Gaz doskonały w ujęciu teorii kinetycznej; ciśnienie gazu

Transkrypt

1 Wykład 5 Gaz doskonały w ujęciu teorii kinetycznej; ciśnienie gazu Prędkość średnia kwadratowa cząsteczek gazu doskonałego Rozkład Maxwella prędkości cząsteczek gazu doskonałego Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek gazu doskonałego Energia wewnętrzna gazu doskonałego jedno- i dwuatoowego Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego i wewnętrznego cząsteczki dwuatoowej Zasada ekwipartycji energii Energia wewnętrzna gazu doskonałego wieloatoowego

2 Gaz doskonały w ujęciu teorii kinetycznej; ciśnienie gazu Gaz składa się z bardzo wielkiej liczby będących w ciągły ruchu cząsteczek. Odbicia cząsteczek od ścianek zbiornika są źródłe ciśnienia wywieranego przez gaz na te ścianki. Ziana pędu pojedynczej cząsteczki o asie i prędkości : p x ( ) ( ) x x x Wydawnictwo aukowe PW S Copyright 005 John Wiley and Sons, Inc Ziana pędu ścianki: + x a siła działająca na ściankę od pojedynczej cząsteczki wyniesie: Po wysuowaniu po wszystkich cząsteczkach: F p t L x x P L F L x i L xi V i xi

3 Wprowadzając średnią kwadratu składowej prędkości pojedynczej cząsteczki: i uwzględniając, Ŝe i xi i yi i zi x i xi otrzyay: x i i skąd, wprowadzając prędkość średnią kwadratową (jako pierwiastek ze średniej z kwadratu prędkości pojedynczej cząsteczki): sr.kw. i i i xi Ostatecznie otrzyay: P F L i L xi V i xi V sr.kw. V sr.kw. skąd, noŝąc obustronnie przez V ay: PV sr.kw. n sr.kw. gdzie n to liczba oli a to liczba ogadry.

4 Prędkość średnia kwadratowa cząsteczek gazu doskonałego Porównując otrzyany wynik: PV n gazu doskonałego: PV nrt otrzyay równanie: śr.kw. RT M nrt n śr.kw. z równanie stanu z którego wynika, Ŝe: gdzie M to asa olowa rozwaŝanego gazu. Prędkości cząsteczek wybranych gazów w teperaturze pokojowej (00 K) sr.kw. gaz asa olowa [0 - kg/ol] śr.kw. [/s] wodór (H),0 90 hel (He) 4,0 70 para wodna (HO) 8,0 645 azot () 8,0 57 tlen (O),0 48 dwutlenek węgla (CO) 44,0 4 dwutlenek siarki (SO) 64, 4 4

5 Rozkład Maxwella prędkości cząsteczek gazu doskonałego P M πrt M RT ( ) d 4π exp d Prędkości te przyjują wartości z zakresu do 0 do + Wydawnictwo aukowe PW S Rozkład Maxwella prędkości cząsteczek tlenu w teperaturze 00 K. Pole Pd jest prawdopodobieństwe, Ŝe prędkość wybranej cząsteczki będzie iała wartość w zakresie od do +d. Pole pod krzywą jest równe jedności. Pokazano trzy prędkości charakterystyczne, w ty sr.kw., prędkość średnią kwadratową 5

6 Rozkład Maxwella prędkości cząsteczek gazu doskonałego Wydawnictwo aukowe PW S Rozkład Maxwella prędkości cząsteczek tlenu dla teperatury 00 i 80 K. Pole pod kaŝdą krzywą jest równe jedności. 6

7 n śr.kw. śr.kw. Z równania: n RT n n Ek,sr. May takŝe średnią energię kinetyczną ruchu postępowego pojedynczej cząsteczki gazu: E Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek gazu doskonałego śr.kw. RT gdzie k to stała Boltzanna k,sr. k R 8, J 6,0 0 ( ol K) ol,8 0 W danej teperaturze T wszystkie cząsteczki gazu doskonałego, niezaleŝnie od swojej asy, ają taką saą średnią energię kinetyczną ruchu postępowego równą (/). Mierząc teperaturę gazu oŝey wyznaczyć średnią energię kinetyczną ruchu postępowego cząsteczek tego gazu Mówiąc o ruchu postępowy cząsteczki gazu ay na yśli ruch środka asy tej cząsteczki 7 J K

8 Wprowadzając stałą Boltzanna k do równania stanu gazu doskonałego otrzyay: PV nrt n jeszcze jedną postać równania stanu gazu doskonałego. W równaniu ty to liczba cząsteczek gazu w objętości V. Z postaci tego równania wynika, Ŝe liczba cząsteczek dwóch róŝnych gazów, zajujących tę saą objętość, w tej saej teperaturze i o ty say ciśnieniu, będzie taka saa. Sprawdzian Mieszanina gazów zawiera cząsteczki typu, i, których asy cząsteczkowe spełniają nierówność > >. Uszereguj te cząsteczki według ich: a) średniej energii kinetycznej b) prędkości średniej kwadratowej W kaŝdy przypadku zacznij od wartości największej 8

9 Energia wewnętrzna gazu doskonałego jedno- i dwuatoowego Energia wewnętrzna gazu jednoatoowego (brak oddziaływań poiędzy atoai gazu) wyniesie: śr.kw. U gdzie to liczba cząsteczek gazu w rozwaŝanej objętości. Dla większych cząsteczek, naleŝy uwzględnić energię kinetyczną związaną z obrotai oraz kinetyczną i potencjalną z oscylacjai. Energia wewnętrzna będzie wobec tego zawierać następujące wyrazy: U śr.kw E k obr,śr + Ek osc,śr + E p osc,śr Poinięto wkład elektronowy, który jest na ogół znacznie niejszy od pozostałych. Gaz dwuatoowy oŝna rozpatrywać jako skrajny przypadek ieszaniny dwóch gazów jednoatoowych w stosunku :, w której kaŝdy ato gazu oddziałuje (połączył się w cząsteczkę) z jedny atoe gazu B. 9

10 W ieszaninie dwóch gazów i B, bez oddziaływań poiędzy atoai i B, ciśnienie będzie suą ciśnień cząstkowych: P F P + P; P V a więc: PV,śr.kw. ; P V,śr.kw.,śr.kw.,śr.kw. + + Po wyrównaniu się teperatur: ( + ) PV co oznacza, Ŝe:,śr.kw. ;,śr.kw. ;,śr.kw.,śr.kw.. Zate bezpośrednia wyiana energii poprzez zderzenia poiędzy cząsteczkai róŝnych gazów w ieszaninie prowadzi do równości średnich energii kinetycznych cząsteczek obu gazów. Ciśnienia cząstkowe wywierane przez oba gazy będą róŝne i zaleŝne od koncentracji cząsteczek ( i /V) obu gazów. 0

11 ZałóŜy, Ŝe w ieszaninie dwóch gazów jednoatoowych kaŝdy ato gazu oddziałuje z jakiś atoe gazu B (są związane w dwuatoową cząsteczkę B). Przy zderzeniach, które prowadzą do wyiany energii i do ustalenia równowagi, waŝne są tylko prędkości atoów, a nie działające poiędzy nii siły. r r adal zate średnie energie B kinetyczne cząsteczek są równe: r r r r r + BB + BB PoniewaŜ: ś + M B B r r r r r + B B+ BB Zate: ś M r r + B B + r co oznacza, Ŝe: M B ś M gdyŝ r r B 0 bo względny ruch atoów w cząsteczce jest całkowicie przypadkowy. (/) dla ŚM cząsteczki i (/) dla kaŝdego atou

12 Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego i wewnętrznego cząsteczki dwuatoowej Z jednej strony ay zate: r B r B co oznacza, Ŝe całkowita średnia energia kinetyczna cząsteczki dwuatoowej jest równa: E + k, calk z drugiej zaś wiey, Ŝe średnia energia kinetyczna związana z ruche środka asy ŚM wynosi: E k, ś Oznacza to, Ŝe brakująca energia równa na cząsteczkę jest średnią energią kinetyczną ruchu wewnętrznego cząsteczki dwuatoowej, czyli jej obrotów wokół środka asy i oscylacji.

13 Zasada ekwipartycji energii Energię ruchu wewnętrznego cząsteczki dwuatoowej oŝna wyrazić jako energię ruchu obrotowego (dwie osie obrotu) i energię kinetyczną oscylacji wzdłuŝ wiązania poiędzy atoai. Wydawnictwo aukowe PW S a kaŝdy stopień swobody przypada zate energia: zasada ekwipartycji energii Pojedynczy ato nie a energii kinetycznej ruchu obrotowego, a cząsteczka dwuatoowa nie a trzeciej osi obrotu. Dla cząsteczki zbudowanej z r atoów liczba stopni swobody wynosi r, po trzy na ato. Całkowita energia kinetyczna wyniesie wobec tego (/)r, z tego energia kinetyczna ruchu ŚM (ruchu postępowego) to (/), a energia kinetyczna przypadająca na pozostałe stopnie swobody (obroty i oscylacje, bez energii potencjalnej) wyniesie (/)(r-).

14 Energia wewnętrzna gazu doskonałego wieloatoowego Całkowita energia wewnętrzna gazu dwuatoowego wyniesie: U Energia wewnętrzna gazu dwuatoowego bez oscylacji wyniesie: U dla większych cząsteczek, dla których liczba atoów wynosi r >, bez oscylacji (6 stopni swobody, dla ŚM i obroty): U + Uwzględnienie oscylacji zwiększa U o (r-6) do: U ( r ) Udział lub brak udziału oscylacji w energii wewnętrznej, jest efekte kwantowy i zaleŝy od teperatury. 4

15 Energia wewnętrzna gazu wieloatoowego doskonałego zaleŝy tylko od teperatury, nie zaleŝy od ciśnienia i objętości gazu. Wniosek ten potwierdza tzw. doświadczenie Joule a zbiornik zbiornik B teroetr Doświadczenie Joule a (84) Dwa zbiorniki połączone krane, zanurzone w wodzie. Początkowo zbiornik zawierał spręŝone powietrze ( at), a zbiornik B był odpopowany. Po otwarciu kranu część powietrza przepłynęła do zbiornika B. Po ustaleniu równowagi terodynaicznej, teroetr nie wykazał ziany teperatury kąpieli wodnej. Ciepło wydzielone podczas spręŝania gazu w zbiorniku B jest równe ciepłu straconeu przez gaz w zbiorniku na wykonanie pracy spręŝania. Gaz jako całość nie zienił teperatury. 5, K Prawo Joule a Thosona Energia wewnętrzna gazu doskonałego zaleŝy tylko od jego teperatury 5