ponieważ funkcją falową otrzymujemy mnożąc fξ przez exp ξ /, więc wizimy, że otrzymane funkcje są nienormowalne, bowiem znów pojawia się asymptotyczne uże ξ rozwiązanie postaci exp+ ξ. Uniknięcie tej truności jest możliwe tylko wtey, gy szeregi przestawiające funkcję Φ urywają się, a więc reukują się o wielomianów, co zachozi wtey, gy pierwszy parametr funkcji Φ jest ujemną liczbą całkowitą. Potencjał oscylatora jest funkcją parzystą, a więc funkcje własne hamiltonianu tworzą wie klasy: funkcji parzystych i nieparzystych. Rozważymy więc wa ozielne przypaki. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 78

7 Ważny przykła oscylator harmoniczny 79 Rozwiązania parzyste Rozwiązania parzyste "siezą" w pierwszych członie funkcji Przyjmiemy więc C 0 oraz D = 0, i wówczas mamy E fξ = C Φ,, ξ. 6. Szereg się urywa, jeżeli spełniony jest warunek E = n, n =,, 3,, Wobec tego oczywiście mamy E = n +. Weług oznaczenia 6.9 otrzymujemy E n ω = n + = E = ω +, 6.3 co oczywiście stanowi warunek kwantowania energii. Rozwiązania nieparzyste Rozwiązanie nieparzyste to rugi skłanik w Przyjmiemy teraz C = 0 oraz D 0. W tym przypaku mamy 3 E 3 fξ = D ξ Φ,, ξ. 6. I teraz szereg się urywa, jeżeli spełniony jest warunek 3 E = n, n =,, 3,, Tym razem więc mamy E = n + 3. Ponownie w/g oznaczeń 6.9 ostajemy E n ω = n + 3 = E = ω + +, 6.6 co oczywiście stanowi rugi warunek kwantowania energii. Posumowanie Posumowując możemy stwierzić, że uzyskaliśmy rozwiązania stacjonarnego równania Schröingera zaganienia własnego la energii la oscylatora harmonicznego ψx = exp ξ fξ gzie ξ = x. 6.7 Funkcje falowe i energia la rozwiązań parzystych ψ N x = ψ n x = C exp ξ Φ E N n, 3, ξ, 6.8a = ω N +, N = n, n =,, b Funkcje falowe i energia la rozwiązań nieparzystych ψ N x = ψ n+ x = D ξ exp ξ E N Φ n,, ξ, 6.9a = ω N +, N = n +, n =,, b S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 79

8 Ważny przykła oscylator harmoniczny 80 Wielomiany Hermite Występujące tu konfluentne funkcje hipergeometryczne można powiązać z wielomianami Hermite a Φ n,, z = n n! n! H nz, 6.50a z Φ n, 3, z = n n! n +! H n+z. 6.50b Włączając współczynniki liczbowe o stałych normalizacyjnych które obliczymy później możemy rozwiązania parzyste i nieparzyste zapisać opowienio w postaci ψ n x = N n exp H n ξ, E n = ω n +, 6.5a ξ ψ n+ x = N n+ exp H n+ ξ, E n+ = ω n + + ξ 6.5b Oczywiście rozwiązania te możemy połączyć, kłaąc k = n la rozwiązań parzystych i k = n+ la nieparzystych. Mamy wtey ψ k x = N k exp E k = ω k + ξ H k ξ, 6.5a 6.5b gzie k =,,......, a także ξ = x /. Zwróćmy uwagę, że zbiór wartości własnych energii tworzy "rabinkę" równooległych poziomów, a oległości pomięzy nimi są równe ω. Nieprzypakowo więc iloczyn ω stanowi naturalną jenostkę energii oscylatora. Oczywiście rezultaty uzyskane tu, są w pełni zgone z wynikami otrzymanymi w Uzupełnieniach za pomocą zupełnie innych meto rachunkowych Wielomiany Hermite a. Funkcje własne Hipergeometryczna funkcja konfluentna, choć pożyteczna w obliczeniach, mniej przemawia o wyobraźni niż wielomiany Hermite a. Dlatego też w alszej yskusji konsekwentnie posługujemy się tymi wielomianami. Najważniejsze własności wielomianów Hermite a są przestawione w Doatkach matematycznych. Poamy tu tylko kilka faktów, z których bęziemy korzystać. Wielomiany Hermite a spełniają la n relacje rekurencyjne H n+ x = x H n x n H n x, 6.53a x H nx = n H n x. 6.53b Spełniają także następującą relację ortogonalności x e x H n xh m x = n n! π δ nm. 6.5 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 80

9 Ważny przykła oscylator harmoniczny 8 Nietruno jest też sprawzić, że wielomiany Hermite a spełniają równanie różniczkowe f ξ ξf ξ + nfξ = 0, la fx = H n x Równanie to jest formalnie ientyczne z naszym równaniem 6.8, w którym zamiast parametru E położyć trzeba n n całkowite, zgonie z warunkiem 6.5b. Moglibyśmy o razu żąać, aby rozwiązaniem równania 6.8 były wielomiany. Jest to możliwe tylko wtey, gy E = n. A więc moglibyśmy w ten sposób otrzymać zarówno poszukiwane funkcje falowe ψ n ξ, jak i warunek kwantowania. Postępowanie takie jest jenak mało eleganckie. O funkcji fξ spełniającej równanie 6.8 wiemy, że musi spełniać warunek normowalności 6.6, z czego nie wynika jenoznacznie, że fξ jest wielomianem. Normowanie funkcji falowych Funkcje falowe 6.5a w zmiennej x mają postać ψx = ψ n x = N n exp x H n x Pozostaje określić stałą N n, którą wyznaczymy z warunku normowania = x ψx Przypominamy, że całkowanie obywa się po całej przestrzeni, nie ma tu bowiem żanych ograniczeń na zmienną x. Wstawiamy więc funkcję falową 6.56 o warunku 6.57 i musimy obliczyć całkę = N n x exp x H n x H n x Wprowazamy nową zmienną całkowania y = x /. Zatem z 6.58 mamy = N n y e y H n y H n y Całka po prawej, to nic innego niż całka ortogonalizacyjna wielomianów Hermite a 6.5, wobec tego otrzymujemy = N n n n! π, = N n = Wybierając fazę równą zeru, otrzymujemy finalnie N n = π n n! [ ] / π n n! Posumowanie: funkcje i energie własne oscylatora Hamiltonian 6.8 jenowymiarowego kwantowo-mechanicznego oscylatora harmonicznego ma następujące funkcje własne ψ n x = / π n n! exp x H n x. 6.6 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 8

10 Ważny przykła oscylator harmoniczny 8 Funkcje te opowiaają energiom E n = ω n +, 6.63 gzie n =,, 3,.... Przypomnijmy, że kwantowanie energii jest warunkiem otrzymania normowalnych, a więc fizycznie akceptowalnych, rozwiązań stacjonarnego równania Schröingera. Kwantowanie energii jest więc konsekwencją narzucenia warunków fizycznych na matematycznie możliwe o otrzymania rozwiązania. Ogólna funkcja falowa oscylatora harmonicznego jest kombinacją liniową stanów własnych 6.6, które tworzą bazę w przestrzeni stanów. Wobec tego, la owolnego stanu oscylatora mamy funkcję falową ψx = n=0 c n ψ n x, n=0 c n =. 6.6 Współczynniki c n są na ogół zespolone. Drugie równanie stanowi więc warunek unormowania owolnej funkcji falowej. Wielkości c n są amplituami prawopoobieństwami tego, że w wyniku pomiaru energii oscylatora opisanego funkcją falową 6.6, otrzymamy energię E n aną wzorem Pewne zastosowania Oscylator harmoniczny jest często tylko przybliżonym moelem wielu ukłaów fizycznych. Otrzymane co ważniejsze ścisłe rozwiązania stacjonarnego równania Schröingera la oscylatora harmonicznego są więc często pożyteczne. Przestawimy tu obliczenia pewnych elementów macierzowych operatorów związanych z oscylatorem. 6.. Element macierzowy operatora położenia Obliczymy element macierzowy operatora położenia, który z efinicji, any jest całką k x n = x ψ kx x ψ n x Biorąc z 6.6 funkcje własne oscylatora harmonicznego, otrzymujemy k x n = x π k k! n exp n! x H k x x H n x Dokonujemy zamiany zmiennych y = x x = y, zatem y = x 6.67 wobec czego całka powyższa przyjmuje postać k x n = y H ky y H n y π k k! n n! e y 6.68 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 8

11 Ważny przykła oscylator harmoniczny 83 Zwróćmy uwagę, że prze całą pojawia się naturalna ługość 6.5, a funkcja pocałkowa jest bezwymiarowa. Obliczenia elementu macierzowego operatora położenia la oscylatora harmonicznego sprowaziliśmy więc o gzie I kn k x n = oznacza całkę I kn = π k k! n n! I kn, 6.69 y H k y H n y y e y, 6.70 Obliczenia powyższej całki są przestawione w Doatkach matematycznych. Na postawie formuły B.39 lub B. korzystając z własności elt Kroneckera otrzymujemy π k x n = [ n n +! δ n,k π k k! n n! ] + n n! δ n,k+ = = = = n n + n! k k! δ n,k + n n! k k! δ n,k+ [ n n +! n + n+ δ n,k n +! ] + n n! n n! δ n,k+ [ ] n + n δ n,k + δ n,k+ n n + δ k, n + δ k, n+,, 6.7 co stanowi końcowy rezultat. Wartość oczekiwana położenia la oscylatora znajującego się w stanie własnym energii ψ n, wynikająca z powyższego wzoru wynosi x = n x n = x ψ nx x ψ n x = 0, 6.7 czego mnożna by o razu oczekiwać, bowiem funkcje ψ n x mają określoną parzystość, zatem funkcja pocałkowa jest nieparzysta, więc całka musi znikać. 6.. Element macierzowy operatora pęu W tym wypaku, bezpośrenio z efinicji mamy k p n = x ψ kx ˆp ψ n x. = i x ψ kx x ψ nx Postawiamy funkcje własne oscylatora harmonicznego z 6.6 i ostajemy k p n = i π k k! n x exp x n! [ H k x ] exp x H n x. 6.7 x S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 83

12 Ważny przykła oscylator harmoniczny 8 Ponownie okonujemy zamiany zmiennej całkowania zgonie z Wobec tego k p n = i π k k! n y n! exp y H k y [ exp ] y y H n y = i π k k! n n! y e y H k y [ y H n y + H ] ny y Na mocy relacji rekurencyjnej 6.53b eliminujemy pochoną wielomianu Hermite a k p n = i π k k! n y e y H k y n! [ y H n y n H n y ] Jest to suma wóch całek. Pierwszą z nich rozpoznajemy jako całkę I kn obliczoną w B.39, ruga zaś to po prostu całka ortogonalizacyjna 6.5. Wobec tego piszemy k p n = i [ n δ k,n + n π k k! n n! n + δ k,n+ π k k! δ k,n ] Porząkujemy czynnik w trzecim skłaniku korzystając z elty Kroneckera n k k! n n n! δ k,n = n n δ k,n = δ k,n Wobec tego z 6.77 otrzymujemy k p n = i [ n + δ k,n+ ] n δ k,n, 6.79 co stanowi poszukiwany element macierzowy operatora pęu. Zwróćmy uwagę, że otrzymany rezultat jest czysto urojony, co może wyawać się niepokojące, bowiem pę jest obserwablą fizyczną. Nie ma jenak powou o niepokoju, bowiem element macierzowy nie jest wielkością mierzalną. Taką jest wartość oczekiwana n p n, która, ze wzglęu na obecność elt Kroneckera, zeruje się. Można się o tym przekonać także w inny sposób. Wartość oczekiwana pęu la oscylatora w stanie własnym energii ana jest jako p = n p n = i x ψ nx x ψ nx = 0, 6.80 bowiem ψ n x i jej pochona mają owrotne parzystości. Funkcja pocałkowa jest znów nieparzysta i całka znika. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 8

13 Ważny przykła oscylator harmoniczny Elementy macierzowe k ˆx n oraz k ˆp n Elementy te można obliczyć posługując się tymi samymi metoami rachunkowymi, które stosowaliśmy powyżej. Ze wzglęu na kwaraty położenia i pęu obliczenia są nieco barziej żmune, choć nie powinny przestawiać truności koncepcyjnych. Na przykła obliczając k ˆx n regułę rekurencyjną 6.53a trzeba zastosować wukrotnie. Nie bęziemy tu przestawiać niezbęnych obliczeń, a jeynie poamy końcowe rezultaty. Element macierzowy kwaratu operatora położenia ma postać k ˆx n = n + δ k, n + + nn n + n + δ k, n δ k, n+ Natomiast element macierzowy kwaratu operatora pęu to k ˆp n = n + nn δ k, n n + n + δ k, n δ k, n+ 6.. Zasaa nieoznaczoności i energia stanu postawowego Dyskutując zasaę nieoznaczoności położenie-pę stwierziliśmy, że nie istnieją takie stany kwantowo-mechaniczne, w których znikają jenocześnie yspersje położenia i pęu. Zbaajmy sytuację la oscylatora harmonicznego znajującego się w jenym ze stanów własnych ψ n x. Wykazaliśmy por. 6.7 i 6.80, że wartości oczekiwane położenia i pęu wówczas znikają, tj. n x n = n p n = 0. I alej, na postawie wzorów 6.8 i 6.8, w których kłaziemy k = n, mamy kolejne wartości oczekiwane n x n = n +, n p n = n Łatwo obliczamy yspersje σ nx = x x = σ np = p p = Wobec tego ich iloczyn wynosi n + n + 6.8a. 6.8b σ nx σ np = n +, 6.85 gzie ineks n mówi, że rozważamy stan własny ψ n energii hamiltonianu oscylatora harmonicznego. Ponieważ n 0, więc wizimy, że la oscylatora znajującego się w stanie własnym energii zachozi nierówność σ nx σ np, 6.86 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 85

14 Ważny przykła oscylator harmoniczny 86 co oznacza, że spełniona jest zasa nieoznaczoności. Ponato, z relacji 6.85 jasno wynika, że w stanie postawowym n = 0 jest ona minimalizowana. Co więcej, łatwo obliczamy wartość oczekiwaną energii w stanie ψ n : E = n Ĥ n = m n ˆp n + n ˆx n = ω + n = E n Nie jest to wynik nieoczekiwany, bo stan ψ n jest stacjonarnym stanem własnym opowiaającym właśnie energii własnej E n. Wiemy zaś. że energia ukłau fizycznego znajującego się w stanie stacjonarnym nie ulega zmianom. Warto jeszcze zwrócić uwagę, że stanowi postawowemu ψ 0 oscylatora opowiaa energia E 0 = ω 0. Energia stanu postawowego nie może być równa zeru. Gyby tak było, oznaczałoby to, że wartości oczekiwane x i p są także równe zeru. Zeru byłyby równe opowienie yspersje, a to awałoby σ xσ p = 0, co jest jawnie sprzeczne z zasaą nieoznaczoności, która stwierza, że takie stany nie istnieją. Możemy więc powiezieć, że fakt iż E 0 0 jest konsekwencją zasay nieoznaczoności. W Uzupełnieniach pokazujemy, że tak istotnie jest. Zasaa nieoznaczoności wymaga, aby energie stanów własnych oscylatora spełniały warunek E ω. A więc minimalna energia stan postawowy n = 0 to właśnie ω. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 86

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

UNIWESRYTET EKONOMICZNY WE WROCŁAWIU HOSSA ProCAPITAL WYCENA OPCJI. Sebastian Gajęcki WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH

UNIWESRYTET EKONOMICZNY WE WROCŁAWIU HOSSA ProCAPITAL WYCENA OPCJI. Sebastian Gajęcki WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH UNIWESRYTET EKONOMICZNY WE WROCŁAWIU HOSSA ProCAPITAL WYCENA OPCJI Sebastian Gajęcki WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH WPROWADZENIE Opcje są instrumentem pochonym, zatem takim, którego cena zależy o ceny instrumentu

Bardziej szczegółowo

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową

Bardziej szczegółowo

Zasada nieoznaczoności

Zasada nieoznaczoności 3.10.2004 5. Zasada nieoznaczoności 63 Rozdział 5 Zasada nieoznaczoności 5.1 Formalna zasada nieoznaczoności 5.1.1 Średnie i dyspersje. Pojęcia wstępne Niech Â, ˆB oraz Ĉ będą operatorami hermitowskimi

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8: Podstawowe zadania geodezyjne z rachunku współrzędnych

Rozdział 8: Podstawowe zadania geodezyjne z rachunku współrzędnych 183 Rozział 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych 8.1. Orientacja pomiarów geoezyjnych W rozziale 1 przestawiliśmy krótką charakterystykę ukłaów współrzęnych stosowanych w geoezji, w tym

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

U L T R A ZAKŁAD BADAŃ MATERIAŁÓW

U L T R A ZAKŁAD BADAŃ MATERIAŁÓW U L T R A ZAKŁAD BADAŃ MATERIAŁÓW Zał 1 instr Nr02/01 str. 53-621 Wrocław, Głogowska 4/55, tel/fax 071 3734188 52-404 Wrocław, Harcerska 42, tel. 071 3643652 www.ultrasonic.home.pl tel. kom. 0 601 710290

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

1 Renty życiowe. 1.1 Podstawowe renty życiowe

1 Renty życiowe. 1.1 Podstawowe renty życiowe Renty życiowe Renta życiowa jest serią płatności okonywanych w czasie życia ubezpieczonego Jej wartość teraźniejsza jest zienną losową (bo zależy o przyszłego czasu życia T, oznaczaną Y Postawowe renty

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji

Bardziej szczegółowo

Pole temperatury - niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu)

Pole temperatury - niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu) PODSAWY WYMIANY CIEPŁA. Postawowe pojęcia w wymianie ciepła Sposoby transportu ciepła: przewozenie konwekcja - swobona - wymuszona promieniowanie ransport ciepła w ciałach stałych obywa się na roze przewozenia.

Bardziej szczegółowo

Porównanie właściwości wybranych wektorowych regulatorów prądu w stanach dynamicznych w przekształtniku AC/DC

Porównanie właściwości wybranych wektorowych regulatorów prądu w stanach dynamicznych w przekształtniku AC/DC Piotr FALKOWSKI, Marian Roch DUBOWSKI Politechnika Białostocka, Wyział Elektryczny, Katera Energoelektroniki i Napęów Elektrycznych Porównanie właściwości wybranych wektorowych regulatorów prąu w stanach

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

W przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę:

W przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę: Układy funkcji ortogonanych Ioczyn skaarny w przestrzeniach funkcji ciągłych W przestrzeni iniowej funkcji ciągłych na przedziae [a, b] można okreśić ioczyn skaarny jako następującą całkę: f, g = b a f(x)g(x)w(x)

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Optyka 2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Optyka 2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Optka Projekt współinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funuszu Społecznego Optka II Promień świetln paając na powierzchnię zwierciała obija się zgonie z prawem obicia omówionm w poprzeniej

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max.

Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. 10 stron na jeden z listy tematów + rozmowa USOS! 1 Model

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R E-17

Ć W I C Z E N I E N R E-17 INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA ELEKTRYCZNOŚCI I MAGNETYZMU Ć W I C Z E N I E N R E-17 WYZNACZANIE STAŁEJ DIELEKTRYCZNEJ RÓŻNYCH

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Metody binaryzacji obrazów

Algorytmy graficzne. Metody binaryzacji obrazów Algorytmy graficzne Metoy binaryzacji obrazów Progowanie i binaryzacja Binaryzacja jest procesem konwersji obrazów kolorowych lub monochromatycznych (w ocieniach szarości) o obrazu wupoziomowego (binarnego).

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna wykład 1: Indukcja i zależności rekurencyjne Gniewomir Sarbicki Literatura Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright Matematyka Dyskretna PWN 005 J. Jaworski, Z. Palka, J. Szymański Matematyka

Bardziej szczegółowo

12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów.

12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów. matematyka /.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów. I. Przypomnij sobie:. Co to jest równanie /nierówność? Rodzaje nierówności. Ogólnie: Równaniem nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Studnia skończona. Heterostruktury półprzewodnikowe studnie kwantowe (cd) Heterostruktury mogą mieć różne masy efektywne w różnych obszarach:

Studnia skończona. Heterostruktury półprzewodnikowe studnie kwantowe (cd) Heterostruktury mogą mieć różne masy efektywne w różnych obszarach: Heterostruktury półprzewodnikowe studnie kwantowe (cd) Studnia skończona Heterostruktury mogą mieć różne masy efektywne w różnych obszarach: V z Okazuje się, że zamiana nie jest dobrym rozwiązaniem problemu

Bardziej szczegółowo

Przegląd termodynamiki II

Przegląd termodynamiki II Wykład II Mechanika statystyczna 1 Przegląd termodynamiki II W poprzednim wykładzie po wprowadzeniu podstawowych pojęć i wielkości, omówione zostały pierwsza i druga zasada termodynamiki. Tutaj wykorzystamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 13 Mechanika Kwantowa

Wykład 13 Mechanika Kwantowa Wykład 13 Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński mrow@if.pw.edu.pl Wydział Fizyki Politechnika Warszawska 25 maja 2016 Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 13 25 maja 2016 1 / 21 Wprowadzenie Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej

Bardziej szczegółowo

R R. dt w 1 (t) w 2 (t), forma b Q przybiera postać. 175 f 3 f

R R. dt w 1 (t) w 2 (t), forma b Q przybiera postać. 175 f 3 f WIELOMIANY LEGENDRE A DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA) R R Rozważmy przestrzeń wektorowa V := R [ ] [,] na ciałem R wielomiany owolnego stopnia na ocinku omkniȩtym [, ]), wyposażona w formȩ kwaratowa

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Pole temperatury - niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu)

Pole temperatury - niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu) PODSAWY WYMIANY CIEPŁA. Postawowe pojęcia w wymianie ciepła Sposoby transportu ciepła: przewozenie konwekcja - swobona - wymuszona promieniowanie ransport ciepła w ciałach stałych obywa się na roze przewozenia.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

OPTOELEKTRONIKA IV. ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE WEWNĘTRZNE W PÓŁPRZEWODNIKACH.

OPTOELEKTRONIKA IV. ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE WEWNĘTRZNE W PÓŁPRZEWODNIKACH. 1 IV. ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE WEWNĘTRZNE W PÓŁPRZEWODNIKACH. Cel ćwiczenia: Wyznaczenie postawowych parametrów spektralnych fotoprzewozącego etektora poczerwieni. Opis stanowiska: Monochromator-SPM- z

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Teoria Przekształtników - Kurs elementarny

Teoria Przekształtników - Kurs elementarny W. PRZEKSZTAŁTNIKI SIECIOWE 1 ( AC/DC; AC/AC) Ta wielka grupa przekształtników swą nazwę wywozi z tego, że są one ołączane bezpośrenio o sieci lub systemu energetycznego o napięciu przemiennym 50/60 Hz

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga . Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga Piotr Szańkowski I. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Kolejnym punktem naszej jest ogólna struktura matematyczna mechaniki kwantowej, która jest strukturą przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

METODY WZMACNIANIA KONSTRUKCJI STALOWYCH STRENGTHENING OF STEEL STRUCTURES CONCEPTS AND THEIR APPLICATIONS

METODY WZMACNIANIA KONSTRUKCJI STALOWYCH STRENGTHENING OF STEEL STRUCTURES CONCEPTS AND THEIR APPLICATIONS Mateusz Kuśnierek, Maciej Maciejak I rok (stuia II stopnia) Koło Naukowe KONKRET przy Katerze Konstrukcji Betonowych Politechnika Wrocławska Opiekun naukowy referatu r inż. T. Trapko METODY WZMACNIANIA

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Przejścia optyczne w strukturach niskowymiarowych

Przejścia optyczne w strukturach niskowymiarowych Współczynnik absorpcji w układzie dwuwymiarowym można opisać wyrażeniem: E E gdzie i oraz f są energiami stanu początkowego i końcowego elektronu, zapełnienie tych stanów opisane jest funkcją rozkładu

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Jacek Kredenc Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Zadanie 1 Zastosujmy trójkąt Paskala 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Przy iloczynie będzie stał współczynnik 3. Zatem Odpowiedź : C Zadanie

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0, Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWA SPECYFIKACJA TECHNICZNA D.02.01.01 45112000-5. WYKONANIE WYKOPÓW W GRUNTACH NIESKALISTYCH. CPV: Roboty ziemne i wykopaliskowe.

SZCZEGÓŁOWA SPECYFIKACJA TECHNICZNA D.02.01.01 45112000-5. WYKONANIE WYKOPÓW W GRUNTACH NIESKALISTYCH. CPV: Roboty ziemne i wykopaliskowe. SZCZEGÓŁOWA SPECYFIKACJA TECHNICZNA D.02.01.01 45112000-5 WYKONANIE WYKOPÓW W GRUNTACH NIESKALISTYCH. CPV: Roboty ziemne i wykopaliskowe. 32 1. WSTĘP 1.1. Przemiot ST Przemiotem niniejszej specyfikacji

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub

Bardziej szczegółowo

Opcje III. 1. Opcje na indeksy

Opcje III. 1. Opcje na indeksy . Opcje na ineksy Opcje III Na wielu giełach notowane są opcje na ineksy giełowe, w których instrumentem bazowym jest ineks. Najbarziej popularnymi opcjami ineksowymi są: opcja na ineks S&P500 (opcja typu

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e.

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Filip Piękniewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika http://www.mat.umk.pl/ philip 17 grudnia 2009 Filip Piękniewski,

Bardziej szczegółowo

Regulamin Opcje na stopy procentowe

Regulamin Opcje na stopy procentowe Regulamin Opcje na stopy procentowe Warszawa, Listopa 2013 mank.pl Spis treści: Rozział I Postanowienia ogólne...3 Rozział II Warunki transakcji sprzeaży opcji na stopy procentowe...4 Rozział III Zasay

Bardziej szczegółowo

4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że

4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że 4. Równania Caucy ego Riemanna Niec Ω C będzie zbiorem otwartym i niec f : Ω C. Mówimy, że f ma w punkcie a Ω pocodną w sensie zespolonym (jest olomorficzna w a równą c C, jeśli f(z f(a lim = c. z a Piszemy

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadanie Zbadać czy wektor v mażna przedstawić jako kombinację liniową wektorów e i

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Model dopasowywania się cen na rynku

Model dopasowywania się cen na rynku Model dopasowywania się cen na rynku autor: Milena Ścisłowska Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego, wydział Matematyczno Przyrodniczy Warszawa 2013 Prosty model rynku - kupujący i sprzedający na

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTEMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) III... Uczeń posługuje się w obliczeniach pierwiastkami i stosuje prawa działań na pierwiastkach. 7 6 6 =

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hurnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej. Praca inżynierska.

Akademia Górniczo-Hurnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej. Praca inżynierska. Akademia Górniczo-Hurnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Praca inżynierska Jacek Mostowicz kierunek studiów: fizyka techniczna specjalność: fizyka komputerowa

Bardziej szczegółowo

KOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO

KOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO Aleksandra Nogała nauczycielka matematyki w Gimnazjum im. Macieja Rataja w Żmigrodzie olanog@poczta.onet.pl KONSPEKT ZAJĘĆ ( 2 godziny) KOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO TEMAT

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO Na egzaminie magisterskim student powinien: 1) omówić wyniki zawarte w pracy magisterskiej posługując się swobodnie pojęciami i twierdzeniami zamieszczonymi w pracy

Bardziej szczegółowo