= = a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiemy, że. b 1. a 2 ab b 2

Transkrypt

1 64 III. Zienne losowe jednowyiarowe D Ponieważ D (A) < D (B), więc należy wybrać partię A. Przykład 3.4. Obliczyć wariancję rozkładu jednostajnego. Ponieważ a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiey, że więc wystarczy obliczyć. May Zate ( B) = [( 07, ) 0+ ( 08, ) 0+ ( 09, ) 00 + (, 0 ) 8+ (, ) 5+ (, ) + (, 3 ) 4] = 0, 090. D ( X) = E( X ) ( E( X)) =, b a b = E( X) = +, x f x b a x dx b a x b a ab b = ( ) = = 3 = ( a ). a ( a b) D ( X) = ( a + ab+ b ) ( a + ab+ b ) = 3 4. Definicja 3.8. Jeżeli X oznacza zienną losową o odchyleniu standardowy D(X) = F, to zienną losową Y = X/F nazyway unorowaną (znoralizowaną). Twierdzenie 3.4. Wariancja ziennej losowej unorowanej jest równa. Dowód. Na podstawie twierdzenia 3. ay D Y D X ( ) = = D ( X) = =. σ σ σ σ # Definicja 3.9. Jeśli X oznacza zienną losową o wartości oczekiwanej E(X) = i odchyleniu X standardowy D(X) = F, to zienną losową Y = nazyway standaryzoσ waną. Twierdzenie 3.5. Wartość oczekiwana ziennej losowej standaryzowanej jest równa zero, a wariancja jest równa. Dowód. Na podstawie twierdzeń 3.5 i 3.7 ay EY E X E ( ( ) X ) = = = = 0, σ σ σ

2 3.7. Wskaźniki rozrzutu 65 a na podstawie twierdzeń 3. i 3. otrzyujey D Y D X D X σ ( ) = = = D ( X) = =. σ σ σ σ σ # Odchylenie standardowe nie jest jedyny paraetre charakteryzujący rozrzut. Jest jeszcze tzw. odchylenie przeciętne. Definicja Odchylenie przeciętny " = d(x) ziennej losowej X nazyway wyrażenie α = d( X) = x E( X) p dla ziennej losowej skokowej, tj. k α = d( X) = x E( X) f ( x) dx k α = k E( X E( X). dla ziennej losowej ciągłej, Twierdzenie 3.6. Dla dowolnej ziennej losowej X zachodzi d( X) D( X). Dowód. Z nierówności Schwarza dla Y = ay d ( X) = ( E( X E( X) )) E(( X E( X)) ) = D ( X). # Zadania. Rzucay sześcienną kostką do gry. Obliczyć wariancję liczby wyrzuconych oczek na kostce.. Rzucay dwiea sześciennyi kostkai do gry. Obliczyć wariancję suy liczb oczek otrzyanych na kostkach. 3. Obliczyć wariancję rozkładu Bernoulliego. 4. Obliczyć wariancję rozkładu Poissona. 5. Rzucay dwie kości do gry. Oznaczy przez X zienną losową przyjującą wartości równe liczbie oczek na pierwszej kostce, a przez X zienną losową przyjującą wartość, o ile na pierwszej kostce jest piątka i na drugiej kostce jest piątka, natoiast wartość 0 w pozostałych przypadkach. A. Znaleźć rozkład ziennej losowej X = X + X. B. Wyznaczyć dystrybuantę ziennej losowej X i wykonać jej wykres. C. Obliczyć P(4 # X < 6) oraz zaznaczyć obliczone prawdopodobieństwo na wykresie dystrybuanty. D. Obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe ziennej losowej X.

3 66 III. Zienne losowe jednowyiarowe 6. Myśliwy a trzy naboje i strzela do chwili trafienia do celu lub do chwili wystrzelenia wszystkich naboi. Liczba naboi jest zienną losową. A. Podać rozkład tej ziennej wiedząc, że prawdopodobieństwo trafienia celu przy każdy strzale jest równe 0,8. B. Obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe. 7. A. Dla jakiej wartości C funkcja Cx dla 0 x 3, f ( x) = 0 dla x < 0 i x > 3 jest gęstością prawdopodobieństwa? B. Znaleźć dystrybuantę wyznaczonego rozkładu i wykonać jej wykres. C. Obliczyć P( # X < 4) i zaznaczyć wartość obliczonego prawdopodobieństwa na wykresie dystrybuanty. D. Obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe. 8. Zienna losowa X przyjuje wartości!, i 3 z prawdopodobieństwai odpowiednio 0,5, 0,5 i 0,5. A. Znaleźć rozkład ziennej losowej Y = X. B. Obliczyć E(Y) i D(Y) Wskaźniki zienności, skośności i skupienia Definicja 3.3. Wskaźnikie (współczynnikie) zienności ziennej losowej X nazyway wielkość DX ( ) V = E( X), przy czy E(X) 0. Definicja 3.3. Mówiy, że zienna losowa a rozkład prawdopodobieństwa syetryczny względe prostej x = a, jeśli a) w przypadku ziennej losowej skokowej o punktach skokowych {x k } dla każdego punktu x i # a istnieje taki punkt x j $ a, że P( X = x ) = P( X = x ) oraz a x = x a, i j i j b) w przypadku ziennej losowej ciągłej o gęstości f(x) zachodzi f ( a x) = f ( a+ x) dla każdej wartości x w punktach ciągłości funkcji f(x). Prosta o równaniu x = a nazywa się osią syetrii. Rozkład syetryczny i niesyetryczny przedstawiono na następujących rysunkach:

4 3.8. Wskaźniki zienności, skośności i skupienia 67 Jeśli rozkład prawdopodobieństwa jest syetryczny, to oenty centralne rzędu nieparzystego, o ile istnieją, są równe zeru. Z tego powodu za iarę asyetrii przyjęto wskaźnik zdefiniowany następująco: Definicja Wskaźnikie asyetrii (współczynnikie skośności) nazyway wyrażenie gdzie D(X) > 0. γ µ 3 =, D 3 ( X) Gdy ( > 0, to ówiy, że asyetria rozkładu prawdopodobieństwa jest dodatnia (zob. rysunek z lewej poniżej), a gdy ( < 0 ujena (zob. rysunek z prawej poniżej). Czasai jako iara skośności używany jest też wskaźnik β = γ. Definicja Wskaźnikie skupienia (współczynnikie spłaszczenia lub kurtozą) nazyway wyrażenie µ 4 µ 4 β = =, 4 µ D ( X) a ekscese wyrażenie γ = β 3. Eksces rozkładu noralnego (będzie dalej) jest równy zero i dlatego jest on wskaźnikie uożliwiający porównanie skupienia badanego rozkładu ze względu na rozkład noralny. Eksces dodatni wskazuje, że wykres badanego rozkładu jest wyższy i bardziej sukły (bardziej skupiony ze względu na oś poprowadzoną przez punkt x 0 = E(X)). Eksces ujeny a znaczenie przeciwne.

5 68 III. Zienne losowe jednowyiarowe 3.9. Mediana i oda Wskaźniki te, obok wartości oczekiwanej, charakteryzują położenie zbioru wartości ziennej losowej. Definicja Medianą Me ziennej losowej X nazyway liczbę x spełniającą związki P( X x) i P( X x). Dla ziennej losowej ciągłej o gęstości f(x) i dystrybuancie F(x) nierówności te sprowadzają się do równania F( x) =, tj. x= Me f ( x) =. Definicja Modą Mo lub doinatą ziennej losowej X nazyway: a) dla ziennej losowej skokowej wartość ziennej losowej, której odpowiada największe prawdopodobieństwo, b) dla ziennej losowej ciągłej wartość, dla której gęstość przyjuje aksiu lokalne. Przykład 3.5. Wyznaczyć edianę i odę dla ziennej losowej skokowej o rozkładzie podany w poniższej tabeli. x k P(X = x k ) Mediana Me = 7, bo liczba ta spełnia obie nierówności 8 6 P( X 7) = > i P( X 7) = >. 9 9 Bezpośrednio z tabeli ay Mo = 7. Przykład 3.6. Wyznaczyć edianę i odę ziennej losowej o rozkładzie

6 3.9. Mediana i oda 69 0 dla < x, 3x 9x 6 dla < x, f ( x) = 0 dla < x 0, 3x + 3x dla 0< x, 0 dla < x <. Szkic wykresu funkcji f(x) jest następujący: Medianą jest każda liczba x z przedziału dokniętego [!, 0], gdyż dla tych wartości ay x f () t dt = ( 3t 9x 6) dt =. Funkcja gęstości a ekstrea lokalne w punktach 3 Mo = i Mo =. 3 i. Zate Zadania. Wyznaczyć edianę, odę oraz wskaźniki asyetrii, skupienia i eksces w przypadku, gdy zienna losowa skokowa a rozkład podany w poniższej tabeli x k!3!! 0 3 P(X = x k ) 0,05 0, 0,8 0,3 0,3 0,07 0,03. Wyznaczyć edianę ziennej losowej o rozkładzie wykładniczy. 3. Rzucay dwie kości do gry. Oznaczy przez X zienną losową przyjującą wartości równe liczbie oczek na pierwszej kostce, a przez X zienną losową przyjującą wartość, o ile na pierwszej kostce jest piątka i na drugiej kostce jest piątka, natoiast wartość 0 w pozostałych przypadkach. Wyznaczyć edianę i odę ziennej losowej X = X + X.

7 70 III. Zienne losowe jednowyiarowe 4. Gęstość prawdopodobieństwa ziennej losowej X dana jest wzore Obliczyć Me i Mo. x x, f ( x) = dla dla x < 0 i x > 3 5. Zienna losowa X przyjuje wartości!, i 3 z prawdopodobieństwai odpowiednio 0,5, 0,5 i 0,5. Obliczyć edianę i odę ziennej losowej Y = X Rozkład noralny Definicja Zienną losową o gęstości ( x ) f ( x) = exp πσ σ, < x <, σ > 0, gdzie oznacza wartość oczekiwaną, a F odchylenie standardowe, nazyway zienną losową o rozkładzie noralny lub rozkładzie Moivre a-gaussa. Rozkład ten oznaczay N(, F). Badając przebieg zienności funkcji f(x) (danej powyższy wzore) ożna stwierdzić, że: a) funkcja jest rosnąca dla x < i alejąca dla x >, b) w punkcie x = funkcja osiąga aksiu równe πσ, c) w punktach o odciętych x =! F i x = + F funkcja a punkty przegięcia, których rzędne są równe. πeσ Ponadto okazuje się, że wartość jest odą i edianą rozkładu. Wykresy funkcji f(x) dla = i różnych wartości F są przedstawione na poniższy rysunku.

8 3.0. Rozkład noralny 7 W szczególny przypadku, gdy = 0 i F = ówiy, że zienna losowa a standaryzowany rozkład noralny. Wówczas Dystrybuantę standaryzowanego rozkładu noralnego nazyway funkcją lub całką Laplace a i oznaczay sybole Φ( x). Ma ona następującą postać: Nie jest to całka eleentarna i jej obliczenie jest żudne. Dlatego korzysta się z tablic wartości funkcji Φ( x). Obliczenie wartości dystrybuanty F(x) rozkładu N(, F) przeprowadza się stosując podstawienie = u. Wówczas t σ x x ( t ) σ u x F( x) = exp dt = exp du =. Φ πσ σ π σ Jeśli oznaczyy x = t, to ay F( x) = Φ( t). σ Z syetrii gęstości standaryzowanego rozkładu noralnego wynika, że Φ( x) = Φ( x). (*) May bowie P( X < x) + P( X = x) + P( X > x) =. Ale P( X = x) =0, bo rozkład jest ciągły. Zate P( X < x) = P( X > x), a ponieważ gęstość jest syetryczna, co oznacza, że P( X > x) = P( X < x), a więc P( X < x) = P( X < t), co kończy dowód równości, bo P( X < x) = Φ( x) i P( X < x) = Φ( x). Przykład 3.7. Zienna losowa X podlega rozkładowi N(5, ). Obliczyć P(X < 3,6). Szukane prawdopodobieństwo jest równe polu pod krzywą gęstości w przedziale (!4; 3,6). Nierówność X < 3,6 jest równoważna nierówności Zate x f ( x) = exp, < x <. π x t Φ ( x) = exp dt. π X 5 36, 5 <.

9 7 III. Zienne losowe jednowyiarowe P( X, ) P X 5 36, 5 < 36 = < = PT ( < 07, ) = Φ( 0, 7) = Φ( 0, 7) 0, 7580 = 0, 40, przy czy wartość Φ( 07,) została odczytana z tablic. Przykład 3.8. Zienna losowa X podlega rozkładowi N(, ). Obliczyć P( X <,4). Wyznaczyć stałą a tak, by P( X! < a). 0,95. Po standaryzacji ziennej losowej i uwzględnieniu wzoru (*) ay 4, X 4, P( X < 4, ) = P( 4, < X < 4, ) = P < < = P( 7, < T < 07,) = Φ(,) 07 Φ( 7,) = Φ(,) 07 + Φ(,) ,. Zadania Aby znaleźć stałą a, zauważy, że a X a a P( X < a) = P < < = Φ. Stąd otrzyujey równanie Φ a = 095,, czyli Φ a = 0975,. Korzystając z tablic ay a. 3,9.. Zienna losowa podlega rozkładowi N(, 4). Obliczyć P( X >6).. Zienna losowa podlega rozkładowi N(3, 5). Obliczyć P( X! $). 3. Zienna losowa X podlega rozkładowi N(4, 9). Obliczyć: a) P(X > 3), b) P( X! < 4), c) P( X!3 > ). 4. Zienna losowa podlega rozkładowi N(, 4). A. Wyznaczyć wartość a tak, aby P( X! < a) = 0,9. B. Wyznaczyć wartość k tak, aby P( X! < 4k) = 0, Rozkład logaryticzno-noralny Definicja Rozkład ziennej losowej X, której logaryt naturalny (ln X) a rozkład noralny, nazyway rozkłade logaryticzno-naturalny.

10 3.. Rozkład logaryticzno-noralny 73 Gęstość rozkładu logaryticzno-noralnego ożna otrzyać z gęstości rozkładu noralnego ziennej losowej Y = ln X. Wówczas zienna losowa X = exp Y a opisywany rozkład, którego gęstość dana jest wzore b) funkcja f(x) jest rosnąca dla 0 < x < x 0 i alejąca do zera dla x > x 0, c) punkty x = + σ + x = + σ exp i exp, gdzie = ( ) + 4, σ 0 dla x 0, f ( x) = (ln x ) x. exp dla > 0 x πσ σ Rozkład logaryticzno-noralny oznaczay przez 7(, F). Przez zbadanie przebiegu zienności gęstości f(x) rozkładu 7(, F) ożna wykazać, że: a) funkcja posiada aksiu w punkcie x0 = exp( σ ), które jest równe, σ πσ exp są punktai przegięcia. Ponadto okazuje się, że punkt x 0 jest także odą rozkładu. Wykres gęstości rozkładu logaryticzno-noralnego jest przedstawiony na poniższy rysunku. Przykład 3.9. Zienna losowa X podlega rozkładowi 7(, ). Obliczyć P(X < e ). May P( X < e ) = x exp π e 0 Podstawiając (ln x ) 4 ln x = u ln x dx = x exp π otrzyujey P( X < e ) = exp u du = Φ( 0, 5) 0, 695. π e 0 dx.

11 74 III. Zienne losowe jednowyiarowe Przykład 3.0. Zienna losowa X podlega rozkładowi 7(, F). Wyznaczyć oenty zwykłe rzędu l. Zgodnie z definicją 3.3 ay Zadania l l (ln x ) l = x f ( x) dx = x exp πσ σ Podstawiając ln x = u σ Stosując podstawienie otrzyujey u lσ = z ay co wynika z własności funkcji gęstości dowolnego rozkładu noralnego (tutaj N(0, )). Zate ostatecznie. Zienna losowa X podlega rozkładowi 7(, F). Wyznaczyć edianę Me.. Wyznaczyć dystrybuantę rozkładu 7(, F). 0 dx. l = exp( l) exp ( u lσu) du π = exp( l) exp ( u lσ) + l σ du π = exp l + l σ u l du exp ( σ). π π exp ( σ ) exp, = u l du z dz = π l = l + exp l σ.