Matematyka Dyskretna cz. II

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka Dyskretna cz. II"

Łucja Karpińska
7 lat temu
Przeglądów:

1 Mtemty Dysret cz. II Cigi liczbowe iducj reurecj rówi róicowe grfy ombitory fucje tworzce. Zdi dl studetów iformtyi. Ktrzy Lubuer Mri Wols

2 Cigi liczbowe iducj mtemtycz. Oblicz: ) 5! b) c). Oblicz:! 7! ( + )!! ) b) j 5 j c) ( ) i 3 d) i m e) ( + ) 5 f) ( + ) 8 g) ( ) j 4 j m + h) m Wy iducyjie e + ) i N b) i i i ( + )( + ) 6 N c) ( ) ( ) N i 6i 3 +

i d) ( ) N i + 3 4. Wy iducyjie e: ) 4 jest podziele przez 7 dl N b) 5

3 i d) ( ) N i Wy iducyjie e: ) 4 jest podziele przez 7 dl N b) 5 4 jest podziele przez 6 dl. c) jest podziele przez 4 dl d) N N jest podziele przez 73 dl N. 5. Wy iducyjie e jeeli płszczyz podzielimy soczo iloci prostych to mo j poolorow dwom olormi t by po obu stroch dej prostej w dym pucie były róe olory. 6. Rozwmy zdie p(): jest liczb przyst. ) Udowodij i z prwdziwoci zdi p() wyi prwdziwo zdi p(+) dl dego turlego. b) Dl jich zdie p() jest prwdziwe? 3

4 Notcj due O 7. Zjd jmiejsze turle dl tórego f ( ) O( ) ) f ( ) b) f ( ) + 3 c) ( ) ( ) 5 f d) ( ) f + e) f ( ) log 8. Zjd jmiejszy z poród cigów : log : log ! spełijcy wrue f ( ) O( ( ) ) ) f ( ) 3 b) ( ) f 3 log + 3 c) ( ) f d) ( ) 75 f log e) f ( ) ( +). dl : 4

5 Reurecj. Udowodij e jeeli s c s s dl orz c R + to s c.. Podj wzór jwy dl cigu s gdzie s s s 4s dl. 3. Wemy cig zdefiiowy reurecyjie: s s s s + s dl. Zjd jego post jw orzystjc z odpowiediego twierdzei. 4. W dym z poiszych przypdów zjd post jw cigu s: ) s s 3 s s + s dl 3 b) s s s s + 6s dl c) s s 8 s 4s 4s dl d) s s 3 s s + 3s dl e) s orz s 5s dl 5. Defiiujemy reurecyjie cig s + dl N. s i s ) Wypisz il pierwszych wyrzów tego cigu. b) Ji jest zbiór wrtoci cigu s. 6. Wemy cig ( ). ) Podj wzór jwy -ty wyrz tego cigu jeli. b) Podj defiicje reurecyj tego cigu. 7. Defiiujemy reurecyjie cig z pomoc wzorów orz + dl ) Zjd 6.. b) Wy i wszystie elemety tego cigu s ieprzyste. 5

6 Rówi róicowe. Wielomi m w putch : odpowiedio wrtoci: 3-9. Zjd te wielomi stosujc wzór iterpolcyjy Newto.. Wielomi m w putch : 3 4 odpowiedio wrtoci: Zjd te wielomi stosujc wzór iterpolcyjy Newto. 3. De s wrtoci fucji f() dl : i wyosz odpowiedio: Oblicz 4 f ( ) 4. Oblicz f ( ) stosujc: ) stosujc tblice róic b) stosujc wzór -t róic. dl h: ) ( ) f e b) f ( ) e 3 c) ( ) f 3 d) f ( ) si e) f ( ) cos f) f ( ) g) ( ) f 5 h) f ( ) Rozwi rówi róicowe dl h: f e ) ( ) f si cos + b) ( ) c) f ( ) ( 3 ) d) ( ) e) ( ) f ( + ) f + f) ( ) f. Sporzd wyresy fucji f dl wruów pocztowych: 6

7 ) f ( ) e ( ) f b) f ( ) si cos + ( Π) 3 c) f ( ) ( 3 ) ( ) f d) f ( ) ( ) 5 ( + ) f e) f ( ) + ( ) 5 f f) f ( ) ( ) 4 f. f 6. Rozwi rówi róicowe dl h: + ) f ( ) l e + e ( e ) l( + ) f + + b) ( ) ( ) ( ) c) f ( ) ( 3 ) + 3( 4 ). Ws. Sorzystj z wzoru ( f ( ) g( ) ). 7. Rozwi rówie róicowe liiowe jedorode: ( ) + f ( )( e) f. 8. Rozwi rówie róicowe liiowe jedorode: f ( ) f ( ). + Zjd rozwizie szczegółowe dl wruu pocztowego: f ( ) Rozwi rówie róicowe liiowe jedorode: f ( ) + f ( ). + Zjd rozwizie szczegółowe dl wruu pocztowego: f ( ).. Rozwi rówie róicowe liioweie jedorode: f + ( ) + f ( ). Zjd rozwizie szczegółowe dl wruu pocztowego: f ( ). 7

8 Grfy. Podj opis grfu i tbel fucji γ dl stpujcych grfów sierowych:. Nrysuj grf sierowy posidjcy zbiór wierzchołów V(G) i zbiór rwdzi E(G) tórego fucj γ d jest tbel: ) V ( G) { w y z} E( G) { b c d e f g} b c d e f g γ ( ) (w) (w) () (wz) (wy) (wz) (zy) b) V ( G) { w y z} E( G) { b c d e f g h} b c d e f g h γ ( ) () (w) (w) (ww) (zy) (yz) (zz) (yy) c) V ( G) { w y z} E( G) { b c d e f g h i j l} s b c d e f g h i j l γ ( s) (y) (y) (w) (wz) (zw) (w) (z) (z) (yz) (zy) (yw) (wy) 3. Dl grfów G G G3 G4 zjd ) drogi długoci 4 prowdzce od wierzchoł do y b) drogi długoci 4 prowdzce od wierzchoł y do w c) drogi długoci 5 prowdzce od wierzchoł do z. 8

9 4. Nrysuj grfy relcji R R3 orelo stpujco: ) ( y) R + y 5 b) ( y) R + y 4 R gdzie { 34 } c) ( y) R + y jest przyste 3 d) ( y) R y 5. Dl grfów G G G3 G4 zjd mcierze ssiedztw: S orz iech R i relcj w zbiorze S 9

10 6. Dl grfów G G G3 G4 z zdi powyej orzystjc z ich mcierzy ssiedztw zjd ilo dróg długoci orz 3 pomidzy wierzchołmi ) i y b) i z.

11 Kombitory i zliczie Oblicz W olejce do dzietu stoi studetów. ) N ile sposobów mog by ustwiei? b) N ile sposobów mog by ustwiei jeli wiemy e Mre stoi zrz z Jiem? c) N ile sposobów mog by ustwiei jeli wiemy e Mre jest bliej oc oleji i pocztu? 3. Niech zbiór A { } B { } ) Ile jest podzbiorów 4 elemetowych zbioru A.. Policz: b) Ile jest podzbiorów zbioru A złooych z 3 liczb przystych i ieprzystych. c) Ile jest 4 elemetowych podzbiorów zbioru A zwierjcych co jmiej liczby przyste. d) Ile jest 3 elemetowych podzbiorów zbioru A zwierjcych co jwyej liczb przyst. e) Ile jest elemetów w zbiorze A B orz A B. f) Ile jest podzbiorów zbioru A B. 4. W uli odbyw si zebrie dotyczce wyboru jzyów przez studetów. Kdy studet musi wybr co jmiej i ie moe wybr wicej i jzyi. 5 studetów chce uczy si gielsiego 5 iemieciego 3 frcusiego 5 włosiego. de ze studetów chccych uczy si włosiego ie chce uczy si iego jzy 5 sporód uczcych si gielsiego chce uczy si te iemieciego 3 frcusiego. Tylo studet zmierz uczy si iemieciego i frcusiego. Ilu studetów przyszło spotie? 5. W grupie jest 6 studetów i studete. N ile sposobów moemy wybr z ich zespół osobowy złooy z studeti i studet. N ile sposobów moemy podzieli t grup zespoły osobowe mjce rozwiz te sm problem. A ile sposobów mo grup podzieli 6 rówoliczych zespołów do zrobiei 6 róych zd? 6. W urie jest 6 poumerowych ul iebiesich 8 poumerowych ul zieloych i 4 poumerowe ule biłe. Losujemy z ury 6 ul. Ile moemy uzys wyiów losowi ) Słdjcych si z 3 ul zieloych dwóch iebiesich i biłej. b) Słdjcych si z ul w jedym olorze. c) Zwierjcych co jmiej 4 ule iebiesie

12 d) Zwierjcych ule we wszystich olorch. 7. W lfbecie jzy iformtyczego B-- jest tylo 5 liter. Co jwyej ile wyrzów 3 literowych jest w jzyu B--? Ile jest w im wszystich wyrzów ie dłuszych i 5 liter? 8. Tblic rejestrcyj w smochodzie słd si z -3 ustloych liter zleych od miejsc rejestrcji pojzdu orz cigu 4 losowo wybrych cyfr (...9) lub liter łcisich (AB Z). Ile mo smochodów zrejestrow w miecie Łodzi? 9. Ile rwdzi zwier peły grf sierowy o -ciu wierzchołch?.! idetyczych ul umieszczmy w 4 szufldch. Ile rozróilych wyiów moemy otrzym jeli: ) ie mmy dych ogricze? b) pierwsz szufld pozostie pust? c) w dej szufldzie bdzie co jmiej ul? d) w jedej z szufld bdzie co jmiej 7 ul? e) w dej szufldzie bd co jmiej ule?. poumerowych ul 4 rozmieszczmy w 3 szufldch ile sposobów moemy je rozmieci jeeli: ) ie mmy dych ogricze b) wszystie ule wpdj do jedej szufldy c) co jmiej jed szufld pozostje pust d) co jmiej dwie szufldy pozostj puste e) do pierwszej szufldy wpdły tylo ule 3.. Ile moemy stworzy liczb czterocyfrowych: ) złooych z smych cyfr ieprzystych? b) o róych cyfrch słdowych? c) przystych? d) wiszych od 4999? 3. W I lidze jest 6 zespołów grjcych dy z dym rzy w sezoie. Ile odbdzie si meczy w sezoie? 4. W miecie X o sztłcie prostot jest + ulic prowdzcych z zchodu wschód i prowdzcych i + ulic prowdzcych z półocy połudie. N ile sposobów moemy przejech z półoco-zchodiego rc mist do rc połudiowo-wschodiego wybiermy zwsze jrótsz drog. 5. W trójcie prostotym przyprostote podzieloo rówych czci przez puty podziłu przeprowdzoo proste prostopdłe do ich (rysue). Korzystjc z

13 3 powstłej siti przejd z wierzchoł przy cie prostym do przeciwprostotej poruszj si tylo w prwo i do góry.. N ile sposobów moesz to zrobi? Wy przy ozji rówo: 6. N ile sposobów moemy wylosow ul sporód wród tórych jest poumerowych ul biłych i poumerowych ul czrych. Wyorzystj te model do wyzi rówoci:.

14 Fucje tworzce. Ile podzbiorów zbioru [ ] { 3... } liczb? wliczjc zbiór pusty ie zwier ssiedich. Niech f() bdzie wyłdicz fucj tworzc cigu D postci: ( ) D D D + Stosujc metod fucji tworzcych wyzcz post jw cigu 3. Dl cigu reurecyjego dego ułdem wruów: ( P) ( R) + > D. wypisz il pierwszych wyrzów odgdij wzór ogóly i wy go iducyjie. 4. Dl cigu reurecyjego dego ułdem wruów: ( P) ( R) + > zjd fucje tworzc i przy jej pomocy zjd post jw cigu. 5. Dl cigu reurecyjego dego ułdem wruów: ( P) ( R) 3 + > wypisz il pierwszych wyrzów odgdij wzór ogóly i wy go iducyjie. 6. Dl cigu reurecyjego dego ułdem wruów: ( P) ( R) 3 + > zjd fucje tworzc i przy jej pomocy zjd post jw cigu. 4

Podobne dokumenty

4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.

4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące. 4. Reurecj. Zleżości reurecyje, lgorytmy reurecyje, szczególe fucje tworzące. Reurecj poleg rozwiązywiu problemu w oprciu o rozwiązi tego smego problemu dl dych o miejszych rozmirch. W iformtyce reurecj