Zadania z rachunku prawdopodobieństwa

Transkrypt

1 Zadaia z rachuku prawdopodobieństwa Każda trójka spośród czterech ukleotydów A,, G i T koduje jede amiokwas w łańcuchu ici DNA. Ile jest możliwych a priori różych amiokwasów? (OdpW 6 ; amiokwasów o różych ukleotydach 6 amiokwasów o różych ukleotydach i o wszystkich jedakowych ukleotydach. Dziesięć osób zajmuje miejsca przy okrągłym stole. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że osoby A i B będą siedzieć obok siebie. Jakie będzie prawdopodobieństwo tego samego zdarzeia jeśli te osoby będą zajmować miejsca w jedym rzędzie? (Odp 9, 5 Obliczyć czy jedakowe jest prawdopodobieństwo wygraia w loterii zawierającej losów, spośród których jede wygrywa i w loterii zawierającej losów, spośród których dwa wygrywają, jeśli: a gracz kupuje jede los, b gracz kupuje dwa losy. (Odp a, b, ( Dwudziestoosobowa grupa studecka, w której jest 6 kobiet otrzymała 5 biletów do teatru. Bilety rozdziela się drogą losowaia. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród posiadaczy biletów 6 zajdą się dokładie kobiety? (Odp Spośród 0 ucziów do klasówki przygotowało się 5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy losowym podziale klasy a dwie rówe grupy w każdej zajdzie się co ajmiej jede uczeń 5 65 przygotoway do klasówki? (Odp. 0, Rzucamy razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczby wyrzucoych oczek tworzą 6 ciąg ściśle rosący. (Odp. W 6 Wskazówka istieje wzajema odpowiediość pomiędzy ciągami mootoiczymi a zbiorami 7 Do tramwaju składającego się z trzech wagoów wsiada 9 pasażerów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ado każdego wagou wsiądzie po pasażerów bdo pierwszego wagou wsiądzie pasażerów Odp Wariat I - pasażerowie są rozróżiali: 96 9! a. 9 9 lub rozkład (dwuwielomiaowy, W (! ( L+ 5 9W 9! b lub rozkład dwumiaowy sukcesy w 9 próbach z p W W!5! Wariat II- pasażerowie ierozróżiali a 8 Dwie osoby rzucają kolejo moetą. Wygrywa ta osoba, która pierwsza wyrzuci orła. Obliczyć prawdopodobieństwo wygraia dla obu graczy. (Odp. p 55 b 0 0 p, 9 Trzy osoby rzucają kolejo moetą. Wygrywa ta osoba, która pierwsza wyrzuci orła. Obliczyć prawdopodobieństwo wygraia dla wszystkich graczy. (Odp: p p 7, p 7, 7

2 0 W urie zajduje się białych i m czarych kul. Dwaj gracze wyciągają a zmiaę po jedej kuli, zwracając za każdym razem wyciągiętą kulę. Grę prowadzi się dotąd, dopóki którykolwiek z graczy ie wyciągie białej kuli. Obliczyć, że pierwszy wyciągie kulę białą gracz m+ rozpoczyający grę. (Odp. p m+ Dwaj strzelcy strzelają kolejo do celu aż do pierwszego trafieia. Prawdopodobieństwo trafieia do celu przy jedym strzale dla pierwszego strzelca wyosi p a dla drugiego p. Zaleźć prawdopodobieństwo, że pierwszy strzelec będzie strzelał większą ilość razy iż drugi.(odp: P(A p +(- p (- p p +(- p (- p p +... p /(-(- p (- p. Dwaj strzelcy strzelają rówocześie do celu aż do pierwszego trafieia (przez dowolego strzelca. Prawdopodobieństwo trafieia do celu przy jedym strzale dla pierwszego strzelca wyosi p a dla drugiego p. Zaleźć prawdopodobieństwa wygraia dla obu strzelców, prawdopodobieństwo remisu i prawdopodobieństwo, że gra igdy się ie skończy.(odp: P(Ap (- p /(-(- p (- p ; P(B(-p p /(-(- p (- p ; P(p p /(-(- p (- p ; P(D0. Zadaie Baacha. Matematyk osi przy sobie dwa pudełka zapałek po zapałek w każdym pudełku. Kiedy potrzebuje o zapałki wybiera losowo pudełko. Obliczyć prawdopodobieństwo, że gdy wybierze o puste pudełko w drugim będzie r zapałek, gdzie r0,,...,. (Odp: r r Prawdopodobieństwo przekazaia sygału przez jede przekaźik jest p 0.9. Przekaźiki działają iezależie, tz. iezadziałaie jedego z ich ie ma wpływu a iezadziałaie drugiego. Obliczyć prawdopodobieństwo przekazaia sygału aprzy połączeiu szeregowym dwu przekaźików, (Odp. p 0,8 bprzy połączeiu rówoległym. (Odp. p-p 0,99 5 Zbadać który z układów przedstawioych a rysuku ma większą iezawodość przy założeiu, że przekaźiki działają iezależie i iezawodość każdego z ich jest p. 6 Po upływie pewego czasu T, każda komórka może zgiąć, przeżyć albo podzielić się a dwie, odpowiedio z prawdopodobieństwami ¼, ¼, ½. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po upływie czasu T będą dwie komórki, gdy a początku była jeda komórka. 7 Przypuśćmy, że każda z pałek została złamaa a dwie części długą i krótką. części połączoo w par z których utworzoo owe pałki. Zaleźć prawdopodobieństwo a że części zostaą połączoe w takich samych kombiacjach, w jakich były przed złamaiem, bże wszystkie długie części będą połączoe z krótkimi częściami. (Odp: P(A L, P(B L

3 8 Gracz X wymieia liczbę z prawdopodobieństwem q albo z prawdopodobieństwem q. Podobie gracz Y musi wymieić jedą z tych liczb. Gdy suma będzie ieparzysta wygrywa gracz X a gdy parzysta wygrywa gracz Y. Jak gracz Y ma postępować by zapewić sobie ajwiększe prawdopodobieństwo wygraej, jeżeli za o wartość q? 9 Dwóch ludzi wykouje po rzutów symetryczą moetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obaj otrzymają tyle samo orłów? (Odp: ( k k 0 0 W szafie jest 0 par butów. Wylosowuje się buty. Zaleźć prawdopodobieństwo, że wśród ich 99 zajdzie się co ajmiej jeda para. (Odp: przez zdarz. przeciwe- możeie prawd. lub losowaie ajpierw umerów par z 0 a astępie po jedym bucie z każdej pary 0 0 W szafie jest par butów. Wybieramy z ich r (r< butów. Zaleźć prawdopodobieństwo, że wśród ich r r a ie ma ai jedej pary (Odp : r (losujemy r butów z lewych butów a każdy but możemy zostawić, lub wymieić a odpowiadający mu prawy a r sposobów r r b zajdzie się dokładie jeda para. (Odp: r r sposobów a astępie losujemy ajpierw umer pary a astępie z - par butów losujemy r- butów ie do pary r r c zajdują się dokładie pary (Odp: r losujemy ajpierw umer par a astępie z - par butów losujemy r- butów ie do pary Rzucoo 5 kości do gry. Zaleźć prawdopodobieństwo, że przyajmiej a trzech kościach odsłoią się takie same ściaki. (Odp: 08 Zaleźć prawdopodobieństwo, że przy 5 rzutach moety orzeł odsłoi się kolejo co ajmiej razy. (Odp: Zaleźć prawdopodobieństwo, że przy 0 rzutach moety orzeł odsłoi się kolejo co ajmiej 5 razy. (Odp Rozwiązać powyższe zadaia dla serii jedyek, gdy zamiast moety użyto kości do gry. (Odp: 8, 6? 6 6 Obliczyć prawdopodobieństwo, że przy wielokrotym rzucaiu parą symetryczych kostek suma oczek 8 wypadie przed suma oczek 7. 7 Telegraficze przekazywaie iformacji odbywa się metodą adawaia sygałów kropka, kreska. Statystycze właściwości zakłóceń są takie, że błędy występują przeciętie w /5 przypadków przy adawaiu sygału kropka i w / przypadków przy adawaiu sygału kreska. Wiadomo, że ogóly stosuek liczby adawaych sygałów kropka do liczby sygałów kreska jest 5:. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przy przyjmowaiu sygału a kropka, b kreska w rzeczywistości te sygały zostały adae.

4 8 W przypadkowych mometach odcika [0,T] mogą adejść do odbiorika dwa sygały. Odbiorik zostaje uszkodzoy jeśli różica w czasie pomiędzy dwoma sygałami jest miejsza od t (t < T. Obliczyć prawdopodobieństwo uszkodzeia odbiorika w ciągu czasu T. 9 W koło o promieiu R wpisao trójkąt rówoboczy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładie spośród postawioych a chybił trafił w daym kole puktów będą leżały wewątrz trójkąta. Jaka jest ajbardziej prawdopodoba liczba tych puktów wewątrz trójkąta? 0 Obliczyć prawdopodobieństwo, że suma dwóch losowo wybraych ułamków właściwych (dodatich lub ujemych jest miejsza od a wartość bezwzględa ich różicy jest miejsza iż /. Obliczyć prawdopodobieństwo, że pierwiastki rówaia x +ax + b 0 są rzeczywiste dodatie, jeżeli (a,b jest losowo wybraym puktem prostokąta {(a,b: a <, b < }. Na płaszczyźie poprowadzoo proste rówoległe odległe a przemia o i. Na płaszczyzę rzucoo losowo moetę o średicy. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że moeta ie będzie miała puktów wspólych z żadą z prostych. Kawałek drutu o długości 0 cm zgięto pod kątem prostym w przypadkowo wziętym pukcie. Następie zgięto drut jeszcze w dwóch puktach, tak by utworzyła się ramka prostokąta o obwodzie 0 cm. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pole ramki ie przekroczy cm? Zadaie Buffoa. Płaszczyzę podzieloo prostymi rówoległymi odległymi o a. Na płaszczyzę tę rzucamy w sposób przypadkowy odciek o długości l<a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odciek przetie jedą z prostych? 5 Pai X i pai Y idąc z domu do biura mają do przebycia pewie wspóly odciek drogi AB z tym, że przebywają go w przeciwych kierukach. Pai X przybywa do puktu A zaś pai Y do B w przypadkowym momecie czasu pomiędzy godzią 7 0 i 7 5 i idzie ze stałą prędkością. Każda z pań przechodzi odciek AB w ciągu 5 mi. Obliczyć prawdopodobieństwo spotkaia się pań X i Y. 6 Odciek o długości 0 cm został podzieloy w sposób losowy a części. Obliczyć prawdopodobieństwo, że z tych części moża zbudować trójkąt. 7 Pukt X został wybray losowo z odcika AB. Pokazać że a prawdopodobieństwo że iloraz AX /BX jest miejszy iż a (a>0 jest rówe a/(+a b prawdopodobieństwo zdarzeia stosuek długości krótszej części do dłuższej jest miejszy iż / jest rówe /. 8 Niech X będzie losowo wybraym puktem z odcika (0,. Obliczyć prawdopodobieństwo że pierwiastki rówaia x +X x +X +0 są rzeczywiste.

5 9 Niech X, Y, Z będą losowo wybraymi puktami z przedziału (0,. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwiastki rówaia Xa +Ya+Z0 są rzeczywiste. 0 Wiadomo, że P(A0.9 i P(B0.8. Wykazać, że P(A B Test medyczy wykrywa zachorowaie z prawdopodobieństwem 90%, ale też u zdrowych wskazuje o (błędie a chorobę w 0.5% przypadków. Faktyczy udział chorych w populacji wyosi 0.08%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że badaa osoba jest faktyczie zdrowa, choć test medyczy wskazuje, że jest oa chora? Na piętastu kartkach egzamiacyjych zajdują się po dwa pytaia, które ie powtarzają się. Studet jest w staie odpowiedzieć tylko a 5 pytań. Obliczyć prawdopodobieństwo zdaia egzamiu, jeżeli wystarczy odpowiedzieć a dwa pytaia z jedej kartki lub a jedo pytaie z pierwszej kartki i wskazae pytaie z drugiej kartki. Studet ma do przygotowaia a egzami tematów. Z tego opracował jedyie 5 tematów. W czasie egzamiu losuje tematy. W przypadku odpowiedzi a wszystkie pytaia otrzymuje piątkę. W przypadku gdy odpowie tylko a pytaia losuje z pozostałych tematów trzy dalsze tematy i gdy odpowie a wszystkie pytaia otrzymuje czwórkę, gdy zaś odpowie a pytaia otrzymuje trójkę. We wszystkich pozostałych przypadkach otrzymuje oceę iedostateczą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że tak przygotoway studet otrzyma : a piątkę, b czwórkę, c trójkę d dwójkę. Wiadomo, że 96% produkcji jest zgode ze stadardem. Uproszczoy schemat kotroli jakości przepuszcza przedmioty dobre z prawdopodobieństwem 0.98 a przedmiot wadliwy z prawdopodobieństwem Obliczyć prawdopodobieństwo, że przedmiot, który uproszczoa kotrola jakości przepuściła, jest zgody ze stadardem. 5 Prawdopodobieństwo trafieia do celu przy każdym strzale dla trzech strzelców są odpowiedio rówe /5, /, /. Wszyscy trzej strzelcy rówocześie strzelili do celu i dwóch z ich trafiło do celu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że chybił trzeci strzelec. 6 Z prętów w kształcie walca o średicy r zbudowao kratę o oczku w kształcie prostokąta o wymiarach a, b (mierzoych od osi prętów. Jakie jest prawdopodobieństwo trafieia w kratę kulką o średicy d dostateczie małej w stosuku do oczka kraty, przyajmiej raz w trzech próbach, jeżeli trajektoria lotu jest prostopadła do płaszczyzy kraty. 7 Gracz X wymieia liczbę z prawdopodobieństwem q albo z prawdopodobieństwem q. Podobie gracz Y musi wymieić jedą z tych liczb. Gdy suma będzie ieparzysta wygrywa gracz X a gdy parzysta wygrywa gracz Y. Jak gracz Y ma postępować by zapewić sobie ajwiększe prawdopodobieństwo wygraej, jeżeli za o wartość q? 5

6 8 Zmiea losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa postaci: x i p i Wyzaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmieej losowej U, jeśli: U X +, b U X, c U X Wyzaczyć wartość oczekiwaą, mediaę, kwatyl x 0., wariację, odchyleie stadardowe, odchyleie przecięte, współczyik zmieości, drugi i trzeci momet zwykły, trzeci momet cetraly, współczyik asymetrii zmieej losowej X. 50 Zmiea losowa X ma rozkład: x i p i Wyzaczyć dwoma sposobami wartość oczekiwaą i wariację zmieej losowej UX- a zajdując ajpierw rozkład prawdopodobieństwa zmieej losowej U oraz b korzystając z odpowiedich własości wartości oczekiwaej i wariacji. 5 Wyzaczyć stałą a tak, aby fukcja 0 F( x ( x dla dla dla x < x a x > a była dystrybuatą ciągłej zmieej losowej X. Obliczyć P(- X.5 i ziterpretować je za pomocą wykresu fukcji gęstości. 5 Wykazać, że fukcja P : (R [0, zdefiiowaa wzorem : P( A A [0,, A [0, + A [0, + A [0, + gdy A i A, 6,, gdy A i A gdy A i A gdy A i A jest rozkładem prawdopodobieństwa a prostej R. Wyzaczyć dystrybuatę tego rozkładu. 5 Udowodić, że fukcja F: R [0,] zadaa wzorem F x 0, gdy x ( x +, ( + gdy < x < 0 x, gdy 0 x, gdy > x 6

7 jest dystrybuatą pewego rozkładu prawdopodobieństwa a prostej R. Wyzaczyć fukcję prawdopodobieństwa części dyskretej i gęstości części ciągłej tego rozkładu. 5 Udowodić że fukcja F: R [0,] zadaa wzorem e ( F x + x,, x, gdy x < 0 gdy 0 x < gdy x jest dystrybuatą pewego rozkładu prawdopodobieństwa P a prostej R. Wyzaczyć fukcję prawdopodobieństwa części dyskretej i gęstość części ciągłej tego rozkładu. Obliczyć P ( [-,/ oraz P ((-/,. 55 Amplituda X kołysaia boczego (wokół osi podłużej statku jest zmieą losową o gęstości x x prawdopodobieństwa f ( x e σ, x > 0. Zaleźć wartość oczekiwaą i wariację zmieej X σ losowej X. Obliczyć, czy jedakowo często występują amplitudy większe i amplitudy miejsze iż E(X. 56 Prawdopodobieństwo wykrycia awarii przewodów w ciągu czasu ie większego iż t jest λt p( t e, λ > 0. Obliczyć wartość oczekiwaą i wariację czasu T potrzebego a wykrycie awarii. 57 Pukt materialy M porusza się ze stałą prędkością po okręgu o promieiu r. Niech P będzie ustaloym puktem okręgu a X odległością puktu M od puktu P. Zaleźć E(X i V(X. 58 Prędkość X cząsteczek gazu ma rozkład (Maxwella o gęstości prawdopodobieństwa f(x x e h x, x 0, h - ustaloe. Wyzaczyć stałą oraz E(X i V(X. 59 Prędkość X cząsteczek gazu ma rozkład (Maxwella o gęstości prawdopodobieństwa f ( x x mx π x e, x 0. Wyzaczyć rozkład eergii kietyczej Y oraz E(Y i V(Y. 60 Wyrazić momet cetraly µ k przez momety zwykłe i momet zwyczajy m k przez momety cetrale i przez wartość oczekiwaą m. 6 Przez pukt (0, poprowadzoo prostą w losowo wybraym kieruku. Zaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmieej losowej X będącej odciętą puktu przecięcia tej prostej z osią OX. 6 Zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a przedziale (-π,π. Wyzaczyć rozkład zmieej losowej Y si X. 6 Zmiea losowa X ma rozkład z rosącą ciągłą dystrybuatą F X (x. Zaleźć rozkład zmieej losowej Y F X (X. 7

8 6 Niech X ozacza czas oczekiwaia a pierwszy sukces w ieskończoym ciągu iezależych prób Beroulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p. Zaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmieej losowej X oraz wyzaczyć E(X i V(X. 65 Prawdopodobieństwo tego, że dorosły owad ziesie k jajeczek jest dae przez rozkład Poissoa o parametrze λ.prawdopodobieństwo tego, że z jajeczka rozwiie się dorosły owad, wyosi p. Obliczyć prawdopodobieństwo, że owad ma dokładie k dorosłych potomków, k0,,,...(odp: Rozkład liczby potomków jest rozkładem Poissoa z parametrem pλ. 66 Krupier rzuca symetryczą moetą do chwili, gdy wypadie orzeł. Gdy orzeł wypadie w k-tym rzucie, krupier wypłaca k złotych, ale gdy orzeł ie wypadie po sześciu rzutach gracz płaci s złotych i gra się kończy. Ile powia wyosić opłata s aby gra była sprawiedliwa? 67 Rzucamy razy symetryczą kostką do gry. Jeżeli wypadie k razy parzysta liczba oczek, to wygrywamy k złotych, gdzie k0,,,. Ile powia wyosić opłata za grę, aby gra była sprawiedliwa, tz. wartość oczekiwaa wygraej była rówa zeru. 68 Automat ustawioy a pozycji µ produkuje wałki, których średica ma rozkład ormaly N(µ,σ gdzie σ Wałek uważa się za dobry, gdy jego średica X mieści się w przedziale (0.5, 0.5. Jak powiie być ustawioy automat, aby prawdopodobieństwo wyprodukowaia braku było ajmiejsze? Jaki procetowo udział w całej produkcji będą miały braki aprawiale (X>0.5, a jaki ie aprawiale (X<0.5, jeżeli automat ustawioo pomyłkowo a pozycji µ Wyzaczyć dystrybuatę rozkładu jedostajego w: a trójkącie T : { (x,y R 0 x, y -x }, b trójkącie T : { (x,y R 0 x, -x y } 70 Zmiee losowe X i Y są iezależe i mają te sam rozkład jedostajy a przedziale (0,. Zaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmieej losowej ZX+Y. Zaleźć E(Z i V(Z. 7 Zmiee losowe X i Y są iezależe i mają te sam rozkład N(0,. Zaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmieej losowej Z X + Y. Zaleźć E(Z i V(Z. 7 Wyzaczyć rozkład ilorazu dwóch iezależych zmieych losowych o rozkładzie N(0,. 7 Niech (X,Y będzie dwuwymiarową zmieą losową o rozkładzie ormalym N(0,0,,,ρ. Wykazać, że zmiea ZY/X ma rozkład o fukcji gęstości f ( z ρ π ( ρz+ z 7 Wykazać, że zmiea losowa U X ma rozkład jedostajy a przedziale [0,], gdy X i Y są X + Y iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie wykładiczym.. 8

9 75 Zmiea (X,Y ma rozkład o fukcji gęstości f(x,yx+y, 0 x, 0 y Wyzaczyć rozkłady zmieych a X+Y, b X-Y, c XY, d Y/X. (Rohatgi str86 76 Zmiee losowe X,...,X są iezależe i mają te sam rozkład o dystrybuacie F X. Zaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmieej losowej Ymax(X,...,X. 77 Zmiee losowe X,...,X są iezależe i mają te sam rozkład o dystrybuacie F X. Zaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmieej losowej Ymi(X,...,X. 78 Dwuwymiarowa zmiea losowa (X,Y ma rozkład o fukcji gęstości f(x,ycxy, dla 0 x y. Wyzaczyć: a stałą c, b współczyik korelacji ρ (X,Y zmieych X i Y. zy zmiee X i Y są iezależe? c liię regresji pierwszego rodzaju zmieej Y względem X (wykres, d prostą regresji drugiego rodzaju zmieej Y względem X (wykres. 79 Dwuwymiarowa zmiea losowa (X,Y ma rozkład o fukcji gęstości f(x,yc(x+y, dla 0 x, 0 y -x. Wyzaczyć: a stałą c, a współczyik korelacji ρ (X,Y zmieych X i Y. zy zmiee X i Y są iezależe? b liię regresji pierwszego rodzaju zmieej Y względem X (wykres, c prostą regresji drugiego rodzaju zmieej Y względem X (wykres. 80 Dwuwymiarowa zmiea losowa (X,Y ma rozkład jedostajy a {(x,y: x +y, x 0, y 0}. Wyzaczyć : a współczyik korelacji ρ (X,Y zmieych X i Y. zy zmiee X i Y są iezależe? b liię regresji pierwszego rodzaju zmieej Y względem X (wykres, c prostą regresji drugiego rodzaju zmieej Y względem X (wykres. 8 Dwuwymiarowa zmiea losowa (X,Y ma rozkład zaday fukcją gęstości x(+ y xe, x > 0, y > 0 f( X, Y ( x, y. Wyzaczyć : 0, w pozostałych przypadkach a współczyik korelacji ρ (X,Y zmieych X i Y, b liię regresji pierwszego rodzaju zmieej Y względem X (wykres, c prostą regresji drugiego rodzaju zmieej Y względem X (wykres. 8 Dwuwymiarowa zmiea losowa (X,Y ma rozkład zaday fukcją gęstości x e, 0 < y < x < f( X, Y ( x, y. Wyzaczyć : 0, w pozostałych przypadkach a rozkłady brzegowe zmieych X i Y - czy zmiee X i Y są iezależe?, b rozkłady warukowe X Y i Y X, c liię regresji pierwszego rodzaju zmieej Y względem X (wykres, d P(X-Y> X0, P(X-Y> <X<0. 9

10 8 Dwuwymiarowa zmiea losowa (X,Y ma rozkład zaday fukcją gęstości, 0 < x < y < y f( X, Y ( x, y. Wyzaczyć : 0, w pozostałych przypadkach a rozkłady brzegowe zmieych X i Y - czy zmiee X i Y są iezależe?, b rozkłady warukowe X Y i Y X, c liię regresji pierwszego rodzaju zmieej Y względem X (wykres? d liię regresji pierwszego rodzaju zmieej Y względem X (wykres? 8 Dwuwymiarowa zmiea losowa (X,Y ma rozkład zaday fukcją gęstości y( x, 0 < y < x < f ( X, Y ( x, y. Wyzaczyć : 0, w pozostałych przypadkach a współczyik korelacji ρ (X,Y zmieych X i Y, b liię regresji pierwszego rodzaju zmieej Y względem X (wykres, c prostą regresji drugiego rodzaju zmieej Y względem X (wykres. 85 Dwuwymiarowa dyskreta zmiea losowa (X,Y ma rozkład X Y Wyzaczyć: a współczyik korelacji ρ (X,Y zmieych X i Y. zy zmiee X i Y są iezależe? b liię regresji pierwszego rodzaju zmieej Y względem X (wykres, c prostą regresji drugiego rodzaju zmieej Y względem X (wykres, d rozkład zmieej losowej R X + Y, e warukowy rozkład zmieej X pod warukiem R 86 Zmiea losowa (X,Y ma dwuwymiarowy rozkład N(m,V, gdzie m,v. Wyzaczyć : a fukcję gęstości f(x,y, b współczyik korelacji ρ (X,Y, c rozkład X pod warukiem X+Y Zmiea losowa (X,Y,Z ma trójwymiarowy rozkład N(m,Σ, gdzie m 0, Σ Wyzaczyć : a fukcję gęstości f(x,y,z, b współczyik korelacji ρ (X,Z, c P(-<X < Y-Z. 0

11 88 Odciek [0, ] łamiemy losowo a dwie części, astępie większą część łamiemy losowo a dwie. Pukty łamaia mają rozkład jedostajy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z otrzymaych odcików moża zbudować trójkąt. 89 Rzucamy symetryczą moetą tak długo aż w dwóch kolejych rzutach pojawią się "reszki". Oblicz wartość oczekiwaą liczby wykoaych rzutów. (Odp Zmiee losowe X, X,... są iezależe i X k ma rozkład Poissoa o parametrze λ k / k (k,,... Zbadać czy dla ciągu X k zachodzi prawo wielkich liczb. 9 Zmiee losowe X, X,... są iezależe i X k ma rozkład ormaly N(0, k dla k,,... Zbadać czy dla ciągu X k zachodzi prawo wielkich liczb. 9 Niech X k będzie zmieą losową przyjmującą z jedakowym prawdopodobieństwem jedą z dwóch wartości s k i s k. Przy jakim s zachodzi prawo wielkich liczb dla średiej arytmetyczej ciągu X,...,X k,...takich iezależych zmieych losowych. 9 Po tereie miasta jeździ 000 samochodów. Prawdopodobieństwo wezwaia pogotowia techiczego przez jede samochód wyosi p0.00. Obliczyć prawdopodobieństwo P(A wezwaia pogotowia przez którykolwiek z samochodów zakładając, ze wezwaia są zdarzeiami iezależymi. Podać wyik dokłady i przybliżoy uzyskay z aproksymacji rozkładu dwumiaowego rozkładem Poissoa. Oszacować teoretyczie błąd tego przybliżeia i sprawdzić jego dokładość w rozważaym przypadku. (Odp. dokł. P(A0.8695; przybl. P(A , oszacowaie błędu : błąd Tekst broszury zawiera zaków. W trakcie pisaia każdy zak może zostać błędie wprowadzoy z prawdopodobieństwem Z kolei redaktor zajduje każdy z błędów z prawdopodobieństwem 0.9, po czym tekst wraca do autora, który zajduje każdy z pozostałych błędów z prawdopodobieństwem 0.5. Jaka jest szasa, że po obu korektach broszura będzie zawierała ie więcej iż błędy. (Odp. p0.650± Grupa studetów rozwiązuje test składający się ze 00 pytań. Na każde pytaie możliwe są odpowiedzi. Od ilu poprawych odpowiedzi począwszy powio się stawiać oceę pozytywą, jeżeli prawdopodobieństwo zdaia egzamiu przy udzielaiu odpowiedzi a chybił trafił ie powio być większe iż Waga pasażerów samolotów jest pewą zmieą losową o wartości oczekiwaej µ 70 kg i odchyleiu stadardowym σ 8 kg. Także całkowity ciężar bagażu pasażera (tz. łączie z bagażem ręczym jest zmieą losową o wartości oczekiwaej µ kg i odchyleiu stadardowym σ 5 kg. Zakładając, że powyższe zmiee losowe są iezależe obliczyć prawdopodobieństwo, że 9 osoby łączie z bagażem ie ważą więcej iż 6500 kg. 97 Włamywacz -amator posługuje się kluczem do własego mieszkaia jako wytrychem. Udaje mu się w te sposób otworzyć jede drzwi a sto. Przyjmijmy że zysk z każdego udaego włamaia

12 wyosi zł. Ile mieszkań musi odwiedzić te złodziej, aby z prawdopodobieństwem co ajmiej 0.9 uzyskać sumę przekraczającą zł. 98 Każda ze 00 pracujących maszy jest włączoa w ciągu 80% całego czasu pracy a włączeia i wyłączeia są losowe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w przypadkowo wybraej chwili jest włączoych więcej iż 70 ale miej iż 86 maszy. 99 Prawdopodobieństwo zdarzeia A w pojedyczym doświadczeiu wyosi p 0.. Zaleźć liczbę doświadczeń aby z prawdopodobieństwem co ajmiej 0.9 liczba pojawieia się zdarzeia A była ie miejsza iż Towarzystwo ubezpieczeń wzajemych ma rezerwę 000 zł z poprzediego roku. W bieżącym roku stu klietów wpłaca po 00 zł ubezpieczeia. W przypadku śmierci ubezpieczoego firma wypłaca 000 zł. Prawdopodobieństwo śmierci każdego z klietów jest jedakowe i rówe 0.0. Załóżmy, że przypadki zgoów są iezależe od siebie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że firma ie będzie wypłacala w daym roku? 0 Niech X,..., X 00 będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie o gęstości 00 X i i f(xx(-x dla 0 < x <. Obliczyć P (50 < < Niech X,..., X 00 będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie beta o gęstości f(xx(-x dla 0 < x <. Obliczyć P (5 < X i < i 0 Komputer dodaje 00 liczb rzeczywistych z których każdą zaokrągla do ajbliższej liczby całkowitej. Zakłada się, że błędy zaokrągleń są iezależe i mają rozkład jedostajy a odciku (-0.5, 0.5. Zaleźć prawdopodobieństwo, że błąd w obliczeiu sumy ie przekroczy 0. 0 Aby stwierdzić jak wielu wyborców popiera obecie partię AB losujemy próbkę i a iej przeprowadzamy badaie. Jak duża powia być ta próbka aby uzyskay wyik różił się od rzeczywistego poparcia dla partii AB ie więcej iż o b% z prawdopodobieństwem -α0.95. Jaki będzie wyik jeżeli przed losowaiem próbki mamy częściową iformację, że poparcie dla AB ie przekracza 0%?