Zastosowanie danych o różnej częstotliwości w prognozowaniu makroekonomicznym

Transkrypt

1 Lech Kujawki * Zaoowanie danych o różnej częoliwości w prognozowaniu makroekonomicznym Węp Doępność online do obzernych baz danych makroekonomicznych rodzi nauralną chęć wykorzyania zawarych w niej danych. W ypowych modelach prognoycznych ypu ARIMA wykorzyuje ię pojedynczy zereg czaowy, w modelach VAR z reguły wykorzyuje ię co najwyżej kilka zmiennych. Jedną z echnik umożliwiających jednoczene korzyanie z informacji pochodzącej z kilkudzieięciu czy nawe kilkue zmiennych je opracowane i popularyzowane przez J. Socka, M. Waona [Sock, Waon, 2002] modelowanie i prognozowanie za pomocą dynamicznych modeli czynnikowych (). Możliwość jednoczenego uwzględnienia znacznej liczby zmiennych (w lieraurze nouje ię przypadki jednoczenego wykorzyania kilkue zmiennych [Forni i inni, 2005]) je niewąpliwe ogromną zaleą modeli klay, łumaczącą ronącą popularność ego ypu modeli, przejawiającą ię w ronącej liczbie publikacji i badań z wykorzyaniem wpomnianego narzędzia [Ari i inni, 200; Schneider, Spizer, 2004; Boivin, Ng, 2006]. Jednakże w każdym z przypadków modele (jak i ARIMA, VAR) konruowane i eymowane ą na podawie danych o jednoliej częoliwości 1 ; w zaoowaniach makroekonomicznych z reguły mieięcznych lub kwaralnych. Badacz zajmujący ię analizą makroekonomiczną w zaadzie kazany je na poługiwanie ię zeregami czaowymi o nikiej częoliwości. Do wyjąków zaliczyć należy próby zacowania np. produku krajowego bruo o częoliwościach zeregów PKB wyżzych niż roczne czy kwaralne [Chow, Lin, 1971] lub modelowania kwaralnego PKB przy użyciu danych o wyżzych częoliwościach [Miller, Chin, 1996; Marcellino i inni, 2006]. Szacowanie PKB (również innych zmiennych makroekonomicznych) o częoliwościach wyżzych niż kwaralne można zaliczyć do echnik inerpolacji, nie będą one przedmioem zainereowania w niniejzej publikacji. Uwaga zoanie kupiona na rodzaju regreji, w kórej zmienna objaśniana oberwowalna je w poaci zeregu czaowego nikiej częoliwości (kwaralnej), naomia regreory doępne ą, i bezpośrednio w regreji wykorzyane, zarówno w poaci zeregów danych kwaralnych, jak i danych o częoliwości wyżzej, mieięcznej. Jednym z narzędzi ekonomerycznych pozwalającym łączyć w jednym modelu dane o zróżnicowanej częoliwości je regreja oznaczona króem MIDAS (Mixed Daa Sampling) [Ghyel i inni, 2004 a; 2004 b]. W zaoowaniach makroekonomicznych i dodakowo prognoycznych jednoczene użycie w modelu zmiennych nikiej i wyokiej częoliwości nieie ze obą przynajmniej dwie korzyści w porównaniu do modeli radycyjnych: 1) brak uray informacji powodowanej agregacją zmiennych o częoliwości * Dr, Kaedra Ekonomerii, Wydział Zarządzania, Uniwerye Gdańki, mkujawki@wzr.pl 1 [Sock, Waon, 2002, 2005] do modelowania np. kwaralnego PKB używają zmiennych o częoliwości mieięcznej, jednakże zmienne mieięczne, przed wprowadzeniem do modelu, poddawane ą procedurom agregacji do częoliwości kwaralnej.

2 wyokiej; 2) możliwość śródokreowej koreky prognozy wraz z napływem informacji pochodzącej z zeregu (zeregów) o częoliwości wyokiej. Druga z wymienionych przełanek wydaje ię zczególne arakcyjna nie ylko w odnieieniu do zaoowań makroekonomicznych, lecz wzędzie am, gdzie wyępują i znaczenie mają dane o wyokiej i bardzo wyokiej częoliwości, czyli w prakyce na rynkach finanowych, z kórych model MIDAS ię [Chen, Ghyel, 2009; Andreou i inni, 2010]. Wymienione zaley regreji MIDAS ą na yle ważne, że celowe wydaje ię empiryczne prawdzenie jakości prognoz makroekonomicznych uzykiwanych na podawie ychże modeli i porównanie ich z prognozami uzykiwanymi z ypowych modeli (zeregów czaowych) oowanych w prognozowaniu makroekonomicznym. Celem publikacji je empiryczna weryfikacja ezy: bezpośrednie (j. bez agregacji) zaoowanie w modelu zmiennych o wyokiej częoliwości poprawia dopaowanie prognoz makroekonomicznych. W celu weryfikacji ezy (na podawie danych czau rzeczywiego) ozacowane zoały modele MIDAS, ARIMA, i VAR produku krajowego bruo w USA. Naępnie dokonano porównania krókookreowych prognoz PKB uzykanych na podawie wymienionych modeli. Porównanie jakości prognoz i eowanie ich idenyczności pozwoliło na formułowanie wnioków odnozących ię do weryfikowanej ezy. W przypadku regreji MIDAS zaproponowana zoała ponado modyfikacja umożliwiająca na wzór modeli jednoczene wykorzyanie wielu danych z obzernych baz danych makroekonomicznych. Naomia dla modeli zaproponowana zoała modyfikacja oryginalnej [Sock, Waon, 2002] procedury doboru modelu prognoycznego. Arykuł podzielony zoał na rzy zaadnicze części. Pierwza część (poób badania) zawiera opiy ogólnych modeli MIDAS i, poobów prognozowania na ich podawie oraz wyjaśnia ioę zaproponowanych przez auora modyfikacji. Część druga (dane) zawiera opi wykorzyanych w badaniu danych czau rzeczywiego, ponado przybliża ioę i en prognozowania na podawie danych czau rzeczywiego. W rzeciej części (wyniki) przedawiono wyniki ozacowań modeli i prognoz, porównań jakości ych oanich, oraz formułowano wnioki odnozące ię do weryfikowanej ezy. 1. Spoób badania Jak wpomniano we wępie, badanie (porównanie prognoz) przeprowadzone zoanie na podawie prognoz pochodzących z czerech ypów modeli. Ponieważ modele ARIMA i VAR należą do kanonu modelowania makroekonomicznego, nie będą przedmioem opiu. Z uwagi na fak niewielkich zmian zaproponowanych przez auora uwaga zoanie kupiona na modelach klay MIDAS i. Podawowy jednorównaniowy model MIDAS o horyzoncie prognozy h=1 można zapiać naępująco [Clemen, Galvao, 2006]: y 1/ m 0 1B L ; ) 1/ m m 1 m ( x (1) / m m m L x 1 x 1 / m (2) K k 1 ( k 1) / m B( L ; ) b( k; ) L ()

3 exp( 1k 2k ) b( k; ) K (4) 2 exp( k k ) k Równanie (1) definiuje model MIDAS, w równaniu (2) zdefiniowano operaor opóźnienia zmiennych wyokiej częoliwości, równanie () łumaczy jak na porzeby modelu MIDAS rozumiany je wielomian kalarny względem operaora opóźnień zmiennych wyokiej częoliwości, równanie (4) wkazuje na wykładniczy (zgodny z meodą S. Almon) chema zmienności paramerów przy zmiennych wyokiej częoliwości z rozłożonymi opóźnieniami. Ponado: indek je nazywany indekem podawowym, j. indekem zmiennych nikiej częoliwości (w przypadku niniejzego badania je o indek zmiennych kwaralnych); m je ałą określającą liczbę oberwacji wyokiej częoliwości w podawowej jednoce czau nikiej częoliwości (na porzeby ego badania m=, rzy mieiące w kwarale), nie je o zaem oznaczenie wykładnika poęgi opnia m; K deerminuje opień rozłożonych opóźnień zeregu zmiennej o częoliwości wyokiej. Przykładowo, przyjmując m= i K=12, model MIDAS można zapiać: 0 1[ b(1; ) x 1 b(2; ) x 1 1/... b(12; ) x 4 2 / ] y (1a) Jeśli przyjmie ię, że indek idenyfikuje oberwację, np. z pierwzego kwarału roku 201 (201q1), wówcza x 1 je oberwacją dokonaną na zmiennej o częoliwości mieięcznej 2012m12, x 1 1/ je oberwacją z okreu 2012m11, x 4 2 / z okreu 2012m01. Równanie (1) wkazuje poać modelu pozwalającego formułować prognozy przy założeniu horyzonu prognozy h=1. MIDAS dla ogólnego h (h 1) zdefiniowany zoał naępująco: 1/ m m h y 0 1B( L ; ) x (5) Równanie (5) wkazuje na poób formułowania prognoz kwaralnych na podawie ylko i wyłącznie opóźnionych w czaie oberwacji mieięcznych. Zdaniem auora najciekawzą werją proego modelu MIDAS je a, kóra pozwala formułować prognozy kwaralne na podawie danych mieięcznych doępnych w ymże kwarale; odpowiedni model przybiera wówcza poać: y 1/ m m 0 1B L ; ) x 2 / m m ( (6) Horyzon prognozy ualony je wówcza na h=2/, czyli wkazuje na doępność danych pochodzących z pierwzego mieiąca danego kwarału 2. W prezenowanym badaniu zaproponowany i użyy zoał naępujący model MIDAS : y 4 4 1/ m m 1/ m m 0 i B L ; i ) xi, 2 / i B( L ; j ) z j, 1 i 0 j 0 ( w (7) 4 4 ig l 0 g 1 W porównaniu do modelu podawowego pozwala on na: 1) uwzględnienie do czerech zmiennych (i=0,1,..,4) mieięcznych pochodzących z pierwzego mieiąca danego kwarału; 2) uwzględnienie do czerech zmiennych mieięcznych (j=0,1,..,4) pochodzących z okreów poprzedzających; ) uwzględnienie do czerech opóźnionych zmiennych (l=0,1,..,4) o częoliwości kwaralnej, o makymalnym opniu opóźnienia wynozącym 4 (g=1,2,,4). Soując model (7), możliwe je zaem wykorzyanie danych mieięcznych odnozących ię do bieżącego kwarału oraz opóźnionych w czaie danych mieięcznych i lg, g m 2 Podobnie h=1/ wkazuje na doępność danych pochodzących z dwóch pierwzych mieięcy danego kwarału. De faco je o połączenie modelu MIDAS i DL.

4 kwaralnych. Ograniczenia nałożone na makymalne liczby pozczególnych zmiennych i opień rozłożonych opóźnień zmiennych kwaralnych przyjęe zoały arbiralnie, ak by zachowana była wyoka liczba opni wobody pozwalająca wiarygodnie eować właności rukury ochaycznej modeli 4. W lieraurze wykazano [Ghyele i inni, 2004 a], że przy ypowych założeniach odnozących ię do kładnika zakłócającego i zmiennych modelu, eymaor nieliniowej MNK je co najmniej zgodny. Tenże eymaor zaoowano na porzeby niniejzego badania. Podawowym modelem zaproponowanym przez J. Socka, M. Waona [Sock, Waon, 2002] je: y ( L) F ( L y (8) h h h h ) h gdzie: y je zmienną będącą przedmioem modelowania (prognozowania); F je macierzą czynników (w prakyce, uzykaną meodą głównych kładowych) ozacowaną na podawie dużego zbioru zmiennych makroekonomicznych mających poencjalny wpływ na kzałowanie ię zmiennej prognozowanej, h wyznacza horyzon prognozy. Pozoałe elemeny modelu o paramery rukuralne i kładnik zakłócający pełniające ypowe założenia. Zakładając kończony charaker rozkładów opóźnień, ozacowaną werją modelu łużącą do wyznaczania prognoz je: y ˆ ˆ ( L) F ˆ ( L) y (9) h h h h Oryginalna procedura Socka i Waona (SW) wyboru opymalnego modelu zakłada wykorzyanie kryeriów pojemności informacyjnej (BIC) do ualenia rzędów proceu AR (proce AR reprezenowany przez ˆ h( L) y h ) i rzędu rozłożonych opóźnień DL (proce DL reprezenowany przez ˆ ( L) ). Wybrawzy model poaci (8), co przejawia ię przez h F h ualenie rzędów proceów AR, DL i liczby czynników F, paramery modelu (8) zacowane 5 ą oobno dla każdego horyzonu prognozy h, a naępnie, oując model (9), liczone ą h okreowe prognozy. Prognoza dla h=1,2,,max(h) powaje więc na podawie modelu (9) o paramerach zacowanych pecyficznie dla danego h, oraz ualonym rzędzie AR, DL i raz ualonej liczbie czynników F. W oku badań empirycznych auor wierdził, że fakycznie nie inieje najlepzy model poaci (8), kóry jednakowo efekywnie doarczałby prognoz dla różnych horyzonów prognozy h. Modele prognoz krókookreowych (h=1,2), charakeryzowały ię niżzym rzędem proceu AR niż modele prognoz średniookreowych (h=,4), endencję ę naśladował rząd proceu DL. Zaproponowana zoała modyfikacja procedury SW polegająca na innej raegii doboru modeli prognoycznych. Dwuopniowe podejście obejmuje: 1) ozacowanie wzykich możliwych modeli dla założonych warości rzędów AR, DL i liczby czynników F (rzędy i liczby zmieniają ię od 0 do górnych arbiralnie ualonych granic); 2) na podawie kryerium BIC wybór modelu, j. de faco wybór rzędów AR, DL i liczby czynników F dla danego horyzonu prognozy h. h 4 Więcej na ema w części doyczącej zaoowanych w badaniu danych. 5 W lieraurze przedmiou [Sock, Waon, 1999] wykazano, że przy pełnieniu ypowych warunków eymaor MNK je nieobciążony i najefekywniejzy; en właśnie eymaor zaoowano w niniejzym badaniu. Sock i Waon wykazali ponado, iż ame prognozy ą aympoycznie efekywne w ym enie, że błąd MSE zmierza do opymalnego MSE, o ile N,T.

5 Oznacza o, że dopuzcza ię zmianę rzędów wymienionych proceów wraz ze zmianą horyzonu prognozy h. Zmienności rzędów AR i DL oraz zmian liczby czynników F nie uwzględniała oryginalna procedura SW. Kozem ponozonym przy oowaniu opianej procedury wyboru modelu prognoycznego je konieczność wykonania dużo więkzej liczby ozacowań modeli, procedura oryginalna SW była w ym względzie ozczędniejza. W zamyśle auora modyfikacja powinna doprowadzić do polepzenia dopaowania modeli oowanych przy prognozowaniu bezpośrednim 6, z uwagi na pecyfikę wpływ modyfikacji na prognozowanie ieracyjne 7 będzie raczej znikomy i procedura zmodyfikowana nie była wówcza oowana. 2. Dane Dane użye w badaniu pochodzą z Banku Rezerwy Federalnej w Filadelfii (RTDSReal Time Daa Se) [hp:// ]. Z bazy wybrano 9 zmiennych o częoliwości kwaralnej, oberwacje pochodzą z okreu 1995q1 2012q4, wśród nich zmienna prognozowana, j. annualizowane PKB w USA. W bazie doępne ą również zmienne mieięczne. Zmienne o ej częoliwości podzielone zoały na dwie kaegorie. Pierwza grupa objęła 20 zmiennych mieięcznych pochodzących z okreu 1995m1 2012m10, dla ych danych pod koniec każdego kwarału doępna je pierwza oberwacja mieięczna doycząca egoż kwarału. Druga grupa objęła 7 zmiennych pochodzących z okreu 1995m1 2012m9, ą o zmienne, dla kórych nie dyponujemy oberwacjami mieięcznymi pochodzącymi z najnowzego kwarału 8. Należy zaznaczyć, że dane pochodzące z bazy RTDS ą danymi czau rzeczywiego. Danymi ypu realime określa ię w lieraurze zbiór danych (o charakerze ekonomicznym) zawierających zeregi czaowe oberwacji o zróżnicowanej w czaie wiarygodności informacji. Dane wczene mogą podlegać okreowym rewizjom uwzględniającym niedoępne uprzednio informacje, rewizjom dokonywanym na kuek dokonalenia meod pozykiwania danych ayycznych, a częo na kuek obu wymienionych czynników. Dokonanie rewizji je zaem związane z uwzględnieniem dodakowej niedoępnej wcześniej informacji lub zaoowaniem innej echnologii przewarzania danych, w zamyśle prowadzącej do polepzenia jakości danych. Je oczywie, że najnowze doępne dane nie mogą uwzględniać owej dodakowej informacji, gdyż a doępna będzie dopiero w przyzłości. Zwyczajowo rukura danych czau rzeczywiego pojedynczego zeregu czaowego ma formę macierzy; każdej kolumnie odpowiadają dane pochodzące z innego momenu publikacji, każdemu wierzowi odpowiada daa określająca, jakiego okreu doyczy informacja. Sąd, odczyując warości w określonym wierzu, użykownik może prawdzić, jak zmieniały ię oceny zmiennej będącej przedmioem zainereowania orzymywane w kolejnych momenach publikacji. Naomia każda kolejna kolumna odzwierciedla najlepzą (najnowzą) wiedzę o kzałowaniu ię zmiennej doępną użykownikom w danym momencie. Elemeny diagonalne (główna przekąna) doarczają informacji o warościach 6 Ang. muliep, direc, j. prognozowaniu z okreu na +h. 7 Ang. ieraed foreca, j. krokowe prognozowanie za każdym razem na okre +1 aż do +h. 8 Wzykie dane użye w badaniu wórcy bazy RTDS pozbawili cech ezonowości. Przed modelowaniem zmienne zoały doprowadzone do acjonarności. Sopień inegracji zmiennych nie był eowany, przekzałcenia prowadzające do acjonarności (różnicowanie, różnicowanie logarymów ip.) konieczne do doprowadzenia określonej zmiennej do acjonarności zaczerpnięo z pracy [Sock, Waon, 2002].

6 zmiennej podawanych jako pierwze publikacje, czyli publikacje bez jakichkolwiek rewizji [hp:// W lieraurze przedmiou [Clemen, Galvao, 2010; Koenig i inni, 200] wyróżnia ię przynajmniej dwie ważne przyczyny rewizji danych: 1) hipoezę błędu pomiaru (noie hypohei), 2) hipoezę prognoz efekywnych (new hypohei). Niech (=1,,T; ). Ocena i innowacji y oznacza ocenę zmiennej odnozącą ię do okreu dokonaną w okreie v. Zaem: y kłada ię z prawdziwej warości zmiennej, oznaczonej y ~ y v (10) y~, zakłóceń Rewizje uznaje ię za zgodne z hipoezą prognoz efekywnych, jeśli pierwonie dokonane oceny zmiennej ą opymalnymi prognozami bieżących ocen, czyli jeśli innowacje nie ą korelowane z bieżącymi ocenami, co zachodzi jeśli cov( v, y ) 0. Korzyając z powyżzych oznaczeń, rewizje uznaje ię za zgodne z hipoezą błędu pomiaru jeśli cov(, ~ y ) 0. Formuła (10) łuży de faco do wyrażenia rewizji miezanych; wymienione hipoezy błędu pomiaru i prognoz efekywnych w woich czyych poaciach zakładają, że rewizją je odpowiednio: y ~ y, lub y ~ y v. W lieraurze przedmiou nie znajduje ię przekonujących przykładów na jednoznaczne poparcie kórejkolwiek z hipoez. C. Richardon [200], J. Fau, J. Roger, J. Wrigh [2005] wierdzą, że rachunki narodowe Wielkiej Bryanii zachowują ię zgodnie z hipoezą prognoz efekywnych. N.G. Mankiw, M.D. Shapiro [1986], G. Kapeanio, T. Yae [2004] wkazują, że rachunki narodowe amerykańkiego i bryyjkiego PNB zachowują ię zgodnie z hipoezą błędu pomiaru. Ualenie (lub aprioryczne założenie), czy rewizje zachowują ię zgodnie z hipoezą błędu pomiaru, hipoezą prognoz efekywnych, czy wykazują miezany charaker ma kluczowe znaczenie dla raegii konrukcji modelu, na podawie kórego badacz zamierza formułować prognozy. W przypadku hipoezy prognoz efekywnych rewizje ą nieprognozowalne. W przypadku hipoezy błędu pomiaru można podjąć próbę eymacji błędu na podawie oceny obciążenia y, ewenualnie ozacować błąd, korzyając z dodakowych danych [Chamberlin, 2007, 2010]. Jeśli uwzględni ię wpływ czynników miezanych, j. błędów i innowacji, można, jak wykazali [Jacob, van Norden, 2011] zapiać model (10) uwzględniający całą hiorię rewizji w poaci modelu przerzeni anów i oując filr Kalmana próbować ocenić czynniki nieoberwowalne. Prognozowanie rewizji ma jednak zawze charaker przenieienia przezłych rewizji i ewenualnych związków rewizji z danymi będącymi przedmioem zainereowania na rewizje fakycznie jezcze niedokonane. Oczywiym celem akiego działania je zmiana jakości danych. Efekywność prognozowania rewizji je jednak co najmniej problemayczna w świele wyników badań [Paeron, 2002; Brown i inni, 2010]. Wymienieni auorzy, korzyając z bardzo długich zeregów czaowych, wykazali, że rewizje ą nieabilne w czaie. W badaniach wykazano inienie wielu rendów ochaycznych rewizji zależnych od day publikacji zeregu czaowego. W konekwencji rzeba raczej kłonić ię ku wierdzeniu, że różne rewizje (pochodzące z różnych okreów) nie podlegają wpólnemu wzorcowi zmienności, a zaem próby zaoowania prognoz rewizji mogą pogorzyć zamia polepzyć jakość danych, a ym amym pogorzyć jakość prognoz.

7 W lieraurze przedmiou [Sark, Crouhore, 2002; Crouhore, 2010] wymienia ię rzy możliwe pooby wpływania rewizji na jakość prognoz: 1. Bezpośrednio, poprzez zmianę warości zmiennej (zmiennych) będącej przedmioem zainereowania, wówcza en am model w różnych okreach doarcza prognoz różniących ię precyzją. 2. Pośrednio, prowadząc do zmiany ozacowań paramerów rukuralnych modelu.. Pośrednio, prowadząc do zmiany pecyfikacji modelu polegającej na zmianie wyboru zmiennych objaśniających lub ich (zmiennych objaśniających) rukury opóźnień. Wpomniani auorzy ugerują jednocześnie, że błędem je niepołużenie ię danymi czau rzeczywiego i użycie do eymacji modelu jedynie najnowzych doępnych danych. Takie poępowanie awia badacza w uprzywilejowanej pozycji, wobec oób poługujących ię danymi czau rzeczywiego. Sandardowy poób poępowania z danymi najnowzymi polega bowiem na króceniu próbki, ak by najnowze doępne dane użyć do weryfikacji właności, poprawności i efekywności prognoz. Model użyy do formułowania prognoz zacowany je zaem na podawie danych, kóre podlegały wcześniejzym rewizjom, co poencjalnie umożliwia konruowanie lepzego narzędzia niż mogliby o uczynić badacze formułujący modele w przezłości, a niedyponujący danymi po rewizjach. Mechanizm en je dokonale znany, chociażby w poaci porównania błędów RMSE (średnich błędów prognoz ex po) modeli formułowanych w przezłości i budowanych wpółcześnie. Z reguły e drugie charakeryzują ię niżzymi błędami, wkazując jak precyzyjnie w chwili obecnej jeeśmy w anie prognozować przezłość, jednak jak uczy doświadczenie, nie wykazując nadzwyczajnych właności do formułowania precyzyjnych prognoz ex ane. Doęp do bazy RTDS wykorzyanej w niniejzym badaniu oferowany je przez Banku Rezerwy Federalnej nieodpłanie, o z kolei ograniczyło pole badawcze do amerykańkiego (a nie np. krajowego) PKB. Jak zaznaczono, w bazie RTDS doępne ą dane czau rzeczywiego, co wobec uwag zawarych w niniejzym rozdziale ma zdaniem auora kluczowe znaczenie dla enowności porównań prognoz porządzonych na porzeby niniejzego badania.. Wyniki Badanie zoało zaplanowane jako ymulacja czerech eji prognoycznych (ąd dane czau rzeczywiego pozwalające ymulować eje prognoz ex ane) obejmujących okrey: 2011q2 2012q1, 2011q 2012q2, 2011q4 2012q, 2012q1 2012q4. Jak można zaoberwować, w przypadku każdej eji założono prognozy z wyprzedzeniem czaowym h=1,2,,4. Procedura prognozowania (w każdej z ymulowanych eji) na podawie modelu MIDAS obejmowała: 1. Ozacowanie wzykich możliwych modeli dla założonych i,j,l=0,1,,4, g=1,2,,4, m=, k=12 lub k= Teowanie auokorelacji kładników zakłócających modeli i wybór do dalzego badania ych pośród nich, dla kórych nie znaleziono podaw do odrzucenia hipoezy o braku auokorelacji (eowano auokorelację do rzędu 4 włącznie).. Na podawie kryerium BIC wybór najlepzego modelu [por. procedura wyboru najlepzego modelu Sock, Waon, 2006]. 4. Na podawie modelu najlepzego, ozacowanie prognoz dla h=1,2,,4. Analogicznie przebiegały ymulacje eji prognoycznych dla pozoałych kla modeli.

8 W przypadku modeli w punkcie pierwzym założono makymalnie czery procey DL, każdy z nich makymalnie czwarego rzędu, ponado makymalnie czery procey AR, każdy z nich makymalnie czwarego rzędu. Wykorzyując modele ARIMA(p,d,q), założono makymalne rzędy p=6 i q=6, podobnie jak dla modeli wcześniejzych zacowano każdą możliwą kombinację. W modelu VAR wykorzyano zmienne zaproponowane w wielorównaniowym modelu gopodarki amerykańkiej FAIRMODEL [Fair, 201], w kład wekora zmiennych wezły: PKB, zyki przed opodakowaniem, warość produkcji ekora cywilnego i ekora miliarnego, liczba przepracowanych roboczogodzin w ychże ekorach. W przypadku modelu VAR założono makymalny rząd opóźnienia wynozący 4. Po wyznaczeniu prognoz, liczone były błędy ex po i miary RMSE (por. ablica 1). Minimalny błąd RMSE wkazywał prognozy uznane za najlepze w danej eji. Naępnie parami eowano idenyczność prognoz najlepzych z prognozami pozoałymi ejże eji; poługiwano ię eem DieboldaMariano z poprawką małopróbkową [Diebold, 2012]. Procedury eymacji, prognozowania, porównania jakości prognoz zoały napiane amodzielnie w programie R. Z zeawienia zawarego w ablicy 1 wynika, że w pierwzej eji prognoycznej najmniejzy błąd RMSE uzykano z prognoz modelu VAR, w ejach drugiej i rzeciej minimalne błędy RMSE uzykano na podawie prognoz modelu po modyfikacjach zaproponowanych przez auora, w eji czwarej najmniejzym błędem obarczone były prognozy obliczone w poób ieracyjny na podawie modelu. Zeawiając wzykie prognozy łącznie, najmniejzym błędem RMSE wykazały ię prognozy uzykane z modelu VAR. Tablica 1. Błędy RMSE z czerech eji prognoycznych, oraz RMSE łączne Seja MIDAS (k=12) MIDAS (k=24) (mod) (dir) (ier) ARIMA VAR 2011q22012q q2012q q42012q q12012q q22012q Skróy (mod), (dir), (ier) odnozą ię odpowiednio do meody : ze zmodyfikowaną procedurą wyboru modelu, bezpośredniej, ieracyjnej. Źródło: Obliczenia włane. Zeawienie z ablicy 1 pozwala na formułowanie rzech wępnych wnioków: 1) modele MIDAS doarczyły najgorzej dopaowanych prognoz; 2) modyfikacja klaycznej procedury doboru modelu zaproponowana przez auora okazała ię enowna w ym enie, że w rzech ejach prognoycznych prognozy (mod) okazały ię lepiej dopaowane od innych prognoz, w dwóch ejach prognozy (mod) były ogólnie najlepiej dopaowane; ) w rakcie całego ekperymenu model VAR doarczył przecięnie najlepiej dopaowane prognozy. Tablica 1 je proym zeawieniem średnich błędów prognoz pozwalającym formułować jedynie wępne wnioki. Kolejny eap badania polegał na eowaniu idenyczności precyzji prognoz najlepzych w danej eji z prognozami pozoałymi ejże eji (predicive accuracy DieboldMariano e). W ablicy 2 zebrano warości ayyk oraz w

9 nawiaach kwadraowych empiryczne prawdopodobieńwa odrzucenia hipoezy zerowej o idenycznej dokładności prognoz. Tablica 2. Wyniki eu DieboldaMariano (z poprawką małopróbkową) Seja MIDAS (k=12) MIDAS (k=24) (mod) (dir) (ier) ARIMA VAR 2011q22012q1 2011q2012q2 2011q42012q 2012q12012q4 2011q22012q [0.011].95 [0.000] [0.049] 1.24 [0.09].222 [0.000] Źródło: Obliczenia włane [0.05].402 [0.000]] [0.064] [0.219] [0.005] 1.72 [0.041] [0.179] 0.07 [0.470] [0.054] [0.160] [0.04] [0.478] [0.01] 1.10 [0.14].094 [0.000].098 [0.000] 2.4 [0.007] 1.12 [0.10] [0.400] 2.02 [0.010] [0.14] [0.121] [0.052] [0.066] [0.08] Wyniki eów DieboldaMariano (DM) zebrane w ablicy 2 pozwalają na formułowanie naępujących wnioków (przyjęo poziom ioności 10%): 1. W pierwzej eji prognoycznej najlepiej dopaowane prognozy pochodziły z modelu VAR; z eu DM wynika, że ich precyzja była nieodróżnialna od precyzji prognoz uzykanych z modeli ARIMA i (ier), pozoałe modele doarczyły prognoz o ayycznie gorzej precyzji. 2. W drugiej eji najbardziej precyzyjne prognozy zoały obliczone na podawie modelu (mod), precyzja ych prognoz była nieodróżnialna od prognoz wynikających z modelu (dir), prognozy z pozoałych modeli były mniej dokładne.. W rzeciej eji prognoycznej najwyżzą precyzję prognoz zapewnił model (mod), pozoałe prognozy ej eji były aycznie ionie mniej precyzyjne. 4. W czwarej eji najbardziej precyzyjnych prognoz doarczył model (ier), ayycznie gorzej dopaowane były jedynie prognozy z modeli VAR i MIDAS(k=12). 5. Łącząc wzykie prognozy, najlepzą precyzję prognoz zapewnił model VAR, przy czym precyzja prognoz pochodzących z modeli (mod) i ARIMA okazała ię ayycznie nieodróżnialna od precyzji prognoz VAR. Wyniki przedawione w ablicach 1 i 2 wkazują jednoznacznie na brak poparcia dla weryfikowanej w arykule ezy. Należy wierdzić, że bezpośrednie (j. bez agregacji) zaoowanie w modelu zmiennych o wyokiej częoliwości nie polepzyło dopaowania prognoz makroekonomicznych przy założonym makymalnym horyzoncie prognozy wynozącym h=4. Dopaowanie prognoz modeli MIDAS okazało ię najgorze pośród wzykich poddanych porównaniu. Uzykane wyniki okazały ię porym zakoczeniem, gdyż konrukcja modeli MIDAS pozwalająca uwzględnić najnowzą informację mieięczną w danym kwarale wydawała ię preferować ę klaę modeli do prognozowania makroekonomicznego przynajmniej w krókim okreie. W celu zbadania właności prognoz rice krókookreowych dokonano porównania prognoz wzykich czerech eji, dla kórych h=1 (prognoz z jednookreowym wyprzedzeniem). Wyniki zawaro w ablicy. W wierzu ablicy umiezczono: błąd RMSE, ayykę eu DieboldaMariano, empiryczne prawdopodobieńwa odrzucenia hipoezy zerowej o idenycznej precyzji prognoz.

10 2010q1 2010q2 2010q 2010q4 2011q1 2011q2 2011q 2011q4 2012q1 2012q2 2012q 2012q4 Zmiany PKB[%] Z zeawienia zawarego w ablicy wynika, iż najlepzą precyzję prognoz krókookreowych (na okre naępny, j. dla h=1) uzykano w przypadku modelu MIDAS(k=12). Wynik eu DM ugeruje, że precyzja ych prognoz je nieodróżnialna od precyzji prognoz krókookreowych pochodzących z modeli MIDAS(k=24), (mod), (ier) i VAR. Tablica. Błędy RMSE, ayyka eu DieboldaMariano (z poprawką małopróbkową), [empiryczne prawdopodobieńwo odrzucenia H0], h=1 Seja wzykie eje, h=1 MIDAS (k=12) 0.89 Źródło: Obliczenia włane. MIDAS (k=24) [0.488] (mod) [0.171] (dir) [0.065] (ier) [0.141] ARIMA [0.000] VAR [0.165] Ryunek 1. Zmienna prognozowana i najlepiej dopaowane prognozy krókookreowe (h=1) Annualizowana zmiana PKB[%], zmienna prognozowana prognozy MIDAS(12) dla h=1 inne najlepze prognozy dla h= Źródło: Opracowanie włane. Zmienną prognozowaną, prognozy dla h=1 z modelu MIDAS(k=12) oraz najbardziej precyzyjne prognozy dla h=1 pochodzące z innych badanych modeli zobrazowano na ryunku 1. Z wykreu można odczyać, że w okreach 2011q, 2011q4, 2012q1 wyąpiły zw. punky zwrone w kzałowaniu ię zmiennej objaśnianej (linia czarna). W każdym przypadku zoały one prawidłowo prognozowane na podawie modelu MIDAS(k=12) (linia zara ciemna), prawdopodobnie na kuek uwzględnienia najnowzej pochodzącej z danego kwarału informacji mieięcznej. Najlepiej dopaowane prognozy pochodzące z innych modeli (linia zara jana) nie wykazały zdolności do prawidłowego prognozowania punków zwronych, wyżzość modelu MIDAS w okreie objęym badaniem je wyraźnie zauważalna. Zakończenie Podumowując wyniki, można wierdzić, iż w oku badań wierdzono najlepze dopaowanie prognoz rice krókookreowych (h=1) uzykanych na podawie modeli MIDAS. Modele ej klay doarczyły również prognoz prawidłowo reagujących na punky zwrone zmiennej prognozowanej. Przypuzcza ię, że cecha a wynika ze zdolności modelu MIDAS do uwzględniania w prognozie najnowzej informacji pochodzącej ze zmiennej wyokiej częoliwości niedoępnej w innych porównywanych modelach (VAR,, ARIMA). Zauważono również znaczące pogorzenie właności prognoz pochodzących z

11 modeli MIDAS wraz ze wzroem horyzonu prognozy w aki poób, że dla wyprzedzenia czerookreowego modele ej klay doarczają prognoz najmniej precyzyjnych pośród wzykich porównanych. Z badań wynika, iż należy rekomendować wykorzyanie modeli MIDAS do prognoz ypu nowcaing i unikać ich oowania w dłużzych horyzonach prognozy. Wynik aki anowi jednocześnie jedynie częściowe poparcie weryfikowanej ezy. Lieraura 1. Andreou E., Ghyel E., Kourello A. (2010), Forecaing wih mixedfrequency daa, Oxford Handbook on Economy Forecaing, Clemen M.P., Hendry D.F. (red.). 2. Ari M., Banerjee A., Marcelino M. (200), Facor foreca for he UK, Bacconi Univeriy Working Paper, Vol Boivin J., Ng S. (2006), Are more daa alway beer for facor analyi? Journal of Economeric, No. 12(1). 4. Brown G., Buccellao T., Chamberlin G., DeyChowdhury D., Youl R. (2010), Underanding he qualiy of early eimae of Gro Domeic Produc, Economic & Labour Marke Review, Vol. 4(6). 5. Chamberlin G. (2007), Forecaing GDP uing exernal daa ource, Economic and Labour Marke Review, Vol. 1, No Chamberlin G. (2010), Real ime daa, Economic and Labour Marke Review, Vol. 4(12). 7. Chen X., Ghyel E. (2009), New good or bad and i impac on predicing fuure volailiy, Review of Financial Sudie. 8. Chow G., Lin A. (1971), Be linear unbiaed inerpolaion, diribuion and exrapolaion of ime erie by relaed ime erie, Review of Economic and Saiic, No Clemen M.P., Galvao A.B. (2010), Realime Forecaing of Inflaion and Oupu growh in he Preence of Daa Reviion, Warwick Economic Reearch Paper, No Clemen M.P., Galvao A.B. (2006), Macroeconomic Forecaing wih Mixed Frequency Daa: Foreca of US oupu growh and inflaion, Warwick Economic Reearch Paper, Crouhore D. (2005), Forecaing wih RealTime Daa Vinage, Univeriy of Richmond Working Paper. 12. Diebold F. (2012), Comparing Predicive Accuracy, Tweny Year Laer: A Peronal Perpecive on he Ue and Abue of DieboldMariano Te, Univeriy of Pennylvania Working Paper, Vol Fair R. (201), Macroeconomeric Modeling, hp://fairmodel.econ.yale.edu/mmm/mm.pdf. 14. Fau J., Roger J., Wrigh J. (2005), New and noie in G7 announcemen, Cenre for Economic Policy Reearch, No Forni M., Hallin M., Lippi M., Reichlin L. (2005), The Genaralized Dynamic Facor Model, Journal of he American Saiical Aociaion, No Ghyel E., SanaClara P., Valkanov R. (2004 a), The MIDAS ouch: Mixed Daa Sampling regreion model, Chapel Hill, N.C. 17. Ghyel E., SanaClara P., Valkanov R. (2004 b), Predicing volailiy: Geing he mo ou of reurn daa ampled a differen frequencie, Journal of Economeric. 18. Jacob J., van Norden S. (2011), Modeling daa reviion: Meauremen error and dynamic of rue value, Journal of Economeric, No Kapeanio G., Yae T. (2004), Eimaing imevariaion in meauremen error from daa reviion; an applicaion o forecaing in dynamic model, Bank of England Working Paper, No. 28.

12 20. Koenig E.F., Doma S., Piger J. (200), The ue and abue of realime daa on economic forecaing, The Review of Economic and Saiic, Vol. 85(). 21. Mankiw N.G., Shapiro M.D. (1986), New of noie. An analyi of GNP reviion, Survey of Curren Buine. 22. Marcellino M., Sock J., Waon M. (2006), A comparion of direc and ieraed muliep AR mehod for forecaing macroeconomic ime erie, Journal of Economeric, Vol. 15(12). 2. Miller P.J., Chin D.M. (1996), Uing monhly daa o improve quarerly model foreca, Federal Reerve Bank Minneapoli Quarerly Review, Paeron K. (2002), The daa meauremen proce for UK GNP: ochaic rend, long memory and uni roo, Journal of Forecaing, Richardon C. (200), Reviion analyi: a ime erie approach, Economic Trend, Vol Schneider M., Spizer M. (2004), Forecaing Aurian GDP uing he generalized dynamic facor model, Oeerreichiche Naionalbank Working Paper, Vol Sark T., Crouhore D. (2002), Forecaing wih a real ime daa e for macroeconomi, Journal of Macroeconomic, Vol Sock J., Waon M. (1999), Forecaing Inflaion, Journal of Moneary Economic, Vol Sock J., Waon M. (2002),.Macroeconomic Forecaing Uing Diffuion Indexe, Journal of Buine and Economic Saiic, Vol. 20(2). 0. Sock J., Waon M. (2005), Implicaion of Dynamic Facor Model for VAR Analyi, NBER Working Paper, Sock J., Waon M. (2006), Forecaing wih Many Predicor, Handbook of Economic Forecaing, Vol. 1. Srezczenie Celem badania było prawdzenie, czy zaoowanie w modelu danych o zróżnicowanej częoliwości w poaci najnowzych doępnych danych o częoliwości mieięcznej je w anie polepzyć dokładność kwaralnych prognoz wybranych kaegorii makroekonomicznych. Narzędziem badawczym były modele klay MIDAS,, ARIMA i VAR, przedmioem porównań prognozy wyliczone na podawie wymienionych modeli. Badanie zaplanowane zoało jako ymulacja czerech eji, każda o horyzoncie prognozy czerookreowym, każda doarczająca prognoz ex ane. W ym celu konieczne było użycie zmiennych czau rzeczywiego, co z uwagi na ograniczony doęp do nieodpłanych baz danych czau rzeczywiego wymuiło badanie amerykańkiego PKB. Z przeprowadzonych badań wynika, że modele klay MIDAS, w kórych możliwe je bezpośrednie uwzględnienie najnowzych informacji mieięcznych, doarczają bardziej precyzyjnych prognoz PKB jedynie dla prognoz formułowanych z jednookreowym wyprzedzeniem czaowym. Wraz ze wzroem wyprzedzenia precyzja prognoz MIDAS maleje i je ayycznie ionie gorza od prognoz uzykanych z modeli VAR i. Słowa kluczowe prognoza, zmienne zróżnicowanej częoliwości, MIDAS, Mixed Frequency Daa in Macroeconomic Forecaing (Summary) The aim of he udy wa o find ou wheher he ue of mixed frequency daa model can improve he accuracy of quarerly foreca of eleced macroeconomic variable. The reearch ool were he MIDAS,, ARIMA and VAR model wih quarerly foreca a reference poin. The udy ued a imulaion of four (ex ane) forecaing eion. To ha end, i wa neceary o ue variable from he realime daabae. Ye, due o he limied acce o uch daabae, he udy focued on U.S. GDP.

13 The reul indicae ha he MIDAS cla model, which direcly incorporae he lae available monhly informaion, provide more accurae foreca of GDP only if he foreca are formulaed oneep ahead. Wih an increae in epahead, preciion of MIDAS foreca decreae, and four epahead foreca are ignificanly wore han hoe obained from he VAR and model. Keyword daa frequency, realime forecaing, MIDAS,