NIESTABILNOŚĆ ROZWIĄZAŃ RÓWNAŃ STATYKI WYBRANYCH TYPÓW UKŁADÓW PRĘTOWYCH W WYSOKIEJ TEMPERATURATURZE

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN X 33, s. -, Gliwice 007 NIESABILNOŚĆ ROZWIĄZAŃ RÓWNAŃ SAYKI WYBRANYCH YPÓW UKŁADÓW PRĘOWYCH W WYSOKIEJ EMPERAURAURZE JERZY PILŚNIAK Katedra eorii Kostrukcji Budowlaych, Politechika Śląska jerzy.pilsiak@polsl.pll Streszczeie. Oddziaływaie wysokiej temperatury a stalowe elemety kostrukcyje powoduje uaktywieie procesów reologiczych, które, w uproszczeiu, moża opisać za pomocą rówań pełzaia w wersji potęgowej. Pełe rówaia fizycze opisujące jedowymiarowy sta aprężeia zawierają trzy składiki: liiowy (sprężystość, rozszerzalość liiowa), ieliiowy oraz związay z pełzaiem.. WSĘP Stalowe układy prętowe poddae wpływom pożaru wykazują cechy ieliiowe, plastycze oraz reologicze. Na podstawie map Ashby'ego moża zauważyć, że w temperaturze dochodzącej do /3 temperatury topieia, przy stosukowo iskich aprężeiach (do około 0.5 graicy wytrzymałości stali) domiujący wpływ a prędkość odkształceń ma pełzaie. akie waruki mogą występować w słabo oraz średio obciążoych prętowych układach stalowych poddaych wpływom pożaru [,3]. W pracy podjęto próbę ocey stabilości rówań statyki opisujących płaskie układy prętowe. Szczegółowa aaliza dotyczyła dwóch klas układów: ściskay słup prosty podday stałej (wysokiej) temperaturze. Dla tego układu określoo czas krytyczy ziszczeia. W opracowaiu starao się określić wpływ poszczególych składików rówaia kostytutywego a przebieg rozwiązaia. utwierdzoy i ściskay słup prosty w czasie schładzaia. Dla szczególych daych materiałowych rozwiązaia statyki okazały się iestabile powodem iestabilości jest w tym przypadku samo rówaie kostytutywe. Istotym czyikiem jest wzrost wartości modułu sprężystości w trakcie spadku temperatury. Rozpatrywae układy są obciążae mechaiczie (stałe w czasie obciążeie) oraz występuje wpływ iemechaiczy w postaci stałej lub zmieej temperatury. Wpływ temperatury jest a tyle duży, że ujawiają się reologicze cechy materiału. W rozważaiach przyjęto założeie o małych deformacjach układów (tak więc aalizowae były tylko iewielkie,,odchyleia'' geometrii układu od stau wyjściowego). Rówaia statyki staowią układ rówań różiczkowych typowy dla zagadień dyamiki. Rówaia te aalizowae były pod kątem stabilości rozwiązań. Wyiki aalizy stabilości rówań, uzyskae przez autora:

2 0 J. PILŚNIAK dla pierwszego układu w rozwiązaiu rówań statyki pojawia się efekt blow-out, określoo czas krytyczy ziszczeia oraz porówao uzyskae wyiki dla obliczeń wcześiejszych (patrz p. koferecja,,modelowaie w Mechaice, Wisła 006). dla drugiego układu (schładzay słup ściskay) zalezioo, że rozwiązaia rówań statyki wykazują cechy iestabile ale tylko dla szczególych wartości stałych materiałowych. Autor starał się oszacować obszary rozwiązań iestabilych... Ważiejsze ozaczeia E ( ) - moduł sprężystości m, α ( ) - wielkości związae składikiem ieliiowym, α ( ) - wielkości związae z ieliiowym pełzaiem g, A - grubość oraz pole przekroju stopki ` x, x - współrzęde: wzdłuż oraz prostopadle do osi słupa u,u - przemieszczeie wzdłuż oraz prostopadle do osi słupa tkr - czas krytyczy wyboczeia y - maksymale ugięcie słupa dla t=0 α m - współczyik rozszerzalości termiczej. CZAS KRYYCZNY WYBOCZENIA SŁUPA O WŁASNOŚCIACH REOLOGICZNYCH Rozważaia dotyczą wyboczeia ściskaego słupa prostego poddaego wpływom stałej temperatury. Na podstawie rówań statyki oszacowao czas krytyczy wyboczeia... Rówaia kostytutywe Rówaia kostytutywe opisujące własości stali w podwyższoej temperaturze uwzględiają cechy sprężyste, ieliiowe oraz reologicze (ieliiowe pełzaie opisae prawem potęgowym) []: ε = + α ( ) mσ + α ( ) σ () E( ) W rówaiu tym założoo, że temperatura jest stała w czasie i przestrzei, liczby,m są traktowae jako ieparzyste:.. Rówaia kostytutywe x = x x. W rozważaiach upraszczamy przekrój poprzeczy, zakładając, że: g < < b oraz grubość środika jest zaczie miejsza iż g (por. rysuki oraz ). Słup traktujemy jako smukły, dlatego możemy przyjąć że N /( A) 0 oraz: oz A = gb, σ = σ = σ () M M M Aσ h σ = = (3) Ah Ah

3 Niestabilość rozwiązań rówań statyki wybraych typów układów prętowych... Dla włókie rozciągaych: Rys.. Schemat statyczy ε = h h κ ε = κ (4) Podstawiając rówaia ()-(4) do (): h M M M M κ = + α m + α AhE Ah Ah ha (5) ( ) ( ) Rys.. Wyidealizoway przekrój dwuteowy po zamiaie ozaczeń: κ = c em + c pm M + cvm (6).3. Rówaia statyki ściskaego słupa Korzystając z tradycyjego zapisu rówaia różiczkowego osi odkształcoej możemy wyrażeie (6) zapisać w formie (rysuek ): = c Pu + c ( Pu ) Pu c ( Pu ) (7) czyli: u, e p + v m m u, = cepu + c p P u u + cv P u (8) Waruki brzegowo-początkowe: u ( t, x = 0) = 0, u( t, x = L) = 0, u(0, x ) = f0( x) Nieliiowe cząstkowe rówaie różiczkowe (8) wraz z warukami (9) staowią matematyczy opis utraty stateczości poprzez wyboczeie gięte słupa ściskaego. Wprowadzoo ozaczeie: = m f ( 0 / )..4. Aaliza rówaia (8) y oz (9)

4 J. PILŚNIAK Rozwiązaie rówaia (8) moża uzyskać poprzez rozdzieleie zmieych: u ( t, x) = τ ( t) ξ ( x ) z warukami τ (0) =, ξ (0) = 0, ξ (L) = 0 (0) tylko wtedy gdy m=. Jeśli założymy, że m= to będzie możliwa aaliza stabilości wyrażeia (8) dokoaa jedak kosztem mocego ograiczeia a część ieliiową rówaia kostytutywego (). Autor uzał jedak, że ze względu a możliwość aalizy jakościowej warto przyjrzeć się takiemu rozwiązaiu. Po rozdzieleiu zmieych będziemy mieli dwa zależe, ieliiowe, zwyczaje rówaia różiczkowe: ξ '' c P c P + cvp e ξ p τ τ τ = = C R () ξ τ Aaliza części przestrzeej Przestrzea (zależa od współrzędej x ) część rówaia (): ξ '' + cepξ + Cξ = 0 () Do aalizy wykorzystamy przybliżoe rozwiązaie a okres drgań ieliiowego oscylatora []: ym L = Τ0 = π ym y m (3) 5 ( cepξ + Cξ ) dξ Otrzymujemy wartość stałej C: Aaliza części czasowej C 0 ( + 4)( π c PL ) e = 5L ym Czasowa (zależa od czasu t) część rówaia (): cvp τ τ = (5) C c P τ Warto zauważyć, że rówaie to jest iestabile dla τ = τ ( t ) dla którego zachodzi: p 0 kr τ = ± C c P τ p 0 = 0 (6) Pełe rozwiązaie rówaia różiczkowego (5): C cv P t + cpp l( τ ) + = K (7) ( ) τ Z waruku (0) τ ( 0) = wyika: C K = (8) ( ) Po zastosowaiu rówań (4), (6),(8) do rówaia (7) mamy końcowe wyrażeie a czas krytyczy (w formie uwikłaej): c P v (4) c P ( π c PL ) p ( + 4) e tkr + c pp l( 0) + = 5( ) L ym τ (9)

5 Niestabilość rozwiązań rówań statyki wybraych typów układów prętowych... ( ) ( + 4) π cepl gdzie: τ 0 =. Na rys. 3 przedstawioo jakościowy obraz zależości (9). 5c L P y p m Warto zwrócić uwagę, że t kr = 0 dla sprężystej siły krytyczej (taki sam wyiki uzyskuje się bez ieliiowego składika w rówaiu () patrz referat a koferecji,,modelowaie w Mechaice 006 ). y m Rys.3. Wykres zależości t P / P, y ) kr ( kr m 3. ANALIZA SABILNOŚCI UWIERDZONEGO SŁUPA PRZY ZMIENNEJ EMPERAURZE Rozważaia dotyczą aalizy stabilości rówań statyki słupa prostego obustroie utwierdzoego przy zmieym w czasie obciążeiu termiczym. Rówaia kostytutywe miały postać (składik ieliiowy pomiięto): σ = + α ( ) σ + α ( ) ε (0) E( ) Zakładamy: = cost., α = 0 : E ε = σ + α σ + α () E E Rozważamy zagadieie jedorode, jedowymiarowe z warukiem ε = 0 : E = σ α Eσ α E () E gdzie liczba jest traktowaa jako liczba ieparzysta tz. ( x) = x. Dla procesu ochładzaia zachodzi < 0 E > 0. Rówaie () może mieć trzy pukty stacjoare wyliczoe z rówaia (3): 3

6 4 J. PILŚNIAK E 0 = σ α Eσ α E (3) E Rys.4. Obszary stabile oraz iestabile Pukt stacjoary środkowy może być puktem iestabilym (dla pewych kofiguracji daych materiałowych) jako to pokazao a rysuku 4. LIERAURA. Odqvist F. K. G.: Mathematical theory of creep ad creep rupture, Claredo Press, Oxford, Jaworski B. M., Dietłaf A. A.: FIZYKA poradik ecyklopedyczy, PWN, Warszawa, Kubik J., Skowroński W.: Oszacowaie czasu krytyczego dla pręta stalowego w czasie pożaru, XXXVIII Koferecja Naukowa KILiW PAN i KN PZIB, stroy 53-58, Kryica, (99). INSABILIY OF SAICAL SOLUIONS OF SELECED KIND OF SEEL FLA SRUCURES IN HIGH EMPERAURE Summary. Steel structures subjected to fire reveal oliear, plasticity ad creep. his work is iteded as a attempt to stability of static equatios of flat, steel structures i fires. High temperature durig fire adversely affects costructioal steel elemets by activatig irreversible rheological processes that ca be

7 Niestabilość rozwiązań rówań statyki wybraych typów układów prętowych... described i simplified form by power term. Physical equatios cotai three terms: liear (elasticity), oliear ad rheological (related to creep). 5