2. Funkcja akumulacji i wartość przyszła

Transkrypt

1 2. Funkcja akumulacji i wartość przyszła Zadanie 1 An investment of $10000 is made into a fund at time t=0. The fund develops the following balances over the next 4 years: F (0) = 10000, F (1) = 10600, F (2) = 11130, F (3) = 11575, 20, F (4) = 12153, 96. If $5000 is invested at time t=2, under the same interest environment, find the accumulated value of the $5000 at time t=4. Zadanie 2 Rozważmy funkcję wartości przyszłej kapitału postaci F (t) = t 2 +2t+3, t > 0. a) Wyznaczyć odpowiednią funkcję akumulacji a(t). b) Pokazać, że a(t) spełnia trzy własności funkcji akumulacji. c) Wyznaczyć I n odsetki za każdy z n okresów, n N. Zadanie 3 a) Prove that F (n) F (0) = I 1 + I I n. b) Verbally interpret the result obtained in a) Zadanie 4 For the $5000 investment given in zad. 1, find the amount of interest earned during the second year of investment, i.e. between times t = 3 and t = 4. Zadanie 5 Rozważmy funkcję akumulacji daną wzorem at 2 + b. Jeśli $100 zainwestowane w momencie t = 0 osiąga wartość $172 w momencie t = 3, to jaką wartość osiągnie w momencie t = 10 kapitał $100 zainwestowany w momencie t = 5. Zadanie 6 W momencie t = 0 zainwestowano kwotę F (0) = 2400 na trzy lata. Kwota ta w kolejnych latach przyjmowała wartości F (1) = 2570, F (2) = 2934, F (3) = Jaką kwotą dyponowałby inwestor pod koniec trzeciego roku, gdyby dodatkowo w momencie t = 2 zainwestował kwotę 2000 przy tych samych warunkach oprocentowania? Zadanie 7 Rozważmy funkcję wartości przyszłej kapitału postaci F (t) = 2t 2 +3t+1, t > 0. a) Wyznaczyć odpowiednią funkcję akumulacji a(t). b) Pokazać, że a(t) spełnia trzy własności funkcji akumulacji. Zadanie 8 Rozważmy funkcję akumulacji daną wzorem a(t) = at 2 + b, t > 0. Wyznaczyć współczynniki a i b, jeśli wiadomo, że $124 zainwestowane w momencie t = 0 osiąga wartość $186 w momencie t = 5. 1

2 3. Efektywna stopa procentowa Zadanie 9 For the $ investment given in zadanie 1 find the effective rate of interest for each of the four years. Zadanie 10 Assume that F (n) = n. Find i 5, i 10. Zadanie 11 Assume that F (n) = 100(1, 1) n. Find i 5, i 10. Zadanie 12 Show that F (n) = (1 + i n )F (n 1), n N. Zadanie 13 Wyznaczyć stopę efektywną w pierwszym, drugim i czwartym roku inwestycji danej w zadaniu 2. Zadanie 14 Wyznaczyć stopę efektywną w pierwszym, drugim i piątym roku inwestycji danej w zadaniu 5. Zadanie 15 If F (4) = 1000 and i n =.01n, where n is a positive integer, find F (7). 4. Oprocentowanie proste Zadanie 16 Find the accumulated value of $ 2000 invested for four years if the rate of simple interest is 8% per annum. Find the effective rate of interest for each of the four years. Zadanie 17 Find the accumulated value of $ 1000 invested for four years and five months if the rate of simple interest is 10% per annum. Zadanie 18 At what rate of simple interest will $500 accumulate to $ 615 in 2 1/2 years? Zadanie 19 In how many years will $500 accumulate to $630 at 7.8% simple interest? Zadanie 20 At certain rate of simple interest $ will accumulate to $ after a certain period time. Find the accumulated value of $ 500 at the rate of simple interest three fourths as great over twice as long a period of time. Zadanie 21 Simple interest of i = 4% is being credited to a fund. In which period is this equivalent to an effective rate of 2, 5%? Zadanie 22 A deposit of $ 1000 is invested at simple interest at time t = 0. The rate of simple interest during year t is equal to 0.1t for t = 1, 2, 3, 4, 5. Find the total accumulated value of this investment at time t = 5. Zadanie 23 Przy jakiej rocznej stopie procentowej i kapitał 58 jp wygeneruje odsetki w wysokości 5 jp w ciągu dwóch lat w modelu oprocentowania prostego? Zadanie 24 Dysponujemy kapitałem w wysokości 1000 zł. Za rok chcemy uzyskać 1250 zł. Na jaki procent prosty (roczna stopa) musimy ulokować kapitał? 2

3 Zadanie 25 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału jp zainwestowanego na pięć i pół roku na procent prosty, jeśli stopa roczna wynosi 12%. Wyznaczyć a(1), a(2, 8). Zadanie 26 Jaką kwotę utworzy po czterech latach kapitał 400 jp w modelu oprocentowania prostego przy rocznej stopie 1, 5%? Zadanie 27 Obliczyć roczną stopę procentową, jeśli kapitał 250 zł wygenerował zysk 30 zł w ciągu roku. Zadanie 28 Mając stopę roczną 2, 5% oprocentowania prostego podać dwuletni czynnik akumulacji. Zadanie 29 (PK 1.1) Odsetki od 2-letniej lokaty o stałym oprocentowaniu są naliczane po terminie. Pani X, która wpłaciła na lokatę 2300 zł, odebrałą przy jej likwidacji 3047, 50 zł. Obliczyć roczną stopę oprocentowania lokaty. Zadanie 30 (PK 1.2) Przy jakiej rocznej stopie oprocentowania prostego wartość 2-letniej lokaty z odsetkami naliczanymi po terminie zwiększy się: a) o 15%, b) 1,5-krotnie, c) przynajmniej dwukrotnie? Zadanie 31 (PK 1.3) Przedsiębiorca otrzymała pięcioletnią pożyczkę w kwocie 30 tys. zł, zobowiązując się spłacać pod koniec każdego roku bieżące odsetki naliczane przy rocznej stopie 22% i zwrócić pożyczkę pod koniec piątego roku. Obliczyć wysokość rat spłacanych na koniec kolejnych lat. Zadanie 32 Po podwyżce o 5% cena samochodu wynosi 58 tys. jp. Jaka była cena samochodu przed podwyżką? Zadanie 33 (PK 1.4) Pożyczka 2700 zł otrzymana na początku roku będzie spłacana w 3 ratach na koniec lipca, listopada i grudnia. W każdej racie będzie spłacona 1/3 początkowej kwoty pożyczki oraz bieżące odsetki proste obliczane przy miesięcznej stopie 1, 2%. Obliczyć wysokość rat. Zadanie 34 (PK 1.5) Po jakim czasie oprocentowania prostego przy rocznej stopie 12.5% wartość depozytu 4800 zł: a) podwoi się, b) zwiększy się o 25%, c) zwiększy się o 3000 zł? 3

4 5. Oprocentowanie składane Zadanie 35 (PK 3.1) a) Jaką wartość osiągnie kapitał 1800 zł po 4 latach oprocentowania rocznego przy stałej stopie i = 6%? b) Jaką wartość mają odsetki naliczone za każdy rok? c) Przy jakiej stopie łączna wartość odsetek byłaby większa o 58 zł? Zadanie 36 Find the accumulated value of $ 2000 invested for four years if the rate of compound interest is 8% per annum. Find the effective rate of interest for each of the four years. Zadanie 37 Find the accumulated value of $5000 at the end of 5 years and 4 months invested at 9% per annum: 1) Assuming compound interest throughout. 2) Assuming simple interest during the final fractional period. Zadanie 38 (K 13) It is known that $ 600 invested for two years will earn $264 in interest. Find the accumulated value of $2000 invested at the same rate of compound interest for three years. Zadanie 39 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 300 zł po 5 latach według rocznej stopy 7% i rocznej kapitalizacji odsetek. Zadanie 40 (K 15) At a certain rate of compound interest, 1 will increase to 2 in a years, 2 will increase to 3 in b years, and 3 will increase to 15 in c years. If 6 will increase to 10 in n years, express n as a function of a,b, and c. Zadanie 41 Przy jakiej rocznej stopie i w modelu oprocentowania składanego kapitał P podwoi swoja wartość po 5 latach? Ile wynosi a(5)? Zadanie 42 Ile wynosi roczny czynnik akumulacji, jeżeli po dwóch latach kapitał zł wygenerował zysk zł przy rocznej kapitalizacji odsetek? Zadanie 43 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 7800 zł po 15 miesiącach według stopy rocznej 11, 4% zakładając 1) oprocetnowanie składane. 2) oprocentowanie proste w niepełnym roku inwestycji Zadanie 44 Ile wynosi 2-letni czynnik akumulacji, jeśli kapitał 250 zł wygenerował zysk 50 zł w ciągu dwóch lat w modelu oprocentowania składanego rocznego? 4

5 Zadanie 45 Ile wynosi a) roczny b) 2-letni czynnik akumulacji, jeżeli po trzech latach kapitał 3000 zł wygenerował kapitał końcowy 3700 zł przy rocznej kapitalizacji odsetek? Zadanie 46 Ile wynosi a) 3-letni b) 6-letni czynnik akumulacji, jeżeli przez pierwszy rok inwestycji kapitał zł wygenerował odsetki zł przy składanym naliczaniu odsetek? Zadanie 47 (K ex.1.5) An investor age 35 deposits $10, 000 in a fund earning 7% compound interest until retirement at age 65. Find the amount of interest earned between ages 35 and 45, between ages 45 and 55, and between ages 55 and 65. Zadanie 48 Obliczyć dochód banku uzyskany w ciągu 5 lat, który przyjął w depozyt kwotę jp według rocznej stopy 5% i wypożyczył tę kwotę według rocznej stopy 20%. Zadanie 49 Jaką wartość osiągnie kapitał 6000 zł po 10 latach oprocentowania rocznego składanego przy rocznej stopie 5, 5%? Jaką wartość mają odsetki naliczone w szóstym roku inwestycji? Zadanie 50 Po ilu latach oprocentowania rocznego składanego przy stopie 5, 52% wartość kapitału 1600 jp przekroczy 1900 jp? Ile wyniosą odsetki należne za kolejne 2 lata? 6. Wartość bieżąca Zadanie 51 (K 1.17) The two sets of grandparents for a newborn baby wish to invest enough money immediately to pay $10, 000 per year for four years toward college costs starting at age 18. Grandparents A agree to fund the first two payments, while Grandparents B agree to fund the last two payments. If the effective rate of interest is 6% per annum, find the difference between the contributions of Grandparents A and B. Zadanie 52 (K 1.18) The sum of the present value of 1 paid at the end of n periods and 1 paid at the end of 2n periods is 1. Find (1 + i) 2n. Zadanie 53 (K 1.19) It is known that an investment of $500 will increase to $4000 at the end of 30 years. Find the sum of present values of three payments of$ each which will occur at the end of 20,40, and 60 years. 5

6 7. Efektywna stopa dyskontowa Zadanie 54 Dla inwestycji danej w zad.1 wyznaczyć efektywną stopę dyskontową w każdym z czterech lat. Zadanie 55 (K 1.20) Find d 5 if the rate of simple interest is 10%. Zadanie 56 (K 1.21) Find the effective rate of discount at which a payment $200 of immediately and $300 one year from today will accumulate to $600 two years from today. Zadanie 57 (K 1.22) The amount of interest earned on A for one year is $336, while the equivalent amount of discount is $300. Find A. Zadanie 58 Opłata za 3-miesięczną pożyczkę w wysokości 5000 zł ma postać dyskonta przy stopie dyskontowej 15%. Ile dłużnik otrzyma w momencie otrzymania pożyczki? Zadanie 59 Wyznaczyć wartość bieżącą kapitału $5000 płatnego pod koniec 25 miesięcy zakładając efektywną stopę dyskontową 8% oraz 1. dyskontowanie składane. 2. dyskontowanie proste w niepełnym roku inwestycji. Zadanie 60 Dla inwestycji o następujących płatnościach F (0) = 15000, F (1) = 15800, F (2) = 16240, F (3) = wyznaczyć efektywną stopę dyskontową w każdym z trzech lat. Zadanie 61 Wyznaczyć d 4, jeśli efektywna stopa oprocentowania składanego wynosi 8%. Zadanie 62 Wyznaczyć efektywną stopę dyskontową równoważną efektywnej stopie procentowej i = 7%. Zadanie 63 Wyznaczyć efektywną stopę dyskontową, przy której kapitał początkowy 7000 zł wygenerował zysk 1500 zł w ciągu dwóch lat inwestycji. Zadanie 64 Wyznaczyć różnicę pomiędzy równoważnymi odsetkami płatnymi z dołu i z góry dla pożyczki 1 wiedząc, że odsetki płatne z dołu były naliczone przy stopie efektywnej 7%. Zadanie 65 Wyznaczyć różnicę pomiędzy równoważnymi odsetkami płatnymi z dołu i z góry dla pożyczki 1 zł wiedząc, że odsetki płatne z góry były naliczone przy stopie dyskontowej 7%. Zadanie 66 Wyznaczyć różnicę pomiędzy równoważnymi prostymi odsetkami płatnymi z dołu (oprocentowanie proste) i z góry (dyskontowanie proste) dla t-letniej pożyczki 1 zł wiedząc, że odsetki płatne z dołu były naliczone przy stopie efektywnej i. 6

7 Zadanie 67 Wyznaczyć efektywną stopę dyskontową równoważną efektywnej stopie procentowej w czasie t < 1 (stosując oprocentowanie i dyskontowanie proste). Zadanie 68 (PK 2.7)W dniu pan Kowalski otrzymał kwotę 9300 zł, podpisując weksel o nominale zł z terminem wykupu Obliczyć stopę d. Obliczyć stopę i oprocentowania pożyczki płatnej z dołu w wysokości 9300 zł udzielonej na ten sam czas, równoważną stopie d. Zadanie 69 (PK 2.12) Firma, przewidując trudności ze spłatą weksla o wartości nominalnej zł w wymaganym terminie , zwraca się do banku, który jest w posiadaniu weksla, o jego zamianę na weksel równoważny z terminem wykupu Jaka jest wartość nominalna odnowionego weksla, jeśli w banku obowiązywała roczna stopa dyskontowa 12%? Zadanie 70 W dniu 1 marca zmienić dwa weksle: o wartości nominalnej 350 zł i terminie płatności 11 maja oraz o wartości nominalnej 1000 zł i terminie płatności 30 maja, na jeden weksel równoważny płatny 1 października. Bieżąca roczna stopa dyskontowa wynosi 4, 5%. Zadanie 71 Obliczyć roczną stopę dyskonta i rentowności dla 13-tygodniowych bonów skarbowych sprzedawanych po 9.588, 50 zł. Zadanie 72 (PK 2.14)Jaką cenę zakupu 26-tygodniowych bonów skarbowych powinien zgłosić bank B w swojej ofercie przetargowej, aby pożyczkodawca mógł osiągnąć rentowność z tej inwestycji w skali roku na poziomie przynajmniej: a)10%, b) 10, 5%, c) 11%? Zadanie 73 (PK 2.8)Przedsiębiorca uzyskał kredyt handlowy na okres 60 dni na zakup surowców o wartości zł. Jaka powinna być wartość nominalna weksla, zabezpieczającego tę transakcję, jeżeli strony zgodziły się na zastosowanie rocznej stopy dyskontowej 11%? Zadanie 74 Weksel o wartości nominalnej 70 zł i terminie płatności za 9 miesięcy zamienić na weksel równoważny z terminem płatności za 6 miesięcy. Bieżąca roczna stopa dyskontowa wynosi 7%. Zadanie 75 W dniu 1 maja zmienić dwa weksle: o wartości nominalnej 40 zł i terminie płatności 15 września oraz o wartości nominalnej 10 zł i terminie płatności 30 października, na jeden weksel równoważny płatny 1 września. Bieżąca roczna stopa dyskontowa wynosi 6, 5%. Zadanie 76 Wyznaczyć stopę dyskontową, jeżeli dyskonto handlowe weksla o wartości nominalnej 100 zł zdyskontowanego na 30 dni przed terminem wykupu wynosi 2 zł. Zadanie 77 (PK 2.5)Hurtownia przyjmuje zapłatę za towar w terminie nie przekraczającym 28 dni od daty zakupu. Jeśli klient reguluje należność w ciągu 7 dni od daty zakupu, to przysługuje mu rabat w wysokości 3%. 7

8 a) Przy jakiej stopie d warto wziąć pożyczkę z odsetkami płatnymi z góry, w celu skorzystania z rabatu, jeśli wartość zakupionego towaru wynosi zł? b) Przy jakiej stopie i warto wziąć pożyczkę z odsetkami płatnymi z dołu, w celu skorzystania z rabatu, jeśli wartość zakupionego towaru wynosi zł? Zadanie 78 Obliczyć cenę sprzedaży 13-tygodniowych bonów z dyskontem wynoszącym 364, 75 zł. 8. Nominalna stopa procentowa i dyskontowa Zadanie 79 (K 1.26) 1. Wyraź d (4) jako funkcję i (3). 2. Wyraź i (6) jako funkcję d (2). Zadanie 80 (K 1.27) 1. Pokaż, że i (m) = d (m) (1 + i) 1/m. 2. Zinterpretuj powyższą równość. Zadanie 81 Wyznacz kapitał końcowy 5300 zł zainwestowanych na 6 lat według kwartalnej stopy 3%. Zadanie 82 Wyznacz bieżącą wartość kapitału zł otrzymanego pod koniec 8 lat według stopy 4% w skali półroku przy odsetkach naliczanych z góry. Zadanie 83 Wyznacz nominalną stopę procentową składaną kwartalnie (dla oprocentowania kwartalnego) równoważną nominalnej stopie dyskontowej 6% składanej miesięcznie. Zadanie 84 Ile wynosi kwartalna stopa procentowa, jeżeli przy kwartalnej kapitalizacji odsetek odsetki za drugi kwartał od kwoty początkowej 20 jp wyniosły 2, 2 jp? Zadanie 85 Ile wynosi wartość końcowa kapitału 1000 zł po 5 latach, jeśli bank stosuje 1. model kapitalizacji rocznej przy rocznej stopie 12%? 2. model kapitalizacji półrocznej przy półrocznej stopie 6%? 3. model kapitalizacji miesięcznej przy miesięcznej stopie 1%? Zadanie 86 Wyznaczyć roczny czynnik akumulacji w modelu kapitalizacji 1. rocznej 2. półrocznej 3. miesięcznej 8

9 przy nominalnej stopie 12%. Zadanie 87 Obliczyć wartość 2, 5-letnich odsetek od kwoty 790 jp, jeśli nominalna stopa wynosi 8, 88%, odsetki kapitalizują się 1. po każdym półroczu. 2. po każdym miesiącu. Zadanie 88 Wyznaczyć wartość przyszłą 430 zł po 13 miesiącach oprocentowanych według stopy nominalnej 5, 5% i miesięcznej kapitalizacji odsetek. Zadanie 89 Find the nominal rate of interest convertible semiannually at which the accumulated value of $1000 at the end of 15 years is $3000 Zadanie 90 Po dwóch tygodniach oprocentowania dziennego kapitał 300 zł zwiększył swoją wartość o 3%. Wyznaczyć wartość tego kapitału po kolejnych dwóch tygodniach. Zadanie 91 Miesięczna stopa oprocentowania ROR wynosi 3%. Odsetki kapitalizuje się na koniec ostatniego dnia miesiąca, a w trakcie miesiąca nalicza się odsetki proste. Obliczyć saldo ROR na koniec kwietnia, jeśli: - saldo rachunku na koniec marca wynosiło 300 zł, - 4 kwietnia i 26 kwietnia wpłacono na rachunek po 1100 zł, - 12 kwietnia wypłacono z rachunku 900 zł. Zadanie 92 Jaki kapitał wygeneruje odsetki w wysokości 45 jp po pół roku w modelu kapitalizacji kwartalnej przy nominalnej stopie 4%? Zadanie 93 Find the accumulated value of $100 at the end of two years, if the nominal annual rate of interest is 6% convertible quarterly. Zadanie 94 Przy jakiej stopie kwartalnej i kwartalnym naliczaniu odsetek z góry kapitał końcowy 4000 zł wygeneruje odsetki płatne z góry w wysokości 400 zł w ciągu 15 miesięcy? Zadanie 95 Ile trzeba wpłacić na lokatę: a) roczną, b) półroczną, c) kwartalną, aby w każdym przypadku odebrać kwotę 1000 zł, jeśli okresowa stopa oprocentowania każdej lokaty jest proporcjonalna do miesięcznej stopy 1%? Zadanie 96 Przez ile miesięcy kapitał końcowy 2500 zł wygeneruje odsetki płatne z góry 9

10 a) 2500 zł b) 3000 zł przy dyskontowej stopie nominalnej 15% i miesięcznym naliczaniu odsetek. Zadanie 97 Bank A stosuje oprocentowanie półroczne składane przy stopie nominalnej 12%, zaś bank B oprocentowanie kwartalne składane przy stopie nominalnej 12%. Czy warunki oprocentowania proponowane przez te banki są równoważne. Zadanie 98 W banku A obowiązuje półroczna kapitalizacja odsetek przy stopie nominalnej 18%, w banku B obowiązuje kwartalna kapitalizacji odsetek przy stopie nominalnej i (4). Ile musi wynosić stopa i (4), aby warunki oprocentowania w banku A i B były równoważne? Zadanie 99 Mając roczną stopę efektywną 11% wyznaczyć równoważną stopę: 1. miesięczną. 2. tygodniową. 3. dzienną. Wyznaczyć stopy nominalne w każdym z trzech podpunktów i omówić zależność. Zadanie 100 Mając półroczną stopę 6% wyznaczyć równoważną stopę kwartalną w modelu oprocentowania składanego. Zadanie 101 Mając półroczną stopę 6% oprocentowania składanego wyznaczyć równoważną stopę kwartalną dyskontowania kwartalnego. Zadanie 102 Przy użyciu rocznego czynnika akumulacji wykazać nierównoważność stóp oprocentowania składanego i (4) = 3, 3% oraz i (12) = 1, 3%, a następnie obliczyć: 1. stopę i (12) równoważną stopie i (4) = 3, 3%. 2. stopę i (4) równoważną stopie i (12) = 1, 3% Zadanie 103 Model dyskontowania półrocznego składanego ze stopą nominalną dyskontową 23% zamienić na model dyskontowania 1. kwartalnego składanego 2. rocznego składanego zachowując równoważność warunków oprocentowania. Zadanie 104 Model dyskontowania półrocznego składanego ze stopą nominalną dyskontową 23% zamienić na model oprocentowania 1. kwartalnego składanego 2. rocznego składanego zachowując równoważność warunków oprocentowania. 10

11 Zadanie 105 Oblicz przyszłą wartość kapitału 100 jp po 3 latach w kapitalizacji ciągłej przy stopie nominalnej r = 3%. Zadanie 106 Wyznaczyć roczny czynnik akumulacji, jeśli kapitał 100 zł podlegał oprocentowaniu składanemu ciągłemu przy stopie nominalnej 12%. Wyznaczyć stopę efektywną równoważną stopie nominalnej. Zadanie 107 Jaki kapitał wygeneruje odsetki 43 zł po 18 miesiącach przy ciągłej kapitalizacji odsetek i stopie nominalnej 2%. Zadanie 108 Oblicz odsetki przypadające za drugi rok w kapitalizacji ciągłej przy stopie nominalnej 9% od kapitału początkowego 100 jp. Zadanie 109 Jaka będzie przyszła wartość kapitału 5000 jp po 6 latach, jeśli bank przez pierwsze 2 lata stosował nominalną stopę 2% a następnie nominalną stopę 1, 5% w modelu kapitalizacji ciągłej? Zadanie 110 Po jakim czasie nastąpi wzrost kapitału początkowego 480 jp do kwoty 800 jp, przy założeniu ciągłej kapitalizacji odsetek przy nominalnej stopie procentowej 6%? Zadanie 111 Wyznaczyć roczny czynnik akumulacji, jeśli po 3 latach kapitał 400 zł wygenerował zysk 44 zł w modelu oprocentowania składanego ciągłego. Zadanie 112 Co jest korzystniejsze: ciągła kapitalizacja przy nominalnej stopie 12%, czy miesięczna kapitalizacja przy 1. nominalnej stopie 12%? 2. nominalnej stopie 15%? Zadanie 113 Obliczyć największą i najmniejszą wartość odsetek wygenerowanych w ciągu 4 lat przez kapitał 4000 jp przy nominalnej stopie 14, 5%. Zadanie 114 Bez użycia kalkulatora sprawdzić, która z ofert jest korzystniejsza w ciągu roku: a) kapitalizacja dzienna przy stopie nominalnej 12%, b) kapitalizacja ciągła przy stopie 12%, c) kapitalizacja prosta godzinna przy stopie nominalnej 12%. Zadanie 115 Ile zarobi bądź straci właściciel kapitału 200 jp po roku, jeśli po 9 miesiącach od dnia wpłaty bank z kapitalizacji dziennej przeszedł na kapitalizację ciągłą przy nominalnej stopie procentowej 4%? Zadanie 116 Wyznaczyć roczne czynniki akumulacji w modelu oprocentowania prostego i składanego ciągłego dla stóp nominalnych: 1%, 5%, 10%, 15%. 11

12 Zadanie 117 Co jest korzystniejsze: ciągła kapitalizacja przy nominalnej stopie 10%, czy półroczna kapitalizacja przy 1. nominalnej stopie 12%? 2. nominalnej stopie 10%? 3. nominalnej stopie 8%? Zadanie 118 Wyznaczyć efektywną stopę procentową w modelu oprocentowania składanego przy kwartalnej kapitalizacji odsetek i nominalnej stopie procentowej 9% oraz podać roczny czynnik akumulacji. Zadanie 119 Zamierzamy wpłacić na rachunek bankowy kwotę , 00 zł. Bank A oferuje nominalną stopę 3% przy półrocznej kapitalizacji odsetek, bank B oferuje nominalną stopę 2, 8% przy dziennej kapitalizacji odsetek, zaś bank C oferuje nominalną stopę 2, 4% przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. Wyznaczając stopę efektywną sprawdzić, który bank oferuje najkorzystniejsze warunki oprocentowania? Zadanie 120 Pewien kapitał ulokowano na procent składany. Kapitalizacja odsetek następuje pod koniec każdego kwartału, a efektywna stopa procentowa jest równa 13%. Ile wynosi równoważna kwartalna stopa procentowa a ile nominalna? Zadanie 121 Firma zamierza sprzedać nieruchomość drogą przetargu. Otrzymała oferty od trzech nabywców. Pierwszy z nich chciałby ją kupić natychmiast regulując należność gotówką w wysokości zł, drugi proponuje sumę zł przy uregulowaniu należności za rok, trzeci zaś gotów jest zapłacić zł, ale po upływie 3 lat. Którą ofertę powinna wybrać firma, jeśli istnieje możliwość ulokowania gotówki w banku na procent składany 12% w skali roku? Zadanie 122 Bank A oferuje rachunek oszczędnościowy oprocentowany 4, 15% w skali roku przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. Bank B oferuje lokatę terminową 6-miesięczną oprocentowaną 4, 20% w skali roku. Która z ofert bankowych jest korzystniejsza, jeśli w ciągu 6 miesięcy nie planujemy żadnej wypłaty? Zadanie 123 Jaka jest efektywna i nominalna stopa procentowa w modelu kapitalizacji ciągłej, jeśli roczny czynnik akumulacji wynosi 1, 2? Zadanie 124 Jaka jest efektywna i nominalna stopa procentowa w modelu kapitalizacji miesięcznej, jeśli roczny czynnik akumulacji wynosi 1, 11? Zadanie 125 Pewien kapitał złożono na procent składany. Kapitalizacja odsetek następuje co miesiąc, a efektywna stopa procentowa wynosi 10, 5%. Ile wynosi równoważna stopa miesięczna a ile nominalna? Zadanie 126 Złożono w banku kapitał w wysokości , 00 zł. Po upływie 10 lat kwota kapitału wzrosła do , 00 jp. Jaka będzie kwota kapitału po upływie dalszych 4 lat? 12

13 9. Natężenie oprocentowania i dyskontowania Zadanie 127 (K Ex 1.14) Wyznacz kapitał końcowy 1000$ zainwestowanych na 10 lat, jeśli natężenie oprocentowania wynosi 5%. Zadanie 128 Wyznaczyć efektywną stopę procentową, jeśli δ = 10%. Zadanie 129 Wyznaczyć natężenie oprocentowania jeśli wiadomo, że kapitał P w ciągu roku wzrósł o 16%. Zadanie 130 Dla efektywnej stopy procentowe 8% wyznaczyć równoważną nominalną stopę procentową: i (2), i (4), i (12), i (360), δ. Zadanie 131 Dla efektywnej stopy dyskontowej 8% wyznaczyć równoważną nominalną stopę dyskontową: d (2), d (4), d (12), d (360), δ. 10. Oprocentowanie przy zmiennej stopie procentowej. Stopa przeciętna Zadanie 132 (K Ex. 1.17) Find the accumulated value of $1000 at the end of 15 years if the effective rate of iterest is 5% for the first 5 years, 4, 5% for the second 5 years, and 4% for the fird 5 years. Zadanie 133 (K Ex. 1.18) Inwestycja w akcje przynosi stopę zwrotu w skali roku: 15% w pierwszym roku, 5% w drugim roku, 8% w trzecim roku. Wyznaczyć równoważną stopę procentową efektywną w ciągu tych trzech lat. Zadanie 134 Wyznaczyć przeciętne natężenie oprocentowania, jeśli w kolejnych latach natężenie było zmienne i wynosiło: 15%, 3%, 10%, 15%. Zadanie 135 Bank zmienił oprocentowanie z 10% na 11%. Równocześnie bank wydłużył kapitalizację z kwartału na pół roku. Czy prawdziwa jest informacja banku, że zmiana ta nie pogorszy sytuacji klientów banku? Zadanie 136 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła: 11%, 9%, 5%, 8%. Wyznaczyć przeciętną kwartalną stopę procentową, jeśli bank stosował kapitalizację kwartalną. Zadanie 137 Przez pierwsze pół roku nominalna stopa procentowa wynosiła 4% a przez kolejne pół roku była większa o 0, 5 punktu procentowego. Wyznaczyć roczną efektywną stopę procentową równoważną przeciętnej półrocznej stopie procentowej, jeśli bank stosował kapitalizację półroczną. Zadanie 138 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła: 10%, 11%, 10%, 9%. Wyznaczyć roczną efektywną stopę procentową równoważną przeciętnej kwartalnej stopie procentowej, jeśli bank stosował kapitalizację kwartalną. 13

14 Zadanie 139 Odsetki od 2-letniej lokaty zł obliczono według zmiennej stopy procentowej. Stopa nominalna w pierwszym i drugim roku wynosiła, odpowiednio, 10% oraz 12%. W pierwszym roku odsetki były kapitalizowane co miesiąc, w drugim na koniec roku. Obliczyć 1. dwuletni czynnik akumulacji oprocentowania lokaty. 2. przeciętną roczną stopę oprocentowania lokaty. 3. odsetki należne na koniec drugiego roku. Zadanie 140 Bank A proponuje 3-letnią lokatę o oprocentowaniu ciągłym przy zmiennej stopie procentowej. W pierwszym roku natężenie oprocentowania będzie wynosić 3% i będzie się zwiększać o 0, 3 punktu procentowego w każdym następnym roku. Bank B proponuje lokatę 3-letnią o stałym oprocentowaniu kwartalnym przy stopie nominalnej 3, 5%. Która z lokat jest korzystniejsza dla klienta. Zadanie 141 Bank A proponował 5-letnią lokatę o oprocentowaniu ciągłym przy zmiennej stopie procentowej. W pierwszym roku stopa procentowa wynosiła 4% i była zmniejszana o 0, 1 punktu procentowego w każdym następnym roku. Bank B proponował lokatę 5-letnią o stałym oprocentowaniu kwartalnym z dołu przy stopie nominalnej 4%. Która z lokat była korzystniejsza dla klienta. Zadanie 142 Pięcioletnia lokata o wartości początkowej 5000 zł podlega rocznemu oprocentowaniu o zmiennej rocznej stopie procentowej: 3%, 3%, 3, 02%, 3, 12%, 2, 9%. Wyznaczyć roczną stopę przeciętną i miesięczną stopę przeciętna równoważną rocznej oraz wartość przyszłą kapitału po pięciu latach. Zadanie 143 W ciągu dwóch lat oprocentowanie rachunku bankowego było zmieniane wielokrotnie. W pierwszym półroczu stopa nominalna wynosiła 7%, a odsetki kapitalizowano pod koniec każdego kwartału. W trzecim kwartale odsetki były kapitalizowane pod koniec każdego miesiąca, a stopa nominalna wynosiła 6%. Następnie przez kolejne dwa miesiące obowiązywała kapitalizacja dwumiesięczna z dołu przy stopie nominalnej 6, 5%, przez kolejne pół roku odsetki były kapitalizowane pod koniec każdego kwartału przy stopie nominalnej 5, 75% a następnie do końca czasu oprocentowania lokaty obowiązywała kapitalizacja miesięczna z dołu przy nominalnej stopie 6, 3%. Obliczyć 1. efektywną stopę procentową dla każdego roku. 2. przeciętną stopę kwartalną. 3. wartość kapitału zł po dwóch latach stosując zmienne stopy podokresowe, stopy efektywne, stopy przeciętne. Zadanie 144 W banku A w kolejnych latach nominalna stopa procentowa wynosiła: 8%, 8, 2%, 8, 1%, 8%, zaś w banku B 7, 9%, 8, 4%, 8, 2%, 8, 1%. Wyznaczając przeciętną roczną stopę procentową w czasie 4 lat sprawdzić, który bank oferował korzystniejsze warunki oprocentowania w modelu oprocentowania 1. prostego. 14

15 2. miesięcznego skladanego. 3. kwartalnego składanego. Zadanie 145 W banku A w kolejnych latach nominalna stopa procentowa wynosiła: 8, 1%, 8, 2%, 8%, 7, 8%, 7, 8%, zaś w banku B 7, 9%, 8, 4%, 8, 2%, 8, 1%, 7, 7%. Wyznaczając przeciętną 1. roczną 2. podokresową stopę procentową w czasie 5 lat sprawdzić, który bank oferował korzystniejsze warunki oprocentowania w modelu oprocentowania 1. półrocznego składanego. 2. miesięcznego składanego. Zadanie 146 Nominalna stopa lokaty 3-miesięcznej zmieniała się co kwartał i wynosiła 6, 5%, 6, 4%, 6, 6%, 6, 7%. Wyznaczyć przeciętną kwartalną i roczną stopę w czasie roku. Zadanie 147 Przez pierwsze pół roku nominalna stopa procentowa wynosiła 6% a przez kolejne pół roku była większa o 0, 2 punktu procentowego. Wyznaczyć roczną i półroczną stopę przeciętną, jeśli bank stosował kapitalizację półroczną. Zadanie 148 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła: 5, 5%, 5, 7%, 5, 4%, 5%. Wyznaczyć roczną efektywną stopę procentową równoważną przeciętnej kwartalnej stopie procentowej, jeśli bank stosował kapitalizację kwartalną złożoną z dołu. Zadanie 149 Bank A oferuje lokatę 3-miesięczną przy stopie procentowej (nominalnej) 5, 8%, zaś bank B lokatę półroczną przy stopie procentowej (nominalnej) 5, 6%. W banku A w kolejnych kwartałach roku stop procentowa zmniejszała się o 0, 1 punktu procentowego, zaś w banku B po pół roku stopa procentowa zwiększyła się o 0, 2 punku procentowego. Która z lokat jest korzystniejsza w ciągu roku? 11. Inflacja. Stopa inflacji. Wartość realna kapitału w czasie Zadanie 150 W ciągu roku stopa inflacji zmieniała się co kwartał i przyjmowała kolejno wartości: 2%, 2, 5%, 1, 5% i 2, 7%. Wyznaczyć roczną stopę inflacji oraz przeciętną kwartalną stopę inflacji. Zadanie 151 Nominalne oprocentowanie rocznej lokaty wynosi 8% a roczna stopa inflacji 3, 5%. Ile wynosi realna roczna stopa procentowa? 15

16 Zadanie 152 Płaca pracownika w I kwartale pewnego roku wynosiła 7000 zł miesięcznie i była indeksowana co kwartał wskaźnikiem wzrostu płac równym 0, 8 stopy inflacji z poprzedniego kwartału. W kolejnych kwartałach roku stopa inflacji wynosiła odpowiednio: 3%, 3, 5%, 3, 2%, 3, 1%. Wyznaczyć a) płacę pracownika w I kwartale następnego roku, b) roczną stopę inflacji, c) przeciętną kwartalną stopę inflacji d) realną stopę wzrostu płacy pracownika w ciągu roku. Zadanie 153 Jaki jest realny wzrost dotacji na badania naukowe w danym roku, jeśli jest ona wyższa od ubiegłorocznej o 18% i stopa inflacji wyniosła 4%? Zadanie 154 Oprocentowanie 6-miesięcznej lokaty bankowej o wartości 8000 zł wynosi 5, 05% w skali roku. Obliczyć nominalną i realną wartość lokaty oraz nominalną i realną wartość odsetek na koniec lokaty, jeśli stopa inflacji wyniosła w tym półroczu 1, 7%. Wyznaczyć realny przyrost kapitału (I r = F re P ) oraz zbadać zależność pomiędzy tym przyrostem a realnymi odsetkami (I re = Inom 1+i inf ). Zadanie 155 Mając nominalną stopę d inf = 5% pomniejszania wartości nominalnej kapitału F nom wyznaczyć: a) stopę inflacji i inf równoważną stopie d inf. b) realną wartość kapitału F nom = Ponadto udowodnić wzór I r = I re P d inf. Zadanie 156 Ania wpłaciła dziś zaoszczędzone 300 zł na półroczną lokatę bankową, na której odsetki są naliczane co pół roku przy półrocznej stopie 3, 5%. Zosia woli swoje oszczędności trzymać w pończosze, a ich wartość wynosi obecnie również 300 zł. Obliczyć nominalną i realną wartość oszczędności Ani i Zosi za pół roku oraz nominalną i realną stopę ich wzrostu, jeśli półroczna stopa inflacji wyniesie: Odp. a) 1, 5%, b) 1, 5%. a) F A nom = 310, 5; F Z nom = 300; F A re = 305, 91133; F Z re = 295, 5665; i A = 3, 5%; i Z = 0%; i A re = 1, 97%, i Z re = 1, 48%. b) F A nom = 310, 5; F Z nom = 300; F A re = 315, 2284; F Z re = 304, 5685; i A = 3, 5%; i Z = 0%; i A re = 5, 076%, i Z re = 1, 52%. Zadanie 157 Kapitał 2500 zł umieszczono na rocznej lokacie przy rocznej stopie 5, 5%. W tym czasie inflacja zmieniała się co kwartał i przyjmowała kolejno wartości: 0, 2%, 0, 25%, 0, 15% i 0, 19%. Obliczyć 16

17 a) nominalną i realną wartość tego kapitału po roku. Odp. b) realną wartość odsetek i przyrost realny w ciągu roku. c) stopę d inf w skali roku. a) F nom = 2637, 5; F re = 2616, 77. b) I re 136, 42; I r = 116, 77 c) d inf = 0, 786% Zadanie 158 W I, II i III kwartale przeciętna miesięczna stopa inflacji wyniosła, odpowiednio, 1, 6%, 2%, 2, 3%. Obliczyć: Odp. a) stopę inflacji w I kwartale, b) roczną stopę inflacji, jeśli w każdym miesiącu IV kwartału stopa inflacji będzie stała i wyniesie 2, 4%, c) przeciętną kwartalną stopę inflacji, jeśli w IV kwartale stopa inflacji wyniesie 6, 9%, d) przeciętna miesięczną stopę inflacji w IV kwartale, przy której roczna stopa inflacji będzie na poziomie 25%. a) 4, 88%. b) 27, 94%. c) 6, 24%. d) 1, 61%. Zadanie 159 Stopa oprocentowania lokaty 12-miesięcznej wynosi 10%. Jaka jest realna roczna stopa procentowa, jeżeli stopa inflacji w poszczególnych kwartałach wynosiła odpowiednio: 1, 1%, 1, 05%, 1, 15%, 1, 08%. Odp. 5, 31% Zadanie 160 Spłata pożyczki 6500 zł ma nastąpić po dwóch latach kwotą 8000 zł. Obliczyć realną roczną (przeciętną) stopę oprocentowania pożyczki, jeśli: a) poziom inflacji w każdym roku jest na poziomie 5%, b) w pierwszym roku stopa inflacji wyniesie 6%, a w drugim 9%. 17

18 12. Renty podstawowe Zadanie 161 Pokazać i zinterpretować wzór 1 = ia n + v n. Zadanie 162 Wyznaczyć wartość początkową renty wypłacającej 500 jp po każdym półroczu przez 20 lat, jeśli a) nominalna stopa procentowa wynosi 9% i kapitalizacja jest półroczna. b) stopa okresu bazowego wynosi 5%. Zinterpretować wynik. Zadanie 163 Wyznaczyć wielkość rat miesięcznych płatnych z dołu, jeśli inwestujemy zł na 6% w skali roku przy miesięcznej kapitalizacji odsetek na 5 lat oraz I po pięciu latach kwota inwestycji się zwraca. II kwota jest uwzględniona w ratach. Zadanie 164 (K 3.1) Rodzice chcąc zaoszczędzić $ na studia dziecka przez pierwsze 10 lat wpłacają po 1000$ pod koniec każdego roku oraz przez kolejne 10 lat wpłacają po X pod koniec każdego roku. Wyznaczyć X, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 7%. Zadanie 165 (K 3.2) Cena samochodu wynosi $. Kupujący jest skłonny spłacać go płatnościami w wysokości 250$ pod koniec każdego miesiąca przez cztery lata przy rocznej stopie 18% i miesięcznemu naliczaniu odsetek oraz wpłacić zaliczkę w wysokości X. Wyznaczyć X. Zadanie 166 Pożyczkobiorca A pożycza kwotę $ na 8 lat i spłaca kredyt równymi rocznymi ratami. Pożyczkobiorca B pożycza również kwotę $ na 8 lat przy czym po każdym roku spłaca wyłącznie odsetki zaś kwotę kredytu planuje spłacić pod koniec ósmego roku. O ile więcej spłaci B pod koniec ósmego roku, jeśli efektywna stopa procentowa wynosi 8, 5% Zadanie 167 (K 3.7) Wyznacz ä 8, jeśli efektywna stopa dyskontowa wynosi 10%. Zadanie 168 (K 3.8) Wyznacz wartość początkową renty płatnej z góry po 200$ przez cztery lata co pół roku od teraz oraz renty płatnej z góry po 100$ przez dziesięć lata co pół roku od teraz, jeśli i (2) = 6%. Zadanie 169 (K 3.9) Pracownik w wieku 40 lat chcąc zaoszczędzić na emeryturę postanawia przez 25 lat lokować 3000$ na początku każdego roku. W wieku 65 lat chce przez 15 lat wypłacać na początku każdego roku określoną kwotę aż do wyczerpania zasobów finansowych. Wyznacz tę kwotę, jeśli efektywna stopa procentowa przez pierwsze 25 lat wynosi 8% a następnie 7%. 18

19 Zadanie 170 Obliczyć czynnik a 10 i dla i = 5%, i = 15%, i = 25%. Zadanie 171 Pokazać a) s ni = a ni (1 + i) n. b) s ni = ä ni (1 + i) n. c) s ni = s ni (1 + i). d) ä n = a n e) s n = s n+1 1. Zadanie 172 Jaka jest bieżąca wartość samochodu, jeżeli firma na początku zapłaciła 25% wartości samochodu i spłaca go miesięcznymi kwotami wnoszonymi z dołu w wysokości 500 zł przez 10 lat? Stopa okresu bazowego wynosi 1, 5%. Zadanie 173 Obliczyć wartość renty jednostkowej płatnej w dziesięciu ratach z góry na moment t = 5. Stopa okresu bazowego 3%. Obliczenia dokonać na trzy sposoby. Zadania do samodzielnego rozwiązania: Zadanie 174 Cena mieszkania wynosi zł, przy czym można je spłacać stałymi ratami miesięcznymi dokonywanymi z dołu przez 3 lata w wysokości zł. Jakiej wielkości musi być kapitał własny, jeśli raty są oprocentowane według stopy miesięcznej 1%. Odp. X = , 73 Zadanie 175 Firma ma zamiar kupić samochód dostawczy. Z rachunków szacunkowych wynika, że dzięki tej inwestycji pod koniec każdego roku przez 5 lat będzie miała zyski w wysokości zł, zaś po 5 latach samochód będzie można sprzedać za zł. Jaka jest obecna wartość samochodu, jeśli do obliczeń stosowano i = 20%? Odp. X = , 63 Zadanie 176 Wyznaczyć wartość początkową i końcową renty wypłacającej 4000 zł na początku każdego kwartału przez 8 lat, jeśli nominalna stopa procentowa wynosi 12% i kapitalizacja jest kwartalna. Obliczeń dokonać na dwa sposoby. Odp. P = 84001, 71, F V = , 365. Zadanie 177 Wyznaczyć wielkość rat rocznych płatnych z dołu, jeśli inwestujemy zł na 4% w skali roku na 9 lat oraz I. po 9 latach kwota inwestycji się zwraca. II. kwota jest uwzględniona w ratach. Odp. Ad II. X = 10086, 97 19

20 Zadanie 178 Kupujemy samochód za zł wpłacając zaliczkę zł. Pozostałą kwotę mamy spłacić przez pierwsze trzy lata kwotami X wnoszonymi pod koniec każdego miesiąca oraz kwotami 2X wnoszonymi przez kolejne dwa lata pod koniec każdego miesiąca. Wyznaczyć X, jeśli stopa okresu bazowego wynosi 1, 4%. Odp. X = 1233, 465 Zadanie 179 Jakiej wielkości raty należy wpłacać do banku pod koniec każdego miesiąca przez 20 lat przy stopie okresu bazowego 1, 5%, żeby po tych 20 latach móc wypłacać z dołu co miesiąc stałą kwotę 1500 zł przez kolejne 20 lat tak aby kapitał się wyczerpał. Stopa okresu bazowego wypłat wynosi 1, 8%. Odp. X = 35, 59 Zadania na zajęciach: Zadanie 180 Rozważmy kapitał zł. Osoba A czerpie zyski w wysokości 7% rocznie przez 10 lat, osoba B przez drugie 10 lat również w wysokości 7% rocznie a osoba C przez pozostałe lata (w nieskończoność) w wysokości 7% rocznie. Wyznacz relatywny równoważny wkład każdej z tych osób. Zadanie 181 (5.3 PK) Jaką kwotę należy zdeponować dziś na rachunku oprocentowanym według stopy nominalnej 6% przy kapitalizacji kwartalnej, aby po trzech latach móc pobierać po 200 zł na koniec każdego kwartału. Rozwiązanie zapisać na dwa sposoby. Zadanie 182 (5.6 PK) Saldo rachunku wynosi 25 tys. zł. a) Jeśli efektywna stopa wynosi 3%, jaka jest maksymalna kwota, którą można pobierać w nieskończoność z rachunku na koniec kolejnych lat? b) Przy jakiej minimalnej efektywnej stopie procentowej można z rachunku pobierać rentę wieczystą w wysokości 800 zł pod koniec każdego roku? Zadanie 183 (5.9 PK) Dług można spłacić za pomocą 48 miesięcznych płatności po 100 zł na koniec kolejnych miesięcy lub wpłacając kwotę 4279 zł na koniec miesiąca N. Jeśli i 12 = 1%, ile wynosi N? Zadanie 184 (5.12 PK) Renta składa się z 25 rat płatnych z dołu: pierwszych osiem po 400 zł, dziesięć następnych po 500 zł, siedem ostatnich po X zł. Obliczyć X, wiedząc, że dla i = 3% wartość końcowa tej renty wynosi 15 tys. zł. Rozwiązanie zapisać na dwa sposoby. Zadanie 185 Z tytułu ubezpieczenia Pan A za 10 lat będzie otrzymywał przez 30 lat miesięczne płatności w wysokości 500 zł każda. Jaką kwotę musi zgromadzić na ten cel dzisiaj firma ubezpieczeniowa, jeśli do obliczeń zastosuje stopę bazową 0, 8%. Zadanie letnie obligacje Skarbu Państwa wyemitowane w grudniu 2010 roku są obligacjami o stałym oprocentowaniu. Zgodnie z warunkami emisji każda obligacja daje posiadaczowi prawo do rocznych odsetek w w wysokości 6% w skali roku płatnych na koniec roku. Wartość nominalna obligacji wynosi 1000 zł. Obliczyć kwotę jaka po 5 latach zostanie zgromadzona na rachunku, jeśli firma zakupiła 500 takich obligacji a odsetki od nich będą przelewane na rachunek firmy oprocentowany według efektywnej stopy 3%. 20

21 Zadania do samodzielnego rozwiązania: Zadanie 187 Jakiej wielkości raty należy wpłacać do banku pod koniec każdego miesiąca przez n lat, żeby po tych n latach móc wypłacać z dołu co miesiąc stałą kwotę 1000 zł przez kolejne n lat, tak aby kapitał się wyczerpał. Stopa okresu bazowego wpłat i wypłat wynosi 0, 1%. a) n = 10, b) n = 20. Wyciągnąć wnioski dotyczące zależności wielkości wpłat od ilości płatności n. Odp. Wyniki - patrz zad. 189 Zadanie 188 Jakiej wielkości raty należy wpłacać do banku pod koniec każdego miesiąca przez n lat, żeby po tych n latach móc wypłacać z dołu co miesiąc stałą kwotę 1000 zł przez kolejne n lat, tak aby kapitał się wyczerpał. Stopa okresu bazowego wpłat i wypłat wynosi 1%. a) n = 10, b) n = 20. Wyciągnąć wnioski dotyczące zależności wielkości w wpłat od ilości płatności n. Odp. Wyniki - patrz zad. 189 Zadanie 189 Porównać wyniki w dwóch powyższych zadaniach i wyciągnąć wnioski ze względu na stopę okresu bazowego. Odp. W powyższych zadaniach pojawiły się wyniki: 91, 81; 302, 99; 786, 72; 886, 97 (w kolejności od najmniejszego do największego). Zadanie 190 Jaką kwotę należy zdeponować dziś na rachunku oprocentowanym według stopy nominalnej 9% przy kapitalizacji miesięcznej, aby po pięciu latach móc pobierać po 650 zł na koniec każdego miesiąca dożywotnio. Zadanie 191 Renta składa się z 57 rat płatnych z góry: pierwszych 13 po 700 zł, następne 24 po 900 zł, następnych 7 po X zł i ostatnich 13 po 2X. Obliczyć X, wiedząc, że dla i = 2% wartość początkowa tej renty wynosi 35669, 77 zł. Odp. X = Zadanie 192 Z tytułu ubezpieczenia Pan A za 15 lat będzie otrzymywał dożywotnio rentę w wysokości 1250 zł pod koniec każdego miesiąca. a) Jaką kwotę musi zgromadzić na ten cel dzisiaj firma ubezpieczeniowa, jeśli do obliczeń zastosuje stopę bazową 1, 3%. b) Czy regularne wpłaty miesięczne z dołu w wysokości 100 zł każda wnoszone pod koniec każdego miesiąca przez te 15 lat wystarczą na zgromadzenie odpowiednich środków. Odp. a) X =

22 Zadania na zajęciach: Zadanie 193 Pożyczamy zł na N miesięcy na 2% w skali miesiąca. Ile wynosi N, jeśli miesięczne płatności dokonywane z dołu wynoszą 300 zł każda? Wyznaczyć N a) jeśli ostatnia regularna płatność będzie odpowiednio powiększona. Wyznaczyć kwotę o jaką zostanie powiększona. b) jeśli ostatnia płatność nastąpi jeden miesiąc po płatności 300 i będzie odpowiednio niższa od tej płatności. Wyznaczyć wielkość tej niższej ostatniej płatności c) jeśli ostatnia płatność nastąpi po niepełnym miesiącu czasu od ostatniej regularnej płatności. Wyznaczyć wielkość tej płatności. Zadanie 194 Wyznaczyć stopę procentową i przy której 4159, 5 jest wartością początkową renty płatnej z dołu w wysokości 300 o 15 płatnościach. Zadanie 195 Wyznaczyć stopę procentową i przy której s 3 i wynosi 3, 15. Zadanie 196 Wyznaczyć wartość początkową renty płatnej z dołu o pięciu ratach w wysokości 450 zł każda, jeśli przez pierwsze 3 okresy obowiązywała stopa 3% a przez następne 2 okresy 3, 5%.. Zadania do samodzielnego rozwiązania: Zadanie 197 Kwota 3794 zł ma być spłacona stałymi ratami wysokości 125 zł naliczonymi według stopy 1, 5% wnoszonymi z dołu. Wyznaczyć ilość rat a) jeśli ostatnia regularna płatność będzie odpowiednio powiększona. Wyznaczyć kwotę o jaką zostanie powiększona. b) jeśli ostatnia płatność nastąpi jeden okres po ostatniej regularnej płatności 125 zł i będzie odpowiednio niższa od tej płatności. Wyznaczyć wielkość tej niższej ostatniej płatności c) jeśli ostatnia płatność nastąpi po niepełnym okresie czasu od ostatniej regularnej płatności. Wyznaczyć wielkość tej płatności. Odp. 40, 8; 98, 899, 100, 38; 99, 85 Zadanie 198 O jaką kwotę powinniśmy powiększyć ostatnią regularną płatność, jeśli 892 zł ma być spłacone 12 miesięcznymi płatnościami wnoszonymi z dołu w wysokości 100 przy stopie okresu bazowego 5% Zadanie 199 Wyznaczyć stopę procentową i w przybliżeniu, przy której 766, 84 = 110ä 9. Odp. Dokładana stopa procentowa wynosi 7%, przybliżona 7, 5% 22

23 Zadanie 200 Wyznaczyć stopę procentową i w przybliżeniu, przy której s 19 wynosi 23, 297. Odp. Dokładna stopa procentowa wynosi 2%, przybliżona 1, 86% Zadanie 201 Wyznaczyć wartość końcową renty płatnej z góry o 15 ratach rocznych w wysokości 220 zł każda, jeśli przez pierwsze 5 lat obowiązywała stopa efektywna 5%, przez kolejne 5 lat stopa efektywna 6% i przez ostatnie 5 lat stopa efektywna 3%. Odp. 4491, 6 23

24 13. Renty - ogólnie Zadanie 202 Wyznaczyć wartość początkową renty jednostkowej płatnej z dołu przez 5 lat co kwartał, jeśli nominalna stopa oprocentowania miesięcznego wynosi 12%. Obliczenia dokonać na dwa sposoby. Zadanie 203 Wyznaczyć wartość końcową po 6 latach inwestycji, w której przez pierwsze dwa lata płatności w wysokości 300 zł są dokonywane na początku każdego półrocza a przez kolejne 4 lata są dokonywane płatności w wysokości 200 na początku każdego kwartału. Nominalna stopa oprocentowania miesięcznego wynosi 10%. Zadanie 204 Kwota 3000 zł, ulokowana na rachunku oprocentowanym 5% w skali roku przy półrocznym naliczaniu odsetek, stanowi kapitał z którego pobierane są stałe płatności w wysokości 300 zł pod koniec każdego roku tak długo jak to możliwe, przy możliwym powiększeniu ostatniej regularnej płatności. Wyznaczyć ilość tych płatności oraz kwotę o jaką zostanie powiększona ostatnia regularna płatność. Zadanie 205 Pożyczka w wysokości 6000 zł ma być spłacona w kwartalnych ratach pod koniec każdego kwartału przez 3 lata. Jeśli nominalna stopa oprocentowania półrocznego wynosi 12%, wyznaczyć wielkość płatności.. Zadania do samodzielnego rozwiązania: Zadanie 206 Wyznaczyć wartość początkową renty jednostkowej płatnej przez 8 lat na początku każdego półrocza, jeśli nominalna stopa oprocentowania miesięcznego wynosi 12%. Obliczenia dokonać na dwa sposoby. Odp. Wartość początkowa wynosi 10, 62. Zadanie 207 Wyznaczyć wartość końcową inwestycji po 10 latach, jeśli przez pierwsze 5 lat płatności w wysokości 150 zł były dokonywane pod koniec każdego kwartału a przez kolejne 5 lat płatności w wysokości 300 zł były dokonywane na początku każdego półrocza. Nominalna stopa oprocentowania miesięcznego wynosi 24%. Obliczenia dokonać na dwa sposoby. Odp. Wartość końcowa wynosi 24449, 41 (z zasady równoważności stóp procentowych wyniesie około 24447). Zadanie 208 Kwota 1000 zł, ulokowana na rachunku oprocentowanym 9% w skali roku przy kwartalnym naliczaniu odsetek, stanowi kapitał z którego pobierane są stałe płatności w wysokości 200 zł pod koniec każdego roku tak długo jak to możliwe, przy możliwym powiększeniu ostatniej regularnej płatności. Wyznaczyć ilość tych płatności oraz kwotę o jaką zostanie powiększona ostatnia regularna płatność. Obliczenia dokonać na dwa sposoby. Odp. Ilość regularnych płatność po 200 wynosi 7 przy czym ostatnią regularną płatność należy powiększyć o kwotę około 7,

25 Zadanie 209 Niech czas inwestycji składa się z n okresów kapitalizacji i niech każdy okres kapitalizacji składa się z m podokresów bazowych. Pokazać, że wartość początkowa renty o n m płatnościach wysokości R każda wynosi: P = Rm 1 vn i (m), gdzie v = (1 + i) 1, i jest stopą okresu kapitalizacji, i (m) jest okresową (o okresie zgodnym z okresem kapitalizacji) nominalną stopą procentową równoważną stopie i. Zadanie 210 Wyznaczyć wartość początkową renty o płatnościach wysokości 50 zł dokonywanych pod koniec każdego miesiąca przez 5 lat, jeśli renta jest oprocentowana 6% rocznie przy rocznej kapitalizacji odsetek. Obliczenia dokonać na dwa sposoby Odp. P = 2596, 19 Zadanie 211 Wyznaczyć wartość początkową renty o płatnościach wysokości 50 zł dokonywanych pod koniec każdego miesiąca przez 5 lat, jeśli renta jest oprocentowana 6% rocznie przy półrocznej kapitalizacji odsetek. Obliczenia dokonać na dwa sposoby. Odp. P = 2590,

26 14. Spłata długów Będziemy zakładać, że raty wnoszone są z dołu. Zadanie 212 Dług 300 zł został spłacony sześcioma półrocznymi ratami R 1 = 60 zł, R 2 = 70 zł, R 3 = 80 zł, R 4 = 90 zł, R 5 = 100 zł, R 6 =? zł, przy 24% w skali roku i półrocznej kapitalizacji odsetek oraz przy aktualizacji na moment t = 3. Ile wynosi szósta rata. Czy ten sam ciąg rat umarza ten dług przy aktualizacji na moment t = 6? Zadanie 213 Pożyczkę 3500 zł spłacono równoważnymi jej ratami: 500 zł, 800 zł, 900 zł, 1000 zł, 1000 zł. Stosując retrospektywną i prospektywną zależność długu i rat, przedstawić dług bieżący po spłaceniu trzech rat. Zadanie 214 Plan spłaty długu S przewiduje 5 płatności rocznych wysokości 20 jp, 29 jp, 37 jp, 34 jp, 11 jp. Roczna stopa procentowa wynosi 10% i kapitalizacja jest roczna. Wyznaczyć wysokość długu oraz rozkład każdej raty na ratę kapitałową i odsetkową. Zadanie 215 Sporządzić plan amortyzacji kredytu w wysokości 9000 jp, oprocentowany według rocznej stopy 36% i rocznej kapitalizacji odsetek. Kredyt ten ma być spłacony w trzech równych ratach rocznych. Zadanie 216 Dług zł należy spłacić w 48 ratach annuitetowych. Wyznaczyć dług bieżący po spłaceniu trzydziestu rat oraz część kapitałową i odsetkową Trzydziestej raty raty. Stopa okresu bazowego wynosi 1, 2%. Zadanie 217 Dług S należy spłacić w 5 ratach o następujących częściach kapitałowych: T 1 = 12 jp, T 2 = 11 jp, T 3 = 10 jp, T 4 = 9 jp, T 5 = 8 jp. Stopa okresu bazowego wynosi 23%. Wyznaczyć S oraz ciąg rat umarzających dług S. Zadanie 218 Kredyt jest spłacany pięcioma miesięcznymi ratami annuitetowymi. Obliczyć brakujące elementy spłaty długu, jeśli T 1 = 145, 0695, T 3 = 147, 9853, I 3 = 4, Zadanie 219 Dług 1500 zł należy spłacić 4 ratami o częściach kapitałowych stanowiących ciąg stały przy stopie okresu bazowego 1, 4%. Wyniki przedstawić w tabeli. Co można powiedzieć o ratach łącznych? Zadanie 220 Dług 400 zł należy spłacić 4 miesięcznymi ratami a) malejącymi, b) stałymi. Ułożyć plan spłaty długu, jeśli stopa okresu bazowego wynosi 10%. Obliczyć sumę odsetek i porównać wyniki. Zadanie 221 Dług 2000 zł ma być spłacony 24 ratami malejącymi. Wyznaczyć 26