Metody probabilistyczne

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metody probabilistyczne"

Transkrypt

1 Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP / 33

2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω Zdarzenia A Ω to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = A Ω 2 / 33

3 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω Zdarzenia A Ω to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = A Ω Ograniczenia definicji klasycznej: Każde zdarzenie elementarne ma to samo prawdopodobieństwo 1 Ω Rzut nieuczciwą monetą lub kostką Niejednoznaczność przestrzeni zdarzeń (np. rzut 2 kośćmi) 2 / 33

4 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω Zdarzenia A Ω to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = A Ω Ograniczenia definicji klasycznej: Każde zdarzenie elementarne ma to samo prawdopodobieństwo 1 Ω Rzut nieuczciwą monetą lub kostką Niejednoznaczność przestrzeni zdarzeń (np. rzut 2 kośćmi) Aby definicja miała sens, Ω musi być zbiorem skończonym Rzucanie monetą aż do pojawienia się orła Czas życia dysku twardego 2 / 33

5 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω Zdarzenia A Ω to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = A Ω Ograniczenia definicji klasycznej: Każde zdarzenie elementarne ma to samo prawdopodobieństwo 1 Ω Rzut nieuczciwą monetą lub kostką Niejednoznaczność przestrzeni zdarzeń (np. rzut 2 kośćmi) Aby definicja miała sens, Ω musi być zbiorem skończonym Rzucanie monetą aż do pojawienia się orła Czas życia dysku twardego Potrzebna ogólniejsza definicja prawdopodobieństwa 2 / 33

6 Przestrzeń probabilistyczna ( Ω, F, P ) przestrzeń zdarzeń elementarnych σ-ciało zdarzeń miara prawdopodobieństwa 3 / 33

7 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny 4 / 33

8 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: 4 / 33

9 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 4 / 33

10 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Liczba rzutów monetą do pojawienia się orła: 4 / 33

11 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Liczba rzutów monetą do pojawienia się orła: Ω = {1, 2, 3,...} 4 / 33

12 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Liczba rzutów monetą do pojawienia się orła: Ω = {1, 2, 3,...} Wartość napięcia w sieci: 4 / 33

13 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Liczba rzutów monetą do pojawienia się orła: Ω = {1, 2, 3,...} Wartość napięcia w sieci: Ω = R 4 / 33

14 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Liczba rzutów monetą do pojawienia się orła: Ω = {1, 2, 3,...} Wartość napięcia w sieci: Ω = R Czas życia dysku twardego: 4 / 33

15 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne ω: pojedynczy wynik doświadczenia losowego Przestrzeń probabilistyczna Ω: zbiór wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Zbiór Ω może być nieskończony, a nawet nieprzeliczalny Przykłady: Wynik rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Liczba rzutów monetą do pojawienia się orła: Ω = {1, 2, 3,...} Wartość napięcia w sieci: Ω = R Czas życia dysku twardego: Ω = [0, ) 4 / 33

16 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω 5 / 33

17 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A 5 / 33

18 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A Mówimy, że zaszło zdarzenie A, jeśli wynik doświadczenia ω A 5 / 33

19 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A Mówimy, że zaszło zdarzenie A, jeśli wynik doświadczenia ω A Zdarzenie A = Ω nazywamy zdarzeniem pewnym 5 / 33

20 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A Mówimy, że zaszło zdarzenie A, jeśli wynik doświadczenia ω A Zdarzenie A = Ω nazywamy zdarzeniem pewnym Zdarzenie A = nazywamy zdarzeniem niemożliwym 5 / 33

21 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A Mówimy, że zaszło zdarzenie A, jeśli wynik doświadczenia ω A Zdarzenie A = Ω nazywamy zdarzeniem pewnym Zdarzenie A = nazywamy zdarzeniem niemożliwym Zdarzenie przeciwne do A to A 5 / 33

22 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A Mówimy, że zaszło zdarzenie A, jeśli wynik doświadczenia ω A Zdarzenie A = Ω nazywamy zdarzeniem pewnym Zdarzenie A = nazywamy zdarzeniem niemożliwym Zdarzenie przeciwne do A to A Zdarzenia A i B są rozłączne (wykluczające się) jeśli A B = 5 / 33

23 Zdarzenia Zdarzenia to podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω Ω Ω Ω Ω A B A B A B A suma A B iloczyn A B różnica A \ B dopełnienie A Mówimy, że zaszło zdarzenie A, jeśli wynik doświadczenia ω A Zdarzenie A = Ω nazywamy zdarzeniem pewnym Zdarzenie A = nazywamy zdarzeniem niemożliwym Zdarzenie przeciwne do A to A Zdarzenia A i B są rozłączne (wykluczające się) jeśli A B = Ogólniej: zdarzenia A 1, A 2,... są parami rozłączne jeśli A i A j = dla wszystkich i j 5 / 33

24 Rodzina zdarzeń Rodziną zdarzeń F nazywamy interesującą nas rodzinę podzbiorów Ω Czyli F 2 Ω (2 Ω to zbiór potęgowy, tj. zbiór wszystkich podzbiorów Ω) 6 / 33

25 Rodzina zdarzeń Rodziną zdarzeń F nazywamy interesującą nas rodzinę podzbiorów Ω Czyli F 2 Ω (2 Ω to zbiór potęgowy, tj. zbiór wszystkich podzbiorów Ω) Jakie własności powinna co najmniej spełniać rodzina zdarzeń F? 6 / 33

26 Rodzina zdarzeń Rodziną zdarzeń F nazywamy interesującą nas rodzinę podzbiorów Ω Czyli F 2 Ω (2 Ω to zbiór potęgowy, tj. zbiór wszystkich podzbiorów Ω) Jakie własności powinna co najmniej spełniać rodzina zdarzeń F? 1. Zdarzenie pewne Ω powinno należeć do F 6 / 33

27 Rodzina zdarzeń Rodziną zdarzeń F nazywamy interesującą nas rodzinę podzbiorów Ω Czyli F 2 Ω (2 Ω to zbiór potęgowy, tj. zbiór wszystkich podzbiorów Ω) Jakie własności powinna co najmniej spełniać rodzina zdarzeń F? 1. Zdarzenie pewne Ω powinno należeć do F 2. Jeśli A należy do F to również należy zdarzenie nie zaszło A 6 / 33

28 Rodzina zdarzeń Rodziną zdarzeń F nazywamy interesującą nas rodzinę podzbiorów Ω Czyli F 2 Ω (2 Ω to zbiór potęgowy, tj. zbiór wszystkich podzbiorów Ω) Jakie własności powinna co najmniej spełniać rodzina zdarzeń F? 1. Zdarzenie pewne Ω powinno należeć do F 2. Jeśli A należy do F to również należy zdarzenie nie zaszło A 3. Jeśli A i B należą do F to również należy zdarzenie zaszło A lub B 6 / 33

29 σ-ciało zbiorów Rodzinę podzbiorów F 2 Ω nazywamy σ-ciałem (σ-algebrą), gdy: 1. Ω F 2. Jeśli A F to A F 3. Jeśli A 1, A 2,... F to A 1 A 2... F Uwaga: własność 3 zachodzi dla dowolnych przeliczalnych sum zdarzeń. 7 / 33

30 Własności σ-ciała zdarzeń Fakt: Zdarzenie puste należy do F: F 8 / 33

31 Własności σ-ciała zdarzeń Fakt: Zdarzenie puste należy do F: F Dowód: Ponieważ Ω F, a Ω =, to z własności 2 mamy F. 8 / 33

32 Własności σ-ciała zdarzeń Fakt: Jeśli A, B F to również: A B F 9 / 33

33 Własności σ-ciała zdarzeń Fakt: Jeśli A, B F to również: A B F Dowód: (a) Z własności 2 zachodzi: A F oraz B F (b) Z własności 3 zachodzi: C = A B F (c) Z własności 2 zachodzi: C F (d) Ale z prawa De Morgana wynika, że C = A B Ω Ω Ω Ω A B A B A B A B A B C = A B C = A B Prawo de Morgana: (E F ) = E F 9 / 33

34 Własności σ-ciała zdarzeń Zadanie 1 Udowodnij, że jeśli A, B F to również A \ B F Wniosek: σ-ciało jest zamknięte ze względu na wszystkie operacje na zbiorach typu: suma, iloczyn, różnica, dopełnienie, itp. 10 / 33

35 Przykłady σ-ciał: zbiór potęgowy Jeśli Ω jest przeliczalny, możemy wziąć F = 2 Ω, tzn. wszystkie podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych są zdarzeniami 11 / 33

36 Przykłady σ-ciał: zbiory borelowskie Jeśli Ω = R (nieprzeliczalny), nie możemy przyjąć F = 2 Ω, gdyż nie da się na nim określić miary prawdopodobieństwa (zbiory niemierzalne). 12 / 33

37 Przykłady σ-ciał: zbiory borelowskie Jeśli Ω = R (nieprzeliczalny), nie możemy przyjąć F = 2 Ω, gdyż nie da się na nim określić miary prawdopodobieństwa (zbiory niemierzalne). Zakładamy, że F musi zawierać zdarzenia przynajmniej postaci: wynik był mniejszy od a, wynik był pomiędzy a i b (a, b R), itp. Czyli F zawiera wszystkie możliwe przedziały otwarte i zamknięte, skończone lub nie, np. [a, b), (a, b), (, a], (b, ), itp. 12 / 33

38 Przykłady σ-ciał: zbiory borelowskie Jeśli Ω = R (nieprzeliczalny), nie możemy przyjąć F = 2 Ω, gdyż nie da się na nim określić miary prawdopodobieństwa (zbiory niemierzalne). Zakładamy, że F musi zawierać zdarzenia przynajmniej postaci: wynik był mniejszy od a, wynik był pomiędzy a i b (a, b R), itp. Czyli F zawiera wszystkie możliwe przedziały otwarte i zamknięte, skończone lub nie, np. [a, b), (a, b), (, a], (b, ), itp. Z własności σ-ciała, F zawiera również przeliczalne sumy i iloczyny przedziałów (w tym pojedyncze punkty). Taką rodzinę zdarzeń nazywa się σ-ciałem zbiorów borelowskich. Rodzina ta zawiera wszystkie praktyczne podzbiory R (a nawet tak dziwne zbiory jak zbiór Cantora czy zbiór liczby wymiernych). Biorąc iloczyny kartezjańskie podzbiorów, można tę rodzinę uogólnić na przestrzeń R 2 (płaszczyznę), R 3 (przestrzeń 3D), itp. 12 / 33

39 Aksjomaty Kołmogorowa (1933): Miara prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwem nazywamy dowolną funkcję P o wartościach rzeczywistych zdefiniowanej na σ-ciale zdarzeń F 2 Ω, spełniającą warunki: 1. Nieujemność: P(A) 0 dla każdego A F 2. Normalizacja: P(Ω) = 1 3. Addytywność: Dla dowolnego ciągu parami rozłącznych zdarzeń A 1, A 2,... F: ( P i=1 A i ) = P(A i ) i=1 Andriej Kołmogorow ( ) Uwaga: symbol A i oznacza sumę A 1 A 2... i=1 Przypomnijmy: A i A j = dla wszystkich i j 13 / 33

40 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zerem: P( ) = 0 14 / 33

41 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zerem: P( ) = 0 Dowód: Bierzemy A 1 = A 2 =... =. Wtedy i=1 A i =. Z własności 3 mamy P( ) = i=1 P( ), co jest tylko możliwe gdy P( ) = / 33

42 Własności prawdopodobieństwa Fakt (skończona addytywność): ( Dla dowolnych rozłącznych zdarzeń ni=1 ) A 1,..., A n mamy P A i = n i=1 P(A i ) 15 / 33

43 Własności prawdopodobieństwa Fakt (skończona addytywność): ( Dla dowolnych rozłącznych zdarzeń ni=1 ) A 1,..., A n mamy P A i = n i=1 P(A i ) Dowód: Bierzemy nieskończony ciąg zdarzeń A 1, A 2,..., w którym A n+1 = A n+2 =... =. Wszystkie zdarzenia są rozłączne, bo A i = dla i = 1,..., n. Dodatkowo i=1 A i = n i=1 A i. Mamy więc: ( n P i=1 A i ) ( = P i=1 A i ) (3) = P(A i ) i=1 ( ) = n P(A i ), i=1 gdzie w ( ) skorzystaliśmy z P( ) = / 33

44 Własności prawdopodobieństwa Fakt: P(A ) = 1 P(A) 16 / 33

45 Własności prawdopodobieństwa Fakt: P(A ) = 1 P(A) Dowód: Ponieważ A A = Ω, oraz A i A są rozłączne: P(Ω) = P(A) + P(A ) = 1. Czyli P(A) = 1 P(A ). 16 / 33

46 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Jeśli A B to P(B \ A) = P(B) P(A). Tym samym zachodzi też P(B) P(A). A B Ω 17 / 33

47 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Jeśli A B to P(B \ A) = P(B) P(A). Tym samym zachodzi też P(B) P(A). A B Ω Dowód: Można zapisać B jako rozłączną sumę B = A (B \ A). Tym samym P(B) = P(A) + P(B \ A), z czego wynikają oba stwierdzenia. 17 / 33

48 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Dla dowolnych A i B zachodzi: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 18 / 33

49 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Dla dowolnych A i B zachodzi: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Dowód: Dzielimy zbiory A, B i A B na rozłączne części: A A = (A \ B) (A B) A \ B B = (B \ A) (A B) A B A B = (A \ B) (A B) (B \ A) B B \ A 18 / 33

50 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Dla dowolnych A i B zachodzi: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Dowód: Dzielimy zbiory A, B i A B na rozłączne części: A A = (A \ B) (A B) B = (B \ A) (A B) A B = (A \ B) (A B) (B \ A) A \ B A B Z addytywności (aksjomat 3): B B \ A P(A) = P(A \ B) + P(A B) P(B) = P(B \ A) + P(A B) P(A B) = P(A \ B) + P(A B) P(B \ A) 18 / 33

51 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Dla dowolnych A i B zachodzi: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Dowód: Dzielimy zbiory A, B i A B na rozłączne części: A A = (A \ B) (A B) B = (B \ A) (A B) A B = (A \ B) (A B) (B \ A) A \ B A B Z addytywności (aksjomat 3): B B \ A P(A) = P(A \ B) + P(A B) P(B) = P(B \ A) + P(A B) P(A B) = P(A \ B) + P(A B) P(B \ A) Podstawiając pierwsze i drugie równanie do trzeciego kończymy dowód. 18 / 33

52 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Dla dowolnych A i B zachodzi: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Wniosek: Dla dowolnych A i B mamy: P(A B) P(A) + P(B) 19 / 33

53 Własności prawdopodobieństwa Fakt: Dla dowolnych A i B zachodzi: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Wniosek: Dla dowolnych A i B mamy: P(A B) P(A) + P(B) Zadanie 2 Pokaż, że dla dowolnych A 1,..., A n mamy: P(A 1... A n ) P(A 1 ) P(A n ) 19 / 33

54 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy wstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 3 A 2 A 1 A 4 20 / 33

55 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy wstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 3 A 2 A 1 Fakt (o ciągłości): Jeśli A 1, A 2,... jest wstępujący i A = n=1 A n to: P(A) = lim n P(A n) A 4 20 / 33

56 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy wstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 3 A 2 A 1 Fakt (o ciągłości): Jeśli A 1, A 2,... jest wstępujący i A = n=1 A n to: P(A) = lim n P(A n) Dowód: Definiujemy rozłączne zdarzenia: B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B 3 = A 3 \ A 2, B 4 = A 4 \ A 3,... A 4 20 / 33

57 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy wstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 3 A 2 A 1 Fakt (o ciągłości): Jeśli A 1, A 2,... jest wstępujący i A = n=1 A n to: P(A) = lim n P(A n) Dowód: Definiujemy rozłączne zdarzenia: B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B 3 = A 3 \ A 2, B 4 = A 4 \ A 3,... Można zapisać A n jako rozłączną sumę: A n = B 1 B 2... B n Podobnie, A = B 1 B 2... A 4 20 / 33

58 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy wstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 3 A 2 A 1 Fakt (o ciągłości): Jeśli A 1, A 2,... jest wstępujący i A = n=1 A n to: P(A) = lim n P(A n) Dowód: Definiujemy rozłączne zdarzenia: B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B 3 = A 3 \ A 2, B 4 = A 4 \ A 3,... Można zapisać A n jako rozłączną sumę: A n = B 1 B 2... B n Podobnie, A = B 1 B 2... P(A) (3) = P(B i ) = i=1 n lim P(B i ) n i=1 A 4 20 / 33

59 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy wstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 3 A 2 A 1 Fakt (o ciągłości): Jeśli A 1, A 2,... jest wstępujący i A = n=1 A n to: P(A) = lim n P(A n) Dowód: Definiujemy rozłączne zdarzenia: B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B 3 = A 3 \ A 2, B 4 = A 4 \ A 3,... Można zapisać A n jako rozłączną sumę: A n = B 1 B 2... B n Podobnie, A = B 1 B 2... P(A) (3) = P(B i ) = i=1 n lim P(B i ) n i=1 (3) = lim n P(B 1... B n ) = lim P(A n) n A 4 20 / 33

60 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy zstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 2 A 3... A 4 A 1 21 / 33

61 Własności prawdopodobieństwa Ciąg zdarzeń A 1, A 2, A 3,... nazywamy zstępującym, jeśli: A 1 A 2 A 3... A 2 A 3... A 4 Zadanie 3 Pokaż, że jeśli A 1, A 2,... jest zstępujący i A = n=1 A n to: P(A) = lim n P(A n) A 1 21 / 33

62 Prawdopodobieństwo klasyczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa P(A) = A Ω 22 / 33

63 Prawdopodobieństwo klasyczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa Własność 1. Oczywista P(A) = A Ω 22 / 33

64 Prawdopodobieństwo klasyczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa Własność 1. Oczywista Własność 2. P(Ω) = Ω Ω = 1 P(A) = A Ω 22 / 33

65 Prawdopodobieństwo klasyczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa P(A) = A Ω Własność 1. Oczywista Własność 2. P(Ω) = Ω Ω = 1 Własność 3. Ponieważ Ω jest skończony, rozważamy tylko skończone ciągi. Jeśli A 1,..., A n rozłączne, to: A 1 A 2... A n = A 1 + A A n. Więc: ( n P i=1 A i ) = n i=1 A i Ω = n i=1 A i Ω = n P(A i ). i=1 22 / 33

66 Prawdopodobieństwo na przestrzeni przeliczalnej Niech Ω = {ω 1, ω 2,...} będzie zbiorem przeliczalnym i F = 2 Ω. Każdemu ω i przypisujemy liczbę rzeczywistą p i 0, taką, że p i = 1. i=1 Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A Ω definiujemy jako sumę liczb p i po wszystkich ω i A: P(A) = p i, i : ω i A Tym samym p i = P({ω i }) jest prawdopodobieństwem zdarzenia elementarnego ω i. Oczywiście, zachodzi to również dla skończonego zbioru Ω. 23 / 33

67 Prawdopodobieństwo na przestrzeni przeliczalnej Niech Ω = {ω 1, ω 2,...} będzie zbiorem przeliczalnym i F = 2 Ω. Każdemu ω i przypisujemy liczbę rzeczywistą p i 0, taką, że p i = 1. i=1 Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A Ω definiujemy jako sumę liczb p i po wszystkich ω i A: P(A) = p i, i : ω i A Tym samym p i = P({ω i }) jest prawdopodobieństwem zdarzenia elementarnego ω i. Oczywiście, zachodzi to również dla skończonego zbioru Ω. Zadanie 4 Pokaż, że to prawdopodobieństwo spełnia aksjomaty Kołmogorowa 23 / 33

68 Przykład: rzut dwoma kośćmi Interesuje nas wyłącznie sumaryczny wynik na obu kościach 24 / 33

69 Przykład: rzut dwoma kośćmi Interesuje nas wyłącznie sumaryczny wynik na obu kościach Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 2, ω 3,..., ω 12 }: 24 / 33

70 Przykład: rzut dwoma kośćmi Interesuje nas wyłącznie sumaryczny wynik na obu kościach Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 2, ω 3,..., ω 12 }: Prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych: ω i p i ω i p i ω i p i ω 2 1/36 ω 6 5/36 ω 10 3/36 ω 3 2/36 ω 7 6/36 ω 11 2/36 ω 4 3/36 ω 8 5/36 ω 12 1/36 ω 5 4/36 ω 9 4/36 24 / 33

71 Przykład: rzut dwoma kośćmi Interesuje nas wyłącznie sumaryczny wynik na obu kościach Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 2, ω 3,..., ω 12 }: Prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych: Prawdopodobieństwo zdarzeń: Wypadła siódemka : ω i p i ω i p i ω i p i ω 2 1/36 ω 6 5/36 ω 10 3/36 ω 3 2/36 ω 7 6/36 ω 11 2/36 ω 4 3/36 ω 8 5/36 ω 12 1/36 ω 5 4/36 ω 9 4/36 A = {ω 7 }, P(A) = 6 36 Wypadła co najmniej dziesiątka : A = {ω 10, ω 11, ω 12 }, P(A) = = / 33

72 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów 25 / 33

73 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) 25 / 33

74 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego ω i : 25 / 33

75 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego ω i : p i = 1 2 i 25 / 33

76 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego ω i : p i = 1 2 i Prawdopodobieństwo zdarzenia A więcej niż 5 rzutów : 25 / 33

77 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego ω i : p i = 1 2 i Prawdopodobieństwo zdarzenia A więcej niż 5 rzutów : A = {ω 6, ω 7,...} = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5 } P(A) = 1 5 i=1 p i = = / 33

78 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego ω i : p i = 1 2 i Prawdopodobieństwo zdarzenia A więcej niż 5 rzutów : A = {ω 6, ω 7,...} = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5 } P(A) = 1 5 i=1 p i = = 1 32 Prawdopodobieństwo zdarzenia B parzysta liczba rzutów : 25 / 33

79 Przykład: rzucamy monetą aż do wyrzucenia orła Interesuje nas wyłącznie liczba rzutów Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} (gdzie ω i oznacza orzeł wypadł w i-tym rzucie ) Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego ω i : p i = 1 2 i Prawdopodobieństwo zdarzenia A więcej niż 5 rzutów : A = {ω 6, ω 7,...} = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5 } P(A) = 1 5 i=1 p i = = 1 32 Prawdopodobieństwo zdarzenia B parzysta liczba rzutów : B = {ω 2, ω 4, ω 6,...} 1 P(B) = p 2i = 4 i = i=1 i=1 = / 33

80 Prawdopodobieństwo geometryczne Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω R n (R 1 prosta, R 2 płaszczyzna, R 3 przestrzeń 3D, itp.) Rodzina zdarzeń F σ-algebra zbiorów borelowskich na R n. Prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = A Ω, gdzie przez A oznaczamy długość (n = 1), pole powierzchni (n = 2), objętość (n = 3), itp. 26 / 33

81 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Wybieramy losowo punkt z odcinka [ 1, 1]. Jaka jest szansa, że punkt znajdzie się w przedziale [0.1, 0.5]? / 33

82 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Wybieramy losowo punkt z odcinka [ 1, 1]. Jaka jest szansa, że punkt znajdzie się w przedziale [0.1, 0.5]? Odpowiedź: Ω = [ 1, 1], A = [0.1, 0.5] P(A) = A Ω = = / 33

83 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Wybieramy losowo punkt z odcinka [ 1, 1]. Jaka jest szansa, że punkt znajdzie się w przedziale [0.1, 0.5]? Odpowiedź: Ω = [ 1, 1], A = [0.1, 0.5] P(A) = A Ω = = 0.2 Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafimy w punkt zero? A = {0}, P(A) = 0 2 = 0 27 / 33

84 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Jaś i Małgosia umówili na randkę. Pierwsza z osób, która przyjdzie czeka na drugą tylko 20 minut. Jaka jest szansa, że się spotkają, zakładając, że przybędą na spotkanie w losowym czasie między 10:00 a 11:00? 28 / 33

85 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Jaś i Małgosia umówili na randkę. Pierwsza z osób, która przyjdzie czeka na drugą tylko 20 minut. Jaka jest szansa, że się spotkają, zakładając, że przybędą na spotkanie w losowym czasie między 10:00 a 11:00? 60 Małgosia Oznaczmy przez x, y [0, 60] czas przybycia (w min) na spotkanie Jasia i Małgosi licząc od 10:00. Ω = [0, 60] [0, 60] 0 0 Jaś / 33

86 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Jaś i Małgosia umówili na randkę. Pierwsza z osób, która przyjdzie czeka na drugą tylko 20 minut. Jaka jest szansa, że się spotkają, zakładając, że przybędą na spotkanie w losowym czasie między 10:00 a 11:00? 60 Małgosia Jaś 60 Oznaczmy przez x, y [0, 60] czas przybycia (w min) na spotkanie Jasia i Małgosi licząc od 10:00. Ω = [0, 60] [0, 60] A = {(x, y) Ω: x y 20} (kolorowy obszar) 28 / 33

87 Prawdopodobieństwo geometryczne: przykład Jaś i Małgosia umówili na randkę. Pierwsza z osób, która przyjdzie czeka na drugą tylko 20 minut. Jaka jest szansa, że się spotkają, zakładając, że przybędą na spotkanie w losowym czasie między 10:00 a 11:00? 60 Małgosia Jaś 60 Oznaczmy przez x, y [0, 60] czas przybycia (w min) na spotkanie Jasia i Małgosi licząc od 10:00. Ω = [0, 60] [0, 60] P(A) = 1 P(A ) = 1 A Ω A = {(x, y) Ω: x y 20} (kolorowy obszar) = = / 33

88 Prawdopodobieństwo geometryczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa P(A) = A Ω 29 / 33

89 Prawdopodobieństwo geometryczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa Własność 1. Oczywista P(A) = A Ω 29 / 33

90 Prawdopodobieństwo geometryczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa Własność 1. Oczywista Własność 2. P(Ω) = Ω Ω = 1 P(A) = A Ω 29 / 33

91 Prawdopodobieństwo geometryczne spełnia aksjomaty Kołmogorowa P(A) = A Ω Własność 1. Oczywista Własność 2. P(Ω) = Ω Ω = 1 Własność 3. Jeśli A 1, A 2,... rozłączne, to: A 1 A 2... = A 1 + A (długości/pola/objętości rozłącznych podzbiorów sumują się) Więc: ( P i=1 A i ) = i=1 A i Ω = i=1 A i Ω = P(A i ). i=1 29 / 33

92 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? 30 / 33

93 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? a l x d α Zdarzenie elementarne to para (x, α): x odległość środka igły od najbliższej krawędzi, x [0, a/2] α kąt (ostry) igły z krawędzią, α [0, π 2 ] 30 / 33

94 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? a l x d α Zdarzenie elementarne to para (x, α): x odległość środka igły od najbliższej krawędzi, x [0, a/2] α kąt (ostry) igły z krawędzią, α [0, π 2 ] Ω = [0, a/2] [0, π 2 ], Ω = aπ 4 30 / 33

95 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? a l α Zdarzenie elementarne to para (x, α): x odległość środka igły od najbliższej krawędzi, x [0, a/2] α kąt (ostry) igły z krawędzią, x α [0, π 2 ] d Ω = [0, a/2] [0, π 2 ], Ω = aπ 4 Igła przetnie krawędź, jeśli x d = l 2 sin α (zdarzenie A) 30 / 33

96 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? a l α Zdarzenie elementarne to para (x, α): x odległość środka igły od najbliższej krawędzi, x [0, a/2] α kąt (ostry) igły z krawędzią, x α [0, π 2 ] d Ω = [0, a/2] [0, π 2 ], Ω = aπ 4 Igła przetnie krawędź, jeśli x d = l 2 sin α (zdarzenie A) a 2 l 2 x A 0 π 0 α 2 30 / 33

97 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? a l α Zdarzenie elementarne to para (x, α): x odległość środka igły od najbliższej krawędzi, x [0, a/2] α kąt (ostry) igły z krawędzią, x α [0, π 2 ] d Ω = [0, a/2] [0, π 2 ], Ω = aπ 4 Igła przetnie krawędź, jeśli x d = l 2 sin α (zdarzenie A) a 2 l 2 x A P(A) = A Ω = 4 l π/2 sin α dα aπ 2 0 }{{} =1 = 2l aπ 0 π 0 α 2 30 / 33

98 Prawdopodobieństwo geometryczne: igła Buffona Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? a l α Zdarzenie elementarne to para (x, α): x odległość środka igły od najbliższej krawędzi, x [0, a/2] α kąt (ostry) igły z krawędzią, x α [0, π 2 ] d Ω = [0, a/2] [0, π 2 ], Ω = aπ 4 Igła przetnie krawędź, jeśli x d = l 2 sin α (zdarzenie A) a 2 l 2 x 0 A π 0 α 2 P(A) = A Ω = 4 l π/2 sin α dα aπ 2 0 }{{} =1 Jeśli l = a 2, P(A) = 1 π. Może posłużyć do eksperymentalnego wyznaczenia liczby π! = 2l aπ 30 / 33

99 Prawdopodobieństwo geometryczne: paradoks Bertranda Na okręgu o promieniu 1 wybrano losowo cięciwę. Jaka jest szansa, że będzie ona dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg? 31 / 33

100 Prawdopodobieństwo geometryczne: paradoks Bertranda Na okręgu o promieniu 1 wybrano losowo cięciwę. Jaka jest szansa, że będzie ona dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg? A zdarzenie cięciwa jest dłuższa od boku trójkąta Cięciwy z A oznaczona na czerwono, spoza A na niebiesko X Rozważmy cięciwy rozpoczynające się w X. Zdarzenia elementarne: drugi koniec cięciwy określa kąt na okręgu w [0, 2π]. Ω = [0, 2π) Cięciwy z A odpowiadają pogrubionemu łukowi: A = ( 2 3 π, 4 3 π) 2 3 P(A) = π 2π = 1 3 To prawdopodobieństwo nie zależy od wyboru punktu X. 31 / 33

101 Prawdopodobieństwo geometryczne: paradoks Bertranda Na okręgu o promieniu 1 wybrano losowo cięciwę. Jaka jest szansa, że będzie ona dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg? A zdarzenie cięciwa jest dłuższa od boku trójkąta Cięciwy z A oznaczona na czerwono, spoza A na niebiesko O X 1/2 Rozważmy cięciwy przecinające promień OX pod kątem prostym. Zdarzenia elementarne: położenie cięciwy określa odległość od środka w [0, 1]. Ω = [0, 1] Cięciwy z A odpowiadają pogrubionemu odcinkowi: A = [0, 1 2 ] 1 2 P(A) = 1 = 1 2 To prawdopodobieństwo nie zależy od wyboru promienia OX. 31 / 33

102 Prawdopodobieństwo geometryczne: paradoks Bertranda Na okręgu o promieniu 1 wybrano losowo cięciwę. Jaka jest szansa, że będzie ona dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg? A zdarzenie cięciwa jest dłuższa od boku trójkąta Cięciwy z A oznaczona na czerwono, spoza A na niebiesko O Każda cięciwa jest jednoznacznie zdefiniowana przez położenie jej środka. Zdarzenia elementarne: punkty wewnątrz koła. Ω = K(O, 1) (koło o środku O i promieniu 1) Cięciwy z A to punkty w szarym kole: A = K(O, 1 2 ) P(A) = 1 4 π π = / 33

103 Prawdopodobieństwo geometryczne: paradoks Bertranda Na okręgu o promieniu 1 wybrano losowo cięciwę. Jaka jest szansa, że będzie ona dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg? Skąd ten paradoks? W każdym przypadku użyliśmy innego modelu probabilistycznego dotyczącego innego doświadczenia losowego: 1. Ω = [0, 2π) (kąt) 2. Ω = [0, 1] (odległość) 3. Ω = K(O, 1) (punkt) 31 / 33

104 Interpretacja prawdopodobieństwa Aksjomaty Kołmogorowa określają własności jakie spełnia miara prawdopodobieństwa, ale nic nie mówią skąd tą miarę wziąć? Jaka jest interpretacja wartości prawdopodobieństwa? 32 / 33

105 Interpretacja prawdopodobieństwa Aksjomaty Kołmogorowa określają własności jakie spełnia miara prawdopodobieństwa, ale nic nie mówią skąd tą miarę wziąć? Jaka jest interpretacja wartości prawdopodobieństwa? Klasyczna (Laplace a): wszystkie zdarzenia równo prawdopodobne Częstościowa: prawdopodobieństwo jako granica częstości Subiektywna: prawdopodobieństwa jako miara przekonań 32 / 33

106 Interpretacja częstościowa Dotyczy powtarzalnych doświadczeń losowych. Powtórzmy N razy doświadczenie losowe. Dla dowolnego zdarzenia A, niech N A oznacza liczbę doświadczeń w których A zaszło. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest graniczną wartością częstości: P(A) = N A lim N N. częstość orłów liczba rzutów monetą 33 / 33

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:

Bardziej szczegółowo

Planimetria 1 12 godz.

Planimetria 1 12 godz. Planimetria 1 1 godz. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 1 definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º Trygonometria zastosowania Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω) ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum

wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum Umie obliczyć potęgę liczby wymiernej o wykładniku naturalnym. 1. Arytmetyka występują potęgi o wykładniku naturalnym. Umie zapisać i porównać duże liczby

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL dyskalkulia miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków

Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Adam Roman Instytut Informatyki UJ Wykład 1 rys historyczny zdarzenia i ich prawdopodobieństwa aksjomaty i reguły prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo warunkowe

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2014/2015

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2014/2015 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2014/2015 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 78353 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 4 jest

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej: Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia geometryczne

Podstawowe pojęcia geometryczne PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 2013. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 2013. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

MATURA PRÓBNA - odpowiedzi

MATURA PRÓBNA - odpowiedzi MATURA PRÓBNA - odpowiedzi Zadanie 1. (1pkt) Zbiorem wartości funkcji = + 6 7 jest przedział: A., B., C., D., Zadanie. (1pkt) Objętość kuli wpisanej w sześcian o krawędzi długości 6 jest równa: A. B. 4

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej

Bardziej szczegółowo

SZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY MATMIX 2007 DROGI UCZNIU!

SZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY MATMIX 2007 DROGI UCZNIU! Wersja A klasy I II SZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY MATMIX 007 DROGI UCZNIU! Masz do rozwiązania 8 zadań testowych, na rozwiązanie których masz 90 minut. Punktacja rozwiązań: - zadania od do 7 - punkty -

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury STEREOMETRIA Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1 Zadanie. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S i S 2 obliczyć pole trapezu ABCD. Zadanie 2. Mamy trapez, w którym suma kątów przy dłuższej podstawie

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy klasa 3

Plan wynikowy klasa 3 Plan wynikowy klasa 3 Przedmiot: matematyka Klasa 3 liceum (technikum) Rok szkolny:........................ Nauczyciel:........................ zakres podstawowy: 28 tyg. 3 h = 84 h (78 h + 6 h do dyspozycji

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania

MATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski Treści zapisane kursywą (i oznaczone gwiazdką) wykraczają poza podstawę programową. Nauczyciel może je realizować,

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 013 KO UZUPEŁNI ZJĄY PESEL dyskalkulia miejsce na naklejkę dysleksja EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI POZIOM POSTWOWY

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA

ZBIÓR ZADAŃ - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA ZIÓR ZŃ - ROZUMOWNIE I RGUMENTJ 0--30 Strona ZIÓR ZO O WYMGNI EGZMINYJNEGO - ROZUMOWNIE I RGUMENTJ. Zapisz sumę trzech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza jest liczba n. zy suma ta jest

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do struktur o-minimalnych

Wprowadzenie do struktur o-minimalnych Wprowadzenie do struktur o-minimalnych Piotr Pokora 22.02.2009 1 Wprowadzenie do struktur o-minimalnych i pojęcia wstępne Na początku lat 80-tych Pillay i Steinhorn wprowadzili pojęcie o-minimalności bazując

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 00 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o

Bardziej szczegółowo

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Model klasyczny prawdopodobieństwa.losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ (A) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I Geometria analityczna 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE Zad.1. (1p) Liczba 3 30 9 90 jest równa: A. 3 210 B. 3 300 C. 9 120 D. 27 2700 Zad.2. (1p) Liczba 3 8 3 3 9 2 jest równa: A. 3

Bardziej szczegółowo

1. Oblicz miarę kąta wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku równym 1/10 długości okręgu. 2. Wyznacz kąty x i y. Odpowiedź uzasadnij.

1. Oblicz miarę kąta wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku równym 1/10 długości okręgu. 2. Wyznacz kąty x i y. Odpowiedź uzasadnij. lb. Oblicz miarę kąta wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku równym /0 długości okręgu.. Wyznacz kąty i y. Odpowiedź uzasadnij. 3. Wyznacz miary kątów α i β. 4. Wyznacz miary kątów α i β. 5.

Bardziej szczegółowo

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp. Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (

Bardziej szczegółowo

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 3. PAZDRO Plan jest wykazem wiadomości i umiejętności, jakie powinien mieć uczeń ubiegający się o określone oceny na poszczególnych etapach edukacji

Bardziej szczegółowo

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P) Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 8 MAJA 2015 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 8 MAJA 2015 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 011 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne: Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 5508 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Wskaż rysunek,

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Centralna Komisja Egzaminacyjna ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 01 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz ćwiczeniowy zawiera strony (zadania 1 ).. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM Opracowano na podstawie programu Matematyka z plusem dla III etapu edukacyjnego (klasy I III) dopuszczonego przez MEN do użytku szkolnego i

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych: Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012. CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA Matematyka WOJEWÓDZTWO KUJAWSKO-POMORSKIE

EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012. CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA Matematyka WOJEWÓDZTWO KUJAWSKO-POMORSKIE Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Gdańsku EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012 CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA Matematyka WOJEWÓDZTWO KUJAWSKO-POMORSKIE Osiągnięcia gimnazjalistów z zakresu matematyki

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI

ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI SEMESTR I ZESTAW. Podaj liczbę przeciwną i odwrotną do liczby 2 2. Jak zmieniła się cena wyrobu po podwyżce o 20%, a następnie po obniżeniu otrzymanej ceny o

Bardziej szczegółowo

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 013 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI Instrukcja dla zdającego

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo