Matematyka dyskretna dla informatyków

Transkrypt

1 Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007

2

3 2 Podstawowe zasady i prawa przeliczania Istotnym aspektem matematyki dyskretnej jest przeliczanie obiektów kombinatorycznych. Przez przeliczanie rozumiemy tu okre±lenie liczebno±ci zbioru, co w przypadku zbioru sko«czonego sprowadza si do wyznaczenia liczby elementów tego zbioru Zasada bijekcji Ta elementarna zasada pozwala zast pi przeliczany zbiór innym (zawieraj cym tyle samo elementów). Opiera si ona na prostej obserwacji,»e dla sko«czonych zbiorów A oraz B, je»eli istnieje bijekcja f : A B, (tj. f jest funkcj ró»nowarto±ciow 1 i na 2 ), to zbiory A i B maj tak sam liczb elementów. Oznaczmy przez B = {0, 1} zbiór cyfr binarnych, a przez B n zbiór ci gów binarnych o dªugo±ci n. Przykªad 2.1. Dla danego zbioru n-elementowego X = {x 1, x 2,..., x n } wskaza bijekcj mi dzy rodzin P(X) wszystkich podzbiorów X a zbiorem ci gów binarnych B n. Przykªad 2.2. Wskaza bijekcj mi dzy zbiorem wszystkich rozmieszcze«k jednakowych kul w n oznaczonych szuadkach, a zbiorem ci gów binarnych zªo»onych z k zer i n 1 jedynek. Przykªad 2.3. Wyobra¹my sobie krat wymiaru k n (patrz Rysunek 2.1). Wskaza bijekcj mi dzy zbiorem wszystkich najkrótszych dróg od A do B a zbiorem ci gów binarnych zªo»onych z n jedynek i k zer. Przykªad 2.4. Wskaza bijekcj mi dzy zbiorem wszystkich ci gów binarnych zªo»onych z n jedynek oraz k 1 zer a zbiorem rozwi za«równania gdzie ka»de x i jest nieujemn liczb caªkowit. 1 inaczej iniekcja: (x, y A x y) f(x) f(y) 2 inaczej suriekcja: f(a) = B x 1 + x x k = n (2.1)

4 10 2. Podstawowe zasady i prawa przeliczania k B k 1 k 2 k 3 1 A 1 2 n 2 n 1 n Rysunek 2.1: Krata wymiaru k n Prawa dodawania i mno»enia Twierdzenie 2.1 (Prawo mno»enia). Niech A 1, A 2,..., A n b d zadanymi zbiorami sko«czonymi. Wówczas liczba ci gów (a 1, a 2,..., a n ), gdzie a i A i, i = 1, 2,..., n, jest równa A 1 A 2... A n. Przykªad 2.6. Ile jest 4-cyfrowych liczb zbudowanych z cyfr 1, 2,..., 9? Przykªad 2.7. Ile jest wszystkich podzbiorów zbioru n-elementowego? Okazuje si,»e w wielu zagadnieniach kombinatorycznych mamy do czynienia z przypadkiem, gdzie posta kolejnych zbiorów A i wyst puj cych w prawie mno»enia mo»e zale»e od wcze±niej wybranych elementów rozwa»anych ci gów. Przydatne jest wówczas, cz sto wykorzystywane w zadaniach z przeliczania, nast puj ce wzmocnienie prawa mno»enia. Twierdzenie 2.2 (Ogólne prawo mno»enia). Je»eli pewna procedura mo»e by rozbita na n kolejnych kroków, z r 1 wynikami w pierwszym kroku, r 2 wynikami w drugim kroku,..., r n wynikami w n-tym kroku, to w caªej procedurze mamy r 1 r 2... r n mo»liwych ª cznych wyników (rozumianych jako uporz dkowane ci gi wyników cz stkowych). Przykªad 2.8. Ile jest 4-cyfrowych liczb zbudowanych z cyfr 1, 2,..., 9, w których»adna cyfra si nie powtarza? Przykªad 2.9. Ile spo±ród 4-cyfrowych liczb zbudowanych z cyfr 1, 2,..., 9, w których»adna cyfra si nie powtarza, zawiera cyfr 5? Przykªad Ile jest wszystkich mo»liwych funkcji dziaªaj cych ze zbioru k-elementowego X w zbiór n-elementowy Y. Przejd¹my teraz do drugiego elementarnego prawa wykorzystywanego w przeliczaniu (cz sto ª cznie z prawem mno»enia). Twierdzenie 2.3 (Prawo dodawania). Je±li A 1, A 2,..., A n s sko«czonymi zbiorami parami roz- ª cznymi (to znaczy, A i A j = dla i j), to n A i = i=1 n A i. i=1

5 2.3. Zasada wª czania i wyª czania 11 W ogólnym przypadku (gdy zbiory nie musz by rozª czne), wzór na moc sumy sko«czonej liczby zbiorów wynika z zasady wª czania i wyª czania, o której b dzie mowa w paragrae trzecim tego rozdziaªu. Przykªad Ile 4-cyfrowych liczb zbudowanych z cyfr 1, 2,..., 9 zawiera cyfr 5? Przykªad Na ile sposobów mo»na podzieli zbiór {1, 2,..., n} na dwa niepuste i rozª czne podzbiory? Przykªad Pokaza,»e dla dowolnego zbioru zªo»onego z o±miu ró»nych dwucyfrowych liczb naturalnych nie wi kszych ni» 36 istniej dwa rozª czne podzbiory, których elementy sumuj si do tej samej liczby. Przykªad Ile ró»nych, niepustych paczek z owocami mo»na utworzy, maj c do dyspozycji jabªka i gruszki przy zaªo»eniu,»e w paczce nie mo»e by wi cej ni» n jabªek i nie mo»e by wi cej ni» m gruszek? Przykªad Ile jest caªkowitych liczb 3-cyfrowych wi kszych od 666, w których pierwsza cyfra nie jest równa ostatniej cyfrze? Przykªad Dany jest zbiór X zªo»ony z n elementów. Niech X 1, X 2,..., X n+1 b d dowolnymi, niepustymi podzbiorami zbioru X. Pokaza,»e istniej takie dwa niepuste podzbiory A i B zbioru indeksów {1, 2,..., n + 1}, dla których X k = X k. k A k B 2.3. Zasada wª czania i wyª czania Przykªad Ile jest dodatnich, caªkowitych liczb mniejszych lub równych 500, które nie s podzielne ani przez 3, ani przez 5? Przykªad W±ród 200 studentów drugiego roku matematyki po 80 studentów zapisaªo si na wykªady z analizy, algebry i rachunku prawdopodobie«stwa. Co wi cej, na ka»de dwa z tych wykªadów zapisaªo si po 30 studentów, a na wszystkie trzy 15 studentów. (1) Ilu studentów zapisaªo si na chocia» jeden z tych wykªadów? (2) Ilu studentów nie zapisaªo si na»aden z tych wykªadów? (3) Ilu studentów zapisaªo si tylko na rachunek prawdopodobie«stwa? Twierdzenie 2.4 (Zasada wª czania i wyª czania). Dla danego sko«czonego zbioru obiektów, z których ka»dy mo»e mie lub nie mie wªasno± 1, 2,..., n, niech N(i 1, i 2,..., i k ) b dzie liczb tych obiektów, które maj co najmniej k wªasno±ci i 1, i 2,..., i k. Wówczas liczba obiektów maj - cych co najmniej jedn wªasno± wynosi N(1) + N(2) N(n) N(1, 2) N(1, 3)... N(n 1, n) + N(1, 2, 3) + N(1, 2, 4) N(n 2, n 1, n)... + ( 1) n 1 N(1, 2,..., n).

6 12 2. Podstawowe zasady i prawa przeliczania Przykªad Ile jest liczb czterocyfrowych, które nie s podzielne ani przez 2, ani przez 3, ani przez 5, ani przez 7? Przykªad Ile spo±ród liczb od 2 do 1000 ma caªkowity pierwiastek kwadratowy, sze±cienny lub dowolnego wy»szego stopnia? 2.4. Zadania Zadanie 2.1. Wskaza bijekcj pomi dzy nast puj cymi rodzinami obiektów kombinatorycznych: (a) rozmieszczenia k identycznych kul w n oznaczonych szuadkach, nie pozostawiaj ce»adnej szuadki pustej, (b) rozbicia liczby k na n uporz dkowanych, caªkowitoliczbowych i dodatnich skªadników, (c) ci gi binarne zªo»one z n 1 jedynek i k n zer. Zadanie 2.2. Na ile sposobów mo»na rozmie±ci osiem wie» na szachownicy (o wymiarze 8 8) tak, aby»adna nie mogªa bi innej? Zadanie 2.3. Ile przek tnych ma n-k t wypukªy? Zadanie 2.4. Na ile sposobów mo»na wybra m»czyzn i kobiet, którzy nie s m»em i»on, z grupy osób zªo»onej z n par maª»e«skich? Zadanie 2.5. S cztery ró»ne drogi z miasta A do miasta B, trzy ró»ne drogi z miasta B do miasta C i dwie ró»ne drogi z A do C. (a) Na ile sposobów mo»na dojecha z A do C? (b) Na ile sposobów mo»na dojecha z A do B i z powrotem? (c) Na ile sposobów mo»na dojecha z A do B i z powrotem nie jad c»adn drog dwa razy? Zadanie 2.6. Ile mo»na utworzy nieuporz dkowanych par liczb caªkowitych od 0 do n (wª cznie), w których ró»nica równa si k? Zadanie 2.7. Ile jest podpseudozbiorów mocy 11 pseudozbioru, który zawiera cztery elementy a, trzy elementy b i jedena±cie elementów c? Zadanie 2.8. Anna i Bartosz graj w ko±ci rzucaj c jednocze±nie czterema kostkami. Je»eli w±ród tych czterech kostek wypadnie chocia» jedna szóstka, to wygrywa Anna, w przeciwnym razie wygrywa Bartosz. Kto z nich ma wi ksze szanse na wygran? Zadanie 2.9. Na ile sposobów mo»emy rozmie±ci k rozró»nialnych kul w n oznaczonych szu- adkach, przy zaªo»eniu,»e ka»da szuadka zawiera co najwy»ej jedn kul? Zadanie Ile jest liczb naturalnych palindromicznych (tj. identycznych przy czytaniu w obu kierunkach, np ) maj cych: (a) pi cyfr, (b) 2k + 1 cyfr (k N), (c) 2k cyfr (k N)?

7 2.4. Zadania 13 Zadanie Ile palindromów n-literowych mo»na utworzy maj c do dyspozycji alfabet maj cy m liter? Zadanie Ile jest pi ciocyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3 takich,»e (a) ±rodkowa cyfra jest równa d, dla d = 0, 1,..., 9, (b) zawieraj cyfr d, dla d = 0, 1,..., 9, (c) nie zawieraj cyfry d, dla d = 0, 1,..., 9? Zadanie Ile jest pi ciocyfrowych liczb, w których cyfra 3 wyst puje dokªadnie jeden raz? Zadanie Ile jest pi ciocyfrowych liczb naturalnych, których suma cyfr jest nie wi ksza ni» 43? Zadanie Ile jest sze±ciocyfrowych liczb naturalnych, których suma cyfr jest nie wi ksza ni» 51? Zadanie Ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych, których suma cyfr nale»y do zbioru {3, 4,..., 60}? Zadanie Na ile sposobów mo»emy wybra z talii 52 kart dwie kolejne karty, w ten sposób,»e pierwsza karta b dzie treem ( ) a druga karta nie b dzie dam? Zadanie Ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez 5, dla których pierwsza cyfra jest wi ksza od ostatniej? Zadanie Ile jest liczb naturalnych mniejszych b d¹ równych 10 n, w których nie wyst puj obok siebie dwie jednakowe cyfry? Zadanie Na ile sposobów mo»emy utworzy niepusty podzbiór maj c do dyspozycji pi identycznych jabªek i osiem identycznych brzoskwi«? Zadanie Spo±ród stu studentów pi dziesi ciu uczy si francuskiego, czterdziestu ªaciny, a dwudziestu obu tych j zyków. Ilu z nich nie uczy si ani francuskiego ani ªaciny? Zadanie W trzydziestoosobowej klasie dwudziestu uczniów uczy si ªaciny, czternastu greki a dziesi ciu hebrajskiego. Je±li»adne dziecko nie uczy si wszystkich trzech j zyków, a o±mioro nie uczy si»adnego, to ilu uczy si greki i hebrajskiego? Zadanie Ile jest liczb naturalnych nie wi kszych ni» 1000, które (a) nie s podzielne ani przez 3, ani przez 7, ani przez 11, (b) nie s podzielne ani przez 4, ani przez 6, ani przez 9? Zadanie Ile jest liczb naturalnych nie wi kszych ni» 100, które (a) nie s podzielne przez kwadrat»adnej liczby naturalnej wi kszej ni» 1, (b) nie s podzielne przez sze±cian»adnej liczby naturalnej wi kszej ni» 1? Zadanie Ile jest ci gów dªugo±ci 2n zawieraj cych ka»d z liczb ze zbioru [n] dwa razy, i takich»e»adne dwie równe liczby nie zajmuj s siednich pozycji.