Testowanie hipotez statystycznych.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Testowanie hipotez statystycznych."

Transkrypt

1 Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011

2 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie testowania hipotez hipotezy nazywamy odpowiednio hipotezą zerową i hipotezą alternatywną. Oznaczamy je odpowiednio H 0 i H 1 (czasami H 1 oznaczana jest przez H A ).

3 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie testowania hipotez hipotezy nazywamy odpowiednio hipotezą zerową i hipotezą alternatywną. Oznaczamy je odpowiednio H 0 i H 1 (czasami H 1 oznaczana jest przez H A ).

4 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie testowania hipotez hipotezy nazywamy odpowiednio hipotezą zerową i hipotezą alternatywną. Oznaczamy je odpowiednio H 0 i H 1 (czasami H 1 oznaczana jest przez H A ).

5 Testowanie hipotez statystycznych Jeśli θ oznacza parametr populacji, wtedy ogólna postać hipotez hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej przyjmuje postać H 0 : θ Θ 0, H 1 : θ Θ c 0, gdzie Θ 0 jest pewnym podzbiorem przestrzeni parametrów a Θ c 0 jego dopełnieniem. H 0 : θ = 0, H 1 : θ = 0. H 0 : θ θ 0, H 1 : θ < θ 0.

6 Testowanie hipotez statystycznych Jeśli θ oznacza parametr populacji, wtedy ogólna postać hipotez hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej przyjmuje postać H 0 : θ Θ 0, H 1 : θ Θ c 0, gdzie Θ 0 jest pewnym podzbiorem przestrzeni parametrów a Θ c 0 jego dopełnieniem. H 0 : θ = 0, H 1 : θ = 0. H 0 : θ θ 0, H 1 : θ < θ 0.

7 Testowanie hipotez statystycznych Jeśli θ oznacza parametr populacji, wtedy ogólna postać hipotez hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej przyjmuje postać H 0 : θ Θ 0, H 1 : θ Θ c 0, gdzie Θ 0 jest pewnym podzbiorem przestrzeni parametrów a Θ c 0 jego dopełnieniem. H 0 : θ = 0, H 1 : θ = 0. H 0 : θ θ 0, H 1 : θ < θ 0.

8 Definicja. Procedura testowania hipotezy statystycznej lub test hipotezy polega na znalezieniu reguły, która pozwala podjąć decyzję dla jakich wartości próby zaakceptować hipotezę zerową jako prawdziwą, dla jakich wartości próby odrzucić hipotezę zerową i zaakceptować jako prawdziwą hipotezę alternatywną. Zbiór tych wartości próby, dla których H 0 jest odrzucana nazywamy zbiorem krytycznym lub obszarem krytycznym. Dopełnienie obszaru krytycznego nazywamy obszarem przyjęcia hipotezy zerowej.

9 Definicja. Procedura testowania hipotezy statystycznej lub test hipotezy polega na znalezieniu reguły, która pozwala podjąć decyzję dla jakich wartości próby zaakceptować hipotezę zerową jako prawdziwą, dla jakich wartości próby odrzucić hipotezę zerową i zaakceptować jako prawdziwą hipotezę alternatywną. Zbiór tych wartości próby, dla których H 0 jest odrzucana nazywamy zbiorem krytycznym lub obszarem krytycznym. Dopełnienie obszaru krytycznego nazywamy obszarem przyjęcia hipotezy zerowej.

10 Definicja. Procedura testowania hipotezy statystycznej lub test hipotezy polega na znalezieniu reguły, która pozwala podjąć decyzję dla jakich wartości próby zaakceptować hipotezę zerową jako prawdziwą, dla jakich wartości próby odrzucić hipotezę zerową i zaakceptować jako prawdziwą hipotezę alternatywną. Zbiór tych wartości próby, dla których H 0 jest odrzucana nazywamy zbiorem krytycznym lub obszarem krytycznym. Dopełnienie obszaru krytycznego nazywamy obszarem przyjęcia hipotezy zerowej.

11 Definicja. Procedura testowania hipotezy statystycznej lub test hipotezy polega na znalezieniu reguły, która pozwala podjąć decyzję dla jakich wartości próby zaakceptować hipotezę zerową jako prawdziwą, dla jakich wartości próby odrzucić hipotezę zerową i zaakceptować jako prawdziwą hipotezę alternatywną. Zbiór tych wartości próby, dla których H 0 jest odrzucana nazywamy zbiorem krytycznym lub obszarem krytycznym. Dopełnienie obszaru krytycznego nazywamy obszarem przyjęcia hipotezy zerowej.

12 Definicja. Procedura testowania hipotezy statystycznej lub test hipotezy polega na znalezieniu reguły, która pozwala podjąć decyzję dla jakich wartości próby zaakceptować hipotezę zerową jako prawdziwą, dla jakich wartości próby odrzucić hipotezę zerową i zaakceptować jako prawdziwą hipotezę alternatywną. Zbiór tych wartości próby, dla których H 0 jest odrzucana nazywamy zbiorem krytycznym lub obszarem krytycznym. Dopełnienie obszaru krytycznego nazywamy obszarem przyjęcia hipotezy zerowej.

13 Metody konstrukcji testów statystycznych

14 Niech X 1,..., X n będzie próbą losową z rozkładu o gęstości f (x θ) (θ może być wektorem). Funkcję wiarogodności L(θ) definiujemy w następujący sposób L(θ x 1, x 2,..., x n ) = L(θ x) = f (x θ) = n f (x i θ). i=1

15 Niech Θ oznacza całą przestrzeń wartości parametru populacji. Definicja. Statystyka testowa testu ilorazu wiarogodności dla testowania hipotezy H 0 : θ Θ 0 przeciwko hipotezie alternatywnej H 1 : θ Θ c 0 ma postać λ(x) = sup Θ 0 L(θ x) sup Θ L(θ x). Test ilorazu wiarogodności to dowolny test, którego obszar odrzucenia hipotezy zerowej jest postaci {x : λ(x) c}, gdzie c jest dowolna liczbą 0 c 1.

16 Niech Θ oznacza całą przestrzeń wartości parametru populacji. Definicja. Statystyka testowa testu ilorazu wiarogodności dla testowania hipotezy H 0 : θ Θ 0 przeciwko hipotezie alternatywnej H 1 : θ Θ c 0 ma postać λ(x) = sup Θ 0 L(θ x) sup Θ L(θ x). Test ilorazu wiarogodności to dowolny test, którego obszar odrzucenia hipotezy zerowej jest postaci {x : λ(x) c}, gdzie c jest dowolna liczbą 0 c 1.

17 Przykład. Niech X 1,..., X n będzie próba losową z rozkładu normalnego N(μ, 1) o gęstości f (x μ) = 1 2π e (x μ)2 2. Funkcja wiarogodności ma postać [ ] n L(θ x) = (2π) n/2 exp (x i μ) 2 /2. i 1

18 Przykład cd. Statystyka testowa dla testu ilorazu wiarogodności dla testowania hipotezy H 0 : μ = μ 0 przeciwko hipotezie alternatywnej H 1 : μ = μ 0, gdzie μ jest ustaloną z góry wartością, ma postać λ(x) = (2π) n/2 exp [ n i=1 (x i μ 0 ) 2 /2 ] (2π) n/2 exp [ n i=1 (x i x) 2 /2] Po przekształceniach [( λ(x) = exp n (x i μ 0 ) 2 + i=1 ) ] n (x i x) 2 /2. i=1

19 Przykład cd. [( ) ] n n λ(x) = exp (x i μ 0 ) 2 + (x i x) 2 /2. Biorąc pod uwagę równość i=1 i=1 n (x i μ 0 ) 2 = i=1 n (x i x) 2 + n( x μ 0 ) 2, i=1 otrzymujemy λ(x) = exp [ n( x μ 0 ) 2 /2 ]. Obszar krytyczny {x : λ(x) c} testu ilorazu wiarogodności ma w tym przypadku postać { } 2 ln c x : x μ 0. n

20 Przykład. Niech X 1,..., X n będzie próba losową z rozkładu wykładniczego { e (x θ), x θ, f (x θ) = 0, x < θ, gdzie < θ <. Funkcja wiarogodności ma postać { e n i=1 L(θ x) = x i +nθ, θ min x i, 0, θ > min x i,

21 Przykład cd. Testu ilorazu wiarogodności dla testowania hipotezy H 0 : θ 5 przeciwko hipotezie alternatywnej H 1 : θ > 5 ma postać { 1, x(1:n) 5, λ(x) = e n(x (1:n) 5), x (1:n) > 5, gdzie x (1:n) = max 1 i n x i. Obszar krytyczny testu ilorazu wiarogodności ma w tym przypadku postać { x : x (1:n) 5 ln c }. n

22 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w populacji o rozkładzie normalnym.

23 Model 1. Testowanie hipotezy dotyczącej średniej gdy wariancja jest znana. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z rozkładu N(μ, σ 2 ), przy czym σ 2 jest znane. Testujemy hipotezę H 0 : μ = μ 0 przeciwko jednej z następujących hipotez alternatywnych H 1 : μ < μ 0, H 2 : μ > μ 0, H 3 : μ = μ 0.

24 Model 1. Testowanie hipotezy dotyczącej średniej gdy wariancja jest znana. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z rozkładu N(μ, σ 2 ), przy czym σ 2 jest znane. Testujemy hipotezę H 0 : μ = μ 0 przeciwko jednej z następujących hipotez alternatywnych H 1 : μ < μ 0, H 2 : μ > μ 0, H 3 : μ = μ 0.

25 Model 1. Testowanie hipotezy dotyczącej średniej gdy wariancja jest znana. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z rozkładu N(μ, σ 2 ), przy czym σ 2 jest znane. Testujemy hipotezę H 0 : μ = μ 0 przeciwko jednej z następujących hipotez alternatywnych H 1 : μ < μ 0, H 2 : μ > μ 0, H 3 : μ = μ 0.

26 Model 1. (cd.) Jako statystyki testowej użyjemy Z = X n μ 0 n, σ która, gdy hipoteza H 0 jest prawdziwa, ma standardowy rozkład normalny N(0, 1).

27 Gęstość standardowego rozkładu normalnego.

28 Niech z p będzie kwantylem rzędu p rozkładu N(0, 1). Typowe kwantyle standardowego rozkładu normalnego.

29 Niech z p będzie kwantylem rzędu p rozkładu N(0, 1). Typowe kwantyle standardowego rozkładu normalnego.

30 Na poziomie istotności α zbiory krytyczne testów dla poszczególnych alternatyw mają odpowiednio postać: 1) C = (, z 1 α ] dla alternatywy H 1 2) C = [z 1 α, ) dla alternatywy H 2 3) C = (, z 1 α/2 ] [z 1 α/2, ) dla alternatywy H 3

31 Na poziomie istotności α zbiory krytyczne testów dla poszczególnych alternatyw mają odpowiednio postać: 1) C = (, z 1 α ] dla alternatywy H 1 2) C = [z 1 α, ) dla alternatywy H 2 3) C = (, z 1 α/2 ] [z 1 α/2, ) dla alternatywy H 3

32 Na poziomie istotności α zbiory krytyczne testów dla poszczególnych alternatyw mają odpowiednio postać: 1) C = (, z 1 α ] dla alternatywy H 1 2) C = [z 1 α, ) dla alternatywy H 2 3) C = (, z 1 α/2 ] [z 1 α/2, ) dla alternatywy H 3

33 PRZYKŁAD 1. Przyjmując, że wynik pomiaru nieznanej rezystancji μ opornika jest zmienną losową o rozkładzie N(μ, σ 2 ), należy przetestować na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę H : μ = 500 mω przeciw alternatywie K : μ = 500 mω Wykonano n = 10 pomiarów przyrządem pomiarowym, którego odchylenie standardowe (błędu pomiaru jest znane i wynosi 4mΩ. Otrzymano następujące wyniki: 506, 502, 498, 501, 503, 504, 498, 503, 501, 504 [mω].

34 PRZYKŁAD 1. Przyjmując, że wynik pomiaru nieznanej rezystancji μ opornika jest zmienną losową o rozkładzie N(μ, σ 2 ), należy przetestować na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę H : μ = 500 mω przeciw alternatywie K : μ = 500 mω Wykonano n = 10 pomiarów przyrządem pomiarowym, którego odchylenie standardowe (błędu pomiaru jest znane i wynosi 4mΩ. Otrzymano następujące wyniki: 506, 502, 498, 501, 503, 504, 498, 503, 501, 504 [mω].

35 PRZYKŁAD 1. Przyjmując, że wynik pomiaru nieznanej rezystancji μ opornika jest zmienną losową o rozkładzie N(μ, σ 2 ), należy przetestować na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę H : μ = 500 mω przeciw alternatywie K : μ = 500 mω Wykonano n = 10 pomiarów przyrządem pomiarowym, którego odchylenie standardowe (błędu pomiaru jest znane i wynosi 4mΩ. Otrzymano następujące wyniki: 506, 502, 498, 501, 503, 504, 498, 503, 501, 504 [mω].

36 PRZYKŁAD 1. (cd.) W wyniku obliczeń otrzymujemy X n = 502 oraz T = W tablicach statystycznych znajdujemy wartość odpowiedniego kwantyla dla dwustronnej alternatywy i poziomu istotności α = 0, 05. Wynosi ona z(0.975) = A zatem T C = (, 1.96] [1.96, ). Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H.

37 PRZYKŁAD 2. W celu sprawdzenia jakości produkcji pewnego odczynnika wykonano n = 30 pomiarów losowo wybranych próbek mierząc zawartość pewnego składnika, którego zawartość zgodnie z normami produkcyjnymi powinna wynosić 8%, z odchyleniem standardowym σ = 2. Średnia wartość zawartości tego składnika w 30 próbkach wyniosła 7, 4. Przyjmując, że zawartość badanego składnika ma rozkład normalny, należy przetestować, na poziomie istotności α = 0.05, hipotezę H 0 : μ = 8 przeciw alternatywie H 1 : μ = 8.

38 PRZYKŁAD 2. W celu sprawdzenia jakości produkcji pewnego odczynnika wykonano n = 30 pomiarów losowo wybranych próbek mierząc zawartość pewnego składnika, którego zawartość zgodnie z normami produkcyjnymi powinna wynosić 8%, z odchyleniem standardowym σ = 2. Średnia wartość zawartości tego składnika w 30 próbkach wyniosła 7, 4. Przyjmując, że zawartość badanego składnika ma rozkład normalny, należy przetestować, na poziomie istotności α = 0.05, hipotezę H 0 : μ = 8 przeciw alternatywie H 1 : μ = 8.

39 PRZYKŁAD 2. W celu sprawdzenia jakości produkcji pewnego odczynnika wykonano n = 30 pomiarów losowo wybranych próbek mierząc zawartość pewnego składnika, którego zawartość zgodnie z normami produkcyjnymi powinna wynosić 8%, z odchyleniem standardowym σ = 2. Średnia wartość zawartości tego składnika w 30 próbkach wyniosła 7, 4. Przyjmując, że zawartość badanego składnika ma rozkład normalny, należy przetestować, na poziomie istotności α = 0.05, hipotezę H 0 : μ = 8 przeciw alternatywie H 1 : μ = 8.

40 PRZYKŁAD 2. (cd) W wyniku obliczeń otrzymujemy z = X n μ σ n = 7, 4 8 0, 36. W tablicach statystycznych znajdujemy wartość kwantyla z(0.975) = A zatem z C = (, 1.96] [1.96, ). Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H.

41 Test na poziomie istotności α = 0, 05, hipotezy H 0 : μ = 8 przy dwustronnej hipotezie alternatywnej H 1 : μ = 8.

42 Test na poziomie istotności α = 0, 01, hipotezy H 0 : μ = 8 przy dwustronnej hipotezie alternatywnej H 1 : μ = 8.

43 Test na poziomie istotności α = 0, 05, hipotezy H 0 : μ = 8 przy jednostronnej hipotezie alternatywnej H 1 : μ > 8.

44 Test na poziomie istotności α = 0, 01, hipotezy H 0 : μ = 8 przy jednostronnej hipotezie alternatywnej H 1 : μ > 8.

45 Test na poziomie istotności α = 0, 05, hipotezy H 0 : μ = 8 przy jednostronnej hipotezie alternatywnej H 1 : μ < 8.

46 Test na poziomie istotności α = 0, 01, hipotezy H 0 : μ = 8 przy jednostronnej hipotezie alternatywnej H 1 ; μ < 8.

47 Tabela decyzji dla testowani hipotezy hipotezy H 0 : μ = 8 przy różnych poziomach istotności α oraz różnych alternatywach.

48

49 Model 2. Testowanie średniej gdy wariancja jest nieznana. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z rozkładu N(μ, σ 2 ), przy czym zarówno μ jak i σ 2 są nieznane. Testujemy hipotezę H 0 : μ = μ 0 przeciwko jednej z następujących hipotez alternatywnych H 1 : μ < μ 0, H 2 : μ > μ 0, H 3 : μ = μ 0.

50 Model 2. Testowanie średniej gdy wariancja jest nieznana. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z rozkładu N(μ, σ 2 ), przy czym zarówno μ jak i σ 2 są nieznane. Testujemy hipotezę H 0 : μ = μ 0 przeciwko jednej z następujących hipotez alternatywnych H 1 : μ < μ 0, H 2 : μ > μ 0, H 3 : μ = μ 0.

51 Model 2. Testowanie średniej gdy wariancja jest nieznana. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z rozkładu N(μ, σ 2 ), przy czym zarówno μ jak i σ 2 są nieznane. Testujemy hipotezę H 0 : μ = μ 0 przeciwko jednej z następujących hipotez alternatywnych H 1 : μ < μ 0, H 2 : μ > μ 0, H 3 : μ = μ 0.

52 Model 2. (cd.) Ponieważ wariancja jest nieznana wiec przy konstrukcji statystyki testowej użyjemy nieobciążonego estymatora wariancji S 2 S 2 n = 1 n 1 Jako statystyki testowej użyjemy n (X i X n ) 2. i=1 T = X n μ 0 S n n, która, gdy hipoteza H 0 jest prawdziwa, ma rozkład t Studenta o n 1 stopniach swobody.

53 Niech t p (n) będzie kwantylem rzędu p rozkładu t Studenta o n stopniach swobody. Kwantyle rozkładu t-studenta z 9 stopniami swobody.

54 Niech t p (n) będzie kwantylem rzędu p rozkładu t Studenta o n stopniach swobody. Kwantyle rozkładu t-studenta z 9 stopniami swobody.

55 Niech t p (n) będzie kwantylem rzędu p rozkładu t Studenta o n stopniach swobody. Kwantyle rozkładu t-studenta z 9 stopniami swobody.

56 Na poziomie istotności α zbiory krytyczne testów dla poszczególnych alternatyw mają odpowiednio postać: 1) C = (, t 1 α (n 1)] dla alternatywy H 1 2) C = [t 1 α (n 1), ) dla alternatywy H 2 3) C = (, t 1 α/2 (n 1)] [t 1 α/2 (n 1), ) dla H 3

57 PRZYKŁAD 3. Można przyjąć, że wzrost osobników danej płci w populacji ma rozkład normalny N(μ, σ 2 ). Z przeprowadzonych w przeszłości badań wiadomo, że średnia dla chłopców w wieku 14 lat wynosiła 154 cm. Przypuszczamy, że w wyniku polepszenia warunków życia nastąpiło zwiększenie średniego wzrostu. Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikujemy hipotezę Przeciw alternatywie H : μ = 154 cm K : μ > 154 cm.

58 PRZYKŁAD 3. (cd.) Pobrano próbę losową o liczności n = 26, na podstawie której otrzymano X n = 162 cm oraz S n = 14 cm. Wartość obliczona na podstawie wyników próby T = Ponieważ t 0.95 (25) = 1.708, więc zbiór krytyczny ma postać C = [1.708, ). Hipotezę H odrzucamy, gdyż T C.

59 Przy wielokrotnym stosowaniu opisanego testu, częstość popełniania błędu pierwszego rodzaju będzie rzędu 0.05, natomiast częstość popełniania błędu drugiego rodzaju zależy od tego, który parametr μ z hipotezy alternatywnej K opisuje rozkład badanej cechy.

60 Model 3. Porównanie średnich w dwóch rozkładach normalnych. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z rozkładu normalnego N(μ 1, σ1 2), a Y 1,..., Y m będzie próbą statystyczną z rozkładu normalnego N(μ 2, σ2 2). Zakładamy, że σ2 1 oraz σ2 2 są nieznane, ale są sobie równe σ1 2 = σ2. 2 Testujemy hipotezę H 0 : μ 1 = μ 2 przeciwko jednej z następujących hipotez alternatywnych

61 Model 3. (cd.) H 1 : μ 1 < μ 2, H 2 : μ 1 > μ 2, H 3 : μ 1 = μ 2.

62 Ponieważ wariancja jest nieznana wiec przy konstrukcji statystyki testowej użyjemy nieobciążonego estymatora wariancji S 2 S 2 X = 1 n 1 n (X i X n ) 2. i=1

63 Jako statystyki testowej użyjemy T = X n Y m nm (n + m 2), nsx 2 + ms Y 2 n + m gdzie X n i Y m oznaczają odpowiednie średnie próbkowe, a S 2 X i S 2 Y oznaczają wariancje próbkowe S 2 X = 1 n 1 S 2 Y = 1 m 1 n (X i X n ) 2, i=1 m (Y i Y m ) 2. Statystyka T ma rozkład t Studenta o (n + m 2) stopniach swobody, gdy hipoteza H 0 jest prawdziwa. i=1

64 Niech t p (n) będzie kwantylem rzędu p rozkładu t Studenta o n stopniach swobody. Na poziomie istotności α zbiory krytyczne testów dla poszczególnych alternatyw mają odpowiednio postać: 1) C = (, t 1 α (n + m 2)] dla alternatywy H 1 2) C = (t 1 α (n + m 2), ] dla alternatywy H 2 3) C = (, t 1 α/2 (n + m 2)] [t 1 α/2 (n + m 2), ) dla alternatywy H 3

65 Model 3 cd. Porównanie wartości oczekiwanych zależnych par obserwacji. Niech (X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ),..., (X n, Y n ) będzie próbą losową złożona z par wzajemnie niezależnych zmiennych losowych które w parze mogą być zależne. tego typu obserwacje pojawiają się w sposób naturalny w sytuacji dwukrotnego mierzenia wartości pewnej cech tego samego obiektu.

66 Model 3 (zależne pary obserwacji). Oznaczmy przez D i = X i Y i, i przyjmijmy założenie, że (D 1,..., D n ) tworzą próbę niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym N(μ D, σ 2 D ) z nieznaną średnia μ D. Hipoteza zerowa przyjmuje postać H 0 : μ D = 0 natomiast hipotezy alternatywne postać H 1 : μ D < 0, H 2 : μ D > 0, H 3 : μ D = 0.

67 Statystyka testowa gdzie T = D S D / n, a D = 1 n n (X i Y i ) i=1 S D = 1 n 1 n ( (Xi Y i ) D ) 2, i=1 ma rozkład t Studenta z (n 1) stopniami swobody.

68 W ten sposób zadanie konstrukcji testu dla porównania wartości średnich par obserwacji sprowadza się do analogicznego zadania dla pojedynczej próby i pojedynczej wartości średniej (wartości średniej różnic D i przy nieznajomości ich odchylenia standardowego).

69 Przykład Jednym z testów, którym rozpoczęto analizę nowego leku na nadciśnienie tętnicze było zaaplikowanie go próbie 22 chorych pacjentów, u których ciśnienie skurczowe było bliskie wartości 144 mmhg. Górna granica normy tego ciśnienia wynosi 140 mmhg. Chcemy sprawdzić czy zastosowanie terapii nowym lekiem daje obniżenie ciśnienia o 5 mmhg. Takie postępowanie testowe wynika ze sposobu prowadzenia terapii w leczeniu nadciśnienia - przy zadanej wartości ciśnienia, ustalona dawka leku powinna spowodować jego obniżenie mniej więcej do górnej granicy normy.

70 Przykład Jednym z testów, którym rozpoczęto analizę nowego leku na nadciśnienie tętnicze było zaaplikowanie go próbie 22 chorych pacjentów, u których ciśnienie skurczowe było bliskie wartości 144 mmhg. Górna granica normy tego ciśnienia wynosi 140 mmhg. Chcemy sprawdzić czy zastosowanie terapii nowym lekiem daje obniżenie ciśnienia o 5 mmhg. Takie postępowanie testowe wynika ze sposobu prowadzenia terapii w leczeniu nadciśnienia - przy zadanej wartości ciśnienia, ustalona dawka leku powinna spowodować jego obniżenie mniej więcej do górnej granicy normy.

71 Przykład Jednym z testów, którym rozpoczęto analizę nowego leku na nadciśnienie tętnicze było zaaplikowanie go próbie 22 chorych pacjentów, u których ciśnienie skurczowe było bliskie wartości 144 mmhg. Górna granica normy tego ciśnienia wynosi 140 mmhg. Chcemy sprawdzić czy zastosowanie terapii nowym lekiem daje obniżenie ciśnienia o 5 mmhg. Takie postępowanie testowe wynika ze sposobu prowadzenia terapii w leczeniu nadciśnienia - przy zadanej wartości ciśnienia, ustalona dawka leku powinna spowodować jego obniżenie mniej więcej do górnej granicy normy.

72 Przykład cd. Każdemu pacjentowi zmierzono ciśnienie skurczowe przed rozpoczęciem terapii oraz po jej zakończeniu. W ten sposób dla i tego pacjenta i = 1, 2,..., 22 dysponowano para wyników (x i, y i ) przed i po terapii. Naszym celem jest poddanie testowi hipotezy H 0 : μ D = 5 przy hipotezie alternatywnej H 0 : μ D = 5.

73 Przykład cd. Każdemu pacjentowi zmierzono ciśnienie skurczowe przed rozpoczęciem terapii oraz po jej zakończeniu. W ten sposób dla i tego pacjenta i = 1, 2,..., 22 dysponowano para wyników (x i, y i ) przed i po terapii. Naszym celem jest poddanie testowi hipotezy H 0 : μ D = 5 przy hipotezie alternatywnej H 0 : μ D = 5.

74 Przykład cd. Każdemu pacjentowi zmierzono ciśnienie skurczowe przed rozpoczęciem terapii oraz po jej zakończeniu. W ten sposób dla i tego pacjenta i = 1, 2,..., 22 dysponowano para wyników (x i, y i ) przed i po terapii. Naszym celem jest poddanie testowi hipotezy H 0 : μ D = 5 przy hipotezie alternatywnej H 0 : μ D = 5.

75 Interesuje nas hipoteza zerowa, która jest modyfikacją hipotezy H 0 : μ D = 0. Aby otrzymać test dla naszego przypadku trzeba zmodyfikować statystykę testową i rozważać statystykę T = D S D n, W naszym przypadku d 0 = 5. T = D d 0 S D / n.

76 Dla próby 22 pacjentów otrzymano średnią wartość różnicy d = 5, 3 oraz d D = 0, 4. Przy takich wartościach statystyka T przyjmuje wartość t = 3, 518. Dla testu z dwustronna alternatywą na poziomie istotności α = 0, 01 poziom krytyczny dla rozkładu t Studenta z 21 stopniami swobody wynosi 2, Decyzja: hipotezę zerową należy zatem odrzucić. Terapia nowym lekiem nie spełnia nałożonych na nią wymagań.

77 Literatura. Lektura po wykładzie. J. Koronacki i J. Mielniczuk, STATYSTYKA dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. WNT U przejmie proszę zapoznać się z materiałem zawartym od strony 213 do strony 229.

78 Literatura. Lektura po wykładzie. J. Koronacki i J. Mielniczuk, STATYSTYKA dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. WNT U przejmie proszę zapoznać się z materiałem zawartym od strony 213 do strony 229.

79 Literatura. Lektura po wykładzie. J. Koronacki i J. Mielniczuk, STATYSTYKA dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. WNT U przejmie proszę zapoznać się z materiałem zawartym od strony 213 do strony 229.

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015

Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015 Problem dwóch prób X = (X 1, X 2,..., X n ) - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 X ),

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?

Bardziej szczegółowo

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III ZALICZENIA W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III 1 Wariant I. PROBLEM WŁASNY Sformułować własne zadanie statystyczne związane z własną pracą badawczą

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez cz. I

Testowanie hipotez cz. I Wykład 11 Testowanie hipotez cz. I TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące nieznanej własności rozkładu prawdopodobieństwa badanej cechy populacji. W zadaniach

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności. TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.

Bardziej szczegółowo

Test lewostronny dla hipotezy zerowej:

Test lewostronny dla hipotezy zerowej: Poznajemy testowanie hipotez statystycznych w środowisku R Zajęcia z dnia 11 maja 2011 roku Najpierw teoria TESTY ISTOTNOŚCI WARTOŚCI ŚREDNIEJ W POPULACJI GENERALNEJ gdy znana jest wariancja!!! Test prawostronny

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH Co to są hipotezy statystyczne? Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej. Dzielimy je

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej

1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej 1 Statystyka opisowa Statystyka opisowa zajmuje się porządkowaniem danych i wstępnym ich opracowaniem. Szereg statystyczny - to zbiór wyników obserwacji jednostek według pewnej cechy 1. szereg wyliczający

Bardziej szczegółowo

Testy dotyczące wartości oczekiwanej (1 próbka).

Testy dotyczące wartości oczekiwanej (1 próbka). ZASADY TESTOWANIA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH. TESTY DOTYCZĄCE WARTOŚCI OCZEKIWANEJ Przez hipotezę tatytyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu intereującej na cechy. Hipotezy

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich.

Ćwiczenie: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich. Ćwiczenie: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich. EXCEL Do weryfikacji różnic między dwiema grupami jednostek doświadczalnych w Excelu wykorzystujemy funkcję o nazwie T.TEST. Zastosowana

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu 1. Metody wnioskowania statystycznego vs. metody opisu 2. Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

a. opisać badaną cechę; cechą X jest pomiar średnicy kulki

a. opisać badaną cechę; cechą X jest pomiar średnicy kulki Maszyna ustawiona jest tak, by produkowała kulki łożyskowe o średnicy 1 cm. Pomiar dziesięciu wylosowanych z produkcji kulek dał x = 1.1 oraz s 2 = 0.009. Czy można uznać, że maszyna nie rozregulowała

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. Robert Pietrzykowski.

Statystyka opisowa. Robert Pietrzykowski. Statystyka opisowa Robert Pietrzykowski email: robert_pietrzykowski@sggw.pl www.ekonometria.info Na dziś Sprawy bieżące 2 Na dziś Wykład 5: Statystyka matematyczna Estymatory punktowe i przedziałowe 4

Bardziej szczegółowo

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Statystyka indukcyjna pozwala kontrolować i oszacować ryzyko popełnienia błędu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Test χ 2. Wrocław, 18.03.2016r

Statystyka matematyczna Test χ 2. Wrocław, 18.03.2016r Statystyka matematyczna Test χ 2 Wrocław, 18.03.2016r Zakres stosowalności Testowanie zgodności Testowanie niezależności Test McNemara Test ilorazu szans Copyright 2014, Joanna Szyda ZAKRES STOSOWALNOŚCI

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

JEDNOCZYNNIKOWA ANALIZA WARIANCJI, ANOVA

JEDNOCZYNNIKOWA ANALIZA WARIANCJI, ANOVA JEDNOCZYNNIKOWA ANALIZA WARIANCJI, ANOVA 1 Obserwowana (badana) cecha Y Czynnik wpływający na Y (badany) A A i i ty poziom czynnika A a liczba poziomów (j=1..a), n i liczba powtórzeń w i tej populacji

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Ze względu na jakość uzyskiwanych ocen parametrów strukturalnych modelu oraz weryfikację modelu, metoda najmniejszych

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej Testowanie hipotez Poziom p Poziom p jest to najmniejszy poziom istotności α, przy którym możemy odrzucić hipotezę zerową dysponując otrzymaną wartością statystyki testowej. 1 Testowanie hipotez na temat

Bardziej szczegółowo

Statystyka i Analiza Danych

Statystyka i Analiza Danych Warsztaty Statystyka i Analiza Danych Gdańsk, 20-22 lutego 2014 Zastosowania analizy wariancji w opracowywaniu wyników badań empirycznych Janusz Wątroba StatSoft Polska Centrum Zastosowań Matematyki -

Bardziej szczegółowo

hipotez statystycznych

hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

Uwaga! Test studenta dla pojedynczej próby, niekierunkowy. Wykład 9: Testy Studenta. Test Studenta dla jednej próby, kierunkowy

Uwaga! Test studenta dla pojedynczej próby, niekierunkowy. Wykład 9: Testy Studenta. Test Studenta dla jednej próby, kierunkowy Wykład 9: Testy Studenta Jest kilka typów testów Studenta. Mają podobną strukturę, ale służą do testowania różnych hipotez i różnią się nieco postacią statystyki testowej. Trzy podstawowe typy testów Studenta

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Środowisko R Założenie normalności metody nieparametryczne Wykład R4; 4.06.07 Weryfikacja założenia o normalności rozkładu populacji

Środowisko R Założenie normalności metody nieparametryczne Wykład R4; 4.06.07 Weryfikacja założenia o normalności rozkładu populacji Środowisko R Założenie normalności metody nieparametryczne Wykład R4; 4.06.07 Weryfikacja założenia o normalności rozkładu populacji Dane są obserwacje x 1, x 2,..., x n. Czy można założyć, że x 1, x 2,...,

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka TesttStudenta Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji 341 Zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Piotr Peternek Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Marek Kośny Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Kilka uwag o testowaniu istotności

Bardziej szczegółowo

Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności. Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona

Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności. Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona Badanie zależności między cechami Obserwujemy dwie cechy: X oraz Y Obiekt (X, Y ) H 0 : Cechy X oraz Y są niezależne Próba: (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - Seria 1

Statystyka matematyczna - Seria 1 Statystyka matematyczna - Seria. Niech Z oznacza zmienną losową o rozkładzie standardowym normalnym. Korzystając z tablic znaleźć (a) P (0 Z 2.7) (d) P (Z.37) (b) P ( Z 2.5) (e) P ( 2.5 Z 0) (c) P (Z.75)

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Krzywa normalna, krzywa Gaussa, rozkład normalny Rozkłady liczebności wielu pomiarów fizycznych, biologicznych

Bardziej szczegółowo

Zadanie Punkty Ocena

Zadanie Punkty Ocena Statystyka matematyczna Test przykładowy na zaliczenie laboratorium / ćwiczeń PROSZĘ NIE ODWRACAĆ KARTKI PRZED ROZPOCZĘCIEM TESTU! Wskazówki: 1. Wybierz zadania, za które w sumie możesz otrzymać 30 punktów

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 3) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 3) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 3) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Dwuczynnikowa analiza wariancji (2-way

Bardziej szczegółowo

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Analiza danych Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Różne aspekty analizy danych Reprezentacja graficzna danych Metody statystyczne: estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4 Inne układy doświadczalne 1) Układ losowanych bloków Stosujemy, gdy podejrzewamy, że może występować systematyczna zmienność między powtórzeniami np. - zmienność

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną jest dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia

Bardziej szczegółowo

JAK WYZNACZA SIĘ PARAMETRY WALIDACYJNE

JAK WYZNACZA SIĘ PARAMETRY WALIDACYJNE 1 JAK WYZNACZA SIĘ PARAMETRY WALIDACYJNE Precyzja Dr hab. inż. Piotr KONIECZKA Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska ul. G. Narutowicza 11/1 80-95 GDAŃSK e-mail: kaczor@chem.pg.gda.pl

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2 L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw ZADANIA - ZESTAW Zadanie.1 Badano maksymalną prędkość pewnego typ samochodów osobowych (cecha X poplacji. W 5 pomiarach tej prędkości otrzymano x 195,8

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 7. Badanie istotności róŝnic część II.

Ćwiczenia 7. Badanie istotności róŝnic część II. Ćwiczenia 7. Badanie istotności róŝnic część II. Zadania obowiązkowe UWAGA! Elementy zadań oznaczone kolorem czerwonym naleŝy przygotować lub wypełnić. Zadanie 7.1. (STATISTICA/R) W pliku Serce2.sta (porównaj

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII 1. Wykład wstępny 2. Populacje i próby danych 3. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 4. Planowanie eksperymentów biologicznych 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne

Bardziej szczegółowo

laboratoria 24 zaliczenie z oceną

laboratoria 24 zaliczenie z oceną Wydział: Psychologia Nazwa kierunku kształcenia: Psychologia Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: dr Andrzej Tarłowski Poziom studiów (I lub II stopnia): Jednolite magisterskie Tryb studiów: Niestacjonarne

Bardziej szczegółowo

Przykład 2. Stopa bezrobocia

Przykład 2. Stopa bezrobocia Przykład 2 Stopa bezrobocia Stopa bezrobocia. Komentarz: model ekonometryczny stopy bezrobocia w Polsce jest modelem nieliniowym autoregresyjnym. Podobnie jak model podaŝy pieniądza zbudowany został w

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Badania eksperymentalne

Badania eksperymentalne Badania eksperymentalne Pomiar na skali porządkowej mgr Agnieszka Zięba Zakład Badań Marketingowych Instytut Statystyki i Demografii Szkoła Główna Handlowa Najpopularniejsze sposoby oceny wyników eksperymentu

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne 1 Wybrane testy nieparametryczne 1. Test chi-kwadrat zgodności z rozkładem oczekiwanym 2. Test chi-kwadrat niezależności dwóch zmiennych kategoryzujących 3. Test U Manna-Whitney

Bardziej szczegółowo

Wykład 4: Wnioskowanie statystyczne. Podstawowe informacje oraz implementacja przykładowego testu w programie STATISTICA

Wykład 4: Wnioskowanie statystyczne. Podstawowe informacje oraz implementacja przykładowego testu w programie STATISTICA Wykład 4: Wnioskowanie statystyczne Podstawowe informacje oraz implementacja przykładowego testu w programie STATISTICA Idea wnioskowania statystycznego Celem analizy statystycznej nie jest zwykle tylko

Bardziej szczegółowo

Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy test F (Fishera-Snedecora)?

Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy test F (Fishera-Snedecora)? Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy test F (Fishera-Snedecora)? Gdy: badana cecha jest mierzalna (ewentualnie policzalna); dysponujemy dwoma próbami; chcemy porównać, czy wariancje w tych próbach

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwuwymiarowe. Tablice dwudzielcze. Przykład (wstępny):

Rozkłady dwuwymiarowe. Tablice dwudzielcze. Przykład (wstępny): Rozkłady dwuwymiarowe Rozkłady brzegowe Rozkłady warunkowe Niezależność Kowariancja Współczynnik korelacji (Przykłady na tablicy) Tablice dwudzielcze Najprostsze tablice 2x2 : dwa rzędy i dwie kolumny

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 Zadanie 1 a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 b) W naszym przypadku populacja są inżynierowie w Tajlandii. Czy można jednak przypuszczać, że na zarobki kobiet-inżynierów

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański KARTA KURSU (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Nazwa Statystyka 2 Nazwa w j. ang. Statistics 2 Kod Punktacja ECTS* 3 Koordynator Dr hab. Tadeusz Sozański (koordynator, konwersatorium) Zespół

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

Testy t-studenta są testami różnic pomiędzy średnimi czyli służą do porównania ze sobą dwóch średnich

Testy t-studenta są testami różnic pomiędzy średnimi czyli służą do porównania ze sobą dwóch średnich Testy t-studenta są testami różnic pomiędzy średnimi czyli służą do porównania ze sobą dwóch średnich Zmienne muszą być zmiennymi ilościowym (liczymy i porównujemy średnie!) Są to testy parametryczne Nazwa

Bardziej szczegółowo

Regresja liniowa wprowadzenie

Regresja liniowa wprowadzenie Regresja liniowa wprowadzenie a) Model regresji liniowej ma postać: gdzie jest zmienną objaśnianą (zależną); są zmiennymi objaśniającymi (niezależnymi); natomiast są parametrami modelu. jest składnikiem

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym

Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym Wiesława MALSKA Politechnika Rzeszowska, Polska Anna KOZIOROWSKA Uniwersytet Rzeszowski, Polska Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym Wstęp Wnioskowanie statystyczne

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne Czyli jak bardzo jesteśmy pewni że parametr oceniony na podstawie próbki jest

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 3. Zmienne losowe 4. Populacje i próby danych 5. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test

Bardziej szczegółowo

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie 2010-10-20

Wprowadzenie 2010-10-20 PODSTAWY STATYSTYKI Dr hab. inż. Piotr Konieczka piotr.konieczka@pg.gda.pl 1 Wprowadzenie Wynik analityczny to efekt przeprowadzonego pomiaru(ów). Pomiar to zatem narzędzie wykorzystywane w celu uzyskania

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD listopada 2009

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD listopada 2009 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 7 23 listopada 2009 Wykład 6 (16.XI.2009) zakończył się zdefiniowaniem współczynnika korelacji: E X µ x σ x Y µ y σ y = T WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI ρ X,Y = ρ Y,X (!) WSPÓŁCZYNNIK

Bardziej szczegółowo

Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance)

Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance) ANOVA Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance) jest to metoda równoczesnego badania istotności różnic między wieloma średnimi z prób pochodzących z wielu populacji (grup). Model jednoczynnikowy analiza

Bardziej szczegółowo

ANALIZA WARIANCJI - KLASYFIKACJA JEDNOCZYNNIKOWA

ANALIZA WARIANCJI - KLASYFIKACJA JEDNOCZYNNIKOWA ANALIZA WARIANCJI - KLASYFIKACJA JEDNOCZYNNIKOWA Na poprzednich zajęciach omawialiśmy testy dla weryfikacji hipotez, że dwie populacje o rozkładach normalnych mają jednakowe wartości średnie. Co jednak

Bardziej szczegółowo

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Zadanie 1 Eksploracja (EXAMINE) Informacja o analizowanych danych Obserwacje Uwzględnione Wykluczone Ogółem

Bardziej szczegółowo

Satysfakcja z życia rodziców dzieci niepełnosprawnych intelektualnie

Satysfakcja z życia rodziców dzieci niepełnosprawnych intelektualnie Satysfakcja z życia rodziców dzieci niepełnosprawnych intelektualnie Zadanie Zbadano satysfakcję z życia w skali 1 do 10 w dwóch grupach rodziców: a) Rodzice dzieci zdrowych oraz b) Rodzice dzieci z niepełnosprawnością

Bardziej szczegółowo

Pomiary urodzeń według płci noworodka i województwa.podział na miasto i wieś.

Pomiary urodzeń według płci noworodka i województwa.podział na miasto i wieś. Pomiary urodzeń według płci noworodka i województwa.podział na miasto i wieś. Województwo Urodzenia według płci noworodka i województwa. ; Rok 2008; POLSKA Ogółem Miasta Wieś Pozamałżeńskie- Miasta Pozamałżeńskie-

Bardziej szczegółowo

TECHNIKA DRZWI ZATRZAŚNIĘTE PRZED NOSEM

TECHNIKA DRZWI ZATRZAŚNIĘTE PRZED NOSEM Badanie pilotażowe TECHNIKA DRZWI ZATRZAŚNIĘTE PRZED NOSEM Czy łatwa prośba etyczna zostanie spełniona istotnie częściej jeśli poprzedzi się ją nieetyczną prośbą trudną? H0 nie, H1 tak. Schemat eksperymentu

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny 2. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 3. Zmienne losowe 4. Populacje i próby danych 5. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test

Bardziej szczegółowo

Porównanie modeli regresji. klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej

Porównanie modeli regresji. klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej Porównanie modeli logicznej regresji z klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Małgorzata Bogdan Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika

Bardziej szczegółowo