Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.

Save this PDF as:
Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego."

Transkrypt

1 Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: , 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład dany tabelką : a) b) c) 0 3 0, 0,3 0,4 0, /5 /3 4/5 /5 /5 3 4 /4 3/8 /8 /4 Obliczyć F(,5), F(3,5), EX, VarX. 3. W urnie są kule białe i 3 kule czarne. Losujemy po jednej kuli a) bez zwrotu, b) ze zwrotem, aż do momentu wylosowania kuli białej. Zmienna losowa X jest równa ilości losowań. Wyznaczyć jej rozkład, naszkicować dystrybuantę, obliczyć EX i VarX. 4. Rzucamy dwiema kostkami. Jeśli suma oczek jest równa wygrywamy 5 złotych, jeśli 3 wygrywamy 3 złote, a w każdym innym przypadku przegrywamy 0,5 zł. Zmienna losowa X jest równa wygranej. Wyznaczyć jej rozkład, naszkicować dystrybuantę, obliczyć EX i VarX. 5. Strzelec ma trzy naboje i strzela do momentu trafienia do celu lub do momentu wystrzelenia wszystkich nabojów. Zmienna losowa X jest równa ilości wystrzelonych nabojów. Wiedząc, że prawdopodobieństwo trafienia do celu wynosi przy każdym strzale 0,8 wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X. Obliczyć EX oraz VarX. 6. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy B(8;0,5). Obliczyć EX, P(X 6), P( X<3 ), P( X=5 ), P( <X 7 ), P( <X<6 ), P( X 6 ), P( 3 X<8 ), P( X>4 ). 7. Z partii towaru o liczności N=400 sztuk, w tym b=40 sztuk posiadających cechę A, losujemy ze zwrotem ( bez zwrotu ) n= sztuk. Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania 7 sztuk posiadających cechę A. 8. Cztery kule rozmieszczamy losowo w trzech szufladach, wśród których jedna jest wyróżniona. Niech X oznacza ilość kul w wyróżnionej szufladzie. Obliczyć EX. 9. W n=00 próbach Bernoulliego prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p=0,98. Obliczyć prawdopodobieństwo, że poniesiemy co najwyżej jedną porażkę stosując

2 a) dokładny wzór, b) twierdzenie Poissona. 0. Z urny zawierającej b białych i c czarnych kul wyciągamy po jednej kuli ze zwrotem, aż do momentu wylosowania kuli białej. Zmienna losowa X jest równa ilości wylosowanych kul czarnych. Obliczyć EX. Laboratorium nr 8. Zmienne losowe typu ciągłego (c.d.).. Monetą rzucamy tak długo, aż pojawi się orzeł. Niech X oznacza ilość rzutów. Obliczyć EX. c. Zmienna losowa X ma rozkład dany formułą: P( X = j ) = j 6, j=,,. Wyznaczyć stałą c. Obliczyć P(X>3), P( X 6 ), P( <X 8 ). 3. Zmienna losowa X ma rozkład dany formułą : P( X = j ) = j, j=,,. 3 Obliczyć EX oraz VarX. 4. Z urny zawierającej b białych i c=n-b czarnych kul losujemy bez zwrotu kule do momentu wylosowania kuli czarnej. Zmienna losowa X jest równa ilości wylosowanych kul białych. Wyznaczyć jej rozkład. Wykonać obliczenia dla b=5, c=0. 5. Z partii towaru zawierającej 00 wyrobów, z których 0 jest wybrakowanych losujemy bez zwrotu 5 wyrobów do sprawdzenia. Znaleźć rozkład zmiennej losowej X, która jest równa liczbie wybrakowanych wyrobów w próbce. Obliczyć EX oraz VarX. 6. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona P(). Obliczyć P( X 5 ), P( X<8 ), P ( X>6 ), P( X 3 ), P( <X 4 ), P( X 4 ), P( 3<X<9 ), P( X<7 ). 7. Zmienna losowa X ma rozkład dany formułą: P( X = j ) = Obliczyć P( X>5 ), P( X k ), P( X 5 )., j=,,. j( j + ) 8. Wyznaczyć wszystkie kwantyle zmiennej losowej X o rozkładzie danym tabelką 5 8 0,5 0, 0,3 9. W pewnej grze prawdopodobieństwo wygrania k złotych jest proporcjonalne do k=0,,,.obliczyć prawdopodobieństwo wygrania co najmniej 3 złotych. Obliczyć EX, gdzie X jest zmienną losową równą wygranej w tej grze. k!,

3 0. Urna zawiera 5 ( zawiera n) kul ponumerowanych liczbami,,3,4,5 (,,3,, n). Zmienna losowa X jest równa największemu numerowi otrzymanemu w rezultacie 3 krotnego losowania (k krotnego losowania) ze zwrotem. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X. Laboratorium nr 9. Zmienne losowe typu ciągłego.. W pewnym punkcie C nastąpiło zerwanie linii telefonicznej AB o długości l. Zmienna losowa X jest równa odległości punktu C od punktu A. Obliczyć EX, VarX. Obliczyć EX i VarX, jeśli X~U(<a,b>).. Na odcinku AB o długości l wybrano losowo dwa punkty C i D. Zmienna losowa X jest równa długości odcinka CD. Wyznaczyć jej rozkład. Obliczyć EX, VarX, l l P( X ). Zinterpretować to prawdopodobieństwo na wykresie funkcji gęstości 4 3 i dystrybuanty. 3. Strzelamy do tarczy będącej kołem o promieniu r. Każdy strzał jest celny i prawdopodobieństwo trafienia w dowolny podzbiór domknięty koła tarczy jest wprost proporcjonalne do pola powierzchni tego podzbioru. Zmienna losowa X jest równa odległości między tym punktem trafienia i środkiem tarczy. Wyznaczyć jej rozkład. Obliczyć EX, VarX i P(X> r ). Zinterpretować to prawdopodobieństwo na wykresie funkcji gęstości i dystrybuanty. 4. Dla jakiej stałej c funkcja f określona wzorem c(x x ), ( x) = 0 0 x f jest funkcją dla reszty gęstości rozkładu pewnej zmiennej losowej X? Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X. Obliczyć EX, VarX oraz P ( X ). 5. Dystrybuanta zmiennej X dana jest wzorem 0, x < 0 F ( x) = x, 0 x <., x Obliczyć EX, VarX, EX k, E(X-EX) k, k N. c 6. Dla jakiej stałej c funkcja f określona wzorem f ( x) = x x, x R jest funkcją e + e gęstości pewnej zmiennej losowej X. Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej. Obliczyć P( X ).

4 ln x, x e 7. Zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości f ( x) =. Obliczyć EX k, VarX. 8. Obliczyć EX oraz VarX, jeżeli X jest zmienną losową o rozkładzie a) wykładniczym, b) gamma. 9. Wyznaczyć kwantyle rzędu, 4, 3 4 a) U(<4,8>), b) N(,), c) wykładniczy z parametrem λ=5. zmiennej losowej X, jeśli X ma rozkład 0. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(4;9). Obliczyć a) P(X>3); b) P( X- <4); c)p( X-3 >).. Zmienna losowa X ma rozkład N(;4). Wyznaczyć liczbę a tak, aby P( X- <a)=α. Wyznaczyć liczbę k tak, aby P( X- <4k)=β. Wykonać obliczenia dla α=0,9; β=0,8;. Zmienna losowa X ma rozkład N(,5); Wyznaczyć kwantyl rzędu p (0;), dla p=0,0; 0,05; 0,; 0,; 0,5; 0,75; 0,8; 0,9; 0,95; 3. Zmienna losowa podlega rozkładowi Gamma Γ(4,). Znaleźć P(5 X 8). 4. Zmienna losowa podlega rozkładowi Gamma Γ(4,). Znaleźć kwantyl rzędu a=0,5. 5. Zmienna losowa podlega rozkładowi chi kwadrat χ o czterech stopniach swobody. Obliczyć P( 5 X 8 ). 6. Zmienna losowa podlega rozkładowi chi kwadrat χ o czterech stopniach swobody. Znaleźć kwantyl rzędu a=0,5.

5 Laboratorium nr 0. Rozkłady funkcji zmiennych losowych.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką , 0,3 0, 0,3 0, Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = g(x), jeśli: a) g(x) = 5x + 4 b) g(x) = x -.. Zmienna losowa X ma rozkład określony formułą P( X = j ) = j, j =,,. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = sin( π X). 3. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką 0 3 0, 0,3 0,4 0, Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = X. Obliczyć: a) E(Y), b) Var(Y), c) P( 3 Y < 0,5 ). 4. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką /5 /3 4/5 /5 /5 Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = ln(x). Obliczyć: a) E(Y ) b) Var(Y ) c) P( 0 < Y <,5 ). 5. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny U(<c,d>), c < d. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = ax + b. 6. Zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości f(x) = x +, x +, Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = e X. x <,0 >, x (0, >, 7. Promień koła (kuli) jest zmienną losową o rozkładzie a) jednostajnym U(<a,b>), a < b; b) wyznaczonym przez funkcję gęstości

6 f(x) = 0, x e, x < 0, x 0. Wyznaczyć rozkład pola powierzchni tego koła (kuli) oraz rozkład objętości kuli. 8. Zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości f(x) = 0, x e, x < x 0, 0. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej: a) Y = e X, b) Z = X. 9.. Zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości f(x) = 0, e x, x < x 0, 0. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = X. 0. Podstawą trójkąta równoramiennego jest odcinek, którego długość jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym U(<0, 50 m>). Obliczyć wartość oczekiwaną kąta przy wierzchołku, jeśli ramiona trójkąta mają po 50 m długości.. Przez ustalony punkt okręgu o promieniu R poprowadzono w sposób losowy cięciwę. Jaka jest wartość oczekiwana długości tej cięciwy?. Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y = g(x) w zadaniach 9 obydwoma sposobami.

7 Laboratorium nr. Wektory losowe typu skokowego. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład dany tabelką X\Y , 0, 0 0, 0,3 0,3 Wyznaczyć rozkłady brzegowe oraz dystrybuantę. Obliczyć a) P( X<, Y< ) b) P( X<0, Y = - ) c) P( X<, Y 0 ).. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład dany tabelką X\Y 0 0,05 0,5 0, 0, 0, 0,3 Wyznaczyć rozkłady brzegowe. Zbadać niezależność zmiennych losowych X i Y. Obliczyć momenty m 0 = E(X), m 0 = E(Y), m = E(XY), µ 0 = Var(X), µ 0 = Var(Y), µ = cov(x,y), ρ (X,Y). 3. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład dany tabelką X\Y /7 /7 3/7 0 6/35 4/35 Zbadać, czy zmienne losowe X i Y są niezależne oraz czy są nieskorelowane. 4. W urnie są dwie kartki ponumerowane liczbami i. Losujemy dwa razy po jednej kartce ze zwrotem. Niech X oznacza sumę, a Y różnicę wylosowanych liczb ( od pierwszej odejmujemy drugą ). Wyznaczyć rozkład wektora losowego (X,Y). Obliczyć cov(x,y). Zbadać niezależność zmiennych losowych X i Y. 5. W urnie są trzy kartki. Na jednej z nich jest liczba, a na dwóch liczba. Losujemy dwa razy po jednej kartce ze zwrotem. Niech X oznacza sumę, a Y różnicę wylosowanych liczb ( od pierwszej odejmujemy drugą ). Wyznaczyć rozkład wektora losowego (X,Y). Obliczyć cov(x,y). Zbadać niezależność zmiennych losowych X i Y.

8 6. W urnie jest 5 kul białych i 0 kul czarnych. Losujemy bez zwrotu dwie kule. Niech X oznacza ilość wylosowanych kul białych, a Y ilość wylosowanych kul czarnych. Wyznaczyć rozkład wektora losowego (X,Y), rozkłady brzegowe. Obliczyć cov(x,y) oraz ρ (X,Y). Czy można było przewidzieć, że ρ (X,Y) < 0? 7. W urnie są kule niebieskie, 3 kule białe i 4 kule czarne. Losujemy bez zwrotu 3 kule. Niech X ( Y, Z ) oznacza ilość wylosowanych kul niebieskich (białych, czarnych). Wyznaczyć rozkłady wektorów losowych (X,Y), (X,Z), (Y,Z), ich rozkłady brzegowe oraz charakterystyki liczbowe. 8. Niech P( X = - ) = P( X = ) = 0, oraz P (X = 0 ) = 0,6. Obliczyć cov(x,y) jeśli Y=X Laboratorium nr. Wektory losowe typu ciągłego. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości f(x,y) = Wyznaczyć stałą A oraz dystrybuantę. A π(6 + x )(5 + y. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości ), x, y R. f(x,y) = x + y, 0 x, Wyznaczyć dystrybuantę. Obliczyć P( X, Y 3. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości 0 ). y, f(x,y) = sin( x + y), 0 x π,0 y π, Wyznaczyć dystrybuantę i rozkłady brzegowe. Zbadać niezależność zmiennych losowych X i Y. Obliczyć P( π π X 6 4, π 0 Y ) Wektor losowy (X,Y) ma dystrybuantę

9 0, x 0 y, 3 x y, 0 < x 0 < y, F(x,y) = x, 0 < x y >, 3 y, 0 < x 0 < y,, x > y >. Wyznaczyć funkcję gęstości rozkładu tego wektora losowego. 5. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości f(x,y) = 0,3( x + y ), 0 x,0 y, Wyznaczyć dystrybuantę i rozkłady brzegowe. Obliczyć P( X, Y ) oraz cov(x,y). 6. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości f(x,y) = x y, 6 0 x,0 y 6 6x, Wyznaczyć rozkłady brzegowe. Obliczyć cov(x,y). 7. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości f(x,y) = C( x + y)exp[ ( x + y)], x > 0, y > Wyznaczyć stałą C oraz rozkłady brzegowe. Obliczyć ρ (X,Y). 0, 8. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości

10 f(x,y) =, xy 0 x y, Wyznaczyć rozkłady brzegowe. Obliczyć cov(x,y). 9. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład jednostajny na trójkącie o wierzchołkach w punktach o współrzędnych (0,0), (,0), (0,). Obliczyć ρ(x,y). 0. Wektor losowy (X,Y) ma rozkład jednostajny na kwadracie o wierzchołkach w punktach o współrzędnych (-,0), (0,), (,0), (0,-), ( (0,0), (,0), (,), (0,) ).. Zbadać niezależność i nieskorelowanie zmiennych losowych X i Y.

11 Laboratorium nr 3. Twierdzenia graniczne. Rzucamy 00 razy monetą symetryczną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie: a) nie więcej niż 60 razy? b) od 40 do 60 razy? Obliczyć te prawdopodobieństwa w oparciu o dokładny wzór oraz stosując przybliżenie dane twierdzeniem Moivre a Laplace a.. Rzucamy 500 razy symetryczną kostką sześcienną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ilość szóstek będzie większa niż 50 i mniejsza niż 00? Obliczyć te prawdopodobieństwa w oparciu o dokładny wzór oraz stosując przybliżenie dane twierdzeniem Moivre a Laplace a. 3. Każda ze stu pracujących niezależnie od siebie obrabiarek włączona jest w ciągu 0,8 całego czasu pracy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w dowolnie wybranej chwili czasu będzie włączonych od 70 do 86 obrabiarek? 4. Prawdopodobieństwo pojawienia się zdarzenia w jednym doświadczeniu wynosi 0,3. Z jakim prawdopodobieństwem można twierdzić, że częstość tego zdarzenia przy 00 ( 0000 ) doświadczeniach będzie zawarta w granicach od 0, do 0,4? 5. Wykonano 300 doświadczeń według schematu Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p = 0,6 w pojedynczym doświadczeniu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że częstość sukcesu odchyli się co do wartości bezwzględnej od prawdopodobieństwa sukcesu o nie więcej niż 0, Pearson na 4000 rzutów monetą otrzymał 0 orłów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przy powtórzeniu doświadczenia otrzymamy mniejsze od zaobserwowanego przez Pearsona odchylenie częstości wyrzucenia orła od prawdopodobieństwa wyrzucenia orła. 7. Prawdopodobieństwo, że dowolna ustalona linia spośród n linii w centrali telefonicznej będzie zajęta jest równe 0,6. Jaka jest najmniejsza liczba n, przy której prawdopodobieństwo tego, że co najmniej 35% linii będzie wolnych, będzie nie mniejsze niż 0,9? 8. Partia towaru ma wadliwość 5%, Ile elementów należy pobrać w próbie ( ze zwrotem ) Aby z prawdopodobieństwem 0,99 można było twierdzić, że procent sztuk wadliwych w próbie jest w granicach od 4% do 6%? 9. Dysponujemy 80 żarówkami. Wkręcamy jedną z nich do obwodu, a gdy się przepali wkręcamy następną. Czas świecenia każdej z tych żarówek jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej 500 godzin. Oszacować prawdopodobieństwo, że posiadany zapas żarówek wystarczy na godzin stosując twierdzenie Lindeberga Levy ego. 0. Każdą ze 9 liczb zaokrąglamy do części całkowitej. Błąd zaokrąglenia każdej z liczb jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym U(<-0,5; 0,5>). Oszacować prawdopodobieństwo, że błąd sumy tych liczb będzie co do wartości bezwzględnej mniejszy od 0.

12 . Dodano 0 4 liczb zaokrąglonych do 0 6. Zakładając, że błąd zaokrąglenia ma rozkład jednostajny wyznaczyć granice w jakich znajdować się będzie błąd sumy z prawdopodobieństwem 0,99 ( 0,999 oraz 0,9 ).. Zmienne losowe X j, j =,,,00 są niezależne i każda z nich ma rozkład Poissona z parametrem λ =. Obliczyć P( 90 S 00 0 ), gdzie S 00 = X +X + X 00, w oparciu o dokładny wzór oraz stosując przybliżenie dane twierdzeniem Lideberga- Levy ego. 3. Wadliwość partii detali wynosi 0,0. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w pudełku zawierającym 00 detali a) nie będzie detalu wadliwego, b) będą co najwyżej dwa detale wadliwe. 4. Prawdopodobieństwo trafienia do celu przy każdym strzale wynosi 0,03. Ile strzałów należy wykonać aby prawdopodobieństwo uzyskania przynajmniej jednego trafienia było większe niż 0,9?

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m

Bardziej szczegółowo

ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa

ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9.10.2010 ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności 1. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewną σ-algebrą podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2 ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.

Bardziej szczegółowo

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

rachunek prawdopodobieństwa - zadania

rachunek prawdopodobieństwa - zadania rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 9.10.2011 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0, 1] oraz

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń

Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:

Bardziej szczegółowo

rachunek prawdopodobieństwa - zadania

rachunek prawdopodobieństwa - zadania rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 6.10.2012 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0,1] oraz

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń

Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:

Bardziej szczegółowo

Lista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym

Lista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym Lista 5 Zadania na zastosowanie nierównosci Markowa i Czebyszewa. Zadanie 1. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Korzystając z nierówności Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω) ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)

Bardziej szczegółowo

5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3

5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3 LISTA 4 1.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ = 7. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo GEOMETRYCZNE

Prawdopodobieństwo GEOMETRYCZNE Prawdopodobieństwo GEOMETRYCZNE Zadanie 1. Skoczek spadochronowy skacze nad kwadratową wyspą o boku 20km. Na środku wyspy znajduje się prostokątne lądowisko o wymiarach 2x3 km. Jakie jest prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

I. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo. g) różnowartościowych, h) bez miejsc zerowych, i) z jednym miejscem zerowym, j) z dwoma miejscami zerowymi,

I. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo. g) różnowartościowych, h) bez miejsc zerowych, i) z jednym miejscem zerowym, j) z dwoma miejscami zerowymi, I. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo I.1 Mała Lusia bawi się literkami A,A,A,E,K,M,M,T,T,Y ustawiając je w różnej kolejności. Jakie jest prawdopodobieństwo ustawienia wyrazu MATEMATYKA? I. Wśród funkcji

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna

Bardziej szczegółowo

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A) Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe skokowe

Zmienne losowe skokowe Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.

Bardziej szczegółowo

Jednowymiarowa zmienna losowa

Jednowymiarowa zmienna losowa 1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 1. W urnie jest 1000 kartoników będących losami loterii pieniężnej. Cztery z kartoników wygrywają po 100 zł i szesnaście po 10 zł. Reszta kartoników to losy puste. Pierwszy

Bardziej szczegółowo

07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe

07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe 07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

Wartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych

Wartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych Przykład(Wartość średnia) Otrzymaliśmy propozycję udziału w grze polegającej na jednokrotnym rzucie symetryczną kostką. Jeśli wypadnie 1 wygrywamy2zł,;jeśliwypadnie2,płacimy1zł;za3wygrywamy 4zł;za4płacimy5zł;za5wygrywamy3złiwreszcieza6

Bardziej szczegółowo

Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne:

Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: I. Rozkład dwupunktowy: Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: Def. Zmienna X ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieostwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. P(X = x 1 ) = p i P(X = x 2 ) = 1 p =

Bardziej szczegółowo

Lista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

Lista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty

Bardziej szczegółowo

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp. Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa

Rozkłady prawdopodobieństwa Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład

Bardziej szczegółowo

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

dr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1

dr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1 Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia czwarte Schematy rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 29 października 20 Spis

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa. Rozkład skokowy

Zmienna losowa. Rozkład skokowy Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

15. Rachunek prawdopodobieństwa mgr A. Piłat, mgr M. Małycha, mgr M. Warda

15. Rachunek prawdopodobieństwa mgr A. Piłat, mgr M. Małycha, mgr M. Warda 1. Każdej karcie bankomatowej jest przypisany numer identyfikacyjny zwany kodem PIN. Kod ten składa się z czterech cyfr(cyfry mogą się powtarzać, ale kodem PIN nie może być 0000). Oblicz prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Model klasyczny prawdopodobieństwa.losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 8 KWIETNIA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Dla każdej dodatniej

Bardziej szczegółowo

Przykłady do zadania 3.1 :

Przykłady do zadania 3.1 : Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 3: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala,

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ, Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podać przykład

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

I. Analiza danych. I.1 W pewnym punkcie sieci elektrycznej mierzono co godzinę istniejące napięcie w V. Otrzymano w ten sposób 25 danych:

I. Analiza danych. I.1 W pewnym punkcie sieci elektrycznej mierzono co godzinę istniejące napięcie w V. Otrzymano w ten sposób 25 danych: I. Analiza danych I.1 W pewnym punkcie sieci elektrycznej mierzono co godzinę istniejące napięcie w V. Otrzymano w ten sposób 25 danych: 225, 223, 224, 220, 221, 218, 215, 219, 220, 221, 222, 220, 222,

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 1 1.Urządzenie składa się z 3 elementów. Każdy z elementów może mieć jedną z trzech jakości. Opisać zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

4.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1

4.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1 LISTA 7 W rozwiązaniu zadań 1-4 wykorzystać centralne twierdzenie graniczne. 1.Prawdopodobieństwo, że aparat zepsuje się w czasie jego konserwacji wynosi 0.02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trakcie

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1

KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1 KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II

Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe

Bardziej szczegółowo

= = a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiemy, że. b 1. a 2 ab b 2

= = a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiemy, że. b 1. a 2 ab b 2 64 III. Zienne losowe jednowyiarowe D Ponieważ D (A) < D (B), więc należy wybrać partię A. Przykład 3.4. Obliczyć wariancję rozkładu jednostajnego. Ponieważ a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiey, że

Bardziej szczegółowo

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =. Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,

Bardziej szczegółowo

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Model klasyczny prawdopodobieństwa. Losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć

Bardziej szczegółowo

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p. Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych 1 Zmienne losowe dyskretne 1.1 Rozkład dwumianowy Zad.1.1.1 Prawdopodobieństwo dziedziczenia pewnej cechy wynosi 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu potomków

Bardziej szczegółowo

dr Jarosław Kotowicz 14 października Zadania z wykładu 1

dr Jarosław Kotowicz 14 października Zadania z wykładu 1 Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia drugie Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Wzór Bayesa. Zdarzenia niezależne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 14 października 2011

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Prawdopodobieństwo

Lista 1 - Prawdopodobieństwo Lista 1 - Prawdopodobieństwo Zadanie 1. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia: a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C; b) zachodzą dokładnie

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:

Bardziej szczegółowo

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe zadania na sprawdzian

Zmienne losowe zadania na sprawdzian Zmienne losowe zadania na sprawdzian Zad. 1. Podane poniżej dane dotyczą zawartości suchej masy (w %) i sosu (w %) w 24 konserwach ze śledzia w pomidorach: Zawartość suchej masy: 12,0 13,0 14,5 14,0 12,0

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Seria 1. Zbieżność rozkładów

Seria 1. Zbieżność rozkładów Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014

Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014 Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki

WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego

Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................

Bardziej szczegółowo

g) wartość oczekiwaną (przeciętną) i wariancję zmiennej losowej K.

g) wartość oczekiwaną (przeciętną) i wariancję zmiennej losowej K. TEMAT 1: WYBRANE ROZKŁADY TYPU SKOKOWEGO ROZKŁAD DWUMIANOWY (BERNOULLIEGO) Zadanie 1-1 Prawdopodobieństwo nieprzekroczenia przez pewien zakład pracy dobowego limitu zużycia energii elektrycznej (bez konieczności

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo