Nierówności między średnimi liczbowymi i ich zastosowanie. Renata Jurasińska. Instytut Matematyki Uniwersytetu Rzeszowskiego III LO w Rzeszowie

Transkrypt

1 Nierówności między średnimi liczbowymi i ich zastosowanie Renata Jurasińska Instytut Matematyki Uniwersytetu Rzeszowskiego III LO w Rzeszowie I. Średnie liczbowe i zaleŝności między nimi Średnie liczbowe (moŝe jedynie bez średniej kwadratowej) i nierówności między nimi uczniowie znają juŝ od pierwszej klasy szkoły średniej (a czasem nawet od gimnazjum). Przypomnę definicje tych średnich, podam twierdzenie o nierównościach między nimi, szkice dowodów, a takŝe przykłady zastosowań nierówności między średnimi do rozwiązywania róŝnorodnych zadań, prostych, trudniejszych, a nawet olimpijskich. Definicja. ŚREDNIA liczb,,, - to dowolna funkcja spełniająca warunek,,,,,,,,,,,, i jednocześnie niemalejąca ze względu na kaŝdą zmienną,,,. Najbardziej znane średnie, to średnia arytmetyczna, geometryczna, harmoniczna i kwadratowa. Definicja. ŚREDNIĄ ARYTMETYCZNĄ liczb rzeczywistych,,, nazywamy liczbę.

2 Definicja. ŚREDNIĄ GEOMETRYCZNĄ liczb nieujemnych,,, nazywamy liczbę Definicja 4. ŚREDNIĄ HARMONICZNĄ róŝnych od zera liczb rzeczywistych,,, nazywamy liczbę.. Definicja 5. ŚREDNIĄ KWADRATOWĄ liczb rzeczywistych,,, nazywamy liczbę. ZaleŜności pomiędzy średnimi,, i moŝna zapisać w postaci następującego twierdzenia Twierdzenie. Dla dowolnych liczb dodatnich,,, zachodzą nierówności. W kaŝdej z nierówności (), () i () równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy. Środkowa nierówność () w Twierdzeniu. to słynna nierówność Cauchy ego między średnią geometryczną i arytmetyczną. Nierówność ta dla dwóch liczb nieujemnych

3 znana była juŝ w czasach Euklidesa, lecz jej ogólna postać pojawiła się znacznie później. Pierwsza znana wzmianka pochodzi z roku 79, kiedy to szkocki matematyk Colin Maclaurin sformułował następujące twierdzenie geometryczne Twierdzenie. JeŜeli dany odcinek podzielimy na kilka odcinków, to iloczyn długości tych odcinków będzie największy, jeśli wszystkie z tych odcinków będą równej długości. Oznaczmy przez,,, długości odcinków, na jakie został podzielony dany odcinek. Gdyby odcinki te były równej długości, to kaŝdy z nich miałby długość, a więc Twierdzenie. moŝemy zapisać w postaci nierówności, która jest równowaŝna nierówności (). Dowód Maclaurina nie był jednakŝe ścisły i zawierał lukę. Po raz pierwszy w jawnej postaci i ze ścisłym dowodem nierówność () została opublikowana przez francuskiego matematyka Augustina Cauchy ego w Wykładach z analizy algebraicznej (8 r.), dlatego teŝ nazywana jest zazwyczaj nierównością Cauchy ego. Obecnie znanych jest ponad 50 róŝnych dowodów nierówności ().

4 Zacznę od pokazania prostych dowodów tych nierówności dla n =, czyli dla dwóch dodatnich liczb a i b. Twierdzenie. dla n = moŝna zapisać w postaci Twierdzenie. Dla dodatnich liczb a i b zachodzą nierówności. W kaŝdej z tych nierówności równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy. Dowody algebraiczne nierówności ( ), ( ) i ( ) polegają na równowaŝnym przekształcaniu tych nierówności do oczywistych postaci i chyba nie wymagają specjalnych komentarzy. Niech więc, będą liczbami rzeczywistymi dodatnimi. Mamy kolejno dla ( ),, 4, 0. Dla ( ) otrzymujemy 4,,,

5 Z kolei dla ( ) dostajemy,,,, 0. Znacznie ciekawsze są dowody geometryczne, przytoczę jeden z nich, inne moŝna znaleźć np. w [9]. Niech i będą liczbami dodatnimi i niech. Na odcinku o długości a obieramy taki punkt C, Ŝe (jak na rysunku) Kreślimy okrąg o średnicy i jego środek oznaczamy przez. Wówczas mamy zaś,. 5

6 Z punktu prowadzimy styczną do górnego półokręgu i oznaczamy przez punkt styczności. Przez oznaczamy rzut prostokątny punktu na odcinek, zaś przez - punkt wspólny okręgu i odcinka o początku w punkcie O, prostopadłego do odcinka. Wyrazimy długości odcinków, i przez i. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego mamy, a stąd. Z podobieństwa trójkątów i mamy z kolei, Ŝe, a więc i po łatwych przekształceniach otrzymujemy, Ŝe Z trójkąta prostokątnego mamy z kolei a tym samym.,. Pokazaliśmy więc, Ŝe długości odcinków,, i są odpowiednimi średnimi liczb i. Korzystając w trójkątach prostokątnych, i z własności, Ŝe przyprostokątna jest krótsza od przeciwprostokątnej, otrzymujemy nierówności a stąd,. 6

7 MoŜna równieŝ zauwaŝyć, Ŝe pomiędzy średnimi dwóch liczb dodatnich i zachodzą równieŝ następujące ciekawe (i proste do wykazania) związki, mianowicie,,, czyli odwrotność średniej arytmetycznej liczb dodatnich i jest średnią harmoniczną odwrotności tych liczb;,,, czyli odwrotność średniej harmonicznej liczb dodatnich i jest średnią arytmetyczną odwrotności tych liczb;,,, czyli odwrotność średniej geometrycznej liczb dodatnich i jest średnią geometryczną odwrotności tych liczb. Dowody nierówności (), () i () dla liczb dodatnich są bardziej skomplikowane, podam tylko ich szkice, a zainteresowanych odsyłam np. do []. Dowód Cauchy ego nierówności () Jeśli, to oczywiście. NaleŜy pokazać, Ŝe jeśli nie wszystkie spośród liczb,,, są równe, to zachodzi nierówność ostra. Dla mamy a stąd Dalej, dla 4 mamy. jeśli nie wszystkie,,, są równe., 4 Powtarzając to rozumowanie m razy otrzymujemy, gdy, 7

8 , gdy nie wszystkie są równe. W ten sposób nierówność () została udowodniona dla n będących potęgami dwójki. Niech teraz n będzie dowolną liczbą naturalną i niech m będzie liczbą naturalną taką, Ŝe. Podstawmy,,,,. Mamy wówczas, gdy nie wszystkie są równe. Ale są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy są sobie równe. Stąd ostatecznie, jeśli nie wszystkie są sobie równe dostajemy, czyli lub równowaŝnie co kończy dowód.,, Dowód nierówności (), wiąŝącej średnią arytmetyczną i kwadratową, był równieŝ zawarty w Wykładach z analizy algebraicznej Cauchy ego i oparty był na następującym rozumowaniu. Dowód Cauchy ego nierówności () 8

9 Indukcyjnie moŝna wykazać, Ŝe. Stąd mamy, czyli równowaŝnie co kończy dowód., Nierówność () między średnią harmoniczną i geometryczną następująco moŝna udowodnić Dowód nierówności (). ZauwaŜmy, Ŝe co kończy dowód., Warto jeszcze zwrócić uwagę na dwie nierówności, które są równowaŝnymi zapisami nierówności między średnimi i które są często wykorzystywane przy rozwiązywaniu zadań. Są to nierówności (4), czyli wynikająca z nierówności między średnią arytmetyczną i kwadratową; 9

10 oraz (5) czyli,, wynikająca z nierówności między średnią arytmetyczną i harmoniczną. NaleŜy równieŝ zauwaŝyć, Ŝe średnie: arytmetyczna, geometryczna, harmoniczna i kwadratowa są szczególnymi przypadkami tzw. średniej potęgowej. Definicja 6. ŚREDNIĄ POTĘGOWĄ stopnia liczb dodatnich,,, nazywamy liczbę,,, dla 0. dla 0 Definicję tę moŝna uzupełnić dla następująco,,, min,,,,,,, max,,,. ZauwaŜmy, Ŝe mamy i nierówności między średnimi przyjmują postać,,,. Nierówności te moŝna udowodnić wykorzystując fakt, Ŝe dla dowolnych liczb dodatnich,,, funkcja jest niemalejąca,,, 0

11 II. Zastosowanie nierówności między średnimi liczbowymi do rozwiązywania zadań. Dowodzenie nierówności Zad.. Udowodnić, Ŝe dla dowolnych liczb dodatnich,, zachodzi nierówność (6) 8 Z nierówności ( ) między średnią arytmetyczną i geometryczną mamy a więc,,,,,. MnoŜąc stronami te nierówności otrzymujemy (6). Zad.. Udowodnić, Ŝe dla dowolnych liczb nieujemnych,, zachodzi nierówność (7). Wykorzystując nierówność () dla trzech liczb nieujemnych,, otrzymujemy Analogicznie otrzymujemy nierówności. oraz. Dodając stronami otrzymane trzy nierówności otrzymujemy (7). Zad.. Udowodnić, Ŝe dla dowolnych liczb dodatnich,, zachodzi nierówność (8). Przekształcając lewą stronę nierówności (8) i stosując nierówność () otrzymujemy

12 . Zad. 4. (OM Leningrad 988) Udowodnić, Ŝe dla dowolnych liczb dodatnich,,, zachodzi nierówność (9) Wykorzystując nierówność (5) otrzymujemy co po prostych przekształceniach daje (9). 64, Zad. 5. Udowodnić, Ŝe dla dowolnych liczb dodatnich,, takich, Ŝe, zachodzi nierówność 5. Wykorzystując nierówność (4) i warunki zadania otrzymujemy 5. Po spierwiastkowaniu stronami dostajemy Ŝądaną nierówność.

13 Zad. 6. Udowodnić, Ŝe dla dowolnej liczby naturalnej zachodzą nierówności (0). Udowodnimy najpierw prawą nierówność. RozwaŜmy,,,,,,,,,,. Wykorzystując nierówność () otrzymujemy liczb postaci czyli równowaŝnie Wykorzystując znaną toŝsamość,. mamy dalej 6 6, co kończy dowód prawej nierówności (0). Dowód lewej nierówności jest podobny (naleŝy odpowiednio dobrać liczby).

14 Zad. 7. (XLI MOM, Korea Południowa, 000). Niech,, będą takimi liczbami rzeczywistymi dodatnimi, Ŝe. Udowodnić, Ŝe (). PoniewaŜ z załoŝenia mamy, Ŝe, moŝemy nierówność () uzaleŝnić od dwóch zmiennych, wykorzystując na przykład zaleŝność. Nierówność () moŝemy wtedy zapisać w postaci i dalej równowaŝnie w postaci (). Suma dowolnych dwóch spośród liczb,, jest dodatnia, mamy bowiem,,, zatem co najwyŝej jedna z nich moŝe być ujemna. Jeśli któraś z tych liczb jest faktycznie ujemna lub równa zero, to nierówność () jest oczywista. Jeśli zaś,, są dodatnie, to moŝemy korzystając z () zamiast szacować iloczyn liczb,, oszacować ich sumy, które jak pokazaliśmy są bardzo proste! Otrzymujemy nierówności które pomnoŝone stronami dają nierówność ().,,, Zad. 8. Wewnątrz trójkąta obrano punkt odległy od prostych, i odpowiednio o,,. Wykazać, Ŝe 7, gdzie jest polem trójkąta, zaś długością promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. 4

15 Łatwo zauwaŝyć, Ŝe, a stąd czyli,. PoniewaŜ mamy oszacować iloczyn, zastosujemy nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną dla liczb,,. Otrzymujemy, a stąd 7 Wykorzystując znany wzór na pole trójkąta z którego wyznaczamy otrzymujemy ostatecznie 4, 4, , co kończy dowód.. Zadania optymalizacyjne W matematyce termin optymalizacja odnosi się do problemu znalezienia minimum lub maksimum zadanej funkcji. Praktyczne wyznaczanie optimum nie jest proste; z reguły zadania optymalizacyjne rozwiązuje się z wykorzystaniem rachunku róŝniczkowego. PokaŜę kilka zadań, do rozwiązania których wystarczy znajomość nierówności między średnimi liczbowymi. Zad. 9. Wśród prostokątów o przekątnej długości 0 wskaŝ ten, który ma największe pole. Oznaczmy długości boków prostokąta przez i. Z warunków zadania i twierdzenia Pitagorasa mamy wtedy 00. Pole prostokąta jest równe. Stosując nierówność () otrzymujemy 5

16 00 50, przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy, czyli gdy. Tak więc największe pole ma kwadrat o boku 5. Zad. 0. Wśród prostopadłościanów, w których suma długości wszystkich krawędzi wynosi wskaŝ ten, który ma największą objętość. Niech,, będą długościami boków prostopadłościanu, zaś jego objętością. Z warunków zadania mamy 4 czyli oraz. Z nierówności () otrzymujemy a stąd czyli,,, przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy. Zatem największą objętość ma sześcian o krawędzi długości. Zad.. Jak dobrać oporności trzech oporników połączonych równolegle o łącznym oporze 0 Ω, aby opór zastępczy był największy? Jak wiadomo opór zastępczy oporów,, połączonych równolegle wyraŝa się wzorem Stąd mamy.. Stosując nierówność między średnią harmoniczną i arytmetyczną otrzymujemy 0 9, 6

17 przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy. Tak więc największy opór zastępczy otrzymamy, gdy oporniki będą jednakowej oporności.. Równania, układy równań i nierówności Zad.. (OM Wielka Brytania 975) Znaleźć wszystkie rozwiązania w liczbach rzeczywistych równania (). RozwaŜmy liczby,,,,. ZauwaŜmy, Ŝe, a więc średnia arytmetyczna tych liczb wynosi. Ta obserwacja oraz postać równania () sugerują zastosowanie nierówności () między średnią arytmetyczną i kwadratową. Otrzymujemy wtedy. Po prostych przekształceniach otrzymujemy, przy czym równość zachodzi (a tym samym spełnione jest równanie ()) wtedy i tylko wtedy, gdy. Oznaczając otrzymujemy z () a stąd czyli,,. 7

18 Mamy więc (4) lub (5). Po prostych obliczeniach otrzymujemy, Ŝe w przypadku (4) czyli dla,,,,,,,. W przypadku (5) otrzymujemy sprzeczność. Istnieje zatem dokładnie jedno rozwiązanie w liczbach rzeczywistych równania (). Zad.. Rozwiązać w liczbach dodatnich układ równań ,5. ZałóŜmy, Ŝe liczby dodatnie,, spełniają podany układ. Wtedy mnoŝąc drugie równanie przez 4 i dodając równania stronami otrzymujemy (6) Ale stosując nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną mamy (7)

19 , przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy (8) 64 4, 8 4, Z (6), (7) i (8) otrzymujemy, Ŝe 4, 4,5 i 5. Nietrudno sprawdzić, Ŝe otrzymana trójka 4; 4,5; 5 spełnia podany układ, jest więc jedynym jego rozwiązaniem w liczbach dodatnich. Zad. 4. Rozwiązać w liczbach dodatnich układ (9) 9. ZałóŜmy, Ŝe liczby dodatnie,, spełniają podany układ. Z nierówności (5) dostajemy Stąd wynika, Ŝe w przytoczonej nierówności mamy równość, co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy (0). Z (9) i (0) dostajemy, 4, 6. Nietrudno sprawdzić, Ŝe otrzymana trójka,4,6 spełnia podany układ, jest więc jedynym jego rozwiązaniem w liczbach dodatnich. 9

20 Zad. 5. (OM Bułgaria 968) Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne, dla których układ równań () 9 ma rozwiązanie w liczbach rzeczywistych,,,. Dla kaŝdej znalezionej wartości podać rozwiązanie. Niech liczby,,, spełniają układ (). Wtedy po pomnoŝeniu stronami obu równań otrzymujemy () 9. WyraŜenia w nawiasach występują odpowiednio w średniej arytmetycznej i harmonicznej liczb,,,, co sugeruje zastosowanie nierówności między tymi średnimi. Otrzymujemy wtedy czyli (),. Z () i () wnioskujemy, Ŝe 9, czyli. RozwiąŜemy teraz układ dla,,.. Dla otrzymujemy układ który jest oczywiście sprzeczny. 9,. Dla otrzymujemy układ 9, 0

21 który moŝna zapisać w równowaŝnej postaci 9 9. Rozwiązaniem tego układu (moŝna np. zastosować wzory Viete a lub sprowadzić układ do równania dwukwadratowego) są pary 9 5, 9 5 Są to jedyne rozwiązania układu () dla.. Dla otrzymujemy układ, 9 5, Po pomnoŝeniu stronami równań otrzymamy (4) 9. Z () mamy, Ŝe 9, przy czym równość (a więc (4)) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy. Po prostych rachunkach otrzymujemy, Ŝe, czyli jedynym rozwiązaniem układu () dla jest trójka,,.

22 Polecana literatura. Witold Bednarek, Zbiór zadań dla uczniów lubiących matematykę, Gdańskie Wyd. Oświatowe, Gdańsk 995. Mirosław Grabowski, Karol Szymański, Zbiór zadań dla uczniów szkół średnich o zainteresowaniach matematycznych, WSiP, Warszawa 99. Lev Kourliandtchik, Wędrówki po krainie nierówności, Wydawnictwo Aksjomat, Toruń Lev Kourliandtchik, Powrót do krainy nierówności, Wydawnictwo Aksjomat, Toruń Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk, Nierówności, Perspektiv, Bielsko-Biała Henryk Pawłowski, Olimpiady i konkursy matematyczne, Oficyna Wydawnicza Tutor, Toruń Henryk Pawłowski, Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Teoria liczb, algebra i elementy analizy matematycznej, Oficyna Wydawnicza Tutor, Toruń Henryk Pawłowski, Wojciech Tomalczyk, Zadania z matematyki dla olimpijczyków, Oficyna Wydawnicza Tutor, Toruń Miniatury matematyczne nr dla szkół gimnazjalnych, Wydawnictwo Aksjomat, Toruń 007