Metody probabilistyczne

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metody probabilistyczne"

Transkrypt

1 Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP / 33

2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω Zdarzenia A Ω to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = A Ω 2 / 33

3 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω Zdarzenia A Ω to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = A Ω Ograniczenia definicji klasycznej: Każde zdarzenie elementarne ma to samo prawdopodobieństwo 1 Ω Rzut nieuczciwą monetą lub kostką Niejednoznaczność przestrzeni zdarzeń (np. rzut 2 kośćmi) 2 / 33

4 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω Zdarzenia A Ω to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = A Ω Ograniczenia definicji klasycznej: Każde zdarzenie elementarne ma to samo prawdopodobieństwo 1 Ω Rzut nieuczciwą monetą lub kostką Niejednoznaczność przestrzeni zdarzeń (np. rzut 2 kośćmi) Aby definicja miała sens, Ω musi być zbiorem skończonym Rzucanie monetą aż do pojawienia się orła Czas życia dysku twardego 2 / 33

5 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω Zdarzenia A Ω to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = A Ω Ograniczenia definicji klasycznej: Każde zdarzenie elementarne ma to samo prawdopodobieństwo 1 Ω Rzut nieuczciwą monetą lub kostką Niejednoznaczność przestrzeni zdarzeń (np. rzut 2 kośćmi) Aby definicja miała sens, Ω musi być zbiorem skończonym Rzucanie monetą aż do pojawienia się orła Czas życia dysku twardego Potrzebna ogólniejsza definicja prawdopodobieństwa 2 / 33

6 Przestrzeń probabilistyczna ( Ω, F, P ) przestrzeń zdarzeń elementarnych σ-ciało zdarzeń miara prawdopodobieństwa 3 / 33

7 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny 4 / 33

8 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: 4 / 33

9 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 4 / 33

10 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Liczba rzutów monetą do pojawienia się orła: 4 / 33

11 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Liczba rzutów monetą do pojawienia się orła: Ω = {1, 2, 3,...} 4 / 33

12 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Liczba rzutów monetą do pojawienia się orła: Ω = {1, 2, 3,...} Wartość napięcia w sieci: 4 / 33

13 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Liczba rzutów monetą do pojawienia się orła: Ω = {1, 2, 3,...} Wartość napięcia w sieci: Ω = R 4 / 33

14 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Liczba rzutów monetą do pojawienia się orła: Ω = {1, 2, 3,...} Wartość napięcia w sieci: Ω = R Czas życia dysku twardego: 4 / 33

15 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Liczba rzutów monetą do pojawienia się orła: Ω = {1, 2, 3,...} Wartość napięcia w sieci: Ω = R Czas życia dysku twardego: Ω = [0, ) 4 / 33

16 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω 5 / 33

17 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A 5 / 33

18 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A Mówimy, że zaszło zdarzenie A, jeśli wynik doświadczenia ω A 5 / 33

19 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A Mówimy, że zaszło zdarzenie A, jeśli wynik doświadczenia ω A Zdarzenie A = Ω nazywamy zdarzeniem pewnym 5 / 33

20 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A Mówimy, że zaszło zdarzenie A, jeśli wynik doświadczenia ω A Zdarzenie A = Ω nazywamy zdarzeniem pewnym Zdarzenie A = nazywamy zdarzeniem niemożliwym 5 / 33

21 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A Mówimy, że zaszło zdarzenie A, jeśli wynik doświadczenia ω A Zdarzenie A = Ω nazywamy zdarzeniem pewnym Zdarzenie A = nazywamy zdarzeniem niemożliwym Zdarzenie przeciwne do A to A 5 / 33

22 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A Mówimy, że zaszło zdarzenie A, jeśli wynik doświadczenia ω A Zdarzenie A = Ω nazywamy zdarzeniem pewnym Zdarzenie A = nazywamy zdarzeniem niemożliwym Zdarzenie przeciwne do A to A Zdarzenia A i B są rozłączne (wykluczające się) jeśli A B = 5 / 33

23 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A Mówimy, że zaszło zdarzenie A, jeśli wynik doświadczenia ω A Zdarzenie A = Ω nazywamy zdarzeniem pewnym Zdarzenie A = nazywamy zdarzeniem niemożliwym Zdarzenie przeciwne do A to A Zdarzenia A i B są rozłączne (wykluczające się) jeśli A B = Ogólniej: zdarzenia A 1, A 2,... są parami rozłączne jeśli A i A j = dla wszystkich i j 5 / 33

24 Rodzina zdarzeń Rodziną zdarzeń F nazywamy interesującą nas rodzinę podzbiorów Ω Czyli F 2 Ω (2 Ω to zbiór potęgowy, tj. zbiór wszystkich podzbiorów Ω) 6 / 33

25 Rodzina zdarzeń Rodziną zdarzeń F nazywamy interesującą nas rodzinę podzbiorów Ω Czyli F 2 Ω (2 Ω to zbiór potęgowy, tj. zbiór wszystkich podzbiorów Ω) Jakie własności powinna co najmniej spełniać rodzina zdarzeń F? 6 / 33

26 Rodzina zdarzeń Rodziną zdarzeń F nazywamy interesującą nas rodzinę podzbiorów Ω Czyli F 2 Ω (2 Ω to zbiór potęgowy, tj. zbiór wszystkich podzbiorów Ω) Jakie własności powinna co najmniej spełniać rodzina zdarzeń F? 1. Zdarzenie pewne Ω powinno należeć do F 6 / 33

27 Rodzina zdarzeń Rodziną zdarzeń F nazywamy interesującą nas rodzinę podzbiorów Ω Czyli F 2 Ω (2 Ω to zbiór potęgowy, tj. zbiór wszystkich podzbiorów Ω) Jakie własności powinna co najmniej spełniać rodzina zdarzeń F? 1. Zdarzenie pewne Ω powinno należeć do F 2. Jeśli A należy do F to również należy zdarzenie nie zaszło A 6 / 33

28 Rodzina zdarzeń Rodziną zdarzeń F nazywamy interesującą nas rodzinę podzbiorów Ω Czyli F 2 Ω (2 Ω to zbiór potęgowy, tj. zbiór wszystkich podzbiorów Ω) Jakie własności powinna co najmniej spełniać rodzina zdarzeń F? 1. Zdarzenie pewne Ω powinno należeć do F 2. Jeśli A należy do F to również należy zdarzenie nie zaszło A 3. Jeśli A i B należą do F to również należy zdarzenie zaszło A lub B 6 / 33

29 σ-ciało zbiorów Rodzinę podzbiorów F 2 Ω nazywamy σ-ciałem (σ-algebrą), gdy: 1. Ω F 2. Jeśli A F to A F 3. Jeśli A 1, A 2,... F to A 1 A 2... F Uwaga: własność 3 zachodzi dla dowolnych przeliczalnych sum zdarzeń. 7 / 33

30 Własności σ-ciała zdarzeń Fakt: Zdarzenie puste należy do F: F 8 / 33

31 Własności σ-ciała zdarzeń Fakt: Zdarzenie puste należy do F: F Dowód: Ponieważ Ω F, a Ω =, to z własności 2 mamy F. 8 / 33

32 Własności σ-ciała zdarzeń Fakt: Jeśli A, B F to również: A B F 9 / 33

33 Własności σ-ciała zdarzeń Fakt: Jeśli A, B F to również: A B F Dowód: (a) Z własności 2 zachodzi: A F oraz B F (b) Z własności 3 zachodzi: C = A B F (c) Z własności 2 zachodzi: C F (d) Ale z prawa De Morgana wynika, że C = A B Ω Ω Ω Ω A B A B A B A B A B C = A B C = A B Prawo de Morgana: (E F ) = E F 9 / 33

34 Własności σ-ciała zdarzeń Zadanie 1 Udowodnij, że jeśli A, B F to również A \ B F Wniosek: σ-ciało jest zamknięte ze względu na wszystkie operacje na zbiorach typu: suma, iloczyn, różnica, dopełnienie, itp. 10 / 33

35 Przykłady σ-ciał: zbiór potęgowy Jeśli Ω jest przeliczalny, możemy wziąć F = 2 Ω, tzn. wszystkie podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych są zdarzeniami 11 / 33

36 Przykłady σ-ciał: zbiory borelowskie Jeśli Ω = R (nieprzeliczalny), nie możemy przyjąć F = 2 Ω, gdyż nie da się na nim określić miary prawdopodobieństwa (zbiory niemierzalne). 12 / 33

37 Przykłady σ-ciał: zbiory borelowskie Jeśli Ω = R (nieprzeliczalny), nie możemy przyjąć F = 2 Ω, gdyż nie da się na nim określić miary prawdopodobieństwa (zbiory niemierzalne). Zakładamy, że F musi zawierać zdarzenia przynajmniej postaci: wynik był mniejszy od a, wynik był pomiędzy a i b (a, b R), itp. Czyli F zawiera wszystkie możliwe przedziały otwarte i zamknięte, skończone lub nie, np. [a, b), (a, b), (, a], (b, ), itp. 12 / 33

38 Przykłady σ-ciał: zbiory borelowskie Jeśli Ω = R (nieprzeliczalny), nie możemy przyjąć F = 2 Ω, gdyż nie da się na nim określić miary prawdopodobieństwa (zbiory niemierzalne). Zakładamy, że F musi zawierać zdarzenia przynajmniej postaci: wynik był mniejszy od a, wynik był pomiędzy a i b (a, b R), itp. Czyli F zawiera wszystkie możliwe przedziały otwarte i zamknięte, skończone lub nie, np. [a, b), (a, b), (, a], (b, ), itp. Z własności σ-ciała, F zawiera również przeliczalne sumy i iloczyny przedziałów (w tym pojedyncze punkty). Taką rodzinę zdarzeń nazywa się σ-ciałem zbiorów borelowskich. Rodzina ta zawiera wszystkie praktyczne podzbiory R (a nawet tak dziwne zbiory jak zbiór Cantora czy zbiór liczby wymiernych). Biorąc iloczyny kartezjańskie podzbiorów, można tę rodzinę uogólnić na przestrzeń R 2 (płaszczyznę), R 3 (przestrzeń 3D), itp. 12 / 33

39 Aksjomaty Kołmogorowa (1933): Miara prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwem nazywamy dowolną funkcję P o wartościach rzeczywistych zdefiniowanej na σ-ciale zdarzeń F 2 Ω, spełniającą warunki: 1. Nieujemność: P(A) 0 dla każdego A F 2. Normalizacja: P(Ω) = 1 3. Addytywność: Dla dowolnego ciągu parami rozłącznych zdarzeń A 1, A 2,... F: ( P i=1 A i ) = P(A i ) i=1 Andriej Kołmogorow ( ) Uwaga: symbol A i oznacza sumę A 1 A 2... i=1 Przypomnijmy: A i A j = dla wszystkich i j 13 / 33

40 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zerem: P( ) = 0 14 / 33

41 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zerem: P( ) = 0 Dowód: Bierzemy A 1 = A 2 =... =. Wtedy i=1 A i =. Z własności 3 mamy P( ) = i=1 P( ), co jest tylko możliwe gdy P( ) = / 33

42 Własności prawdopodobieństwa Fakt (skończona addytywność): ( Dla dowolnych rozłącznych zdarzeń ni=1 ) A 1,..., A n mamy P A i = n i=1 P(A i ) 15 / 33

43 Własności prawdopodobieństwa Fakt (skończona addytywność): ( Dla dowolnych rozłącznych zdarzeń ni=1 ) A 1,..., A n mamy P A i = n i=1 P(A i ) Dowód: Bierzemy nieskończony ciąg zdarzeń A 1, A 2,..., w którym A n+1 = A n+2 =... =. Wszystkie zdarzenia są rozłączne, bo A i = dla i = 1,..., n. Dodatkowo i=1 A i = n i=1 A i. Mamy więc: ( n P i=1 A i ) ( = P i=1 A i ) (3) = P(A i ) i=1 ( ) = n P(A i ), i=1 gdzie w ( ) skorzystaliśmy z P( ) = / 33

44 Własności prawdopodobieństwa Fakt: P(A ) = 1 P(A) 16 / 33

45 Własności prawdopodobieństwa Fakt: P(A ) = 1 P(A) Dowód: Ponieważ A A = Ω, oraz A i A są rozłączne: P(Ω) = P(A) + P(A ) = 1. Czyli P(A) = 1 P(A ). 16 / 33

46 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Jeśli A B to P(B \ A) = P(B) P(A). Tym samym zachodzi też P(B) P(A). A B Ω 17 / 33

47 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Jeśli A B to P(B \ A) = P(B) P(A). Tym samym zachodzi też P(B) P(A). A B Ω Dowód: Można zapisać B jako rozłączną sumę B = A (B \ A). Tym samym P(B) = P(A) + P(B \ A), z czego wynikają oba stwierdzenia. 17 / 33

48 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Dla dowolnych A i B zachodzi: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 18 / 33

49 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Dla dowolnych A i B zachodzi: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Dowód: Dzielimy zbiory A, B i A B na rozłączne części: A A = (A \ B) (A B) A \ B B = (B \ A) (A B) A B A B = (A \ B) (A B) (B \ A) B B \ A 18 / 33

50 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Dla dowolnych A i B zachodzi: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Dowód: Dzielimy zbiory A, B i A B na rozłączne części: A A = (A \ B) (A B) B = (B \ A) (A B) A B = (A \ B) (A B) (B \ A) A \ B A B Z addytywności (aksjomat 3): B B \ A P(A) = P(A \ B) + P(A B) P(B) = P(B \ A) + P(A B) P(A B) = P(A \ B) + P(A B) P(B \ A) 18 / 33

51 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Dla dowolnych A i B zachodzi: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Dowód: Dzielimy zbiory A, B i A B na rozłączne części: A A = (A \ B) (A B) B = (B \ A) (A B) A B = (A \ B) (A B) (B \ A) A \ B A B Z addytywności (aksjomat 3): B B \ A P(A) = P(A \ B) + P(A B) P(B) = P(B \ A) + P(A B) P(A B) = P(A \ B) + P(A B) P(B \ A) Podstawiając pierwsze i drugie równanie do trzeciego kończymy dowód. 18 / 33

52 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Dla dowolnych A i B zachodzi: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Wniosek: Dla dowolnych A i B mamy: P(A B) P(A) + P(B) 19 / 33

53 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Dla dowolnych A i B zachodzi: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Wniosek: Dla dowolnych A i B mamy: P(A B) P(A) + P(B) Zadanie 2 Pokaż, że dla dowolnych A 1,..., A n mamy: P(A 1... A n ) P(A 1 ) P(A n ) 19 / 33

54 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy wstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 3 A 2 A 1 A 4 20 / 33

55 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy wstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 3 A 2 A 1 Fakt (o ciągłości): Jeśli A 1, A 2,... jest wstępujący i A = n=1 A n to: P(A) = lim n P(A n) A 4 20 / 33

56 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy wstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 3 A 2 A 1 Fakt (o ciągłości): Jeśli A 1, A 2,... jest wstępujący i A = n=1 A n to: P(A) = lim n P(A n) Dowód: Definiujemy rozłączne zdarzenia: B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B 3 = A 3 \ A 2, B 4 = A 4 \ A 3,... A 4 20 / 33

57 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy wstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 3 A 2 A 1 Fakt (o ciągłości): Jeśli A 1, A 2,... jest wstępujący i A = n=1 A n to: P(A) = lim n P(A n) Dowód: Definiujemy rozłączne zdarzenia: B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B 3 = A 3 \ A 2, B 4 = A 4 \ A 3,... Można zapisać A n jako rozłączną sumę: A n = B 1 B 2... B n Podobnie, A = B 1 B 2... A 4 20 / 33

58 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy wstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 3 A 2 A 1 Fakt (o ciągłości): Jeśli A 1, A 2,... jest wstępujący i A = n=1 A n to: P(A) = lim n P(A n) Dowód: Definiujemy rozłączne zdarzenia: B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B 3 = A 3 \ A 2, B 4 = A 4 \ A 3,... Można zapisać A n jako rozłączną sumę: A n = B 1 B 2... B n Podobnie, A = B 1 B 2... P(A) (3) = P(B i ) = i=1 n lim P(B i ) n i=1 A 4 20 / 33

59 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy wstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 3 A 2 A 1 Fakt (o ciągłości): Jeśli A 1, A 2,... jest wstępujący i A = n=1 A n to: P(A) = lim n P(A n) Dowód: Definiujemy rozłączne zdarzenia: B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B 3 = A 3 \ A 2, B 4 = A 4 \ A 3,... Można zapisać A n jako rozłączną sumę: A n = B 1 B 2... B n Podobnie, A = B 1 B 2... P(A) (3) = P(B i ) = i=1 n lim P(B i ) n i=1 (3) = lim n P(B 1... B n ) = lim P(A n) n A 4 20 / 33

60 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy zstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 2 A 3... A 4 A 1 21 / 33

61 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy zstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 2 A 3... A 4 Zadanie 3 Pokaż, że jeśli A 1, A 2,... jest zstępujący i A = n=1 A n to: P(A) = lim n P(A n) A 1 21 / 33

62 Prawdopodobieństwo klasyczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa P(A) = A Ω 22 / 33

63 Prawdopodobieństwo klasyczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa Własność 1. Oczywista P(A) = A Ω 22 / 33

64 Prawdopodobieństwo klasyczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa Własność 1. Oczywista Własność 2. P(Ω) = Ω Ω = 1 P(A) = A Ω 22 / 33

65 Prawdopodobieństwo klasyczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa P(A) = A Ω Własność 1. Oczywista Własność 2. P(Ω) = Ω Ω = 1 Własność 3. Ponieważ Ω jest skończony, rozważamy tylko skończone ciągi. Jeśli A 1,..., A n rozłączne, to: A 1 A 2... A n = A 1 + A A n. Więc: ( n P i=1 A i ) = n i=1 A i Ω = n i=1 A i Ω = n P(A i ). i=1 22 / 33

66 Prawdopodobieństwo na przestrzeni przeliczalnej Niech Ω = {ω 1, ω 2,...} będzie zbiorem przeliczalnym i F = 2 Ω. Każdemu ω i przypisujemy liczbę rzeczywistą p i 0, taką, że p i = 1. i=1 Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A Ω definiujemy jako sumę liczb p i po wszystkich ω i A: P(A) = p i, i : ω i A Tym samym p i = P({ω i }) jest prawdopodobieństwem zdarzenia elementarnego ω i. Oczywiście, zachodzi to również dla skończonego zbioru Ω. 23 / 33

67 Prawdopodobieństwo na przestrzeni przeliczalnej Niech Ω = {ω 1, ω 2,...} będzie zbiorem przeliczalnym i F = 2 Ω. Każdemu ω i przypisujemy liczbę rzeczywistą p i 0, taką, że p i = 1. i=1 Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A Ω definiujemy jako sumę liczb p i po wszystkich ω i A: P(A) = p i, i : ω i A Tym samym p i = P({ω i }) jest prawdopodobieństwem zdarzenia elementarnego ω i. Oczywiście, zachodzi to również dla skończonego zbioru Ω. Zadanie 4 Pokaż, że to prawdopodobieństwo spełnia aksjomaty Kołmogorowa 23 / 33

68 Przykład: rzut dwoma kośćmi Interesuje nas wyłącznie sumaryczny wynik na obu kościach 24 / 33

69 Przykład: rzut dwoma kośćmi Interesuje nas wyłącznie sumaryczny wynik na obu kościach Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 2, ω 3,..., ω 12 }: 24 / 33

70 Przykład: rzut dwoma kośćmi Interesuje nas wyłącznie sumaryczny wynik na obu kościach Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 2, ω 3,..., ω 12 }: Prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych: ω i p i ω i p i ω i p i ω 2 1/36 ω 6 5/36 ω 10 3/36 ω 3 2/36 ω 7 6/36 ω 11 2/36 ω 4 3/36 ω 8 5/36 ω 12 1/36 ω 5 4/36 ω 9 4/36 24 / 33

71 Przykład: rzut dwoma kośćmi Interesuje nas wyłącznie sumaryczny wynik na obu kościach Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 2, ω 3,..., ω 12 }: Prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych: Prawdopodobieństwo zdarzeń: Wypadła siódemka : ω i p i ω i p i ω i p i ω 2 1/36 ω 6 5/36 ω 10 3/36 ω 3 2/36 ω 7 6/36 ω 11 2/36 ω 4 3/36 ω 8 5/36 ω 12 1/36 ω 5 4/36 ω 9 4/36 A = {ω 7 }, P(A) = 6 36 Wypadła co najmniej dziesiątka : A = {ω 10, ω 11, ω 12 }, P(A) = = / 33

72 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów 25 / 33

73 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) 25 / 33

74 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego ω i : 25 / 33

75 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego ω i : p i = 1 2 i 25 / 33

76 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego ω i : p i = 1 2 i Prawdopodobieństwo zdarzenia A więcej niż 5 rzutów : 25 / 33

77 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego ω i : p i = 1 2 i Prawdopodobieństwo zdarzenia A więcej niż 5 rzutów : A = {ω 6, ω 7,...} = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5 } P(A) = 1 5 i=1 p i = = / 33

78 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego ω i : p i = 1 2 i Prawdopodobieństwo zdarzenia A więcej niż 5 rzutów : A = {ω 6, ω 7,...} = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5 } P(A) = 1 5 i=1 p i = = 1 32 Prawdopodobieństwo zdarzenia B parzysta liczba rzutów : 25 / 33

79 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego ω i : p i = 1 2 i Prawdopodobieństwo zdarzenia A więcej niż 5 rzutów : A = {ω 6, ω 7,...} = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5 } P(A) = 1 5 i=1 p i = = 1 32 Prawdopodobieństwo zdarzenia B parzysta liczba rzutów : B = {ω 2, ω 4, ω 6,...} 1 P(B) = p 2i = 4 i = i=1 i=1 = / 33

80 Prawdopodobieństwo geometryczne Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω R n (R 1 prosta, R 2 płaszczyzna, R 3 przestrzeń 3D, itp.) Rodzina zdarzeń F σ-algebra zbiorów borelowskich na R n. Prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = A Ω, gdzie przez A oznaczamy długość (n = 1), pole powierzchni (n = 2), objętość (n = 3), itp. 26 / 33

81 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Wybieramy losowo punkt z odcinka [ 1, 1]. Jaka jest szansa, że punkt znajdzie się w przedziale [0.1, 0.5]? / 33

82 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Wybieramy losowo punkt z odcinka [ 1, 1]. Jaka jest szansa, że punkt znajdzie się w przedziale [0.1, 0.5]? Odpowiedź: Ω = [ 1, 1], A = [0.1, 0.5] P(A) = A Ω = = / 33

83 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Wybieramy losowo punkt z odcinka [ 1, 1]. Jaka jest szansa, że punkt znajdzie się w przedziale [0.1, 0.5]? Odpowiedź: Ω = [ 1, 1], A = [0.1, 0.5] P(A) = A Ω = = 0.2 Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafimy w punkt zero? A = {0}, P(A) = 0 2 = 0 27 / 33

84 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Jaś i Małgosia umówili na randkę. Pierwsza z osób, która przyjdzie czeka na drugą tylko 20 minut. Jaka jest szansa, że się spotkają, zakładając, że przybędą na spotkanie w losowym czasie między 10:00 a 11:00? 28 / 33

85 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Jaś i Małgosia umówili na randkę. Pierwsza z osób, która przyjdzie czeka na drugą tylko 20 minut. Jaka jest szansa, że się spotkają, zakładając, że przybędą na spotkanie w losowym czasie między 10:00 a 11:00? 60 Małgosia Oznaczmy przez x, y [0, 60] czas przybycia (w min) na spotkanie Jasia i Małgosi licząc od 10:00. Ω = [0, 60] [0, 60] 0 0 Jaś / 33

86 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Jaś i Małgosia umówili na randkę. Pierwsza z osób, która przyjdzie czeka na drugą tylko 20 minut. Jaka jest szansa, że się spotkają, zakładając, że przybędą na spotkanie w losowym czasie między 10:00 a 11:00? 60 Małgosia Jaś 60 Oznaczmy przez x, y [0, 60] czas przybycia (w min) na spotkanie Jasia i Małgosi licząc od 10:00. Ω = [0, 60] [0, 60] A = {(x, y) Ω: x y 20} (kolorowy obszar) 28 / 33

87 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Jaś i Małgosia umówili na randkę. Pierwsza z osób, która przyjdzie czeka na drugą tylko 20 minut. Jaka jest szansa, że się spotkają, zakładając, że przybędą na spotkanie w losowym czasie między 10:00 a 11:00? 60 Małgosia Jaś 60 Oznaczmy przez x, y [0, 60] czas przybycia (w min) na spotkanie Jasia i Małgosi licząc od 10:00. Ω = [0, 60] [0, 60] P(A) = 1 P(A ) = 1 A Ω A = {(x, y) Ω: x y 20} (kolorowy obszar) = = / 33

88 Prawdopodobieństwo geometryczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa P(A) = A Ω 29 / 33

89 Prawdopodobieństwo geometryczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa Własność 1. Oczywista P(A) = A Ω 29 / 33

90 Prawdopodobieństwo geometryczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa Własność 1. Oczywista Własność 2. P(Ω) = Ω Ω = 1 P(A) = A Ω 29 / 33

91 Prawdopodobieństwo geometryczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa P(A) = A Ω Własność 1. Oczywista Własność 2. P(Ω) = Ω Ω = 1 Własność 3. Jeśli A 1, A 2,... rozłączne, to: A 1 A 2... = A 1 + A (długości/pola/objętości rozłącznych podzbiorów sumują się) Więc: ( P i=1 A i ) = i=1 A i Ω = i=1 A i Ω = P(A i ). i=1 29 / 33

92 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? 30 / 33

93 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? a l x d α Zdarzenie elementarne to para (x, α): x odległość środka igły od najbliższej krawędzi, x [0, a/2] α kąt (ostry) igły z krawędzią, α [0, π 2 ] 30 / 33

94 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? a l x d α Zdarzenie elementarne to para (x, α): x odległość środka igły od najbliższej krawędzi, x [0, a/2] α kąt (ostry) igły z krawędzią, α [0, π 2 ] Ω = [0, a/2] [0, π 2 ], Ω = aπ 4 30 / 33

95 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? a l α Zdarzenie elementarne to para (x, α): x odległość środka igły od najbliższej krawędzi, x [0, a/2] α kąt (ostry) igły z krawędzią, x α [0, π 2 ] d Ω = [0, a/2] [0, π 2 ], Ω = aπ 4 Igła przetnie krawędź, jeśli x d = l 2 sin α (zdarzenie A) 30 / 33

96 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? a l α Zdarzenie elementarne to para (x, α): x odległość środka igły od najbliższej krawędzi, x [0, a/2] α kąt (ostry) igły z krawędzią, x α [0, π 2 ] d Ω = [0, a/2] [0, π 2 ], Ω = aπ 4 Igła przetnie krawędź, jeśli x d = l 2 sin α (zdarzenie A) a 2 l 2 x A 0 π 0 α 2 30 / 33

97 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? a l α Zdarzenie elementarne to para (x, α): x odległość środka igły od najbliższej krawędzi, x [0, a/2] α kąt (ostry) igły z krawędzią, x α [0, π 2 ] d Ω = [0, a/2] [0, π 2 ], Ω = aπ 4 Igła przetnie krawędź, jeśli x d = l 2 sin α (zdarzenie A) a 2 l 2 x A P(A) = A Ω = 4 l π/2 sin α dα aπ 2 0 }{{} =1 = 2l aπ 0 π 0 α 2 30 / 33

98 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? a l α Zdarzenie elementarne to para (x, α): x odległość środka igły od najbliższej krawędzi, x [0, a/2] α kąt (ostry) igły z krawędzią, x α [0, π 2 ] d Ω = [0, a/2] [0, π 2 ], Ω = aπ 4 Igła przetnie krawędź, jeśli x d = l 2 sin α (zdarzenie A) a 2 l 2 x 0 A π 0 α 2 P(A) = A Ω = 4 l π/2 sin α dα aπ 2 0 }{{} =1 Jeśli l = a 2, P(A) = 1 π. Może posłużyć do eksperymentalnego wyznaczenia liczby π! = 2l aπ 30 / 33

99 Prawdopodobieństwo geometryczne: paradoks Bertranda Na okręgu o promieniu 1 wybrano losowo cięciwę. Jaka jest szansa, że będzie ona dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg? 31 / 33

100 Prawdopodobieństwo geometryczne: paradoks Bertranda Na okręgu o promieniu 1 wybrano losowo cięciwę. Jaka jest szansa, że będzie ona dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg? A zdarzenie cięciwa jest dłuższa od boku trójkąta Cięciwy z A oznaczona na czerwono, spoza A na niebiesko X Rozważmy cięciwy rozpoczynające się w X. Zdarzenia elementarne: drugi koniec cięciwy określa kąt na okręgu w [0, 2π]. Ω = [0, 2π) Cięciwy z A odpowiadają pogrubionemu łukowi: A = ( 2 3 π, 4 3 π) 2 3 P(A) = π 2π = 1 3 To prawdopodobieństwo nie zależy od wyboru punktu X. 31 / 33

101 Prawdopodobieństwo geometryczne: paradoks Bertranda Na okręgu o promieniu 1 wybrano losowo cięciwę. Jaka jest szansa, że będzie ona dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg? A zdarzenie cięciwa jest dłuższa od boku trójkąta Cięciwy z A oznaczona na czerwono, spoza A na niebiesko O X 1/2 Rozważmy cięciwy przecinające promień OX pod kątem prostym. Zdarzenia elementarne: położenie cięciwy określa odległość od środka w [0, 1]. Ω = [0, 1] Cięciwy z A odpowiadają pogrubionemu odcinkowi: A = [0, 1 2 ] 1 2 P(A) = 1 = 1 2 To prawdopodobieństwo nie zależy od wyboru promienia OX. 31 / 33

102 Prawdopodobieństwo geometryczne: paradoks Bertranda Na okręgu o promieniu 1 wybrano losowo cięciwę. Jaka jest szansa, że będzie ona dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg? A zdarzenie cięciwa jest dłuższa od boku trójkąta Cięciwy z A oznaczona na czerwono, spoza A na niebiesko O Każda cięciwa jest jednoznacznie zdefiniowana przez położenie jej środka. Zdarzenia elementarne: punkty wewnątrz koła. Ω = K(O, 1) (koło o środku O i promieniu 1) Cięciwy z A to punkty w szarym kole: A = K(O, 1 2 ) P(A) = 1 4 π π = / 33

103 Prawdopodobieństwo geometryczne: paradoks Bertranda Na okręgu o promieniu 1 wybrano losowo cięciwę. Jaka jest szansa, że będzie ona dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg? Skąd ten paradoks? W każdym przypadku użyliśmy innego modelu probabilistycznego dotyczącego innego doświadczenia losowego: 1. Ω = [0, 2π) (kąt) 2. Ω = [0, 1] (odległość) 3. Ω = K(O, 1) (punkt) 31 / 33

104 Interpretacja prawdopodobieństwa Aksjomaty Kołmogorowa określają własności jakie spełnia miara prawdopodobieństwa, ale nic nie mówią skąd tą miarę wziąć? Jaka jest interpretacja wartości prawdopodobieństwa? 32 / 33

105 Interpretacja prawdopodobieństwa Aksjomaty Kołmogorowa określają własności jakie spełnia miara prawdopodobieństwa, ale nic nie mówią skąd tą miarę wziąć? Jaka jest interpretacja wartości prawdopodobieństwa? Klasyczna (Laplace a): wszystkie zdarzenia równo prawdopodobne Częstościowa: prawdopodobieństwo jako granica częstości Subiektywna: prawdopodobieństwa jako miara przekonań 32 / 33

106 Interpretacja częstościowa Dotyczy powtarzalnych doświadczeń losowych. Powtórzmy N razy doświadczenie losowe. Dla dowolnego zdarzenia A, niech N A oznacza liczbę doświadczeń w których A zaszło. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest graniczną wartością częstości: P(A) = N A lim N N. częstość orłów liczba rzutów monetą 33 / 33

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń

Bardziej szczegółowo

Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń

Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna 1 Plan:

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski

WYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Wprowadzenie Gry hazardowe Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne

Bardziej szczegółowo

METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA

METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Andrzej Marciniak METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne

Bardziej szczegółowo

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn

Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo geometryczne

Prawdopodobieństwo geometryczne Prawdopodobieństwo geometryczne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Uniwersyteckie Koło Matematyczne 23 kwietnia 2009 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018 Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1 Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:

Bardziej szczegółowo

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak

Bardziej szczegółowo

Statystyka Astronomiczna

Statystyka Astronomiczna Statystyka Astronomiczna czyli zastosowania statystyki w astronomii historycznie astronomowie mieli wkład w rozwój dyscypliny Rachunek prawdopodobieństwa - gałąź matematyki Statystyka - metoda oceny właściwości

Bardziej szczegółowo

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X. 1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X

Bardziej szczegółowo

= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski

= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski Lucjan Kowalski ZADANIA, PROBLEMY I PARADOKSY W PROBABILISTYCE Przypomnienie. Ω - zbiór zdarzeń elementarnych. A zdarzenie (podzbiór Ω). A - liczba elementów zbioru A Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie

Bardziej szczegółowo

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8..208 / 42 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo geometryczne

Prawdopodobieństwo geometryczne Prawdopodobieństwo geometryczne Krzysztof Jasiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń V Lieceum Ogólnokształące im. Jana Pawała II w Toruniu 13.03.2014 Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Definicje prawdopodobieństwa. Częstościowa definicja prawdopodobieństwa. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład

Spis treści. Definicje prawdopodobieństwa. Częstościowa definicja prawdopodobieństwa. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Definicje prawdopodobieństwa 1.1 Częstościowa definicja prawdopodobieństwa 1.1.1 Przykład 1.1.2 Rozwiązanie: 1.1.3 Inne rozwiązanie: 1.1.4 Jeszcze inne

Bardziej szczegółowo

02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w

02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w 02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/

Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/ Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry

Bardziej szczegółowo

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie

Bardziej szczegółowo

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki

WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Rachunek Prawdopodobieństwa Brian Wynne podał następującą typologię zagrożeń znanych i niewiadomych: 1. ryzyko to wiadome nam przyszłe zagrożenia,

Bardziej szczegółowo

Zadania do Rozdziału X

Zadania do Rozdziału X Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,

Bardziej szczegółowo

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.); 03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.0. Wstęp Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wstęp Dlaczego prawdopodobieństwo klasyczne nie wystarcza? Jak opisać grę w ruletkę,

Bardziej szczegółowo

MNRP r. 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Grzegorz Kowalczyk

MNRP r. 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Grzegorz Kowalczyk MNRP 18.03.2019r. Grzegorz Kowalczyk 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Definicja (σ - ciało) Niech Ω - dowolny zbiór. Rodzinę F P (Ω), gdzie P (Ω) jest rodziną wszystkich podzbiorów

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno. Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie

Bardziej szczegółowo

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5 Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Przestrzeń probabilistyczna

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Przestrzeń probabilistyczna 9 października 2018 Zasady zaliczenia przedmiotu: Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. Zdanie egzaminu ustnego z treści wykładu. Literatura J. Jakubowski i R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa.

Bardziej szczegółowo

Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016

Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Zadanie 1 la każdej dodatniej liczby a iloraz jest równy.. C.. Korzystamy ze wzoru Zadanie 2 Liczba jest równa.. 2 C.. 3 Zadanie 3 Liczby a i c są dodatnie. Liczba

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki

Bardziej szczegółowo

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.); 03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:

Bardziej szczegółowo

2. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.

2. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów. Literatura:. Jerzy Greń, Statystyka matematyczna. Modele i zadania.. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.. J. Koronacki, J. Mielniczuk, Statystyka dla

Bardziej szczegółowo

Planimetria 1 12 godz.

Planimetria 1 12 godz. Planimetria godz. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º Trygonometria zastosowania Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Planimetria 1 12 godz.

Planimetria 1 12 godz. Planimetria 1 1 godz. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 1 definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º Trygonometria zastosowania Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω) ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające

Bardziej szczegółowo

Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)

Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) 1 Przestrzeń probabilistyczna Zadanie 1 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Opisać przestrzeń zdarzeń

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Kurs w skrócie

Wstęp. Kurs w skrócie Mariola Zalewska Zakład Metod Matematycznych i Statystycznych Zarządzania Wydział Zarządzania Uniwersystet Warszawski I rok DSM Rachunek Prawdopodobieństwa Wstęp Kombinatoryka Niezależność zdarzeń, Twierdzenie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 49988 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT) Odległość punktu A =

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2

Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna

Bardziej szczegółowo

dr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1

dr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1 Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia czwarte Schematy rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 29 października 20 Spis

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 26 lutego 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 26 lutego 2018 1 / 16 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) zaliczenie wykładu

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która

Bardziej szczegółowo

Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń

Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 11 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Dla każdej dodatniej

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 25 lutego 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 1 / 18 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ VIII

ARKUSZ VIII www.galileusz.com.pl ARKUSZ VIII W każdym z zadań 1.-24. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1 pkt) Iloczyn liczb 2+ 3 i odwrotności liczby 2 3 jest równy A) 2 3 B) 1 C) 2 3 D) 2+

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 8 KWIETNIA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Dla każdej dodatniej

Bardziej szczegółowo

str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk

str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 3e: wpisy oznaczone jako: (T) TRYGONOMETRIA, (PII) PLANIMETRIA II, (RP) RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, (ST)

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Wykład

Rachunek prawdopodobieństwa Wykład Rachunek prawdopodobieństwa Wykład 5.03.2014 Margareta Wiciak Instytut Matematyki WFMIS Politechnika Krakowska Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Andriej Nikołajewicz Kołmogorow rosyjski matematyk,

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x), Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga

Bardziej szczegółowo

W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla oraz kalkulatora.

W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla oraz kalkulatora. Egzamin maturalny od roku szkolnego 2014/2015 Matematyka Poziom rozszerzony Przykładowy zestaw zadań dla osób słabowidzących (A4) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008 STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW

PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW Rachunek prawdopodobieństwa (probabilitis - prawdopodobny) zajmuje się badaniami pewnych prawidłowości (regularności) zachodzących przy wykonywaniu doświadczeń

Bardziej szczegółowo

Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe,

Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe, Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Semestr letni

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45

Bardziej szczegółowo

Zdarzenie losowe (zdarzenie)

Zdarzenie losowe (zdarzenie) Zdarzenie losowe (zdarzenie) Ćw. 1. Ze zbioru cyfr (l, 2,3,..., 9} losowo wybieramy jedną. a) Wypisz zdarzenia elementarne, sprzyjające: zdarzeniu A, że wybrano liczbę parzystą zdarzeniu B, że wybrano

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB Z AUTYZMEM, W TYM Z ZESPOŁEM ASPERGERA (A) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

Wkażdym doświadczeniu losowym można wyróżnić

Wkażdym doświadczeniu losowym można wyróżnić geometryczne Przestrzeń zdarzeń elementarnych Algebra zdarzeń Zdarzenia probabilizowalne Wkażdym doświadczeniu losowym można wyróżnić pewne najprostsze, elementarne wyniki(zdarzenia), charakteryzujące

Bardziej szczegółowo