Foliacje symetralnymi w zespolonej przestrzeni hiperbolicznej

Transkrypt

1 Foliacje symetralnymi w zespolonej przestrzeni hiperbolicznej Maciej Czarnecki Uniwersytet Lódzki 8 Forum Matematyków Polskich Lublin, 21 września 2017 r.

2 Forma hermitowska na C n+1 X Y = X 1 Y X n Y n X n+1 Y n+1 Zespolona przestrzeń hiperboliczna wymiaru (zespolonego) n jest zespolon a projektywizacj a podzbioru wektorów z C n,1 ujemnych wzglȩdem formy hermitowskiej CH n = {X C n,1 X X < 0}/C W przypadku rzeczywistej przestrzeni hiperbolicznej też można pisać H n = {x R n,1 x x = 1, x n+1 > 0} = {X R n,1 X X < 0}/R dla formy Lorentza.

3 Metryka riemannowska na CH n metryka Bergmana U V X X U X X V g x (u, v) = X X Odleg lość w CH n ( ) cosh 2 d(x, y) 2 = X Y Y X X X Y Y

4 CH n jest 2n wymiarow a rozmaitości a Hadamarda (widzialn a) o ujemnej krzywiźnie sekcyjnej zawartej pomiȩdzy 1 a 1 4. Jej brzegiem idealnym jest projektywizacja wektorów izotropowych CH n = {X C n,1 X X = 0}/C Dowolne dwa różne punkty w CH n = CH n CH n można jednoznacznie po l aczyć geodezyjn a. Przez takie punkty x, y przechodzi także dok ladnie jedna geodezyjna zespolona lin (X, Y )/C.

5 W CH n jedynymi podrozmaitościami cakowicie geodezyjnymi s a projektywizacje wektorów ujemnych zawartych w zespolnych podprzestrzeniach liniowych C n,1 lub w ca lkowcie rzeczywistych podprzestrzeni liniowych C n,1 R. Zatem podrozmaitości cakowicie geodezyjne w CH n s a izometryczne z CH k lub H k dla k = 1,..., k. Tym samym nie ma rzeczywistych hiperpowierzchni ca lkowicie geodezyjnych.

6 Hiperpaszczyzna zespolona w CH n jest izometryczna z zespolon a przestrzeni a hiperboliczn a i pochodzi od zespolonej hiperp laszczyny liniowej w C n,1. Jest wiȩc opisana jednoznacznie przez dodatni wektor (wektor biegunowy) U taki, że U U = 1. Geodezyjna zespolona jest izometryczna z H 2 CH 1. Na geodezyjn a zespolon a Σ jako na podzbir wypuk ly i domkniȩty w przestrzeni Hadamarda możemy rzutować ortogonalnie bior ac za Π Σ (x) punkt z Σ najbliższy x.

7 Symetraln a w CH n nazywamy zbiór punktów równo odleg lych od pary punktów E(x 1, x 2 ) = {y CH n d(x 1, y) = d(x 2, y)} Zespolony krȩgos lup symetralnej E(x 1, x 2 ) to geodezyjna zespolona Σ zawieraj aca punkty x 1, x 2, a krȩgos lup jest podzbiorem Σ zawartym w symetralnej σ = E Σ.

8 W lasności symetralnej Symetralne s a we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z prostymi geodezyjnymi Symetralne s a we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z nieuporz adkowanymi parami punktów z brzegu idealnego (wierzcho lki symetralnej) Symetralna E jest równo odleg la od punktu x wtedy i tylko wtedy, gdy x Σ \ σ

9 W lasności symetralnej cd. Symetralna jest rozmaitości a Hadamarda o ujemnej krzywiźnie i brzegu idealnym (sferze krȩgos lupowej) homeomorficznym z S 2n 2. Symetralna E posiada naturaln a foliacjȩ (rozk lad plastrowy) na hiperp laszczyzny zespolone E = Π 1 Σ (x) x σ Jeżeli hiperp laszczyzny zespolone H 1 i H 2 s a nadrównoleg le, to istnieje dok ladnie jedna symetralna zawieraj aca H 1 i H 2 jako plastry.

10 Opis plastrów przez wierzcho lki Jeżeli Q ± reprezentuj a wierzcho lki q ± symetralnej i s a takie, że Q Q + = 2, to wektory S(t) = 1 ( tq + 1 ) 2 t Q +, t > 0 s a wektorami biegunowymi plastrów symetralnej.

11 Foliacj a wspó lkrȩgos lupow a przestrzeni CH n nazywamy foliacjȩ symetralnymi o wspólnym krȩgos lupie zespolonym. Stwierdzenie Jeżeli Σ jest wspólnym krȩgos lupem liści foliacji klasy C 2 symetralnymi, to istnieje ortogonalna transwersala o krzywiźnie geodezyjnej nie przekraczaj acej 1. Ponadto każda foliacja geodezyjna p laszczyzny hiperbolicznej Σ generuje foliacjȩ wspó lkrȩgos lupow a. Wniosek Brzeg foliacji wspó lkrȩgos lupowej jest produktem D 2 S 2n 3.

12 Roz l aczność hiperp laszczyzn zespolonych Niech U i bȩdzie wektorem biegunowym hiperp laszczyzny zespolonej H i, i = 1, 2. Wówczas H 1 H 2 = wtedy i tylko wtedy, gdy Re U 1 U 2 1 Roz l aczność symetralnych Niech q i± bȩdd a wierzcho lkami symetralnej E i, i = 1, 2. Wówczas E 1 E 2 = wtedy i tylko wtedy, gdy istniej a takie wektory Q i± reprezentuj ace q i±, że Re Q iε Q jη = 1 o ile i j, ε, η {+, }

13 Plastry liści foliacji symetralnymi przestrzeni CH n s a liścmi foliacji ca lkowicie geodezyjnej kowymiaru 2 czyli maksymalnego możliwego. Ze wzglȩdu na wyróżnion a geodezyjn a na symetralnej nawet struktura foliacji symetralnymi (a tym bardziej pochodz acych od nich foliacji ca lkowicie geodezyjnych) może być skomplikowana w przypadku, który w H n trywializuje siȩ: symetralne ortogonalne do danej geodezyjnej w punktach swoich krȩgos lupów. Foliacje ca lkowicie geodezyjne w CH n nie musz a też pochodzić od foliacji symetralnymi.