Rozkłady statystyk z próby. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2: Rozkłady statystyk z próby. Przedziały ufnoci

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozkłady statystyk z próby. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2: Rozkłady statystyk z próby. Przedziały ufnoci"

Michał Jasiński
7 lat temu
Przeglądów:

1 Rozkłady tatytyk z próby Metody probabilitycze i tatytyka Wykład : Rozkłady tatytyk z próby. rzedziały ufoci Małgorzata Krtowka Wydział Iformatyki olitechika Białotocka mmac@ii.pb.bialytok.pl troa www: Modele tatytycze, tudia zaocze Statytyk azywamy zmie loow, bdc fukcj zmieych loowych X, X,..., X taowicych prób. Statytyka jako zmiea loowa poiada pewie rozkład, który azywamy rozkładem tatytyki z próby. Zaley o przede wzytkim od rozkładu populacji, z której pochodzi próba oraz od liczeboci próby. Ze wzgldu a liczebo próby rozkłady tatytyk dzielimy a dokłade - rozkłady prawdopodobietwa wyzaczoe dla dowolej liczby aturalej, bdcej liczeboci próby. S oe wykorzytywae dla małych prób. graicze - rozkład prawdopodobietwa tatytyki, który otrzymuje i przy załoeiu ieograiczeie duej próby,. Nie ma jedej, okreloej wartoci od której uzajemy prób za du. W iektórych przypadkach rozkład dokłady ju dla >30 iewiele rói i od rozkładu graiczego, w iych przypadkach potrzebujemy >00. Modele tatytycze, tudia zaocze Rozkład rediej arytmetyczej z próby x = x i i=. Cecha X w populacji geeralej ma rozkład N(µ,), zae. Z populacji tej pobieramy prób -elemetow (X, X,..., X ). redia arytmetycza z próby ma rozkład: N( µ, ) f(x) 0 N(,) N(,0.) Modele tatytycze, tudia zaocze 3 x redia arytmetycza X Rozkład rediej arytmetyczej z próby w praktyce wykorzytujemy zmie tadaryzowa: która ma rozkład N(0,). x m u =. Cecha X w populacji ma rozkład N(µ,), iezae, 30 Dokoujemy przekztałceia zwaego tudetyzacj: t = = ( x i i= zmiea t ma rozkład t Studeta z - topiami wobody. 0 x N(0,) t-studeta Dla duych : rozkład t Studeta -> N(0,) W praktyce, gdy >30 rozkład t Studeta aprokymujemy rozkładem ormalym. Modele tatytycze, tudia zaocze 4

Statytyka jako zmiea loowa poiada pewie rozkład, który azywamy rozkładem tatytyki z próby. Zaley o przede wzytkim od rozkładu populacji, z której pochodzi próba oraz od liczeboci próby.

2 Rozkład rediej arytmetyczej z próby 3. Cecha X w populacji ma rozkład dowoly, iezae, >30. Dla duych prób zakładamy, e. Korzytamy ze tatytyki: która ma rozkład N(0,). x m u = Rozkład wariacji z próby Cecha X ma w populacji geeralej rozkład N(m, );, m - iezae; 30 Etymatorem parametru jet wariacja z próby = = i= która ma rozklad chi-kwadrat z - topiami wobody. χ ( x i 0.50 = =4 =8 Dla duych : χ N(,) f(x) 0.5 Y = χ N(0,) Modele tatytycze, tudia zaocze x W praktyce, gdy >30 rozkład chi-kwadrat aprokymujemy rozkładem ormalym Modele tatytycze, tudia zaocze 6 Etymacja przedziałowa Etymacja przedziałowa polega a kotruowaiu przedziału liczbowego, który z góry okreloym - blikim jedoci - prawdopodobietwem bdzie zawierał ieza warto zacowaego parametru θ. rzedział te oi azwe przedziału ufoci: {g (θ ) < θ < g (θ )} =- gdzie θ - etymator parametru θ, g (θ ) - doly kraiec przedziału ufoci g (θ ) - góry kraiec przedziału ufoci - - prawdopodobietwo tzw. wpółczyik ufoci Wpółczyik ufoci Utaloe z góry prawdopodobietwo - azywamy wpółczyikiem ufoci Iterpretacja wpółczyika ufoci: przy wielokrotym pobieraiu prób - elemetowych i wyzaczaiu a ich podtawie fukcji g (θ ) oraz g (θ ) redio w (- )00% przypadków otrzymalibymy przedziały pokrywajce ieza warto parametru θ, w 00% przypadków - przedziały ie pokrywajce tej wartoci. Z reguły za - przyjmujemy: 0.9; 0.95, 0.99 Długoc przedziału ufoci: g (θ ) - g (θ ) => im dlugo przedziału miejza tym ozacowaie bardziej precyzyje Makymaly błd zacuku: (g (θ ) - g (θ ))/. Modele tatytycze, tudia zaocze 7 Modele tatytycze, tudia zaocze 8

χ ( x i 0.50 = =4 =8 Dla duych : χ N(,) f(x) 0.5 Y = χ N(0,) Modele tatytycze, tudia zaocze 5 0.

3 rzedziały ufoci dla wartoci oczekiwaej (rediej) Budowa przedziału ufoci dla wartoci rediej (oczekiwaej) µ=m=e(x) rozkladu populacji zalezy od: typu rozkładu cechy X w populacji geeralej zajomoci wariacji (odchyleia tadardowego) wielkoci próby Załoeia: U dla wartoci rediej - Model () próba loowa pobraa z populacji o rozkładzie N(m, ); jet zae; Cel: budowa przedziału ufoci dla m przy wpółczyiku ufoci -. Budowa przedziału ufoci: Etymatorem parametru m jet redia arytmetycza z próby : X r, która ma rozkład N( m, ). Stadaryzujc otrzymujemy tatytyk U: U = = która ma rozkład N(0,). Modele tatytycze, tudia zaocze 9 Modele tatytycze, tudia zaocze 0 U dla wartoci rediej - Model () Rozwizaie - / / -u 0 u Rozklad tatytyki U - N(0,) rzedział ufoci dla wartoci rediej: { u < U < u } u < < u u < m < X + u Dae: x r =40 zł =0 000 => =00 =00; - =0.95 -u 0 u ( U <u )=0.95 Rozklad tatytyki U - N(0,) - / / (U<u )=0.975 => u =.96 Model : u < m < X + u < m < < m < 439,6 Odp.: rzedział liczbowy (400.4; 439.6) z prawdopodobietwem 0.95 pokrywa ieza warto przecitych wydatków a ywo w miejkich rodziach 3-oobowych. Modele tatytycze, tudia zaocze Modele tatytycze, tudia zaocze

wpółczyiku ufoci -. Budowa przedziału ufoci: Etymatorem parametru m jet redia arytmetycza z próby : X r, która ma rozkład N( m, ). Stadaryzujc otrzymujemy tatytyk U: U = = która ma rozkład N(0,).

4 Załoeia: U dla wartoci rediej - Model () próba loowa pobraa z populacji o rozkładzie N(m, ); jet iezae; liczo próby mała ( 30) Cel: budowa przedziału ufoci dla m przy wpółczyiku ufoci -. Budowa przedziału ufoci: rzy iezaym parametrze podtaw budowy tetu itotoci dla wartoci rediej m jet tatytyka t o rozkładzie t-studeta z - topiami wobody: t = gdzie = i= ( x i U dla wartoci rediej - Model () -t 0 t Rozklad t-studeta - / / rzedział ufoci dla wartoci rediej: { t < t < t } t < < t t < m < X + t Modele tatytycze, tudia zaocze 3 Modele tatytycze, tudia zaocze 4 Dae: x r = = => = 000 =0; - =0.9 -t 0 t Rozklad t-studeta - / / ( T < t ) = 0.9 ( T > t ) = 0. => t = topi wobody Rozwizaie Model : t < m < X + t < m < < m < Odp.: rzedział liczbowy (5095; 69048) z prawdopodobietwem 0.9 pokrywa ieza warto przecitych wydatków a promocj owych wyrobów Modele tatytycze, tudia zaocze 5 U dla wartoci rediej - Model 3 Załoeia: próba loowa pobraa z populacji o dowolym rozkładzie; jet iezae; liczo próby dua ( > 30) Cel: budowa przedziału ufoci dla m przy wpółczyiku ufoci -. Budowa przedziału ufoci: Dla duych prób rozkład t-studeta moa przybliy rozkładem ormalym oraz. Wówcza przedział ufoci jet aalogiczy jak w Modelu : u < m < X + u Modele tatytycze, tudia zaocze 6

Model () -t 0 t Rozklad t-studeta - / / rzedział ufoci dla wartoci rediej: { t < t < t } t < < t t < m < X + t Modele tatytycze, tudia zaocze 3 Modele tatytycze, tudia zaocze 4 Dae: x r =60 000 =44

5 Załoeia: U dla wariacji - Model () populacja geerala ma rozkład N(m, ), m - iezae; liczo próby 30 Cel: budowa przedziału ufoci dla przy wpółczyiku ufoci - Budowa przedziału ufoci: Etymatorem parametru jet wariacja z próby. Budow przedziału ufoci oprzemy a tatytyce: χ = która ma rozklad chi-kwadrat z - topiami wobody. Etymacja przedziałowa Etymacja przedziałowa polega a kotruowaiu przedziału liczbowego, który z góry okreloym - blikim jedoci - prawdopodobietwem bdzie zawierał ieza warto zacowaego parametru θ. rzedział te oi azwe przedziału ufoci: {g (θ ) < θ < g (θ )} =- gdzie θ - etymator parametru θ, g (θ ) - doly kraiec przedziału ufoci g (θ ) - góry kraiec przedziału ufoci - - prawdopodobietwo tzw. wpółczyik ufoci Modele tatytycze, tudia zaocze 7 Modele tatytycze, tudia zaocze 8 Iterpretacja przedziału ufoci to przedział, do którego z prawdopodobietwem - trafia warto zacowaego parametru to przedział, który z prawdopodobietwem - obejmuje zacoway parametr () () (3) (4) (5) θ Defiicja r jet poprawa, poiewa wkazuje a zmieo graic przedziału ufoci. Modele tatytycze, tudia zaocze 9 Wpółczyik ufoci Utaloe z góry prawdopodobietwo - azywamy wpółczyikiem ufoci Iterpretacja wpółczyika ufoci: przy wielokrotym pobieraiu prób - elemetowych i wyzaczaiu a ich podtawie fukcji g (θ ) oraz g (θ ) redio w (- )00% przypadków otrzymalibymy przedziały pokrywajce ieza warto parametru θ, w 00% przypadków - przedziały ie pokrywajce tej wartoci. Z reguły za - przyjmujemy: 0.9; 0.95, 0.99 Długoc przedziału ufoci: g (θ ) - g (θ ) => im dlugo przedziału miejza tym ozacowaie bardziej precyzyje Makymaly błd zacuku: (g (θ ) - g (θ ))/. Modele tatytycze, tudia zaocze 0

Etymacja przedziałowa Etymacja przedziałowa polega a kotruowaiu przedziału liczbowego, który z góry okreloym - blikim jedoci - prawdopodobietwem bdzie zawierał ieza warto zacowaego parametru θ.

6 rzedziały ufoci dla wartoci oczekiwaej (rediej) Budowa przedziału ufoci dla wartoci rediej (oczekiwaej) µ=m=e(x) rozkladu populacji zalezy od: typu rozkładu cechy X w populacji geeralej zajomoci wariacji (odchyleia tadardowego) wielkoci próby Załoeia: U dla wartoci rediej - Model () próba loowa pobraa z populacji o rozkładzie N(m, ); jet zae; Cel: budowa przedziału ufoci dla m przy wpółczyiku ufoci -. Budowa przedziału ufoci: Etymatorem parametru m jet redia arytmetycza z próby : X r, która ma rozkład N( m, ). Stadaryzujc otrzymujemy tatytyk U: U = = która ma rozkład N(0,). Modele tatytycze, tudia zaocze Modele tatytycze, tudia zaocze U dla wartoci rediej - Model () - / / -u 0 u Rozklad tatytyki U - N(0,) rzedział ufoci dla wartoci rediej: { u < U < u } u < < u u < m < X + u Załoeia: U dla wartoci rediej - Model () próba loowa pobraa z populacji o rozkładzie N(m, ); jet iezae; liczo próby mała ( 30) Cel: budowa przedziału ufoci dla m przy wpółczyiku ufoci -. Budowa przedziału ufoci: rzy iezaym parametrze podtaw budowy tetu itotoci dla wartoci rediej m jet tatytyka t o rozkładzie t-studeta z - topiami wobody: t = gdzie = i= ( x i Modele tatytycze, tudia zaocze 3 Modele tatytycze, tudia zaocze 4

7 U dla wartoci rediej - Model () -t 0 t Rozklad t-studeta - / / rzedział ufoci dla wartoci rediej: { t < t < t } t < < t t < m < X + t U dla wartoci rediej - Model 3 Załoeia: próba loowa pobraa z populacji o dowolym rozkładzie; jet iezae; liczo próby dua ( > 30) Cel: budowa przedziału ufoci dla m przy wpółczyiku ufoci -. Budowa przedziału ufoci: Dla duych prób rozkład t-studeta moa przybliy rozkładem ormalym oraz. Wówcza przedział ufoci jet aalogiczy jak w Modelu : u < m < X + u Modele tatytycze, tudia zaocze 5 Modele tatytycze, tudia zaocze 6 Załoeia: U dla wariacji - Model () populacja geerala ma rozkład N(m, ), m - iezae; liczo próby 30 Cel: budowa przedziału ufoci dla przy wpółczyiku ufoci - Budowa przedziału ufoci: Etymatorem parametru jet wariacja z próby. Budow przedziału ufoci oprzemy a tatytyce: χ = która ma rozklad chi-kwadrat z - topiami wobody. Rozklad chi-kwadrat / / - 0 c c U dla wariacji - Model () rzedział ufoci dla wariacji: c { < χ < } c c c < < c < < c Modele tatytycze, tudia zaocze 7 Modele tatytycze, tudia zaocze 8

Budowa przedziału ufoci: Dla duych prób rozkład t-studeta moa przybliy rozkładem ormalym oraz.

Podobne dokumenty

Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby.

Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Pojcie estymacji Metody probabilistycze i statystyka Wykład 9: Estymacja puktowa. Własoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Szacowaie wartoci parametrów lub rozkładu zmieej losowej w populacji geeralej