Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
|
|
- Zuzanna Ciesielska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: , 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład dany tabelką : a) b) c) 0 3 0, 0,3 0,4 0, /5 /3 4/5 /5 /5 3 4 /4 3/8 /8 /4 Obliczyć F(,5), F(3,5), EX, VarX. 3. W urnie są kule białe i 3 kule czarne. Losujemy po jednej kuli a) bez zwrotu, b) ze zwrotem, aż do momentu wylosowania kuli białej. Zmienna losowa X jest równa ilości losowań. Wyznaczyć jej rozkład, naszkicować dystrybuantę, obliczyć EX i VarX. 4. Rzucamy dwiema kostkami. Jeśli suma oczek jest równa wygrywamy 5 złotych, jeśli 3 wygrywamy 3 złote, a w każdym innym przypadku przegrywamy 0,5 zł. Zmienna losowa X jest równa wygranej. Wyznaczyć jej rozkład, naszkicować dystrybuantę, obliczyć EX i VarX. 5. Strzelec ma trzy naboje i strzela do momentu trafienia do celu lub do momentu wystrzelenia wszystkich nabojów. Zmienna losowa X jest równa ilości wystrzelonych nabojów. Wiedząc, że prawdopodobieństwo trafienia do celu wynosi przy każdym strzale 0,8 wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X. Obliczyć EX oraz VarX. 6. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy B(8;0,5). Obliczyć EX, P(X 6), P( X<3 ), P( X=5 ), P( <X 7 ), P( <X<6 ), P( X 6 ), P( 3 X<8 ), P( X>4 ). 7. Z partii towaru o liczności N=400 sztuk, w tym b=40 sztuk posiadających cechę A, losujemy ze zwrotem ( bez zwrotu ) n= sztuk. Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania 7 sztuk posiadających cechę A. 8. Cztery kule rozmieszczamy losowo w trzech szufladach, wśród których jedna jest wyróżniona. Niech X oznacza ilość kul w wyróżnionej szufladzie. Obliczyć EX. 9. W n=00 próbach Bernoulliego prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p=0,98. Obliczyć prawdopodobieństwo, że poniesiemy co najwyżej jedną porażkę stosując
2 a) dokładny wzór, b) twierdzenie Poissona. 0. Z urny zawierającej b białych i c czarnych kul wyciągamy po jednej kuli ze zwrotem, aż do momentu wylosowania kuli białej. Zmienna losowa X jest równa ilości wylosowanych kul czarnych. Obliczyć EX. Laboratorium nr 8. Zmienne losowe typu ciągłego (c.d.).. Monetą rzucamy tak długo, aż pojawi się orzeł. Niech X oznacza ilość rzutów. Obliczyć EX. c. Zmienna losowa X ma rozkład dany formułą: P( X = j ) = j 6, j=,,. Wyznaczyć stałą c. Obliczyć P(X>3), P( X 6 ), P( <X 8 ). 3. Zmienna losowa X ma rozkład dany formułą : P( X = j ) = j, j=,,. 3 Obliczyć EX oraz VarX. 4. Z urny zawierającej b białych i c=n-b czarnych kul losujemy bez zwrotu kule do momentu wylosowania kuli czarnej. Zmienna losowa X jest równa ilości wylosowanych kul białych. Wyznaczyć jej rozkład. Wykonać obliczenia dla b=5, c=0. 5. Z partii towaru zawierającej 00 wyrobów, z których 0 jest wybrakowanych losujemy bez zwrotu 5 wyrobów do sprawdzenia. Znaleźć rozkład zmiennej losowej X, która jest równa liczbie wybrakowanych wyrobów w próbce. Obliczyć EX oraz VarX. 6. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona P(). Obliczyć P( X 5 ), P( X<8 ), P ( X>6 ), P( X 3 ), P( <X 4 ), P( X 4 ), P( 3<X<9 ), P( X<7 ). 7. Zmienna losowa X ma rozkład dany formułą: P( X = j ) = Obliczyć P( X>5 ), P( X k ), P( X 5 )., j=,,. j( j + ) 8. Wyznaczyć wszystkie kwantyle zmiennej losowej X o rozkładzie danym tabelką 5 8 0,5 0, 0,3 9. W pewnej grze prawdopodobieństwo wygrania k złotych jest proporcjonalne do k=0,,,.obliczyć prawdopodobieństwo wygrania co najmniej 3 złotych. Obliczyć EX, gdzie X jest zmienną losową równą wygranej w tej grze. k!,
3 0. Urna zawiera 5 ( zawiera n) kul ponumerowanych liczbami,,3,4,5 (,,3,, n). Zmienna losowa X jest równa największemu numerowi otrzymanemu w rezultacie 3 krotnego losowania (k krotnego losowania) ze zwrotem. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X. Laboratorium nr 9. Zmienne losowe typu ciągłego.. W pewnym punkcie C nastąpiło zerwanie linii telefonicznej AB o długości l. Zmienna losowa X jest równa odległości punktu C od punktu A. Obliczyć EX, VarX. Obliczyć EX i VarX, jeśli X~U(<a,b>).. Na odcinku AB o długości l wybrano losowo dwa punkty C i D. Zmienna losowa X jest równa długości odcinka CD. Wyznaczyć jej rozkład. Obliczyć EX, VarX, l l P( X ). Zinterpretować to prawdopodobieństwo na wykresie funkcji gęstości 4 3 i dystrybuanty. 3. Strzelamy do tarczy będącej kołem o promieniu r. Każdy strzał jest celny i prawdopodobieństwo trafienia w dowolny podzbiór domknięty koła tarczy jest wprost proporcjonalne do pola powierzchni tego podzbioru. Zmienna losowa X jest równa odległości między tym punktem trafienia i środkiem tarczy. Wyznaczyć jej rozkład. Obliczyć EX, VarX i P(X> r ). Zinterpretować to prawdopodobieństwo na wykresie funkcji gęstości i dystrybuanty. 4. Dla jakiej stałej c funkcja f określona wzorem c(x x ), ( x) = 0 0 x f jest funkcją dla reszty gęstości rozkładu pewnej zmiennej losowej X? Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X. Obliczyć EX, VarX oraz P ( X ). 5. Dystrybuanta zmiennej X dana jest wzorem 0, x < 0 F ( x) = x, 0 x <., x Obliczyć EX, VarX, EX k, E(X-EX) k, k N. c 6. Dla jakiej stałej c funkcja f określona wzorem f ( x) = x x, x R jest funkcją e + e gęstości pewnej zmiennej losowej X. Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej. Obliczyć P( X ).
4 ln x, x e 7. Zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości f ( x) =. Obliczyć EX k, VarX. 8. Obliczyć EX oraz VarX, jeżeli X jest zmienną losową o rozkładzie a) wykładniczym, b) gamma. 9. Wyznaczyć kwantyle rzędu, 4, 3 4 a) U(<4,8>), b) N(,), c) wykładniczy z parametrem λ=5. zmiennej losowej X, jeśli X ma rozkład 0. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(4;9). Obliczyć a) P(X>3); b) P( X- <4); c)p( X-3 >).. Zmienna losowa X ma rozkład N(;4). Wyznaczyć liczbę a tak, aby P( X- <a)=α. Wyznaczyć liczbę k tak, aby P( X- <4k)=β. Wykonać obliczenia dla α=0,9; β=0,8;. Zmienna losowa X ma rozkład N(,5); Wyznaczyć kwantyl rzędu p (0;), dla p=0,0; 0,05; 0,; 0,; 0,5; 0,75; 0,8; 0,9; 0,95; 3. Zmienna losowa podlega rozkładowi Gamma Γ(4,). Znaleźć P(5 X 8). 4. Zmienna losowa podlega rozkładowi Gamma Γ(4,). Znaleźć kwantyl rzędu a=0,5. 5. Zmienna losowa podlega rozkładowi chi kwadrat χ o czterech stopniach swobody. Obliczyć P( 5 X 8 ). 6. Zmienna losowa podlega rozkładowi chi kwadrat χ o czterech stopniach swobody. Znaleźć kwantyl rzędu a=0,5.
5 Laboratorium nr 0. Rozkłady funkcji zmiennych losowych.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką , 0,3 0, 0,3 0, Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = g(x), jeśli: a) g(x) = 5x + 4 b) g(x) = x -.. Zmienna losowa X ma rozkład określony formułą P( X = j ) = j, j =,,. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = sin( π X). 3. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką 0 3 0, 0,3 0,4 0, Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = X. Obliczyć: a) E(Y), b) Var(Y), c) P( 3 Y < 0,5 ). 4. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką /5 /3 4/5 /5 /5 Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = ln(x). Obliczyć: a) E(Y ) b) Var(Y ) c) P( 0 < Y <,5 ). 5. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny U(<c,d>), c < d. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = ax + b. 6. Zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości f(x) = x +, x +, Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = e X. x <,0 >, x (0, >, 7. Promień koła (kuli) jest zmienną losową o rozkładzie a) jednostajnym U(<a,b>), a < b; b) wyznaczonym przez funkcję gęstości
6 f(x) = 0, x e, x < 0, x 0. Wyznaczyć rozkład pola powierzchni tego koła (kuli) oraz rozkład objętości kuli. 8. Zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości f(x) = 0, x e, x < x 0, 0. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej: a) Y = e X, b) Z = X. 9.. Zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości f(x) = 0, e x, x < x 0, 0. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = X. 0. Podstawą trójkąta równoramiennego jest odcinek, którego długość jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym U(<0, 50 m>). Obliczyć wartość oczekiwaną kąta przy wierzchołku, jeśli ramiona trójkąta mają po 50 m długości.. Przez ustalony punkt okręgu o promieniu R poprowadzono w sposób losowy cięciwę. Jaka jest wartość oczekiwana długości tej cięciwy?. Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y = g(x) w zadaniach 9 obydwoma sposobami.
7 Laboratorium nr. Wektory losowe typu skokowego. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład dany tabelką X\Y , 0, 0 0, 0,3 0,3 Wyznaczyć rozkłady brzegowe oraz dystrybuantę. Obliczyć a) P( X<, Y< ) b) P( X<0, Y = - ) c) P( X<, Y 0 ).. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład dany tabelką X\Y 0 0,05 0,5 0, 0, 0, 0,3 Wyznaczyć rozkłady brzegowe. Zbadać niezależność zmiennych losowych X i Y. Obliczyć momenty m 0 = E(X), m 0 = E(Y), m = E(XY), µ 0 = Var(X), µ 0 = Var(Y), µ = cov(x,y), ρ (X,Y). 3. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład dany tabelką X\Y /7 /7 3/7 0 6/35 4/35 Zbadać, czy zmienne losowe X i Y są niezależne oraz czy są nieskorelowane. 4. W urnie są dwie kartki ponumerowane liczbami i. Losujemy dwa razy po jednej kartce ze zwrotem. Niech X oznacza sumę, a Y różnicę wylosowanych liczb ( od pierwszej odejmujemy drugą ). Wyznaczyć rozkład wektora losowego (X,Y). Obliczyć cov(x,y). Zbadać niezależność zmiennych losowych X i Y. 5. W urnie są trzy kartki. Na jednej z nich jest liczba, a na dwóch liczba. Losujemy dwa razy po jednej kartce ze zwrotem. Niech X oznacza sumę, a Y różnicę wylosowanych liczb ( od pierwszej odejmujemy drugą ). Wyznaczyć rozkład wektora losowego (X,Y). Obliczyć cov(x,y). Zbadać niezależność zmiennych losowych X i Y.
8 6. W urnie jest 5 kul białych i 0 kul czarnych. Losujemy bez zwrotu dwie kule. Niech X oznacza ilość wylosowanych kul białych, a Y ilość wylosowanych kul czarnych. Wyznaczyć rozkład wektora losowego (X,Y), rozkłady brzegowe. Obliczyć cov(x,y) oraz ρ (X,Y). Czy można było przewidzieć, że ρ (X,Y) < 0? 7. W urnie są kule niebieskie, 3 kule białe i 4 kule czarne. Losujemy bez zwrotu 3 kule. Niech X ( Y, Z ) oznacza ilość wylosowanych kul niebieskich (białych, czarnych). Wyznaczyć rozkłady wektorów losowych (X,Y), (X,Z), (Y,Z), ich rozkłady brzegowe oraz charakterystyki liczbowe. 8. Niech P( X = - ) = P( X = ) = 0, oraz P (X = 0 ) = 0,6. Obliczyć cov(x,y) jeśli Y=X Laboratorium nr. Wektory losowe typu ciągłego. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości f(x,y) = Wyznaczyć stałą A oraz dystrybuantę. A π(6 + x )(5 + y. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości ), x, y R. f(x,y) = x + y, 0 x, Wyznaczyć dystrybuantę. Obliczyć P( X, Y 3. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości 0 ). y, f(x,y) = sin( x + y), 0 x π,0 y π, Wyznaczyć dystrybuantę i rozkłady brzegowe. Zbadać niezależność zmiennych losowych X i Y. Obliczyć P( π π X 6 4, π 0 Y ) Wektor losowy (X,Y) ma dystrybuantę
9 0, x 0 y, 3 x y, 0 < x 0 < y, F(x,y) = x, 0 < x y >, 3 y, 0 < x 0 < y,, x > y >. Wyznaczyć funkcję gęstości rozkładu tego wektora losowego. 5. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości f(x,y) = 0,3( x + y ), 0 x,0 y, Wyznaczyć dystrybuantę i rozkłady brzegowe. Obliczyć P( X, Y ) oraz cov(x,y). 6. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości f(x,y) = x y, 6 0 x,0 y 6 6x, Wyznaczyć rozkłady brzegowe. Obliczyć cov(x,y). 7. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości f(x,y) = C( x + y)exp[ ( x + y)], x > 0, y > Wyznaczyć stałą C oraz rozkłady brzegowe. Obliczyć ρ (X,Y). 0, 8. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości
10 f(x,y) =, xy 0 x y, Wyznaczyć rozkłady brzegowe. Obliczyć cov(x,y). 9. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład jednostajny na trójkącie o wierzchołkach w punktach o współrzędnych (0,0), (,0), (0,). Obliczyć ρ(x,y). 0. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład jednostajny na kwadracie o wierzchołkach w punktach o współrzędnych (-,0), (0,), (,0), (0,-), ( (0,0), (,0), (,), (0,) ).. Zbadać niezależność i nieskorelowanie zmiennych losowych X i Y.
11 Laboratorium nr 3. Twierdzenia graniczne. Rzucamy 00 razy monetą symetryczną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie: a) nie więcej niż 60 razy? b) od 40 do 60 razy? Obliczyć te prawdopodobieństwa w oparciu o dokładny wzór oraz stosując przybliżenie dane twierdzeniem Moivre a Laplace a.. Rzucamy 500 razy symetryczną kostką sześcienną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ilość szóstek będzie większa niż 50 i mniejsza niż 00? Obliczyć te prawdopodobieństwa w oparciu o dokładny wzór oraz stosując przybliżenie dane twierdzeniem Moivre a Laplace a. 3. Każda ze stu pracujących niezależnie od siebie obrabiarek włączona jest w ciągu 0,8 całego czasu pracy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w dowolnie wybranej chwili czasu będzie włączonych od 70 do 86 obrabiarek? 4. Prawdopodobieństwo pojawienia się zdarzenia w jednym doświadczeniu wynosi 0,3. Z jakim prawdopodobieństwem można twierdzić, że częstość tego zdarzenia przy 00 ( 0000 ) doświadczeniach będzie zawarta w granicach od 0, do 0,4? 5. Wykonano 300 doświadczeń według schematu Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p = 0,6 w pojedynczym doświadczeniu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że częstość sukcesu odchyli się co do wartości bezwzględnej od prawdopodobieństwa sukcesu o nie więcej niż 0, Pearson na 4000 rzutów monetą otrzymał 0 orłów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przy powtórzeniu doświadczenia otrzymamy mniejsze od zaobserwowanego przez Pearsona odchylenie częstości wyrzucenia orła od prawdopodobieństwa wyrzucenia orła. 7. Prawdopodobieństwo, że dowolna ustalona linia spośród n linii w centrali telefonicznej będzie zajęta jest równe 0,6. Jaka jest najmniejsza liczba n, przy której prawdopodobieństwo tego, że co najmniej 35% linii będzie wolnych, będzie nie mniejsze niż 0,9? 8. Partia towaru ma wadliwość 5%, Ile elementów należy pobrać w próbie ( ze zwrotem ) Aby z prawdopodobieństwem 0,99 można było twierdzić, że procent sztuk wadliwych w próbie jest w granicach od 4% do 6%? 9. Dysponujemy 80 żarówkami. Wkręcamy jedną z nich do obwodu, a gdy się przepali wkręcamy następną. Czas świecenia każdej z tych żarówek jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej 500 godzin. Oszacować prawdopodobieństwo, że posiadany zapas żarówek wystarczy na godzin stosując twierdzenie Lindeberga Levy ego. 0. Każdą ze 9 liczb zaokrąglamy do części całkowitej. Błąd zaokrąglenia każdej z liczb jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym U(<-0,5; 0,5>). Oszacować prawdopodobieństwo, że błąd sumy tych liczb będzie co do wartości bezwzględnej mniejszy od 0.
12 . Dodano 0 4 liczb zaokrąglonych do 0 6. Zakładając, że błąd zaokrąglenia ma rozkład jednostajny wyznaczyć granice w jakich znajdować się będzie błąd sumy z prawdopodobieństwem 0,99 ( 0,999 oraz 0,9 ).. Zmienne losowe X j, j =,,,00 są niezależne i każda z nich ma rozkład Poissona z parametrem λ =. Obliczyć P( 90 S 00 0 ), gdzie S 00 = X +X + X 00, w oparciu o dokładny wzór oraz stosując przybliżenie dane twierdzeniem Lideberga- Levy ego. 3. Wadliwość partii detali wynosi 0,0. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w pudełku zawierającym 00 detali a) nie będzie detalu wadliwego, b) będą co najwyżej dwa detale wadliwe. 4. Prawdopodobieństwo trafienia do celu przy każdym strzale wynosi 0,03. Ile strzałów należy wykonać aby prawdopodobieństwo uzyskania przynajmniej jednego trafienia było większe niż 0,9?
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoZadania zestaw 1: Zadania zestaw 2
Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m
Bardziej szczegółowoćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa
ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9.10.2010 ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności 1. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewną σ-algebrą podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 9.10.2011 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0, 1] oraz
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 6.10.2012 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0,1] oraz
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoLista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadania na zastosowanie nierównosci Markowa i Czebyszewa. Zadanie 1. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Korzystając z nierówności Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)
Bardziej szczegółowo5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3
LISTA 4 1.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ = 7. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo GEOMETRYCZNE
Prawdopodobieństwo GEOMETRYCZNE Zadanie 1. Skoczek spadochronowy skacze nad kwadratową wyspą o boku 20km. Na środku wyspy znajduje się prostokątne lądowisko o wymiarach 2x3 km. Jakie jest prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoI. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo. g) różnowartościowych, h) bez miejsc zerowych, i) z jednym miejscem zerowym, j) z dwoma miejscami zerowymi,
I. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo I.1 Mała Lusia bawi się literkami A,A,A,E,K,M,M,T,T,Y ustawiając je w różnej kolejności. Jakie jest prawdopodobieństwo ustawienia wyrazu MATEMATYKA? I. Wśród funkcji
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoZmienne losowe skokowe
Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 1. W urnie jest 1000 kartoników będących losami loterii pieniężnej. Cztery z kartoników wygrywają po 100 zł i szesnaście po 10 zł. Reszta kartoników to losy puste. Pierwszy
Bardziej szczegółowo07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoWartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych
Przykład(Wartość średnia) Otrzymaliśmy propozycję udziału w grze polegającej na jednokrotnym rzucie symetryczną kostką. Jeśli wypadnie 1 wygrywamy2zł,;jeśliwypadnie2,płacimy1zł;za3wygrywamy 4zł;za4płacimy5zł;za5wygrywamy3złiwreszcieza6
Bardziej szczegółowoNajczęściej spotykane rozkłady dyskretne:
I. Rozkład dwupunktowy: Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: Def. Zmienna X ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieostwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. P(X = x 1 ) = p i P(X = x 2 ) = 1 p =
Bardziej szczegółowoLista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty
Bardziej szczegółowoc) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.
Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowodr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1
Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia czwarte Schematy rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 29 października 20 Spis
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoElektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy
Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowo15. Rachunek prawdopodobieństwa mgr A. Piłat, mgr M. Małycha, mgr M. Warda
1. Każdej karcie bankomatowej jest przypisany numer identyfikacyjny zwany kodem PIN. Kod ten składa się z czterech cyfr(cyfry mogą się powtarzać, ale kodem PIN nie może być 0000). Oblicz prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoMetody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer
Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Model klasyczny prawdopodobieństwa.losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo zadania na sprawdzian
Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ
Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 8 KWIETNIA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Dla każdej dodatniej
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 3.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 3: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala,
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podać przykład
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoI. Analiza danych. I.1 W pewnym punkcie sieci elektrycznej mierzono co godzinę istniejące napięcie w V. Otrzymano w ten sposób 25 danych:
I. Analiza danych I.1 W pewnym punkcie sieci elektrycznej mierzono co godzinę istniejące napięcie w V. Otrzymano w ten sposób 25 danych: 225, 223, 224, 220, 221, 218, 215, 219, 220, 221, 222, 220, 222,
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może
Bardziej szczegółowoII WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 1 1.Urządzenie składa się z 3 elementów. Każdy z elementów może mieć jedną z trzech jakości. Opisać zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowo4.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1
LISTA 7 W rozwiązaniu zadań 1-4 wykorzystać centralne twierdzenie graniczne. 1.Prawdopodobieństwo, że aparat zepsuje się w czasie jego konserwacji wynosi 0.02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trakcie
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego
Bardziej szczegółowoĆwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowo= = a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiemy, że. b 1. a 2 ab b 2
64 III. Zienne losowe jednowyiarowe D Ponieważ D (A) < D (B), więc należy wybrać partię A. Przykład 3.4. Obliczyć wariancję rozkładu jednostajnego. Ponieważ a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiey, że
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoMetody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer
Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Model klasyczny prawdopodobieństwa. Losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć
Bardziej szczegółowoKwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.
Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoRozkłady zmiennych losowych
Rozkłady zmiennych losowych 1 Zmienne losowe dyskretne 1.1 Rozkład dwumianowy Zad.1.1.1 Prawdopodobieństwo dziedziczenia pewnej cechy wynosi 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu potomków
Bardziej szczegółowodr Jarosław Kotowicz 14 października Zadania z wykładu 1
Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia drugie Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Wzór Bayesa. Zdarzenia niezależne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 14 października 2011
Bardziej szczegółowoLista 1 - Prawdopodobieństwo
Lista 1 - Prawdopodobieństwo Zadanie 1. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia: a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C; b) zachodzą dokładnie
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoZmienne losowe zadania na sprawdzian
Zmienne losowe zadania na sprawdzian Zad. 1. Podane poniżej dane dotyczą zawartości suchej masy (w %) i sosu (w %) w 24 konserwach ze śledzia w pomidorach: Zawartość suchej masy: 12,0 13,0 14,5 14,0 12,0
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoSeria 1. Zbieżność rozkładów
Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowog) wartość oczekiwaną (przeciętną) i wariancję zmiennej losowej K.
TEMAT 1: WYBRANE ROZKŁADY TYPU SKOKOWEGO ROZKŁAD DWUMIANOWY (BERNOULLIEGO) Zadanie 1-1 Prawdopodobieństwo nieprzekroczenia przez pewien zakład pracy dobowego limitu zużycia energii elektrycznej (bez konieczności
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowo