1.1 Wprowadzenie. 1.2 Podstawy matematyczne analizy widmowej Przestrzeń Euklidesowa N-wymiarowa

Transkrypt

1 1.1 Wprowadzenie Dowolnemu procesowi technologicznemu towarzyszą zawsze zjawiska pasożytnicze w postaci drgań poszczególnych części danego urządzenia i związanej z tym emisji hałasu. Efekty te, w zależności od ich nasilenia, mogą mieć niekorzystny wpływ na otaczające środowisko, przyczyniają się do obniżenia trwałości obiektu oraz zakłócają jego działanie. Czynnikiem sprzyjającym wzrostowi zagrożeń wibroakustycznych jest powszechnie obserwowana miniaturyzacja urządzeń, zwykle związana ze wzrostem gęstości upakowania energii i co za tym idzie zwiększeniem podatności danej konstrukcji na drgania. Cechą szczególną rozpatrywanych zjawisk jest ich znikoma moc w stosunku do mocy pobieranej ze źródła przykładowo, maszyna elektryczna o mocy rzędu 1 MW emituje moc akustyczną zbliżoną zaledwie do 2 W, przy czym należy pamiętać, że długotrwałe narażenie człowieka na taki hałas, wydawałoby się o nieznacznej mocy, grozi trwałym uszkodzeniem słuchu. Drugim istotnym wyróżnikiem jest bardzo złożony kształt sygnałów drganiowych i akustycznych, zarówno w czasie jak i w przestrzeni. Dlatego też do analizy teoretycznej i pomiarów stosowane są praktycznie bez wyjątku systemy komputerowe o bardzo rozbudowanym wspomaganiu algorytmicznym samego przygotowania obiektu do analizy oraz przetwarzania otrzymanych wyników. Prawidłowe sformułowanie problemu badawczego dla danego urządzenia, jego rozwiązanie i ocena uzyskanych wyników wymaga nie tylko znajomości zjawisk fizycznych w nim zachodzących lecz również zaawansowanej wiedzy z zakresu matematyki dyskretnej, bez której nie jest możliwa poprawna interpretacja otrzymanych danych, będących uporządkowanymi zbiorami liczb (wektorami) o rozmiarach rzędu setek a nawet tysięcy. Celem niniejszego wykładu jest zapoznanie z podstawowymi pojęciami stosowanymi w opisie zjawisk dotyczących drgań mechanicznych struktury o rozłożonej w przestrzeni masie i sprężystości, warunków niezbędnych do powstania znaczącej emisji akustycznej oraz specyficznych wielkości opisujących rozchodzenie się dźwięku. Istotne znaczenie ma tu specjalizowane narzędzie matematyczne, jakim jest dyskretna analiza widmowa modalnoczęstotliwościowa, bez którego, zdaniem autora, opis skomplikowanych procesów wytwarzania i rozchodzenia się fal akustycznych nie byłby w ogóle możliwy. Ze względu na narzucone ograniczenia, omawiany materiał jest przedstawiany niezwykle skrótowo, w wielu wypadkach praktycznie bez wyprowadzeń i uzasadnień teoretycznych. Zawarto w nim jedynie podstawowe informacje o fizyce zjawisk wibroakustycznych i matematycznym ich opisie. Wiele zagadnień, dotyczących zwłaszcza współczesnej technologii obliczeniowej, mechanizmu wytwarzania sił generujących odkształcenia struktury oraz sposobów redukcji poziomu drgań i hałasu, zostało jedynie zasygnalizowanych. Tak więc niniejszy wykład ma charakter przede wszystkim informacyjny, wprowadzający w intensywnie rozwijaną obecnie dziedzinę. Osoby zainteresowane praktycznymi działaniami w tej dyscyplinie siłą rzeczy powinny poszerzyć swoją wiedzę korzystając z cytowanych specjalistycznych monografii. 1.2 Podstawy matematyczne analizy widmowej Przestrzeń Euklidesowa N-wymiarowa W rzeczywistych obliczeniach komputerowych operuje się zbiorami liczb o skończonym wymiarze. Wprowadźmy następujące definicje: DEFINICJA. Wymiarem N przestrzeni V nazywamy liczbę elementów bazy tej przestrzeni. Oznaczamy to za pomocą wyrażenia N=dim { V } 1

2 DEFINICJA. Przestrzeń liniową o skończonym wymiarze nazywamy przestrzenią wektorową, a jej elementy nazywamy wektorami. DEFINICJA. Współczynniki rozwinięcia { } T elementu przestrzeni f względem bazy {e} T nazywamy współrzędnymi wektora. PRZYKŁAD. Sygnał y=f(x) był próbkowany w przedziale (x 1, x N ) z krokiem x. W wyniku otrzymano dwa wektory danych x k, y k. Wprowadzając zbiór elementów bazowych (bazę) {e k } T w postaci e 1 ={1, 0, 0,...,0} T, e 2 ={0, 1, 0,...,0} T, e 3 ={0, 0, 1,...,0} T,... e N ={0, 0, 0,...,1} T dyskretny sygnał {y} można zapisać jako następującą kombinację liniową (1.1) Otrzymaliśmy rozszerzenie do dowolnego wymiaru N zapisu geometrycznego wektora euklidesowego, dla którego N=3. Rys.1.1. Wektor (próbkowana funkcja) w przestrzeni E N DEFINICJA. Normą (energetyczną) elementu {y} w przestrzeni E N nazywamy operator (1.2) a iloczyn skalarny elementów {y}, {z} określa wzór (1.3) Zauważmy w tym miejscu, że dowolną normę określa się z dokładnością do stałego mnożnika np. pomiar w metrach lub w centymetrach. Aby porównać pomiar tego samego sygnału y(t) dokonany analogowo i dyskretnie przekształćmy wyrażenie określające jego normę funkcyjną L 2 [3] wykorzystując do obliczenia wartości całki kwadraturę prostokątów. (1.4) 2

3 Otrzymaliśmy równoważność norm L 2 i E N. Pomiar sygnałów pozyskiwanych w praktyce za pomocą normy (1.4) stwarza pewne komplikacje formalne jednostka w jakiej mierzymy jest różna od jednostki fizycznej sygnału o mnożnik x. Dla uniknięcia tej niedogodności powszechnie stosuje się normę średniokwadratową (wartość skuteczną), której kwadrat jest dany zależnością (1.5) Zależności definicyjne liczb zespolonych Liczbą zespoloną (wskazem) z nazywamy wyrażenie (1.6) gdzie j 2 =-1. Składniki a, b są nazywane odpowiednio częścią rzeczywistą i urojoną. Przedstawia się ją najczęściej w postaci skierowanego odcinka w układzie współrzędnych utworzonych przez osie Re, Im będących skrótami od łacińskich słów realis, imaginalis. Rys.1.2. Płaszczyzna zmiennych zespolonych Liczbę zespoloną różniącą się znakiem części urojonej w stosunku do z nazywamy sprzężoną i oznaczamy z *. Łatwo zauważyć, że kwadrat modułu liczby zespolonej z (kwadrat jej normy) jest równy (1.7) Wyrażenie to implikuje nieco inną niż (1.3) postać iloczynu skalarnego funkcji zespolonych z(x), w(x) (1.8) Kąt fazowy lub krótko faza liczby z to (1.9) Liczbę zespoloną z można także przedstawić za pomocą tożsamości Eulera 3

4 (1.10) Stąd +j jest też nazywane operatorem obrotu o /2. Dowolną funkcję kosinusoidalną o okresie T można przedstawić w postaci eksponencjalnej jako (1.11) gdzie przez oznaczono (1.12) Rys.1.3. Przedstawienie funkcji A cos( t+ ) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej Z tożsamości Eulera wynikają również następujące zależności (1.13) Przekształcenie Fouriera Najczęściej stosowaną postacią przekształcenia Fouriera jest wyznaczanie amplitud kolejnych wyrazów szeregu, którego trygonometryczna postać została przedstawiona w równaniu (1.14) dla dowolnej funkcji okresowej. W obliczeniach komputerowych wykorzystywana jest tzw. postać biegunowa liczby zespolonej, w której funkcje trygonometryczne są zastąpione eksponencjalnymi zmiennej zespolonej (1.13). TWIERDZENIE. Dla całkowalnej, rzeczywistej i okresowej funkcji g(t) prawdziwe jest rozwinięcie [3] gdzie zespolone współczynniki G k są równe [3][12] (1.14) 4

5 (1.15) Dla rzeczywistych funkcji g(t) współczynniki te spełniają zależność (1.16) W wyniku przekształcenia (1.15) sygnału np. f(t)=a sin k t otrzymuje się dwustronne widmo amplitudowo-fazowe odniesione do funkcji cos (k t). Rys.1.4. Widmo amplitudowo fazowe sinusoidalnej rzeczywistej funkcji. Ze względu na symetrię widma funkcji o argumencie rzeczywistym często stosuje się w takim przypadku widma jednostronne o zmienności numeru harmonicznej w przedziale(0, ). Część amplitudowa widma jest podawana wówczas z mnożnikiem dwa. Odległość kolejnych prążków na osi częstotliwości f (rozdzielczość częstotliwościowa) jest równa (1.17) Rys.1.5. Jednostronne widmo amplitudowo fazowe sinusoidalnej rzeczywistej funkcji. Często spotykanym przypadkiem jest sytuacja, gdy sygnał wejściowy jest w postaci nieskończonego ciągu liczb, przeważnie rzeczywistych nieskończoną rozległość zawsze można otrzymać deklarując, że skrajne wartości są zerami. Liczby te reprezentują sygnał pobrany z częstotliwością próbkowania f s, która określa odległość kolejnych wartości sygnału na osi czasu t. Zachodzi wówczas zależność definiująca rozdzielczość czasową 5

6 (1.18) Otrzymane widmo będzie okresowe o okresie (powtarzalności) w dziedzinie częstotliwości równym właśnie f s. Transformaty fourierowskie są dane zależnościami (1.19)(1.20) dualnymi w stosunku do przedstawionych wcześniej we wzorach (1.14)(1.15) (1.19) (1.20) Ważnym pojęciem występującym w analizie spektralnej jest moc sygnału, przy czym jako moc sygnału jest rozumiany kwadrat jego wartości skutecznej. Definicja ta wynika z tego, że w fizyce moc jest proporcjonalna do kwadratu wartości skutecznej zmiennej stanu. Współczynnik proporcjonalności zależy oczywiście od charakteru przebiegu moc elektryczna, mechaniczna, akustyczna itd., tym niemniej, w przypadku gdy operuje się wartościami względnymi współczynnik ten redukuje się. Dla sygnału sinusoidalnego A k sin k moc P g jest równa 0.5 A k 2 czyli (A k rms ) 2. (1.21) Widmo mocy P gk zawiera wyłącznie część amplitudową na jego podstawie nie można odtworzyć sygnału f( ). Z definicji widmo mocy składa się z liczb rzeczywistych, stąd z reguły przedstawia się je w postaci jednostronnej Twierdzeniem wiążącym moc przebiegu czasowego i jego widma częstotliwościowego jest twierdzenie Parsevala. TWIERDZENIE. Moc sygnału okresowego o okresie 2 jest równa sumie mocy jego składowych częstotliwościowych. (1.22) 6

7 a. b. Rys.1.6. Dualność przekształcenia Fouriera a. Sygnał ciągły i okresowy w dziedzinie czasu, dyskretny w dziedzinie częstotliwości a. Sygnał dyskretny w dziedzinie czasu, ciągły i okresowy w dziedzinie częstotliwości Rys.1.6. Dwustronne i jednostronne widmo mocy sinusoidalnego sygnału. Jeżeli jakaś wielkość fizyczna zmienia się w skali liniowej o kilka rzędów wielkości to powszechnym sposobem jej przedstawienia jest skala logarytmiczna 7

8 (1.23) Ze względu na własności funkcji y=log x zamieszczone we wzorach (1.37), jest ona wygodnym narzędziem do przedstawiania danej wielkości w jednostkach względnych odniesionych do wartości referencyjnej x ref. (1.24) Poziomem (mocy) danej wielkości fizycznej nazywamy logarytm dziesiętny ze stosunku danej wielkości (wyrażonej w sposób proporcjonalny do jej mocy) do ustalonej wartości odniesienia tej samej wielkości (identycznie wyrażonej). Jednostka poziomu nazywa się Bel [B]. Ze względów praktycznych używa się jednostki pochodnej, jaką jest decybel: 1 db = 0,1 B lub inaczej: 10 db = 1 B. PRZYKŁAD. Niech wartość skuteczna pewnego sygnału, np. napięcia U, wynosi 1000 V. Jeżeli jednostką odniesienia jest U ref =1V, to poziom (mocy) napięcia w db Dyskretna transformata Fouriera Przy przetwarzaniu rzeczywistych sygnałów mamy do czynienia z następującymi cechami ich akwizycji: Zakres analizowanego sygnału T (czasowy lub przestrzenny) jest skończony; Liczba próbek N sygnału jest skończona. Konsekwencją pierwszego uproszczenia jest w pewnym sensie wymuszenie jego periodyczności z okresem T, co wynika z następującego rozumowania. Załóżmy, że ciągły, kosinusoidalny sygnał g(t) o amplitudzie A i okresie T/q (q R) został pomierzony w przedziale (-T/2, T/2) rys.1.7. Częstotliwość próbkowania f s wynosi (1.25) Widmo takiego sygnału jest określone równaniem (1.19), które poprzez kwadraturę prostokątów i uwzględniając jedynie znaczące próbki może być sprowadzone do postaci (1.26) 8

9 Rys.1.7. Sygnał okresowy o skończonym zakresie pomiaru. Otrzymaliśmy (z dokładnością do mnożnika N) zależność (1.15) opisującą transformatę funkcji ciągłej i okresowej w szereg Fouriera. Różnica polega na tym, że wyrażenie G(f) jest ciągłą funkcją. Uzyskana zależność oznacza, że sygnał sinusoidalny ucięty oknem o dowolnej szerokości T jest równoważny widmowo sygnałowi okresowemu otrzymanemu poprzez powielenie zawartości okna. Równoważność ta oznacza identyczne proporcje pomiędzy poszczególnymi składnikami widma Rys.1.8. Równoważne widmowo sygnały okresowy i ucięty. Zaniedbując mnożnik N w (1.26), co zostanie później uzasadnione, obliczmy obecnie postać transformaty G(f) dla sygnału w postaci g(t)=acos(2 qt/t). Wykorzystując zespolone definicje funkcji sinus i cosinus oraz oznaczając formalnie częstotliwość jako (1.27) gdzie k f R, otrzymujemy kolejno (1.28) 9

10 (1.29) W wyniku otrzymaliśmy widmo ciągłe określone przez sumę dwóch funkcji typu sinc(x). Rys.1.9. Przebieg funkcji sinc(x) łac. sinus cardinalis. Widmo amplitudowe przebiegu (1.29) pokazano na rys.1.10, ustalając A=1 oraz q=10.5. Listek główny o szerokości f=2/t Listki boczne o szerokości f=1/t k f =ft Rys Przykładowy przebieg ciągłego widma amplitudowego dla uciętego sygnału sinusoidalnego. Cechą charakterystyczną widma amplitudowego sygnału o skończonym czasie trwania jest jego kształt uformowany w ciąg tzw. listków. Listek główny jest symetryczny w stosunku do linii wyznaczającej częstotliwość sygnału, a jego szerokość wynosi f=2/t, natomiast sąsiadujące z nim listki boczne są dwukrotnie węższe - f=1/t. Efekt ten nosi nazwę rozmycia (przecieku) widma a jego znaczenie fizyczne wyjaśnia postać widma mocy danego sygnału, które otrzymujemy, zgodnie z twierdzeniem Parsevala, podnosząc do kwadratu transformatę sygnału G(k f ). 10

11 Rys Przykładowy przebieg ciągłego widma mocy sygnału o jednostkowej amplitudzie Widzimy, że skończony czas akwizycji harmonicznego sygnału nieuchronnie powoduje pojawienie się w widmie mocy dodatkowej paczki składowych o częstotliwościach otaczających główną składową. Moc sygnału o amplitudzie A wynosi 0.5A 2, natomiast jeśli jest ona obliczana w dziedzinie widmowej to zachodzi (1.30) Transformata odwrotna określona jest wzorem (1.20), który przekształca się zastępując częstotliwość f przez zmienną bezwymiarową k f =ft. (1.31) Po uporządkowaniu otrzymuje się (1.32) W powyższej zależności podkreślmy dwa fakty. Po pierwsze, zmienna k f przyjmuje jedynie wartości z przedziału określonego przeskalowanymi granicami całkowania Po drugie, transformata prosta (1.26) była proporcjonalna do liczby próbek N a odwrotna (1.32) jest do tej liczby odwrotnie proporcjonalna. Oznacza to, że liczba N ma tu charakter jedynie skalujący może być uwzględniona bądź nie w obliczeniach. Należy wyraźnie zaznaczyć, że stwierdzenie to nie dotyczy argumentu funkcji eksponencjalnej. Analiza realnych sygnałów ma z reguły charakter dyskretny zarówno dane wejściowe jak i wyjściowe procesu są wektorem (uporządkowanym ciągiem liczb). Oznaczmy przez {x n } wektor N danych wejściowych pewnej wielkości pobranych z krokiem t w przedziale 11 (1.33)

12 [0,T]. Zmienna niezależna t oznaczać może czas bądź przestrzeń. Numerację próbek ustala się jako n=0, 1, 2,... N-1. Dyskretna transformata Fouriera (DTF) polega na redukcji wartości zmiennej k f w (1.32) do liczb całkowitych k=0, 1, 2,... N-1. Zauważmy przy tym, że przejście od przedziału symetrycznego [ N/2,+N/2] do niesymetrycznego ma wyłącznie charakter porządkowy. Dyskretna transformata Fouriera ma więc postać wynikającą z (1.28) (1.34) Definiowanie k-tej składowej DTF w oparciu o aproksymację średniokwadratową ma tę zaletę, że wartość maksymalnego składnika widma jest tego samego rzędu co maksimum oryginalnego sygnału oraz nie zależy od liczby próbek. Transformata odwrotna wynika wprost z (1.32), konsekwentnie z zaniedbaniem mnożnika 1/N. (1.35) Dla próbkowanych sygnałów rzeczywistych mamy do czynienia z okresowością widma częstotliwościowego i związanej z tym jego symetrii określonej przez (1.36) co oznacza dla każdej z N/2-1 par równość amplitud i przeciwne znaki kątów fazowych. Pamiętamy, że zgodnie z (1.34) pierwsza składowa widma (indeksowana liczbą 0) jest wartością średnią badanego przebiegu. Wynika z tego również, że N-punktowa DTF pozwala na wyznaczenie co najwyżej N/2-1 składowych, co jest treścią twierdzenia Shannona. DEFINICJA. Częstotliwością Nyquista-Shannona f Ny nazywamy minimalną częstotliwość próbkowania, przy której sygnał ciągły jest zamieniany na dyskretny bez straty informacji. Częstotliwość próbkowania f s musi być co najmniej dwukrotnie większa od największej częstotliwości składowej sygnału. (1.37) Pewnego komentarza wymaga wprowadzona zamiana numeracji składników widma, podyktowana prostotą algorytmizacji obliczeń. Interpretacja widma jest znacznie łatwiejsza po wprowadzeniu dodatnich i ujemnych indeksów jego składowych, jak przedstawiono to wcześniej np. na rysunkach (1.10) (1.11). Wspomniana symetria widma pozwala na tzw. centrowanie otrzymanej z obliczeń postaci jednostronnej, co pokazano na rys

13 Rys Porównanie widma jednostronnego i centrowanego dla rzeczywistego sygnału monoharmonicznego. Dyskretna transformata Fouriera nie zawiera w swojej definicji (1.48) pojęcia częstotliwości w sposób jawny operuje się jedynie indeksami składników N- wymiarowych wektorów liczbowych. Wynika ono z zakresu akwizycji danych T (skończonego przedziału czasu bądź przestrzeni) oraz liczby danych N. Częstotliwość f k odpowiadająca k-tej składowej widma jest ograniczona z góry przez częstotliwość Nyquista f Ny i wynosi (1.38) Zwyczajowo częstotliwością nazywamy wielkość odnoszącą się do czasu, w przypadku kiedy dane źródłowe mają charakter przestrzenny l-tej amplitudzie przestrzennego widma wybranej wielkości fizycznej odpowiada tzw. l-ta liczba falowa l gdzie L jest przestrzennym rozmiarem obszaru z którego pobrano dane. Jeżeli dane przestrzenne są dwuwymiarowe, to mówi się o l,m-tej składowej wektora falowego l,m. (1.39) Podobnie jak dla przebiegów czasowych (częstość kołowa k= 2 f k ) w powszechnym użyciu jest wektor lub liczba falowa podawana z mnożnikiem 2 - np. l=2 l/l. Dla zilustrowania własności DTF rozpatrzmy obecnie szereg prostych przykładów obliczeń. PRZYKŁAD. Dany jest sygnał y=0.3+cos (2 t/ )w postaci N=8 próbek mierzonych co /4. Czas pomiaru T jest więc całkowitą krotnością k r =2 jego okresu i w wektorze danych wejściowych obserwujemy k r identycznych bloków liczb rys.1.13a. W przypadku sygnału y 1 =0.3+cos (2 t/ 1 ), =1.5 danego w postaci N=8 próbek mierzonych jak poprzednio co /4 czas pomiaru T nie jest całkowitą krotnością jego okresu k r =1.5, co pokazano na rys.1.13b. 13

14 a. b. Rys Porównanie postaci dyskretnych przebiegów okresowych o czasie akwizycji a. dopasowanym do okresu przebiegu, b. niedopasowanym do okresu przebiegu. Obliczone dyskretne transformaty tych przebiegów wynoszą: W obydwu przypadkach obserwujemy własność symetrii widma DTF (Y k =Y N-k ), natomiast różnice w obliczeniach są bardzo duże (zostały one uwypuklone dzięki małej liczbie próbek). Widmo {Y} dokładnie odwzorowuje ciągły sygnał wejściowy, zaś widmo {Y 1 } jedynie sygnalizuje gdzie znajdują się dominujące składniki. Występujący tu efekt przecieku widma zostanie omówiony szczegółowo w następnym przykładzie. PRZYKŁAD. Dany jest sygnał y=cos (2 t/ ) dany w postaci 32 próbek pobranych ze stałym krokiem w czasie T. Jego przebieg oraz widmo częstotliwościowe przedstawiono na rys Dla poprawienia czytelności wykresu zawężono dwukrotnie zakres widma. Rys Przebieg dyskretnego sygnału harmonicznego i obciętego, centrowanego widma amplitudowego w przypadku dopasowania czasu akwizycji do okresu sygnału 14

15 Przy danej liczbie próbek N i czasu akwizycji T dyskretne częstości wynikające z DTF przebiegają zbiór liczb całkowitych k (-N/2, N/2) podzielonych przez T, przy czym ostatni składnik o częstości Nyquista nie jest brany pod uwagę (przyjęto milcząco, ze liczba N jest parzystą). Amplitudy obliczonych składowych leżą na przecięciu całkowitych odciętych osi k f =ft z widmem ciągłym badanego sygnału, którego częstotliwość nie musi być całkowitą wielokrotnością 1/T. Szerokość listków bocznych ciągłej transformaty (1.43) w skali k f =ft jest jednostkowa, a listka głównego podwójna. Stąd w szczególnym przypadku, kiedy czas akwizycji T jest ściśle dopasowany do okresu badanego przebiegu, mamy do czynienia z dokładnym oszacowaniem zarówno częstotliwości sygnału jak i jego amplitudy wszystkie pozostałe składniki widma DTF mają wartość zerową, jak pokazano to na rysunku powyżej. Dyskretne widmo mocy jest oczywiście również dokładnym odzwierciedleniem rzeczywistości zawiera wyłącznie składnik o częstotliwości 4/T czyli przeciek mocy jest równy zeru. Załóżmy obecnie, że częstotliwość sygnału uległa niewielkiej zmianie, jest on teraz opisany zależnością y=cos (2 t/ ), a czas akwizycji i liczba pobranych próbek nie uległy zmianie. Tworząc analogiczne do rys.1.14 wykresy zauważamy, że wszystkie składniki widma mają wartości niezerowe a ich maksymalne wartości są bliskie 1/ zamiast 0.5. Wynika to z przesunięcia ciągłego widma przebiegu w stosunku do niezmiennej siatki widma dyskretnego wartości parametrów N i T procesu akwizycji pozostały niezmienione. Otrzymaliśmy sytuację przedstawioną na rys.1.15, kiedy przeciek mocy w widmie sygnału jest największy częstotliwość badanego przebiegu leży pośrodku odcinka wyznaczonego przez kolejne dwie częstotliwości DTF. Rys Przebieg dyskretnego sygnału harmonicznego i obciętego, centrowanego widma amplitudowego w przypadku maksymalnego niedopasowania czasu akwizycji do okresu sygnału Widoczna na rys.1.15 niewielka asymetria amplitud bocznych listków w stosunku do listka głównego widma, i w konsekwencji widma dyskretnego, wynika z nakładania się wartości dwóch funkcji sinc, z których składa się widmo ciągłe sygnału harmonicznego. Efekt ten maleje w miarę odsuwania się od osi głównego listka danego składnika, tym niemniej jest obecny w całym widmie. 15

16 1.2.5 Dwuwymiarowa dyskretna transformata Fouriera. Dany jest dwuwymiarowy, dyskretny zbiór MN danych wejściowych w postaci tablicy y(m,n)gdzie indeksy m,n zmieniają się m=0, 1,...M-1; n=0, 1,...N-1. Zakresy akwizycji wynoszą odpowiednio T M, T N, gdzie dla ustalenia uwagi przyjęto, że T M jest odcinkiem przestrzeni, a T N czasu. Dane są pobierane ze stałym krokiem w przestrzeni x=t M /M i czasie t=t N /N. Analogicznie jak w przypadku jednowymiarowym definiuje się moc sygnału y(x,t) 2 sk, którą w przypadku dyskretnym oblicza się ze wzoru (1.40) Pobrany sygnał ma w rzeczywistości zerowe wartości poza prostokątem T M T N, lecz można wykazać postępując analogicznie do omówionego wcześniej przypadku jednowymiarowego, że widmo częstotliwościowe jest identyczne jak w przypadku okresowego powielenia wzdłuż obu osi zawartości tego prostokąta, rys.(1.16). Rys Pseudo-okresowość dwuwymiarowego sygnału o skończonej liczności Daną tablicę y(m,n) przedstawiamy więc w postaci zespolonego szeregu gdzie zespolone amplitudy Y(k,l) są równe (1.41) (1.42) Wzory (1.41)(1.42) są złożeniami dwóch jednowymiarowych transformat (1.34)(1.35). PRZYKŁAD. Rozpatrzmy falę biegnącą wzdłuż kierunku 0x o równaniu pokazaną poniżej 16

17 Rys Czasoprzestrzenny wykres fali biegnącej Po sprowadzeniu do postaci dyskretnej otrzymuje się Ustalając rozmiar tablicy na M=8 oraz N=16, uzyskuje się brak efektu rozmycia widma N-1 a M-1-0.5N C D BA 0.5N-1 b Rys Dwuwymiarowe widmo amplitudowe fali biegnącej a. postać niecentrowana. b. postać centrowana 17

18 Wynikowa tablica widma amplitudowego Y(k,l) zamieszczona na rys.1.18, pokazuje jednocześnie mechanizm tworzenia centrowanego widma 2DTF. Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym centrowanie widma polega na takiej zamianie miejscami jego segmentów, aby wartość średnia znalazła się w centralnym punkcie wynikowej tablicy. Według oznaczeń pokazanych na rys.1.18 wymieniane segmenty to A C oraz B D. Kolejnym uproszczeniem jest przejście do jednostronnej postaci widma połączone z dwukrotnym powiększeniem jego składowych. Ponieważ pojęcie ujemnej częstotliwości nie ma dobrej interpretacji fizycznej, usuwa się zwykle właśnie tę część tablicy widma. Należy jednak pamiętać, że obliczenie widma mocy poprzez twierdzenie Parsevala jest możliwe wyłącznie na podstawie widma dwustronnego Rys Dwuwymiarowe, jednostronne, centrowane widmo amplitudowe fali biegnącej 18