Zastosowanie danych o różnej częstotliwości w prognozowaniu makroekonomicznym na podstawie modeli dynamicznych

Transkrypt

1 Zarządzanie i Finane Journal of Managemen and Finance Vol. 13, No. 4/2/2015 Lech Kujawki* Zaoowanie danych o różnej częoliwości w prognozowaniu makroekonomicznym na podawie modeli dynamicznych Węp Rozwój echnik elekronicznego magazynowania i przeyłania danych umożliwił doęp on-line do baz danych ekonomicznych zawierających wiele (częo eki i yiące) zeregów czaowych zmiennych odnozących ię do funkcjonowania realnej gopodarki i rynków finanowych. Doęp do ak licznych zaobów wywołuje nauralną chęć i porzebę wykorzyania informacji w ych danych zawarych. Jednakże, jak wiadomo, ypowe modele zeregów czaowych (wykorzyywane w prognozowaniu krókookreowym), akie jak ARIMA czy VAR, wykorzyują jeden (ARIMA) lub co najwyżej kilka (VAR) zeregów czaowych. Modelem, w kórym jednocześnie można wykorzyać wiele (kilkadzieią, a nawe kilkae) zeregów czaowych, je model zaproponowany przez J. Socka, M. Waona [2002], zwany w lieraurze dynamicznym modelem czynnikowym (DFM). Niewąpliwie arakcyjna możliwość uwzględnienia w jednym modelu zmienności bardzo wielu zmiennych oraz niekrępowany doęp do baz danych przyczyniły ię do popularyzowania modelu DFM zarówno w odnieieniu do modelowania rynków finanowych, jak i modelowania makroekonomicznego [por. Ari i inni, 2003; Schneider, Spizer, 2004; Forni i inni, 2005, Boivin, Ng, 2006]. DFM je jednak narzędziem konruowanym i eymowanym na podawie danych o jednoliej częoliwości, co oznacza, że dla badaczy zajmujących ię apekami makroekonomicznymi doępne ą w zaadzie dane o częoliwości kwaralnej lub mieięcznej. Przykładowo, makroekonomiczny problem modelowania i prognozowania produku krajowego bruo o częoliwościach zeregów wyżzych niż roczne lub kwaralne podejmowany je bardzo rzadko, do wyjąków w ym zakreie należą prace G. Chow, A. Lin [1971], w kórych wykorzyuje ię echniki inerpolacji. Częściej poyka ię próby modelowania kwaralnego PKB przy zaoowaniu zeregów czaowych o wyż- * Dr, Kaedra Ekonomerii, Wydział Zarządzania, Uniwerye Gdańki, ul. Armii Krajowej 101, Sopo, lech.kujawki@ug.edu.pl

2 210 Lech Kujawki zych (mieięcznych) częoliwościach [Miller, Chin, 1996; Marcellino i inni, 2006]. Cechą wpólną oanich wymienionych publikacji je oowanie regreji, w kórych w roli zmiennej objaśniającej wyępują oberwacje wybranego mieiąca danego kwarału, nie je więc wykorzyywana pełna wyokoczęoliwościowa zmienność wzykich danych mieięcznych wyróżnionego kwarału. W niniejzym arykule proponuje ię zaoowanie regreji, w kórej zmienna zależna wyrażona je w poaci zeregu czaowego o nikiej częoliwości (w ym badaniu o częoliwości kwaralnej), naomia zmienne niezależne wprowadzane ą do modelu w dwóch częoliwościach: równych częoliwości zmiennej zależnej oraz wyżzych niż częoliwość zmiennej zależnej (w ym badaniu będą o zmienne mieięczne), przy czym ex po wykorzyywana je cała wiedza zawara w zeregach mieięcznych wyróżnionego kwarału. Techniką ekonomeryczną pozwalającą połączyć zeregi o zróżnicowanej częoliwości je model oznaczony króem MIDAS (MIxed DAa Sampling) [Ghyel i inni, 2004a, 2004b]. Model MIDAS wywodzi ię z rynków finanowych [Chen, Ghyel, 2009; Andreou i inni, 2010], gdzie zczególnie arakcyjnym je fak poencjalnie możliwej śródokreowej koreky prognozy wraz z napływem informacji pochodzących z danych o wyokiej częoliwości. W modelowaniu makroekonomicznym owa śródokreowa koreka prognoz je oczywiście nie mniej arakcyjna, dołączając do niej brak uray informacji na kuek agregacji zmiennych, orzymujemy dwie główne przełanki przemawiające za oowaniem modeli MIDAS. Przyoczone cechy regreji MIDAS wydają ię na yle ciekawe i arakcyjne, że właściwe wydaje ię empiryczne zweryfikowanie dopaowania prognoz makroekonomicznych uzykiwanych na podawie ej klay modeli i porównanie ych prognoz z innymi prognozami uzykanymi z ypowych modeli zeregów czaowych (ARIMA, VAR, DFM) oowanych w krókookreowym prognozowaniu gopodarki. Celem opracowania je weryfikacja ezy poawionej naępująco: uwzględnienie w modelu dynamicznym zmiennych o częoliwości wyżzej niż częoliwość zmiennej objaśnianej ayycznie ionie poprawia jakość (dopaowanie) prognoz makroekonomicznych. Weryfikacja ezy naąpi poprzez ozacowanie modeli MIDAS, ARIMA, DFM i VAR, na ich podawie wyznaczone zoaną prognozy krókookreowe produku krajowego bruo w Sanach Zjednoczonych,

3 Zaoowanie danych o różnej częoliwości w prognozowaniu 211 a naępnie porównana zoanie precyzja ych prognoz. Do ozacowania modeli wykorzyana zoanie baza makroekonomicznych danych czau rzeczywiego. Zaoowanie danych czau rzeczywiego ma kluczowe znaczenie (co uzaadnione zoanie w dalzej części arykułu) dla zaplanowanych badań. Ponieważ auor nie ma doępu do bazy danych czau rzeczywiego polkiej gopodarki, ąd badanie doyczy PKB w USA. Dodakowo w arykule auor zaproponował niewielką modyfikację oryginalnej regreji MIDAS, ak by na wzór modelu DFM możliwe było jednoczene wykorzyanie informacji płynącej z dużej liczby zeregów czaowych. Tek podzielony zoał na rzy główne części. Część pierwza poświęcona zoała opiowi modeli MIDAS i DFM, ponado wyjaśniona zoała ioa zaoowanej modyfikacji oryginalnego modelu MIDAS. W części drugiej charakeryzowano dane czau rzeczywiego użye w badaniu oraz uzaadniono konieczność połużenia ię danymi czau rzeczywiego. Część rzecia je opiem wyników ozacowań amych modeli, a akże prognoz wyliczonych na ich podawie. W ej części dokonano również porównania jakości prognoz, co oaecznie pozwoliło fomułować wnioki odnozące ię o ezy poawionej w niniejzym arykule. 1. Meoda badawcza Ponieważ modele zeregów czaowych zaoowane w niniejzym badaniu, akie jak ARIMA czy VAR, ą powzechnie znane, a ich podręcznikowy opi je powzechnie doępny, zczególna uwaga kupiona zoanie na modelach MIDAS i DFM. Jednorównaniowy model klay MIDAS o horyzoncie prognozy h=1 można zapiać w poób naępujący [Clemen, Galvao, 2006]: y 1/ m m = 0 + β1b L ; θ ) x 1 m β ( + ξ (1) 1/ m / m m m L x 1 x 1 / m = (2) = K k= 1 ( k 1) / m B( L ; θ ) b( k; θ ) L (3) Formuła (1) opiuje jednorównaniowy model MIDAS, wzór (2) definiuje operaor opóźnień zmiennych wyokiej częoliwości, formuła (3) wyjaśnia, w jaki poób rozwijany je wielomian kalarny względem operaora opóźnień zmiennych wyokiej częoliwości. Indek zmiennej

4 212 Lech Kujawki nikiej częoliwości oznaczony je jako, liera m oznacza ałą liczbę oberwacji wyokiej częoliwości w jednoce czau nikiej częoliwości, naomia K określa makymalny rząd rozłożonych opóźnień w zeregu czaowym wyokiej częoliwości. Formuły (1) (3) nie definiują jednakże poobu liczenia b(k;θ), czyli wag przypiywanych pozczególnym opóźnionym oberwacjom z zeregu wyokiej częoliwości. W lieraurze przedmiou [Ghyel i inni, 2005; Foroni, Marcelliano, 2013] wymienia ię pięć podawowych poobów parameryzacji rozłożonych opóźnień oowanych w modelach MIDAS: liniową, hiperboliczną, gamma, bea, wykładniczą. Do badacza należy rozrzygnięcie, jakiego rodzaju parameryzację wybrać, ponado po wyborze rodzaju parameryzacji należy zadecydować o amej liczbie paramerów wewnąrz wybranej parameryzacji. Wkazane powyżej źródła lieraury ugerują, że doaecznie elayczne i zarazem ozczędne parameryzacje uzykuje ię dla opóźnień zgodnych ze chemaem bea i wykładniczym. Schema zmienności wag wyępujących przy paramerach rukuralnych je zgodny ze chemaem bea, jeśli wyraża ię go wzorem: f ( k / K, θ1, θ 2) b( k; θ ) = K (4) f ( k / K, θ, θ ) k = 1 gdzie f(k/k,θ1,θ2) je gęością rozkładu bea z paramerami θ1,θ2. Schema zmienności wag wyępujących przy paramerach rukuralnych opiany formułą wykładniczą zapiuje ię: k = 1 1 Q exp( θ1k θqk ) b( k; θ ) = K (5) Q exp( θ k θ k ) Badania prowadzone przez Foroni i Marcelliano [2013] ugerują ponado, że doaeczną zmienność wag wykładniczych uzykuje ię przy dwóch paramerach θ, a zwiękzanie ich liczby nie prowadzi do polepzenia właności modeli, powodując jedynie nadmierną parameryzację. Dlaego oaecznie na porzeby dalzego badania przyjęo chema zmienności wag zgodny z formułą: k= Q exp( θ1k + θ 2k ) b( k; θ ) = K (6) 2 exp( θ k + θ k ) 1 2 2

5 Zaoowanie danych o różnej częoliwości w prognozowaniu 213 Równania (1) (3) i (4) oraz (6) łumaczą zaem podawowy model MIDAS. Przyjmując przykładowo m=3 i K=12, amo równanie regreji można zapiać: y = β 0 + β1[ b(1; θ ) x 1 + b(2; θ ) x 1 1/ b(12; θ ) x 4 2/ 3] + ξ (7) Jeśli indek oznacza oberwację z pierwzego kwarału roku 2015 (2015q1), wówcza 3 1 mieięcznej z okreu 2014m12, naomia / 3 x je oberwacją na zmiennej o częoliwości 3 1 1/ 3 x oberwację z okreu 2014m01. x oznacza oberwację z 2014m11, Model formułowany zgodnie z równaniem (1) umożliwia wyznaczanie prognoz o horyzoncie h=1 ylko i wyłącznie na podawie zmiennych wyokiej częoliwości odnozących ię do okreów wcześniejzych niż bieżąca oberwacja dokonywana na zmiennej nikiej częoliwości. W akim przypadku nie byłaby możliwa śródokreowa koreka prognoz w oparciu o najnowzą doępną informację. Z uwagi na niniejze badanie, j. kwaralnego PKB przy zaoowaniu mieięcznych zmiennych objaśniających, niewąpliwie najciekawzą werją modelu MIDAS je a, w kórej możliwe je liczenie prognoz kwaralnych na podawie danych mieięcznych pochodzących z mieiąca/mieięcy wyróżnionego prognozowanego kwarału. Model aki można przedawić naępująco: y 1/ m m = 0 + β1b L ; θ ) x 2 / 3 β ( + ξ (8) Horyzon prognozy ualony je wówcza na h=2/3, czyli wkazuje na doępność danych pochodzących z pierwzego mieiąca danego kwarału 1, model en uwzględnia zaem możliwość oddziaływania danych mieięcznych wyzczególnionego kwarału na kwaralne prognozy zmiennej objaśnianej. Z punku widzenia poprawności klayfikacji równanie (8) je modelem dynamicznym enu largo. Nie wyępują w nim zmienne endogeniczne opóźnione w czaie w roli zmiennych objaśniających. Dlaego nie pełnia on wymogów modelu dynamicznego enu rico. Dołączenie części auoregreyjnej do modelu (7) prowadzi do poaci AR- MIDAS formułowanej naępująco: y β λ β ( θ + ξ (9) 1/ m m = 0 + y 1 + 1B L ; ) x 2 / 3 m m 1 Horyzon h=1/3 wkazuje na doępność danych pochodzących z dwóch pierwzych mieięcy danego kwarału.

6 214 Lech Kujawki Różnica w pecyfikacji modelu MIDAS i modelu AR-MIDAS prowadzi do różnic w poobie eymacji paramerów rukuralnych. Jak wykazano w lieraurze [Ghyel i inni, 2004a] przy ypowych założeniach odnozących ię do rukury ochaycznej modelu MIDAS 2, eymaor nieliniowej MNK je co najmniej zgodny, aki zaem eymaor zaoowano na porzeby niniejzej publikacji. Jednakże, jak wykazano w innym miejcu w lieraurze [Ghyel i inni, 2004c], proe dołączenie do modelu MIDAS części AR, ak jak zrobiono o w równaniu (9), zawze prowadzi do powania ezonowej zmienności zmiennych o częoliwości mieięcznej, niezależnie od ego, czy owa zmienność ezonowa w danych mieięcznych wyępowała, czy zmienne zoały poddane procedurze odezonowania, wynika o bowiem z faku muliplikaywnego nałożenia opóźnień kwaralnych i mieięcznych. Rozwiązaniem problemu je dwuopniowa procedura eymacji wywodząca ię z meody czynników wpólnych [Hendry, Mizon, 1978; Clemen, Galvao, 2006]. Procedura rozpoczyna ię ozacowaniem andardowego modelu MIDAS poaci (8), naępnie na podawie rez modelu ozacowaniu podlega paramer λ części AR. Kolejny eap polega na λ różnicowym przekzałceniu zarówno zmiennych objaśniających (mieięcznych), jak i zmiennej objaśnianej (kwaralnej) i powórnym zacowaniu jedynie paramerów β i θ relacji (9). Całość wymaga dwukronego zacowania nieliniową MNK paramerów β i θ oraz dozacowania parameru λ. Opianą procedurę zaoowano do zacowania dynamicznych modeli MIDAS na porzeby niniejzej publikacji. Dyponując bogaą bazą danych, do modelu MIDAS poaci (9) dołączyć można zmienne o częoliwości mieięcznej odnozące ię do okreów wcześniejzych niż badany kwarał, oraz dowolne zmienne o częoliwości kwaralnej. Uwzględnienie dodakowych zmiennych mieięcznych i kwaralnych prowadzi o do modelu użyego w niniejzym badaniu 3 : y = β 4 4 1/ m m 1/ m m 0 + λy 1 + βib( L ; θi ) xi, 2 / 3 + αib( L ; θ j ) z j, 1 + i= 0 j= 0 2 Odnośnie do rukury ochaycznej modeli klay MIDAS czyni ię założenia akie jak w klaycznym chemacie Gaua-Markowa. Dołączenie części AR do modeli poaci (1) lub (8) moywowane je ypowo, czyli: polepzeniem właności prognoycznych, eliminacją auokorelacji. 3 Je o zaem połączenie modelu AR-MIDAS i DL.

7 Zaoowanie danych o różnej częoliwości w prognozowaniu l= 0 g= 1 m ig w lg, g ξ (10) + γ + Specyfikacja AR-MIDAS (9) pozwala na: uwzględnienie do czerech zmiennych (i = 0, 1,..., 4) o częoliwości mieięcznej pochodzących z pierwzego mieiąca wyróżnionego kwarału; uwzględnienie do czerech zmiennych o częoliwości mieięcznej (j = 0, 1,..., 4) pochodzących z okreów poprzedzających wyróżniony kwarał; ponado dla wzykich zmiennych mieięcznych przewidziano makymalny rząd opóźnień równy K = 12; do czerech opóźnionych zmiennych (l = 0,1,..,4) kwaralnych, o makymalnym opniu rozłożonych opóźnień równym 4 (g = 1,2,3,4). Waro podkreślić, że używając dynamicznego modelu (10) możliwe aje ię wykorzyanie najnowzej wiedzy/informacji płynącej z bieżących mieięcznych danych makroekonomicznych. Ograniczeniem modelu (10) ą arbiralnie przyjęe makymalne liczby zmiennych o częoliwości mieięcznej, kwaralnej oraz arbiralnie przyjęe makymalne rzędy opóźnień obu rodzajów zmiennych. Są o zarazem ograniczenia programu amodzielnie napianego przez auora w środowiku R. Niemniej jednak należy zwrócić uwagę, że makymalnie wykorzyana pecyfikacja modelu (10) przy parameryzacji bea lub wykładniczej powoduje konieczność ozacowania 32 paramerów rukuralnych i 20 paramerów określających chema zmienności wag. Nawe w dobie dziiejzych zybkich kompuerów rodzi o poważne problemy numeryczne, ąd przyjęe ograniczenia. Dynamicznym modelem czynnikowym DFM wprowadzonym i popularyzowanym przez J. Socka i M. Waona [2002] je: y = h + β h L) F h + γ h ( L) y h α ( + ξ (11) gdzie: y je zmienną objaśnianą/prognozowaną; F je macierzą czynników (w prakyce macierzą głównych kładowych) ozacowaną na podawie dużego zbioru zmiennych makroekonomicznych mających poencjalny wpływ na kzałowanie ię zmiennej prognozowanej, h oznacza horyzon prognozy. Pozoałe kładowe o paramery rukuralne i kładnik zakłócający, odnośnie kórego zakłada ię pełnienie ypowych założeń. Przy założeniu kończonego rzędu rozkładu opóźnień werją modelu używaną do prognozowania je:

8 216 Lech Kujawki y = ˆ α + ˆ β ( L ) F ˆ γ ( L ) y (12) h h h + Wybór rzędu auoregreji w proceie ˆ γ h ( L) y h i rozłożonych opóźnień w proceie ˆβ ( L), czyli de faco wybór opymalnego modelu DFM h F h dokonywany je na poawie kryeriów pojemności informacyjnej (Sock i Waon oowali bayeowkie kryerium informacyjne BIC, w niniejzej pracy wykorzyano również o kryerium). Po ualeniu rzędów proceów AR i DL paramery modelu (11) zacowane 4 ą oobno dla każdego pośród założonych horyzonów prognozy h, a naępnie przy użyciu formuły (12) liczone ą prognozy. Kończąc opi zaoowanego modelu DFM, waro dodać, że na podawie DFM echnicznie możliwe je prognozowanie bezpośrednie 5 i ieracyjne 6, w badaniach zaoowano obie echniki. 2. Dane W badaniu zaoowano dane czau rzeczywiego pochodzące z bazy danych Banku Rezerwy Federalnej w Filadelfii (RTDS-Real Time Daa Se) [hp:// Użyo 38 zmiennych kwaralnych z okreu 1995q q4, dołączono ponado zmienną objaśnianą/prognozowaną, czyli annualizowane PKB w Sanach Zjednoczonych. Zmienne mieięczne doępne w bazie podzielono na dwa rozłączne zbiory. Do pierwzego zbioru zaliczono 20 zmiennych z okreu 1995m1 2014m10. Dobór zmiennych do omawianego zbioru podykowany był momenem publikacji informacji o zmiennej. Założono, że do pierwzego zbioru mogą należeć jedynie zmienne mieięczne, kóre publikowane ą w rakcie wyróżnionego (prognozowanego) kwarału. Drugi zbiór objął 7 zmiennych mieięcznych pochodzących z okreu 1995m1 2014m9. Dla ych zmiennych nie ą znane oberwacje mieięczne w prognozowanym (najnowzym) kwarale 7. 4 Wykazano [por. Sock, Waon, 1999], że przy pełnieniu ypowych założeń odnozących ię do rukury ochaycznej (j. założeń chemau Gaua-Markowa), eymaor MNK modelu DFM je nieobciążony i najefekywniejzy, dlaego en eymaor zaoowano w niniejzej pracy. Sock i Waon wykazali, że prognozy uzykane z modelu DFM ą aympoycznie efekywne w ym enie, że błąd MSE zmierza do opymalnego MSE, o ile N,T. 5 Ang. muli-ep, direc, j. prognozowanie z okreu na +h. 6 Ang. ieraed foreca, j. krokowe prognozowanie za każdym razem na okre +1 aż do +h. 7 Dane zaware w bazie RTDS pozbawione ą ezonowości. Ponieważ modele MIDAS, DFM, ARMA, VAR ą modelami acjonarnych zeregów czaowych, zmienne zoały h h

9 Zaoowanie danych o różnej częoliwości w prognozowaniu 217 Danymi ypu real-ime określa ię w lieraurze zbiór danych (o charakerze ekonomicznym) zawierających zeregi czaowe oberwacji o zróżnicowanej w czaie wiarygodności informacji. Z uwagi na fak, że dane ekonomiczne podlegają rewizjom, w kórych uwzględnia ię nowe, uprzednio niedoępne informacje, jak również dokonali ię meody gromadzenia, przewarzania danych, oraz dokonali ame echniki ayyczne, rewizje zmieniają wiarygodność informacji o kaegoriach ekonomicznych opiywanych przez wyróżnione zmienne. W zamyśle rewizje prowadzą do polepzenia jakości danych. Dane czau rzeczywiego pojedynczej zmiennej mają formę macierzy (górnorójkąnej), przy czym kolumnom odpowiadają momeny publikacji informacji o kzałowaniu ię zmiennej, wierzom odpowiadają day określające okre, kórego doyczy informacja. Dzięki akiemu układowi zbioru w dowolnym wierzu można prawdzić, jak zmieniały ię warości zmiennej (jej ozacowania) będącej przedmioem badania, wraz z kolejnymi publikacjami doępnymi w kolejnych kolumnach. Ponado zereg czaowy doępny w każdej kolumnie rozumiany je jako najnowza doępna informacja o kzałowaniu ię zmiennej w danym momencie publikacji. Elemeny głównej przekąnej macierzy zawierają informacje o pierwzych publikacjach zmiennej (czyli bez rewizji), akich jakie były doępne w momencie publikacji ówcześnie dla ówczenych badaczy [hp:// W lieraurze [Clemen, Galvao, 2010; Koenig i inni, 2003] wyróżnia ię dwie ważne przyczyny rewizji danych: hipoezę błędu pomiaru (noie hypohei), hipoezę prognoz efekywnych (new hypohei). Jeżeli ymbolem y oznaczymy ocenę zmiennej y dokonaną na okre w momencie (=1,,T; ), wówcza ocenę y można dekomponować na: prawdziwą warości zmiennej, oznaczoną y~, zakłócenia ε i innowacji v, ąd: y = ~ y + ε + v (13) Rewizje ą zgodne z hipoezą prognoz efekywnych, jeśli innowacje nie ą korelowane z bieżącymi ocenami zmiennej, czyli jeśli doprowadzone do acjonarności. Przekzałcenia zmiennych prowadzające je do acjonarności akiej jak różnicowanie, dwukrone różnicowanie, różnicowanie logarymów ip., zaczerpnięo z pracy [Sock, Waon, 2002].

10 218 Lech Kujawki cov( v, y ) = 0. Mówi ię wówcza, że pierwonie dokonane oceny ą opymalnymi prognozami bieżących ocen. Naomia hipoeza błędu pomiaru dla rewizji je pełniona, o ile zakłócenia nie ą korelowane z prawdziwą warością zmiennej, czyli o ile zachodzi cov( ε, ~ y ) = 0. Hipoeza błędu pomiaru i hipoeza prognoz efekywnych w czyej poaci przyjęłyby formy odpowiednio: y ~ y = ε i y ~ y = v, formuła (13) wyraża zw. rewizje miezane. Weryfikacja empiryczna obu hipoez nie doarcza jednoznacznych wkazań na korzyść kórejkolwiek z nich. C. Richardon [2003], J. Fau, J. Roger, J. Wrigh [2005], wykazali, że rachunki narodowe Wielkiej Bryanii zachowują ię zgodnie z hipoezą prognoz efekywnych. N. G. Mankiw, M. D. Shapiro [1986], G. Kapeanio, T. Yae [2004] dowodzą, że rachunki narodowe amerykańkiego i bryyjkiego PNB zachowują ię zgodnie z hipoezą błędu pomiaru. Empiryczne ualenie lub przynajmniej aprioryczne założenie, czy rewizje zachowują ię zgodnie z kórąś z przyoczonych hipoez ma decydujące znaczenie dla konrukcji modelu oowanego naępnie do formułowania prognoz. Przyjmując za właściwą hipoezę prognoz efekywnych, w konekwencji uznaje ię, że rewizje ą nieprognozowalne. Przyjmując naomia za obowiązującą hipoezę błędu pomiaru, pojawiają ię dwie możliwe raegie: podjęcie próby eymacji błędu pomia- ru na podawie oceny obciążenia y, podjęcie próby oceny błędu pomiaru na podawie dodakowych danych [Chamberlin, 2007, 2010]. W końcu, jeśli przyjmie ię za obowiązujące obie hipoezy (werja miezana), czyli uwzględni ię wpływ na rewizję zarówno błędów pomiaru, jak i innowacji, można [Jacob, van Norden, 2011] zapiać model (13) uwzględniający całą hiorię rewizji w przerzeni anów i oując filr Kalmana próbować zacować czynniki nieoberwowalne. Prognozowanie rewizji ma oczywiście na celu podnieienie jakości danych, jednak efekywność akich prognoz je w świele lieraury co najmniej wąpliwa [Paeron, 2002; Brown i inni 2010]. Wpomniani auorzy, korzyając z zeregów czaowych o bardzo dużej długości, wykazali, że rewizje ą nieacjonarne. Powierdzono inienie wielu rendów ochaycznych, zależnych od momenu przeprowadzania rewizji i day publikacji zeregu czaowego. Auorzy kłaniali ię ku konkluzji, iż koro rewizje nie mają wpólnego wzorca zmienności, próby ich prognozowania (kóre jak każda prognoza je próbą ekrapolacji przezłości w przyzłość), mogą pogorzyć zamia polepzyć

11 Zaoowanie danych o różnej częoliwości w prognozowaniu 219 jakość danych, a ym amym pogorzyć jakość prognoz konruowanych na podawie danych z uwzględnionymi prognozami rewizji. Niezależnie od przyjęej lub fakycznie obowiązującej hipoezy odnozącej ię do rewizji (błędu pomiaru, prognoz efekywnych, miezanej), fakem je, że rewizje mogą wywierać iony wpływ na jakość prognoz. W lieraurze przedmiou [Sark, Crouhore, 2002; Crouhore, 2010] wymienia ię rzy pooby odziaływania rewizji na prognozy ekonomiczne: bezpośrednio, poprzez zmianę warości zmiennej prognozowanej, wówcza en am model w różnych okreach doarcza prognoz różniących ię precyzją, pośrednio, prowadząc do zmiany ozacowań paramerów rukuralnych modelu, pośrednio, prowadząc do zmiany pecyfikacji modelu polegającej na zmianie wyboru zmiennych objaśniających lub ich rukury opóźnień. Wymienieni auorzy jednoznacznie wierdzają, że konruując model do prognozowania ekonomicznego, błędem je niepoługiwanie ię danymi czau rzeczywiego. Niezależnie od ego, kiedy zacujemy dany model, powinniśmy poługiwać ię ymi amymi zbiorami danych i o akiej amej jakości, jakie doępne były ówczenym badaczom. Każda później dokonana rewizja, podnoząc jakość danych (zmniejzając błąd pomiaru, czy uwzględniając innowacje) pozwala ozacować poencjalnie lepzy model (lepiej dopaowany do danych empirycznych) nieoiągalny w przezłości. Doęp do bazy danych czau rzeczywiego oferowany przez Bank Rezerwy Federalnej w Filadelfii je nieodpłany. Niekrępowany doęp do bazy ograniczył pole badania do amerykańkiego (a nie krajowego) PKB. Zdaniem auora w świele argumenów przyoczonych w niniejzym paragrafie zaoowanie danych czau rzeczywiego miało kluczowe znaczenie dla rzeelnego porównania jakości/precyzji prognoz generowanych przez różne modele, w ym dynamiczne modele o zmiennych o zróżnicowanej częoliwości. 3. Wyniki Badanie zoało zaplanowane jako ymulacja ośmiu eji prognoycznych (ąd zaoowanie danych czau rzeczywiego pozwalające ymulować eje prognoz ex ane). W każdej z eji wyznaczano prognozy krókookreowe o horyzoncie h=1 (h=2/3 dla regreji MIDAS).

12 220 Lech Kujawki W pierwzej eji prognozowano PKB na okre 2013q1, w kolejnych ejach uzupełniano zbiory zmiennych i wyliczano prognozy na kolejne kwarały roku 2013, a naępnie roku 2014, kończąc prognozą na 2014q4. Procedura eymacji i prognozowania z użyciem modelu MIDAS obejmowała: 1. Ozacowanie wzykich możliwych modeli dla założonych rzędów i,j,l = 0, 1,, 4, g = 1, 2, 3, 4, m = 3, K = Teowanie auokorelacji kładników zakłócających modeli i wybór do dalzego badania ych pośród nich, dla kórych nie znaleziono podaw do odrzucenia hipoezy o braku auokorelacji (eowano auokorelację do rzędu 4 włącznie). 3. Na podawie kryerium BIC wybór najlepzego modelu [por. procedura wyboru najlepzego modelu Sock, Waon, 2006]. 4. Ozacowanie prognozy na podawie modelu najlepzego. Idenycznie przebiegały procedury eji prognoycznych zaoowane dla pozoałych kla modeli. W modelu DFM założono makymalnie czery procey DL, każdy z nich makymalnie czwarego rzędu, ponado makymalnie czery procey AR, każdy z nich makymalnie czwarego rzędu. W modelu ARIMA(p,d,q) założono makymalne rzędy p=6 i q=6, podobnie jak dla modeli wcześniejzych, zacowano każdą możliwą kombinację p i q. W modelu wekorowo-auoregreyjnym wykorzyano zmienne z wielorównaniowego modelu gopodarki amerykańkiej FAIRMODEL [Fair, 2013]. Wekor zmiennych worzyły: PKB, warość produkcji ekora cywilnego, warość produkcji ekora miliarnego, liczba przepracowanych roboczogodzin w obu ekorach (uwzględniania w poaci dwóch oobnych zmiennych), zyki przed opodakowaniem. Dla modelu VAR założono makymalny rząd proceu wynozący 4, ale oaeczną decyzję odnozącą ię do rzędu proceu VAR podejmowano na podawie porównania miar pojemności informacyjnej (BIC) oraz wyników eów auokorelacji dla pozczególnych równań modelu VAR. Wybierano jedynie pośród ych rzędów proceu, dla kórych wynik eów auokorelacji wkazywał na brak podaw do odrzucenia hipoezy zerowej. Ponado nie przeprowadzono rukuralizacji modelu z uwagi na jego pomocniczy charaker, prognozy modeli VAR w niniejzym badaniu użye zoały jedynie jako pewnego rodzaju benchmark dla prognoz uzykiwanych z modeli o zmiennych o zróżnicowanej częoliwości.

13 Zaoowanie danych o różnej częoliwości w prognozowaniu 221 Po ozacowaniu prognoz wyznaczone zoały ich błędy ex po oraz miary MSE, RMSE i V. Minimalny błąd RMSE wkazywał na meodę doarczającą najbardziej precyzyjnych prognoz (ablica 1). Tablica 1. Prognozy empa wzrou annualizowanego PKB w USA oraz miary błędów prognoz ex po z ośmiu ymulowanych eji prognoycznych PKB [%] AR-MIDAS MIDAS exp bea exp bea DFMD DFMI Kwarał ARI- MA VAR NAIW- NA 2013q1 2,714 2,917 2,925 2,952 3,154 3,225 3,125 2,256 2, q2 1,756 2,071 2,182 2,553 2,68 2,811 2,914 2,991 2, q3 4,442 3,255 3,185 2,081 2,014 2,004 2,057 1,995 3, q4 3,455 2,896 2,781 2,891 2,708 2,612 2,599 2,55 3, q1-2,12 0,859 0,995 1,792 1,855 1,987 1,972 1,994 2, q2 4,515 2,412 2,384 2,057 1,993 1,985 1,944 1,921 2, q3 4,877 3,188 2,952 3,111 3,019 2,99 3,014 2,955 2, q4 2,616 2,257 2,384 2,149 2,114 2,057 2,02 1,959 2, MSE 2,271 2,536 3,912 4,175 4,400 4,393 4,544 3,999 12,073 RMSE 1,507 1,593 1,978 2,043 2,098 2,096 2,132 2,000 3,475 V 60,7% 64,4% 80,8% 83,7% 85,3% 85,4% 91,6% 73,0% 141,1% W modelach AR-MIDAS i MIDAS kró exp oznacza, że oowano wykładniczy, zgodny z formułą (6), poób zacowania wag; analogicznie kró bea oznacza zaoowanie formuły (4) zgodnej z rozkładem bea. DFMD, oraz DFMI oznaczają prognozy z modeli DFM uzykane bezpośrednio (D), ieracyjnie (I). Źródło: Obliczenia włane. Z zeawienia zawarego w ablicy 1 wynika, że najniżzy błąd RMSE zanoowano dla modelu AR-MIDAS z wagami rozłożonych opóźnień przy zmiennych o częoliwości mieięcznej liczonymi według formuły wykładniczej (6). Zgodnie z przyjęymi kryeriami model en uznano za narzędzie doarczające najbardziej precyzyjnych prognoz, a ame prognozy zoały uznane za najlepze. W kroku kolejnym parami eowano idenyczność prognoz pozoałych z prognozami najlepzymi, j. eowano, czy precyzja prognoz uzykanych z modelu AR-MIDAS(exp) je ayycznie ionie lepza od precyzji prognoz z dowolnego innego modelu. W ym celu połużono ię eem Diebolda-Mariano z poprawką małopróbkową [Diebold, 2012]. W ablicy 2 zebrano ayyki eu Diebolda-Mariano (DM), a w nawiaach kwadraowych empiryczne prawdopodobieńwa odrzucenia hipoezy zerowej o idenycznej dokładności/precyzji prognoz.

14 222 Lech Kujawki Tablica 2. Wyniki eu Diebolda-Mariano (z poprawką małopróbkową) AR-MIDAS MIDAS DFMD DFMI ARIMA VAR NAIWNA exp bea exp bea DM 2,063 1,997 2,148 2,169 2,217 2,337 1,071 1,950 [prob] [0,038] [0,046] [0,034] [0,033] [0,031] [0,026] [0,159] [0,046] Źródło: Obliczenia włane. Wnioki z eowania idenyczności precyzji prognoz przedawiają ię naępująco: 1. Wyniki eu Diebolda-Mariano wkazują, że oując ypowe poziomy ioności, nie można odrzucić hipoezy (zerowej) o idenycznej precyzji prognoz najlepzych, j. uzykanych z modelu AR-MIDAS (exp) i prognoz pochodzących z modelu VAR. 2. Wyłączywzy model VAR i oując 5% lub 10% poziom ioności można wierdzić, że model AR-MIDAS(exp) doarcza bardziej precyzyjnych prognoz niż pozoałe modele użye w niniejzym badaniu. 3. Soując 1% poziom ioności, z wyników eu DM wynika, że precyzja dowolnych prognoz (w ym prognozy naiwnej) nie je gorza niż precyzja prognoz uznanych za najlepze. Należy wierdzić, że wnioki różnią ię zaadniczo w zależności od przyjęego we wniokowaniu poziomu ioności. W krajnych przypadkach (por. podpunk 1) orzymujemy dwa najlepze modele (i ich prognozy), lub wręcz przeciwnie, modele i ich prognozy nierozróżnialne od prognozy naiwnej (por. podpunk 3). Poawiono hipoezę, że orzymany, nie do końca konkluzywny wynik związany je ze zby krókim zeregiem porównywanych prognoz, pomimo zaoowanej poprawki małopróbkowej polepzającej moc eu Diebolda-Mariano. W celu prawdzenia ej hipoezy meodą boorapową wydłużono próbkę o kolejne oiem prognoz, ak by w każdej ieracji boorapowej porównywanych było zenaście par prognoz. Ieracje boorapowe (j. loowanie z powórzeniami par prognoz) powarzano razy. Boorapowe ayyki eu Diebolda-Mariano, wraz z prawdopodobieńwami empirycznymi odrzucenia hipoezy zerowej zawaro w ablicy 3.

15 Zaoowanie danych o różnej częoliwości w prognozowaniu 223 Tablica 3. Wyniki boorapowego eu Diebolda-Mariano (z poprawką małopróbkową) AR-MIDAS MIDAS exp bea exp bea DFMD DFMI ARIMA VAR NAIWNA DM- 2,830 3,059 3,406 3,539 3,370 3,866 1,092 2,997 [prob- [0,006] [0,006] [0,002] [0,002] [0,001] [0,001] [0,146] [0,006] Źródło: Obliczenia włane. Zaoowana w eście DM echnika repróbkowania, prowadząca de faco do wydłużenia próby, a przez o prowadząca do zwiękzenia mocy eu, pozwala na dwa zaadnicze wnioki: 1. Precyzja prognoz PKB w USA pochodzących z modelu AR-MIDAS(exp) i modelu VAR je ayycznie nieodróżnialna, pomimo że (próbkowy) błąd RMSE prognoz modelu MIDAS je niżzy niż analogiczny błąd modelu VAR. 2. Soując dowolny z powzechnie używanych poziomów ioności, e DM wkazuje na wyżzą precyzję prognoz modelu AR-MIDAS (exp) w porównaniu do prognoz uzykanych z pozoałych modeli (wyłączywzy prognozy model VAR). Wnioki wynikające z eów DM, zarówno w werji zawarej w ablicy 2, jak i ablicy 3 nie pozwalają na jednoznaczne poparcie ezy pracy, kóra brzmiała: uwzględnienie w modelu dynamicznym zmiennych o częoliwości wyżzej niż częoliwość zmiennej objaśnianej ayycznie ionie poprawia jakość (dopaowanie) prognoz makroekonomicznych. Nie wierdzono ayycznie lepzej precyzji/dopaowania prognoz w modelu AR-MIDAS w ounku do precyzji prognoz modelu VAR. W oanim eapie badania wykonano wykre zmiennej prognozowanej, prognoz dla h=2/3 uzykanych z modelu AR-MIDAS(exp) oraz prognoz dla h=1 uzykanych z modelu VAR (ryunek 1). Z ryunku 1 można odczyać, że zarówno prognozy uzykane z modelu AR-MI- DAS(exp) (oznaczone linią przerywaną), jak i prognozy uzykane z modelu VAR (oznaczone linią kropkowaną) charakeryzują ię zby małą zmiennością w porównaniu do zmienności PKB oberwowanego (oznaczonego pogrubioną ciągłą linią). Wykrey obu rodzajów prognoz ą płazczone w ounku do wykreu zmiennej prognozowanej, wariancja prognoz je zby nika.

16 224 Lech Kujawki Ryunek 1. Zmienna prognozowana i najlepiej dopaowane prognozy krókookreowe pochodzące z modeli AR-MIDAS(exp) i VAR Źródło: Opracowanie włane. Ponado z wykreu można odczyać, że w okreach 2013q2, 2013q3, 2014q1, 2014q3 wyąpiły zw. punky zwrone w kzałowaniu ię zmiennej objaśnianej. W każdym przypadku zoały one prawidłowo prognozowane na podawie modelu AR-MIDAS(exp), prawdopodobnie na kuek uwzględnienia najnowzej pochodzącej z danego kwarału informacji mieięcznej. Jednocześnie prognozy z modelu VAR nie wkazały poprawnie wzykich punków zwronych. W okreie 2013q4 prognoza PKB roła, podcza gdy okazało ię, że oberwowane PKB w iocie zmalało, w okreie 2014q2 prognoza wkazuje na padek PKB, podcza gdy fakyczne PKB wzroło. Poprawność prognozowania punków zwronych uzykana na podawie modelu AR-MIDAS je o yle cenna w prognozowaniu krókookreowym, że badacz częo zainereowany je informacją o ym, czy rend wzroowy (padkowy) zoanie w przyzłości urzymany, czy raczej należy podziewać ię odwrócenia endencji. Wydaje ię, że kueczność prognozowania punków zwronych przez regreję MIDAS wynika z unikalnej zdolności ego ypu modeli do adapacji informacji pochodzących ze zmiennych o wyżzej częoliwości a odnozących ię bezpośrednio do prognozowanego okreu. Pomimo empirycznie wierdzonej jednakowej precyzji prognoz AR-MIDAS i VAR, e pierwze jawią ię jako bardzo ciekawa alernaywa dla radycyjnego modelowania i prognozowania wekorowo-auoregreyjnego.

17 Zaoowanie danych o różnej częoliwości w prognozowaniu 225 Zakończenie Przeprowadzone badania wkazują na najlepze dopaowanie prognoz krókookreowych wyznaczanych na podawie modeli dynamicznych łączących zmienne o zróżnicowanej częoliwości, czyli modeli klay MIDAS, oraz ayycznie aką amą precyzję prognoz uzykiwanych na podawie modeli VAR. Spośród ych dwóch kla modeli jedynie regreja MIDAS doarczała prognoz prawidłowo reagujących na punky zwrone, przypuzcza ię, że cecha a wynika ze zdolności modeli MIDAS do uwzględnienia w prognozie najnowzej informacji pochodzącej ze zmiennych wyokiej częoliwości odnozących ię do prognozowanego okreu zmiennej o nikiej częoliwości. Z badań wynika, iż można rekomendować wykorzyanie modeli AR-MIDAS do prognoz ypu now-caing. Lieraura 1. Andreou E., Ghyel E., Kourello A. (2010), Forecaing wih mixedfrequency daa, w: Oxford Handbook on Economy Forecaing, Clemen M. P., Hendry D. F. (ed.). 2. Ari M., Banerjee A., Marcelino M. (2003), Facor foreca for he UK, Bacconi Univeriy Working Paper, No Boivin J., Ng S. (2006),.Are more daa alway beer for facor analyi? Journal of Economeric, Vol. 132, No Brown G., Buccellao T., Chamberlin G., Dey-Chowdhury D., Youl R. (2010), Underanding he qualiy of early eimae of Gro Domeic Produc, Economic & Labour Marke Review, Vol. 4, No Chamberlin G. (2007), Forecaing GDP uing exernal daa ource, Economic and Labour Marke Review, Vol. 1, No Chamberlin G. (2010), Real ime daa, Economic and Labour Marke Review, Vol. 4, No Chen X., Ghyel E. (2009), New good or bad and i impac on predicing fuure volailiy, Review of Financial Sudie, Vol. 24, No Chow G., Lin A. (1971), Be linear unbiaed inerpolaion, diribuion and exrapolaion of ime erie by relaed ime erie, Review of Economic and Saiic, Vol Clemen M. P., Galvao A. B. (2010), Real-ime Forecaing of Inflaion and Oupu growh in he Preence of Daa Reviion, Warwick Economic Reearch Paper, No. 953.

18 226 Lech Kujawki 10. Clemen M. P., Galvao A.B. (2006), Macroeconomic Forecaing wih Mixed Frequency Daa: Foreca of US oupu growh and inflaion, Warwick Economic Reearch Paper, No Crouhore D. (2005), Forecaing wih Real-Time Daa Vinage, Univeriy of Richmond Working Paper. 12. Diebold F. (2012), Comparing Predicive Accuracy, Tweny Year Laer: A Peronal Perpecive on he Ue and Abue of Diebold-Mariano Te, Univeriy of Pennylvania Working Paper, No Fair R. (2013), Macroeconomeric Modeling, hp://fairmodel.econ.yale. edu/mmm/mm.pdf. 14. Fau J., Roger J., Wrigh J. (2005), New and noie in G7 announcemen, Cenre for Economic Policy Reearch, Vol Forni M., Hallin M., Lippi M., Reichlin L. (2005), The Genaralized Dynamic Facor Model, Journal of he American Saiical Aociaion, Vol. 100, No Foroni C., Marcellino M. (2013), A urvey of economeric mehod for mixed-frequency daa, Working Paper, No. 6 Norge Bank Reearch. 17. Ghyel E., Sana-Clara P., Valkanov R. (2004a), The MIDAS ouch: Mixed Daa Sampling regreion model, Chapel Hill, N.C. 18. Ghyel E., Sana-Clara P., Valkanov R. (2004b), Predicing volailiy: Geing he mo ou of reurn daa ampled a differen frequencie, NBER Working Paper No Ghyel E., Sinko A., Valkanov R. (2004c), MIDAS regreion: Furher reul and new direcion, Economeric Review, Vol Ghyel E., Sana-Clara P., Valkanov R. (2005), There i a rik-reurn rade-off afer all, Journal of Financial Economic, Vol. 76, No Hendry D. F., Mizon G.E. (1978), Serial correlaion a a convenien implificaion, no a nuiance: A commen on a udy of he demand for money by he Bank of Engldand, Economic Journal, Vol Jacob J., van Norden S. (2011), Modeling daa reviion: Meauremen error and dynamic of rue value, Journal of Economeric, Vol Kapeanio G., Yae T. (2004), Eimaing ime-variaion in meauremen error from daa reviion; an applicaion o forecaing in dynamic model, Bank of England Working Paper, No Koenig E. F., Doma S., Piger J. (2003), The ue and abue of real-ime daa on economic forecaing, The Review of Economic and Saiic, Vol. 85, No. 3.

19 Zaoowanie danych o różnej częoliwości w prognozowaniu Mankiw N. G., Shapiro M. D. (1986), New of noie. An analyi of GNP reviion, Survey of Curren Buine. 26. Marcellino M., Sock J., Waon M. (2006), A comparion of direc and ieraed muliep AR mehod for forecaing macroeconomic ime erie, Journal of Economeric, Vol. 135, No Miller P. J., Chin D. M. (1996), Uing monhly daa o improve quarerly model foreca, Federal Reerve Bank Minneapoli Quarerly Review, Vol Paeron K. (2002), The daa meauremen proce for UK GNP: ochaic rend, long memory and uni roo, Journal of Forecaing, Vol Richardon C. (2003), Reviion analyi: a ime erie approach, Economic Trend, Vol Schneider M., Spizer M. (2004), Forecaing Aurian GDP uing he generalized dynamic facor model, Oeerreichiche Naionalbank Working Paper, Vol Sark T., Crouhore D. (2002), Forecaing wih a real ime daa e for macroeconomi, Journal of Macroeconomic, Vol Sock J., Waon M. (1999), Forecaing Inflaion, Journal of Moneary Economic, Vol Sock J., Waon M. (2002), Macroeconomic Forecaing Uing Diffuion Indexe, Journal of Buine and Economic Saiic, Vol. 20, No Sock J., Waon M. (2005), Implicaion of Dynamic Facor Model for VAR Analyi, NBER Working Paper, No Sock J., Waon M. (2006), Forecaing wih Many Predicor, Handbook of Economic Forecaing, Vol. 1. Srezczenie Celem badania było prawdzenie, czy uwzględnienie w modelu dynamicznym zmiennych o częoliwości wyżzej niż częoliwość zmiennej objaśnianej ayycznie ionie poprawia jakość (dopaowanie) prognoz makroekonomicznych. Prognozy makroekonomiczne wyznaczane były z modeli dynamicznych łączących zmiennie o zróżnicowanej częoliwości znanych jako regreja MIDAS, naępnie porównywane były z prognozami ych amych kaegorii ekonomicznych uzykanych z modeli DFM, ARIMA, VAR. Do ozacowania modeli, prognozowania krókookreowego (horyzon prognozy h=1) i ymulacji ośmiu eji prognoycznych wykorzyano dane czau rzeczywiego odnozące ię do gopodarki USA. Z przeprowadzonych badań wynika, że dynamiczny model MIDAS (AR-MIDAS) i model VAR doarczyły najbardziej precyzyjnych prognoz, prognozy z modeli DFM i ARIMA okazały ię ayycznie miej precyzyjne. Spośród dwóch kla modeli doarczających

20 228 Lech Kujawki najbardziej precyzyjnych prognoz (AR-MIDAS, VAR) jedynie AR-MIDAS wygenerował prognozy, prawidłowo przewidując wzykie punky zwrone, cech ej nie miały prognozy VAR. Z ego powodu można rekomendować wykorzyanie modeli AR-MIDAS do prognoz ypu now-caing. Słowa kluczowe prognoza, zmienne zróżnicowanej częoliwości, MIDAS, DFM Mixed Frequency Daa Dynamic Model in Macroeconomic Forecaing (Summary) The aim of he udy wa o find ou wheher he ue of mixed frequency daa dynamic model can improve he accuracy of quarerly foreca of eleced macroeconomic variable. The reearch ool were he MIDAS, AR-MIDAS, DFM, ARIMA and VAR model wih quarerly foreca a reference poin. The udy ued a imulaion of eigh (ex ane) forecaing eion. To ha end, i wa neceary o ue variable from he real-ime daabae. Ye, due o he limied acce o uch daabae, he udy focued on U.S. GDP. The reul indicae ha he AR-MIDAS cla model, which direcly incorporae he lae available monhly informaion a well a claic VAR model provided ignificanly more accurae foreca of GDP hen DFM and ARIMA model. Comparing AR-MIDAS and VAR foreca (which were equally accurae in erm of Diebold-Mariano e) only he previou model proved o be able o provide accurae foreca of all urning poin which occurred wihin he ample. Thi unique feaure enable o recommend AR-MIDAS a a now-caing or hor erm forecaing ool. Keyword mixed frequency daa, real-ime forecaing, MIDAS, AR-MIDAS, DFM