Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.
|
|
- Szczepan Orłowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. Agata ilitowska 27 1 Całka podwójna. 1.1 Całka podwójna w prostoka cie Niech f be dzie funkcja dwóch zmiennych określona i ograniczona w prostoka cie domknie tym = {(x, y) R 2 a x b, c y d}. odzielmy prostoka t na n dowolnych prostoka tów domknie tych k, k = 1, 2,..., n, o rozła cznych wne trzach, których długości przeka tnych sa odpowiednio równe d k a pola k. odział ten oznaczmy symbolem n. Liczbe δ n := max d k nazwiemy średnica podziału n. Cia g podziałów ( n ) nazywamy cia giem normalnym podziałów, jeżeli odpowiadaja cy mu cia g średnic (δ n ) da ży do zera. la danego podziału n z wne trza każdego prostoka ta k wybieramy dowolnie punkt p k = (x k, y k ). ume n n := f(p k ) k k=1 nazywamy suma całkowa funkcji f w prostoka cie. (la danego podziału n, wybieraja c na dwa różne sposoby punkty p k k możemy otrzymać dwie różne sumy całkowe.) efinicja 1.1. Jeżeli dla każdego normalnego cia gu podziałów prostoka ta, każdy (niezależnie od wyboru punktów p k ) cia g sum całkowych ( n ) jest zbieżny zawsze do tej samej granicy właściwej, to granice te nazywamy całka Matematyka II IChi- konspekt wykładu cz.ii 1
2 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 2 podwójna funkcji f w prostoka cie i oznaczamy symbolem f(x, y)dσ. Zatem f(x, y)dσ df = lim δn k=1 n f(p k ) k. efinicja 1.2. Jeżeli całka f(x, y)dσ istnieje, to mówimy, że funkcja f jest całkowalna (w sensie Riemanna) w prostoka cie. Istnienie całki f(x, y)dσ zapewnia, że każde dwie sumy całkowe różnia sie dowolnie mało, jeżeli tylko średnice podziałów, dla których zostały one utworzone, sa dostatecznie małe. Warunek, by pola k prostoka tów k da żyły do zera jest niewystarczaja cy by średnice d k da żyły do zera. Jeśli natomiast średnice prostoka tów k da ża do zera, to ich pola również. rzykład 1.3. Niech funkcja f(x, y) = 1 be dzie określona w prostoka cie. la dowolnego podziału n suma całkowa n n = k =. k=1 Zatem całka podwójna 1dσ równa jest polu prostoka ta. rzykład 1.4. Niech funkcja f(x, y) = c > be dzie określona w prostoka cie. la dowolnego podziału n n n = c k = c. k=1 Zatem całka podwójna cdσ równa jest obje tości prostopadłościanu o polu podstawy i wysokości c. rzykład 1.5. Niech funkcja f(x, y) be dzie cia gła w prostoka cie. la dowolnego podziału n suma całkowa n równa jest sumie obje tości prostopadłościanów o polach podstawy k i wysokościach f(p k ), dla k = 1, 2,..., n. Zatem całka podwójna f(x, y)dσ równa jest obje tości bryły ograniczonej płaszczyznami z =, x = a, x = b, y = c, y = d oraz powierzchnia o równaniu z = f(x, y).
3 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 3 rzykład 1.6. Jeżeli funkcja f jest ge stościa powierzchniowa masy prostoka ta, to całka podwójna f(x, y)dσ wyraża mase tego prostoka ta. rzykład 1.7. Jeżeli funkcja f jest ge stościa powierzchniowa ładunku elektrycznego, rozłożonego na prostoka cie, to całka podwójna f(x, y)dσ wyraża całkowity ładunek elektryczny tego prostoka ta. Twierdzenie 1.8. Funkcja cia gła w prostoka cie domknie tym jest w tym prostoka cie całkowalna. Twierdzenie 1.9. Funkcja ograniczona w prostoka cie domknie tym oraz cia gła w tym prostoka cie z wyja tkiem zbioru punktów tego prostoka ta, którego pole jest równe zero, jest w tym prostoka cie całkowalna. W szczególnym przypadku zbiór punktów niecia głości funkcji f może być suma skończonej liczby krzywych postaci y = y(x) lub x = x(y), gdzie funkcje y(x) oraz x(y) sa cia głe w pewnych przedziałach. Funkcja nieograniczona nie jest całkowalna. Twierdzenie 1.1. (O liniowości całki.) Jeżeli dwie funkcje f i g określone w prostoka cie sa całkowalne, to ich suma f + g, różnica f g oraz iloczyn fg sa całkowalne. rzy czym dla a, b R (af(x, y) ± bg(x, y))dσ = a f(x, y)dσ ± b onadto, jeśli dla każdego (x, y), f(x, y) g(x, y), to f(x, y)dσ g(x, y)dσ. g(x, y)dσ. Twierdzenie ( O addytywności całki wzgle dem obszaru całkowania.) Jeżeli prostoka t podzielimy na dwa prostoka ty 1 i 2, zaś f(x, y) jest funkcja całkowalna w prostoka cie, to jest także całkowalna w prostoka tach 2 i 2, przy czym f(x, y)σ = f(x, y)dσ + f(x, y)dσ. 1 2
4 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 4 Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest cia gła w prostoka cie oraz M := f(x, y) i m := f(x, y), to sup (x,y) inf (x,y) m f(x, y)dσ M. Twierdzenie (Twierdzenie całkowe o wartości średniej.) Jeżeli funkcja f jest cia gła w prostoka cie, to istnieje taki punkt c, że f(x, y)dσ = f(c). f(x,y)dσ Liczbe nazywamy wartościa średnia funkcji f(x, y) w prostoka cie. ymbol dσ be dziemy cze sto zaste pować oznaczeniem dxdy. 1.2 Całki iterowane. Niech f be dzie funkcja określona i ograniczona w prostoka cie domknie tym = {(x, y) R 2 a x b, c y d} i niech dla każdego a x b istnieje całka pojedyncza d f(x, y)dy. Jest ona wtedy funkcja zmiennej c x, określona w przedziale a x b. Jeżeli funkcja ta jest całkowalna w przedziale [a, b], to całke b a d ( nazywamy całka iterowana funkcji f i oznaczamy b Analogicznie określamy całke iterowana która oznaczymy d c d c c b ( a dy b f(x, y)dx. a f(x, y)dy)dx (1.1) a dx d f(x, y)dy. f(x, y)dx)dy, (1.2) c
5 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 5 rzykład dx dy 3 2 (1 xy 2 )dy = (1 xy 2 )dx = (1 1 3 x)dx = x 1 6 x2 3 2= 25 6, (5 5 2 y2 )dy = 5y 5 6 y3 1 = W przykładzie 1.14 całki iterowane b a dx d f(x, y)dy oraz d c c dy b a f(x, y)dx sa równe. Nie jest to przypadek. rawdziwe jest bowiem naste puja ce twierdzenie. Twierdzenie (O zamianie całki podwójnej na całke iterowana.) Jeżeli funkcja f jest cia gła w prostoka cie = {(x, y) R 2 a x b, c y d}, to obie całki iterowane (1.1) i (1.2) istnieja i sa równe całce podwójnej. Zatem oraz b a d c d dx c b dy a f(x, y)dy = f(x, y)dxdy, f(x, y)dx = f(x, y)dxdy. (W tym przypadku wartość całki iterowanej nie zależy od kolejności całkowania.) rzykład Całka podwójna funkcji f(x, y) = x 2 y w prostoka cie = {(x, y) R 2 x 2, y 1} jest równa : Analogicznie = x 2 ydxdy = ( y( 1 3 x3 ) 2 dy = 2 1 dx x 2 ydx)dy = y( x 2 dx)dy = y 8 3 dy = y2 1 = 4 3. xy 2 dy = 4 3.
6 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 6 rzykład Zgodnie z przykładem (1.5) obje tość bryły V ograniczonej płaszczyznami z =, x = 1, x = 2, y = 1, y = 3 oraz powierzchnia z = x 2 +y 2 wyraża sie naste puja co: V = (x 2 + y 2 )dxdy = ( 1 (x 2 + y 2 )dx)dy = Całka podwójna w obszarze normalnym. Niech f be dzie funkcja określona i ograniczona w obszarze ograniczonym R 2 oraz niech = {(x, y) R 2 a x b, c y d} be dzie dowolnym prostoka tem domknie tym zawieraja cym obszar. Rozważmy funkcje f określona w prostoka cie naste puja co: f f(x, y), gdy (x, y) (x, y) :=, gdy (x, y) \. Całke podwójna funkcji f w obszarze określamy w naste puja cy sposób: f(x, y)dσ = df f (x, y)dσ, (1.3) o ile całka f (x, y)dσ istnieje. Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna w obszarze. Całka f (x, y)dσ nie zależy od wyboru prostoka ta. efinicja Obszar domknie ty R 2 nazywamy obszarem normalnym wzgle dem osi OX, jeżeli istnieja funkcje ϕ i ψ zmiennej x, cia głe w pewnym przedziale [a, b] takie, że = {(x, y) R 2 a x b, ϕ(x) y ψ(x)} oraz ϕ(x) < ψ(y) dla każdego x (a, b). Analogicznie definiujemy obszar normalny wzgle dem osi OY jako zbiór {(x, y) R 2 c y d, α(y) x β(y)}, gdzie funkcje α i β zmiennej y sa cia głe w przedziale [c, d] oraz α(x) < β(x) dla x (c, d).
7 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 7 rzykład Obszarem normalnym wzgle dem osi OX jest tarcza elipsy wraz z brzegiem. rostoka t domknie ty jest obszarem normalnym jednocześnie wzgle dem osi OX i osi OY. Jeżeli = {(x, y) R 2 a x b, ϕ(x) y ψ(x)} jest obszarem normalnym wzgle dem osi OX oraz c := ϕ(x) i d := sup ψ(x), to inf x [a,b] x [a,b] = {(x, y) R 2 a x b, c y d}. Jeżeli funkcja f jest cia gła w obszarze to funkcja f jest całkowalna w prostoka cie, ponieważ jest w nim cia gła z wyja tkiem, co najwyżej punktów położonych na krzywych y = ϕ(x) oraz y = ψ(x). Twierdzenie 1.2. Niech = {(x, y) R 2 a x b, ϕ(x) y ψ(x)} be dzie obszarem normalnym wzgle dem osi OX i niech f be dzie funkcja cia gła w obszarze. Wówczas f(x, y)dσ = b a d ( c f (x, y)dy)dx = b a ( ψ(x) ϕ(x) f(x, y)dy)dx. (1.4) Całke podwójna funkcji f, cia głej w obszarze normalnym wzgle dem osi OY obliczamy analogicznie jak w przypadku obszaru normalnego wzgle dem osi OX. Otrzymujemy wówczas f(x, y)dσ = d c ( β(y) α(y) f(x, y)dx)dy. (1.5) W przypadku, gdy obszar jest normalny zarówno wzgle dem osi OX jak i wzgle dem osi OY to prawdziwe sa oba wzory (2.1) oraz (1.5). rzykład Całka podwójna funkcji f(x, y) = x 2 y w obszarze ograniczonym prostymi: x =, y = 1 1 x oraz y = 2 x wynosi: 2 x 2 ydσ = 2 ( 2 x x x 2 ydy)dx = 18 5.
8 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 8 efinicja ume skończonej liczby obszarów normalnych (wzgle dem osi OX lub osi OY ) o parami rozła cznych wne trzach nazywamy obszarem regularnym na płaszczyźnie. Twierdzenie Niech obszar regularny be dzie suma obszarów normalnych 1, 2,..., m o parami rozła cznych wne trzach i niech funkcja f be dzie całkowalna w tym obszarze. Wówczas funkcja f jest także całkowalna w każdym obszarze normalnym i, i = 1, 2,..., m oraz f(x, y)dσ = f(x, y)dσ + f(x, y)dσ f(x, y)dσ. 1 2 la obszaru regularnego (w szczególności normalnego wzgle dem osi OX lub osi OY ) prawdziwe sa wszystkie twierdzenia sformułowane dla przypadku, gdy jest prostoka tem. rzykład Obszar ograniczony prostymi: y x =, 3x y 2 = oraz x + y 6 = można podzielić prosta y = 3 na dwa obszary 1 = {(x, y) R 2 1 y 3, 1y + 2 x y} oraz = {(x, y) R 2 3 y 4, 1y + 2 x 6 y} normalne wzgle 3 3 dem osi OY. ta d całka podwójna funkcji f(x, y) = 2x + y w obszarze wynosi: (2x + y)dxdy = (2x + y)dxdy + 1 (2x + y)dxdy = 2 m = 3 1 ( y 1 3 y+ 2 3 (2x + y)dx)dy ( 6 y 1 3 y+ 2 3 (2x + y)dx)dy = 4 3. rzykład Niech funkcja f(x, y) = 1 be dzie określona w obszarze regularnym. Całka podwójna 1dσ równa jest polu obszaru. rzykład Niech funkcja f(x, y) be dzie cia gła w obszarze regularnym. Całka podwójna f(x, y)dσ równa jest obje tości bryły V = {(x, y, z) R 3 (x, y), z f(x, y)} o podstawie, ograniczonej powierzchnia be da ca wykresem funkcji z = f(x, y) oraz powierzchnia walcowa, utworzona z prostych równoległych do osi OZ i przechodza cych przez brzeg obszaru.
9 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 9 rzykład Niech funkcja f(x, y) be dzie ge stościa powierzchniowa masy obszaru regularnego. Całka podwójna wyraża mase obszaru. f(x, y)dσ Całki M x := yf(x, y)dσ oraz M y := xf(x, y)dσ przedstawiaja momenty statyczne M x (wzgle dem osi OY ) obszaru. (wzgle dem osi OX) oraz M y Całki B x := y 2 f(x, y)dσ, B y := x 2 f(x, y)dσ wyrażaja momenty bezwładności B x (wzgle dem osi OX) oraz B y (wzgle - dem osi OY ) obszaru. Całka M O := (x 2 + y 2 )f(x, y)dσ wyraża moment bezwładności obszaru wzgle dem środka O = (, ) układu współrze dnych. Współrze dne środka masy obszaru wyrażaja sie wzorami: x C := B y f(x, y)dσ, y C := B x f(x, y)dσ. rzykład Moment bezwładności wzgle dem osi OX jednorodnego trójka ta o masie m i wierzchołkach w punktach: p 1 = (, ), p 2 = (a, ) i p 3 = (a, a), wynosi: 2m B x = a 2 y2 dσ,
10 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1 gdzie = {(x, y) R 2 x a, y x}. ta d B x = 2m a 2 a x ( y 2 dy)dx = 1 6 ma2. rzykład Niech V be dzie bryła ograniczona powierzchniami: z = x 2 + y, z =, xy = 4 oraz x + y = 5. onieważ z = x 2 + y > dla punktów (x, y) należa cych do obszaru ograniczonego krzywymi xy = 4 oraz x + y = 5, zatem obje tość bryły V dana jest wzorem: V = (x 2 + y)dxdy. Obszar jest normalny wzgle dem obu osi. Jako normalny wzgle dem osi OX można go określić jako = {(x, y) R 2 1 x 4, 4 x y 5 x}. ta d V = x ( (x 2 + y)dy)dx = x rzykład 1.3. Obje tość bryły ograniczonej powierzchniami dwóch walców: x 2 + y 2 = r 2 oraz y 2 + z 2 = r 2 równa jest, z uwagi na symetrie tej bryły, ośmiokrotnej obje tości tej jej cze ści, która leży w pierwszej ósemce przestrzeni. Zatem V = 8 r 2 y 2 dσ, gdzie = {(x, y) R 2 x r 2 y 2, y r}. ta d r V = 8 ( r 2 y 2 r 2 y 2 dx)dy = 16 3 r3.
11 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Zamiana zmiennych w całce podwójnej. Twierdzenie (O zamianie zmiennych w całce podwójnej.) Niech funkcja f be dzie określona, cia gła i ograniczona w pewnym obszarze regularnym R 2 i niech przekształcenie Φ :, (u, v) (x = ϕ 1 (u, v), y = ϕ 2 (u, v)) odwzorowuje różnowartościowo wne trze obszaru regularnego R 2 na płaszczyźnie zmiennych u, v na wne trze obszaru regularnego (odwzorowanie brzegów może nie być 1-1). Załóżmy ponadto, że funkcje ϕ 1 i ϕ 2 sa klasy C 1 na pewnym zbiorze otwartym zawieraja cym obszar oraz jakobian (x,y) (u,v) jest różny od zera wewna trz obszaru. Wówczas zachodzi naste puja cy wzór: (x, y) f(x, y)dxdy = f(ϕ 1 (u, v), ϕ 2 (u, v)) (u, v) dudv. Jeżeli f(x, y) = 1 to = dxdy = (x, y) (u, v) dudv. Odpowiedni wybór zmiennych całkowania może znacznie uprościć obliczenia całki. ecyduja c sie na zamiane zmiennych staramy sie tak dobierać przekształcenie Φ :, żeby obszar był jak najprostszy (najlepiej, aby był normalny wzgle dem osi, gdyż wówczas można całke po obszarze zamienić na całke iterowana ). Należy przy tym zwrócić uwage, żeby funkcja podcałkowa nie uległa na skutek tej zamiany zbytniemu skomplikowaniu. rzykład (rzesunie cie równolegle.) Niech a, b R. rzekształcenie (u, v) (x = u + a, y = v + b) odwzorowuje różnowartościowo obszar = R 2 na obszar = R 2. onadto [ (x, y) 1 (u, v) = det 1 ] = 1.
12 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 12 ta d f(x, y)dxdy = f(u + a, v + b)dudv. rzykład (rzekształcenie podobieństwa.) Niech a, b R oraz ab. rzekształcenie (u, v) (x = au, y = bv) odwzorowuje różnowartościowo obszar = R 2 na obszar = R 2 \ {(, )}. onadto [ ] (x, y) a (u, v) = det = ab. b ta d f(x, y)dxdy = f(au, bv) ab dudv. rzykład (rzekształcenie biegunowe.) ołożenie punktu p na płaszczyźnie można opisać para liczb (ϕ, r), gdzie ϕ oznacza miare ka ta mie dzy dodatnia cze ścia osi OX a promieniem wodza cym punktu p natomiast r oznacza odległość punktu p od pocza tku układu współrze dnych. are liczb (ϕ, r) nazywamy współrze dnymi biegunowymi punktu płaszczyzny. rzekształcenie (u, v) (x = r cos ϕ, y = r sin ϕ) przeprowadza prostoka t domknie ty = {(ϕ, r) ϕ 2π, r R} na koło = {(x, y) x 2 + y 2 R 2 }. onadto [ ] (x, y) r sin ϕ cos ϕ (u, v) = det = r sin 2 ϕ r cos 2 ϕ = r. r cos ϕ sin ϕ Jakobian (x,y) (u,v) jest różny od zera wewna trz obszaru, sta d f(x, y)dxdy = f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdϕdr = 2π ( R f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdr)dϕ.
13 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 13 rzykład Całke podwójna z funkcji f(x, y) = xy 2 po obszarze = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 4, x } można obliczyć wprowadzaja c współrze dne biegunowe. Obszar jest wówczas obrazem obszaru = {(ϕ, r) R 2 π 2 ϕ π, r 2}. ta 2 d xy 2 dxdy = (r cos ϕ)(r sin ϕ) 2 rdϕdr = π 2 π 2 2 dϕ r 4 sin 2 ϕ cos ϕdr = rzykład Z interpretacji geometrycznej całki podwójnej wynika, że obje tość bryły ograniczonej powierzchniami z = x 2 +y 2 (paraboloida obrotowa), z = oraz x 2 + y 2 = 1 (walec obrotowy) określona jest wzorem: (x 2 + y 2 )dxdy, gdzie = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1}. okonuja c w rozważanej całce zamiany zmiennych na współrze dne biegunowe otrzymujemy 1 2π (x 2 + y 2 )dxdy = (r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ)rdϕdr = r 3 dr dϕ = π 2. 2 Całka potrójna 2.1 Całka potrójna na prostopadłościanie Niech f be dzie funkcja trzech zmiennych określona i ograniczona w prostopadłościanie domknie tym V = {(x, y, z) R 3 a x b, c y d, p z q}. odzielmy prostopadłościan V na n dowolnych prostopadłościanów domknie tych V k, k = 1, 2,..., n, o rozła cznych wne trzach, których długości przeka tnych sa odpowiednio równe d k a obje tości V k. odział ten oznaczmy symbolem n. Liczbe δ n := max d k nazwiemy średnica podziału n. Cia g ( n ) podziałów prostopadłościanu nazywamy cia giem normalnym podziałów, jeżeli odpowiadaja cy mu cia g średnic (δ n ) da ży do zera.
14 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 14 la danego podziału n z wne trza każdego prostopadłościanu V k wybieramy dowolnie punkt p k = (x k, y k, z k ). ume n n := f(p k ) V k k=1 nazywamy suma całkowa funkcji f w prostopadłościanie V. (la danego podziału n, wybieraja c na dwa różne sposoby punkty p k V k możemy otrzymać dwie różne sumy całkowe.) efinicja 2.1. Jeżeli dla każdego normalnego cia gu podziałów ( n ) prostopadłościanu V, każdy (niezależnie od wyboru punktów p k ) cia g sum całkowych ( n ) jest zbieżny zawsze do tej samej granicy właściwej, to granice te nazywamy całka potrójna funkcji f w prostopadłościanie V i oznaczamy symbolem f(x, y)dv. Zatem V V f(x, y, z)dv df = lim δn k=1 n f(p k ) V k. efinicja 2.2. Jeżeli całka f(x, y, z)dv istnieje, to mówimy, że funkcja V f jest całkowalna (w sensie Riemanna) w prostopadłościanie V. Twierdzenie 2.3. Funkcja cia gła w prostopadłościanie domknie tym jest w tym prostopadłościanie całkowalna. odobnie jak dla całek podwójnych dowodzi sie ogólniejszego twierdzenia. Twierdzenie 2.4. Jeżeli funkcja f jest ograniczona na prostopadłościanie domknie tym oraz jest na tym prostopadłościanie cia gła z wyja tkiem zbioru punktów tego prostopadłościanu, którego obje tość jest równa zero, to funkcja f jest całkowalna w tym prostopadłościanie. W szczególnym przypadku zbiór punktów niecia głości funkcji f może być suma skończonej liczby powierzchni określonych równaniami z = ϕ(x, y), y = ψ(x, z) lub x = χ(y, z), gdzie funkcje ϕ, ψ, χ sa cia głe w odpowiednich obszarach płaskich płaszczyzn OXY, OXZ i OY Z. Analogicznie jak dla funkcji dwóch zmiennych, dla funkcji trzech zmiennych prawdziwe sa twierdzenia o liniowości całki oraz o addytywności całki wzgle dem obszaru całkowania a także twierdzenie całkowe o wartości średniej.
15 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 15 Twierdzenie 2.5. (Twierdzenie całkowe o wartości średniej.) Jeżeli funkcja f jest cia gła w prostopadłościanie V, to istnieje taki punkt c V, że f(x, y, z)dv = f(c) V, V gdzie V oznacza obje tość prostopadłościanu V. f(x,y,z)dv V Liczbe nazywamy wartościa V średnia funkcji f(x, y, z) w prostopadłościanie V. Twierdzenie 2.6. (O zamianie całki potrójnej na całke iterowana.) Jeżeli funkcja f jest cia gła w prostopadłościanie domknie tym V = {(x, y, z) R 3 a x b, c y d, p z q}, to f(x, y, z)dv = b d q ( ( f(x, y, z)dz)dy)dx. V a c p f(x, y, z)dv Zauważmy, że przy założeniu cia głości funkcji f wartość całki V nie zależy od kolejności całkowania. Zatem powyższy wzór można zapisać w sześciu postaciach uwzgle dniaja c różne kolejności całkowania. (W wielu przypadkach wybór odpowiedniej kolejności całkowania pozwala znacznie uprościć obliczenie całki potrójnej.) ymbol dv be dziemy cze sto zaste pować oznaczeniem dxdydz. rzykład 2.7. Całka potrójna z funkcji f(x, y, z) = x + y + 2z w prostopadłościanie V = {(x, y, z) R 3 x 1, y 2, 1 z 2} jest równa: V 1 (x + y + 2z)dxdydz = 2 ( 2 ( 1 (x + y + 2z)dx)dy)dz = 9. rzykład 2.8. Bezpośrednio z definicji całki potrójnej wynika, że 1dV = V, gdzie V oznacza obje tość prostopadłościanu V. V
16 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 16 rzykład 2.9. Jeżeli funkcja f(x, y, z) jest ge stościa obje tościowa masy prostopadłościanu V, to całka potrójna f(x, y, z)dv V wyraża mase tego prostopadłościanu. rzykład 2.1. Jeżeli funkcja f(x, y, z) jest ge stościa obje tościowa ładunku elektrycznego rozłożonego w prostopadłościanie V, to całka potrójna f(x, y, z)dv V wyraża całkowity ładunek elektryczny zgromadzony w tym prostopadłościanie. 2.2 Całka potrójna w obszarze normalnym. Niech f be dzie funkcja określona i ograniczona w obszarze ograniczonym A R 3 oraz niech V = {(x, y, z) R 3 a x b, c y d, p z q} be dzie dowolnym prostopadłościanem domknie tym zawieraja cym obszar A. Rozważmy funkcje f określona w prostopadłościanie V naste puja co: f f(x, y, z), gdy (x, y, z) A (x, y, z) :=, gdy (x, y, z) V \ A. Całke potrójna funkcji f w obszarze A określamy w naste puja cy sposób: f(x, y, z)dv = df f (x, y, z)dv, (2.1) A V o ile całka V f (x, y, z)dv nie zależy od wyboru pros- f (x, y, z)dv istnieje. Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna w obszarze A. Całka V topadłościanu V. efinicja Obszar domknie ty A R 3 nazywamy obszarem normalnym wzgle dem płaszczyzny OXY, jeżeli istnieja funkcje ϕ 1 i ψ 1 zmiennych
17 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 17 x i y, cia głe w pewnym obszarze regularnym xy na płaszczyźnie OXY takie, że A = {(x, y, z) R 3 (x, y) xy, ϕ 1 (x, y) z ψ 1 (x, y)} oraz ϕ 1 (x, y) < ψ 1 (x, y) dla wszystkich (x, y) należa cych do wne trza obszaru xy. Geometrycznie normalność obszaru A wzgle dem płaszczyzny OXY oznacza, że każda prosta prostopadła do płaszczyzny OXY wystawiona z obszaru xy przecina brzeg obszaru A dokładnie w dwóch punktach należa cych odpowiednio do powierzchni o równaniach z = ϕ 1 (x, y) i z = ψ 1 (x, y). Jeżeli A jest obszarem normalnym wzgle dem płaszczyzny OXY, to xy jest rzutem tego obszaru na płaszczyzne OXY. Analogicznie określamy obszar normalny wzgle dem płaszczyzny OY Z jako zbiór A = {(x, y, z) R 3 (y, z) yz, ϕ 2 (y, z) x ψ 2 (y, z)}, gdzie ϕ 2 (y, z) < ψ 2 (y, z) dla wszystkich (y, z) należa cych do wne trza obszaru yz, oraz obszar normalny wzgle dem płaszczyzny OXZ jako zbiór A = {(x, y, z) R 3 (x, z) xz, ϕ 3 (x, z) y ψ 3 (x, z)}, gdzie ϕ 3 (x, z) < ψ 3 (x, z) dla wszystkich (x, z) należa cych do wne trza obszaru xz. rzykład ula domknie ta i ostrosłup wraz z ograniczaja ca go powierzchnia sa przykładami obszarów normalnych wzgle dem każdej z płaszczyzn układu OXY Z. Twierdzenie Niech A = {(x, y, z) R 3 (x, y) xy, ϕ 1 (x, y) z ψ 1 (x, y)} be dzie obszarem normalnym wzgle dem płaszczyzny OXY i niech f be dzie funkcja cia gła w obszarze A. Wówczas A f(x, y, z)dv = ψ 1 (x,y) ( xy ϕ 1 (x,y) f(x, y, z)dz)dxdy. rawdziwe sa także analogiczne wzory z całkami iterowanymi po obszarach normalnych wzgle dem pozostałych płaszczyzn układu.
18 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 18 rzykład Obszar V ograniczony płaszczyznami: x =, y =, z = oraz 2x+y+z = 2 jest obszarem normalnym wzgle dem wszystkich płaszczyzn układu współrze dnych. Traktuja c go jako obszar normalny wzgle dem płaszczyzny OXY możemy V opisać naste puja co V = {(x, y, z) R 3 (x, y) xy, z 2x y + 2}, gdzie obszar xy = {(x, y) R 2 x 1, y 2 2x} jest normalny wzgle dem osi OX. ta d całka potrójna z funkcji f(x, y, z) = x 2 + 6yz na obszarze V wynosi (x 2 + 6yz)dxdydz = dxdy 2 2x y (x 2 + 6yz)dz = V xy 1 dx 2 2x dy 2 2x y (x 2 + 6yz)dz = rzykład Jeżeli f(x, y, z) = 1 w obszarze normalnym A R 3, to całka potrójna 1dxdydz przedstawia obje tość obszaru A. A efinicja ume skończonej liczby obszarów normalnych (wzgle dem przynajmniej jednej z płaszczyzn układu współrze dnych) o parami rozła cznych wne trzach nazywamy obszarem regularnym w przestrzeni. Twierdzenie Niech obszar A regularny w przestrzeni be dzie suma obszarów normalnych A 1, A 2,..., A m o parami rozła cznych wne trzach i niech funkcja f be dzie całkowalna w tym obszarze. Wówczas funkcja f jest także całkowalna w każdym obszarze normalnym A i, i = 1, 2,..., m oraz f(x, y, z)dv = f(x, y, z)dv f(x, y, z)dv. A A 1 Całki potrójne po obszarach regularnych maja te same własności co całki potrójne po prostopadłościanie. A m
19 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Zamiana zmiennych w całce potrójnej. Twierdzenie (O zamianie zmiennych w całce potrójnej.) Niech funkcja f be dzie określona, cia gła i ograniczona w pewnym obszarze regularnym U R 3 i niech przekształcenie Φ : Ω U, (u, v, w) (x = ϕ 1 (u, v, w), y = ϕ 2 (u, v, w), z = ϕ 3 (u, v, w)) odwzorowuje różnowartościowo wne trze obszaru regularnego Ω R 3 na wne trze obszaru regularnego U. Załóżmy ponadto, że funkcje ϕ 1, ϕ 2 i ϕ 3 sa klasy C 1 na pewnym zbiorze otwartym zawieraja cym obszar Ω oraz jakobian (x,y,z) (u,v,w) jest różny od zera wewna trz obszaru Ω. Wówczas zachodzi naste puja cy wzór: Ω U f(x, y, z)dxdydz = (x, y, z) f(ϕ 1 (u, v, w), ϕ 2 (u, v, w), ϕ 3 (u, v, w)) (u, v, w) dudvdw. rzykład (rzesunie cie równolegle.) Niech a, b, c R. rzekształcenie (u, v, w) (x = u + a, y = v + b, z = w + c) odwzorowuje różnowartościowo obszar Ω = R 3 na obszar U = R 3. onadto (x, y, z) (u, v, w) = det = 1. ta d f(x, y, z)dxdydz = f(u + a, v + b, w + c)dudvdw. U Ω
20 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 2 rzykład 2.2. (rzekształcenie podobieństwa.) Niech a, b, c R oraz abc. rzekształcenie (u, v, w) (x = au, y = bv, z = cw) odwzorowuje różnowartościowo obszar Ω = R 3 na obszar U = R 3 \{(,, )}. onadto a (x, y, z) (u, v, w) = det b = abc. c ta d f(x, y, z)dxdydz = f(au, bv, cw) abc dudvdw. U Ω rzykład Niech a, b, c R +. Bryła ograniczona powierzchnia o równaniu = 1 opisana jest jako obszar V = {(x, y, z) R 3 x2 Zgodnie z interpretacja geometryczna obje tość tej bryły wynosi x 2 + y2 + z2 a 2 b 2 c 2 rzekształcenie podobieństwa V 1dxdydz. (u, v, w) (x = au, y = bv, z = cw) + y2 + z2 a 2 b 2 c 2 1}. odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie wne trze kuli U = {(u, v, w) R 3 u 2 + v 2 + w 2 < 1} na wne trze rozpatrywanej bryły V. ta d 1dxdydz = abcdudvdw = 4 3 abcπ. V U rzykład (rzekształcenie walcowe.) ołożenie punktu p w przestrzeni można opisać trójka liczb (ϕ, r, z), gdzie ϕ oznacza miare ka ta mie dzy rzutem promienia wodza cego punktu p na
21 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 21 płaszczyzne OXY a dodatnia cze ścia osi OX, r oznacza odległość rzutu punktu p na płaszczyzne OXY od pocza tku układu współrze dnych oraz z oznacza odległość punktu p od płaszczyzny OXY. Trójke liczb (ϕ, r, z) nazywamy współrze dnymi walcowymi punktu przestrzeni. rzekształcenie (ϕ, r, z) (x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z) nazywamy przekształceniem walcowym. onadto (x, y, z) (ϕ, r, z) = det r sin ϕ r cos ϕ cos ϕ sin ϕ 1 = r. rzykład Obszar U = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 z 1} we współrze dnych walcowych określony jest jako obszar Ω = {(ϕ, r, z) R 3 ϕ 2π, r 1, r z 1}. ta d (x 2 + y 2 )dxdydz = (r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 (x, y, z) ϕ) (ϕ, r, z) dϕdrdz = U Ω 2π dϕ 1 1 dr r r 3 dz = π 1. rzykład (rzekształcenie sferyczne.) ołożenie punktu p w przestrzeni można opisać trójka liczb (ϕ, ψ, r), gdzie ϕ oznacza miare ka ta mie dzy rzutem promienia wodza cego punktu p na płaszczyzne OXY a dodatnia cze ścia osi OX, ψ oznacza miare ka ta mie dzy promieniem wodza cym punktu p a płaszczyzna OXY oraz r oznacza odległość punktu p od pocza tku układu współrze dnych. Trójke liczb (ϕ, ψ, r) nazywamy współrze dnymi sferycznymi punktu przestrzeni. rzekształcenie (ϕ, ψ, r) (x = r cos ϕ cos ψ, y = r sin ϕ cos ψ, z = r sin ψ)
22 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 22 nazywamy przekształceniem sferycznym. onadto (x, y, z) (ϕ, ψ, r) = det r sin ϕ cos ψ r cos ϕ cos ψ r cos ϕ sin ψ r sin ϕ sin ψ r cos ψ cos ϕ cos ψ sin ϕ cos ψ sin ψ = r 2 cos ψ. rzykład Obszar U = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 1, x, y, z} we współrze dnych sferycznych określony jest jako obszar Ω = {(ϕ, ψ, r) R 3 ϕ π 2, r 1, ψ π 2 }. ta d (x, y, z) (x+2z)dxdydz = (r cos ϕ cos ψ+2r sin ψ) (ϕ, ψ, r) dϕdψdr = U Ω 1 dr π 2 dϕ π 2 (r cos ϕ cos ψ + 2r sin ψ)r 2 cos ψdψ = 3 16 π. 3 Całka krzywoliniowa 3.1 Całka krzywoliniowa niezorientowana Niech = {(x 1 (t), x 2 (t)) t [α, β]} be dzie łukiem gładkim na płaszczyźnie i niech be dzie określona funkcja f : R. odzielmy przedział [α, β] punktami α = t < t 1 <... < t n = β na n łuków cze ściowych k 1, k 2,..., k n. Oznaczmy długości tych łuków odpowiednio przez k 1, k 2,..., k n i niech δ n := max k i. Z każdego z łuków cze 1 i n ściowych k i, i = 1,..., n, wybierzmy dowolny punkt p i i utwórzmy naste puja ca sume n n := f(p i ) k i. i=1 efinicja 3.1. Jeżeli istnieje granica skończona lim n cia n gu sum ( n ), gdy δ n i jeżeli granica ta nie zależy od wyboru punktów podziału t i oraz wyboru punktów p i na łukach cze ściowych, to granice te nazywamy całka
23 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 23 krzywoliniowa niezorientowana funkcji f(x, y) po krzywej i oznaczamy symbolem f(x, y)ds. rzykład 3.2. Jeżeli f(x, y) = 1 dla każdego punktu (x, y), to całka f(x, y)ds równa jest długości łuku krzywej. rzykład 3.3. Jeżeli f(x, y) dla każdego punktu (x, y), to całka f(x, y)ds równa jest polu cze ści walcowej, której kierownica jest a tworza ce sa równoległe do osi OZ. Twierdzenie 3.4. Jeżeli istnieja całki krzywoliniowe z funkcji f(x, y) i g(x, y) po krzywej to dla dowolnych a, b R (af(x, y) + bg(x, y))ds = a f(x, y)ds + b g(x, y)ds. Twierdzenie 3.5. Jeżeli punkt p dzieli krzywa na dwie krzywe 1 i 2 to f(x, y)ds = f(x, y)ds + f(x, y)ds. 1 Całke krzywoliniowa niezorientowana można wyrazić przez całke oznaczona. Twierdzenie 3.6. Jeżeli funkcja f(x, y) jest cia gła na łuku gładkim = {(x 1 (t), x 2 (t)) t [α, β]}, to całka krzywoliniowa niezorientowana f(x, y)ds istnieje i równa jest całce oznaczonej 2 f(x, y)ds = β α f(x 1 (t), x 2 (t)) (x 1(t)) 2 + (x 2(t)) 2 dt. rzykład 3.7. Jeżeli = {(t, y(t)) t [α, β]} oraz funkcja y(t) ma cia gła pochodna na przedziale [α, β], to f(x, y)ds = β α f(t, y(t)) (1 + (y (t)) 2 dt.
24 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 24 rzykład 3.8. Niech = {(r cos t, r sin t) t [, π]} be 2 dzie łukiem okre gu. Wówczas xyds = π 2 r 3 cos t sin tdt = r3 2. Całke krzywoliniowa niezorientowana funkcji f(x, y, z) po krzywej = {(x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)) t [α, β]} w przestrzeni definiujemy analogicznie jak w przypadku całki na płaszczyźnie i oznaczamy f(x, y, z)ds. Twierdzenia dotycza ce własności całki krzywoliniowej niezorientowanej na płaszczyźnie pozostaja prawdziwe dla całki w przestrzeni. W szczególności zachodzi twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej niezorientowanej na całke oznaczona. Twierdzenie 3.9. Jeżeli funkcja f(x, y, z) jest cia gła na łuku gładkim = {(x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)) t [α, β]}, to całka krzywoliniowa niezorientowana f(x, y, z)ds istnieje i równa jest całce oznaczonej f(x, y, z)ds = β α f(x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)) (x 1(t)) 2 + (x 2(t)) 2 + (x 3(t)) 2 dt. rzykład 3.1. Niech = {(a cos t, a sin t, bt) t [, 2π]}. Całka krzywoliniowa niezorientowana z funkcji f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 po krzywej równa jest 2π (x 2 + y 2 + z 2 )ds = (a 2 cos 2 t + a 2 sin 2 t + b 2 t 2 ) a 2 + b 2 dt = a2 + b 2 (2a b2 π 2 )π. 3.2 Całka krzywoliniowa zorientowana ażdemu łukowi = {(x 1 (t), x 2 (t)) t [α, β]} na płaszczyźnie można nadać kierunek, przyjmuja c punkt A = (x 1 (α), x 2 (α)) za pocza tek łuku a
25 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 25 punkt B = (x 1 (β), x 2 (β)) za koniec lub na odwrót, punkt B = (x 1 (β), x 2 (β)) za pocza tek łuku a punkt A = (x 1 (α), x 2 (α)) za jego koniec. Te dwie orientacje krzywej nazywamy przeciwnymi. W pierwszym przypadku kierunek łuku jest zgodny z kierunkiem wzrostu parametru t. Mówimy wówczas, że przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek sa zgodne. W drugim przypadku kierunek łuku jest niezgodny z kierunkiem wzrostu parametru t. Mówimy wówczas, że przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek sa niezgodne. Niech parametrom t 1 i t 2 odpowiadaja punkty A 1 = (x 1 (t 1 ), x 2 (t 1 )) i A 2 = (x 1 (t 2 ), x 2 (t 2 )) łuku. Jeżeli kierunek łuku jest zgodny z kierunkiem wzrostu parametru to dla t 1 < t 2 punkt A 1 poprzedza punkt A 2. W przeciwnym przypadku punkt A 2 poprzedza punkt A 1. Jeżeli przedstawienie parametryczne {(x 1 (t), x 2 (t)) t [α, β]} łuku jest niezgodne z nadanym mu kierunkiem, to przedstawienie parametryczne {(x 1 ( t), x 2 ( t)) t [ β, α]} be dzie już z tym kierunkiem zgodne. efinicja Łuk, któremu nadano kierunek, nazywamy łukiem skierowanym (lub zorientowanym). Łuk skierowany od punktu A do punktu B oznaczamy AB. Aby podkreślić, że łuki AB i BA różnia sie tylko kierunkiem piszemy AB = BA. Niech dana be dzie krzywa zorientowana płaska = {(x 1 (t), x 2 (t)) t [α, β]} i niech na krzywej be da określone dwie funkcje (x, y) i Q(x, y). odzielmy przedział [α, β] punktami α = t < t 1 <... < t n = β na n cze ści. Wybierzmy z każdego przedziału punkt t θi [t i 1, t i ]. Niech p i = (x 1 (t θi ), x 2 (t θi )) i d n be dzie długościa najdłuższego z przedziałów [t i 1, t i ]. Utwórzmy sume n n := (p i )(x 1 (t i ) x 1 (t i 1 )) + Q(p i )(x 2 (t i ) x 2 (t i 1 )). i=1 efinicja Jeżeli istnieje granica skończona lim n n cia gu sum ( n ) przy d n i jeżeli granica ta nie zależy od wyboru punktów t i oraz p i to granice te nazywamy całka krzywoliniowa skierowana pary funkcji (x, y) i Q(x, y) po drodze i oznaczamy (x, y)dx + Q(x, y)dy.
26 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 26 Analogicznie maja c krzywa przestrzenna = {(x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)) t [α, β]} i trzy funkcje (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) definiujemy całke krzywoliniowa zorientowana trójki funkcji po krzywej (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz. rzykład Jeżeli punkt materialny o masie 1 porusza sie po krzywej pod wpływem siły F o składowych (x, y) i Q(x, y) (np. w polu grawitacyjnym lub elektrostatycznym) to prace wykonywana przez te siłe wzdłuż drogi wyraża całka (x, y)dx + Q(x, y)dy. Twierdzenie Jeżeli istnieje całka krzywoliniowa skierowana z funkcji (x, y) i Q(x, y) po krzywej, to istnieje też całka po krzywej, przy czym (x, y)dx + Q(x, y)dy = (x, y)dx + Q(x, y)dy. Twierdzenie Jeżeli krzywa podzielimy na dwa łuki 1 i 2, to całka krzywoliniowa skierowana z funkcji (x, y) i Q(x, y) po krzywej istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja całki po krzywych 1 i 2 oraz (x, y)dx+q(x, y)dy = (x, y)dx+q(x, y)dy+ (x, y)dx+q(x, y)dy. 1 Twierdzenie Jeżeli funkcje (x, y) i Q(x, y) sa cia głe na zorientowanym łuku gładkim = {(x 1 (t), x 2 (t)) t [α, β]}, przy czym orientacja jest zgodna z kierunkiem wzrostaja cego parametru (tzn. jest zgodna z kierunkiem tego łuku) to całka krzywoliniowa skierowana z funkcji (x, y) i Q(x, y) po krzywej istnieje oraz (x, y)dx + Q(x, y)dy = rzykład Jeżeli = {(t, y(t)) t [α, β]} to β α 2 ( (x 1 (t), x 2 (t))x 1(t) + Q(x 1 (t), x 2 (t))x 2(t))dt. (x, y)dx + Q(x, y)dy = β α ( (t, y(t)) + Q(t, y(t))y (t))dt.
27 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 27 Jeżeli funkcje (x, y) i Q(x, y) sa cia głe na krzywej kawałkami gładkiej, to całka (x, y)dx + Q(x, y)dy również istnieje i równa jest sumie całek na poszczególnych łukach gładkich krzywej. rzykład Niech = {(t, t 2 ) t [ 1, 1]} be dzie łukiem paraboli od punktu A = ( 1, 1) do punktu B = (1, 1). Całka krzywoliniowa zorientowana z funkcji (x, y) = y 2 + 2xy i Q(x, y) = x 2 2xy na krzywej wynosi 1 (y 2 + 2xy)dx + (x 2 2xy)dy = ((t 4 + 2t 3 ) + (t 2 2t 3 )2t)dt = W przypadku trójwymiarowym całke krzywoliniowa zorientowana z funkcji (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) na łuku gładkim = {(x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)) t [α, β]} zorientowanym zgodnie z kierunkiem wzrastaja cego parametru możemy zamienić na całke oznaczona według naste puja cego wzoru β α (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = ( (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t))x 1(t)+Q(x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t))x 2(t)+R(x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t))x 3(t))dt. rzykład raca wykonana przez siłe F = [x 2, y 2, z 2 ] wzdłuż drogi = {(r cos t, r sin t, bt) t [, 2π]} równa jest x 2 dx+y 2 dy+z 2 dz = 2π ((r 2 cos 2 t( r sin t)+r 2 sin 2 tr cos t+b 2 t 2 b)dt = 8 3 b3 π 3. Niech be dzie obszarem płaskim ograniczonym krzywa Jordana. owiemy, że krzywa Jordana be da ca brzegiem obszaru jest zorientowana dodatnio wzgle dem tego obszaru, jeśli w czasie obiegu po krzywej w danym kierunku mamy obszar po lewej stronie. Całke krzywoliniowa zorientowana po krzywej zamknie tej płaskiej można w pewnych sytuacjach zamienić na całke podwójna.
28 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 28 Twierdzenie 3.2. (Twierdzenie Green a 1 ) Jeżeli funkcje (x, y) i Q(x, y) sa cia głe wraz z pochodnymi cza stkowymi y i Q x na obszarze domknie tym normalnym wzgle dem obu osi układu współrze dnych oraz brzeg obszaru jest krzywa Jordana zorientowana dodatnio wzgle dem, to prawdziwy jest naste puja cy wzór Green a: (x, y)dx + Q(x, y)dy = ( Q x y )dxdy. Twierdzenie Green a pozostaje prawdziwe dla obszarów jednospójnych i wielospójnych daja cych sie podzielić łukami na skończona ilość obszarów normalnych wzgle dem obu osi. rzykład Niech be dzie brzegiem prostoka ta = {(x, y) R 2 x 1, y 2} zorientowanym dodatnio i niech (x, y) = y(x 2 + 1) oraz Q(x, y) = x(y 2 1). tosuja c twierdzenie Green a całka krzywoliniowa zorientowana (x, y)dx + Q(x, y)dy wynosi y(x 2 + 1)dx + x(y 2 1)dy = (y 2 x 2 2)dxdy = 2. rzykład Niech be dzie okre giem o równaniu x 2 + y 2 2x = zorientowanym dodatnio i niech (x, y) = y 2 + 2x oraz Q(x, y) = x 2 + 2y. tosuja c twierdzenie Green a całka krzywoliniowa zorientowana (x, y)dx+ Q(x, y)dy wynosi y 2 + 2xdx + x 2 + 2ydy = 2(x y)dxdy = 2π, gdzie = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 2x }. rzykład Niech be dzie dodatnio zorientowanym brzegiem obszaru ograniczonego. Wówczas całka krzywoliniowa zorientowana po tej krzywej 1 George Green ( ) - matematyk i fizyk angielski
29 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 29 z funkcji (x, y) = 1y i Q(x, y) = = 1 oraz y = 1dxdy = ( Q x x określa pole obszaru, gdyż Q x y )dxdy = 1 2 xdy ydx. rzykład ole obszaru ograniczonego elipsa = {(a cos t, b sin t) t [, 2π]} wynosi = 1 2 ydx + xdy = 1 2 2π (ab sin 2 t + ab cos 2 t)dt = πab. 3.3 Niezależność całki krzywoliniowej od drogi całkowania Niech (x, y) i Q(x, y) be da funkcjami cia głymi wraz z pochodnymi cza stkowymi i Q w obszarze płaskim jednospójnym. Niech be y x dzie krzywa gładka o pocza tku w punkcie A i końcu w punkcie B, zawarta w obszarze. Całka krzywoliniowa zorientowana (x, y)dx + Q(x, y)dy zależy na ogół od wyboru krzywej. rzykład Niech = {(a cos t, b sin t) t [, π]}, dla a b, be dzie półelipsa o pocza tku w punkcie A = (a, ) i końcu w punkcie B = ( a, ). Wówczas (x y)dx + (x + y)dy = abπ. Jeżeli natomiast = {(a cos t, a sin t) t [, π]} be dzie półokre giem o pocza tku w punkcie A = (a, ) i końcu w punkcie B = ( a, ) to (x y)dx + (x + y)dy = a 2 π.
30 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 3 Całke krzywoliniowa zorientowana (x, y)dx + Q(x, y)dy nazywać be - dziemy niezależna od drogi całkowania w obszarze jednospójnym, jeżeli dla dowolnych dwóch punktów A, B wartość tej całki na każdej krzywej gładkiej o pocza tku w punkcie A i końcu w punkcie B jest taka sama. onieważ w tym przypadku wartość całki nie zależy od wyboru krzywej, lecz tylko od pocza tku A i końca B, całke krzywoliniowa zorientowana oznaczamy symbolem B A (x, y)dx + Q(x, y)dy. Twierdzenie Niech (x, y) i Q(x, y) be da funkcjami cia głymi wraz z pochodnymi cza stkowymi w obszarze płaskim jednospójnym i y niech A, B. Warunkiem koniecznym i wystarczaja cym na to, aby całka i Q x krzywoliniowa zorientowana B (x, y)dx + Q(x, y)dy nie zależała od drogi A całkowania jest, by dla każdego (x, y) spełniony był warunek y = Q x. Zatem na mocy twierdzenia Green a całka krzywoliniowa zorientowana B (x, y)dx + Q(x, y)dy nie zależy od drogi całkowania wtedy i tylko wtedy, A gdy całka po każdej krzywej gładkiej zamknie tej zawartej w obszarze jest równa. Niech funkcje (x, y) i Q(x, y) spełniaja w obszarze płaskim jednospójnym założenia twierdzenia Funkcje F (x, y) taka, że dla każdego (x, y) F x = (x, y) oraz F y = Q(x, y) nazywamy funkcja pierwotna pary uporza dkowanej funkcji (x, y) i Q(x, y). Twierdzenie Niech (x, y) i Q(x, y) be da funkcjami cia głymi wraz z pochodnymi cza stkowymi w płaskim obszarze jednospójnym. Warunkiem koniecznym i wystarczaja y cym na to, aby funkcja F (x, y) była funkcja i Q x
31 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 31 pierwotna funkcji (x, y) i Q(x, y) jest, by dla każdego (x, y) spełniony był warunek y = Q x. Zatem warunkiem koniecznym i wystarczaja cym na to, aby całka krzywoliniowa skierowana B (x, y)dx+q(x, y)dy nie zależała od drogi całkowania w obszarze A, jest by istniała funkcja pierwotna funkcji (x, y) i Q(x, y). Wartość całki jest wówczas określona wzorem B A (x, y)dx + Q(x, y)dy = F (B) F (A). Jeżeli F (x, y) jest funkcja pierwotna pary funkcji (x, y) i Q(x, y) to jest nia też funkcja F (x, y) + c, gdzie c R jest stała. onadto, dwie funkcje pierwotne F (x, y) i G(x, y) tej samej pary (x, y) i Q(x, y) różnia sie co najwyżej o stała, tzn. G(x, y) = F (x, y) + c. rzykład Niech (x, y) = x i Q(x, y) = y dla x 2 + y 2 > x 2 +y 2 x 2 +y 2. onieważ, zatem całka krzywoliniowa zorientowana (2,1) (1,) xdx+ydy x 2 +y 2 = 2xy = Q y (x 2 +y 2 ) 2 x wzdłuż dowolnej krzywej przebiegaja cej w górnej półpłaszczyźnie y > nie zależy od drogi całkowania. x Wyrażenie podcałkowe dx + y dy jest różniczka x 2 +y 2 x 2 +y 2 zupełna funkcji F (x, y) = 1 2 ln(x2 + y 2 ) + c, gdzie c jest dowolna stała. ta d (2,1) (1,) xdz + ydy = F (2, 1) F (1, ) = 1 ln 5. x 2 + y 2 2 Niech funkcje (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) be da cia głe wraz z pochodnymi cza stkowymi w obszarze przestrzennym V powierzchniowo jednospójnym. Funkcje F (x, y, z) taka, że dla każdego (x, y, z) V F x = (x, y, z), F y = Q(x, y, z), F z = R(x, y, z)
32 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 32 nazywamy funkcja pierwotna trójki uporza dkowanej funkcji (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z). Twierdzenie Niech funkcje (x, y, z), Q(x, y) i R(x, y, z) be da cia głe wraz z pochodnymi cza stkowymi w obszarze przestrzennym V powierzchniowo jednospójnym. Warunkiem koniecznym i wystarczaja cym na to, aby całka A krzywoliniowa skierowana B (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz nie zależała od drogi całkowania w obszarze V, jest by istniała funkcja pierwotna funkcji (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z), tzn. by dla każdego (x, y, z) V spełnione były warunki: R y = Q z, z = R x, Wartość całki jest wówczas określona wzorem B A Q x = y. (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = F (B) F (A). rzykład 3.3. Niech (x, y, z) = 2x yz, Q(x, y, z) = 2y xz i R(x, y, z) = 2z xy. onieważ R Q = x =, R Q = y = oraz = z =, zatem y z z x x y całka krzywoliniowa zorientowana (1,2,3) (2x yz)dx+(2y xz)dy+(2z xy)dz (,,) nie zależy od drogi całkowania. Wyrażenie podcałkowe (2x yz)dx + (2y xz)dy + (2z xy)dz jest różniczka zupełna funkcji F (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 xyz + c, gdzie c jest dowolna stała. ta d (1,2,3) (,,) (2x yz)dx + (2y xz)dy + (2z xy)dz = F (1, 2, 3) F (,, ) = 8. 4 Całka powierzchniowa. 4.1 Całka powierzchniowa niezorientowana. efinicja 4.1. Niech be dzie obszarem płaskim regularnym ograniczonym jedna krzywa zamknie ta, kawałkami gładka i niech f(x, y) be dzie funkcja
33 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 33 określona i cia gła w zbiorze, maja ca w obszarze cia głe i ograniczone pochodne cza stkowe. Gładkim płatem powierzchniowym (wzgle dem płaszczyzny OXY ) nazywamy powierzchnie o równaniu: z = f(x, y), (x, y). W analogiczny sposób określamy gładki płat powierzchniowy wzgle dem płaszczyzny OXZ i OY Z. owierzchnia ma w każdym swym punkcie płaszczyzne styczna. rzykład 4.2. Wykres funkcji z = 2x y + 2 rozważanej w obszarze = {(x, y) R 2 x 5, y 2} jest gładkim płatem powierzchniowym. Niech F (x, y, z) be dzie funkcja określona w przestrzeni R 3 na gładkim płacie powierzchniowym o równaniu z = f(x, y), gdzie (x, y). odzielmy obszar na n obszarów regularnych 1, 2,..., n o rozła cznych wne trzach i oznaczmy przez 1, 2,..., n cze ści płata odpowiadaja ce podziałowi, o polach równych odpowiednio i. Z każdego płata i wybierzmy punkt p i i utwórzmy sume : n n := F (p i ) i. i=1 efinicja 4.3. Jeżeli istnieje granica n lim n, przy założeniu, że najwie ksza średnica obszarów cze ściowych i maleje do zera i granica ta nie zależy od podziałów obszaru ani od wyboru punktów p i, to granice te nazywamy całka powierzchniowa niezorientowana funkcji F (x, y, z) po płacie i oznaczamy F (x, y, z)ds. W analogiczny sposób możemy określić całke powierzchniowa niezorientowana, gdy jest gładkim płatem powierzchniowym wzgle dem płaszczyzny OXZ lub OY Z. Jeżeli jest powierzchnia dowolna, daja ca sie podzielić na skończona ilość płatów gładkich, to nazywamy ja powierzchnia kawałkami gładka i całka F (x, y, z)ds jest wówczas suma całek po poszczególnych płatach. odstawowe własności całki powierzchniowej niezorientowanej sa takie same jak dla innych całek.
34 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 34 rzykład 4.4. Niech w każdym punkcie powierzchni funkcja F (x, y, z) = 1. Całka powierzchniowa niezorientowana po płacie określa pole powierzchni, ds =. Twierdzenie 4.5. (O zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całke podwójna) Jeżeli funkcja F (x, y, z) jest cia gła na gładkim płacie powierzchniowym o równaniu z = f(x, y), (x, y), to całka powierzchniowa F (x, y, z)ds istnieje i wyraża sie wzorem: F (x, y, z)ds = F (x, y, f(x, y)) 1 + ( f x (x, y))2 + ( f y (x, y))2 dxdy. W szczególności, dla F (x, y, z) = 1, = ds = 1 + ( f x (x, y))2 + ( f y (x, y))2 dxdy. rzykład 4.6. Niech be dzie powierzchnia o równaniu z = x 2 + y 2, której rzutem na płaszczyzne OXY jest koło = {(x, y) R 2 x 2 +y 2 2x }. Wówczas (xy + yz + xz)ds = (xy + y x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 ) 2dxdy = Całka powierzchniowa zorientowana. Rozważmy gładki płat powierzchniowy o równaniu z = f(x, y), (x, y). Jest to powierzchnia dwustronna. Jeżeli wyróżnimy na tej powierzchni strone dodatnia i strone ujemna to płat nazwiemy płatem zorientowanym. Wówczas oznaczać be dzie płat różnia cy sie od tylko orientacja. Niech na zorientowanym płacie określone be da trzy funkcje cia głe (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z). Niech α, β i γ be da ka tami, które oś normalna n do powierzchni, o zwrocie od strony ujemnej płata do jego strony dodatniej, tworzy z osiami OX, OY i OZ układu współrze dnych.
35 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 35 efinicja 4.7. Całke (o ile istnieje) ( (x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ)ds nazywamy całka powierzchniowa zorientowana i oznaczamy (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy. (4.1) Analogicznie określamy całke powierzchniowa zorientowana po gładkim płacie powierzchniowym wzgle dem płaszczyzny OXZ lub OY Z. Jeżeli zmienimy strone dodatnia płata na ujemna, to funkcje cos α, cos β, cos γ zmienia znaki i całka 4.1 zmieni znak. ta d (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy = (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy. rzykład 4.8. Niech be dzie gładkim płatem powierzchniowym i niech funkcje (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) be da składowymi wektora pre dkości cieczy przepływaja cej przez powierzchnie. Wówczas całka (x, y, z)dydz+ Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy przedstawia obje tość cieczy, jaka przepływa w jednostce czasu przez powierzchnie ze strony ujemnej na dodatnia. W przypadku dowolnej powierzchni kawałkami gładkiej definicja komplikuje sie, ponieważ nie każda taka powierzchnie można zorientować. Jest tak np. gdy powierzchnia jest jednostronna (np. wste ga Möbiusa). Jeżeli natomiast powierzchnia jest dwustronna, to orientuja c każdy z jej płatów określamy całke powierzchniowa zorientowana po tej powierzchni jako sume całek po wszystkich płatach. Twierdzenie 4.9. (O zamianie całki powierzchniowej zorientowanej na całke podwójna) Jeżeli funkcje (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) sa cia głe na zorientowanym gładkim płacie powierzchniowym o równaniu z = f(x, y), (x, y),
36 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 36 to całka powierzchniowa zorientowana (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy istnieje i wyraża sie wzorem: = ε (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy = ( (x, y, f(x, y)) f x (x, y) Q(x, y, f(x, y)) f (x, y)+r(x, y, f(x, y)))dxdy, y gdzie ε = 1, gdy orientacja płata jest tak dobrana, że cos γ > oraz ε = 1, gdy orientacja płata jest tak dobrana, że cos γ <. Analogicznie wzór jest prawdziwy dla całki powierzchniowej zorientowanej po gładkim płacie powierzchniowym wzgle dem płaszczyzny OXZ lub OY Z. rzykład 4.1. Niech be dzie cze ścia płaszczyzny 2x + 3y + z 6 =, wycie ta płaszczyznami układu współrze dnych i tak zorientowana, że cos γ <. Równanie powierzchni jest postaci: z = 6 2x 3y, (x, y) = {(x, y) R 2 x 3, y x}. ta d = xydydz + yzdxdz + xzdxdy = (2xy + 3y(6 2x 3y) + x(6 2x 3y))dxdy = rzykład Niech be dzie górna półsfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2, z, zorientowana tak, że cos γ <. Równanie powierzchni jest postaci: z = R 2 x 2 y 2, (x, y) = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 R 2 }. ta d xz 2 dxdy = x(r 2 x 2 y 2 )dxdy =.
37 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 37 Twierdzenie (Gaussa-Ostrogradskiego) 2 Niech V R 3 be dzie obszarem normalnym ze wzgle du na wszystkie trzy płaszczyzny układu współrze dnych i niech brzeg tego obszaru be dzie powierzchnia odcinkami gładka zorientowana na zewna trz obszaru V. Niech funkcje (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) be da cia głe wraz z pochodnymi Q y i R z wewna trz obszaru V i na jego brzegu. Wówczas: V x, ( x + Q y + R )dxdydz = (4.2) z (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy. Wzór (4.3) pozostaje prawdziwy dla obszarów przestrzennych V daja cych sie podzielić na skończona ilość obszarów normalnych. rzykład Niech be dzie zewne trzna strona powierzchni sześcianu V = {(x, y, z) R 3 x a, y a, z a}. orzystaja c z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego x 2 dydz + y 2 dxdz + z 2 dxdy = 2(x + y + z)dxdydz = V a 2 a dx a dy (x + y + z)dz = 3 2 a4. rzykład Niech be dzie zewne trzna strona powierzchni stożka V o równaniu z 2 = x 2 + y 2, z 2. orzystaja c z twierdzenia Gaussa- Ostrogradskiego (x z)dydz + (y z)dxdz + (z y)dxdy = 3 2 Carl Gauss ( ) - matematyk niemiecki Michaił Ostrogradski ( ) - matematyk rosyjski V dxdydz = 8π.
38 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 38 Twierdzenie (tokesa) 3 Niech krzywa be dzie brzegiem gładkiego płata powierzchniowego zorientowanego tak, aby orientacja powierzchni była zgodna z orientacja krzywej tzn. tak, że dodatni obieg na krzywej dookoła osi normalnej do powierzchni był równoskre tny z dodatnim obiegiem na płaszczyźnie OXY dookoła osi OZ. Niech funkcje (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) be da cia głe wraz z pochodnymi cza stkowymi w obszarze otaczaja cym powierzchnie. Wtedy (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = ( R y Q )dydz + ( z z R )dxdz + ( Q x x y )dxdy. rzykład Niech be dzie okre giem o równaniach x = r cos t, y = sin t, z = k dla t [, 2π], i orientacji zgodnej z kierunkiem wzrastaja cego parametru. orzystaja c z twierdzenia tokesa xzdx + y 2 dy + zdz = xdxdz, gdzie oznacza dowolna powierzchnie gładka o równaniu z = f(x, y), (x, y), której brzegiem jest krzywa, o orientacji tak dobranej, by cos γ >. Możemy zatem przyja ć, że jest powierzchnia koła {(x, y, z) R 3 x 2 +y 2 r 2, z = f(x, y) = k}. Wówczas xdxdz = x f dxdy =. y 5 odstawowe poje cia pola wektorowego efinicja 5.1. Niech dane be da trzy funkcje (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) określone w obszarze przestrzennym V R 3. Jeżeli w obszarze V określona jest funkcja przyporza dkowuja ca każdemu punktowi (x, y, z) V wektor W (x, y, z) := 3 George tokes ( ) - irlandzki matematyk i fizyk
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoNiektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ
Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne
Bardziej szczegółowo24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA
4. CAŁA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA Płat powierzchniowy gładki o równaniach parametrycznych: x = x( u, v ), y = y( u, v ), z = z( u, v ),, (u,v) w którym rozróżniamy dwie jego stron dodatnią i ujemną.
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe wiadomości wstępne
Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe
opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoMatematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.i
Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.i Agata Pilitowska 2007 1 Przestrzeń R n. Niech R oznacza zbiór liczb rzeczywistych, N zbiór liczb naturalnych i niech n N. Rozważmy zbiór R n wszystkich uporza
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana
Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej;
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowoCałki powierzchniowe w R n
Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Bardziej szczegółowo3. Znaleźć długość krzywej l = {y = x, 0 x 1}. 4. Obliczyć objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dookoła osi OX krzywej
eria. Obliczyć całki (A) 2 x 2 dx (z definicji); 2 xe x dx; e 2xe x2 dx. 2. Obliczyć pole obszaru (A) {(x, y) : < x < 3, < y < x 2 +}; {(x, y) : 6x x 2 < y < x 2 6x+}. 3. Znaleźć długość krzywej l = {y
Bardziej szczegółowoWstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: michal.musielak@utp.edu.pl.
Wstęp Niniejsze opracowanie zawiera notatki z ćwiczeń z matematyki prowadzonych na UTP kierunkach: Budownictwo, Mechanika i Budowa Maszyn, Inżynieria Odnawialnych Źródeł Energii, Transport, Teleinformatyka,
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,). Zad.. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f ( ) y x, gdzie f jest funkcją różniczkowalną jednej zmiennej,
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Praca domowa
Analiza Matematyczna Praca domowa J. de Lucas Zadanie 1. Pokazać, że dla wszystkich n naturalnych ( n ) exp kx k dx 1 dx n = 1 n (e k 1). (0,1) n k=1 n! k=1 Zadanie. Obliczyć dla dowolnego n. (0,1) n (x
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y, z 2y df
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowox y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoWstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy:
Wstęp Niniejsze opracowanie zawiera notatki z ćwiczeń z matematyki prowadzonych na UTP kierunkach: Budownictwo, Mechanika i Budowa Maszyn, Inżynieria Odnawialnych Źródeł Energii, Transport, Teleinformatyka,
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Całki podwójne Całki podwójne po prostokacie. Całki podwójne po obszarach normalnych. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych. Zastosowania całek podwójnych. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Analizy Matematycznej II 18/19. Konwencja: pierwsze litery alfabetu są parametrami, do tego zazwyczaj dodatnimi
Literatura pomocnicza Zestaw zadań z Analizy Matematycznej II 8/9 G.M. Fichtenholz - Rachunek różniczkowy i całkowy. B. Demidowicz - Zbiór zadań z analizy matematycznej. T 2,3 Krysicki, Włodarski - Analiza
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana
Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej;
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH
YH JJ, MiF UP 13 D BL PÓL FGUR PYŹ e wszystkich wzorach zakładamy, że funkcje: f (x), g(x), r(ϕ), x(t), y(t) sa cia głe w odpowiednich przedziałach oraz że r(ϕ). D BL PÓL FGUR PYŹ Pole obszaru D = {(x,
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoFunkcje zespolone. Agata Pilitowska. dkowana (x, y) liczb rzeczywistych x, y R. Definicja 1.1. Liczba zespolona jest to para uporza
Funkcje zespolone. Agata Pilitowska 2007 1 Liczby zespolone Definicja 1.1. Liczba zespolona jest to para uporza dkowana (x, y) liczb rzeczywistych x, y R. Dwie liczby zespolone z = (x, y) i w = (u, v)
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoOkreślenie całki oznaczonej na półprostej
Określenie całki oznaczonej na półprostej Definicja 1 Niech funkcja f : [a, ) R będzie całkowalna na przedziałach [a, T ] dla każdego T > a. Całkę niewłaściwą funkcji f na półprostej [a, ) określamy wzorem
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Zastosowania Całek
Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdańsk 9 maja 217
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2: CAŁKI POTRÓJNE
WYKŁAD : CAŁKI OTRÓJNE 1 CAŁKI OTRÓJNE O ROSTOADŁOŚCIANIE Oznaczenia w definicji całi po prostopadłościanie: = {(: a x, c y d, p z q} prostopadłościan w przestrzeni; = { 1,,, n } podział prostopadłościanu
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoWykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA
ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Zadanie 1. Oblicz: a) ( 3+i)( 1 3i) b) (3+i)2 (4i+1) i
Zadanie. Oblicz: a) ( 3+i)( 3i) +i b) (3+i)2 (4i+) i (2+i) 3 Liczby zespolone Zadanie 2. Zaznacz na płaszczyźnie Gaussa zbiór: a) {z : z > 3} b) {z : z i } c) {z : 4 z + + i < 9} Zadanie 3. Wykaż, że suma
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowolim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów
9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
1 Układy równań liniowych 1. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa x + 2y z = 4 y 2z = 4x y + z = 0 x y + z = 0 2y + 5z = 1 6x 4y z = 1 x + y t = 1 x + y z = 0 y + z + t = 1 x + +
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoP (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch i trzech zmiennych
Funkcje dwóch i trzech zmiennych Niech R 2 = {(x, y) : x, y R} oznacza płaszczyznę, R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} przestrzeń. Odległość punktów będziemy określali następująco: P 1 P 0 = P 1 P 0 = (x 1
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ i 18 listopada 2011
Wykład 11 i 12 Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 15 i 18 listopada 2011 Zanim przejdziemy do formułowaniu lematu Poincaré musimy zdefiniować pojęcie transportu formy. Dyskutowaliśmy już wcześniej
Bardziej szczegółowoAB = x a + yb y a + zb z a 1
1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor
Bardziej szczegółowoRozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA
Księgarnia PWN: Grigorij M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 3 Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA 1. Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju 543. Definicja całki krzywoliniowej
Bardziej szczegółowoSIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 14,
IMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 14, 2012-06-03 Całka powierzchniowa efinicja gładkiego płata powierzchni Gładkim płatem powierzchni nazywamy zbiór : = {(x, y, z) : z = g(x, y), (x, y) }, gdzie R 2 jest
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Analiza wektorowa
opracował Maciej Grzesiak Analiza wektorowa 1. Funkcje wektorowe 1.1. Funkcje wektorowe na płaszczyźnie Wektor r = x i + y j nazywamy wektorem wodzącym punktu (x, y). Jeśli x oraz y są funkcjami czasu,
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoef 3 (dziedzina, dziedzina naturalna) Niech f : A R, gdzie A jest podzbiorem płaszczyzny lub przestrzeni Zbiór A nazywamy dziedziną funcji f i oznacza
FUNKCJE WÓCH I TRZECH ZMIENNYCH (było w semestrze II) ef 1 (funcja dwóch zmiennych) Funcją f dwóch zmiennych oreśloną na zbiorze A R o wartościach w R nazywamy przyporządowanie ażdemu puntowi ze zbioru
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoDZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni
Rozdział 5 Twierdzenia całkowe 5.1 Twierdzenie o potencjale Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej w przestrzeni trójwymiarowej, I) = A d r, 5.1) gdzie A = A r) jest funkcją polem)
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoObliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak
Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoWykłady 11 i 12: Całka oznaczona
Wykłady 11 i 12: Całka oznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy; rok akademicki 2016/2017 Pole trójkata parabolicznego Problem. Chcemy obliczyć
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowo4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne
Bardziej szczegółowoElementy analizy wektorowej. Listazadań
Elementy analizy wektorowej Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Listazadań % Całki krzywoliniowe niezorientowane 1. Obliczyć całkę krzywoliniową niezorientowaną f dl, jeżeli: 1 a)fx,y)=
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowo