Aerodynamika I Podstawy nielepkich przepływów ściśliwych

Transkrypt

1 Aerodynamika I Podstawy nielepkich przepływów ściśliwych żródło:wikipedia.org

2 Podstawy dynamiki gazów

3 Gaz idealny Zbiór chaotycznie poruszających się cząsteczek w którym cząsteczki oddziałują na siebie tylko poprzez doskonale sprężyste zderzenia. Rozmiar cząsteczek jest pomijalnie mały w stosunku do drogi swobodnej. Równanie stanu (Clapeyrona): p V = R T (1.1) parametry stanu: p ciśnienie, T temperatura, V objętość W dynamice gazów korzystamy z zależności (dla masy jednostkowej gazu): V = 1 ρ Równanie stanu (1.1) przybiera wtedy postać: p ρ = R T (1.)

4 Gaz doskonały Wprowadźmy dwie funkcje stanu energię wewnętrzną e i entalpię h: h = e + p ρ (1.3) Dla gazu doskonałego energia wewnętrzna i entalpia są liniowymi funkcjami temperatury. Korzystając z (1.) otrzymamy: e = e(t ) = c v T c v = const (1.4) h = h(t ) = c p T c p = const (1.5) p = R T = (cp cv) T R = cp cv (1.6) ρ Wprowadzając współczynnik k = c p/c v otrzymamy: c p = k R k 1 c v = R k 1 h = k p k 1 ρ e = 1 p k 1 ρ (1.7)

5 Pierwsza zasada termodynamiki Zmiana energii wewnętrznej układu zamkniętego jest równa sumie dostarczonego do układu ciepła i pracy sił zewnętrznych wykonanej nad układem. przemiany termodynamiczne: de = δq + δw (1.8) przemiana adiabatyczna brak wymiany ciepła z otoczeniem przemiana odwracalna istnieje możliwość powrotu do początkowego stanu gazu. Brak efektów związanych z dysypacją (np. lepkość, przewodnictwo cieplne) przemiana izentropowa adiabatyczna i odwracalna. Entropia nie podlega zmianie (patrz następny slajd) Dla przemiany odwracalnej (brak sił tarcia) δw = p dv de = δq p dv (1.9)

6 Druga zasada termodynamiki Pierwsza zasada termodynamiki opisuje zachowanie energii lecz nie określa kierunku przemian. Np. przekazywanie ciepła z ciała A do ciała B gdy T A < T B jest z nią zgodne. Wprowadźmy nową funkcję stanu entropię s: ds = δqrev T (1.10) δq rev infinitezymalne ciepło dodane do układu w przemianie odwracalnej Dla dowolnej przemiany zachodzi zależność: ds = δq T a dla adiabatycznej, gdzie δq = 0: + dsirrev ds δq T (1.11) (1.11) i (1.1) opisują drugą zasadę termodynamiki: ds 0 (1.1) Entropia układu rośnie lub co najwyżej pozostaje niezmieniona.

7 Druga zasada termodynamiki c.d. W przypadku przemiany odwracalnej korzystając z 1 Z.T. (1.9) i (1.10): korzystając z definicji entalpii (1.3) i (1.13) : T ds = de + p dv (1.13) dh = de + p dv + V dp (1.14) T ds = dh V dp (1.15) Korzystając z równania stanu (1.1) i równań (1.4) i (1.5) : dt ds = c v T dt ds = c p T + p dv T V dp T dt = c v T dt = c p T + R dv V R dp p (1.16) (1.17) Zmianę entropii dla gazu doskonałego w przemianie 1 można wyznaczyć: s s 1 = s s 1 = T T 1 T T 1 c v dt T c p dt T + V V 1 R dv V p p 1 R dp p = cv ln T T 1 + R ln V V 1 (1.18) = cp ln T T 1 R ln p p 1 (1.19)

8 Przemiana izentropowa Równanie (1.19) można przekształcić: s s 1 = k R k 1 p ρ1 ln R ln p = R p 1 ρ p 1 k 1 s s 1 = [ k ln [ ( ) ] R k k 1 ln p ρ1 p 1 ρ ] p ρ1 (k 1) ln p p 1 ρ p 1 (1.0) Dodatkowe zależności na zmianę temperatury w funkcji zmian ciśnienia lub gęstości można wyprowadzić z (1.19) lub (1.18). Ostatecznie, dla przemiany izentropowej (s s 1 = 0) otrzymamy zależność: p 1 p = ( ) k ( ) k ρ1 T1 k 1 = ρ T (1.1)

9 Równania ruchu nielepkiego płynu ściśliwego W ruchu płynu ściśliwego ρ const! Całkowe równania ruchu dla pewnej objętości Ω ograniczonej brzegiem Γ (pominięto pole sił objętościowych): Równanie ciągłości ρ dω + ρ v n dγ = 0 t Ω Γ (1.) Równanie pędu ρ v dω + ρ v (v n) dγ = p n dγ t Ω Γ Γ (1.3) Równanie energii całkowitej E = e + v t ρ E dω + Ω ρ E v n dγ = p v n dγ + ρ q dω Γ Γ Ω }{{}}{{} praca v wektor pola prędkości q źródło ciepła (dla typowych warunków q = 0) ciepło (1.4)

10 Równania ruchu nielepkiego płynu ściśliwego c.d. Różniczkowe równania w formie zachowawczej: Równanie ciągłości Równanie pędu ρ + (ρv) = 0 (1.5) t (ρv) t Równanie energii całkowitej (ρe) t + (v ρv) + p = 0 (1.6) + (v(ρe + p)) = ρ q (1.7)

11 Porównanie równań płynu ściśliwego i nieściśliwego w ruchu ustalonym Równanie ciągłości Równanie pędu v = 0 (ρv) = ρ v + v ρ = 0 (1.8) (v v) + 1 p = 0 (v ρv) + p = 0 (1.9) ρ Równanie energii brak (ρe v) + p = 0 (1.30) W przypadku nieściśliwym, substytutem równania energii może być równanie Bernoulliego (całka równania pędu!). Równanie to opisuje zamianę pracy sił ciśnienia w energię kinetyczną: v + p = const (1.31) ρ

12 Prędkość dźwięku p + dp ρ + dρ u = du c p ρ u = 0 p + dp ρ + dρ u = c + du p ρ u = c układ związany z otoczeniem układ związany z zaburzeniem równanie ciągłości: równanie pędu: (ρ + dρ)(c du)a = ρ c A du = c dρ ρ + dρ (1.3) ṁ(c du) (p + dp)a = ṁ c p A ρ c du = dp (1.33) ( ) c ρ δρ ρ + dρ = dp c = dp 1 dρ (1.34) dρ ρ dla małych zabużeń dρ ρ: c = dp dρ dla izentropy c = k p ρ = k R T (1.35)

13 Liczba Macha Liczba Macha to bezwymiarowa liczba podobieństwa dla zjawisk falowych w przepływie płyny ściśliwego. M = u c (1.36) Przykład W warunkach standardowych: p = 1000 hp a, T = 5 C = K dla powietrza (cząsteczki dwuatomowe) k = 1.4, R = J kg K gęstość ρ = p = kg/m3 R T prędkość dźwięku c = k T = m/s poruszając się z prędkością u = 100 km/h = m/s liczba Macha M = 0.095

14 Klasyfikacja rodzajów przepływu w zależności od liczby Macha nieściśliwy M < 0.3 przepływ może być traktowany jako nieściśliwy (zmiana gęstości < 5%) poddźwiękowy M < 0.7 przepływ w całym zakresie jest poddźwiękowy transoniczny 0.7 < M < 1. przepływ okołodźwiękowy; występują efekty falowe; duże obszary nad/podźwiękowe naddźwiękowy 1. < M < 5 przepływ prawie w całym obszarze jest naddźwiękowy hipersoniczny 5 < M interakcja fal uderzeniowych z warstwą przyścienną; wysokie temperatury; dysocjacja i jonizacja gazu;

15 Całka równania energii Korzystając z r-a ciągłości (1.5) r-e energii (1.7) można przekształcić ( q = 0): Korzystając z: ( ) ρ d p dt ρ ρ de dt + v p = 0 (1.37) = dp dt p dρ ρ dt = dp dt + p v = p t + v p (1.38) i r-a (1.37) otrzymamy: ρ d dt ( ) e + u + p ρ = p t (1.39) Dla zagadnień stacjonarnych otrzymamy zależność dla pewnej lini prądu: e + u + p ρ = h + u = const (1.40)

16 Całka równania energii c.d. Wprowadźmy parametry w punkcie spiętrzenia (u = 0): p 0, ρ 0, i T 0. Dodatkowo, wprowadźmy pojęcie stanu krytycznego, w którym u = c czyli M = 1. Parametry stanu gazu są oznaczane indeksem : p, ρ i T. Równanie (1.40) można przedstawić w formie: h + u Równanie to w punkcie spiętrzenia (u 0 = 0): a dla stanu krytycznego (u = c ): u = cpt + = c k 1 + u = const (1.41) c k 1 + u = c 0 = const (1.4) k 1 c k 1 + u = c k 1 + c = k + 1 (k 1) c = const (1.43) Z równań (1.4) i (1.43) wynika, że na linii prądu dla gazu doskonałego w przemianie adiabatycznej c 0 i c są stałe.

17 Zależności dla przemiany izentropowej Wprowadźmy parametry w punkcie spiętrzenia (u = 0): p 0, ρ 0, h 0 i T 0 Zmianę parametrów stanu gazu w przemianie izentropowej z punktu 0 do 1 można opisać korzystając z (1.40): h 0 = h 1 + u 1 k p 0 = k p 1 + u 1 k 1 ρ 0 k 1 ρ 1 Korzystając z r-a izentropy (1.1) powyższe r-e można przekształcić do: [ p 0 = 1 + k 1 p 1 M 1 ] k k 1 (1.44) (1.45) Podobnie można wyznaczyć zależności na gęstość i temperaturę: [ ρ 0 = 1 + k 1 ρ 1 M 1 ] 1 k 1 (1.46) T 0 = 1 + k 1 M1 (1.47) T 1

18 Zależności dla przemiany izentropowej c.d. Jeśli zdefiniujemy liczbę Macha odniesioną do prędkości dźwięku w punkcie krytycznym M = u/c to równanie (1.43) można przekształcić dzieląc obie strony przez u : c 1 u k = k + 1 (k 1) Na podstawie tego r-a można otrzymać zależność: z której wynika, że: c 1 1 u M k = k + 1 (k 1) M = M < 1 M < 1 M = 1 M = 1 M > 1 M > 1 M M = 1 M (k + 1) M + (k 1) M (1.48) k + 1 k 1 = 6 (1.49)

19 Zależności dla przemiany izentropowej c.d. p/p0, ρ/ρ0, T/T0, M p/p 0 ρ/ρ 0 T/T 0 M M

20 50 40 Zależności dla przemiany izentropowej c.d. p 0/p ρ 0/ρ T 0/T p0/p, ρ0/ρ, T0/T M

21 Prosta fala uderzeniowa

22 Prosta fala uderzeniowa p 1 ρ 1 p u f ρ u p 1 ρ 1 u 1 = u f p ρ u = u f u układ związany z otoczeniem układ związany z falą równanie ciągłości: równanie pędu: równanie energii: ρ 1 u 1 = ρ u (.1) ρ 1 u 1 + p 1 = ρ u + p (.) e 1 + p1 + u 1 p = e + + u ρ 1 ρ równanie stanu: h 1 + u 1 = h + u (.3) p 1 = p (.4) ρ 1 T 1 ρ T

23 Prosta fala uderzeniowa c.d. Równanie energii (.3) można zapisać: c p T 1 + u 1 = cp T + u c 1 k 1 + u 1 = c k 1 + u c 1 k 1 + u 1 = c k 1 + u = k + 1 (k 1) c (.5) Dzieląc stranami r-e pędu (.) przez r-e ciągłąści (.1): p 1 + u 1 = p + u u u 1 = c 1 c (.6) ρ 1 u 1 ρ u k u 1 k u Wyznaczając c 1 i c z (.5) i wstawiając do (.6): k + 1 k c u 1 u + k 1 k = 1 c = u 1 u (.7)

24 Równanie (.7) można przekształcić: u 1 u c Korzystając z r-a energii (.3): c k 1 + u = k + 1 (k 1) c 1 1 k 1 M + 1 = k + 1 (k 1) Z zależności (.8) i (.9): Prosta fala uderzeniowa c.d. = M 1 M = 1 M = 1 M 1 (.8) 1 M 1 k 1 u + 1 = k + 1 (k 1) c M = c u (k + 1) M + (k 1) M (.9) M = + (k 1) M 1 k M 1 (k 1) (.10) Przekształcając r-e ciągłości (.1) i korzystająć z zależności na M : ρ = u1 = u 1 = u 1 = M ρ 1 u u u 1 c 1 ρ = u1 = (k + 1) M 1 ρ 1 u + (k 1) M1 (.11)

25 Prosta fala uderzeniowa c.d. Korzystając z r-a pędu (.) r-a ciągłości (.1) : p p 1 = ρ u ρ 1 u 1 = ρ 1 u 1(u u 1) ( ) 1 u = k M1 u 1 p p 1 p 1 = k u 1 c 1 ( 1 u u 1 ) (.1) Używając (.11) i upraszczając otrzymamy: p = 1 + k p 1 k + 1 (M 1 1) (.13) Z r-a stanu (.4) i znanych już zależności (.11) i (.13): [ T = c = 1 + k ] + (k 1) M T 1 c 1 k + 1 (M 1 1) 1 (k + 1) M1 (.14)

26 Prosta fala uderzeniowa c.d. Wyprowadzone zależności (.10), (.11), (.13) i (.14) opisują uderzeniową falę zgęszczeniową (M 1 > 1) jak również uderzeniową falę rozrzedzeniową (M 1 < 1)..5 5 p/p1, ρ/ρ1, T/T p /p 1 ρ /ρ 1 T /T 1 M M 1 1/ M 1

27 Prosta fala uderzeniowa c.d. Czy obydwie fale występują w rzeczywistości? Wyznaczając przyrost entropii z r-a (1.0) i zależności (.13) i (.11): s = s s 1 [ [ = R k 1 ln 1 + k ] [ ] ] k + 1 (M 1 (k + 1) M1 k 1) + (k 1) M1 (.15) Zmiana entropii dla fali uderzeniowej jest funkcją liczby Macha M 1: 0.6 s Jak widać na wykresie, dla M 1 < 1 (nieciągła fala rozrzedzeniowa) s < 0. Zgodnie z Z.T. jest to niefizyczne. W rzeczywistości mogą występować tylko zgęszczeniowe fal uderzeniowe M1

28 Prosta fala uderzeniowa c.d. 0 p/p1, ρ/ρ1, T/T p /p 1 ρ /ρ 1 T /T M 1

29 Prosta fala uderzeniowa Adiabata uderzeniowa Zależności dla fali uderzeniowej można przedstawić (tak jak przemianę izentropową) jako p p 1 = f ( ρ ) ρ 1 : p p 1 = ρ (k + 1) ρ 1 (k 1) (k 1) ρ ρ 1 (k + 1) (.16) Zależność ta jest nazywana adiabatą uderzeniowa (r-e Rankine a - Hugoniota) p/p1 10 p/p izentropa adiabata Hugoniota izentropa adiabata Hugoniota ρ /ρ 1 ρ /ρ 1

30 Prosta fala uderzeniowa Strata ciśnienia spiętrzenia Równanie energii (.3) dla parametrów w punkcie spiętrzenia można zapisać: c p T 01 = c p T 0 T 01 = T 0 (.17) R-e (1.19) dla parametrów w punkcie spiętrzenia: s s 1 = c p ln T0 T 01 R ln p0 p 01 s s 1 = R ln p01 p 0 (.18) Zmianę ciśnienia spiętrzenia można wyznczyć korzystając z (.15): [ [ R ln p0 = R p 01 k 1 ln 1 + k ] [ ] ] k + 1 (M 1 (k + 1) M1 k 1) + (k 1) M1 [ p 0 = 1 + k ] 1 [ ] k p 01 k + 1 (M 1 k 1 (k + 1) M k 1 1) 1 + (k 1) M1 (.19)

31 Prosta fala uderzeniowa Strata ciśnienia spiętrzenia c.d. Z r-a (.18) wynika, że przyrost entropii jest ściśle związany ze zmianą ciśnienia spiętrzenia (ciśnienia całkowitego). Wykres zależności straty ciśnienia spiętrzenia można sporządzić na podstawie (.19): 1.5 p0/p M 1

32 Literatura J.D. Anderson, Fundamentals of Aerodynamics J.J. Bertin, R.M. Cummings, Aerodynamics for Engineers H.W. Liepmann, A. Roshko, Elements of Gasdynamics A.H. Shapiro, The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow R. Whitford, Design for Air Combat