Analiza obrazu. wykład 5. Marek Jan Kasprowicz Uniwersytet Rolniczy 2008

Save this PDF as:
Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Analiza obrazu. wykład 5. Marek Jan Kasprowicz Uniwersytet Rolniczy 2008"

Transkrypt

1 Analiza obrazu komputerowego wykład 5 Marek Jan Kasprowicz Uniwersytet Rolniczy 2008 Slajdy przygotowane na podstawie książki Komputerowa analiza obrazu R.Tadeusiewicz, P. Korohoda, oraz materiałów ze strony internetowej t autorstwa R.Tadeusiewicza

2 Plan wykładu Liczby Zespolone Transformacja Fouriera Wprowadzenie FT dla cyfrowych sygnałów jednowymiarowych Symetrie dla sygnałów jednowymiarowych FT dla obrazów cyfrowych y Symetrie dla obrazów cyfrowych Przykłady obrazów cyfrowych Przykłady charakterystycznych związków pomiędzy treścią obrazu i F-obrazem Zawartość informacji wizualnej w poszczególnych składowych F- obrazu Filtracja obrazów w dziedzinie Fouriera Marek Jan Kasprowicz Analiza obrazu komputerowego 2009 r.

3 Liczby zespolone 2 Równanie x = 1 nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. Oznaczamy literą i jeden z pierwiastków 2 równania, czyli i = 11, i nazywamy jednostką urojoną i czasem piszemy i = 1. Wyrażenie postaci a + i b, gdzie a, b R nazywamy liczbą zespoloną Liczbę a nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z = a + b i, (piszemy: a = Re(z) ), liczbę b nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z (piszemy: b = Im(z) ). Marek Jan Kasprowicz Analiza obrazu komputerowego 2009 r.

4 Liczby zespolone Działania dodawania i mnożenia liczb zespolonych określamy tak jak dla wielomianów ( a + bi) + ( c + di) = ( a + c) + ( b + d) i ( a + bi ) ( c + di ) = ( ac bd ) + ( ad + bc ) i a + b i Liczbą sprzężoną do liczby zespolonej nazywamy liczbę z * = a b i Modułem (lub wartością bezwzględną) liczby zespolonej z = a + b i nazywamy liczbę rzeczywistą z = z z + z 2 2 * = a b = Marek Jan Kasprowicz Analiza obrazu komputerowego 2009 r.

5 Transformaty Fouriera - wstęp Transformacja Fouriera umożliwia przejście z przestrzennej jdidi dziedziny obrazu x,y do jego reprezentacji w dziedzinie częstotliwości zespolonych Podstawą transformaty Fouriera jest twierdzenie, że dowolny sygnał spełniający określone warunki, można rozłożyć na nieskończoną ą liczbę ę składowych sinusoidalnych o odpowiedniej częstotliwości, amplitudzie i fazie. Zazwyczaj w praktyce przybliża się sygnał kilkoma składowymi sinusoidalnymi o odpowiednich d i częstotliwościach, tli ś i pomijając j nieskończoną liczbę składników uznawanych za nieistotne. Marek Jan Kasprowicz Analiza obrazu komputerowego 2009 r.

6 Transformaty Fouriera - wstęp Marek Jan Kasprowicz Analiza obrazu komputerowego 2009 r.

7 Transformaty Fouriera - wstęp W przypadku sygnałów (w szczególności obrazów), których elementy wykazują okresowość w strukturze transformaty Fouriera można wyróżnić dyskretne składowe. Składowa o najniższej częstotliwości jest nazywana składową ą podstawową, następne składowe o większych ę częstotliwościach są kolejno nazywane 2,3,..,n-tą harmoniczną. Dla zastosowań w przetwarzaniu obrazów cyfrowych istotna jest cyfrowa odmiana transformacji Fouriera, realizowana najczęściej ś j jako algorytm szybkiej cyfrowej transformacji Fouriera pełnej lub tylko rzeczywistej (kosinusowej). Marek Jan Kasprowicz Analiza obrazu komputerowego 2009 r.

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 Reprezentacja ciągu {-3,5,1,-2,2,-3,-1,3} za pomocą ciągów L k. Ciąg L 0 Ciąg L 1 Ciąg L 2 Ciąg L 3 Ciąg L 4 Ciąg L opisany zależnością Marek Jan Kasprowicz Analiza obrazu komputerowego 2009 r.

18 Ponieważ ciąg N liczb rzeczywistych l n jest przekształcany w równoważny w dziedzinie Fouriera w postaci 2N liczb N amplitud i N faz musi pojawić się ę jakaś nadmiarowość. Ciągi Fouriera posiadają symetrie. a) N parzyste część rzeczywista b) N parzyste część urojona Marek Jan Kasprowicz Analiza komputerowa obrazu 2008 r.

19 Gdy ciąg pierwotny jest rzeczywisty, to w dziedzinie Fouriera ciąg zespolony posiada następujące symetrie w dziedzinie amplitudy i fazy: c) N parzyste amplituda d) N parzyste faza e) N nieparzyste amplituda e) N nieparzyste faza

20 Przesunięcie w dziedzinie F. Przesunięcie elementów ciągu w dziedzinie F przeprowadza się w celu wygodniejszej interpretacji. Wszystkie elementy leżące na prawo od osi symetrii przenosi się w niezmienionym porządku na lewo od elementu k=0 i zastępuje dotychczasowe indeksy indeksami ujemnymi odpowiadającymi ich nowemu położeniu. W ten sposób dany element ciągu F w miarę wzrostu k odpowiada coraz większej częstotliwości funkcji kosinus, z której powstał dany składowy ciąg L k. Po takim przemieszczeniu dla L rzeczywistego symetrie można określić jako parzystość amplitudy i nieparzystość fazy. a) N parzyste amplituda b) N parzyste faza c) N nieparzyste amplituda d) N nieparzyste faza

21 Przesunięcie w dziedzinie F - wzory. Transformacja w przód: f N 1 j 2 π n k = β l exp N k L n n= 0 dla k N N N N =, 1,..., 101,,,..., 2, N 1 2 = βf N Transformacja odwrotna: k= 2 l n f k exp j 2 π k n dlan = 0,1,..., N 1 N N 1 N 1 N 1 N 1 k =, 1,... 1,0,1,..., 1, Możliwość zmiany zakresów zmienności indeksów we powyższych wzorach jest naturalną konsekwencją okresowości funkcji exp takiej samej, jak funkcji trygonometrycznych względem wartości 2π. Tę okresowość dla dowolnego całkowitego m zapisać można : ( ) j 2 π k n j 2 π k ± m N n Z tej zależności wynika bezpośrednio exp exp ś N = N możliwość okresowości ciągu L względem indeksu k z podstawowym okresem N.

22 Transformacja F. dla obrazów cyfrowych. Z matematycznego punktu widzenia zastosowanie dyskretnej transformacji Fouriera do obrazów cyfrowych jest stosunkowo prostym poszerzeniem odpowiednich zależności z jednego wymiaru do dwóch wymiarów. Przyjmijmy, że obraz cyfrowy to uporządkowany i ponumerowany dwuwymiarowo zbiór liczb, inaczej mówiąc ą ciąg dwuwymiarowy y o wartościach rzeczywistych: y { (, ) : 01,,... 1; 01,,..., 1 } L = L m n R m= M n = N Zwykle wartości ciągu L są nie tylko rzeczywiste, ale nawet naturalne z przedziału na przykład [0, 255] - dla pikseli opisanych ośmiobitowo. Dość często obrazy cyfrowe są kwadratowe, wtedy td M=N it tak kbędzie di we wszystkich tkih przedstawionych dalej przykładach. Marek Jan Kasprowicz Analiza obrazu komputerowego 2009 r.

23

24

25 Nawiasy kwadratowe we wzorach wskazują, że najpierw można wyznaczyć sumy wewnętrzne czyli jednowymiarowe transformaty Fouriera, na przykład dla wszystkich kolumn obrazu anastępnie tak otrzymany obraz pośredni przetransformować ponownie, ale tym razem wiersz po wierszu. Transformację dwuwymiarową można naturalnie przeprowadzić w dowolnej z dwóch kolejności - najpierw wierszami i potem kolumnami albo najpierw kolumnami a następnie wierszami. W obu przypadkach wynik będzie identyczny

26 Po etapach transformacji kolumnowej i wierszowej obraz może zostać opisany jako suma dwuwymiarowych ciągów bazowych z odpowiednimi współczynnikami: M 2 N 2 (, ) = (, ) Lmn a L mn i = 0 k = 0 ik, ik, We wzorze tym założono, że zarówno M jak N są parzyste. Każdy element ciągu bazowego L i,k można zapisać następująco za pomocą elementów ciągów jednowymiarowych zdefiniowanych według zależności: ( ) L m, n = l l i, k m, i n, k Marek Jan Kasprowicz Analiza obrazu komputerowego 2009 r.

27 Dwuwymiarowy ciąg składowy powstały z dwóch jednowymiarowych ciągów - wierszowego i kolumnowego (etapy). a) Wolnozmienny ciąg wierszowy, N=8, k=1, ϕ k =0. b) Szybkozmienny ciąg kolumnowy, M=8, i=3, ϕ i =π/2. c) Powierzchnia próbkowana w wyniku czego otrzymujemy... d)... wynikowy ciąg dwuwymiarowy.

28 Część rzeczywista i urojona transformaty i zależności fazowe. Współczynniki transformaty dwuwymiarowej są zespolone i można je interpretować w postaci części ę rzeczywistej i urojonej j lub w postaci amplitudy i fazy: F ( i, k) = A( i, k) exp( j ϕ( i, k) ) = Re( F( i, k) ) + j Im( F( i, k) ) = A( i, k) cos( ϕ( i, k) ) + j A( i, k) sin( ϕ( i, k) ) Tym razem jednak zależność pomiędzy zespolonymi współczynnikami transformaty F(i,k) oraz współczynnikami a ik jest następująca 1 aik, dla F pikseli typu 1 β L 1 1 A( i, k) = aik, dla F pikseli typu 2 2 β L 1 1 a dla F pikseli typu 3 i, k 4 β L Lokalizacja F-pikseli poszczególnych typów: z lewej dla obrazu o rozmiarach parzystych (6x6), z prawej dla obrazu o rozmiarach nieparzystych y (5x5); Typy pikseli:

29 Część rzeczywista i urojona transformaty i zależności fazowe. F-piksele typu 1 powinny być zawsze rzeczywiste. F-piksele typu 2 wiążą się z dwuwymiarowymi y ciągami bazowymi, które powstały z ciągu stałego (bez fazy) i jednej kosinusoidy (którą można przesuwać fazowo). Zarówno dla typu 1 jak i 2 łatwo jest określić związek pomiędzy odpowiednimi fazami. Natomiast dla wyjaśnienia zależności fazowych F-pikseli typu 3 wygodnie będzie przyjąć uproszczony opis F-obrazu, pomijający istnienie F-pikseli typu 1 i typu 2. Jeżeli dany F-piksel typu 3 należy do obszaru A, to jego faza jest powiązana z fazami kosinusów generujących następująco: ( ) ϕ, = ϕ + ϕ ik i k Dla F-pikseli typu 3 należących do pozostałych obszarów: BCi D wygodnie będzie Dla F-pikseli typu 3 należących do pozostałych obszarów: B, C i D, wygodnie będzie najpierw wyjaśnić symetrie zachodzące po dwuwymiarowej transformacji Fouriera obrazu cyfrowego, który przecież składa się z pikseli o wartościach bez części urojonej.

30 Symetrie. Zagadnienie symetrii zostanie omówione na przykładowych obrazach: 6x6 5x5 Pogrubione linie pokazują osie symetrii dla amplitudy, a ich punkt przecięcia określa punkt symetrii dla fazy. F-piksele oznaczone kolorem szarym nie są związane powyższymi symetriami. Są to F-piksele typu 1 i typu 2. Jednak każdy wiersz lub kolumna, która jest cała oznaczona na szaro musi spełniać warunki symetrii dotyczące ciągów jednowymiarowych. Marek Jan Kasprowicz Analiza obrazu komputerowego 2009 r.

31 Przed przesunięciem. Przesunięcie. F-piksel odpowiadający składowej stałej o wsp. (0,0) Po przesunięciu. ę Składowa stała w centrum obrazu nieparzystego Składowa stała w lewym górnym rogu prawej dolnej ćwiartki i F-obrazu b parzystego Marek Jan Kasprowicz Analiza obrazu komputerowego 2009 r.

32 Przesunięcie cd. Symetrie dla obrazu parzystego wyglądają identycznie jak przed przesunięciem. Natomiast dla obrazu nieparzystego otrzymujemy: Uproszczona ilustracja przesunięcia ę w dziedzinie F, przy pominięciu ę szczegółów związanych z pojedynczymi F-pikselami (litery nie są treścią F- obrazu a jedynie oznaczeniem jego fragmentów): a) F-obraz przed przesunięciem b) F-obraz po przesunięciu Marek Jan Kasprowicz Analiza obrazu komputerowego 2009 r.

33 Przesunięcie Do pełnego odtworzenia obrazu oryginalnego w oparciu o jego F-obraz wystarczy, jeżeli znane będą wartości amplitud F-pikseli typu 3 dowolnej ćwiartki, oraz wartości faz F-pikseli typu 3 należących do dwóch ćwiartek stykających się ze sobą krawędziami i oraz dodatkowo d wartości ś wybranych F-pikseli typu 2 i typu 1. Wyboru należałoby dokonać traktując F-piksele typu 1 i typu 2 układające się w wiersze lub kolumny tak, jak transformaty Fouriera rzeczywistych ciągów jednowymiarowych w oparciu o zachodzące w takim przypadku odpowiednie symetrie. F ( i k) A, F ( i k) C/ A, F ( i k) B/ A, F D / A( ( i, k ) a) F-obraz przed przesunięciem b) F-obraz po przesunięciu (, ) = B/ A (, ) / (, ) = C/ A(, ) (, ) = (, ) A i k A i k A A i k A i k B A A i k A i k C/ / A D / A Amplitudy ϕ ϕ A ( ik, ) = ϕ D/ A( ik, ) ( ik, ) = ϕ ( ik, ) B/ A C/ A Relacje fazowe. ( ik, ) ( ik, ) ϕ = ϕ + ϕ A i k ϕ = ϕ ϕ C/ A i k Uogólnienie i relacji fazowych.

34 Przykłady obrazów cyfrowych ii ich hf-obrazów Marek Jan Kasprowicz Analiza obrazu komputerowego 2009 r.

35 Obraz wejściowy dwie_fale (32x32) powstał z następującej zależności: 2 π m 3 π 2 π n π Lmn (, ) = cos + cos / 4 2 m = 0,. 1,..., 31 ; n = 0,,..., 1 31 Obraz pokazany jako wykres funkcji określonej na dziedzinie dwuwymiarowej. Marek Jan Kasprowicz Analiza obrazu komputerowego 2009 r.

36 Dwie_fale. a) amplituda bezpośrednio po zastosowaniu wzoru na transformatę Fouriera. b) amplituda po przesunięciu w dziedzinie F. c) amplituda po przesunięciu w dziedzinie F i zastosowaniu wzoru*. d) faza po przesunięciu w dziedzinie F. ( ) (, ) log A( i, k) LA i k = *, operacja logarytmowania amplitudy jest stosowana bardzo często ze względu na dość znaczne różnice w wartościach amplitud poszczególnych F-pikseli dla większości obrazów.

37 Dwie_fale 2. Obraz dwie_fale2 : a) prezentacja obrazu w poziomach szarości, b) obraz w postaci wykresu funkcji, c) amplituda F-obrazu (po przesunięciu w dziedzinie F), d) amplituda F-obrazu (po przesunięciu ę w dziedzinie F i operacji logarytmowania według *, e) faza F-obrazu. a) b) c) d) e)

38 Lena. Obraz Lena, o rozdzielczości 128x128: a) obraz oryginalny, b) amplituda F-obrazu, c) faza F-obrazu. a) b) c) Marek Jan Kasprowicz Analiza obrazu komputerowego 2009 r.

39 Przykłady charakterystycznych związków pomiędzy treścią obrazu i F-obrazem przedstawionym w postaci poziomów szarości Marek Jan Kasprowicz Analiza obrazu komputerowego 2009 r.

40 Obserwowanie pewnych cech obrazu na jego F-obrazie obrazie. Ilustracja powiązania wyróżnionych kierunków w obrazie i F-obrazie a) obraz pasek, b) amplituda obrazu pasek, c) faza obrazu pasek. a) b) c) Ilustracja związku pomiędzy ułożeniem krawędzi na obrazie i widokiem odpowiedniego F-obrazu: a) obraz kwadrat2, b) amplituda obrazu kwadrat2, c) faza obrazu kwadrat2. a) b) c)

41 Obserwowanie pewnych cech obrazu na jego F-obrazie obrazie. Ilustracja związku pomiędzy ułożeniem krawędzi na obrazie i widokiem odpowiedniego F-obrazu: a) obraz kwadrat3, b) amplituda obrazu kwadrat3, c) faza obrazu kwadrat3. a) b) c) Ilustracja zwiazku pomiędzy ułożeniem krawędzi na obrazie i widokiem odpowiedniego F-obrazu: a) obraz dwa_kwadraty kwadraty, b) amplituda obrazu dwa_kwadraty kwadraty, c) faza obrazu dwa_kwadraty. a) b) c)

42 Obserwowanie pewnych cech obrazu na jego F-obrazie obrazie. Ilustracja związku pomiędzy ułożeniem okręgu na obrazie i widokiem odpowiedniego F-obrazu :a) obraz okrąg_1, b) amplituda obrazu okrąg_1, c) faza obrazu okrąg_1. a) b) c) Ilustracja zwiazku pomiędzy ułożeniem okręgu na obrazie i widokiem odpowiedniego F-obrazu: a) obraz okrąg_2 2, b) amplituda obrazu okrąg_2 2, c) faza obrazu okrąg_2 2. a) b) c)

43 Obserwowanie pewnych cech obrazu na jego F-obrazie obrazie. Ilustracja związku pomiędzy ułożeniem okręgu na obrazie i widokiem odpowiedniego F- obrazu: a) obraz okrąg_3, b) amplituda obrazu okrąg_3, c) faza obrazu okrąg_3. a) b) c) Ilustracja związku pomiędzy ułożeniem oraz średnicą okręgu na obrazie i widokiem odpowiedniego F-obrazu: a) obraz okrąg_4, b) amplituda obrazu okrąg_4, c) faza obrazu okrąg_4. a) b) c)

44 Obserwowanie pewnych cech obrazu na jego F-obrazie obrazie. Obraz Lena zniekształcony ł przez umieszczenie i na nim okręgu z obrazu okrąg_3 : a) obraz, b) amplituda obrazu, c) faza obrazu. a) b) c) Marek Jan Kasprowicz Analiza obrazu komputerowego 2009 r.

45 Zawartość informacji wizualnej w poszczególnych składowych F-obrazu Marek Jan Kasprowicz Analiza obrazu komputerowego 2009 r.

46 Rozdzielnie amplitudy i fazy F-obrazu. Amplitudową i fazową część F-obrazu można otrzymać przeprowadzając poniższe operacje dla wszystkich indeksów i oraz k : (, ) = F( i, k) ϕ( i, k) A i k = ( i, k ) (, ) F i k Ai k Obraz odtworzony dla oryginalnego obrazu Lena Lena, 128x128: a) w oparciu o informację amplitudową, po rozciągnięciu do pełnego zakresu poziomów szarości przedziału 0-20, b) w oparciu o informację fazową, po rozciągnięciu do pełnego zakresu poziomów szarości przedziału a) b) Marek Jan Kasprowicz Analiza obrazu komputerowego 2009 r.

47 Rozdzielnie amplitudy i fazy F-obrazu cd. Obraz odtworzony dla oryginalnego obrazu kwadrat, 32x32, w obu przypadkach po dostosowaniu zakresu wartości do przedziału 0-255, bez dodatkowego dopasowywania wartości: a) obraz odtworzony w oparciu o informację amplitudową, b) wykres funkcji obrazu z rysunku a), c) obraz odtworzony w oparciu o informację fazową, b) wykres funkcji obrazu z rysunku c). a) b) c) d)

Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski

Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Odmiana przekształceń kontekstowych, w których kontekstem jest w zasadzie cały obraz. Za pomocą transformaty Fouriera

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Kolorowa płaszczyzna zespolona

Kolorowa płaszczyzna zespolona Kolorowa płaszczyzna zespolona Marta Szumańska MIMUW/IX LO w Warszawie Sielpia, 27 października 2018 p. 1 of 64 Liczby zespolone Przez i oznaczamy jednostkę urojoną. Jest to obiekt spełniający warunek

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów PTS - laboratorium Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Ćwiczenie 7 Filtracja 2D Opracowali: dr inż. Krzysztof Mikołajczyk dr inż. Beata Leśniak-Plewińska Zakład Inżynierii Biomedycznej Instytut Metrologii

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

BIBLIOTEKA PROGRAMU R - BIOPS. Narzędzia Informatyczne w Badaniach Naukowych Katarzyna Bernat

BIBLIOTEKA PROGRAMU R - BIOPS. Narzędzia Informatyczne w Badaniach Naukowych Katarzyna Bernat BIBLIOTEKA PROGRAMU R - BIOPS Narzędzia Informatyczne w Badaniach Naukowych Katarzyna Bernat Biblioteka biops zawiera funkcje do analizy i przetwarzania obrazów. Operacje geometryczne (obrót, przesunięcie,

Bardziej szczegółowo

Analiza obrazu. wykład 6. Marek Jan Kasprowicz Uniwersytet Rolniczy 2009

Analiza obrazu. wykład 6. Marek Jan Kasprowicz Uniwersytet Rolniczy 2009 Analiza obrazu komputerowego wykład 6 Marek Jan Kasprowicz Uniwersytet Rolniczy 2009 Slajdy przygotowane na podstawie książki Komputerowa analiza obrazu R.Tadeusiewicz, P. Korohoda, oraz materiałów ze

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych

Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie obrazów wykład 6. Adam Wojciechowski

Przetwarzanie obrazów wykład 6. Adam Wojciechowski Przetwarzanie obrazów wykład 6 Adam Wojciechowski Przykłady obrazów cyfrowych i ich F-obrazów Parzysta liczba powtarzalnych wzorców Transformata Fouriera może być przydatna przy wykrywaniu określonych

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera

Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 2

Praca domowa - seria 2 Praca domowa - seria 0 listopada 01 Zadanie 1. Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb spełniających nierówność: A = {z C : i z < Im(z)}. Rozwiązanie 1 Niech z = a + ib, gdzie a, b R. Wtedy z =

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego)  27 lutego 2007 Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:

Bardziej szczegółowo

http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących

Bardziej szczegółowo

Przekształcenie Fouriera obrazów FFT

Przekształcenie Fouriera obrazów FFT Przekształcenie ouriera obrazów T 6 P. Strumiłło, M. Strzelecki Przekształcenie ouriera ourier wymyślił sposób rozkładu szerokiej klasy funkcji (sygnałów) okresowych na składowe harmoniczne; taką reprezentację

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude

Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie Podstawowe

Bardziej szczegółowo

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311 dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 3 Politechnika Gdaoska, 20 r. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t 4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem

Bardziej szczegółowo

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1

Bardziej szczegółowo

KURS LICZB ZESPOLONYCH

KURS LICZB ZESPOLONYCH KURS LICZB ZESPOLONYCH Lekcja 2 Równania zespolone. Pierwiastki drugiego stopnia liczone w postaci kartezjańskiej. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko

Bardziej szczegółowo

9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT

9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT Transformata Fouriera ma szerokie zastosowanie w analizie i syntezie układów i systemów elektronicznych, gdyż pozwala na połączenie dwóch sposobów przedstawiania sygnałów reprezentacji w dziedzinie czasu

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z matematyki ćwiczenia

Repetytorium z matematyki ćwiczenia Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Cyfrowego Przetwarzania Obrazów

Laboratorium Cyfrowego Przetwarzania Obrazów Laboratorium Cyfrowego Przetwarzania Obrazów Ćwiczenie 6 Transformaty: Fouriera i falkowa Opracowali: - dr inż. Krzysztof Mikołajczyk - dr inż. Beata Leśniak-Plewińska - dr inż. Jakub Żmigrodzki Zakład

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

DYSKRETNE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA C.D.

DYSKRETNE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA C.D. CPS 6 DYSKRETE PRZEKSZTAŁCEIE FOURIERA C.D. Twierdzenie o przesunięciu Istnieje ważna właściwość DFT, znana jako twierdzenie o przesunięciu. Mówi ono, że: Przesunięcie w czasie okresowego ciągu wejściowego

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów Wykład 9 AiR III

Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów Wykład 9 AiR III 1 Na podstawie materiałów autorstwa dra inż. Marka Wnuka. Niniejszy dokument zawiera materiały do wykładu z przedmiotu Cyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów. Jest on udostępniony pod warunkiem wykorzystania

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

Transformata Fouriera

Transformata Fouriera Transformata Fouriera Program wykładu 1. Wprowadzenie teoretyczne 2. Algorytm FFT 3. Zastosowanie analizy Fouriera 4. Przykłady programów Wprowadzenie teoretyczne Zespolona transformata Fouriera Jeżeli

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów

Przetwarzanie sygnałów Spis treści Przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 3 Właściwości przekształcenia Fouriera 1 Podstawowe właściwości przekształcenia Fouriera 1 1.1 Kompresja i ekspansja sygnału................... 2 1.2 Właściwości

Bardziej szczegółowo

Dyskretne przekształcenie Fouriera cz. 2

Dyskretne przekształcenie Fouriera cz. 2 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Dyskretne przekształcenie Fouriera cz. 2 Twierdzenie o przesunięciu Istnieje ważna właściwość DFT, znana jako twierdzenie o przesunięciu. Mówi ono, że: przesunięcie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Baltie 3. Podręcznik do nauki programowania dla klas I III gimnazjum. Tadeusz Sołtys, Bohumír Soukup

Baltie 3. Podręcznik do nauki programowania dla klas I III gimnazjum. Tadeusz Sołtys, Bohumír Soukup Baltie 3 Podręcznik do nauki programowania dla klas I III gimnazjum Tadeusz Sołtys, Bohumír Soukup Czytanie klawisza lub przycisku myszy Czytaj klawisz lub przycisk myszy - czekaj na naciśnięcie Polecenie

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Transformaty. Kodowanie transformujace

Transformaty. Kodowanie transformujace Transformaty. Kodowanie transformujace Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 10 10 maja 2009 Szeregi Fouriera Każda funkcję okresowa f (t) o okresie T można zapisać jako f (t) = a 0 + a n cos nω 0

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera 1. Podstawowe właściwości przekształcenia

Bardziej szczegółowo

GAL 80 zadań z liczb zespolonych

GAL 80 zadań z liczb zespolonych GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +

Bardziej szczegółowo

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra

Bardziej szczegółowo

Lepkosprężystość. Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii

Lepkosprężystość. Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii Pomiarów dokonuje się w dwóch dziedzinach: czasowej lub częstotliwościowej i nie zależy to od rodzaju przyłożonych naprężeń (normalnych lub stycznych).

Bardziej szczegółowo

DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA

DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA Laboratorium Teorii Sygnałów - DFT 1 DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie analizy widmowej sygnałów okresowych za pomocą szybkiego przekształcenie Fouriera

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

(4) W zbiorze R R definiujemy działania i wzorami. (a, b) (c, d) =(a + c, b + d),

(4) W zbiorze R R definiujemy działania i wzorami. (a, b) (c, d) =(a + c, b + d), Zestaw zadań 2: Ciało liczb zespolonych Układy równań liniowych () Ile działań można określić na zbiorze n-elementowym? Ile z nich to działania przemienne? (2) Zbadaj własności działania różnicy symetrycznej

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

Transformata Fouriera i analiza spektralna

Transformata Fouriera i analiza spektralna Transformata Fouriera i analiza spektralna Z czego składają się sygnały? Sygnały jednowymiarowe, częstotliwość Liczby zespolone Transformata Fouriera Szybka Transformata Fouriera (FFT) FFT w 2D Przykłady

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

Funkcje. Część pierwsza. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii

Funkcje. Część pierwsza. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii Funkcje Część pierwsza Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 Co to są funkcje? y(x) x Co to są funkcje? y(x) x Co to są funkcje? Funkcja dla każdego argumentu ma określoną dokładnie jedną

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Matematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =

Matematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) = Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Diagnostyka obrazowa

Diagnostyka obrazowa Diagnostyka obrazowa Ćwiczenie szóste Transformacje obrazu w dziedzinie częstotliwości 1 Cel ćwiczenia Ćwiczenie ma na celu zapoznanie uczestników kursu Diagnostyka obrazowa z podstawowymi przekształceniami

Bardziej szczegółowo

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311

dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311 dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311 Politechnika Gdaoska, 2011 r. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4

Zad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4 Zad. 1 Liczba jest równa A B C D Zad. Liczba log16 jest równa A 3log + log8 B log4 + log3 C 3log4 log4 D log0 log4 Zad. 3 Rozwiązaniem równania jest liczba A B 18 C 1, D 6 Zad. 4 Większą z dwóch liczb

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 6 Charakterystyki częstotliwościowe

Ćwiczenie nr 6 Charakterystyki częstotliwościowe Wstęp teoretyczny Ćwiczenie nr 6 Charakterystyki częstotliwościowe 1 Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych układu regulacji oraz korekta nastaw regulatora na

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM

ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM + 7. Równanie = 0 : + A. ma tylko jedno rozwiązanie równe 7 B. ma tylko jedno rozwiązania równe 7 C. ma tylko jedno rozwiązanie równe D. nie ma rozwiązań.. Do przedziału,

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności

Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności y o e G c (s) z z 2 u G o (s) y () = () ()() () H(s) oraz jego wartością w stanie ustalonym. Transmitancja układu otwartego regulacji: - () = ()

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Podstawowe człony dynamiczne

Podstawowe człony dynamiczne . Człon proporcjonalny 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny Podstawowe człony dynamiczne charakterystyki czasowe = = = + 4. Człony całkujący rzeczywisty () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisty

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

Matematyka kompendium 2

Matematyka kompendium 2 Matematyka kompendium 2 Spis treści Trygonometria Funkcje trygonometryczne Kąt skierowany Kąt skierowany umieszczony w układzie współrzędnych Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o

Bardziej szczegółowo

Matematyka w Instytucie Akustyki. Maciej Radziejewski

Matematyka w Instytucie Akustyki. Maciej Radziejewski Matematyka w Instytucie Akustyki Maciej Radziejewski Prowadzący: Dr Maciej Radziejewski Zakład Algebry i Teorii Liczb, Wydział Matematyki i Informatyki UAM p. B2-10 (ew. B2-46). WWW: http://matematykaaku.weebly.com

Bardziej szczegółowo

Transformacje Fouriera * podstawowe własności

Transformacje Fouriera * podstawowe własności Transformacje Fouriera * podstawowe własności * podejście mało formalne Funkcja w domenie czasowej Transformacja Fouriera - wstęp Ta sama funkcja w domenie częstości Transformacja Fouriera polega na rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

ZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)

ZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h) ZAKRES PODSTAWOWY Proponowany rozkład materiału kl. I (00 h). Liczby rzeczywiste. Liczby naturalne. Liczby całkowite. Liczby wymierne. Liczby niewymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 5.

Bardziej szczegółowo

Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform)

Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform) Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform) Plan wykładu: 1. Transformacja Fouriera, iloczyn skalarny 2. DFT - dyskretna transformacja Fouriera 3. FFT szybka transformacja Fouriera a) algorytm

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka zakres podstawowy

MATeMAtyka zakres podstawowy MATeMAtyka zakres podstawowy Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h) 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne 1 2. Liczby całkowite. Liczby wymierne 1 1.1, 1.2 3. Liczby niewymierne 1 1.3 4. Rozwinięcie

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2. Przemysław Sękalski.

Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2. Przemysław Sękalski. Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2 Przemysław Sękalski sekalski@dmcs.pl Politechnika Łódzka Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych DMCS

Bardziej szczegółowo

Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.

Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Splot Jedna z najważniejszych własności transformaty Fouriera jest to, że transformata

Bardziej szczegółowo

Diagnostyka obrazowa

Diagnostyka obrazowa Diagnostyka obrazowa Ćwiczenie szóste Transformacje obrazu w dziedzinie częstotliwości 1. Cel ćwiczenia Ćwiczenie ma na celu zapoznanie uczestników kursu Diagnostyka obrazowa z podstawowymi przekształceniami

Bardziej szczegółowo