Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń

Save this PDF as:
Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń"

Transkrypt

1 Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA: symbol ZZ oznacza J. Kłopotowski, M. Wrzosek, Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa, podręcznik to J. Kłopotowski Wykłady z rachunku prawdopodobieństwa. 1. Dane są zdarzenia A, B i C. Za pomocą działań na zbiorach wyrazić zdarzenia a) zajdzie tylko A b) zajdą dokładnie dwa z rozważanych zdarzeń c) zajdzie mniej niż trzy z rozważanych zdarzeń d) nie zajdzie A ale zajdzie B. 2. W wyniku doświadczenia możemy otrzymać jedno z trzech wzajemnie wykluczających się zdarzeń: A, B, C. Prawdopodobieństwo otrzymania A lub B jest równe 2, a 3 prawdopodobieństwo otrzymania B lub C jest równe 3. Oblicz prawdopodobieństwo 4 każdego z tych zdarzeń. 3. Niech (A n ) n=1 będzie ciągiem zdarzeń parami rozłącznych, takich że Ω = n=1 A n i P (A k+1 ) = 3 4 P (A k) dla k = 1, 2,.... Oblicz P (A 1 ). 4. a) Dane są P (A B) = 3 i P (A B) = 1 i P (A \ B) = P (B \ A). Oblicz P (A) i 4 2 P (B \ A). b) Dane są P (A B ) = 1, P (A B) = 1, P 4 8 (A ) = 5. Oblicz P (B) , 1.33, 1.34 ZZ 6. Rzucamy czterema kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że a) na każdej kostce będzie inny wynik b) na wszystkich ten sam wynik c) chociaż na dwóch kostkach ten sam wynik. 7. W urnie jest 5 kul białych i 7 czarnych. Losujemy bez zwracania 4 kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że a) wylosowano 1 białą i 3 czarne b) wylosowano 2 białe i 2 czarne c) nie wylosowano białej.

2 Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 2 8. Pięć osób wsiada na parterze do windy bloku 7 piętrowego. Zakładamy, że wysiadają losowo na piętrach. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że a) wszyscy wysiądą na pierwszym pietrze. b) wszyscy wysiądą na jednym z pięter. c) trzech wysiądzie na piętrze piątym i dwóch na szóstym. d) Wysiądą na dwóch piętrach: na jednym 3 osoby na drugim 2 osoby. e) dwóch na piątym piętrze i dwóch na szóstym. f) wysiądą na trzech piętrach: na dwóch z pięter po 2 osoby na pozostałym jedna. 9. Z odcinka (0, 1) wybieramy losowo 2 liczby x i y. W zależności od parametru a R oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że a) xy < a, dla jakich a to prawdopodobieństwo jest większe niż 1 3. b) y x 2 + a. c) y a + x. d) min(x, 1 4 ) < a. e) max(x, y) < a. 10. Z odcinka ( 1, 1) wybieramy losowo 2 liczby x i y. Dla jakich wartości parametru m R zachodzi P (A m ) > 1 3, gdy A m = {(x, y) ( 1, 1) 2 : x y m}. 11. Patyk o długości l dzielimy na trzy części. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że z utworzonych części da się zbudować trójkąt. 12. Zadania z rozdziału 1.1. ZZ 13. Umieszczamy 10 kul o numerach 1, 2,..., 10 w czterech szufladach. Oblicz prawdopodobieństwo, że w każdej będzie chociaż jedna kula. 14. Mamy pięć zaadresowanych kopert i pięć zaadresowanych listów. Wkładamy losowo list do koperty. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden list trafi do właściwej koperty. 15. Z 52 kart wybrano 13. Jaka jest szansa, że wśród wybranych kart jest a) dokładnie jeden as; b) co najmniej jedna szóstka; c) 8 kart jednego koloru; d) będą karty wszystkich kolorów? 16. Z talii 52 kart wybrano 7 kart. Jaka jest szansa, że wśród nich będzie przynajmniej jeden pik oraz przynajmniej jedna dama?

3 Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 3 Odpowiedzi: 1. a) A \ (B C) b) [(A B) (A C) (B C)] \ (A B C) c) (A B C) \ (A B C) d) B \ A 2. P (A) = 1/4; P (B) = 5/12; P (C) = 1/3 3. P (A 1 ) = 1/4 4. a) P (A) = 5/8; P (B \ A) = 1/8 b) P (B) = 1/2 6. a) b) 1 c) a) (5 1)( 7 3) b) (5 2)( 7 2) c) (5 0)( 7 4) ( 12 4 ) ( 12 4 ) ( 12 4 ) 8) a) 1 b) 7 c) (5 3) d) (5 3) 7 6 e) 5(5 2)( 3 2) f) 5(7 2)( 5 2)( 3 2) gdy a 0 a) P (xy < a) = a a ln a gdy a (0, 1) 1 w pozostałych przypadkach 0 gdy a 1 b) P (y x a) = + a 2a a gdy a ( 1, 0) (a 1) 1 a + 1 gdy a [0, 1) 3 1 gdy a 1 0 gdy a 1 c) P (y a + 1 x) = (1 3 a)3 gdy a (0, 1) 1 a a3 gdy a ( 1, 0] 1 gdy a 1 0 gdy a 0 d) P (min{x, 1} < a) = a gdy a (0, 1 4 ] 4 1 gdy a > gdy a 0 e) P (max{x, y} < a) = a 2 gdy a (0, 1) 1 gdy a / [ ( ) ] ! ( ) 5 3! + ( ) 5 2! ( 5 1 5! 2 5! 3 5! 4) + 1 5! 5! 15. a) (4 1)( 48 12) b) 1 (48 13) c) 4(13 8 )( 39 5 ) d) 1 [4 (39 13) ( 52 13) ( 52 13) ( 52 13) ( 52 13) ( ) 4 ( 26 13) 2 ( 52 13) + ( ) ] 4 ( 13) 3 [ ] ( 52 13) ( 39 7 ) ( 52 7 ) + (48 7 ) ( 52 7 ) (36 7 ) ( 52 7 )

4 Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 4 Ćwiczenia 2. Niezależność zdarzeń, prawdopodobieństwo warunkowe, wzór na prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa 1. Losujemy kolejno 13 kart z talii 52 kart. Po obejrzeniu pierwszych 8 nie mamy asa. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ogóle nie mamy asa. 2. Rzucono dwa razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek jest większa niż 8, jeśli wiadomo a) że w pierwszym rzucie wypadło 5 oczek. b) w dokładnie jednym z rzutów wypadło 5 oczek. 3. Z talii 52 kart losujemy jedną. Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowano pika, a B - że asa. Czy A i B są niezależne? 4. Rzucamy kostką do gry i monetą. Skonstruować przestrzeń probabilistyczną dla tego doświadczenia. Niech A oznacza zdarzenie, ze wypadło co najmniej 5 oczek lub reszka, a B co najmniej 3 oczka i orzeł. Zbadać, czy A i B niezależne. 5. Niech A i B niezależne. pokaż, że A i B niezależne. 6. Niech P (B) = 2 5, P (A B) = 1 4, P (A B) = 3 5, P (C A B) = 1 2, P (C A) = 3 4. Oblicz P (B A C). 7. Niech zdarzenia A i B będą niezależne i P (A) = P (B) = p. Niech P (C A) = P (C B) = P (C A B) = r i P (C A B ) = 1. Oblicz P (A C). 8. W urnie sa 4 kule: biała, czerwona, zielona i trójkolorowa (biało-czerwono-zielona). Losujemy kulę. Niech B oznacza zdarzenie, że kula zawiera kolor biały, C - czerwony, Z - zielony. Czy są one niezależne, a niezależne parami? , 1.36, 1.38, 1.40, 1.43 ZZ 10. Dwie z czterech pracujących niezależnie lamp odbiornika zawiodły. Znaleźć prawdopodobieństwo, że zawiodła pierwsza i druga jeśli prawdopodobieństwa zepsucia poszczególnych lamp są równe p 1 = 0, 1, p 2 = 0, 2, p 3 = 0, 3, p 4 = 0, Hrabia, Tadeusz i Robak oddali niezależnie po jednym strzale do niedźwiedzia. Gerwazy stwierdził, że jedna kula trafiła. Jaka jest szansa, że trafił Tadeusz, jeśli prawdopodobieństwa trafienia są równe: dla Tadeusza 0,8, Hrabiego - 0,5 i Robaka - 0,9.

5 Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa , 12, 13 str. 16 podręcznik 13. Towarzystwo ubezpieczeniowe dzieli populacje kierowców na ostrożnych i ryzykantów. Wiadomo, że jeden ryzykant przypada na trzech ostrożnych. Prawdopodobieństwo spowodowania co najmniej 1 wypadku w ciągu roku przez ostrożnego jest równe 0,04 przez ryzykanta 0,2. a) Losowo wybrany kierowca spowodował co najmniej 1 wypadek w ciągu roku. Oblicz prawdopodobieństwo, że należy do ostrożnych. b) Losowo wybrany kierowca nie spowodował wypadku w roku I, oblicz prawdopodobieństwo, że nie spowoduje wypadku w roku II. Zakładamy, że zachowanie kierowcy (odpowiednio ostrożnego i ryzykanta) w roku drugim nie zależy od jego zachowania w roku pierwszym. 14. Student losuje pytanie na egzaminie. Wśród czterech odpowiedzi jedna jest poprawna. Gdy student zna odpowiedź wybiera poprawną, gdy nie zna zgaduje. Student zna odpowiedzi na 75% pytań. Student odpowiedział prawidłowo na wylosowane pytanie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zgadywał. 15. Dane są dwie urny: A i B. W urnie A są 2 kule białe i 3 czarne, w B 3 białe i 2 czarne. Wykonujemy trzy etapowe doświadczenie: I etap: losujemy urnę II etap: z wylosowanej urny losujemy 2 kule i nie oglądając ich wkładamy je do drugiej urny, III etap: Z urny, do której włożyliśmy kule, losujemy 1 kulę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w drugim etapie wylosowaliśmy kule jednego koloru, jeśli w etapie trzecim wylosowaliśmy kulę białą. 16. Są dwie kostki symetryczne i jedna obciążona, na której szóstka wypada z prawdopodobieństwem 1/11, a pozostałe wyniki mają równe szanse. Wybrano losowo kostkę i wykonano nią dwa rzuty. Nie uzyskano szóstki. Obliczyć prawdopodobieństwo, że kostka jest obciążona.

6 Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 6 Ćwiczenia 3. Zmienna losowa dyskretna, schemat Bernoulliego 1. Gra polega na rzucie kostką i monetą. Jeśli wypadnie orzeł i szóstka wygrywamy 3, jeśli reszka lub nieparzysta liczba oczek to wygrywamy 1, w przeciwnym przypadku przegrywamy 6. Podaj zbiory zdarzeń elementarnych odpowiadających poszczególnym wygranym. Podaj rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X równej wypłacie. Wyznacz dystrybuantę. 2. Rozkład zmiennej losowej X podaje tabela. x P (X = x) a 30 Wyznacz a, oblicz i naszkicuj dystrybuantę, oblicz P (X (0, 5 2 )). 3. Wyznacz rozkład zmiennej losowej X wiedząc, że dystrybuanta rozkładu tej zmiennej jest równa 0 gdy x < 2 0, 2 gdy x [ 2, 1) F (x) = 0, 3 gdy x [1, 3) 0, 6 gdy x [3, 4) 1 gdy x ZZ 5. Wyrazić za pomocą dystrybuanty prawdopodobieństwa: P (X < b), P (X a), P (X [a, b]), P (X (a, b]), P (X = a), P (X > a). 6. Rzucamy niezależnie cztery razy dwiema kostkami do gry. Wyznacz rozkład zmiennej losowej równej liczbie rzutów, w których suma wyrzuconych oczek jest mniejsza niż Dwóch koszykarzy A i B oddaje niezależnie po trzy rzuty piłką do kosza. Prawdopodobieństwo trafienia w pojedynczym rzucie jest równe: dla koszykarza A 0,6 dla B 0,7. Obliczyć prawdopodobieństwo, że obaj trafią tyle samo razy. 8. Rzucono 8 razy niezależnie kostką. Wiadomo, że otrzymano 4 szóstki. Niech X będzie zmienną losową równą liczbie szóstek przy dwóch pierwszych rzutach. Wyznacz jej rozkład i dystrybuantę.

7 Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 7 9. Rzucono 8 razy symetryczną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszym rzucie otrzymano szóstkę, jeśli wiadomo, że a) otrzymano 3 szóstki? b) w następnych 7 rzutach otrzymano szóstki? 10. W urnie jest 5 kul, przy czym każda może być czarna lub biała (nie wiemy ile jest kul białych i każda liczba kul białych jest jednakowo prawdopodobna). Losując 4 razy ze zwrotem po jednej kuli wylosowaliśmy jedną kulę białą i trzy czarne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w urnie była jedna kula biała i cztery czarne. 11. Bolek, Lolek i Tosia rzucają po kolei monetą. Wygrywa osoba, która pierwsza wyrzuci orła. Znaleźć szanse wygranej dla poszczególnych osób. 12. zadania na rozkład geometryczny do wyboru z rozdziału 2.1 ZZ 13. Po terenie miasta jeździ 1000 samochodów. Prawdopodobieństwo wezwania pogotowia technicznego w ciągu doby przez samochód wynosi 0,002. Oszacuj prawdopodobieństwo, że chociaż jeden samochód wezwie pogotowie techniczne w ciągu doby. 14. Jaka jest szansa, że w schemacie Bernoulliego otrzymamy parzystą liczbę sukcesów? Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów? 15. Zad 1.56, 1.58, 1.61, 1.62 ZZ (przybliżenie rozkładem Poissona rozkładu Bernoulliego)

8 Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 8 Ćwiczenia 4 i 5. Zmienna losowa ciągła, funkcja zmiennej losowej, charakterystyki (EX, V arx = D 2 X, mediana) 1. Losujemy punkt z odcinka [0, 1] i względem tego punktu dzielimy nasz odcinek na dwa mniejsze. Przez X oznaczmy zmienną losową będącą ilorazem długości krótszego do długości dłuższego z uzyskanych odcinków. Przyjmując naturalną konstrukcję przestrzeni probabilistycznej dla tego doświadczenia losowego (Ω = (0, 1)), zidentyfikuj zdarzenia: {X > 1/2}, {1/4 < X < 1/3}, {X = 1/2}. Oblicz P (X > 1/2), P (1/4 < X < 1/3), P (X = 1/2). Wyznacz dystrybuantę i gęstość rozkładu zmiennej losowej X. 2. Wyznacz stałą c, jeśli wiadomo, że funkcja f jest gęstością zmiennej losowej o rozkładzie absolutnie ciągłym. Wyznacz i naszkicuj dystrybuantę, Oblicz P (X [ 1, 2)). 2 a) { cx gdy x (0, 4) f(x) = 0 w przeciwnym przypadku. b) f(x) = { 4x 3x 2 gdy x (0, a] 0 w przeciwnym przypadku. 3. Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie absolutnie ciągłym ma postać Wyznacz stałą a i gęstość. 0 gdy x < 1 F (x) = (x 1) 2 gdy x [1, a) 1 gdy x a. 4. Czas bezawaryjnej pracy pewnego urządzenia jest zmienną losową o rozkładzie absolutnie ciągłym z funkcją gęstości postaci f(x) = { ae 2x gdy x > 0 0 w przeciwnym przypadku. Wyznacz stałą a, naszkicuj dystrybuantę, wyznacz stałe s, t takie, że P (X > t) = 2P (X < t) P (X > s) = P (X < s) 5. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0. Oblicz P (X > t + s X > t), gdzie t, s > 0 są ustalonymi liczbami. Oblicz P (X > s). Co zauważyłeś?

9 Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9 6. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem 1. Wyznacz gęstość i dystrybuantę zmiennej losowej Y = 3X + 1, Z = e X. Wyznacz EX, EY, EZ. 7. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości a) f(x) = a 1 1+x 2 b) f(x) = { a 1 1+x 2 gdy x ( 1, 3) 0 w przeciwnym przypadku Wyznacz a i gęstość oraz dystrybuantę zmiennych Y = X 3, Z = X Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale (0, 2). Wyznacz rozkład zmiennej Y = 1 X, Z = min{x, X2 }, V = max{1, X}, W = 1 gdy X < 1 i W = 0 gdy X 1. Oblicz wartości oczekiwane otrzymanych zmiennych. 9. Rzucamy kostką do gry. Niech X oznacza liczbę wyrzuconych oczek a Y = X 3. Wyznacz rozkłady zmiennej X i Y oraz EX, EY, E(X + Y ), V ary. 10. Z urny zawierającej 4 kule białe i 2 czarne losujemy 3 razy ze zwracaniem po dwie kule (w jednym losowaniu wyciągamy jednocześnie dwie kule, a następnie wrzucamy je z powrotem do urny). Niech X oznacza liczbę otrzymanych par kul czarnych. a) Podać rozkład zmiennej losowej X. b) Podać EX i D 2 X. c) Obliczyć P (X > 1). 11. Z urny zawierającej 2 kule białe i 4 czarne losujemy ze zwracaniem po dwie kule (w jednym losowaniu wyciągamy jednocześnie dwie kule, a następnie wrzucamy je z powrotem do urny) tak długo, aż wylosujemy parę kul o tych samych kolorach. Niech X oznacza liczbę wykonanych losowań. a) Podać rozkład zmiennej losowej X. b) Podać EX, E(2X 3), D 2 X i D 2 (2X 3). c) Obliczyć P (X < 3). 12. Zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z p = 1. Wyznacz rozkład zmiennej 3 Y = cos(πx), Z = cos( π X). Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych 2 występujących w zadaniu. 13. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości a(x + 1) gdy x [ 1, 1] f(x) = a( x + 5) gdy x (3, 5) 0 w pozostałych przypadkach

10 Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 10 Wyznacz a, naszkicuj wykres gęstości i dystrybuanty, oblicz EX, D 2 X, D 2 (2X 4), podaj gęstość zmiennej Y = X. 14. W państwie A płaca minimalna jest równa 100 jednostek a odsetek osób zarabiających ponad x jednostek jest równy 400 x, gdzie x (100, 400]. Wyznacz rozkład 300 płacy i oblicz jej wartość oczekiwaną. Oblicz E(3X 100). 15. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej 7 i wariancji 9. Wyznacz rozkłady zmiennych Y = 2X + 4, Z = e X. Oblicz EX 2, EY, D 2 Y. 16. Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać 0 gdy x < 1 1 gdy x [ 1, 0) F (x) = 10 2 (x + 1) gdy x [0, 2) 10 1 gdy x 2. Wyznaczyć rozkład zmiennej X. Obliczyć P (X > 0), P (X = 0 X = 2), EX, D 2 X. 17. Wypłata w grze losowej jest obliczana jako X = max{u 2, 0}, gdzie U jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0, 4). Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X, EX, D 2 X. 18. Rzucamy 10 razy kostką. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję sumy oczek. 19. Dziesięć osób wsiada losowo do siedmiu wagonów. Wyznacz wartość oczekiwaną liczby pustych wagonów. 20. Powtarzamy doświadczenie polegające na rzucie kostką do gry tak długo aż pojawi się każda liczba oczek. Obliczyć wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów. 21. Zadania z rozdziału 2.2. ZZ

11 Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 11 Ćwiczenia 6 i 7. Rozkład łączny dwuwymiarowej zmiennej dyskretnej, suma niezależnych zmiennych losowych, rodzaje zbieżności ciągu zmiennych losowych, twierdzenia graniczne 1. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Niech X = min{i, j} i Y = max{i, j}, gdzie i, j to liczby wyrzuconych oczek. Wyznacz rozkłady zmiennych: X, Y, (X, Y ), Z = (X 2) 2. Oblicz P (X > 3 Y > 3). Czy zmienne X i Y są niezależne? 2. Zmienna losowa X przyjmuje z dodatnim prawdopodobieństwem tylko wartości 2 i -6, a zmienna losowa Y wartości -1 i 3. Wyznacz rozkład zmiennej (X, Y ) jeśli X i Y są niezależne i EX = 0 i P (X = 6 Y = 1) = Oblicz E(XY ), D2 (X Y ). 3. Podaj przykłady zmiennych losowych X i Y takich że P (X = 1) = P (X = 2) = P (X = 3) = 1 3 i P (Y = 1) = P (Y = 2) = P (Y = 3) = 1 3 i a) X i Y niezależne; b) X i Y zależne. W obu przypadkach wyznacz rozkład zmiennej losowej S = X + Y. 4. Rzucamy dwa razy kostką. Niech X oznacza liczbę oczek w pierwszym rzucie, a Y ma wartość 1 gdy na obu kostkach wypadła szóstka i 0 w pozostałych przypadkach. Wyznacz rozkład zmiennej losowej S = X + Y. Czy X i Y są niezależne. 5. Dziesięć liczb o numerach 1, 2,..., 9, 10 ustawiamy na dziesięciu ponumerowanych miejscach (numery miejsc też od 1 do 10). Niech X oznacza numer miejsca, na którym stoi liczba 1, a Y numer miejsca, na którym stoi liczba 2. Wyznacz rozkład zmiennej losowej (X, Y ), rozkłady zmiennych X i Y, EX, P (X < 4 Y = 6), P (X < 4 Y = 3). 6. Zmienne losowe X i Y są niezależne i każda ma rozkład jednostajny na przedziale (0, 1). Wyznacz gęstość rozkładu zmiennej S = X + Y. 7. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej 0,5 a zmienna losowa Y rozkład gamma o gęstości p(x) = 4xe 2x dla x > 0. Wyznacz gęstość rozkładu zmiennej S = X + Y. 8. Rzucono 50 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza łączną liczbę orłów, Y zaś liczbę orłów w pierwszych 20 rzutach. a) Wyznacz Cov(X, Y ). b) Czy zmienne X i Y są niezależne.

12 Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa przykłady z zad 5.1, ZZ ZZ 11. Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach P (X 1 = 0) = 1 P (X n = ln n 2 ) = P (X n = ln n 2 ) = 0, 5 Wykazać, że ciąg (X n ) spełnia słabe i mocne prawo wielkich liczb. 12. Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach P (X 1 = 0) = 1 P (X n = 0) = 1 2 n P (X n = n) = P (X n = n) = 1 n Sprawdź, czy ciąg (X n ) spełnia warunek Markowa i Kołmogorowa. 13. Niech X n będzie zmienną losową o rozkładzie gamma Gamma(6n, 1 ), niech 3n Y n = X n + n, n = 1, 2,.... na Dla jakich wartości a R ciąg (Y n ) spełnia warunek Kołmogorowa. 14. np 5.19, 5.20, 5.24, 5.27 ZZ 15. Rzucamy symetryczną kostką tak długo, aż suma oczek przekroczy 700. Oceń prawdopodobieństwo tego, że w tym celu trzeba będzie wykonać a) więcej niż 210 rzutów; b) mniej niż 180 rzutów; c) od 180 do 210 rzutów razy wybieramy losowo jeden punkt z odcinka (1, 5). Obliczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa zdarzenia, że a) 550 razy b) więcej niż 550 razy otrzymamy punkt, którego odległość od środka przedziału jest większa niż 1 3 długości przedziału. 17. Pan A stoi codziennie w kolejce po mleko. Czas stania jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej 5 min. Obliczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa zdarzenia, że po 324 dniach łączny czas stania przekroczy 24 godziny.

13 Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa Jest n = podatników. Niech X i oznacza wartość błędu (w zł.) i-tego podatnika przy wypełnianiu rocznego zeznania podatkowego, wiemy, że EX i = 0 i D 2 X i = 2500, i = 1, 2,..., n. Jaka jest szansa, że straty państwa z tego powodu przekroczą 1mln zł. Można założyć, że zmienne losowe X i są niezależne o tym samym rozkładzie. 19. Dany jest ciąg (X n ) niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie równomiernym P (X n = i) = 0, 2, i = 0, 1, 2, 3, 4. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że średnia arytmetyczna 100 tych zmiennych jest a) mniejsza niż 2; b) należy do przedziału (1, 3).

Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń

Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:

Bardziej szczegółowo

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

rachunek prawdopodobieństwa - zadania

rachunek prawdopodobieństwa - zadania rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 6.10.2012 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0,1] oraz

Bardziej szczegółowo

ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa

ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9.10.2010 ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności 1. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewną σ-algebrą podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia

Bardziej szczegółowo

c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;

c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem; 05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω,

Bardziej szczegółowo

rachunek prawdopodobieństwa - zadania

rachunek prawdopodobieństwa - zadania rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 9.10.2011 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0, 1] oraz

Bardziej szczegółowo

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego. Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω) ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające

Bardziej szczegółowo

p k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;

p k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem; 05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa. Rozkład skokowy

Zmienna losowa. Rozkład skokowy Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018 Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy

Bardziej szczegółowo

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A) Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P

Bardziej szczegółowo

R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.

R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. Zadanie 1. Wyznacz średnią arytmetyczną, dominantę i medianę zestawu danych: 1, 5, 3, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 1, 1, 4, 5, 5, 3. Zadanie 2. W zestawie danych

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę

Bardziej szczegółowo

Lista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

Lista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 1. W urnie jest 1000 kartoników będących losami loterii pieniężnej. Cztery z kartoników wygrywają po 100 zł i szesnaście po 10 zł. Reszta kartoników to losy puste. Pierwszy

Bardziej szczegółowo

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B; Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2 ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3.

Zadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3. Zadanie 1. O zdarzeniach A, B, C z pewnej przestrzeni uzyskaliśmy informacje, iż P (A B C) = 0.6, P (B A C) = 0.3 oraz P (C A B) = 0.9. Obliczyć P [A B C (A B) (A C) (B C)]. Odp. 9/37 Zadanie 2. Wiadomo,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko

Bardziej szczegółowo

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR) .. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem

Bardziej szczegółowo

07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe

07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe 07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego

Bardziej szczegółowo

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp. Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (

Bardziej szczegółowo

02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w

02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w 02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,

Bardziej szczegółowo

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Zdarzenie losowe (zdarzenie)

Zdarzenie losowe (zdarzenie) Zdarzenie losowe (zdarzenie) Ćw. 1. Ze zbioru cyfr (l, 2,3,..., 9} losowo wybieramy jedną. a) Wypisz zdarzenia elementarne, sprzyjające: zdarzeniu A, że wybrano liczbę parzystą zdarzeniu B, że wybrano

Bardziej szczegółowo

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,

Bardziej szczegółowo

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =. Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej

Bardziej szczegółowo

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,

Bardziej szczegółowo

04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite,

04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite, 04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa Definicja. 1. Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B, gdzie P(B > 0, nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12.

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12. IMIE I NAZWISKO ZADANIE 1 Rzucamy sześcienna kostka do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadna co najmniej dwa oczka. ZADANIE 2 Rzucamy trzy razy symetryczna sześcienna kostka do gry. Oblicz prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne Metody statystyczne. Lista 1. 1 Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przykład 1 Alicja wylosowała jedną kartę z

Bardziej szczegółowo

I. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo. g) różnowartościowych, h) bez miejsc zerowych, i) z jednym miejscem zerowym, j) z dwoma miejscami zerowymi,

I. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo. g) różnowartościowych, h) bez miejsc zerowych, i) z jednym miejscem zerowym, j) z dwoma miejscami zerowymi, I. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo I.1 Mała Lusia bawi się literkami A,A,A,E,K,M,M,T,T,Y ustawiając je w różnej kolejności. Jakie jest prawdopodobieństwo ustawienia wyrazu MATEMATYKA? I. Wśród funkcji

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę

Bardziej szczegółowo

Lista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym

Lista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym Lista 5 Zadania na zastosowanie nierównosci Markowa i Czebyszewa. Zadanie 1. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Korzystając z nierówności Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych

Bardziej szczegółowo

Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)

Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) 1 Przestrzeń probabilistyczna Zadanie 1 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Opisać przestrzeń zdarzeń

Bardziej szczegółowo

Przykłady do zadania 3.1 :

Przykłady do zadania 3.1 : Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 3: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala,

Bardziej szczegółowo

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.); 03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Prawdopodobieństwo

Lista 1 - Prawdopodobieństwo Lista 1 - Prawdopodobieństwo Zadanie 1. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia: a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C; b) zachodzą dokładnie

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

Zadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 1.

Zadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 1. Zestaw 1. Zadanie. 1. Wyobraźnia jest ważniejsza od wiedzy A.Einstein Czy zdarzenia polegające na wyciągnięciu z talii liczącej 52 karty dowolnej karty pik (zdarzenie A) i wyciągnięciu asa (zdarzenie B)

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II

Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,

Bardziej szczegółowo

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.); 03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych 1 Zmienne losowe dyskretne 1.1 Rozkład dwumianowy Zad.1.1.1 Prawdopodobieństwo dziedziczenia pewnej cechy wynosi 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu potomków

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki

WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie. Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją

Bardziej szczegółowo

DODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU. Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a. s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b

DODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU. Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a. s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b DODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b Udowodnij, że liczba postaci 5 n+1 +2 3 n +1 jest podzielna przez

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 = Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają

Bardziej szczegółowo

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe skokowe

Zmienne losowe skokowe Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.

Bardziej szczegółowo

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Model klasyczny prawdopodobieństwa. Losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

dr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1

dr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1 Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia czwarte Schematy rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 29 października 20 Spis

Bardziej szczegółowo

Dyskretne zmienne losowe

Dyskretne zmienne losowe Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która

Bardziej szczegółowo

PRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. ZADANIE 1 (5 PKT) NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI

PRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. ZADANIE 1 (5 PKT)   NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI IMIE I NAZWISKO PRAWDOPODOBIEŃSTWO PRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. SUMA PUNKTÓW: 100 ZADANIE 1 (5 PKT) Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry i określono zdarzenia A na każdej kostce wypadła

Bardziej szczegółowo

12. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA zadania

12. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA zadania 2. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA zadania Zad.2.. Oblicz ile moŝna utworzyć z cyfr 0,, 2, liczb: a) dwucyfrowych, których cyfry mogą się powtarzać; b) trzycyfrowych o niepowtarzających się cyfrach;

Bardziej szczegółowo

Lista 1 1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL CCCC? A ile CC LLLL?

Lista 1 1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL CCCC? A ile CC LLLL? Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa (Fizyka i Optyka) Lista zadań Marek Klonowski Wrocław 2015/16 Lista 1 1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL CCCC? A ile CC LLLL? 2. Ile jest ciągów bitowych

Bardziej szczegółowo

X P 0,2 0,5 0,2 0,1

X P 0,2 0,5 0,2 0,1 Zadanie 1 Zmienna losowa X ma rozkład: x -2 0 1 p 0,2 0,5 0,3 Wyznaczyć i narysować dystrybuantę tej zmiennej losowej. Zadanie 2 Zmienna losowa X ma rozkład: X -10 0 10 40 P 0,2 0,5 0,2 0,1 Podać wartość

Bardziej szczegółowo

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( ) Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Model klasyczny prawdopodobieństwa.losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

Jednowymiarowa zmienna losowa

Jednowymiarowa zmienna losowa 1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),

Bardziej szczegółowo

Ćw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6

Ćw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6 Wariacje bez powtórzeń Jeśli w doświadczeniu losowym ze zbioru n-elementowego wybieramy k elementów w ten sposób, że: wybrane elementy nie mogą się powtarzać kolejność wybranych elementów jest istotna

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru

Bardziej szczegółowo

Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki

Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki Pochodne funkcji i jej zastosowania 1. Oblicz pochodną funkcji f, gdy: a) f(x) = 3x 8 + 2 x + 3 7, b) f(x) = x 11 6x 5 + 2 x + 3 x, c)

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I GEOMETRIA ANALITYCZNA 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie

Bardziej szczegółowo

Doświadczenie i zdarzenie losowe

Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Statystyka podstawowe wzory i definicje

Statystyka podstawowe wzory i definicje 1 Statystyka podstawowe wzory i definicje Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) podzielona przez ich ilość (n) Przykład 1 Dany jest zbiór liczb {6, 8, 11, 2, 5, 3}. Oblicz średnią

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Zestawy zadań z Metod Probabilistyki i Statystyki. dr Hanna Podsędkowska dr Katarzyna Lubnauer mgr Małgorzata Grzyb mgr Rafał Wieczorek

Zestawy zadań z Metod Probabilistyki i Statystyki. dr Hanna Podsędkowska dr Katarzyna Lubnauer mgr Małgorzata Grzyb mgr Rafał Wieczorek Zestawy zadań z Metod Probabilistyki i Statystyki dr Hanna Podsędkowska dr Katarzyna Lubnauer mgr Małgorzata Grzyb mgr Rafał Wieczorek 21 lutego 2014 1 MODEL KLASYCZNY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 Model klasyczny

Bardziej szczegółowo

Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego

Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................

Bardziej szczegółowo