MATURA Przygotowanie do matury z matematyki

Transkrypt

1 MATURA 01 Przygotowanie do matury z matematyki Część III: Równania i nierówności ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej.

2 Witaj, jest to już trzecia część materiałów przygotowujących do matury z matematyki. Dzisiaj odpowiedzi do zadań z działu równania i nierówności. W poniedziałek znajdziesz pod adresem czwartą część powtórki maturalnej. Organizatorami przygotowania do matury są redaktorzy portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Powodzenia, Redaktorzy portalu MatmaNa6.pl Dziennikarze Gazety Lubuskiej Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności /1

3 Wyrażenia algebraiczne Zadanie 1: Pierwiastkami równania x 7x 18=0 są: a x= 5 i x=4 b x=0 i x= 1 c x =3 i x=1 d x= i x= 9 Prawidłowa odpowiedź: d) Zadanie : x 1 = x 7x 18=0 = = x = 7 11 = 7 11 = = 7 11 = 9 Zbiór zaznaczony na osi jest rozwiązaniem nierówności: a x 3x 1 0 b x x 15 0 Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności 3/1

4 c 3x 4x 9 0 d 5x 5x 1 0 Prawidłowa odpowiedź: b) x 5 x 3 =x 3x 5x 15=x x 15 Zadanie 3: Rozwiązaniami równania x 3 x x 6 = 1 14 są: a x=4 i x=9 b x=3 i x=6 c x = 4 i x=5 d x= 5 i x=3 Prawidłowa odpowiedź: a) Wyznaczamy dziedzinę. x x 6 0 Zatem dziedziną jest zbiór R { 3,1}. = =5 1 5 x 1 = =1 1 5 x = = 3 x 3 x x 6 = 1 14 Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności 4/1

5 14 x 3 =x x 6 14x 4=x x 6 x 13x 36=0 = =5 x 1 = x = = 13 5 =9 = 13 5 =4 Zadanie 4: Rozwiązaniami równania x bx c=0 są x= oraz x= 3. Wynika stąd, że wartości wpsółczynników b i c są równe: a b=3, c= 7 b b=5, c= 1 c b=1, c= 6 d b= 1, c= Prawidłowa odpowiedź: c) Skoro x= jest pierwiastkiem równania, to b c=0. Podobna zależność jest spełniona dla x= 3, czyli 3 b 3 c=0. Otrzymujemy stąd układ równań, o niewiadomych współczynnikach b i c. Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności 5/1

6 { 4 b c=0 9 3b c=0 { c= 4 b 9 3b c=0 { c= 4 b 9 3b±4 b=0 { c= 4 b 5b= 5 { c= 4 = 6 b=1 { b=1 c= 6 Zadanie 5: Rozwiąż nierówność x x 0 0. Zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej. x x 0 0 = =81 x 1 = =4 x = 1 81 = 5 Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności 6/1

7 Zatem rozwiązaniem nierówności jest zbiór x, 5 4,. Zadanie 6: Rozwiąż równanie x 3 5x 7x 35=0. x ( x 5)+7(x 5)=0 (x 5)(x +7)=0 x 5=0 lub x +7=0 Mamy więc jedno rozwiązanie x=5. Drugie równanie jest sprzeczne bo x nie może być równe 7. Zadanie 7: Rozwiąż układ równań. { 3x+4y=33 11x+y=45 { 3x 4y= 33 x+4y=90 19x=57 x=3 4y= y= 4 4 =6 Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności 7/1

8 Rozwiązaniem jest para liczb { x=3 y=6 Zadanie 8: Andrzej i Michał mają za zadanie pomalować pokój. Razem wykonają całą pracę w ciągu dwóch godzin. Gdyby pracowali oni oddcielnie, to Andrzejowi pomalowanie całego pokoju zajęłoby o 3 godziny dłużej niż Michałowi. W jakim czasie Michał wykonałby całą pracę samodzielnie? Wprowadźmy oznaczenia: x - czas potrzebny Andrzejowi na wykonanie całej pracy. y - czas potrzebny Michałowi na wykonanie całej pracy. 1 x 1 y - oznacza jaką część pracy wykonuje Andrzej w ciągu godziny. - oznacza jaką część pracy wykonuje Michał w ciągu godziny. Z treści zadania wiemy, że Andrzej wykonuje pracę wolniej niż Michał i prawdziwa jest zależność x=y 3. Wiemy, także że Andrzej i Michał pracując razem, pomalują pokój w ciągu dwóch godzin. Zatem prawdziwe jest równanie 1 x 1 y =1 Otrzymaliśmy układ równań. { x =y 3 1 x 1 y =1 1 y 3 1 y =1 y y y 3 y y 3 y 3 =1 Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności 8/1

9 y 3 y y 3 =1 y 3 =y y 3 4 y 6=y 3 y y y 6=0 = =5 y 1 = 1 5 =3 y = 1 5 = Ponieważ czas na wykonanie pracy nie może być ujemny, to jedynym rozwiązaniem jest: y=3 Michał wykonałby całą pracę w ciągu 3 godzin. Zadanie 9: Rozwiąż nierówność 3x 1 9x 10. 3x 1 9x 10 Wyznaczamy przedziały, w których będziemy rozwiązywać nierówność. W tym celu porównujemy do zera wyrażenia pod wartością bezwzględną. 3x 1=0 x= x =0 x= 9 Zatem nierówność będziemy rozwiązywać w przedziałach :, 1 3 ], Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności 9/1

10 1 3, 9 ], 9,. I. x, 1 3 ] 3x 1 9x 10 1x 9 x 9 1 x 3 4 II. III. Zatem otrzymujemy, że x 3 4, 1 3 ]. x 1 3, 9 ] 3x 1 9x 10 6x 7 x 7 6 Zatem otrzymujemy, że x 1 3, 9 ]. x 9, Zatem otrzymujemy, że x 9, Podsumowanie: 3x 1 9x 10 1x 11 x Sumujemy rozwiązania z wszystkich przypadków i otrzymujemy, że Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności 10/1

11 rozwizaniem nierówności jest x 3 4, Zadanie 10: Dla jakich wartości parametru m równanie x m x m=0 ma dwa rozwiązania różnych znaków? Pierwszym warunkiem jaki musi być spełniony, aby równanie miało dwa rozwiązania, to 0. = m 4 1 m= m 4m=m 4m 4 4m=m 4 0 Ten warunek jest spełniony dla wszystkich wartości parametru m. Równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki różnych znaków, jeżeli ich iloczyn jest liczbą ujemną x 1 x 0. Aby obliczyć iloczyn pierwiastków równania kwadratowego skorzystamy z wzorów Viete'a. x 1 x = c a Stąd otrzymujemy: x 1 x = m 1 0 m 0 Równanie kwadratowe x m x m=0 ma dwa rozwiązania różnych znaków, jeżeli m 0. Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności 11/1

12 Kolejne zadania do powtórek będą dostępne w poniedziałek pod adresem Szczegółowe wyjaśnienia zagadnień z działu równania i nierówności, które pomogą Ci w rozwiązaniu powyższych zadań znajdziesz na stronie Wszelkie uwagi, komentarze na temat powtórki maturalnej można kierować na adres powtorka@matmana6.pl. Redaktorzy serwisu MatmaNa6.pl prowadzą Darmowy Kurs Maturalny z matematyki na poziomie podstawowym i rozszerzonym, który składa się z ponad 70 lekcji. Każda lekcja zawiera: 1. omówienie wybranego zagadnienia,. ćwiczenia interaktywne, 3. przykłady zadań, 4. zadania maturalne do samodzielnego rozwiązania, 5. rozwiązania zadań z poprzedniej lekcji. Kliknij, aby zapisać się na kurs. Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności 1/1