Metody probabilistyczne

Save this PDF as:
Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metody probabilistyczne"

Transkrypt

1 Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP / 26

2 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy częstość orłów: Obserwujemy zmiany tej częstości w miarę zwiększania liczby rzutów: #orłów #rzutów. częstość orłów liczba rzutów monetą 2 / 26

3 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy częstość orłów: Obserwujemy zmiany tej częstości w miarę zwiększania liczby rzutów: #orłów #rzutów. częstość orłów liczba rzutów monetą Wniosek: Częstość orłów zbiega do 2, czyli prawdopodobieństwa wyrzucenia orła! 2 / 26

4 Motywacja Podobna obserwacja dla wyników rzutu kostką (zliczamy częstość każdego wyniku {, 2, 3, 4, 5, 6}) częstość wyniku liczba rzutów kostką 3 / 26

5 Motywacja Podobna obserwacja dla wyników rzutu kostką (zliczamy częstość każdego wyniku {, 2, 3, 4, 5, 6}) częstość wyniku liczba rzutów kostką Częstość każdego wyniku zbiega do jego prawdopodobieństwa / 26

6 Prawo wielkich liczb (nieformalnie) Sformułowane przez Jakuba Bernoulliego w wydanej pośmiertnie Ars Conjectandi (73): Przy dostatecznie dużej liczbie powtórzeń doświadczenia losowego częstość zajścia danego zdarzenia losowego będzie dowolnie blisko jego prawdopodobieństwu Jakub Bernoulli ( ) 4 / 26

7 Prawo wielkich liczb (nieformalnie) Sformułowane przez Jakuba Bernoulliego w wydanej pośmiertnie Ars Conjectandi (73): Przy dostatecznie dużej liczbie powtórzeń doświadczenia losowego częstość zajścia danego zdarzenia losowego będzie dowolnie blisko jego prawdopodobieństwu Jakub Bernoulli ( ) Często myślimy o prawie wielkich liczb jako metodzie definiowania prawdopodobieństw! Szansa zachorowania na grypę w danym roku wynosi 5% Szansa awarii urządzenia w danym miesiącu wynosi 0.% Szansa wygrania w tej grze wynosi 50% Szansa, że będzie jutro padać wynosi 80% 4 / 26

8 Częstości zdarzeń a schemat Bernoulliego Zajście/niezajście danego zdarzenia losowego można zakodować za pomocą zmiennej losowej o rozkładzie dwupunktowym: 5 / 26

9 Częstości zdarzeń a schemat Bernoulliego Zajście/niezajście danego zdarzenia losowego można zakodować za pomocą zmiennej losowej o rozkładzie dwupunktowym: Rozważmy n niezależnych doświadczeń losowych, w których obserwujemy zajścia danego zdarzenia losowego A 5 / 26

10 Częstości zdarzeń a schemat Bernoulliego Zajście/niezajście danego zdarzenia losowego można zakodować za pomocą zmiennej losowej o rozkładzie dwupunktowym: Rozważmy n niezależnych doświadczeń losowych, w których obserwujemy zajścia danego zdarzenia losowego A Zdefiniujmy zmienne losowe X, X 2,..., X n dotyczące poszczególnych doświadczeń, określone jako: { jeśli ω A ( A zaszło ) X i (ω) = 0 jeśli ω / A ( A nie zaszło ) 5 / 26

11 Częstości zdarzeń a schemat Bernoulliego Zajście/niezajście danego zdarzenia losowego można zakodować za pomocą zmiennej losowej o rozkładzie dwupunktowym: Rozważmy n niezależnych doświadczeń losowych, w których obserwujemy zajścia danego zdarzenia losowego A Zdefiniujmy zmienne losowe X, X 2,..., X n dotyczące poszczególnych doświadczeń, określone jako: { jeśli ω A ( A zaszło ) X i (ω) = 0 jeśli ω / A ( A nie zaszło ) Zmienne te są niezależne i mają rozkład dwupunktowy B(p) z parametrem p = P(X i = ) = P(A) (schemat Bernoulliego) Rzuty monetą: X i koduje reszkę/orła (p = 2 ) Rzut kostką: X i koduje wypadło 6 / nie wypadło 6 (p = 6 ) 5 / 26

12 Częstości zdarzeń a schemat Bernoulliego Zajście/niezajście danego zdarzenia losowego można zakodować za pomocą zmiennej losowej o rozkładzie dwupunktowym: Rozważmy n niezależnych doświadczeń losowych, w których obserwujemy zajścia danego zdarzenia losowego A Zdefiniujmy zmienne losowe X, X 2,..., X n dotyczące poszczególnych doświadczeń, określone jako: { jeśli ω A ( A zaszło ) X i (ω) = 0 jeśli ω / A ( A nie zaszło ) Zmienne te są niezależne i mają rozkład dwupunktowy B(p) z parametrem p = P(X i = ) = P(A) (schemat Bernoulliego) Rzuty monetą: X i koduje reszkę/orła (p = 2 ) Rzut kostką: X i koduje wypadło 6 / nie wypadło 6 (p = 6 ) Częstość zajścia zdarzenia A = częstość sukcesów = Sn n, gdzie S n = X X n to liczba sukcesów 5 / 26

13 Częstości zdarzeń a schemat Bernoulliego Zajście/niezajście danego zdarzenia losowego można zakodować za pomocą zmiennej losowej o rozkładzie dwupunktowym: Rozważmy n niezależnych doświadczeń losowych, w których obserwujemy zajścia danego zdarzenia losowego A Zdefiniujmy zmienne losowe X, X 2,..., X n dotyczące poszczególnych doświadczeń, określone jako: { jeśli ω A ( A zaszło ) X i (ω) = 0 jeśli ω / A ( A nie zaszło ) Zmienne te są niezależne i mają rozkład dwupunktowy B(p) z parametrem p = P(X i = ) = P(A) (schemat Bernoulliego) Rzuty monetą: X i koduje reszkę/orła (p = 2 ) Rzut kostką: X i koduje wypadło 6 / nie wypadło 6 (p = 6 ) Częstość zajścia zdarzenia A = częstość sukcesów = Sn n, gdzie S n = X X n to liczba sukcesów Prawo wielkich liczb: dla dostatecznie dużych n, Sn n A) będzie dowolnie blisko p (prawdopodobieństwu zajścia A) (częstość zajścia 5 / 26

14 Schemat Bernoulliego X,..., X n niezależne zmienne o rozkładzie B(p) Liczba sukcesów S n = X X n ma rozkład dwumianowy B(n, p) ES n = 6 / 26

15 Schemat Bernoulliego X,..., X n niezależne zmienne o rozkładzie B(p) Liczba sukcesów S n = X X n ma rozkład dwumianowy B(n, p) ES n = np, D 2 (S n ) = 6 / 26

16 Schemat Bernoulliego X,..., X n niezależne zmienne o rozkładzie B(p) Liczba sukcesów S n = X X n ma rozkład dwumianowy B(n, p) ES n = np, D 2 (S n ) = np( p) 6 / 26

17 Schemat Bernoulliego X,..., X n niezależne zmienne o rozkładzie B(p) Liczba sukcesów S n = X X n ma rozkład dwumianowy B(n, p) ES n = np, D 2 (S n ) = np( p) p = 0.5, n = 6 p = 0.5, n = 6 P(Sn = k) P(Sn = k) k = p = 0.5, n = 30 k = p = 0.5, n = 00 P(Sn = k) P(Sn = k) k = k = / 26

18 Schemat Bernoulliego X,..., X n niezależne zmienne o rozkładzie B(p) Liczba sukcesów S n = X X n ma rozkład dwumianowy B(n, p) ES n = np, D 2 (S n ) = np( p) Zmieniamy skalę: częstość sukcesów (średnia arytmetyczna) X n = Sn n EX n = 6 / 26

19 Schemat Bernoulliego X,..., X n niezależne zmienne o rozkładzie B(p) Liczba sukcesów S n = X X n ma rozkład dwumianowy B(n, p) ES n = np, D 2 (S n ) = np( p) Zmieniamy skalę: częstość sukcesów (średnia arytmetyczna) X n = Sn n ( ) Sn EX n = E = ES n = p n n 6 / 26

20 Schemat Bernoulliego X,..., X n niezależne zmienne o rozkładzie B(p) Liczba sukcesów S n = X X n ma rozkład dwumianowy B(n, p) ES n = np, D 2 (S n ) = np( p) Zmieniamy skalę: częstość sukcesów (średnia arytmetyczna) X n = Sn n ( ) Sn EX n = E = ES n = p n n D 2 (X n ) 6 / 26

21 Schemat Bernoulliego X,..., X n niezależne zmienne o rozkładzie B(p) Liczba sukcesów S n = X X n ma rozkład dwumianowy B(n, p) ES n = np, D 2 (S n ) = np( p) Zmieniamy skalę: częstość sukcesów (średnia arytmetyczna) X n = Sn n ( ) Sn EX n = E = ES n = p n n D 2 (X n ) = D 2 ( Sn n ) = D2 (S n ) n 2 = p( p) n 6 / 26

22 Schemat Bernoulliego X,..., X n niezależne zmienne o rozkładzie B(p) Liczba sukcesów S n = X X n ma rozkład dwumianowy B(n, p) ES n = np, D 2 (S n ) = np( p) Zmieniamy skalę: częstość sukcesów (średnia arytmetyczna) X n = Sn n ( ) Sn EX n = E = ES n = p n n ( ) D 2 (X n ) = D 2 Sn n p( p) D(X n ) = n = D2 (S n ) n 2 = p( p) n 6 / 26

23 Rozkład zmiennej X n (dla p = 2 ) D(X n) n = 6 D(X n) n = 6 P(X n = x) P(X n = x) x x D(X n) n = 30 D(X n) n = 00 P(X n = x) P(X n = x) x x 7 / 26

24 Prawo wielkich liczb dla rozkładu dwupunktowego Nierówność Czebyszewa przypomnienie Dla zmiennej losowej o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji: ɛ > 0 P ( X EX ɛ ) D2 (X ) ɛ 2 8 / 26

25 Prawo wielkich liczb dla rozkładu dwupunktowego Nierówność Czebyszewa przypomnienie Dla zmiennej losowej o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji: Stosujemy twierdzenie do X n : ɛ > 0 P ( X EX ɛ ) D2 (X ) ɛ 2 P ( X n p ɛ ) EX n = p p( p) nɛ 2 D 2 (X n ) = p( p) n 8 / 26

26 Prawo wielkich liczb dla rozkładu dwupunktowego Nierówność Czebyszewa przypomnienie Dla zmiennej losowej o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji: Stosujemy twierdzenie do X n : ɛ > 0 P ( X EX ɛ ) D2 (X ) ɛ 2 P ( X n p > ɛ ) p( p) nɛ 2 Szansa odchylenia się częstości o więcej niż ɛ od prawdopodobieństwa sukcesu maleje z n 8 / 26

27 Prawo wielkich liczb dla rozkładu dwupunktowego Nierówność Czebyszewa przypomnienie Dla zmiennej losowej o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji: Stosujemy twierdzenie do X n : ɛ > 0 P ( X EX ɛ ) D2 (X ) ɛ 2 P ( X n p > ɛ ) p( p) nɛ 2 = P ( X n p ɛ ) p( p) nɛ 2 Szansa odchylenia się częstości o co najwyżej ɛ od prawdopodobieństwa sukcesu rośnie z n 8 / 26

28 Prawo wielkich liczb dla rozkładu dwupunktowego Nierówność Czebyszewa przypomnienie Dla zmiennej losowej o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji: Stosujemy twierdzenie do X n : ɛ > 0 P ( X EX ɛ ) D2 (X ) ɛ 2 P ( X n p > ɛ ) p( p) nɛ 2 = P ( X n p ɛ ) p( p) nɛ 2 Prawo wielkich liczb Bernoulliego Dla dowolnego ɛ > 0: lim n P( X n p ɛ ) = Zmienna losowa X n zbiega według prawdopodobieństwa do p. 8 / 26

29 Prawo wielkich liczb Bernoulliego (p = 2 ) ɛ > 0 lim n P( X n p ɛ ) = P ( X n p ɛ ) = P ( p ɛ X n p + ɛ ) n = 6 P(X n = x) x 0 p ɛ p p+ɛ 9 / 26

30 Prawo wielkich liczb Bernoulliego (p = 2 ) ɛ > 0 lim n P( X n p ɛ ) = P ( X n p ɛ ) = P ( p ɛ X n p + ɛ ) n = 6 P(X n = x) x 0 p ɛ p p+ɛ 9 / 26

31 Prawo wielkich liczb Bernoulliego (p = 2 ) ɛ > 0 lim n P( X n p ɛ ) = P ( X n p ɛ ) = P ( p ɛ X n p + ɛ ) n = 30 P(X n = x) x 0 p ɛ p p+ɛ 9 / 26

32 Prawo wielkich liczb Bernoulliego (p = 2 ) ɛ > 0 lim n P( X n p ɛ ) = P ( X n p ɛ ) = P ( p ɛ X n p + ɛ ) n = 00 P(X n = x) x 0 p ɛ p p+ɛ 9 / 26

33 Prawo wielkich liczb Bernoulliego (p = 2 ) ɛ > 0 lim n P( X n p ɛ ) = P ( X n p ɛ ) = P ( p ɛ X n p + ɛ ) n = 500 P(X n = x) x 0 p ɛ p p+ɛ 9 / 26

34 Prawo wielkich liczb ogólniej Pokazaliśmy, że częstość zajścia zdarzenia losowego zbiega do jego prawdopodobieństwa Wykorzystaliśmy fakt, że z dużym prawdopodobieństwem średnia arytmetyczna z n zmiennych dwupunktowych ( częstość sukcesów ) jest bliska wartości oczekiwanej (prawdopodobieństwa sukcesu)... 0 / 26

35 Prawo wielkich liczb ogólniej Pokazaliśmy, że częstość zajścia zdarzenia losowego zbiega do jego prawdopodobieństwa Wykorzystaliśmy fakt, że z dużym prawdopodobieństwem średnia arytmetyczna z n zmiennych dwupunktowych ( częstość sukcesów ) jest bliska wartości oczekiwanej (prawdopodobieństwa sukcesu) ale to zjawisko zachodzi również dla innych zmiennych losowych! Uogólnimy prawo wielkich liczb na stwierdzenie: Dla dostatecznie dużych n, średnia arytmetyczna z n realizacji zmiennej losowej jest dowolnie blisko jej wartości oczekiwanej 0 / 26

36 Prawo wielkich liczb ogólniej Pokazaliśmy, że częstość zajścia zdarzenia losowego zbiega do jego prawdopodobieństwa Wykorzystaliśmy fakt, że z dużym prawdopodobieństwem średnia arytmetyczna z n zmiennych dwupunktowych ( częstość sukcesów ) jest bliska wartości oczekiwanej (prawdopodobieństwa sukcesu) ale to zjawisko zachodzi również dla innych zmiennych losowych! Uogólnimy prawo wielkich liczb na stwierdzenie: Dla dostatecznie dużych n, średnia arytmetyczna z n realizacji zmiennej losowej jest dowolnie blisko jej wartości oczekiwanej Dla dużych n, średnia z n wyników rzutów kostką jest blisko 3.5 Dla dużych n, średnia wartość wygranej w n niezależnych grach jest blisko wartości oczekiwanej wygranej Dla dużych n, średnia z n liczb wylosowanych z rozkładu jednostajnego na odcinku [0, ] jest blisko / 26

37 Ciąg niezależnych zmiennych losowych X,..., X n niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie, a więc tej samej wartości oczekiwanej EX i = µ i wariancji D 2 (X i ) = σ 2. Definiujemy: X = n X i n i= / 26

38 Ciąg niezależnych zmiennych losowych X,..., X n niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie, a więc tej samej wartości oczekiwanej EX i = µ i wariancji D 2 (X i ) = σ 2. Definiujemy: X = n X i n i= EX n = / 26

39 Ciąg niezależnych zmiennych losowych X,..., X n niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie, a więc tej samej wartości oczekiwanej EX i = µ i wariancji D 2 (X i ) = σ 2. Definiujemy: X = n X i n i= EX n = E ( n ) n X i i= = n EX n }{{} i i= µ = µ / 26

40 Ciąg niezależnych zmiennych losowych X,..., X n niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie, a więc tej samej wartości oczekiwanej EX i = µ i wariancji D 2 (X i ) = σ 2. Definiujemy: X = n X i n i= EX n = E D 2 (X n ) = ( n ) n X i i= = n EX n }{{} i i= µ = µ / 26

41 Ciąg niezależnych zmiennych losowych X,..., X n niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie, a więc tej samej wartości oczekiwanej EX i = µ i wariancji D 2 (X i ) = σ 2. Definiujemy: X = n X i n i= ( ) n EX n = E X i = n EX i = µ n n }{{} i= i= µ ( ) n D 2 (X n ) = D 2 X i = n n n 2 D 2 σ 2 (X i ) = }{{} n i= i= σ 2 / 26

42 Ciąg niezależnych zmiennych losowych X,..., X n niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie, a więc tej samej wartości oczekiwanej EX i = µ i wariancji D 2 (X i ) = σ 2. Definiujemy: X = n X i n i= ( ) n EX n = E X i = n EX i = µ n n }{{} i= i= µ ( ) n D 2 (X n ) = D 2 X i = n n n 2 D 2 σ 2 (X i ) = }{{} n i= i= σ 2 Stosujemy nierówność Czebyszewa: P ( X n µ ɛ ) D2 (X n ) ɛ 2 = σ2 nɛ 2 / 26

43 Ciąg niezależnych zmiennych losowych X,..., X n niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie, a więc tej samej wartości oczekiwanej EX i = µ i wariancji D 2 (X i ) = σ 2. Definiujemy: X = n X i n i= ( ) n EX n = E X i = n EX i = µ n n }{{} i= i= µ ( ) n D 2 (X n ) = D 2 X i = n n n 2 D 2 σ 2 (X i ) = }{{} n i= i= σ 2 Stosujemy nierówność Czebyszewa: P ( X n µ ɛ ) D2 (X n ) ɛ 2 = σ2 nɛ 2 n 0 / 26

44 Prawo wielkich liczb Słabe prawo wielkich liczb Chińczyna Niech X, X 2,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, mających wartość oczekiwaną µ i wariancję σ 2 <. Wtedy dla dowolnego ɛ > 0: lim P( X n µ ɛ ) = n 2 / 26

45 Prawo wielkich liczb Słabe prawo wielkich liczb Chińczyna Niech X, X 2,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, mających wartość oczekiwaną µ i wariancję σ 2 <. Wtedy dla dowolnego ɛ > 0: lim P( X n µ ɛ ) = n Prawo wielkich liczb Bernoulliego jest szczególnym przypadkiem tego twierdzenia, jeśli zmienne X, X 2,... mają rozkład dwupunktowy. 2 / 26

46 Zbieżność według prawdopodobieństwa Niech X n = (X, X 2,...) będzie ciągiem zmiennych losowych. Mówimy, że ciąg X n dąży do zmiennej losowej X według prawdopodobieństwa, jeśli dla dowolnego ɛ > 0: lim P( X n X > ɛ) = 0 n Oznaczamy X n P X 3 / 26

47 Zbieżność według prawdopodobieństwa Niech X n = (X, X 2,...) będzie ciągiem zmiennych losowych. Mówimy, że ciąg X n dąży do zmiennej losowej X według prawdopodobieństwa, jeśli dla dowolnego ɛ > 0: lim P( X n X > ɛ) = 0 n Oznaczamy X n P X W szczególności, jeśli X ma rozkład jednopunktowy, tzn. P(X = c) =, zapisujemy X n P c. 3 / 26

48 Zbieżność według prawdopodobieństwa Niech X n = (X, X 2,...) będzie ciągiem zmiennych losowych. Mówimy, że ciąg X n dąży do zmiennej losowej X według prawdopodobieństwa, jeśli dla dowolnego ɛ > 0: lim P( X n X > ɛ) = 0 n Oznaczamy X n P X W szczególności, jeśli X ma rozkład jednopunktowy, tzn. P(X = c) =, zapisujemy X n P c. Korzystając z powyższej równości możemy przepisać prawa wielkich liczb 3 / 26

49 Prawo wielkich liczb Słabe prawo wielkich liczb Chińczyna Niech X, X 2,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, mających wartość oczekiwaną µ i wariancję σ 2 <. Wtedy: X n P µ 4 / 26

50 Prawo wielkich liczb Słabe prawo wielkich liczb Czebyszewa Niech X, X 2,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych z wartościami oczekiwanymi EX i = µ i i wariancjami D 2 (X i ) = σ 2 i, wspólnie ograniczonymi przez σ 2 (tzn. σ 2 i σ 2 dla wszystkich i). Niech µ n = n ni= µ i. Wtedy X n µ n P 0 5 / 26

51 Prawo wielkich liczb Słabe prawo wielkich liczb Czebyszewa Niech X, X 2,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych z wartościami oczekiwanymi EX i = µ i i wariancjami D 2 (X i ) = σ 2 i, wspólnie ograniczonymi przez σ 2 (tzn. σ 2 i σ 2 dla wszystkich i). Niech µ n = n ni= µ i. Wtedy Zadanie Udowodnij to twierdzenie X n µ n P 0 5 / 26

52 Zbieżność z prawdopodobieństwem jeden Rozważmy wyrażenie: lim n X n = X 6 / 26

53 Zbieżność z prawdopodobieństwem jeden Rozważmy wyrażenie: lim n X n = X Ta równość tyczy się zmiennych losowych, powyższe wyrażenie jest więc zdarzeniem losowym! 6 / 26

54 Zbieżność z prawdopodobieństwem jeden Rozważmy wyrażenie: ω Ω lim X n(ω) = X (ω) n 6 / 26

55 Zbieżność z prawdopodobieństwem jeden Rozważmy wyrażenie: ω Ω lim X n(ω) = X (ω) n To stwierdzenie nazywa się zbieżnością na pewno : zbieżność zachodzi dla wszystkich ω Ω. Zwykle zbyt silne, ponieważ musi zajść dla ω, dla których P({ω}) = 0 (np. dla schematu Bernoulliego może się zdarzyć (z prawd. 0), że zaobserwujemy same porażki) 6 / 26

56 Zbieżność z prawdopodobieństwem jeden Rozważmy wyrażenie: ω Ω lim X n(ω) = X (ω) n To stwierdzenie nazywa się zbieżnością na pewno : zbieżność zachodzi dla wszystkich ω Ω. Zwykle zbyt silne, ponieważ musi zajść dla ω, dla których P({ω}) = 0 (np. dla schematu Bernoulliego może się zdarzyć (z prawd. 0), że zaobserwujemy same porażki) Mówimy, że ciąg X n dąży do zmiennej losowej X z prawdopodobieństwem jeden ( prawie na pewno ) jeśli: z pr. Zapisujemy X n X ( ) P lim X n = X n = 6 / 26

57 Zbieżność według prawdopodobieństwa a zbieżność z prawdopodobieństwem jeden ɛ > 0 ( ) P lim X n = X n = lim P( X n X > ɛ) = 0 n ( ) z pr. X n X ) P (X n X 7 / 26

58 Zbieżność według prawdopodobieństwa a zbieżność z prawdopodobieństwem jeden ɛ > 0 ( ) P lim X n = X n = lim P( X n X > ɛ) = 0 n ( ) z pr. X n X ) P (X n X Zbieżność z prawdopodobieństwem jeden implikuje zbieżność według prawdopodobieństwa: X n z pr. X = X n P X 7 / 26

59 Zbieżność według prawdopodobieństwa a zbieżność z prawdopodobieństwem jeden ɛ > 0 ( ) P lim X n = X n = lim P( X n X > ɛ) = 0 n ( ) z pr. X n X ) P (X n X Zbieżność z prawdopodobieństwem jeden implikuje zbieżność według prawdopodobieństwa: X n z pr. X = X n P X Zadanie 2 Udowodnij tę implikację. Wskazówka: można użyć twierdzenia o wstępującym ciągu zdarzeń. 7 / 26

60 Zbieżność według prawdopodobieństwa a zbieżność z prawdopodobieństwem jeden ɛ > 0 ( ) P lim X n = X n = lim P( X n X > ɛ) = 0 n ( ) z pr. X n X ) P (X n X Zbieżność z prawdopodobieństwem jeden implikuje zbieżność według prawdopodobieństwa: X n z pr. X = X n P X Zadanie 2 Udowodnij tę implikację. Wskazówka: można użyć twierdzenia o wstępującym ciągu zdarzeń. Pokażemy kontrprzykład, że implikacja w drugą stronę nie zachodzi 7 / 26

61 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ω = [0, ], P rozkład jednostajny na [0, ]. Badamy zbieżność ciągu X, X 2,... do zmiennej X (ω) = 0 ω [0, ] X (ω) X 8 X 4 X 9 X 2 X 5 X X 6 X 3 X 7 0 X ω 8 / 26

62 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ω = [0, ], P rozkład jednostajny na [0, ]. Badamy zbieżność ciągu X, X 2,... do zmiennej X (ω) = 0 ω [0, ] X (ω) X 8 X 4 X 9 X 2 X 5 X X 6 X 3 X 7 0 X ω 8 / 26

63 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ω = [0, ], P rozkład jednostajny na [0, ]. Badamy zbieżność ciągu X, X 2,... do zmiennej X (ω) = 0 ω [0, ] X (ω) X 8 X 4 X 9 X 2 X 5 X X 6 X 3 X 7 0 X ω 8 / 26

64 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ω = [0, ], P rozkład jednostajny na [0, ]. Badamy zbieżność ciągu X, X 2,... do zmiennej X (ω) = 0 ω [0, ] X (ω) X 8 X 4 X 9 X 2 X 5 X X 6 X 3 X 7 0 X ω 8 / 26

65 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ω = [0, ], P rozkład jednostajny na [0, ]. Badamy zbieżność ciągu X, X 2,... do zmiennej X (ω) = 0 ω [0, ] X (ω) X 8 X 4 X 9 X 2 X 5 X X 6 X 3 X 7 0 X ω 8 / 26

66 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ω = [0, ], P rozkład jednostajny na [0, ]. Badamy zbieżność ciągu X, X 2,... do zmiennej X (ω) = 0 ω [0, ] X (ω) X 8 X 4 X 9 X 2 X 5 X X 6 X 3 X 7 0 X ω 8 / 26

67 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ω = [0, ], P rozkład jednostajny na [0, ]. Badamy zbieżność ciągu X, X 2,... do zmiennej X (ω) = 0 ω [0, ] X (ω) X 8 X 4 X 9 X 2 X 5 X X 6 X 3 X 7 0 X ω 8 / 26

68 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ω = [0, ], P rozkład jednostajny na [0, ]. Badamy zbieżność ciągu X, X 2,... do zmiennej X (ω) = 0 ω [0, ] X (ω) X 8 X 4 X 9 X 2 X 5 X X 6 X 3 X 7 0 X ω 8 / 26

69 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ω = [0, ], P rozkład jednostajny na [0, ]. Badamy zbieżność ciągu X, X 2,... do zmiennej X (ω) = 0 ω [0, ] X (ω) X 8 X 4 X 9 X 2 X 5 X X 6 X 3 X 7 0 X ω 8 / 26

70 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ω = [0, ], P rozkład jednostajny na [0, ]. Badamy zbieżność ciągu X, X 2,... do zmiennej X (ω) = 0 ω [0, ] X (ω) X 8 X 4 X 9 X 2 X 5 X X 6 X 3 X 7 0 X ω 8 / 26

71 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ponieważ X n {0, } i X 0, mamy: ɛ (0, ) X n X > ɛ X n = X (ω) X 8 X 4 X 2 X 5 X X 6 X 3 X 7 P( X P( X 8 X 4 P( X > X ɛ) > 2 P( X = ɛ) X 0.25 = 5 > P( X 0.25 ɛ) X = > P( X ɛ) 0.5 X = 6 > P( X 0.25 ɛ) X = > 3 P( X ɛ).0 X = 7 > 0.25 ɛ) X = > ɛ) 0.5= X ω 9 / 26

72 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ponieważ X n {0, } i X 0, mamy: ɛ (0, ) X n X > ɛ X n = X (ω) X 8 X 4 X 2 X 5 X X 6 X 3 X 7 P( X P( X 8 X 4 P( X > X ɛ) > 2 P( X = ɛ) X 0.25 = 5 > P( X 0.25 ɛ) X = > P( X ɛ) 0.5 X = 6 > P( X 0.25 ɛ) X = > 3 P( X ɛ).0 X = 7 > 0.25 ɛ) X = > ɛ) 0.5= X ω 9 / 26

73 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ponieważ X n {0, } i X 0, mamy: ɛ (0, ) X n X > ɛ X n = X (ω) X 8 X 4 X 2 X 5 X X 6 X 3 X 7 P( X P( X 8 X 4 P( X > X ɛ) > 2 P( X = ɛ) X 0.25 = 5 > P( X 0.25 ɛ) X = > P( X ɛ) 0.5 X = 6 > P( X 0.25 ɛ) X = > 3 P( X ɛ).0 X = 7 > 0.25 ɛ) X = > ɛ) 0.5= X ω 9 / 26

74 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ponieważ X n {0, } i X 0, mamy: ɛ (0, ) X n X > ɛ X n = X (ω) X 8 X 4 X 2 X 5 X X 6 X 3 X 7 P( X P( X 8 X 4 P( X > X ɛ) > 2 P( X = ɛ) X 0.25 = 5 > P( X 0.25 ɛ) X = > P( X ɛ) 0.5 X = 6 > P( X 0.25 ɛ) X = > 3 P( X ɛ).0 X = 7 > 0.25 ɛ) X = > ɛ) 0.5= X ω 9 / 26

75 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ponieważ X n {0, } i X 0, mamy: ɛ (0, ) X n X > ɛ X n = X (ω) X 8 X 4 X 2 X 5 X X 6 X 3 X 7 P( X P( X 8 X 4 P( X > X ɛ) > 2 P( X = ɛ) X 0.25 = 5 > P( X 0.25 ɛ) X = > P( X ɛ) 0.5 X = 6 > P( X 0.25 ɛ) X = > 3 P( X ɛ).0 X = 7 > 0.25 ɛ) X = > ɛ) 0.5= X ω 9 / 26

76 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ponieważ X n {0, } i X 0, mamy: ɛ (0, ) X n X > ɛ X n = X (ω) X 8 X 4 X 2 X 5 X X 6 X 3 X 7 P( X P( X 8 X 4 P( X > X ɛ) > 2 P( X = ɛ) X 0.25 = 5 > P( X 0.25 ɛ) X = > P( X ɛ) 0.5 X = 6 > P( X 0.25 ɛ) X = > 3 P( X ɛ).0 X = 7 > 0.25 ɛ) X = > ɛ) 0.5= X ω 9 / 26

77 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ponieważ X n {0, } i X 0, mamy: ɛ (0, ) X n X > ɛ X n = X (ω) X 8 X 4 X 2 X 5 X X 6 X 3 X 7 P( X P( X 8 X 4 P( X > X ɛ) > 2 P( X = ɛ) X 0.25 = 5 > P( X 0.25 ɛ) X = > P( X ɛ) 0.5 X = 6 > P( X 0.25 ɛ) X = > 3 P( X ɛ).0 X = 7 > 0.25 ɛ) X = > ɛ) 0.5= X ω 9 / 26

78 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ponieważ X n {0, } i X 0, mamy: ɛ (0, ) X n X > ɛ X n = X (ω) X 8 X 4 X 2 X 5 X X 6 X 3 X 7 P( X P( X 8 X 4 P( X > X ɛ) > 2 P( X = ɛ) X 0.25 = 5 > P( X 0.25 ɛ) X = > P( X ɛ) 0.5 X = 6 > P( X 0.25 ɛ) X = > 3 P( X ɛ).0 X = 7 > 0.25 ɛ) X = > ɛ) 0.5= X ω 9 / 26

79 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ponieważ X n {0, } i X 0, mamy: ɛ (0, ) X n X > ɛ X n = X (ω) X 8 X 4 X 2 X 5 X X 6 X 3 X 7 P( X P( X 8 X 4 P( X > X ɛ) > 2 P( X = ɛ) X 0.25 = 5 > P( X 0.25 ɛ) X = > P( X ɛ) 0.5 X = 6 > P( X 0.25 ɛ) X = > 3 P( X ɛ).0 X = 7 > 0.25 ɛ) X = > ɛ) 0.5= X ω 9 / 26

80 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ponieważ X n {0, } i X 0, mamy: ɛ (0, ) X n X > ɛ X n = X (ω) X 8 X 4 X 2 X 5 X X 6 X 3 X 7 Wniosek: lim n P( X n X > ɛ) = 0 P( X P( X 8 X 4 P( X > X ɛ) > 2 P( X = ɛ) X 0.25 = 5 > P( X 0.25 ɛ) X = > P( X ɛ) 0.5 X = 6 > P( X 0.25 ɛ) X = > 3 P( X ɛ).0 X = 7 > 0.25 ɛ) X = > ɛ) 0.5= 0.25 P X n X 0 X ω 9 / 26

81 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ale: lim X n(ω) = X (ω) nie zachodzi dla żadnego ω! n X (ω) X (ω 0 ) = 0 X (ω 0 ) = 0 0 ω ω 20 / 26

82 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ale: lim X n(ω) = X (ω) nie zachodzi dla żadnego ω! n X n (ω 0 ) = X (ω) X (ω 0 ) = 0 X (ω 0 ) = 0 0 ω ω 20 / 26

83 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ale: lim X n(ω) = X (ω) nie zachodzi dla żadnego ω! n X n (ω 0 ) =, X (ω) X (ω 0 ) = 0 X (ω 0 ) = 0 0 ω ω 20 / 26

84 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ale: lim X n(ω) = X (ω) nie zachodzi dla żadnego ω! n X n (ω 0 ) =,, X (ω) X (ω 0 ) = 0 X (ω 0 ) = 0 0 ω ω 20 / 26

85 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ale: lim X n(ω) = X (ω) nie zachodzi dla żadnego ω! n X n (ω 0 ) =,, 0, X (ω) X (ω 0 ) = 0 X (ω 0 ) = 0 0 ω ω 20 / 26

86 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ale: lim X n(ω) = X (ω) nie zachodzi dla żadnego ω! n X n (ω 0 ) =,, 0,, X (ω) X (ω 0 ) = 0 X (ω 0 ) = 0 0 ω ω 20 / 26

87 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ale: lim X n(ω) = X (ω) nie zachodzi dla żadnego ω! n X n (ω 0 ) =,, 0,,0, X (ω) X (ω 0 ) = 0 X (ω 0 ) = 0 0 ω ω 20 / 26

88 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ale: lim X n(ω) = X (ω) nie zachodzi dla żadnego ω! n X n (ω 0 ) =,, 0,,0, 0, X (ω) X (ω 0 ) = 0 X (ω 0 ) = 0 0 ω ω 20 / 26

89 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ale: lim X n(ω) = X (ω) nie zachodzi dla żadnego ω! n X n (ω 0 ) =,, 0,,0, 0, 0, X (ω) X (ω 0 ) = 0 X (ω 0 ) = 0 0 ω ω 20 / 26

90 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ale: lim X n(ω) = X (ω) nie zachodzi dla żadnego ω! n X n (ω 0 ) =,, 0,,0, 0, 0,,... X (ω) X (ω 0 ) = 0 X (ω 0 ) = 0 0 ω ω 20 / 26

91 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ale: X (ω) lim X n(ω) = X (ω) nie zachodzi dla żadnego ω! n X n (ω 0 ) =,, 0,,0, 0, 0,,... Ten ciąg nie ma granicy! X (ω 0 ) = 0 X (ω 0 ) = 0 0 ω ω 20 / 26

92 Kontrprzykład: losowanie punktów z odcinka Ale: X (ω) lim X n(ω) = X (ω) nie zachodzi dla żadnego ω! n X n (ω 0 ) =,, 0,,0, 0, 0,,... Ten ciąg nie ma granicy! P Wniosek: zachodzi X n X (ω X 0, ) ale = 0 X (ω 0 ) = 0 P ( lim n X n (ω) = X (ω) ) = 0! 0 ω ω 20 / 26

93 Mocne prawo wielkich liczb Pokazaliśmy, że: P z pr. X n X = X n X 2 / 26

94 Pokazaliśmy, że: Mocne prawo wielkich liczb P z pr. X n X = X n X z pr. Mimo to prawa wielkich liczb można wzmocnić do warunku X n X 2 / 26

95 Pokazaliśmy, że: Mocne prawo wielkich liczb P z pr. X n X = X n X z pr. Mimo to prawa wielkich liczb można wzmocnić do warunku X n Mocne prawo wielkich liczb Chińczyna Niech X, X 2,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, z wartość oczekiwaną µ i wariancją σ 2 <. Wtedy: X n z pr. µ Mocne prawo wielkich liczb Czebyszewa Niech X, X 2,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych zex i = µ i i wariancjami D 2 (X i ) = σi 2, wspólnie ograniczonymi przez σ 2. Niech µ n = ni= n µ i. Wtedy: X n µ n z pr. 0 X Twierdzenia pozostawiamy bez dowodu. 2 / 26

96 Częstościowa interpretacja prawdopodobieństwa Dotyczy powtarzalnych doświadczeń losowych. Powtórzmy n razy doświadczenie losowe. Dla dowolnego zdarzenia A, niech n A oznacza liczbę doświadczeń w których A zaszło. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest graniczną wartością częstości: P(A) = n A lim n n 22 / 26

97 Częstościowa interpretacja prawdopodobieństwa Dotyczy powtarzalnych doświadczeń losowych. Powtórzmy n razy doświadczenie losowe. Dla dowolnego zdarzenia A, niech n A oznacza liczbę doświadczeń w których A zaszło. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest graniczną wartością częstości: P(A) = n A lim n n Z mocnego prawa wielkich wnioskujemy wiemy, że powyższe zachodzi z prawdopodobieństwem jeden Uzasadnia to częstościową interpretację prawdopodobieństwa (choć niektórzy twierdzą, że to błędne koło w rozumowaniu) 22 / 26

98 Przykład: metoda Monte Carlo W kwadrat o boku wpisano nieregularną figurę A. Wyznacz pole powierzchni figury (ozn. A ), jeśli łatwo można sprawdzić, czy dany punkt w kwadracie należy do figury. A 23 / 26

99 Przykład: metoda Monte Carlo W kwadrat o boku wpisano nieregularną figurę A. Wyznacz pole powierzchni figury (ozn. A ), jeśli łatwo można sprawdzić, czy dany punkt w kwadracie należy do figury. A Rozwiązanie: losujemy jednostajnie n punktów z kwadratu; niech X i {0, } określa czy i-ty punkt trafił w figurę (X i = ) czy nie (X i = 0) 23 / 26

100 Przykład: metoda Monte Carlo W kwadrat o boku wpisano nieregularną figurę A. Wyznacz pole powierzchni figury (ozn. A ), jeśli łatwo można sprawdzić, czy dany punkt w kwadracie należy do figury. A Rozwiązanie: losujemy jednostajnie n punktów z kwadratu; niech X i {0, } określa czy i-ty punkt trafił w figurę (X i = ) czy nie (X i = 0) EX i = P(X i = ) = P(trafienie w A) = A = A 23 / 26

101 Przykład: metoda Monte Carlo W kwadrat o boku wpisano nieregularną figurę A. Wyznacz pole powierzchni figury (ozn. A ), jeśli łatwo można sprawdzić, czy dany punkt w kwadracie należy do figury. A Rozwiązanie: losujemy jednostajnie n punktów z kwadratu; niech X i {0, } określa czy i-ty punkt trafił w figurę (X i = ) czy nie (X i = 0) EX i = P(X i = ) = P(trafienie w A) = A = A Z prawa wielkich liczb częstość trafień zbiega do pola figury: X = n n i= z pr. X i A 23 / 26

102 Przykład: metoda Monte Carlo Mając zadaną funkcję g : R d R, wyznacz całkę na pewnym (ograniczonym) zbiorze A R d C = g(x) dx A 24 / 26

103 Przykład: metoda Monte Carlo Mając zadaną funkcję g : R d R, wyznacz całkę na pewnym (ograniczonym) zbiorze A R d C = g(x) dx Rozwiązanie: Losujemy punkty X i, i =,..., n jednostajnie na zbiorze A Definiujemy zmienne losowej Y i = g(x i) (i =,..., n) Z prawa wielkich liczb: Czym jest EY i? Y = n A n i= z pr. EY i 24 / 26

104 Przykład: metoda Monte Carlo Mając zadaną funkcję g : R d R, wyznacz całkę na pewnym (ograniczonym) zbiorze A R d C = g(x) dx Rozwiązanie: Losujemy punkty X i, i =,..., n jednostajnie na zbiorze A Definiujemy zmienne losowej Y i = g(x i) (i =,..., n) Z prawa wielkich liczb: Czym jest EY i? EY i = Eg(X i) = Y = n A n i= z pr. g(x)f X i (x) dx EY i 24 / 26

105 Przykład: metoda Monte Carlo Mając zadaną funkcję g : R d R, wyznacz całkę na pewnym (ograniczonym) zbiorze A R d C = g(x) dx Rozwiązanie: Losujemy punkty X i, i =,..., n jednostajnie na zbiorze A Definiujemy zmienne losowej Y i = g(x i) (i =,..., n) Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej Z prawa wielkich liczb: o rozkładzie jednostajnym Y = { na A: n z pr. x f X EY i n i (x) = A A 0 x / A Czym jest EY i? EY i = Eg(X i) = A i= g(x)f X i (x) dx 24 / 26

106 Przykład: metoda Monte Carlo Mając zadaną funkcję g : R d R, wyznacz całkę na pewnym (ograniczonym) zbiorze A R d C = g(x) dx Rozwiązanie: Losujemy punkty X i, i =,..., n jednostajnie na zbiorze A Definiujemy zmienne losowej Y i = g(x i) (i =,..., n) Z prawa wielkich liczb: Czym jest EY i? EY i = Eg(X i) = Y = n A n i= z pr. EY i g(x)f X i (x) dx = g(x) dx = C A A A 24 / 26

107 Przykład: metoda Monte Carlo Mając zadaną funkcję g : R d R, wyznacz całkę na pewnym (ograniczonym) zbiorze A R d C = g(x) dx Rozwiązanie: Losujemy punkty X i, i =,..., n jednostajnie na zbiorze A Definiujemy zmienne losowej Y i = g(x i) (i =,..., n) Z prawa wielkich liczb: Czym jest EY i? EY i = Eg(X i) = Y = n A n i= z pr. EY i g(x)f X i (x) dx = g(x) dx = C A A A Skuteczna metoda przybliżania całek gdy wymiar d jest duży 24 / 26

108 Przykład: metoda Monte Carlo Oszacuj (przez wielokrotne losowanie) rozkład dyskretnej zmiennej losowej X przyjmującej K możliwych wartości (X {,..., K}) 25 / 26

109 Przykład: metoda Monte Carlo Oszacuj (przez wielokrotne losowanie) rozkład dyskretnej zmiennej losowej X przyjmującej K możliwych wartości (X {,..., K}) Rozwiązanie: Losujemy n niezależnych realizacji tej zmiennej, X,..., X n, a następnie dla każdego k =,..., K, zliczamy liczbę wystąpień n k wartości k Z prawa wielkich liczb n z pr. k n P(X = k) 25 / 26

110 Przykład: metoda Monte Carlo Oszacuj (przez wielokrotne losowanie) rozkład dyskretnej zmiennej losowej X przyjmującej K możliwych wartości (X {,..., K}) Rozwiązanie: Losujemy n niezależnych realizacji tej zmiennej, X,..., X n, a następnie dla każdego k =,..., K, zliczamy liczbę wystąpień n k wartości k Z prawa wielkich liczb n z pr. k n P(X = k) Przykład: Niech X ma rozkład jednostajny na {, 2, 3, 4, 5, 6} prawdopodobieństwa P(X = k) / 26

111 Przykład: metoda Monte Carlo Oszacuj (przez wielokrotne losowanie) rozkład dyskretnej zmiennej losowej X przyjmującej K możliwych wartości (X {,..., K}) Rozwiązanie: Losujemy n niezależnych realizacji tej zmiennej, X,..., X n, a następnie dla każdego k =,..., K, zliczamy liczbę wystąpień n k wartości k Z prawa wielkich liczb n z pr. k n P(X = k) Przykład: Niech X ma rozkład jednostajny na {, 2, 3, 4, 5, 6} częstości n k n, n = / 26

112 Przykład: metoda Monte Carlo Oszacuj (przez wielokrotne losowanie) rozkład dyskretnej zmiennej losowej X przyjmującej K możliwych wartości (X {,..., K}) Rozwiązanie: Losujemy n niezależnych realizacji tej zmiennej, X,..., X n, a następnie dla każdego k =,..., K, zliczamy liczbę wystąpień n k wartości k Z prawa wielkich liczb n z pr. k n P(X = k) Przykład: Niech X ma rozkład jednostajny na {, 2, 3, 4, 5, 6} częstości n k n, n = / 26

113 Przykład: metoda Monte Carlo Oszacuj (przez wielokrotne losowanie) rozkład dyskretnej zmiennej losowej X przyjmującej K możliwych wartości (X {,..., K}) Rozwiązanie: Losujemy n niezależnych realizacji tej zmiennej, X,..., X n, a następnie dla każdego k =,..., K, zliczamy liczbę wystąpień n k wartości k Z prawa wielkich liczb n z pr. k n P(X = k) Przykład: Niech X ma rozkład jednostajny na {, 2, 3, 4, 5, 6} częstości n k n, n = / 26

114 Przykład: metoda Monte Carlo Oszacuj (przez wielokrotne losowanie) rozkład dyskretnej zmiennej losowej X przyjmującej K możliwych wartości (X {,..., K}) Rozwiązanie: Losujemy n niezależnych realizacji tej zmiennej, X,..., X n, a następnie dla każdego k =,..., K, zliczamy liczbę wystąpień n k wartości k Z prawa wielkich liczb n z pr. k n P(X = k) Przykład: Niech X ma rozkład jednostajny na {, 2, 3, 4, 5, 6} częstości n k n, n = / 26

115 Przykład: metoda Monte Carlo Oszacuj (przez wielokrotne losowanie) rozkład dyskretnej zmiennej losowej X przyjmującej K możliwych wartości (X {,..., K}) Rozwiązanie: Losujemy n niezależnych realizacji tej zmiennej, X,..., X n, a następnie dla każdego k =,..., K, zliczamy liczbę wystąpień n k wartości k Z prawa wielkich liczb n z pr. k n P(X = k) Przykład: Niech X ma rozkład jednostajny na {, 2, 3, 4, 5, 6} częstości, n = / 26

116 Zadanie Zadanie 3 Rozważ spacer losowy po prostej, w którym w każdym kroku idziemy o jeden w prawo z prawdopodobieństwem p lub o jeden w lewo z prawdopodobieństwem p, rozpoczynając od zera. Niech S n oznacza położenie spacerowicza w chwili n (S 0 = 0). Innymi słowy, S n = X +... X n, gdzie X i są niezależnymi zmiennymi losowymi z P(X i = ) = p i P(X i = ) = p. Udowodnij, że jeśli p > 2, to z prawdopodobieństwem zajdzie lim n S n =, natomiast jeśli p < 2, to z prawdopodobieństwem zajdzie lim n S n =. 26 / 26

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 6. Momenty zmiennych losowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8.11.2018 1 / 47 Funkcje zmiennych losowych Mierzalna funkcja Y

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 13. Elementy statystki matematycznej I Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 17.01.2019 1 / 30 Zagadnienia statystki Przeprowadzamy

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa. Rozkład skokowy

Zmienna losowa. Rozkład skokowy Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna

Bardziej szczegółowo

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A) Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki

WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy

Bardziej szczegółowo

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8..208 / 42 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.

Bardziej szczegółowo

Centralne twierdzenie graniczne

Centralne twierdzenie graniczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Jednowymiarowa zmienna losowa

Jednowymiarowa zmienna losowa 1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X

Bardziej szczegółowo

Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 1

Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 1 Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 1 Plan laboratoriów Teoria zdarzeń dyskretnych Modelowanie zdarzeń dyskretnych Symulacja zdarzeń dyskretnych Problem rozmieszczenia stacji raportujących i nieraportujących

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa

Rozkłady prawdopodobieństwa Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne

Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład

Bardziej szczegółowo

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

Dyskretne zmienne losowe

Dyskretne zmienne losowe Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która

Bardziej szczegółowo

6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego

6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego 6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX

Bardziej szczegółowo

Deska Galtona. Adam Osękowski. Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski

Deska Galtona. Adam Osękowski. Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski a schemat Bernoulliego Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski XV Festiwal Nauki, 21 września 2011r. a schemat Bernoulliego Schemat Bernoulliego B(n, p)

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski

Zmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Powtórzenie Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 1 Podręcznik podstawowy Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodnicznych,

Bardziej szczegółowo

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008 STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne. 6.2. Centralne Twierdzenie Graniczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Słabe prawo wielkich liczb przypomnienie Słabe

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1

STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 12.

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 12. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 12. Rachunek prawdopodobieństwa Dariusz Wrzosek Zajęcia nr 12. 9 stycznia 2019 1 / 32 Zmienne losowe Przebieg różnych zjawisk losowych wygodnie jest opisywać za pomoca

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2 ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć

Bardziej szczegółowo

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego. Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady

Zmienne losowe i ich rozkłady Zmienne losowe i ich rozkłady 29 kwietnia 2019 Definicja: Zmienną losową nazywamy mierzalną funkcję X : (Ω, F, P) (R n, B(R n )). Definicja: Niech A będzie zbiorem borelowskim. Rozkładem zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.4. Momenty zmiennych losowych Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Rzucamy raz kostką Ile wynosi średnia liczba oczek, jaka

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz. Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne. 6.2. Centralne Twierdzenie Graniczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Słabe prawo wielkich liczb przypomnienie Słabe

Bardziej szczegółowo

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne.

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne. gkrol@wz.uw.edu.pl #4 1 Sprawdzian! 5 listopada (ok. 45-60 minut): - Skale pomiarowe - Zmienne ciągłe i dyskretne - Rozkład teoretyczny i empiryczny - Miary tendencji centralnej i rozproszenia - Standaryzacja

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne Teoria estymacji Jędrzej Potoniec Bibliografia Bibliografia Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) (X 1, X 2,..., X n ) Próba losowa (x 1, x 2,...,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo geometryczne

Prawdopodobieństwo geometryczne Prawdopodobieństwo geometryczne Krzysztof Jasiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń V Lieceum Ogólnokształące im. Jana Pawała II w Toruniu 13.03.2014 Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Seria 1. Zbieżność rozkładów

Seria 1. Zbieżność rozkładów Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13.

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13. Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13. Dariusz Wrzosek 16 stycznia 2019 Matematyka dla biologów Zajęcia 13. 16 stycznia 2019 1 / 34 Plan: 1 Rachunek prawdopodobienstwa-zmienne losowe o rozkładzie ciagłym

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice 15. Obliczanie całek metodami Monte Carlo Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.2. Momenty rozkładów łącznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska rozkładów wielowymiarowych Przypomnienie Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie

Bardziej szczegółowo

1 Wykład 4. Proste Prawa wielkich liczb, CTG i metody Monte Carlo

1 Wykład 4. Proste Prawa wielkich liczb, CTG i metody Monte Carlo 1 Wykład 4. Proste Prawa wielkich liczb, CTG i metody Monte Carlo 1.1 Rodzaje zbieżności ciagów zmiennych losowych Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenia probabilistyczna na której określony jest ciag {X

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne.

Rachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne. Rachunek prawdopodobieństwa B; zadania egzaminacyjne.. Niech µ będzie rozkładem probabilistycznym na (0, ) (0, ): µ(b) = l({x (0,) : (x, x) B}), dla B B((0, ) (0, ))), gdzie l jest miarą Lebesgue a na

Bardziej szczegółowo

ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa

ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9.10.2010 ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności 1. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewną σ-algebrą podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja

Bardziej szczegółowo