Koncentracja Miary. Rafał Latała. 22 maja 2009
|
|
- Maciej Milewski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Koncentracja Miary Rafał Latała 22 maja 29 Poniższe notatki powstają na podstawie (wybranych) wykładów z Koncentracji Miary, prowadzonych w semestrze wiosennym 28/9. Przepraszam za wszystkie nieścisłości i omyłki mogące pojawić się w tekście i jednocześnie zwracam się z prośbą do czytelników, którzy zauważyli błędy lub mają jakieś inne uwagi na temat notatek o kontakt mailowy na adres rlatala@mimuw.edu.pl z podaniem wersji notatek (daty) do której chcą się ustosunkować. Dziękuje panom Kamilowi Kosińskiemu i Piotrowi Nayarowi za nadesłane komentarze. Rafał Latała 1
2 1 Wprowadzenie Zacznijmy od następującej definicji otoczki zbioru. Definicja 1.1. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, zaś A dowolnym podzbiorem X. Dla t > określamy t-otoczenie zbioru A wzorem A t := {x X : d(x, A) < t} = y A B(y, t), gdzie B(y, t) oznacza kulę otwartą w X o środku w y i promieniu t. Okazuje się, że dla wielu ważnych przykładów miar probabilistycznych µ na (X, d) miara µ(a t ) szybko zbiega do 1 jeśli tylko µ(a) 1/2. Badanie tego zjawiska, zwanego fenomenem koncentracji miary i jego konsekwencji będzie celem tego wykładu. Na początek wykładu podamy kilka przykładów, których dowody przedstawimy później. Przykład 1. Niech d oznacza odległość geodezyjną na n wymiarowej sferze S n = {x R n+1 : x = 1}, zaś σ n oznacza unormowaną miarę powierzcniową na S n. Wówczas okazuje się, że jeśli chcemy zminimalizować σ n (A t ) po wszystkich zbiorach ustalonej miary ekstremalne są kule (zwane też czapeczkami), to znaczy σ n (A) = σ n (B(x, r)) σ n (A t ) σ n (B(x, r) t ) = σ n (B(x, r + t)). W szczególności jeśli σ n (A) 1/2, to σ n (A t ) σ n (B (x, π )) ( 2 + t 1 exp Wprowadźmy kluczową definicję: (n 1)t2 ). 2 Definicja 1.2. Niech µ będzie miarą probabilistyczną na (X, d). Funkcją koncentracji miary µ definiujemy jako { α µ (t) = α (X,d,µ) (t) := sup 1 µ(a t ): µ(a) 1 }. 2 Zatem α σn (t) exp( n 1 2 t2 ). Uwaga. Zauważmy, że funkcja koncentracji σ n szybko zbiega do przy n. Jedną z przyczyn tego zjawiska jest to, że miara ta nie jest dobrze 2
3 unormowana. Jeśli przez σ n,r określimy rozkład jednostajny na sferze RS n, to ponieważ jest on obrazem σ n przy jednokładności o skali R, to Zauważmy też, że α σn,r (t) = α σn ( t R ) ( exp n 1 2R 2 t2). RSn x i x j dσ n,r (x) = R2 n δ i,j. Zatem miara jednostajna na ns n ma dobrą normalizację, to znaczy taką, że macierz kowariancji jest identycznością. Dla tej miary dla n 2, ( α σn, n (t) exp n 1 ( 2n t2) exp 1 4 t2). Przykład 2. Niech γ k oznacza kanoniczny rozkład gaussowski na R k tzn. rozkład z gęstością (2π) k/2 exp( x 2 /2). Wówczas ekstremalnymi zbiorami w problemie izoperymetrycznym okazują się półprzestrzenie, tzn. jeśli γ k (A) = γ k ((, r] R k 1) = Φ(r), to ( ((, γ k (A t ) γ k r] R k 1 ) ) ( = γ t k (, r + t] R k 1) = Φ(r + t). W szczególności α γk (t) 1 Φ(t) 1 2 e t2 /2. Zauważmy, że powyższe oszacowania nie zależą od wymiaru przestrzeni. Przykład 3. Niech ν będzie symetrycznym rozkładem wykładniczym, tzn. rozkładem na R z gęstością 1 2 exp( x ). Przez νk będziemy oznaczać rozkład produktowy ν... ν na R k. Wyznaczenie ekstremalnych zbiorów dla problemu izoperymetrycznego związanego z tą miarą jest trudne i nieznane dla k 1. Choć wiadomo, że ekstremalne nie są półprzestrzenie postaci (, r] R k 1, to są one optymalne z dokładnością do stałej, tzn. W szczególności ν k (A) = ν((, r]) (( ν k (A t ) ν, r ]) 6 t. (( 1 α ν k(t) 1 ν, 2 ]) 6 t = 1 ( 2 exp 1 2 ) 6 t. 3
4 Zauważmy, że znowu uzyskane oszacowanie nie zależy od wymiaru przestrzeni. Przykład 4. Niech µ będzie unormowaną miarą liczącą na kostce dyskretnej {, 1} n z metryką d(x, y) = 1 n #{i: x i y i }. Tu problem izoperymetryczny daje się rozwiązać (optymalne są kule, ewentualnie z dodanymi punktami na brzegu). W tym przypadku można pokazać, że α µ (t) e 2nt2. Krótki przegląd wyników pokazuje, że w wielu ważnych zastosowaniach można wykazać, że α µ (t) C 1 exp( t 2 /C 2 ) mówimy wtedy, że funkcja koncentracji jest typu gaussowskiego. Widzielismy też przykład, w którym α µ (t) C 1 exp( t/c 2 ) mówimy wtedy o koncentracji wykładniczej. 1.1 Koncentracja funkcji lipschitzowskich W wielu zastosowaniach nie interesuje nas jak zmienia się miara otoczenia zbioru, a raczej jak szybko maleją ogony funkcji określonych na przestrzeni. W tej części powiążemy ze sobą te zjawiska. Zacznijmy od definicji mediany i modułu ciągłości. Definicja 1.3. Niech µ będzie miarą probabilistyczną na (X, d) oraz f : X R. Medianą f względem µ nazywamy taką liczbę M = Med µ (f) dla której µ({x: f(x) M}), µ({x: f(x) M}) 1/2. Modułem ciągłości f nazywamy funkcję w f (t) := sup{ f(x) f(y) : d(x, y) t}. Fakt 1.1. Dla dowolnej funkcji F : X R, oraz µ({x: F (x) > Med µ (F ) + w F (t)}) α µ (t) µ({x: F (x) Med µ (F ) > w F (t)}) 2α µ (t). Dowód. Niech A := {x: F (x) Med µ (F )} wówczas µ(a) 1/2 zatem µ(a t ) 1 α µ (t). Ponadto, jeśli x A t, to istnieje y A takie, że d(x, y) < t i wówczas F (x) F (y) + w F (t) Med µ (F ) + w F (t), stąd pierwsza nierówność w fakcie. Stosując ją do F i zauważając, że Med µ ( F ) = Med µ (F ) oraz w F = w F dostajemy µ({x: F (x) < Med µ (F ) w F (t)}) α µ (t). 4
5 Dodając powyższą nierówność do poprzedniej otrzymamy ostatnią część faktu. Przypomnijmy definicję funkcji lipschitzowskiej Definicja 1.4. Funkcję F : (X, d) R nazywamy lipschitzowską, jeśli F (x) F (y) F Lip := sup <. x y d(x, y) Mówimy, że funkcja jest L-lipschitzowska jeśli F Lip L, tzn. F (x) F (y) Ld(x, y) dla wszystkich x, y X. Analogicznie można zdefiniować funkcje lipschitzowskie między przestrzeniami metrycznymi. Fakt 1.2. i) Jeśli F jest lipschitzowska ze stałą L, to dla t >, oraz µ({x: F (x) > Med µ (F ) + t}) α µ (t/l) µ({x: F (x) Med µ (F ) > t}) 2α µ (t/l). ii) Na odwrót, jeśli dla każdej funkcji 1-lipschitzowskiej F i ustalonego t >, to α µ (t) α. µ({x: F (x) Med µ (F ) + t}) α, Dowód. i) Wynika z Faktu 1.1 i oczywistego szacowania w f (t) tl. ii) Ustalmy zbiór A taki, że µ(a) 1/2 i określmy F (x) := d(x, A). Wówczas F jest 1-lipschitzowska oraz Med µ (F ) =, zatem α µ({f t}) = µ({x: d(x, A) t}) = 1 µ(a t ). Często łatwiej i naturalniej jest wykazywać koncentrację funkcji lipschitzowskich wokół średniej a nie mediany. Kolejny fakt pokazuje jak odzyskać funkcję koncentracji w takim przypadku. Fakt 1.3. Załóżmy, że µ jest miarą probabilistyczną na przestrzeni metrycznej (X, d) oraz dla ograniczonych funkcji 1-lipschitzowskich F i t > zachodzi ({ }) µ x: F (x) > F dµ + t α(t). (1) 5
6 Wówczas dla dowolnego zbioru borelowskiego A takiego, że µ(a) > zachodzi 1 µ(a t ) α(µ(a)t). W szczególności ( t α µ (t) α. 2) Ponadto, jeśli lim t α(t) =, to dowolna funkcja 1-lipschitzowska jest całkowalna i jeśli dodatkowo α jest ciągła, to (1) zachodzi dla wszystkich funkcji 1-lipschitzowskich. Dowód. Ustalmy zbiór borelowski A taki, że µ(a) > oraz t >. Niech F (x) := min{d(x, A), t}, wówczas F jest ograniczona, 1-lipschitzowska i F dµ t(1 µ(a)). Stąd na mocy (1), ({ 1 µ(a t ) = µ({f t}) µ F }) F dµ + µ(a)t α(µ(a)t). W szczególności, jeśli µ(a) 1/2, to 1 µ(a t ) α(t/2). By udowodnić drugą część faktu, ustalmy funkcję 1-lipschitzowską F i niech F n := min{ F, n}. Z (1) zastosowanej do F n dostajemy ({ µ x: F n (x) }) F n dµ t α(t). Wybierzmy t takie, że α(t ) < 1/2 oraz m := Med µ F. Wówczas µ({f n m}) 1/2, czyli zbiory {F n m} oraz {F n > F n dµ t } mają niepuste przecięcie. Zatem F n dµ m + t i z twierdzenia Lebesgue a o zbieżności monotonicznej dostajemy F dµ m + t <. Ostatnią część tezy dostajemy stosując (1) do min{max{f, n}, n} i przechodząc z n. 1.2 Obserwowalna średnica zbioru Średnicą zbioru A w przestrzeni metrycznej (X, d) nazywamy Diam(A) := sup{d(x, y): x, y A}. Jeśli próbujemy obserwować jakiś obiekt, to możemy przyjąć, że zbiory miary mniejszej niż pewne κ > są dla nas niezauważalne (założenie to np. dla κ = 1 1 wydaje się całkiem uzasadnione, jeśli miara µ jest związana ze stopniem oświetlenia obiektu). Motywuje to definicje częściowej średnicy PartDiam µ (X, d) = inf{diam(a): µ(a) 1 κ}. 6
7 W praktyce również nie jesteśmy w stanie obserwować obiektów wielowymiarowych, a jedynie ich przekroje. Stosując pewne uproszczenie możemy założyć, że przestrzeń obserwujemy za pomocą funkcji 1-lipschitzowskich F, tzn. badamy rozkład µ F 1 na F (X) (np. natężenie światła). Stąd wprowadzamy Definicja 1.5. Obserwowalną średnicą przestrzeni (X, d) względem miary µ nazywamy wielkość ObsDiam µ (X, d) := sup { PartDiam µ F 1(F (X)): F : X R, F Lip 1 }. Fakt 1.4. ObsDiam µ (X, d) 2αµ 1 (κ/2), gdzie αµ 1 (ε) = inf{r > : α µ (r) ε}. Dowód. Ustalmy funkcję 1-lipschitzowską F na X i niech M = Med µ (F ), wówczas na podstawie Faktu 1.2, Zatem µ F 1 ([M + r, M r]) = µ( F M r) 1 2α µ (r). ObsDiam µ (X, d) 2 inf{r : 2α µ (r) κ} = 2α 1 µ (κ/2). Przykład. Dla gaussowskiej koncentracji α (X,d,µ) (t) C 1 exp( t 2 /C 2 ) mamy ObsDiam µ (X, d) 2 C 2 ln(2c 1 /κ). W szczególności ObsDiam σn (S n ) jest rzędu 1/ n, podczas gdy nietrudno sprawdzić, że Diam(S n ) = π i PartDiam µ (S n ) π/ Transport miary W wielu zagadnieniach będziemy używali pojęcia transportu miary. Definicja 1.6. Niech µ i ν będą miarami na przestrzeniach metrycznych X i Y. Powiemy, że funkcja borelowska ϕ: X Y transportuje miarę µ na miarę ν (ew. miara ν jest obrazem miary µ przy przekształceniu ϕ) jeśli ν(a) = µ ϕ 1 (A) dla wszystkich A B(Y ). Szczególnie wygodny jest transport lipschitzowski. Fakt 1.5. Jeśli ϕ: X Y jest L-lipschitzowska oraz ϕ transportuje miarę µ na ν, to α ν (t) α µ (t/l). Dowód. Wystarczy zauważyć, że (ϕ 1 (A)) t/l ϕ 1 (A t ). 7
8 2 Nierówności izoperymetryczne W tej części omówimy kilka nierówności izoperymetrycznych, pokazując różne sposoby ich dowodzenia - poprzez powiązane nierówności funkcyjne, symetryzacje czy transport miary. 2.1 Klasyczna izoperymetria Chociaż w tym wykładzie będziemy się zajmować miarami probabilistycznymi, to przegląd nierówności izoperymetrycznych zaczniemy od klasycznego przypadku n-wymiarowej miary Lebesgue a λ n. Twierdzenie 2.1. Jeśli A jest podzbiorem borelowskim R n takim, że λ n (A) = λ n (B(x, r)), to dla dowolnego t >, λ n (A t ) λ n (B(x, r) t ) = λ n (B(x, r + t)). Twierdzenie 2.2 (Nierówność Prekopy-Leindlera). Jeśli s [, 1] oraz f, g, h: R n [, ) spełniają warunek to h(sx + (1 s)y) f(x) s g(y) 1 s dla x, y R n, (2) ( ) s ( h(x)dx f(x)dx g(x)dx R n R n R n ) 1 s Dowód. Najpierw wykażemy, że dla niepustych zbiorów A, B B(R n ) zachodzi λ 1 (A + B) λ 1 (A) + λ 1 (B). Ponieważ λ 1 (A) = sup{λ 1 (K): K A, K zwarty}, to możemy przyjąc, że zbiory A i B są zwarte. Ponadto odpowiednio je przesuwając możemy też zakładać, że sup A = inf B =. Wówczas A B = oraz λ 1 (A + B) λ 1 (A B) = λ 1 (A) + λ 1 (B). Nierówność Prekopy-Leindlera udowodnimy przez indukcje po n. Najpierw rozważmy n = 1. Możemy zakładać, że f, g i h są ograniczone, a z uwagi na jednorodność, że sup f(x) = sup g(x) = sup h(x) = 1. Zauważmy, że dla r < 1, {h r} s{f r} + (1 s){g r}, więc całkując przez 8
9 części dostajemy h(x)dx = = s 1 1 λ 1 ({h r})dr 1 λ 1 (s{f r} + (1 s){g r})dr λ 1 (s{f r}) + λ 1 ((1 s){g r})dr ( ) s ( ) 1 s. fdx + (1 s) gdx fdx gdx Załóżmy teraz, że n 2 oraz teza twierdzenia zachodzi dla n 1. Niech f, g, h spełniają (2) i określmy dla x R F (x) = f(x, z)dz, G(x) = R n 1 g(x, z)dz oraz H(x) = R n 1 g(x, z)dz. R n 1 Zauważmy, że dla ustalonego x, y R h(sx + (1 s)y, sz 1 + (1 s)z 2 ) f(x, z 1 ) s g(y, z 2 ) 1 s dla z 1, z 2 R n 1. Zatem na mocy założenia indukcyjnego H(sx + (1 s)y) F (x) s G(y) 1 s. Stosując nierówność Prekopy-Leindlera w udowodnionym wcześniej przypadku n = 1 dostajemy h(x)dx = R n = R ( ( ) s ( H(x)dx F (x)dx R R ) s ( ) 1 s f(x)dx g(x)dx R n R n ) 1 s G(x)dx Wniosek 2.3 (Nierówność Brunna-Minkowskiego). Dla dowolnych niepustych zbiorów borelowskich A, B R n, λ n (sa + (1 s)b) λ n (A) s λ n (B) 1 s dla s [, 1] oraz λ n (A + B) 1/n λ n (A) 1/n + λ n (B) 1/n. Dowód. Pierwsza nierówność natychmiast wynika z nierówności Prekopy- Leindlera zastosowanej do funkcji f = 1 A, g = 1 B oraz h = 1 sa+(1 s)b. 9
10 By udowodnić drugą wystarczy rozważyć przypadek, gdy A i B są zbiorami skończonej i niezerowej miary. Przyjmijmy wtedy à = A s, B = B 1 s oraz s = λ n (A) 1/n λ n (A) 1/n + λ n (B) 1/n. Wówczas λ n (Ã) = λ n( B) = (λ n (A) 1/n + λ n (B) 1/n ) n, więc na podstawie wykazanej poprzednio nierówności λ n (A+B) = λ n (sã+(1 s) B) λ n (Ã)s λ n ( B) 1 s = (λ n (A) 1/n +λ n (B) 1/n ) n. Uwaga. Suma dwu zbiorów borelowskich nie musi być zbiorem borelowskim, ale można wykazać, że jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue a. Dowód Twierdzenia 2.1. Niech c n = λ n (B(, 1)), wówczas λ n (A) = c n r n i na podstawie Wniosku 2.3, λ n (A t ) = λ n (A + B(, t)) (λ n (A) 1/n + λ n (B(, t)) 1/n ) n = c n (r + t) n = λ n (B(x, r + t)). Definicja 2.1. Dla miary µ na przestrzeni probabilistycznej (X, d) określamy zewnętzną miarę brzegową µ + wzorem µ + (A) := lim inf t + µ(a t ) µ(a). t Uwaga. Jeśli miara µ na R n ma ciągłą gęstość g(x) oraz zbiór A ma gładki brzeg, to µ + (A) = g(x)dh n 1 (x), A gdzie H n 1 oznacza n 1 wymiarową miarę Haussdorffa. Równoważna różniczkowa forma klasycznej nierówności izoperymetrycznej mówi, że spośród zbiorów ustalonej objętości najmniejszą powierzchnię brzegu ma kula. Dokładniej: Twierdzenie 2.4. Jeśli A jest podzbiorem borelowskim R n takim, że λ n (A) = λ n (B(x, r)), to gdzie λ + n (A) λ + n (B(x, r)) = nc 1/n n (λ n (A)) (n 1)/n, c n = λ n (B(, 1)) = π n/2 Γ(n/2 + 1). 1
11 2.2 Izoperymetria sferyczna Twierdzenie 2.5. Jeśli A jest podzbiorem borelowskim S n takim, że σ n (A) = σ n (B(x, r)) to dla dowolnego t >, Wniosek 2.6. σ n (A t ) σ n (B(x, r) t ) = σ n (B(x, r + t)). α σn (t) π 8 exp ( (n 1) t 2). 2 Dowód. Dla n = 1 nie ma co dowodzić (bo zawsze α µ (t) 1/2). Będziemy więc zakładać, że n 2. Zauważmy, że σ n (B(x, r)) = s 1 n gdzie s n = π sinn 1 tdt. Zatem α σn (t) = 1 σ n (B(x, t+π/2)) = s 1 n π r t+π/2 sin n 1 tdt, π/2 sin n 1 udu = s 1 n cos n 1 udu. t Stosując oszacowanie cos u exp( u 2 /2) dla t [, π/2] dostajemy π/2 t cos n 1 udu = π/2 t e (n 1)u2 /2 du 2π n 1 (1 Φ(t n 1)) 1 n 1 t n 1 e s2 /2 ds π 2(n 1) e (n 1)t2 /2. Ponadto łatwe całkowanie przez części daje, że dla n 3, s n = n 2 n 1 s n 2, stąd n 1sn = n 2 n 1 s n 2 n 3s n 2, zatem inf n 1sn = min{s 2, 2s 3 } = min{2, π/ 2} = 2. n Izoperymetria gaussowska Przypomnijmy, że przez γ k oznaczamy kanoniczny rozkład gaussowski na R k, tzn. rozkład z gęstością (2π) k/2 exp( x 2 /2). Głównym wynikiem, który wykażemy jest to, że dla rozkładów gaussowskich optymalne dla problemu izoperymetrycznego są półprzestrzenie afiniczne, to znaczy zbiory postaci H = {x R k : x, u < r} dla pewnych u S k 1 i r [, ]. (3) 11
12 Twierdzenie 2.7. Niech H będzie półprzestrzenią afiniczną, a A zbiorem borelowskim w R k takim, że γ k (H) = γ k (A). Wówczas dla dowolnego t >, γ k (H t ) γ k (A t ) Zanim przystąpimy do dowodu twierdzenia pokażemy, że γ k jest granicą rzutowań rozkładów jednostajnych na ns n 1. Niech P = P k,n oznacza kanoniczny rzut R n na R k dla k < n, zaś σ n 1 oznacza unormowaną miarę powierzchniową na ns n 1. Oznaczmy przez µ k,n obraz σ n 1 przy tym rzutowaniu tzn. µ k,n (A) = σ n 1 ( P 1 k,n (A) ) dla A B(R k ). Fakt 2.8 (Lemat Poincaré). Miara µ k,n zbiega słabo przy n do miary γ k, co więcej lim µ k,n(a) = γ k (A) dla dowolnego zbioru borelowskiego A. n Dowód. Proste rozumowanie pokazuje, że miara µ k,n ma gęstość g k,n (x) = c 1 k,n g n,k(x), gdzie g n,k = ( n x 2 n ) (n k)/2 1 { x n} oraz c k,n = R k g n,k (x)dx. Oczywiście lim n g k,n (x) = exp( x 2 /2), ponadto g k,n (x) exp( (n k) x 2 /(2n)) exp( x 2 /(2n)) dla n > k, więc z twierdzenia Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowanej lim n c n,k = R k exp( x 2 /2)dx, czyli gęstość miary µ k,n zbiega punktowo do gęstości miary γ k. Teza faktu wynika z twierdzenia Scheffe go (zob. zad w [1]). Dowód Twierdzenia 2.7. Ze względu na rotacyjną niezmienniczość miary γ k możemy dla uproszczenia notacji założyć, że H = {x: x 1 < r}. Ustalmy dowolne r < r i niech H = {x: x 1 < r }. Zauważmy, że γ k (H ) < γ k (A) zatem na podstawie Lematu Poincaré µ k,n (H ) µ k,n (A) dla dużych n. Ponieważ Pk,n 1 (H ) ns n 1 jest kulą w ns n 1, więc na mocy izoperymetrii sferycznej ( ) ( σ n 1 (Pk,n 1 (A)) t σ n 1 (Pk,n 1 (H )) t ). Zauważmy, że przekształcenie P k,n jest oczywiście 1-lipschitzowskie, więc µ k,n (A t ) µ k,n (P k,n ((P 1 k,n (A)) t)) µ k,n (P k,n ((P 1 k,n (H )) t )). Nietrudno zauważyć, że P k,n ((P 1 k,n (H )) t ) = {x: x 1 < r n } 12
13 oraz r n r + t przy n. Stąd γ k (A t ) = lim n µ k,n(a t ) lim n µ k,n({x: x 1 < r n }) = γ k ({x: x 1 < r + t}), z dowolności r < r wynika teza. Twierdzenie 2.9. Jeśli γ k (A) = Φ(x) to γ k (A t ) Φ(x + t) oraz γ k + (A) I γ (γ k (A)), gdzie I γ (x) := ϕ(φ 1 (x)) oraz ϕ(x) = Φ (x) = 1 2π exp( x 2 /2). Dowód. Wystarczy zauważyć, że jeśli γ k (H) = Φ(x) i H jest postaci (3), to H t = {x R k : x, u < r + t} i γ k (H t ) = Φ(x + t). Zauważając, że Φ() = 1/2 otrzymujemy: Wniosek 2.1. α γk (t) 1 Φ(t) 1 2 exp( t2 /2). Na podstawie Faktu 1.2 dostajemy: Wniosek Jeśli F : R k R jest funkcją L-lipschitzowską oraz t to γ k ({x: F (x) Med γk (F ) + t}) 1 Φ(t/L) 1 t2 e 2L 2 2 oraz γ k ({x: F (x) Med γk (F ) t}) 2(1 Φ(t/L)) e t2 2L 2 Transportując w sposób lipschitzowski miarę gaussowską można uzyskać oszacowania funkcji koncentracji dla innych miar. Pokażemy dwa przykłady. Wniosek Niech µ [,1] n oznacza rozkład jednostajny na kostce [, 1] n. Wówczas µ [,1] n jest (2π) 1/2 -lipschitzowskim obrazem γ n. W szczególności α µ[,1] n 1 2 exp( πt2 ). Dowód. Określmy f : R (, 1) wzorem f(x) = µ [,1] ([, f(x)]) = γ 1 ((, x]) = Φ(x). Wówczas f transportuje γ 1 na µ [,1], to znaczy µ [,1] = γ 1 f 1. Ponadto f (x) = (2π) 1/2 exp( x 2 /2) (2π) 1/2, czyli f jest (2π) 1/2 -lipschitzowska. Jeśli teraz określimy F : R n (, 1) n wzorem F (x) = (f(x 1 ),..., f(x n )), to F transportuje γ n na µ oraz F jest (2π) 1/2 -lipschitzowska. Ostatnie oszacowanie w tezie wniosku jest konsekwencją Faktu 1.5 i Wniosku
14 Wniosek Niech B n = {x R n : x 1} oznacza kulę jednostkową w R n, zaś µ Bn będzie rozkładem jednostajnym na B n. Wówczas istnieje stała C taka, że µ Bn jest Cn 1/2 -lipschitzowskim obrazem γ n. W szczególności 1 2 exp( nt2 /(2C)). α µbn Dowód. Ponieważ obie miary γ n i µ Bn są rotacyjnie niezmiennicze, będziemy szukać funkcji T : R n B n transportującej γ n na µ Bn postaci T x = x x ϕ( x ). Wystarczy sprawdzić, że γ n(b(, t)) = µ n (B(, ϕ(t))), czyli całkując we współrzęsnych sferycznych, że dla t, gdzie Z (4) wynika, że c n = ϕ(t) n = 1 c n ϕ(t) n 1 c n e t2 /2 t r n 1 e r2 /2 dr, (4) r n 1 e r2 /2 dr = 2 (n 2)/2 Γ( n 2 ). t r n 1 dr = 1 nc n t n e t2 /2. Różniczkując stronami (4) dostajemy nϕ (t)ϕ(t) n 1 = t n 1 e t2 /2 /c n, zatem ϕ (t) = 1 ( t ) n 1e t 2 /2 1 (nc n e t2 /2 ) (n 1)/n e t2 /2 (nc n ) 1/n. nc n ϕ(t) nc n Ze wzoru Stirlinga dostajemy nc n = 2 n/2 Γ( n 2 + 1) (n e )n/2, więc ϕ Lip = sup ϕ (t) t e n. Otwarty problem. Rozwiązać zagadnienie izoperymetryczne dla zbiorów symetrycznych, to znaczy znaleźć dla ustalonego t >, c [, 1], inf { γ k (A t ): γ k (A) = c, A = A } oraz inf { γ + k (A): γ k(a) = c, A = A }. Dość naturalna hipoteza mówi, że dla c 1/2 rozwiązaniem obu problemów są zbiory postaci [ a, a] R k 1 zaś dla c < 1/2 drugi problem się optymalizuje dla (R \ [ a, a]) R k 1. Podobny problem można postawić dla miary σ n, ale tam analogiczna hipoteza okazuje się być niestety fałszywa. 14
15 3 Koncentracja w przestrzeniach produktowych 3.1 Transformata Laplace a Wiele dalszych szacowań będzie oparte na transformacie Laplace a zmiennej losowej. Definicja 3.1. Transformatą Laplace a zmiennej losowej Z nazywamy funkcję L Z (λ) := Ee λz λ R. Podobnie jeśli µ jest miarą probabilistyczną na pewnej przestrzeni X oraz F : X R, to transformatę Laplace a F względem µ określamy L F,µ (λ) := e λf (x) dµ(x). Fakt 3.1. Dla dowolnej zmiennej losowej Z, X P(Z t) inf λ e λt L Z (λ) dla t. W szczególności, jeśli dla pewnego a >, to dla t L Z (λ) exp(aλ 2 ) λ R, ( P(Z t) exp t2 ) ( oraz P( Z t) 2 exp t2 ). 4a 4a Dowód. Pierwsza część wynika z nierówności Czebyszewa, a druga z pierwszej i prostego rachunku. Zatem by udowodnić, że funkcja koncentracji miary µ jest gaussowska wystarczy wykazać, że L F,µ (λ) exp(aλ 2 ) dla pewnego a > i wszystkich funkcji 1-lipschitzowskich F takich, że F dµ =. 3.2 Metody Martyngałowe Twierdzenie 3.2 (Nierówność Azumy). Niech (M k, F k ) n k= będzie martyngałem o ograniczonych przyrostach takim, że M k M k 1 a k. Wówczas ( P(M n M t) exp t 2 2 n a 2 i ). 15
16 Dowód. Określmy dla 1 k n, d k := M k M k 1, wówczas E(d k F k 1 ) =. Mamy 1 u 1+u 2 ( x) + 2 x = ux, więc z wypukłości exp(x), e ux 1 u 2 e x u e x = u sinh(x) + cosh(x) dla u 1. 2 Stosując tę nierówność dla u = d k /a k i x = λa k dostajemy Liczymy ( E(e λd dk ) k Fk 1 F k 1 ) E sinh(λa k ) + cosh(λa k ) = cosh(λa k ). a k Ee λ(mn M ) = Ee λ(m n 1 M +d n) = E(e λ(m n 1 M ) E(e λdn F n 1 )) cosh(λa n )Ee λ(m n 1 M ). Zatem iterując powyższą nierówność i stosując oszacowanie (wynikające np. z rozwinięcia w szereg Taylora) cosh(x) exp(x 2 /2) dostajemy n L Mn M (λ) = Ee λ(mn M) cosh(λa k ) exp( 1 a 2 2 kλ 2 ). k=1 k=1 Teza twierdzenia wynika z Faktu 3.1. Uwaga. Najczęściej będziemy mieli F = {, Ω}, wówczas M jest stałe, a ponieważ martyngał ma stałą wartość oczekiwaną, to M = EM n. W poniższych zastosowaniach będziemy przyjmować M k = E µ (F F k ) dla całkowalnej funkcji F : X R i odpowiednio dobranego (F k ) ciągu σ-ciał podzbiorów X. Wniosek 3.3. Niech (X i, d i ) będą przetrzeniami metrycznymi, X = X 1 X n z odległością l 1, to znaczy d(x, y) = n d i (x i, y i ) dla x, y X oraz niech µ = µ 1... µ n będzie produktem miar probabilistycznych µ i na X i. Wówczas dla dowolnej funkcji 1-lipschitzowskiej F na X ({ µ x: F (x) }) F dµ + t exp( t2 2D 2 ), gdzie D = ( n Diam(X i ) 2 ) 1/2. W szczególności ( α µ (t) exp t2 ) 8D 2. 16
17 Dowód. Na mocy Faktu 1.3 wystarczy wykazać pierwszą nierówność tezy. Niech F k będzie σ ciałem generowanym przez pierwsze k-współrzędnych oraz M k := E µ (F F k ). Wówczas oczywiście M k (x) = M k (x 1,..., x k ) = F (x)dµ i+1 (x i+1 ) dµ n (x n ), X k+1... X n stąd M k (x) M k 1 (x) = M k (x 1,..., x k ) Mk (x 1,..., x k )dµ k (x k ) X k sup M k (x 1,..., x k 1, y k ) M k (x 1,..., x k 1, z k ) y k,z k X k sup F (x 1,..., x k 1, y k, y k+1,..., y n ) F (x 1,..., x k 1, z k, y k+1,..., y n ) y X,z k X k sup d k (y k, z k ) Diam(X k ) y k,z k X k i teza wynika z Twierdzenia 3.2. Definicja 3.2. Mówimy, że skończona przestrzeń metryczna (X, d) ma długość conajwyżej l, jeśli istnieje rosnący ciąg podziałów X, {X} = A, A 1,..., A n = {{x}: x X} (A i jest podpodziałem A i 1 ) oraz liczby a 1,..., a n spełniające ( n a 2 i )1/2 l takie, że dla dowolnego A A i 1 oraz B, C A i, B, C A istnieje bijekcja Φ: B C dla której d(x, Φ(x)) a i dla x B. Uwaga. Biorąc A = {X} i A 1 = {{x}: x X} widzimy, że każda skończona przestrzeń metryczna ma długość nie większą niż Diam(X). Twierdzenie 3.4. Jeśli (X, d) jest skończoną przestrzenią metryczną o długości co najwyżej l, zaś µ unormowaną miarą liczącą na X, to dla funkcji 1-lipschitzowskich F na X, w szczególności ({ µ x: F (x) }) F dµ + t exp( t2 2l 2 ), ( α µ (t) exp t2 ) 8l 2. Dowód. Ustalmy funkcję 1-lipschitzowską F. Niech F i będzie σ-ciałem generowanym przez A i oraz M i := E µ (F F i ) dla i =,..., n. Wówczas M i (x) = 1 F (y) dla x A A i. #A y A 17
18 Zatem, jeśli A A i 1, B, C A i, B, C A oraz Φ: B C jest bijekcją jak w Definicji 3.2, to dla x B, y C, 1 M i (x) M i (y) = (F (z) F (Φ(z)) sup F (z) F (Φ(z)) #B z B z B sup d(z, Φ(z)) a i. z B Ponieważ M i 1 na A A i 1 jest uśrednieniem M i po B A, B A i, to mamy M i (x) M i 1 (x) a i, czyli M i M i 1 a i 1. Teza wynika z Twierdzenia 3.2 oraz Faktu 1.3. Przykład 1. Niech X = {, 1} n z odległością d(x, y) = 1 n #{i: x i y i }. Możemy wtedy położyć A i = {{(x 1,..., x i )} {, 1} n i : x 1,..., x i {, 1}} i łatwo sprawdzić, że założenia definicji są spełnione z a i = 1 n. Zatem l = 1/ n i α ({,1} n,d,µ) exp( nt2 8 ). Przykład 2. Ogólniej niech X i będą skończonymi zbiorami, X = X 1 X n, d(x, y) = #{i: x i y i } oraz µ będzie unormowaną miarą liczącą na X. Analogicznie jak poprzednio A i = {{(x 1,..., x i )} X i+1 X n : x j X j, 1 j i} oraz a i = 1. Zatem l = n i α (X,d,µ) exp( t2 8n ). Przykład 3. Niech Π n będzie grupą permutacji zbioru {1,..., n} z metryką d(σ, π) = #{i: σ i π i }, a µ unormowaną miarą liczącą na Π n. Niech A i składa się ze zbiorów postaci A j1,...,j i = {σ Π n : σ(1) = j 1,..., σ(i) = j i }. Wówczas jeśli B, C A i są podzbiorami pewnego A A i 1 to B = A j1,...,j i 1,p, C = A j1,...,j i 1,q i możemy zdefiniować bijekcję Φ między B i C jako Φ = τ p,q σ, gdzie τ p,q jest transpozycją zamieniającą p z q. Łatwo sprawdzić, że d(σ, Φ(σ)) 2/n, zatem l = 2/ n i α (Π n,d,µ) exp( nt2 32 ). 18
19 Ostatnie twierdzenie z tej części wiąże się z miarą Haara na zwartej grupie metrycznej (G, d), to znaczy taką miarą probabilistyczną µ, że µ(ga) = µ(a) = µ(ag) dla dowolnego A B(G) i g G. Zakładamy, że d jest niezmiennicza na translacje, tzn d(hg 1, hg 2 ) = d(g 1, g 2 ) = d(g 1 h, g 2 h) dla g 1, g 2, h G. Dla podgrupy domkniętej H G można wprowadzić odległość na G/H wzorem ρ(g 1 H, g 2 H) = d(g 1, g 2 H) = d(g 1 2 g 1, H). Twierdzenie 3.5. Niech µ będzie miarą Haara na zwartej grupie metrycznej (G, d) oraz G = G G 1 G n = {e} będzie ciągiem domkniętych podgrup. Wówczas ( α (G,d,µ) exp t2 ) 8l 2, gdzie l = ( n Diam(G i 1 /G i ) 2 ) 1/2. Dowód. Niech F będzie funkcją 1-lipschitzowską, M i = E µ (F F i ) gdzie F i jest σ-ciałem generowanym przez zbiory gg i. Załóżmy, że g 1 G i, g 2 G i g G i 1 wówczas g 1 g 1, g 1 g 2 G i 1, więc ze zwartości G i Diam(G i 1 /G i ) d(g 1 g 1, g 1 g 2G i ) = d(g 1 g 1, g 1 g 2h) = d(g 1, g 2 h) dla pewnego h G i. Określmy przekształcenie Φ wzorem Φ(g) = g 2 hg 1 1 g, wówczas Φ zachowuje miarę µ oraz jest homeomorfizmem między g 1 G i g 2 G. Ponadto F (g) F (Φ(g)) d(g, Φ(g)) = d(g, g 2 hg 1 1 g) = d(g 1, g 2 h) Diam(G i 1 /G i ). Stąd oscylacja M i na g G i 1 jest nie większa niż a i = Diam(G i 1 /G i ) czyli po uśrednieniu M i M i 1 a i i możemy stosować Twierdzenie Nierówność Poincaré Definicja 3.3. Mówimy, że miara probabilistyczna µ na (X, d) spełnia nierówność Poincaré ze stałą C, jeśli dla wszystkich ograniczonych lipschitzowskich funkcji f na X zachodzi Var µ (f) C f 2 dµ, (5) gdzie f (x) := lim sup y x f(x) f(y), d(x, y) jeśli x jest punktem skupienia X i f (x) =, jeśli x jest punktem izolowanym X. 19
20 Uwaga 1. W przypadku, gdy X = R n ze standardową metryką euklidesową możemy użyć twierdzenia Rademachera, które mówi, że każda funkcja Lipchitzowska jest różniczkowalna prawie wszędzie i wtedy f (x) jest dla prawie wszystkich x równy długości zwykłego gradientu f. Ponadto standardowy argument aproksymacyjny pokazuje, że by wykazać nierówność Poincaré dla miar probabilistycznych na R n wystarczy sprawdzić (5) dla ograniczonych funkcji klasy C 1 (R n ) o ograniczonych pochodnych rzędu jeden. Uwaga 2. Będziemy wykorzystywali tylko dwie własności f. Mianowicie, że dla funkcji 1-lipschitzowskich f 1 oraz, że dla dowolnej funkcji klasy C 1 (R), g(f ) g (F ) F (w szczególności (f + c) = f ). Uwaga 3. Załóżmy, że miara µ ma gęstość postaci e V na R n. Wówczas proste całkowanie przez części pokazuje, że f 2 dµ = ( f + V, f )fdµ. Definiując operator Lf := f + V, f widzimy, że L1 =. Nierówność Poincaré mówi, że dla funkcji f o średniej, czyli prostopadłych do 1, flfdµ C 1 f 2 dµ. Biorąc pod uwagę samosprzężoność L nierówność (5) jest równoważna temu, że kolejna wartość własna L to conajmniej 1/C. Dlatego nierówność Poincaré się nazywa nierównością luki spektralnej (spectral gap inequality). Czasem wygodniej w nierówności Poincaré zastąpić wariancję funkcji przez całkę kwadratu odchylenia od mediany, okazuje się, że prowadzi to do równoważnej nierówności. Fakt 3.6. Nierówność Poincaré jest równoważna nierówności E µ f Med µ f 2 C f 2 dµ. f Lip(X) Co więcej optymalne stałe w obu nierównościach spełniają C opt C opt (1 + 2) 2 C opt. Dowód. Ponieważ więc oczywiście C opt C opt. Var µ (f) = inf c R E µ(f c) 2 E µ f Med µ f 2, 2
21 Stąd By udowodnić przeciwne oszacowanie zauważmy, że Var µ (f) Med µ f E µ f 2 µ({ f E µ f Med µ f E µ f}) 1 2 Med µf E µ f 2. (E µ f Med µ f 2 ) 1/2 Var µ (f) 1/2 + Med µ f E µ f (1 + 2)Var µ (f) 1/2 i otrzymujemy C opt (1 + 2) 2 C opt. Twierdzenie 3.7. Załóżmy, że miara µ spełnia nierówność Poincaré ze stałą C. Wówczas dla każdej funkcji 1-lipschitzowskiej F i t > ({ }) ( µ F F dµ + t 2 exp t ). C W szczególności α X (t) 2 exp( t/2 C). Dowód. Rozpatrując F F dµ możemy założyć, że F ma średnią zero. Zauważmy, że dla dowolnej funkcji różniczkowalnej g mamy g(f ) g (F ) F g (F ). Niech M(λ) := M µ,f (λ) = e λf dµ. Stosując nierówność Poincaré do e λf/2 dostajemy ( λ ) 2 Var µ (e λf/2 ) = M(λ) M C 2 Zatem dla λ < 2/ C dostajemy M(λ) Iterując tę nierówność n razy dostajemy M(λ) n 1 k= 1 ( λ ) 2. 1 Cλ 2 /4 M 2 e λf/2 2 dµ Cλ2 4 M(λ). ( 1 ) 2k ( λ ) 2 n 1 Cλ 2 /4 k+1 M 2 n. Ponieważ M() = 1 i M () = F dµ =, to M(λ/2 n ) 2n 1 przy n i M(λ) k= ( 1 1 Cλ 2 /4 k+1 ) 2k. 21
22 Zauważmy, że (1 Cλ 2 4 k 1) 2 k 1 Cλ 2 2 k 4 k 1 = 1 C 2 λ2. k= W szczególności M(1/ C) 2 i teza wynika z nierówności Czebyszewa. Fakt 3.8. Symetryczny rozkład wykładniczy ν na R z gęstością 1 2 e x spełnia nierówność Poincaré ze stałą 4. Dowód. Proste całkowanie przez części pokazuje, że dla funkcji h C 1 ogr(r), h(x)dν(x) = h() + k= Niech f C 1 ogr(r) i g(x) = f(x) f() wówczas g 2 dν = 2 sgn(x)h (x)dν(x). sgn(x)g (x)g(x)dν(x) 2( g 2 dν) 1/2 ( g 2 dν) 1/2, stąd Var ν (f) g 2 dν 4 g 2 dν = 4 f 2 dν. Fakt 3.9. Załóżmy, że µ i są miarami probabilistycznymi na X i, X = X 1... X n oraz µ = µ 1 µ 2 µ n. Wówczas dla dowolnej funkcji f L 2 (X, µ) Var µ (f) E µ Var µi (f). Dowód. Prosta indukcja pokazuje, że wystarczy rozpatrzeć przypadek n = 2. Wówczas Var µ (f) = E µ2 E µ1 (f E µ f) 2 = E µ2 [Var µ1 (f) + (E µ1 f E µ f) 2 ] = E µ Var µ1 (f) + E µ2 [E µ1 (f E µ2 f)] 2 E µ Var µ1 (f) + E µ2 E µ1 [(f E µ2 f) 2 ] = E µ Var µ1 (f) + E µ Var µ2 (f), gdzie ostatnia nierówność wynika np. z nierówności Jensena. 22
23 Wniosek 3.1. Załóżmy, że miary probabilistyczne µ i na (X i, d i ) spełniają nierówność Poincaré ze stałą C i względem gradientu i. Wówczas miara µ = µ 1 µ n spełnia nierówność Poincaré ze stałą C = max i C i względem gradientu f danego wzorem Dowód. Z Faktu 3.9 dostajemy f 2 = i f 2. Var µ (f) E µ Var µi (f) E µ C i E µi i f 2 n CE µ i f 2. Wniosek Produktowy rozkład wykładniczy ν n spełnia nierówność Poincaré na R n ze stałą 4. W szczególności α ν n(t) 2 exp( t/4). Kolejną przyjemną własnością nierówności Poincaré jest jej stabilność ze względu na zaburzenia miary µ. Fakt Załóżmy, że µ jest miarą probabilistyczną na X, V jest ograniczoną funkcją borelowską oraz dν = Z 1 e V dµ, gdzie Z = e V dµ. Wówczas jeśli miara µ spełnia nierówność Poincaré ze stałą C to ν spełnia nierówność Poincaré ze stałą Ce 2 V. Dowód. Weźmy funkcję lipschitzowską f, odejmując stałą możemy założyć, że E µ f =. Wówczas Var ν (f) E ν f 2 = 1 f 2 e V dµ 1 Z Z e V f 2 dµ 1 Z e V C f 2 dµ = Ce V f 2 e V dν Ce 2 V f 2 dν. Fakt Jeśli miara ν na (Y, ρ) jest L-lipschitzowskim obrazem miary µ na (X, d) oraz µ spełnia nierówność Poincaré ze stałą C, to ν spełnia nierówność Poincaré ze stałą CL 2. 23
24 Dowód. Niech ν = µ ϕ 1, gdzie ϕ: X Y i ϕ Lip L. Dla funkcji lipschitzowskich f na Y otrzymujemy Var ν (f) = Var µ (f ϕ) C f ϕ 2 dµ CL 2 f 2 (ϕ(x))dµ(x) = CL 2 f 2 dν, gdzie przedostatnia nierówność wynika z punktowego oszacowania f ϕ (x) L f (ϕ(x)). Wniosek Istnieje stała uniwersalna L 12.5 taka, że dowolna miara symetryczna log-wklęsła µ o wariancji 1 na prostej jest L -lipschitzowskim obrazem symetrycznej miary wykładniczej ν. Stąd µ spełnia nierówność Poincare ze stałą 4L Dowód. Niech g będzie gęstością miary µ, wówczas g = e h, gdzie h: R (, ] jest funkcją parzystą wypukłą, w szczególności g() = g. Określmy x := inf{x > : g(x) g()/e}. Zauważmy, że z log-wklęsłości wynika, że g(x) e x/x g() dla x > x oraz g() g(x) g()/e dla x < x. Stąd 2x g() e x x g(x)dx 1 = 2( 2(x g() + x + )g(x)dx x x e x/x g()dx) = 2x g (1 + 1 e ). Analogicznie Zatem 2 g() x 3 x3 x 2 g(x)dx 1 = 2( e x 2g()( skąd wnioskujemy, że x x 2 dx + x + )x 2 g(x)dx x x x 2 e x/x dx) = 2x 3 g ( e ). e 2(e + 1) x g() e 2, 3e 2(e + 15) x3 g() 3e 2, 3 e + 15 x 3(e + 1) oraz e 2 e e + 15 g() 3(e + 1) 3/
25 Określmy ϕ: R R wzorem ν(, x] = µ(, ϕ(x)]. Wówczas ϕ transportuje ν na µ, jest nieparzysta i niemalejąca, zatem ϕ Lip = sup ϕ (x) = sup x x Rozpatrzmy dwie możliwości: i) ϕ(x) x. Wówczas g(ϕ(x)) g()/e i 1 2 g(ϕ(x)) e x e x 1 2 g(ϕ(x)). e 2g() 3(e + 1) 3/2. ii) ϕ(x) > x. Zauważmy, że z logarytmicznej wklęsłości g wynika, że g(ϕ(x)+ t) g(ϕ(x))e t/x dla t >, stąd Zatem 1 2 e x = ν([x, )) = µ([ϕ(x), )) = g(ϕ(x))e t/x dt = x g(ϕ(x)). 1 2 g(ϕ(x)) x e x 3(e + 1). g(ϕ(x) + t)dt Podsumowując oba przypadki otrzymujemy ϕ Lip 3(e + 1) 3/ Uwaga. Wniosek 3.14 (z nieco gorszą stałą) jest prawdziwy bez założenia symetrii miary µ. Dowód jest bardzo podobny, choć nieco bardziej żmudny Charakteryzacja na prostej Okazuje się, że daje się podać prostą charakteryzację miar na R, które spełniają nierówność Poincaré. Zanim ją sformułujemy podamy ściśle związany fakt dotyczący tak zwanych ważonych nierówności Hardy ego. Twierdzenie 3.15 (Muckenhoupt). Załóżmy, że µ i ν są miarami na [, ). Wówczas istnieje stała C < taka, że dla każdej funkcji ograniczonej f, x f(t)dt 2 dµ C 25 f(x) 2 dν(x) (6)
26 wtedy i tylko wtedy gdy B := sup µ[r, ) r r 1 dx <, p(x) gdzie p oznacza gęstość części absolutnej ν. Co więcej, jeśli C opt jest najmniejszą stałą C taką, że zachodzi (6), to B C opt 4B. Dowód. Zamieniając f na f i zauważając, że wyzerowanie f na nośniku części singularnej ν nie zmienia lewej strony (6) wnioskujemy, że wystarczy badać nierówność x f(t)dt 2 dµ C f(x) 2 p(x)dx (7) dla nieujemnych f. Zauważmy, że dla f (7) implikuje ( r ) 2 r µ[r, ) f(t)dt C f(x) 2 p(x)dx Przyjmując f(x) = 1 p(x) 1 {p(x) 1/n} i biorąc najlepszą możliwą stałą dostajemy r 1 µ[r, ) p(x) 1 {p(x) 1/n}dx C opt, skąd po przejściu z n i wzięciu supremum po r dostajemy B C opt. By udowodnić, że C opt 4B wystarczy wykazać, że (7) zachodzi z C = 4B. Załóżmy wpierw, że miara µ ma gęstość g i przyjmijmy ( x 1 ) 1/2 h(x) := p(t) dt wówczas na mocy nierówności Schwarza i twierdzenia Fubiniego x Zauważmy, że f(t)dt 2 dµ = x = x [ x g(x) f(t)dt 2 g(x)dx f 2 (t)p(t)h(t)dt [ f 2 (t)p(t)h(t) g(x) t x x 1 x p(u)h(u) du = 2h (u)du = 2h(x), 26 1 ] p(u)h(u) du dx 1 ] p(u)h(u) dudx dt
27 więc na mocy definicji B (użytej dwa razy) t g(x) 2 B =4 B Zatem x 1 ( g(u)h(u) dudx = 2 x 1 ) 1/2 g(x) t p(u) du dx ( ) 1/2dx d ( g(x) g(u)du = 4 B dx t ( x t g(x)dx f(t)dt 2 dµ x ) 1/2 ( 4B t t 1 p(x) dx ) 1/2 = 4Bh 1 (t). x g(u)du) 1/2dx f 2 (t)p(t)h(t)4bh 1 (t) = 4B f 2 (t)p(t)dt. Jeśli miara µ nie ma gęstości, to znajdujemy miary µ n z gęstościami zbieżne słabo do µ takie, że µ n [x, ) µ[x, ) Można np przyjąć Wówczas więc x r sup µ n [r, ) r f(t)dt 2 dµ = lim 1/n µ n (A) = n µ(a + t)dt 1 p(x) x n r dx sup µ[r, ) r f(t)dt 2 dµ n 4B 1 dx = B, p(x) f(x) 2 p(x)dx. Twierdzenie Załóżmy, że µ jest miarą probabilistyczną na R o medianie m, zaś p oznacza gęstość jej części absolutnie ciągłej. Wówczas miara µ spełnia nierówność Poincaré ze skończoną stałą C wtedy i tylko wtedy gdy max{b +, B } <, gdzie B + = sup µ[x, ) x>m x m 1 p(y) dy m 1 B = sup µ(, x] x<m x p(y) dy. Co więcej optymalna stała C opt w nierówności Poincaré spełnia 1 (1 + 2) 2 max{b +, B } C opt 4 max{b +, B }. 27
28 Dowód. Z Twierdzenia 3.15 (zastosowanego do miary µ obciętej do [m, ) i f zamiast f) wynika, że dla dowolnej funkcji Lipschitzowskiej f, m (f(x) f(m)) 2 dµ(x) = ( x Analogicznie rozpatrując miarę µ na odcinku (, m), m m m ) 2dµ(x) f (t)dt 4B+ f 2 (x)dµ(x). (f(x) f(m)) 2 dµ(x) 4B f 2 (x)dµ(x). m m Dodając stronami dostajemy Var µ (f) (f(x) f(m)) 2 dµ(x) 4 max{b +, B } f 2 (x)dµ(x), czyli C opt 4 max{b +, B }. By udowodnić nierówność w drugą stronę zauważmy, że jeśli f jest ograniczoną funkcją oraz g(x) = dla x m i g(x) = x m f(t)dt dla x > m, to g jest lipschitzowska, g (x) = f(x)1 {x m} p.w. oraz Med µ (g) =. Stąd na podstawie Faktu 3.6, x m m f(t)dt 2 dµ = g(x) Med µ g 2 dµ(x) (1 + 2) 2 C opt g 2 (x)dµ(x) = (1 + 2) 2 C opt f(x) 2 dµ(x). Stąd Twierdzenie 3.15 implikuje B + (1 + 2) 2 C opt, analogicznie pokazujemy B (1 + 2) 2 C opt. 3.4 Logarytmiczna Nierówność Sobolewa Definicja 3.4. Załóżmy, że µ jest miarą probabilistyczną na X, zaś f nieujemną funkcją mierzalną na X. Entropię f względem µ definiujemy wzorem { f log fdµ fdµ log fdµ jeśli f log(1 + f)dµ < Ent µ (f) := jeśli f log(1 + f)dµ =. Z wypukłości funkcji x log x na [, ) wynika, że Ent µ (f), łatwo też zauważyć, że Ent µ (λf) = λent µ (f) dla λ. m 28
29 Definicja 3.5. Mówimy, że miara probabilistyczna na (X, d) spełnia logarytmiczną nierówność Sobolewa ze stałą C, jeśli dla wszystkich ograniczonych lipschitzowskich funkcji f na X zachodzi Ent µ (f 2 ) 2C f 2 dµ. (8) Twierdzenie Załóżmy, że miara µ spełnia logarytmiczną nierówność Sobolewa ze stałą C. Wówczas dla każdej funkcji 1-lipschitzowskiej F i t > ({ µ F W szczególności α X (t) exp( t 2 /8C). }) ( F dµ + t exp t2 ). 2C Dowód. Ustalmy ograniczoną funkcję 1-Lipschitzowską F taką, że F dµ =. Wystarczy, że pokażemy iż dla λ M(λ) := M F,λ = e λf dµ e Cλ2 /2. Zastosujmy logarytmiczną nierówność Sobolewa do f 2 := e λf. Wówczas Ent µ (f 2 ) = λe µ F e λf E µ e λf log E µ e λf = λm (λ) M(λ) log M(λ) oraz Zatem (8) daje f 2 dµ = λ2 4 F 2 e λf λ2 4 M(λ). λm (λ) M(λ) log M(λ) C λ2 M(λ). (9) 2 Określmy H(λ) := 1 λ log M(λ) dla λ >. Wówczas oraz na podstawie (9) lim H(λ) = M () λ M() = F dµ = H (λ) = 1 λ 2 log M(λ) + 1 M (λ) λ M(λ) C 2. Zatem H(λ) Cλ/2 czyli M(λ) exp(cλ 2 /2). 29
30 Lemat Dla dowolnej funkcji nieujemnej na X, { } Ent µ (f) = sup fgdµ: e g dµ 1. (1) Dowód. Z jednorodności obu stron (1) możemy zakładać, że fdµ = 1, wówczas Ent µ (f) = f log fdµ. Nietrudno sprawdzić, że dla u >, sup v R (uv e v ) = u log u u, zatem uv u log u u + e v dla u, v R. (11) Zatem biorąc g takie, że e g dµ 1 dostajemy fgdµ (f log f f + e g )dµ = Ent µ (f) 1 + e g dµ Ent µ (f). By udowodnić nierówność w przeciwną stronę wystarczy przyjąć g = log f. Z powyższego lematu łatwo wykazać tensoryzowalność entropii: Fakt Załóżmy, że µ i są miarami probabilistycznymi na X i, X = X 1... X n oraz µ = µ 1 µ 2 µ n. Wówczas dla dowolnej nieujemnej funkcji f na X Ent µ (f) E µ Ent µi (f). Dowód. Weźmy funkcję g na X taką, że e g dµ 1 oraz przyjmijmy dla i = 1,..., n, g i (x 1,..., x n ) := log ( e g(x 1,...,x n) dµ 1 (x 1 ) dµ i 1 (x i 1 )). e g(x 1,...,x n) dµ 1 (x 1 ) dµ i (x i ) Wówczas g n g i oraz e gi dµ i 1, stąd ( fgdµ fg i dµ = fg i dµ i )dµ Ent µi (f)dµ. Wniosek 3.2. Załóżmy, że miary probabilistyczne µ i na (X i, d i ) spełniają logarytmiczną nierówność Sobolewa ze stałą C i względem gradientu i. Wówczas miara µ = µ 1 µ n spełnia logarytmiczną nierówność Sobolewa ze stałą C = max i C i względem gradientu f danego wzorem f 2 = i f 2. 3
31 Dowód. Z Faktu 3.19 dostajemy Ent µ (f 2 ) E µ Ent µi (f 2 ) E µ 2C i E µi i f 2 n 2CE µ i f 2. Fakt i) Niech µ 1 = 1 2 δ δ 1, wówczas dla dowolnego f : { 1, 1} R, Ent µ1 (f 2 ) 2Ent µ1 Df 2, gdzie Df(x) = 1 2 (f(x) f( x)). ii) Niech µ n = µ 1 µ 1 będzie rozkładem jednostajnym na { 1, 1} n, wówczas dla dowolnego f : { 1, 1} n R, Ent µn (f 2 ) 2Ent µn Df 2, gdzie Df 2 (x) = 1 4 n (f(x) f(s i (x))) 2 oraz s i ((x 1,..., x n )) = (x 1,..., x i 1, x i, x i+1,..., x n ). Dowód. i) Z uwagi na jednorodność możemy zakładać, że E µ1 f 2 = 1, wówczas istnieje t [ 1, 1] takie, że f(1) = 1+t oraz f( 1) = 1 t i nierówność z punktu i) ma postać α(t), gdzie α(t) := 1 1 t t 2 log(1 + t) 1 t 2 Nietrudno sprawdzić, że α() = α () = oraz α (t) = 1 ( t 2 1 t 2 t 2 1 t ), 1 t 2 więc istotnie α(t). ii) Wynika z punktu i) i Faktu log(1 t). Twierdzenie Miara γ n spełnia logarytmiczną nierówność Sobolewa z C = 1. Dowód. Z uwagi na Fakt 3.19 wystarczy rozważyć przypadek n = 1. Niech f C 1 ogr(r). Określmy g n : { 1, 1} n R wzorem g n (x) := f( x x n n ). Niech µ n i Df będą jak w Fakcie Wówczas na mocy centralnego twierdzenia granicznego Ent µn (gn) 2 = gn 2 log gndµ 2 n gndµ 2 n log gndµ 2 n Ent γ1 (f 2 ). 31
32 Ponadto kładąc T n (x) = n 1/2 (x x n ) Dg n (x) 2 = 1 (f(t n (x)) f(t n (x) 2 x i )) 2 = f (T n (x)) 2 + r n 4 n gdzie r n zbiega do zera jednostajnie względem T n (x). Zatem lim E µ n n Dg n (x) 2 = lim E µ n n f (T n (x)) 2 = E γ1 f (x) 2. Fakt Załóżmy, że µ jest miarą probabilistyczną na X, V jest ograniczoną funkcją borelowską oraz dν = Z 1 e V dµ, gdzie Z = e V dµ. Wówczas jeśli miara µ spełnia logaryticzną nierówność Sobolewa ze stałą C to ν spełnia logarytmiczną nierówność Sobolewa ze stałą Ce 4 V. Dowód. Funkcja ϕ(u) = u log u jest wypukła na [, ) stąd dla dowolnych s, t, ϕ(s + t) ϕ(t) + ϕ (t)s, więc ϕ( ) ( ) f 2 dν = ϕ t + (f 2 t)dν ϕ(t) + ϕ (t) (f 2 t)dν. Zatem Ent ν (f 2 ) = inf [ϕ(f) ϕ(t) t R ϕ (t)(f 2 t)]dν 1 Z e V inf [ϕ(f) ϕ(t) ϕ (t)(f 2 t)]ze V dν t R = 1 Z e V Ent µ (f 2 ) 2C Z e V f 2 dµ 2Ce 2 V f 2 dν. Kolejny fakt dowodzimy tak samo jak dla nierówności Poincaré. Fakt Jeśli miara ν na (Y, ρ) jest L-lipschitzowskim obrazem miary µ na (X, d) oraz µ spełnia logarytmiczną nierówność Sobolewa ze stałą C, to ν spełnia logarytmiczną nierówność Sobolewa ze stałą CL 2. Stosując nierówność logarytmiczną Sobolewa do funkcji f = 1 + εg dowodzimy Fakt Jeśli miara probabilistyczna µ spełnia logarytmiczną nierówność Sobolewa ze stałą C, to spełnia również nierówność Poincaré ze stałą C. 32
33 Opierając się na twierdzeniu Muckenhoupta da się wyprowadzić kryterium równoważne nierówności logarytmicznej Sobolewa dla miar na prostej. Twierdzenie Załóżmy, że µ jest miarą probabilistyczną na R o medianie m, zaś p oznacza gęstość jej części absolutnie ciągłej. Wówczas miara µ spełnia logarytmiczną nierówność Sobolewa ze skończoną stałą C wtedy i tylko wtedy gdy max{b +, B } <, gdzie ( 1 ) x 1 B + = sup µ[x, ) ln x>m µ[x, ) m p(y) dy ( 1 ) m 1 B = sup µ(, x] ln x<m µ(, x] x p(y) dy. Co więcej optymalna stała C opt w nierówności Poincaré spełnia 3.5 Nierówność Bobkowa 1 15 (B + + B ) C opt 468(B + + B ). Nierówność logarytmiczna Sobolewa implikuje koncentrację gaussowską, ale nie implikuje gaussowskiej izoperymetrii. Okazuje się, że jest silniejsza nierówność, która implikuje gaussowską izoperymetrię, a jednocześnie ma szereg równie dobrych własności jak nierówność Poincaré czy logarytmiczna nierówność Sobolewa. Przedstawione poniżej rozumowania można podobnie jak w poprzednich sekcjach prowadzić w większej ogólności, jednak by uniknąć szczegółów technicznych ograniczymy się do miar na R n i funkcji gładkich. W tej części przez I będziemy oznaczać gaussowską funckję izoperymetryczną, tzn I(x) = ϕ(φ 1 (x)), gdzie ϕ = (2π) 1/2 exp( x 2 /2). Dodatkowo określamy I() = I(1) =. Definicja 3.6. Mówimy, że miara probabilistyczna µ na R n spełnia nierówność Bobkowa ze stałą C, jeśli dla wszystkich f C 1 ogr(r n ) o wartościach w przedziale [, 1] zachodzi I( ) fdµ I(f) 2 + C f 2 dµ. (12) Fakt Jeśli miary µ i spełniają nierówność Bobkowa ze stałymi C i, to miara µ 1 µ n spełnia nierówność Bobkowa ze stałą max i C i. 33
34 Twierdzenie Jeśli miara probabilistyczna µ na R n spełnia nierówność Bobkowa na ze stałą C, to µ + (A) I(µ(A)) dla A B(R n ) oraz µ(a t ) Φ(Φ 1 (µ(a)) + t) dla A B(R n ), t >. Twierdzenie Kanoniczna miara gaussowska γ n spełnia nierówność Bobkowa z C = Nierówności Splotu Infimum Zacznijmy od zaproponowanej przez Maureya definicji. Definicja 3.7. Splotem infimum dwu funkcji f i g określonych na R n nazywamy funkcję f g daną wzorem f g(x) := inf{f(y) + g(x y): y R n }. Niech µ będzie miarą probabilistyczną na R n oraz ϕ: R n [, ]. Mówimy, że para (µ, ϕ) ma własność (τ) bądź, że miara µ spełnia nierówność splotu infimum z funkcją kosztu ϕ jeśli e f ϕ dµ e f dµ 1 dla dowolnej ograniczonej mierzalnej funkcji f na R n. Pierwszą użyteczną cechą własności (τ) jest jej tensoryzowalność. Fakt 3.3. Jeśli pary (µ i, ϕ i ) mają własność (τ), µ = µ 1 µ n oraz ϕ(x 1,..., x n ) = ϕ 1 (x 1 ) ϕ n (x n ), to również para (µ, ϕ) ma własność (τ). Dowód. Prosty argument indukcyjny pokazuje, że wystarczy udowodnić tezę dla n = 2. Niech f = f(x, y) będzie ograniczoną funkcją na R n 1 R n 2, określmy g na R n 2 jako ( ) g(y) := ln e f(x,y) dµ 1 (x). 34
35 Dodatkowo wprowadźmy oznaczenie f y (x) = f(x, y). Wówczas dla dowolnych y, ỹ e f ϕ(x,y) dµ 1 (x) e f ỹ ϕ 1 (x)+ϕ 2 (y ỹ) dµ 1 (x) e g(ỹ)+ϕ 2(y ỹ) na mocy własności (τ) dla (µ 1, ϕ 1 ). Stąd e f ϕ(x,y) dµ 1 (x) e g ϕ 2(y) i korzystając z Twierdzenia Fubiniego i (τ) dla (µ 1, ϕ 2 ). ( 1 e f ϕ dµ 1 µ 2 e g ϕ2(y) dµ 2 (y) e g(y) dµ 2 (y)) = ( e f dµ 1 µ 2 ) 1. Następny fakt pokazuje w jaki sposób można transportować (τ). Fakt Załóżmy, że µ jest miarą probabilistyczną na R n, zaś ϕ funkcją kosztu na R n taką, że (µ, ϕ) spełnia własność (τ). Jeśli T : R n R m oraz funkcja ψ na R m spełnia ψ(t x T y) ϕ(x y) dla wszystkich x, y, to para (µ T 1, ψ) ma własność (τ). Dowód. Niech f będzie ograniczoną funkcją na R m. Zauważmy, że f T ϕ(x) = inf y (f(t y)+ϕ(x y)) inf(f(t y)+ψ(t x T y)) f ψ(t x). y Zatem e f ψ dµ T 1 = e f ψ(t x) dµ(x) ( 1 e f T ϕ(x) dµ(x) e dµ) f T ( = e f dµ T 1) 1. By sformułować związki nierówności splotu infimum z koncentracją określmy zbiór B ϕ (t) = {x: ϕ(x) t}. Zacznijmy od prostego faktu 35
36 Fakt Jeśli (µ, ϕ) ma własność (τ) to dla dowolnego zbioru borelowskiego A takiego, że µ(a) > mamy 1 µ(a + B ϕ (t)) 1 µ(a) e t. Dowód. Zastosujmy własność (τ) do funkcji f = na zbiorze A i f = poza zbiorem A. Zauważmy, że f ϕ t poza zbiorem A + B ϕ (t), zatem 1 e f ϕ dµ e f dµ e t (1 µ(a + B ϕ (t))µ(a). Uwaga. Funkcja f w poprzednim dowodzie nie była oczywiście ograniczona, ale łatwo ominąć ten problem stosując nierówność (τ) do f n = n1 R n \A dla n t. Poprzedni Fakt daje dobre oszacowanie tylko dla dużych wartości t. Nieco modyfikując jego dowód da się uzyskać też nierówności koncentracyjne dla małych t. Fakt Załóżmy, że para (µ, ϕ) ma własność (τ). Wówczas dla dowolnego zbioru borelowskiego A i t >, W szczególności µ(a + B ϕ (t)) e t µ(a) (e t 1)µ(A) + 1. (13) µ(a + B ϕ (t)) > min{e t/2 µ(a), 1/2} (14) oraz µ(a) µ(a + B ϕ(t)) < e t/2 (1 µ(a)). (15) Ponadto µ(a) = ν(, x] µ(a + B ϕ (t)) ν(, x + t/2]. (16) Dowód. Niech f(x) = t1 R n \A. Wówczas f jest nieujemna, więc f ϕ też jest nieujemna (rozpatrujemy tylko nieujemne funkcje kosztu). Dla x A+B ϕ (t) mamy f ϕ(x) t. Zatem własność (τ) daje 1 e f ϕ(x) dµ(x) e f(x) dµ(x) [ µ ( A + B ϕ (t) ) + e t( 1 µ(a + B ϕ (t)) )] [ µ(a) + e t (1 µ(a)) ], 36
37 skąd bezpośredni rachunek prowadzi do (13). Niech f t (p) := e t p/((e t 1)p + 1), zauważmy, że f t is rosnąca względem p oraz dla p e t/2 /2, (e t 1)p + 1 e t/ (et/2 + e t/2 ) < e t/2, skąd otrzymujemy (14). Ponadto dla p 1/2, 1 f t (p) = 1 p (e t 1)p p (e t + 1)/2 < e t/2 (1 p) i dostajemy (15). Niech F (x) = ν(, x] i g t (p) = F (F 1 (p) + t). Poprzednie rachunki pokazują, że dla t, p >, f t (p) g t/2 (p), jeśli F 1 (p)+t/2 lub F 1 (p). Ponieważ g t+s = g t g s i f t+s = f t f s, otrzymujemy f t (p) g t/2 (p) dla wszystkich t, p >, zatem (13) implikuje (16). Niech jak do tej pory ν oznacza miarę na R z gęstością 1 2 e x, zaś ν +, ν miary z gęstościami odpowiednio e x 1 [, ) i e x 1 (,]. Fakt Para (ν +, ϕ ) ma własność (τ), gdzie ϕ (x) = { 1 18 x2 dla x 2 ( x 1) dla x > 2. Lemat Dla wszystkich x R mamy 2 ϕ (x) 1 oraz 2 9 (1 4ϕ (x) 2 )e ϕ (x) 1. Dowód. Pierwszą nierówność otrzymujemy przez łatwe sprawdzenie. By udowodnić drugą, z uwagi na symetrię ϕ, wystarczy rozpatrywać przypadek x. Ponadto ϕ (x) jest stałe dla x 2 a ϕ rosnące na tym przedziale, więc możemy zakładać, że x 2. Wówczas nierówność po podstawieniu y = x 2 /18 ma postać e y y, y 2 9. Funkcja e y jest wypukła, więc wystarczy sprawdzić tylko y = i y = 2/9. 37
38 Dowód Faktu Ustalmy funkcję ograniczoną f, przyjmijmy g := f ϕ i niech I := e f(x) x dx, I 1 := e g(x) x dx. Musimy pokazać, że I I 1 1. Dla t (, 1) zdefiniujmy x(t) i y(t) wzorami Wówczas x(t) e f(x) x dx = ti oraz y(t) e g(x) x dx = ti 1. x (t) = I e f(x(t))+x(t), y (t) = I 1 e g(y(t))+y(t). Na mocy definicji g, g(y(t)) f(x(t)) + ϕ (y(t) x(t)), więc y (t) I 1 e f(x(t)) ϕ (y(t) x(t))+y(t). Niech z(t) = 1 2 (x(t) + y(t)) ϕ (x(t) y(t)), wówczas z (t) = ( 1 ( 1 ) 2 ϕ (x(t) y(t))) x (t) ϕ (x(t) y(t)) y (t). Pisząc dla uproszczenia x i y zamiast x(t) i y(t) stosując poprzednie oszacowanie y (t) oraz nierówność między średnia arytmetyczną i geometryczną dostajemy (wykorzystując parzystość ϕ ) z (t) 1 2 (1 2ϕ (x y))i e x+f(x) (1 + 2ϕ (x y))i 1 e ϕ (x y)+y f(x) 1 4ϕ (x y)2 I I 1 e 1 2 (x+y) 1 2 ϕ (x y) = I I 1 e z(t) 1 4ϕ (x y)2 e 1 2 ϕ (x y). Zatem na mocy Lematu 3.35, ( e z(t) ) = e z(t) z (t) I I 1, co po odcałkowaniu daje I I 1 1. Uwaga. Funkcja g jest ciągła, więc y jest różniczkowalna. Funkcja f nie musi być ciągła więc x nie musi być różniczkowalna. Jednak z ograniczoności f łatwo wywnioskować lokalną Lipschitzowskość x (stąd też z), a zatem różniczkowalność x prawie wszędzie. Funkcja e z(t) jest zatem lokalnie lipschitzowska, czyli jest całką swojej pochodnej, która istnieje p.w.. Wniosek Miara ν spełnia nierówność infimum z funkcją kosztu ϕ 1 postaci ϕ 1 (t) = 2ϕ ( t { 1 2 ) = 36 t2 dla t ( t 2) dla t > 4. 38
39 Dowód. Z wypukłości funkcji ϕ łatwo wynika, że ϕ 1 = ϕ ϕ. Ponieważ miara ν jest symetrycznym odbiciem ν + a funkcja ϕ jest symetryczna, to (ν, ϕ ) ma własność (τ), więc (ν + ν, ϕ (x) + ϕ (y)) też ma (τ). Miara ν jest splotem miar ν + i ν, czyli obrazem ν + ν przy przekształceniu T (x, y) = x + y. Teza wynika z Faktu 3.31 Wiemy, że miara ν a zatem i miara produktowa ν n spełniają nierówność Poincaré, więc jeśli ν n (A) 1 2, to νn (A+tB2 n) 1 e t/c dla pewnej stałej absolutnej C. Okazuje się, że można tę nierówność wzmocnić. Zanim sformułujemy twierdzenie (które pierwszy z gorszymi stałymi udowodnił Talagrand) wprowadźmy następujące oznaczenie kuli jednostkowej w lp n dla 1 p < Bp n := {x R n : x i p 1}. Twierdzenie Dla dowolnego zbioru borelowskiego A w R n takiego, że ν n (A) > mamy dla t, Ponadto 1 ν n (A + 6 tb n 2 + 9tB n 1 ) 1 ν n (A) e t. ν n (A) = ν(, x] ν n (A + 6 2tB n tB n 1 ) ν(, x + t]. Dowód. Para (ν n, ϕ n ) ma własność (τ), gdzie ϕ n (x 1,..., x n ) = ϕ 1 (x 1 ) ϕ 1 (x n ). Łatwo sprawdzić, że B ϕn (t) 6 tb n 2 + 9tB n 1. Teza wynika zatem z Faktów 3.32 i Nierówności Splotu Infimum dla Funkcji Wypukłych 3.8 Nierówność Logarytmiczna Sobolewa dla Funkcji Wypukłych Fakt Załóżmy, że F : R n R jest lipschitzowska oraz wypukła po każdej współrzędnej. Wówczas dla dowolnej produktowej miary probabilistycznej µ na R n, Ent µ (e f ) n (x i y i ) 2 ( i f) 2 (x)e f(x) dµ(x)dµ(y). 39
Koncentracja Miary. Rafał Latała. 23 maja 2009
Koncentracja Miary Rafał Latała 23 maja 29 Poniższe notatki powstają na podstawie wybranych) wykładów z Koncentracji Miary, prowadzonych w semestrze wiosennym 28/9. Przepraszam za wszystkie nieścisłości
Bardziej szczegółowoZadania z Koncentracji Miary I
Zadania z Koncentracji Miary I Przez λ n oznaczamy n-wymiarową miarę Lebesgue a, a przez σ n unormowaną miarę powierzchniową na S n. Jeśli µ jest miarą na X, d), to określamy dla dowolnego zbioru A miarę
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoAnaliza I.2*, lato 2018
Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowo1 Elementy analizy funkcjonalnej
M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,
Bardziej szczegółowo28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoTwierdzenie spektralne
Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoSeria 1. Zbieżność rozkładów
Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o następujących rozkładach: a) symetryczny dwupunktowy; b) dwumianowy z parametrami n, p; c) Poissona z parametrem
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoWokół nierówności Dooba
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Tomasz Tkocz Nr albumu: 24957 Wokół nierówności Dooba Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA w ramach Międzywydziałowych Indywidualnych
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoZadania z Procesów Stochastycznych 1
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Definicja Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N t ) t 0 taki, że N 0 = 0; (P0) N ma przyrosty niezależne; (P1)
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoIzoperymetria gaussowska
Politechnika Wrocławska 6 lipca 2010 Klasyczny problem izoperymetryczny Spośród wszystkich ograniczonych płaskich figur o zadanym obwodzie znaleźć tę, która ma największe pole. Klasyczny problem izoperymetryczny
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowo5 Przegląd najważniejszych rozkładów
5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoSystem BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10
System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna
Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Krzysztof Frączek Analiza Matematyczna II Wykład dla studentów II roku kierunku informatyka Toruń 2009 Spis treści 1 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoZagadnienia stacjonarne
Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowof(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf
9. Różniczkowanie. Jeśli f jest funkcją rzeczywistą, to granice D + f(x) = lim sup t x + f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x t x f(t) f(x), t x f(t) f(x) f(t) f(x) D + f(x) = lim inf oraz D f(x) = lim inf
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowo1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera
1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami
Bardziej szczegółowo1 Gaussowskie zmienne losowe
Gaussowskie zmienne losowe W tej serii rozwiążemy zadania dotyczące zmiennych o rozkładzie normalny. Wymagana jest wiedza na temat własności rozkładu normalnego, CTG oraz warunkowych wartości oczekiwanych..
Bardziej szczegółowoŁatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
Bardziej szczegółowoRozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowo21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać
Bardziej szczegółowoMetoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Bardziej szczegółowo