Metody probabilistyczne

Transkrypt

1 Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP / 33

2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω Zdarzenia A Ω to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = A Ω 2 / 33

3 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω Zdarzenia A Ω to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = A Ω Ograniczenia definicji klasycznej: Każde zdarzenie elementarne ma to samo prawdopodobieństwo 1 Ω Rzut nieuczciwą monetą lub kostką Niejednoznaczność przestrzeni zdarzeń (np. rzut 2 kośćmi) 2 / 33

4 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω Zdarzenia A Ω to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = A Ω Ograniczenia definicji klasycznej: Każde zdarzenie elementarne ma to samo prawdopodobieństwo 1 Ω Rzut nieuczciwą monetą lub kostką Niejednoznaczność przestrzeni zdarzeń (np. rzut 2 kośćmi) Aby definicja miała sens, Ω musi być zbiorem skończonym Rzucanie monetą aż do pojawienia się orła Czas życia dysku twardego 2 / 33

5 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω Zdarzenia A Ω to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = A Ω Ograniczenia definicji klasycznej: Każde zdarzenie elementarne ma to samo prawdopodobieństwo 1 Ω Rzut nieuczciwą monetą lub kostką Niejednoznaczność przestrzeni zdarzeń (np. rzut 2 kośćmi) Aby definicja miała sens, Ω musi być zbiorem skończonym Rzucanie monetą aż do pojawienia się orła Czas życia dysku twardego Potrzebna ogólniejsza definicja prawdopodobieństwa 2 / 33

6 Przestrzeń probabilistyczna ( Ω, F, P ) przestrzeń zdarzeń elementarnych σ-ciało zdarzeń miara prawdopodobieństwa 3 / 33

7 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny 4 / 33

8 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: 4 / 33

9 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 4 / 33

10 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Liczba rzutów monetą do pojawienia się orła: 4 / 33

11 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Liczba rzutów monetą do pojawienia się orła: Ω = {1, 2, 3,...} 4 / 33

12 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Liczba rzutów monetą do pojawienia się orła: Ω = {1, 2, 3,...} Wartość napięcia w sieci: 4 / 33

13 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Liczba rzutów monetą do pojawienia się orła: Ω = {1, 2, 3,...} Wartość napięcia w sieci: Ω = R 4 / 33

14 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Liczba rzutów monetą do pojawienia się orła: Ω = {1, 2, 3,...} Wartość napięcia w sieci: Ω = R Czas życia dysku twardego: 4 / 33

15 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Liczba rzutów monetą do pojawienia się orła: Ω = {1, 2, 3,...} Wartość napięcia w sieci: Ω = R Czas życia dysku twardego: Ω = [0, ) 4 / 33

16 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω 5 / 33

17 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A 5 / 33

18 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A Mówimy, że zaszło zdarzenie A, jeśli wynik doświadczenia ω A 5 / 33

19 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A Mówimy, że zaszło zdarzenie A, jeśli wynik doświadczenia ω A Zdarzenie A = Ω nazywamy zdarzeniem pewnym 5 / 33

20 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A Mówimy, że zaszło zdarzenie A, jeśli wynik doświadczenia ω A Zdarzenie A = Ω nazywamy zdarzeniem pewnym Zdarzenie A = nazywamy zdarzeniem niemożliwym 5 / 33

21 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A Mówimy, że zaszło zdarzenie A, jeśli wynik doświadczenia ω A Zdarzenie A = Ω nazywamy zdarzeniem pewnym Zdarzenie A = nazywamy zdarzeniem niemożliwym Zdarzenie przeciwne do A to A 5 / 33

22 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A Mówimy, że zaszło zdarzenie A, jeśli wynik doświadczenia ω A Zdarzenie A = Ω nazywamy zdarzeniem pewnym Zdarzenie A = nazywamy zdarzeniem niemożliwym Zdarzenie przeciwne do A to A Zdarzenia A i B są rozłączne (wykluczające się) jeśli A B = 5 / 33

23 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A Mówimy, że zaszło zdarzenie A, jeśli wynik doświadczenia ω A Zdarzenie A = Ω nazywamy zdarzeniem pewnym Zdarzenie A = nazywamy zdarzeniem niemożliwym Zdarzenie przeciwne do A to A Zdarzenia A i B są rozłączne (wykluczające się) jeśli A B = Ogólniej: zdarzenia A 1, A 2,... są parami rozłączne jeśli A i A j = dla wszystkich i j 5 / 33

24 Rodzina zdarzeń Rodziną zdarzeń F nazywamy interesującą nas rodzinę podzbiorów Ω Czyli F 2 Ω (2 Ω to zbiór potęgowy, tj. zbiór wszystkich podzbiorów Ω) 6 / 33

25 Rodzina zdarzeń Rodziną zdarzeń F nazywamy interesującą nas rodzinę podzbiorów Ω Czyli F 2 Ω (2 Ω to zbiór potęgowy, tj. zbiór wszystkich podzbiorów Ω) Jakie własności powinna co najmniej spełniać rodzina zdarzeń F? 6 / 33

26 Rodzina zdarzeń Rodziną zdarzeń F nazywamy interesującą nas rodzinę podzbiorów Ω Czyli F 2 Ω (2 Ω to zbiór potęgowy, tj. zbiór wszystkich podzbiorów Ω) Jakie własności powinna co najmniej spełniać rodzina zdarzeń F? 1. Zdarzenie pewne Ω powinno należeć do F 6 / 33

27 Rodzina zdarzeń Rodziną zdarzeń F nazywamy interesującą nas rodzinę podzbiorów Ω Czyli F 2 Ω (2 Ω to zbiór potęgowy, tj. zbiór wszystkich podzbiorów Ω) Jakie własności powinna co najmniej spełniać rodzina zdarzeń F? 1. Zdarzenie pewne Ω powinno należeć do F 2. Jeśli A należy do F to również należy zdarzenie nie zaszło A 6 / 33

28 Rodzina zdarzeń Rodziną zdarzeń F nazywamy interesującą nas rodzinę podzbiorów Ω Czyli F 2 Ω (2 Ω to zbiór potęgowy, tj. zbiór wszystkich podzbiorów Ω) Jakie własności powinna co najmniej spełniać rodzina zdarzeń F? 1. Zdarzenie pewne Ω powinno należeć do F 2. Jeśli A należy do F to również należy zdarzenie nie zaszło A 3. Jeśli A i B należą do F to również należy zdarzenie zaszło A lub B 6 / 33

29 σ-ciało zbiorów Rodzinę podzbiorów F 2 Ω nazywamy σ-ciałem (σ-algebrą), gdy: 1. Ω F 2. Jeśli A F to A F 3. Jeśli A 1, A 2,... F to A 1 A 2... F Uwaga: własność 3 zachodzi dla dowolnych przeliczalnych sum zdarzeń. 7 / 33

30 Własności σ-ciała zdarzeń Fakt: Zdarzenie puste należy do F: F 8 / 33

31 Własności σ-ciała zdarzeń Fakt: Zdarzenie puste należy do F: F Dowód: Ponieważ Ω F, a Ω =, to z własności 2 mamy F. 8 / 33

32 Własności σ-ciała zdarzeń Fakt: Jeśli A, B F to również: A B F 9 / 33

33 Własności σ-ciała zdarzeń Fakt: Jeśli A, B F to również: A B F Dowód: (a) Z własności 2 zachodzi: A F oraz B F (b) Z własności 3 zachodzi: C = A B F (c) Z własności 2 zachodzi: C F (d) Ale z prawa De Morgana wynika, że C = A B Ω Ω Ω Ω A B A B A B A B A B C = A B C = A B Prawo de Morgana: (E F ) = E F 9 / 33

34 Własności σ-ciała zdarzeń Zadanie 1 Udowodnij, że jeśli A, B F to również A \ B F Wniosek: σ-ciało jest zamknięte ze względu na wszystkie operacje na zbiorach typu: suma, iloczyn, różnica, dopełnienie, itp. 10 / 33

35 Przykłady σ-ciał: zbiór potęgowy Jeśli Ω jest przeliczalny, możemy wziąć F = 2 Ω, tzn. wszystkie podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych są zdarzeniami 11 / 33

36 Przykłady σ-ciał: zbiory borelowskie Jeśli Ω = R (nieprzeliczalny), nie możemy przyjąć F = 2 Ω, gdyż nie da się na nim określić miary prawdopodobieństwa (zbiory niemierzalne). 12 / 33

37 Przykłady σ-ciał: zbiory borelowskie Jeśli Ω = R (nieprzeliczalny), nie możemy przyjąć F = 2 Ω, gdyż nie da się na nim określić miary prawdopodobieństwa (zbiory niemierzalne). Zakładamy, że F musi zawierać zdarzenia przynajmniej postaci: wynik był mniejszy od a, wynik był pomiędzy a i b (a, b R), itp. Czyli F zawiera wszystkie możliwe przedziały otwarte i zamknięte, skończone lub nie, np. [a, b), (a, b), (, a], (b, ), itp. 12 / 33

38 Przykłady σ-ciał: zbiory borelowskie Jeśli Ω = R (nieprzeliczalny), nie możemy przyjąć F = 2 Ω, gdyż nie da się na nim określić miary prawdopodobieństwa (zbiory niemierzalne). Zakładamy, że F musi zawierać zdarzenia przynajmniej postaci: wynik był mniejszy od a, wynik był pomiędzy a i b (a, b R), itp. Czyli F zawiera wszystkie możliwe przedziały otwarte i zamknięte, skończone lub nie, np. [a, b), (a, b), (, a], (b, ), itp. Z własności σ-ciała, F zawiera również przeliczalne sumy i iloczyny przedziałów (w tym pojedyncze punkty). Taką rodzinę zdarzeń nazywa się σ-ciałem zbiorów borelowskich. Rodzina ta zawiera wszystkie praktyczne podzbiory R (a nawet tak dziwne zbiory jak zbiór Cantora czy zbiór liczby wymiernych). Biorąc iloczyny kartezjańskie podzbiorów, można tę rodzinę uogólnić na przestrzeń R 2 (płaszczyznę), R 3 (przestrzeń 3D), itp. 12 / 33

39 Aksjomaty Kołmogorowa (1933): Miara prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwem nazywamy dowolną funkcję P o wartościach rzeczywistych zdefiniowanej na σ-ciale zdarzeń F 2 Ω, spełniającą warunki: 1. Nieujemność: P(A) 0 dla każdego A F 2. Normalizacja: P(Ω) = 1 3. Addytywność: Dla dowolnego ciągu parami rozłącznych zdarzeń A 1, A 2,... F: ( P i=1 A i ) = P(A i ) i=1 Andriej Kołmogorow ( ) Uwaga: symbol A i oznacza sumę A 1 A 2... i=1 Przypomnijmy: A i A j = dla wszystkich i j 13 / 33

40 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zerem: P( ) = 0 14 / 33

41 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zerem: P( ) = 0 Dowód: Bierzemy A 1 = A 2 =... =. Wtedy i=1 A i =. Z własności 3 mamy P( ) = i=1 P( ), co jest tylko możliwe gdy P( ) = / 33

42 Własności prawdopodobieństwa Fakt (skończona addytywność): ( Dla dowolnych rozłącznych zdarzeń ni=1 ) A 1,..., A n mamy P A i = n i=1 P(A i ) 15 / 33

43 Własności prawdopodobieństwa Fakt (skończona addytywność): ( Dla dowolnych rozłącznych zdarzeń ni=1 ) A 1,..., A n mamy P A i = n i=1 P(A i ) Dowód: Bierzemy nieskończony ciąg zdarzeń A 1, A 2,..., w którym A n+1 = A n+2 =... =. Wszystkie zdarzenia są rozłączne, bo A i = dla i = 1,..., n. Dodatkowo i=1 A i = n i=1 A i. Mamy więc: ( n P i=1 A i ) ( = P i=1 A i ) (3) = P(A i ) i=1 ( ) = n P(A i ), i=1 gdzie w ( ) skorzystaliśmy z P( ) = / 33

44 Własności prawdopodobieństwa Fakt: P(A ) = 1 P(A) 16 / 33

45 Własności prawdopodobieństwa Fakt: P(A ) = 1 P(A) Dowód: Ponieważ A A = Ω, oraz A i A są rozłączne: P(Ω) = P(A) + P(A ) = 1. Czyli P(A) = 1 P(A ). 16 / 33

46 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Jeśli A B to P(B \ A) = P(B) P(A). Tym samym zachodzi też P(B) P(A). A B Ω 17 / 33

47 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Jeśli A B to P(B \ A) = P(B) P(A). Tym samym zachodzi też P(B) P(A). A B Ω Dowód: Można zapisać B jako rozłączną sumę B = A (B \ A). Tym samym P(B) = P(A) + P(B \ A), z czego wynikają oba stwierdzenia. 17 / 33

48 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Dla dowolnych A i B zachodzi: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 18 / 33

49 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Dla dowolnych A i B zachodzi: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Dowód: Dzielimy zbiory A, B i A B na rozłączne części: A A = (A \ B) (A B) A \ B B = (B \ A) (A B) A B A B = (A \ B) (A B) (B \ A) B B \ A 18 / 33

50 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Dla dowolnych A i B zachodzi: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Dowód: Dzielimy zbiory A, B i A B na rozłączne części: A A = (A \ B) (A B) B = (B \ A) (A B) A B = (A \ B) (A B) (B \ A) A \ B A B Z addytywności (aksjomat 3): B B \ A P(A) = P(A \ B) + P(A B) P(B) = P(B \ A) + P(A B) P(A B) = P(A \ B) + P(A B) P(B \ A) 18 / 33

51 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Dla dowolnych A i B zachodzi: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Dowód: Dzielimy zbiory A, B i A B na rozłączne części: A A = (A \ B) (A B) B = (B \ A) (A B) A B = (A \ B) (A B) (B \ A) A \ B A B Z addytywności (aksjomat 3): B B \ A P(A) = P(A \ B) + P(A B) P(B) = P(B \ A) + P(A B) P(A B) = P(A \ B) + P(A B) P(B \ A) Podstawiając pierwsze i drugie równanie do trzeciego kończymy dowód. 18 / 33

52 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Dla dowolnych A i B zachodzi: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Wniosek: Dla dowolnych A i B mamy: P(A B) P(A) + P(B) 19 / 33

53 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Dla dowolnych A i B zachodzi: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Wniosek: Dla dowolnych A i B mamy: P(A B) P(A) + P(B) Zadanie 2 Pokaż, że dla dowolnych A 1,..., A n mamy: P(A 1... A n ) P(A 1 ) P(A n ) 19 / 33

54 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy wstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 3 A 2 A 1 A 4 20 / 33

55 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy wstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 3 A 2 A 1 Fakt (o ciągłości): Jeśli A 1, A 2,... jest wstępujący i A = n=1 A n to: P(A) = lim n P(A n) A 4 20 / 33

56 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy wstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 3 A 2 A 1 Fakt (o ciągłości): Jeśli A 1, A 2,... jest wstępujący i A = n=1 A n to: P(A) = lim n P(A n) Dowód: Definiujemy rozłączne zdarzenia: B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B 3 = A 3 \ A 2, B 4 = A 4 \ A 3,... A 4 20 / 33

57 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy wstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 3 A 2 A 1 Fakt (o ciągłości): Jeśli A 1, A 2,... jest wstępujący i A = n=1 A n to: P(A) = lim n P(A n) Dowód: Definiujemy rozłączne zdarzenia: B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B 3 = A 3 \ A 2, B 4 = A 4 \ A 3,... Można zapisać A n jako rozłączną sumę: A n = B 1 B 2... B n Podobnie, A = B 1 B 2... A 4 20 / 33

58 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy wstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 3 A 2 A 1 Fakt (o ciągłości): Jeśli A 1, A 2,... jest wstępujący i A = n=1 A n to: P(A) = lim n P(A n) Dowód: Definiujemy rozłączne zdarzenia: B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B 3 = A 3 \ A 2, B 4 = A 4 \ A 3,... Można zapisać A n jako rozłączną sumę: A n = B 1 B 2... B n Podobnie, A = B 1 B 2... P(A) (3) = P(B i ) = i=1 n lim P(B i ) n i=1 A 4 20 / 33

59 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy wstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 3 A 2 A 1 Fakt (o ciągłości): Jeśli A 1, A 2,... jest wstępujący i A = n=1 A n to: P(A) = lim n P(A n) Dowód: Definiujemy rozłączne zdarzenia: B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B 3 = A 3 \ A 2, B 4 = A 4 \ A 3,... Można zapisać A n jako rozłączną sumę: A n = B 1 B 2... B n Podobnie, A = B 1 B 2... P(A) (3) = P(B i ) = i=1 n lim P(B i ) n i=1 (3) = lim n P(B 1... B n ) = lim P(A n) n A 4 20 / 33

60 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy zstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 2 A 3... A 4 A 1 21 / 33

61 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy zstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 2 A 3... A 4 Zadanie 3 Pokaż, że jeśli A 1, A 2,... jest zstępujący i A = n=1 A n to: P(A) = lim n P(A n) A 1 21 / 33

62 Prawdopodobieństwo klasyczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa P(A) = A Ω 22 / 33

63 Prawdopodobieństwo klasyczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa Własność 1. Oczywista P(A) = A Ω 22 / 33

64 Prawdopodobieństwo klasyczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa Własność 1. Oczywista Własność 2. P(Ω) = Ω Ω = 1 P(A) = A Ω 22 / 33

65 Prawdopodobieństwo klasyczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa P(A) = A Ω Własność 1. Oczywista Własność 2. P(Ω) = Ω Ω = 1 Własność 3. Ponieważ Ω jest skończony, rozważamy tylko skończone ciągi. Jeśli A 1,..., A n rozłączne, to: A 1 A 2... A n = A 1 + A A n. Więc: ( n P i=1 A i ) = n i=1 A i Ω = n i=1 A i Ω = n P(A i ). i=1 22 / 33

66 Prawdopodobieństwo na przestrzeni przeliczalnej Niech Ω = {ω 1, ω 2,...} będzie zbiorem przeliczalnym i F = 2 Ω. Każdemu ω i przypisujemy liczbę rzeczywistą p i 0, taką, że p i = 1. i=1 Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A Ω definiujemy jako sumę liczb p i po wszystkich ω i A: P(A) = p i, i : ω i A Tym samym p i = P({ω i }) jest prawdopodobieństwem zdarzenia elementarnego ω i. Oczywiście, zachodzi to również dla skończonego zbioru Ω. 23 / 33

67 Prawdopodobieństwo na przestrzeni przeliczalnej Niech Ω = {ω 1, ω 2,...} będzie zbiorem przeliczalnym i F = 2 Ω. Każdemu ω i przypisujemy liczbę rzeczywistą p i 0, taką, że p i = 1. i=1 Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A Ω definiujemy jako sumę liczb p i po wszystkich ω i A: P(A) = p i, i : ω i A Tym samym p i = P({ω i }) jest prawdopodobieństwem zdarzenia elementarnego ω i. Oczywiście, zachodzi to również dla skończonego zbioru Ω. Zadanie 4 Pokaż, że to prawdopodobieństwo spełnia aksjomaty Kołmogorowa 23 / 33

68 Przykład: rzut dwoma kośćmi Interesuje nas wyłącznie sumaryczny wynik na obu kościach 24 / 33

69 Przykład: rzut dwoma kośćmi Interesuje nas wyłącznie sumaryczny wynik na obu kościach Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 2, ω 3,..., ω 12 }: 24 / 33

70 Przykład: rzut dwoma kośćmi Interesuje nas wyłącznie sumaryczny wynik na obu kościach Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 2, ω 3,..., ω 12 }: Prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych: ω i p i ω i p i ω i p i ω 2 1/36 ω 6 5/36 ω 10 3/36 ω 3 2/36 ω 7 6/36 ω 11 2/36 ω 4 3/36 ω 8 5/36 ω 12 1/36 ω 5 4/36 ω 9 4/36 24 / 33

71 Przykład: rzut dwoma kośćmi Interesuje nas wyłącznie sumaryczny wynik na obu kościach Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 2, ω 3,..., ω 12 }: Prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych: Prawdopodobieństwo zdarzeń: Wypadła siódemka : ω i p i ω i p i ω i p i ω 2 1/36 ω 6 5/36 ω 10 3/36 ω 3 2/36 ω 7 6/36 ω 11 2/36 ω 4 3/36 ω 8 5/36 ω 12 1/36 ω 5 4/36 ω 9 4/36 A = {ω 7 }, P(A) = 6 36 Wypadła co najmniej dziesiątka : A = {ω 10, ω 11, ω 12 }, P(A) = = / 33

72 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów 25 / 33

73 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) 25 / 33

74 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego ω i : 25 / 33

75 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego ω i : p i = 1 2 i 25 / 33

76 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego ω i : p i = 1 2 i Prawdopodobieństwo zdarzenia A więcej niż 5 rzutów : 25 / 33

77 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego ω i : p i = 1 2 i Prawdopodobieństwo zdarzenia A więcej niż 5 rzutów : A = {ω 6, ω 7,...} = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5 } P(A) = 1 5 i=1 p i = = / 33

78 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego ω i : p i = 1 2 i Prawdopodobieństwo zdarzenia A więcej niż 5 rzutów : A = {ω 6, ω 7,...} = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5 } P(A) = 1 5 i=1 p i = = 1 32 Prawdopodobieństwo zdarzenia B parzysta liczba rzutów : 25 / 33

79 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego ω i : p i = 1 2 i Prawdopodobieństwo zdarzenia A więcej niż 5 rzutów : A = {ω 6, ω 7,...} = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5 } P(A) = 1 5 i=1 p i = = 1 32 Prawdopodobieństwo zdarzenia B parzysta liczba rzutów : B = {ω 2, ω 4, ω 6,...} 1 P(B) = p 2i = 4 i = i=1 i=1 = / 33

80 Prawdopodobieństwo geometryczne Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω R n (R 1 prosta, R 2 płaszczyzna, R 3 przestrzeń 3D, itp.) Rodzina zdarzeń F σ-algebra zbiorów borelowskich na R n. Prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = A Ω, gdzie przez A oznaczamy długość (n = 1), pole powierzchni (n = 2), objętość (n = 3), itp. 26 / 33

81 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Wybieramy losowo punkt z odcinka [ 1, 1]. Jaka jest szansa, że punkt znajdzie się w przedziale [0.1, 0.5]? / 33

82 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Wybieramy losowo punkt z odcinka [ 1, 1]. Jaka jest szansa, że punkt znajdzie się w przedziale [0.1, 0.5]? Odpowiedź: Ω = [ 1, 1], A = [0.1, 0.5] P(A) = A Ω = = / 33

83 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Wybieramy losowo punkt z odcinka [ 1, 1]. Jaka jest szansa, że punkt znajdzie się w przedziale [0.1, 0.5]? Odpowiedź: Ω = [ 1, 1], A = [0.1, 0.5] P(A) = A Ω = = 0.2 Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafimy w punkt zero? A = {0}, P(A) = 0 2 = 0 27 / 33

84 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Jaś i Małgosia umówili na randkę. Pierwsza z osób, która przyjdzie czeka na drugą tylko 20 minut. Jaka jest szansa, że się spotkają, zakładając, że przybędą na spotkanie w losowym czasie między 10:00 a 11:00? 28 / 33

85 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Jaś i Małgosia umówili na randkę. Pierwsza z osób, która przyjdzie czeka na drugą tylko 20 minut. Jaka jest szansa, że się spotkają, zakładając, że przybędą na spotkanie w losowym czasie między 10:00 a 11:00? 60 Małgosia Oznaczmy przez x, y [0, 60] czas przybycia (w min) na spotkanie Jasia i Małgosi licząc od 10:00. Ω = [0, 60] [0, 60] 0 0 Jaś / 33

86 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Jaś i Małgosia umówili na randkę. Pierwsza z osób, która przyjdzie czeka na drugą tylko 20 minut. Jaka jest szansa, że się spotkają, zakładając, że przybędą na spotkanie w losowym czasie między 10:00 a 11:00? 60 Małgosia Jaś 60 Oznaczmy przez x, y [0, 60] czas przybycia (w min) na spotkanie Jasia i Małgosi licząc od 10:00. Ω = [0, 60] [0, 60] A = {(x, y) Ω: x y 20} (kolorowy obszar) 28 / 33

87 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Jaś i Małgosia umówili na randkę. Pierwsza z osób, która przyjdzie czeka na drugą tylko 20 minut. Jaka jest szansa, że się spotkają, zakładając, że przybędą na spotkanie w losowym czasie między 10:00 a 11:00? 60 Małgosia Jaś 60 Oznaczmy przez x, y [0, 60] czas przybycia (w min) na spotkanie Jasia i Małgosi licząc od 10:00. Ω = [0, 60] [0, 60] P(A) = 1 P(A ) = 1 A Ω A = {(x, y) Ω: x y 20} (kolorowy obszar) = = / 33

88 Prawdopodobieństwo geometryczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa P(A) = A Ω 29 / 33

89 Prawdopodobieństwo geometryczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa Własność 1. Oczywista P(A) = A Ω 29 / 33

90 Prawdopodobieństwo geometryczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa Własność 1. Oczywista Własność 2. P(Ω) = Ω Ω = 1 P(A) = A Ω 29 / 33

91 Prawdopodobieństwo geometryczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa P(A) = A Ω Własność 1. Oczywista Własność 2. P(Ω) = Ω Ω = 1 Własność 3. Jeśli A 1, A 2,... rozłączne, to: A 1 A 2... = A 1 + A (długości/pola/objętości rozłącznych podzbiorów sumują się) Więc: ( P i=1 A i ) = i=1 A i Ω = i=1 A i Ω = P(A i ). i=1 29 / 33

92 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? 30 / 33

93 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? a l x d α Zdarzenie elementarne to para (x, α): x odległość środka igły od najbliższej krawędzi, x [0, a/2] α kąt (ostry) igły z krawędzią, α [0, π 2 ] 30 / 33

94 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? a l x d α Zdarzenie elementarne to para (x, α): x odległość środka igły od najbliższej krawędzi, x [0, a/2] α kąt (ostry) igły z krawędzią, α [0, π 2 ] Ω = [0, a/2] [0, π 2 ], Ω = aπ 4 30 / 33

95 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? a l α Zdarzenie elementarne to para (x, α): x odległość środka igły od najbliższej krawędzi, x [0, a/2] α kąt (ostry) igły z krawędzią, x α [0, π 2 ] d Ω = [0, a/2] [0, π 2 ], Ω = aπ 4 Igła przetnie krawędź, jeśli x d = l 2 sin α (zdarzenie A) 30 / 33

96 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? a l α Zdarzenie elementarne to para (x, α): x odległość środka igły od najbliższej krawędzi, x [0, a/2] α kąt (ostry) igły z krawędzią, x α [0, π 2 ] d Ω = [0, a/2] [0, π 2 ], Ω = aπ 4 Igła przetnie krawędź, jeśli x d = l 2 sin α (zdarzenie A) a 2 l 2 x A 0 π 0 α 2 30 / 33

97 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? a l α Zdarzenie elementarne to para (x, α): x odległość środka igły od najbliższej krawędzi, x [0, a/2] α kąt (ostry) igły z krawędzią, x α [0, π 2 ] d Ω = [0, a/2] [0, π 2 ], Ω = aπ 4 Igła przetnie krawędź, jeśli x d = l 2 sin α (zdarzenie A) a 2 l 2 x A P(A) = A Ω = 4 l π/2 sin α dα aπ 2 0 }{{} =1 = 2l aπ 0 π 0 α 2 30 / 33

98 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? a l α Zdarzenie elementarne to para (x, α): x odległość środka igły od najbliższej krawędzi, x [0, a/2] α kąt (ostry) igły z krawędzią, x α [0, π 2 ] d Ω = [0, a/2] [0, π 2 ], Ω = aπ 4 Igła przetnie krawędź, jeśli x d = l 2 sin α (zdarzenie A) a 2 l 2 x 0 A π 0 α 2 P(A) = A Ω = 4 l π/2 sin α dα aπ 2 0 }{{} =1 Jeśli l = a 2, P(A) = 1 π. Może posłużyć do eksperymentalnego wyznaczenia liczby π! = 2l aπ 30 / 33

99 Prawdopodobieństwo geometryczne: paradoks Bertranda Na okręgu o promieniu 1 wybrano losowo cięciwę. Jaka jest szansa, że będzie ona dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg? 31 / 33

100 Prawdopodobieństwo geometryczne: paradoks Bertranda Na okręgu o promieniu 1 wybrano losowo cięciwę. Jaka jest szansa, że będzie ona dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg? A zdarzenie cięciwa jest dłuższa od boku trójkąta Cięciwy z A oznaczona na czerwono, spoza A na niebiesko X Rozważmy cięciwy rozpoczynające się w X. Zdarzenia elementarne: drugi koniec cięciwy określa kąt na okręgu w [0, 2π]. Ω = [0, 2π) Cięciwy z A odpowiadają pogrubionemu łukowi: A = ( 2 3 π, 4 3 π) 2 3 P(A) = π 2π = 1 3 To prawdopodobieństwo nie zależy od wyboru punktu X. 31 / 33

101 Prawdopodobieństwo geometryczne: paradoks Bertranda Na okręgu o promieniu 1 wybrano losowo cięciwę. Jaka jest szansa, że będzie ona dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg? A zdarzenie cięciwa jest dłuższa od boku trójkąta Cięciwy z A oznaczona na czerwono, spoza A na niebiesko O X 1/2 Rozważmy cięciwy przecinające promień OX pod kątem prostym. Zdarzenia elementarne: położenie cięciwy określa odległość od środka w [0, 1]. Ω = [0, 1] Cięciwy z A odpowiadają pogrubionemu odcinkowi: A = [0, 1 2 ] 1 2 P(A) = 1 = 1 2 To prawdopodobieństwo nie zależy od wyboru promienia OX. 31 / 33

102 Prawdopodobieństwo geometryczne: paradoks Bertranda Na okręgu o promieniu 1 wybrano losowo cięciwę. Jaka jest szansa, że będzie ona dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg? A zdarzenie cięciwa jest dłuższa od boku trójkąta Cięciwy z A oznaczona na czerwono, spoza A na niebiesko O Każda cięciwa jest jednoznacznie zdefiniowana przez położenie jej środka. Zdarzenia elementarne: punkty wewnątrz koła. Ω = K(O, 1) (koło o środku O i promieniu 1) Cięciwy z A to punkty w szarym kole: A = K(O, 1 2 ) P(A) = 1 4 π π = / 33

103 Prawdopodobieństwo geometryczne: paradoks Bertranda Na okręgu o promieniu 1 wybrano losowo cięciwę. Jaka jest szansa, że będzie ona dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg? Skąd ten paradoks? W każdym przypadku użyliśmy innego modelu probabilistycznego dotyczącego innego doświadczenia losowego: 1. Ω = [0, 2π) (kąt) 2. Ω = [0, 1] (odległość) 3. Ω = K(O, 1) (punkt) 31 / 33

104 Interpretacja prawdopodobieństwa Aksjomaty Kołmogorowa określają własności jakie spełnia miara prawdopodobieństwa, ale nic nie mówią skąd tą miarę wziąć? Jaka jest interpretacja wartości prawdopodobieństwa? 32 / 33

105 Interpretacja prawdopodobieństwa Aksjomaty Kołmogorowa określają własności jakie spełnia miara prawdopodobieństwa, ale nic nie mówią skąd tą miarę wziąć? Jaka jest interpretacja wartości prawdopodobieństwa? Klasyczna (Laplace a): wszystkie zdarzenia równo prawdopodobne Częstościowa: prawdopodobieństwo jako granica częstości Subiektywna: prawdopodobieństwa jako miara przekonań 32 / 33

106 Interpretacja częstościowa Dotyczy powtarzalnych doświadczeń losowych. Powtórzmy N razy doświadczenie losowe. Dla dowolnego zdarzenia A, niech N A oznacza liczbę doświadczeń w których A zaszło. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest graniczną wartością częstości: P(A) = N A lim N N. częstość orłów liczba rzutów monetą 33 / 33