Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 12
|
|
- Bartłomiej Orzechowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Udowodnij, że dla dowolnych punktów x n, x w przestrzeni metrycznej E δ xn δ x wtedy i tylko wtedy gdy x n x. 2. Wykaż, że 1 n n k=1 δ k/n λ, gdzie λ jest miar a Lebesgue a na [0, 1]. 3. Udowodnij, że jeśli X n c gdzie c jest sta l a to X n c wed lug prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe X n, X przyjmuj a tylko wartości ca lkowite. Wykaż, że X n X wtedy i tylko wtedy gdy P (X n = k) P (X = k) dla wszystkich liczb ca lkowitych k. 5. Udowodnij, że N (a n, σ 2 n) N (a, σ 2 ) wtedy i tylko wtedy gdy a n a, σ 2 n σ Niech g Xn, g X bȩd a gȩstościami rzeczywistych zmiennych losowych. Wykaż, że jeśli g Xn (t) g X (t) dla p.w. t to X n X. 7. Udowodnij, że jeśli X n X, p > 0 oraz sup n E X n p < to E X p <, ale niekoniecznie E X n p E X p. Jest to jednak prawd a gdy dla pewnego ε > 0, sup n E X n p+ε <. 8. Niech x (0, 1) bȩdzie liczb a niewymiern a. Wykaż,że 1 n n δ {kxmod1} λ, k=1 gdzie λ jest miar a Lebesgue a na [0, 1]. Co siȩ dzieje, gdy x jest wymierne? 9. a) Wykazać, że dla rzeczywistych zmiennych losowych X n X wtedy i tylko wtedu gdy istniej a zmienne losowe X n X n i X X takie, że Xn jest zbieżny do X wed lug prawdopodobieństwa. b) Udowodnij powyższe stwierdzenie gdy X n, X maj a wartości w dowolnej przestrzeni metrycznej (E, ρ). 10. Udowodnij, że jeśli dla wszystkich n, X n jest niezależne od Y n, X niezależne od Y oraz X n X i Y n Y to (X n, Y n ) (X, Y ). 11. Wykaż, że d(µ, ν) = inf{ε : t F µ (t ε) ε < F ν (t) < F µ (t + ε) + ε} definiuje metrykȩ na wszystkich rozk ladach probabilstycznych na R zgodn a ze s lab a zbieżności a (tzn. µ n µ d(µ n, µ) 0). 12. Zmienne losowe X n s a niezależne. Wykaż, że n=1 X n jest zbieżny wed lug rozk ladu wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny wed lug prawdopodobieństwa. 1
2 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Wykaż, że jeśli X n X oraz dystrybuanta F X jest ci ag la to F Xn zbiega jednostajnie do F X. 2. Niech X n bȩdzie pierwsz a wspó lrzȩdn a rozk ladu jednostajnego na kuli jednostkowej w R n. Udowodnij, że nx n N (0, 1). 3. Wykaż, że rodzina zmiennych N (a α, σ 2 α) jest ciasna wtedy i tylko wtedy gdy sup α a α <, sup α σ 2 α <. 4. Udowodnij, że twierdzenie Prochorowa zachodzi na przestrzeni polskiej tzn. metrycznej, zupe lnej, ośrodkowej. 5. Oblicz funkcje charakterystyczne podstawowych rozk ladów tzn. a) geometrycznego z parametrem p b) Poissona z parametrem λ c) dwumianowego z parametrami n, p d) jednostajnego na przedziale [a, b] e) normalnego N (a, σ 2 ) f) eksponencjalnego z parametrem λ g) Cauchy ego z parametrem h. 6. Które z nastȩpuj acych funkcji s a funkcjami charakterystycznymi: cos t, cos 2 t, 1 4 (1 + eit ) 2, 1+cos t 1 2, 2 e? it 7. Udowodnij, że jeśli ϕ X (0) istnieje to EX2 < 8. Wykaż, że dla zmiennych X przyjmuj acych tylko wartości ca lkowite zachodzi P (X = k) = 1 π e ikt ϕ X (t)dt. 2π π 9. Udowodnij, że jeśli X ma rozk lad ci ag ly z gȩstości a g to ϕ X (t) dla t. 2
3 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Funkcja ϕ jest funkcj a charakterystyczn a pewnej zmiennej losowej. Czy funkcje a)ϕ 2, b) Reϕ, c) ϕ 2, d) ϕ musz a być funkcjami charakterystycznymi? 2. Udowodnij, że zmienna losowa X jest symetryczna wtedy i tylko wtedy gdy ϕ X (t) R dla wszystkich t. 3. Udowodnij, że splot rozk ladów Cauchy ego ma rozk lad Cauchy ego? 4. Udowodnij, że jeśli ε 1, ε 2,... s a niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że P (ε i = ±1) = 1/2 to zmienna n=1 2 n ε n ma rozk lad jednostajny na [ 1, 1]. 5. Znajdź zmienne losowe X, Y takie, że ϕ X+Y = ϕ X ϕ Y oraz zmienne X, Y s a zależne. 6. a) Udowodnij, że ϕ(x) = (1 x )I ( 1,1) (x) jest funkcj a charakterystyczn a b) Udowodnij, że jeśli ϕ : R R jest parzysta, wypuk la i malej aca na [0, ), kawa lkami liniowa oraz ϕ(0) = 1 to ϕ jest funkcj a charakterystyczn a. c)udowodnij, że jeśli ϕ : R R jest parzysta, wypuk la i malej aca na [0, ) oraz ϕ(0) = 1 to ϕ jest funkcj a charakterystyczn a. 7. Wykaż, że funkcja e t α a) jest funkcj a charakterystyczn a dla 0 < α 1 b) nie jest funkcj a charakterystyczn a dla α > 2 c) jest funkcj a charakterystyczn a dla 1 < α Zmienna X ma funkcjȩ charakterystyczn a ϕ X (t) = e t α dla pewnego α (0, 2]. Co można powiedzieć o rozk ladzie zmiennej ax + by, gdzie a, b R, a Y jest niezależn a kopi a X. 3
4 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Udowodnij, że uk lad trójk atny X n,k = X k n, k = 1,..., n, gdzie X 1, X 2,... s a niezależnym zmiennymi losowymi o wspólnym rozk ladzie spe lnia warunek Lindeberga. 2. Rzucamy 1000 razy kostk a. Oszacuj prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek bȩdzie miȩdzy 3400 a Niech X 1, X 2,... bȩd a niezależnym zmiennymi losowymi takimi, że P (X n = ±1) = 1 2 (1 1 n 2 ), P (X n = ±n) = 1 2n 2. Udowodnuj, że V (X n ) 2 oraz X 1 + X X n n N (0, 1) wed lug rozk ladu. 4. Wykaż, że warunek Lyapunowa δ>0 lim E X n,k EX n,k 2+δ = 0 n k k n implikuje warunek Lindeberga (zak ladamy, że s 2 n σ 2 ). 5. Zmienne X λ maj a rozk lad Poissona z parametrem λ. Wykaż, że 6. Udowodnij, że X λ λ λ N (0, 1) wed lug rozk ladu gdy λ. lim n k n e n k! = 1 2. k n 7. Zmienne X 1, X 2,... s a niezależne oraz P (X i = a) = P (X i = 1/a) = 1/2 dla pewnego a > 1. Wykaż, że zmienne Z n = (X 1 X 2 X n ) 1/ n s a zbieżne wed lug rozk ladu i znajdź rozk lad graniczny. 8. Dana jest zmienna losowa X taka, że EX 2 < oraz X 1 2 (Y + Z), gdzie Y, Z s a niezależnymi kopiami X. pewnego σ 0. Wykaż, że X N (0, σ 2 ) dla 4
5 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Podaj przyk lad zależnych zmiennych losowych X, Y o rozk ladzie N (0, 1) takich, że Cov(X, Y ) = Udowodnij, że zmienna X N (a, B) ma gȩstośś wtedy i tylko wtedy gdy B jest odwracalne oraz, że w tym ostatnim przypadku wynosi ona detc (C(x a),x a) g X (x) = e 2, gdzie C = B 1. (2π) d/2 3. Za lóżmy, że zmienne X n = (X n,1, X n,2,..., X n,n ) maj a rozk lad jednostajny na kuli B(0, n) o środku w 0 i promieniu n. Wykaż, że dla każdego k, zmienne (X n,1, X n,2,..., X n,k ) zbiegaj a wed lug rozk ladu do N (0, Id k ). 4. Niech X 1, X 2,... bȩdzie ci agiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozk ladzie takim, że EX i = 0, EX 2 i = 1 oraz S n (t) = 1 n ı [nt] X i dla t 0, n = 1, 2,.... Udowodnij, że dla dowolnych 0 t 1 < t 2 <... < t k ci ag wektorów losowych (S n (t 1 ), S n (t 2 ),..., S n (t k )) jest zbieżny wed lug rozk ladu. Jak wygl ada rozk lad graniczny? 5
6 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Zmienne τ i σ s a momentami zatrzymania. Wykaż, że τ σ, τ σ, τ +σ s a momentami zatrzymania. Czy τ 1, τ +1 też s a momentami zatrzymania (przyj ać T = N)? 2. Zmienne losowe (X n ) s a adaptowalne wzglȩdem filtracji (F n ) n=0. Udowodnij, że nastȩpuj ace zmienne losowe s a momentami zatrzymania dla dowolnego zbioru borelowskiego B a) τ 1 = inf{n : X n B} - pierwsza wizyta w zbiorze B b) τ k = inf{n > τ k 1 : X n B}, k = 2, 3,... - k-ta wizyta w zbiorze B. 3. Wykaż, że jeśli τ, σ s a momentami zatrzymania (T = N) to a) jeśli τ t to F τ = F t b) jeśli τ < σ to F τ F σ c) A F τ wtedy i tylko wtedy gdy A F oraz A {τ = t} F t dla wszystkich t. 4. Zmienne τ i σ s a momentami zatrzymania wzglȩdem filtracji (F n ) n=0. Udowodnij, że {τ < σ}, {τ σ}, {τ = σ} F τ F σ oraz F τ F σ = F τ σ. 5. Niech X 1, X 2,... bȩd a niezależnymi zmienymi losowymi takimi, że P (X i = ±1) = 1/2, S n = X 1 + X X n oraz τ = inf{n : S n = 1}. Wykaż, że Eτ =. 6. Zmienne X 1, X 2,... s a niezależne oraz E X i < dla wszystkich i. Udowodnij, że M n = X 1 X 2 X n jest martynga lem wzglȩdem F n = σ(x 1,..., X n ) wtedy i tylko wtedy gdy EX i = 1 dla wszystkich i lub X 1 = 0 p.n.p. 7. Niech S n = X 1 +X X n oraz F n = σ(x 1,..., X n ), gdzie X 1, X 2,... s a niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozk ladzie takim, że EXi 2 <. Znajdź liczby a n, b n dla których Sn 2 + a n S n + b n jest martynga lem wzglȩdem F n. 8. Zmienne X 1, X 2,... s a niezależne o wspólnym rozk ladzie N (0, 1), S n = X 1 + X X n oraz F n = σ(x 1,..., X n ). Dla λ > 0 znajdź liczby a n takie, że (e λsn an, F n ) jest martynga lem. 6
7 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Niech (X n, F n ) bȩdzie adaptowalnym ci agiem ca lkowalnym. Udowodnij, że jest on martynga lem wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ograniczonego momentu zatryzmania τ, EX τ = EX Niech (X n, F n ) bȩdzie adaptowalnym ci agiem ca lkowalnym. Udowodnij, że X n = Y n + Z n, gdzie Y n jest martynga lem, a Z n ci agiem prognozowalnym. Wykaż, że X n jest nadmartynga lem wtedy i tylko wtedy gdy Z n jest niemalej acy. 3. Egzaminator przygotowa l na egzamin 20 zestawów pytań. Każdy z 15 zdaj acych studentów losuje 1 zestaw, który później nie jest już używany. Student S zna odpowiedź na dok ladnie 10 z 20 zestawów. Od wychodz acych z egzaminu dowiaduje siȩ jakie pytania s a już wylosowane. Jaka jest optymalna strategia (wybór momentu wejścia na egzamin) maksymalizuj aca szanse zdania egzaminu przez S? 4. X 1, X 2,... s a niezależnymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozk ladzie takim, że EX 2 i <. Udowodnij, że E(S τ τex 1 ) 2 = EτV (X 1 ). 5. X 1, X 2,... s a niezależnymi zmiennymi losowymi, zaś t liczb a rzeczywist a tak a, że ϕ Xn (t) 0 dla n = 1, 2,.... Udowodnij, że e itsn j n ϕ X j (t), gdzie S n = X 1 + X X n jest martynga lem wzglȩdem filtracji generowanej przez (X n ). Wywnioskuj st ad, że n=1 X n zbiega wed lug rozk ladu wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny p.n.p. 6. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania (przy skończonym kapitale obu graczy) w grze or la i reszkȩ monet a niesymetryczn a. 7. Oblicz średni czas oczekiwania na ruinȩ któregoś z graczy w grze or la i reszkȩ a) monet a symetryczn a b) monetȩ niesymetryczn a. 8. Gracz A dysponuje nieskończonym kapita lem. Ile wynosi średni czas oczekiwania na wygranie 1 z l. przez A w grze or la i reszkȩ a) monet a symetryczn a b) monetȩ niesymetryczn a. 9. Podaj przyk lad martynga lu X n takiego, że X n 0 p.n.p. oraz E X n. 10. Niech (X n, F n ) 0 n= bȩdzie martynga lem (z tzw. czasem odwróconym). Udowodnij, że granica X = lim n X n istnieje. Co można powiedzieć o X? 7
8 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Podaj przyk lad martynga lu takiego, że sup n E X n <, który nie jest zbieżny w L Udowodnij, że dla podmartynga lu (X n, F n ) n=0 t>0 P ( max 1 k n X k > t) 3 max 1 k n E X k t oraz w przypadku X n 0 lub X n 0 dla wszystkich n, sta l a 3 można zamienić na Wyprowadź z poprzedniego zadania nierówność Ko lmogorowa k P ( max X i > t) 1 1 k n t 2 i=1 n EXi 2 i=1 dla niezależnych zmiennych losowych X i takich, że EX i = Udowodnij, że istnieje sta la C < taka, że dla dowolnego martynga lu (X n, F n ) n=0 zachodzi E sup n X n C(1 + sup E X n ln + X n ). n 5. Udowodnij, że jeśli zmienne losowe X n s a zbieżne w L p, p 1 to X n p jest jednostajnie ca lkowalny (zatem X n X w L p wtedy i tylko wtedy gdy X n X wed lug prawdopodobieństwa oraz X n p jest jednostajnie ca lkowalny). 6. Wykaż, że jeśli X t i Y t s a jednostajnie ca lkowalne to dla dowolnych a, b R, ax t + by t jest jednostajnie ca lkowalny. 7. Znajdź jednostajnie ca lkowalny ci ag X n taki, że E sup n X n =. ϕ(x) 8. Niech ϕ : R + R + spe lnia warunek lim x x =. Wykaż, że jeśli sup t Eϕ( X t ) < to (X t ) jest jednostajnie ca lkowalny. 9. Dany jest ci ag zmiennych losowych X 1, X 2,... o jednakowym rozk ladzie taki, że E X i <, niech S n = X X n, F n = σ(s n, S n+1,... ). a) Udowodnij, że ( Sn n, F n) jest martynga lem z czasem odwróconym. b) Wywnioskuj st a silne prawo wielkich liczb Ko lmogorowa Sn n EX i p.w. i w L 1. 8
9 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Dany jest zbiór przeliczalny E i funkcje borelowskie ϕ n : E R R, n = 1, 2,... (przyjmujemy, że wszystkie podzbiory E s a mierzalne). Zmienne losowe X 0 o wartościach w E i U 1, U 2,... o wartościach rzeczywistych s a niezależne. Udowodnij, że ci ag (X n ) n=0 zdefiniowany rekurencyjnie wzorem X n+1 = ϕ n (X n, U n ) jest lańcuchem Markowa. 2. Dwa lańcuchy Markowa (X n ), (Y n ) z macierz a przejścia P s a niezależne. Udowodnij, że Z n = (X n, Y n ) też jest lańcuchem Markowa i znajdź jego macierz przejścia. 3. Zmienne ε 0, ε 1,... s a niezależne oraz P (ε i = ±1) = 1/2. Czy ci agi X n = ε n ε n+1, Y n = ε n + ε n+1 s a lańcuchami Markowa? 4. (X n ) jest lańcuchem Markowa o wartościach w E. Czy dla dowolnej funkcji f : E E, (f(x n )) musi być lańcuchem Markowa? 5. Zmienne X 0, X 1,... s a niezależne oraz P (X i = 1) = 1 P (X i = 1) = p (0, 1), S n = X 1 + X X n, M n = max(s 1, S 2,..., S n ). Które z ci agów S n, M n, M n S n s a lańcuchami Markowa? Znajdź odpowiednie macierze przejścia. 6. Udowodnij, że lańcuch Markowa jest nieprzywiedlny wtedy i tylko wtedy gdy nie ma w laściwych podzbiorów zamkniȩtych. 7. Wykaż, że skończony lańcuch Markowa ma przynajmniej jeden stan powracaj acy. 8. Rozpatrzmy b l adzenie w Z k z macierz a przejścia p x,y = 1 2k gdy k i=1 x i y i = 1 oraz p x,y = 0 dla pozosta lych x, y. Dla jakich k jest to b l adzenie powracalne? 9. Wykaż, że jeśli y jest stanem chwilowym to n=0 p x,y(n) < dla wszystkich x, w szczególności lim n p x,y (n) = Udowodnij, że lańcuch Markowa jest powracaj acy wtedy i tylko wtedy gdy F x,y = 1 dla wszystkich x, y. 11. Dane s a dwa niezależne b l azenia symetryczne X n, Y n na prostej (lub ogólniej w Z k ). Czy P ( n 1 X n = Y n ) = 1 tzn. czy z prawdopodobieństwem 1 b l adzenia siȩ kiedyś przetn a? 12. Prawopodobieństwo, że bakteria ma n potomków wynosi p n dla n = 0, 1,.... Zak ladaj ac, że bakterie w ntym pokoleniu rozmnażaj a siȩ równocześnie i niezależnie udowodnij, że populacja bakterii (licz aca w chwili 0, N > 0 bakterii) nigdy nie wyginie z prawdopodobieństwem dodatnim wtedy i tylko wtedy gdy k=0 kp k > 1. 9
10 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Niech (X n ) bȩdzie nieprzywiedlnym okresowym lańcuchem Markowa na E z macierz a przejścia P i okresem d > 1. Udowodnij, że istnieje rozk lad E = S 1 S 2... S d taki, że zbiory S i spe lniaj a warunki: a) p xy > 0 x S i, y S i+1 dla pewnego i = 1, 2,..., d (przyjmujemy S d+1 = S 1 ). b) na każdym S i macierz (p xy (d)) x,y Si definiuje nieprzywiedlny, nieokresowy lańcuch Markowa. 2. W dwu urnach znajduje siȩ l acznie n kul. W każdej chwili wybieramy losowo kulȩ i przenosimy j a do innej urny. Znajdź rozk lad stacjonarny liczby kul w pierwszej urnie. 3. Ci ag niezależnych zmiennych losowych Y 1, Y 2,... ma wspólny rozk lad taki, że P (Y i = 1) = 1 P (Y i = 1) = p. Definiujemy rekurencyjnie ci ag X n wzorami X 0 = 1, X n+1 = max(x n, 1) + Y n. Wykaż, że ci ag ten jest lańcuchem Markowa. Znajdź rozk lad stacjonarny o ile istnieje. 4. Wykaż, że w powracalnym i nieprzywiedlnym lańcuchu Markowa każdy stan jest odwiedzany nieskończenie wiele razy z prawdopodobieństwem W powiecie N. syn piekarza zostaje piekarzem z prawdopodobieństwem 3/4, a syn niepiekarza z prawdopodobieństwem 1/100. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wnuk piekarza jest piekarzem? A potomek w n-tym pokoleniu? Jaki procent ludzi w N. jest piekarzem? 6. Udowodnij twierdzenie o istnieniu rozk ladu stacjonarnego dla lańcuchów z przeliczaln a przestrzeni a stanów bez używania twierdzenia Brouwera. 10
11 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Udowodnij, że dla lańcuchów Markowa ze skończon a przestrzeni a stanów E i dowolnego niepustego podzbioru F E uk lady równań p F (x) = 1 dla x F p F (x) = y E p xyp F (y) dla x / F p F (x) = 0 jeśli n y F p xy (n) = 0 m F (x) = 0 dla x F m F (x) = 1 + y E p xym F (y) dla x / F m F (x) = jeśli p F (x) < 1 maj a dok ladnie jedno rozwi azanie 2. Po wierzcho lkach sześcianu porusza siȩ w sposób losowy mucha - w każdym kroku z prawdopodobieństwem 1/3 przenosi siȩ do jednego z s asiednich wierzcho lków. Oblicz prawdopodobieństwo, że mucha powróci do punktu wyjścia nie odwiedzaj ac wcześniej przeciwleg lego wierzcho lka oraz średni a liczbȩ kroków jakie zajmie jej powrót do punktu wyjścia W zadaniach 3 6 W = (W t ) t [0, ) jest procesem Wienera 3. Udowodnij, że nastȩpuj ace procesy też s a procesami Wienera a) X t = W t (odbicie) b) Y t = c 1/2 X ct, c > 0 (przeskalowanie czasu) c) Z t = tx 1/t dla t > 0 oraz Z 0 = 0 (inwersja czasu) d) U t = X T +t X T, T 0 e) V t = X t dla t T, V t = 2X T X t dla t > T, gdzie T Udowodnij, że W t i W 2 t t s a martynga lami wzglȩdem filtracji F t = σ(w s : s t), t Udowodnij, że lim t W t t = 0 p.n.p. 6. Niech π n = {t (n) 0, t(n) 1,..., t(n) k n }, gdzie a = t (n) 0 < t (n) 1 <... < t (n) k n = b bȩdzie ci agiem podzia lów odcinka [a, b] oraz π n = max k t (n) k t (n) k 1 oznacza średnicȩ π n. Udowodnij, że S n = k n k=1 W t (n) k W (n) t 2 b a, n w L 2 (Ω, F, P ), k 1 jeśli π n 0 oraz S n b a p.n.p., jeśli n π n <. 7. Udowodnij, że prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera maj a nieskończone wahanie na każdym przedziale. 11
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podać przykład
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład
Bardziej szczegółowo3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - Mówimy, że i) ciąg miar probabilistycznych µ n zbiega słabo do miary probabilistycznej µ (ozn. µ n µ), jeśli fdµ n fdµ dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej
Bardziej szczegółowoSeria 1. Zbieżność rozkładów
Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie
Bardziej szczegółowoZadania z RP 2. seria Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n
Zadania z RP 2. seria 1. 1. Dla x R n, niech δ x oznacza miarę Diraca, skupioną w punkcie x. Wykazać, że dla dowolnego ciągu x n R n zachodzi δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x. 2. Podać przykład
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoElementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoProcesy Stochastyczne - Zestaw 1
Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoP (A B) 7. Rzucamy monet a dopóki nie wypadn a dwa or ly pod rz ad. Znaleźć prawdopodobieństwo,
Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa - 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym i F = 2 Ω. Udowodnij, że istniej a liczby p ω 0, ω Ω p ω = 1 takie, że (A)
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoZadania z Procesów Stochastycznych 1
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Definicja Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N t ) t 0 taki, że N 0 = 0; (P0) N ma przyrosty niezależne; (P1)
Bardziej szczegółowog liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoWersja testu D 14 września 2011 r. 1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1?
1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1? 2. Czy prawda jest, że a) 5 8 1 jest podzielne przez 4 ; b) 5 7 1 jest podzielne przez 4 ; c) 3
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym
Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa - 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym i F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, ω Ω p ω = 1 takie, że (A)
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoT O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.
T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla
Bardziej szczegółowoAnaliza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu
Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 4 1. Zbiory otwarte i domkniȩte Pojȩcia które teraz wprowadzimy można rozpatrywać w każdej przestrzeni metrycznej
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Bardziej szczegółowoĆwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Bardziej szczegółowoNiesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o następujących rozkładach: a) symetryczny dwupunktowy; b) dwumianowy z parametrami n, p; c) Poissona z parametrem
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA. Spis pojȩċ teoretycznych
1 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA Spis pojȩċ teoretycznych 1. Podstawowe pojȩcia: doświadczenie losowe, zdarzenie elementarne, zdarzenie losowe, przestrzeń zdarzeń elementarnych, zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, 18 września 2013 Biomatematyka
Biomatematyka Liczebność populacji pewnego gatunku jest modelowana przez równanie różnicowe w którym N k stałymi. rn 2 n N n+1 =, A+Nn 2 oznacza liczebność populacji w k tej generacji, a r i A są dodatnimi
Bardziej szczegółowoLista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.
Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoPROBABILISTYKA - test numery zestawów 1,3,5,7,9,...,41
1 numery zestawów 1,3,5,7,9,...,41 (a) Jeśli P (A) = 0.5 oraz P (B) = 0.3 oraz B A, to P (B \ A) = 0.2. (b) Przy jednokrotnym rzucie kostk a prawdopodobieństwo, że wypadnie szóstka pod warunkiem, że wypad
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowo21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać
Bardziej szczegółowonie zależy (z dok ladności a do jednostajnego homeomorfizmu) od wyboru ci agu uzbieżniaj acego c n. 1 min{n : x n y n }.
A N A L I Z A F U N K C J O N A L N A PPI 2r., sem. letni LISTY 5-9 LISTA 5 Wroc law, 14 marca - 25 kwietnia 2006 ZADANIE 1. Niech (X 1,d 1 ), (X 2,d 2 ), (X 3,d 3 ),... bȩdzie ci agiem przestrzeni metrycznych
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x
ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1 Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji f n : [, [ x nx + x nx + 1, Rozwi azanie: Mówi siȩ, że ci ag funkcji f n zd aży punktowo
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?
Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoTest numer xxx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNEK MATEMATYKA 5 LIPCA 2001 ROKU. Czas trwania egzaminu: 180 min.
Test numer xxx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNEK MATEMATYKA 5 LIPCA 001 ROKU Czas trwania egzaminu: 180 min Liczba zadań: 30 Każde zadanie sk lada sie z trzech cześci Odpowiedź do
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowo19 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym. Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 19 marzec, 2012 Przykłady procesów Markowa (i). P = (p ij ) - macierz stochastyczna, tzn. p ij 0, j p ij =
Bardziej szczegółowo5 Przegląd najważniejszych rozkładów
5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,
Bardziej szczegółowoWyk lad 5. Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu. 1. Granice niew laściwe
Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Granice niew laściwe Definicja 1 Ci ag (x n ) d aży do (jest rozbieżny do) + jeśli c R N n > N x n > c a do
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoEgzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa WNE - 10 marca 2017r., grupa A, II termin. Czas trwania egzaminu: 120 minut. Każde zadanie należy rozwiazać
Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa WNE - 10 marca 2017r., grupa A, 1. 5 kul ponumerowanych liczbami 1, 2,..., 5 umieszczono losowo w czterech urnach. a) Obliczyć wartość oczekiwana liczby urn, w których
Bardziej szczegółowo3.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady
Rozdzia l 3 Model probabilistyczny Ko lmogorowa 3.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady Przez model probabilistyczny Ko lmogorowa, zwany też przestrzeni a probabilistyczn a, bȩdziemy rozumieli nastȩpuj
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji
Bardziej szczegółowoZadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1. = 0 p.n.
Zadania ze Wstępu do Analizy Stochastycznej 1 1. Znajdź rozkład zmiennej 5W 1 W 3 + W 7. 2. Dla jakich parametrów a i b, zmienne aw 1 W 2 oraz W 3 + bw 5 są niezależne? 3. Znajdź rozkład wektora losowego
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
Topologia I Notatki do wyk ladu LITERATURA UZUPE LNIAJA CA R. Duda, Wprowadzenie do topologii, czȩść I. R. Engelking, Topologia ogólna. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstȩp do topologii. W. Rudin, Podstawy
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być na
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoczastkowych Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: karpinw adres strony www, na której znajda
Zadania z równań różniczkowych czastkowych Za l aczam adres strony www, na której znajda Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: http://math.uni.lodz.pl/ karpinw Zadanie 1. Znaleźć wszystkie rozwiazania
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji
Bardziej szczegółowoLOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowo28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z procesów stochastycznych zadania Semestr I, 2 st. Analityk Danych, Matematyka Finansowa 2018/2019. Lista 1
Ćwiczenia z procesów stochastycznych zadania Semestr I, 2 st. Analityk Danych, Matematyka Finansowa 2018/2019 Lista 1 Zadanie 1.1 Niech N oznacza nieujemn a zmienn a losow a o wartościach w zbiorze liczb
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoKOLOKWIUM Z ALGEBRY I R
Instrucje: Każde zadanie jest za 4 puntów. Rozwi azanie ażdego zadania musi znajdować siȩ na osobnej artce oraz być napisane starannie i czytelnie. W nag lówu ażdego rozwi azania musz a znajdować siȩ dane
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
22 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoP(U 1 > max{u 2,..., U 1000 } U 1 = s)dp U1 (s).
Kolokwium poszło gorzej, niż miałem nadzieję, a lepiej, niż się obawiałem. Maksymalny wynik to 74 punkty na 20), średnia to 55,6, zaś mediana to 50. Grupy były dość równe w jednej średnia to 54,5, w drugiej
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje
Bardziej szczegółowoAnaliza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu
Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowo