Analiza błędów pomiarowych Pomiar pomiarów bezpośrednich pośrednich

Transkrypt

1 Aalza łędów pomarowch W aukach przrodczch kluczową rolę w werfkacj wszelkch hpotez teor aukowch odgrwa ekspermet jego wk. Częstokroć pojedcz wk ekspermetal leż u podstaw owch teor odrzucea dotchczasowch worażeń o dam zjawsku, cz wręcz worażea o otaczającm as śwece. Ale a ekspermet aukow mógł spełać tak ważą rolę koecza jest zajomość dokładośc z jaką został o wkoa. Warto zdać soe sprawę z faktu, że wszelke welkośc fzcze wzaczoe dośwadczale, określoe został z mejszą lu wększą dokładoścą, awet te podawae w talcach fzkochemczch jako stałe podstawowe, powszeche uzae za welkośc prawdzwe wkorzstwae we wzorach częstokroć ez wkaa jaka jest ch dokładość. Od weków wzaczee prędkośc (a w zasadze szkośc śwatła zaprzątało umsł aukowców próującch dokoać jej pomaru. Począwsz od pró Galleusza, któr eudae próował dokoać tego pomaru merząc opóźee z jakm śwatło pokouje drogę pomędz oserwatoram a szcztach sąsedch wzgórz, poprzez oserwacje zaćmea jedego z ksężc Jowsza, Io, wkoae przez Römera w 675 r., którch kokluzją ło przpsae śwatłu skończoej prędkośc cz coraz dokładejsze pomar pomsłowch ekspermetów Ftzeau (849 r., Foucaulta (85 r. cz Mchelsoa (lata prędkość z jaką przemeszcza sę fala śweta określao coraz dokładej. W chwl oecej podawaa w talcach fzkochemczch wartość prędkośc śwatła w próż (c m/s jest określaa jako wartość dokłada, czl e oarczoa łędem. Cz oece zaakceptowaa wartość jest węc wzaczoa z eograczoą dokładoścą? Oczwśce, że e, choć jedocześe osągęta dokładość jest a tle duża, że od 983 r. przjęta wartość prędkośc śwatła w próż staow podstawę defcj metra. W ejszm rozdzale przedstawoe zostaą podstawowe formacje zwązae z dokładoścam pomarowm, metodam ch wzaczaa aalz. Pomar Podstawowm celem ekspermetu aukowego, ezależe od tego cz przeprowadza go z dużą dokładoścą aukowec, stosując ardzo preczją skomplkowaa aparaturę, cz też studet w trakce zajęć laoratorjch jest dokoae pomaru welkośc fzczej, czl wzaczee jej wartośc (podae wartośc lczowej wraz z jedostką określee dokładośc z jaką pomar został wkoa. Wartośc różch welkośc uzskuje sę z pomarów ezpośredch ądź pośredch. W pomarze ezpośredm często odcztuje sę wk wprost ze wskazaa przrządu, przeważe

2 wskalowaego w jedostkach merzoej welkośc. Przrząd mogą ć różorode, a przkład wag, merk elektrcze, spektrometr, lczk cząstek promeowaa. Częstokroć użwae przrządów pomarowch wmaga stosowaa wzorców mar, jak p. odważk, pojemk marowe (cldr, ppet, przmar (ljka, suwmarka. Sposó wkoaa pomaru jest opart a określoej metodce, którą azwam metodą pomarową. Na przkład pomar prędkośc może ć opart a zjawsku Dopplera, a temperaturę moża merzć a podstawe zjawska termoelektrczego. Wśród metod pomarowch szczególe zaczee mają metod ezpośrede, oparte a prawach fzczch dającch sę wrazć przez podstawowe stałe (c, G, h, k, F, N A... podstawowe welkośc (długość l, czas t, masa m, temperatura T, prąd elektrcz I, śwatłość I v, lość sustacj. W pomarze pośredm wartość określoej welkośc jest ozaczaa a podstawe ezpośredch pomarów ch welkośc. Wk pomaru olcza sę użwając wzoru wążącego welkość ozaczaą welkośc merzoe. Na przkład gęstość sustacj olcza sę a podstawe zmerzoch wartośc mas ojętośc. Pomar pośred często azwa sę ozaczaem. Prezetacja wku pomaru Warto w tm momece zwrócć uwagę a prawdłow sposó prezetacj uzskaego wku pomarowego. Smole welkośc pszem czcoką pochłą (kurswą, róweż ch deks góre dole, jeżel są smolam welkośc. Natomast lcz jedostk, a także smole perwastków cząstek elemetarch, pszem czcoką prostą. Do elczch wjątków ależ smol ph. Welkośc maowae, prezetujem jako wartośc lczowe, wskazujące le raz zmerzoa wartość jest wększa od jedostk, wraz z podaem maa jedostk. Stosowae mogą ć różorode przelczk jedostek, choć ależ dążć do posługwaa sę jedoltm sstemem jedostek zwam układem SI (frac. Ssteme Iteratoal d Utes, wwodzącm sę jeszcze z czasów Welkej Rewolucj Fracuskej. Częstokroć jedak, tradcj w daej dzedze sposó prezetacj wków jest e tlko wmaga, ale ajardzej cztel. Np. wele metod spektroskopowch wkorzstuje odme sposó charakterzowaa fal elektromagetczej poczając od określaa częstośc fal radowch (ν/hz, lcz falowch fal w zakrese podczerwe (k/cm -, długośc fal w zakrese UV wdzalm (λ/m cz jedostek eerg promeowaa jozującego (E/eV. Z m przkładem możem sę spotkać prz podawau wku pomaru szkośc: v 7 km/h lu v m/s,

3 prz czm zaps w perwszej postac jest charakterstcz dla określaa szkośc samochodu, a drug szkośc watru. Spotkać możem róże sposo zapsu wku pomaru: v 7 km/h v 7 [km/h] v/(km/h 7 prz czm ostat z zaprezetowach sposoów, gd wartość welkośc jest wrażoa za pomocą wartośc lczowej (emaowaej oraz lorazu welkośc przez jedostkę, jest zaleca do opsu zestaweń taelarczch os współrzędch a wkresach. - - l( k/(l mol s T /( K 3, 3, 3,4 Rs. Zależość Arrheusa zależość logartmu stałej szkośc reakcj (l k od odwrotośc temperatur (T - - Na przkład aosząc wartość stałej szkośc reakcj k,368 l mol - s w temperaturze 3 o C a wkres lowej zależośc Arrheusa: l k la - E A /RT, ose współrzędch ależ opsać: l (k/(l mol - s - oraz 3 K/T (ewetuale kk/t lu T - /( -3 K - (ewetuale T - /kk -. Na wkrese otrzmam pukt o współrzędch: odcętej: T - /( -3 K - 3,987 oraz rzędej: l(k/( l mol - s - l,368 -,9997. Dokładość pomaru Dokładość metod adawczej charakterzuje zgodość otrzmwach wków, czl zmerzoej wartośc, z wartoścą prawdzwą, azwaą też wartoścą rzeczwstą. Wartość prawdzwa mogła zostać zmerzoa w wku pomaru ezłędego. W rzeczwstośc, jedm sposoem pozaa tej welkośc jest jej ocea (oszacowae, estmacja. Oceę tę uzskaą w wku pomaru azwa sę wartoścą umowe prawdzwą, wartoścą poprawą lu uzaą. Powa oa ć tak lska wartośc prawdzwej, a różca mędz m ła pomjale mała z puktu wdzea celu 3

4 wkorzstaa wartośc poprawej. W dalszej częśc ejszego rozdzału ędzem sę posługwal pojęcem wartośc prawdzwej jako główego celu pomaru ekspermetalego. Klka ważch czków wpłwa a poprawość estmacj, a do ajważejszch ależą łęd pomarowe. Przede wszstkm mogą to ć popełoe przez ekspermetatora ewdete łęd, tzw. łęd grue. Błęd grue pochodzą z pomłek ekspermetatora, ezauważoch przez ego esprawośc przrządów ewłaścwch waruków pomaru. Błęd grue pojawają sę, gd ekspermetator eprawdłowo odczta wskazaa przrządu, źle zaotuje lcz lu jedostk, poml sę w olczeach, wkorzsta ewłaścwe dae lteraturowe tp. Jedą z przcz łędów gruch u początkującch ekspermetatorów jest przesade zaufae do sprawego dzałaa przrządów estarae prowadzee otatek laoratorjch. Rażąco duże łęd grue dają sę łatwo wkrć usuąć. Drugą grupę staową łęd sstematcze. Błęd sstematcze pochodzą z esprawośc przrządów pomarowch, epoprawej ch kalracj (skalowaa, edetczośc waruków pomaru (temperatur, cśea, wlgotośc, zaslaa przrządu tp. z warukam kalracj przrządów, a także dwdualch cech ekspermetatora eścsłośc wzorów olczeowch. Tpowm przkładam źródeł takch łędów mogą ć p. późąc sę stoper lu łęd odczt wku z merka. Każd ekspermetator ma dwdual sposó wkowaa pomaru, p. odcztu wskazań przrządów, przez co wpłwa a powstae łędu sstematczego. Błąd sstematcz rzadko wa stał, czl ezależ od merzoej welkośc. Może ć złożoą fukcją welkośc. Błąd te e wka z estaraośc ekspermetatora, jak łąd gru, ale jest zależ od jego umejętośc maualch dośwadczea. Ocea wartośc łędów sstematczch wmaga aalz wszstkch czków aparaturowch osoowch wpłwającch a wk pomaru. Moża je w stot sposó ograczać wkoując pomar metodam porówawczm (różcowm, kompesacjm w stosuku do wzorców, o zach wartoścach poprawch. Najważejszą grupę staową jedak tzw. łęd przpadkowe. Charakterzują sę tm, że w ser pozore detczch powtórzeń pomaru tej samej wartośc merzoej łęd te mogą ć dodate, ujeme, a także małe duże. Powstają pod wpłwem welu czków, którch praktcze e daje sę przewdzeć. Przczą łędów przpadkowch są ewelke fluktuacje (wahaa wokół wartośc przecętej temperatur, cśea, wlgotośc ch parametrów zarówo w przrządach pomarowch ch częścach, jak w adach oektach, gdż prók użte do kolejch powtórzeń pomaru mogą meć 4

5 przpadkowo ezacze róże własośc fzcze chemcze. Róweż chwlowe zma przzwczajeń ekspermetatora, wkające awet z jego astroju, mogą ć przczą łędów przpadkowch. Błęd przpadkowe Δ podlegają prawom statstk matematczej dlatego wają także azwae łędam statstczm lu losowm. Kosekwecją przpadkowośc tch łędów jest możlwość ch opsaa, a także przewdwaa ch wartośc za pomocą aalz statstczej wków welokrote powtórzoch pomarów. O le azwa łąd pomarow, jest somem pomłk w przpadku łędów gruch sstematczch, o tle łąd przpadkow jest erozerwale zwąza z stotą pomaru ozacza emożlwą do ukęca epewość pomarową. Koeczm jest węc określee jedozaczch reguł pozwalającch tę welkość oszacować (estmować, podoe jak ma to mejsce w przpadku estmacj wartośc merzoej welkośc. Nepewośc pomarowe (łęd przpadkowe W dalszej częśc tego rozdzału zajmem sę aalzą przpadkowch epewośc pomarowch. Mają oe decdując wpłw a określee dokładośc preczj pomarów, a węc dokładośc ekspermetu aukowego. Pojęce dokładośc odos sę zarówo do wku pomaru wartośc zmerzoej, jak do przrządu lu metod pomarowej. Wartość zmerzoa jest dokłada, jeżel jest zgoda z wartoścą prawdzwą merzoej welkośc. Jest to oczwśce eosągal deał, poeważ wszstke zmerzoe wartośc są ardzej lu mej edokłade. Jedakże aalza łędów pomarowch może wkazać, że jede wartośc są dokładejsze od ch. Podoe charakterzujem przrząd metod pomarowe jako ardzej lu mej dokłade. Nektórm przrządom przpsuje sę umowe klas dokładośc. Na dokładość pomarową składają sę zarówo łęd przpadkowe jak sstematcze. Pojęce preczj jest zwązae z łędam przpadkowm odos sę zarówo do wartośc zmerzoch, jak do przrządów lu metod pomarowch. Preczja przrządu lu metod pomarowej zależ od pewej przecętej wartośc łędu przpadkowego, którm jest oarczo każd wk pomaru. Wk pomaru otrzma metodą ardzo preczją ma mał łąd przpadkow, zaś otrzma metodą mej preczją ma wększ łąd przpadkow. Błęd pomarów podaje sę jako ezwzględe lu względe. Błąd ezwzględ jest wartoścą ezwzględą różc wartośc zmerzoej wartośc prawdzwej, jest marą odchlea wku pomarowego od wartośc prawdzwej: 5

6 Δ m Błąd względ (przeważe wraża w procetach jest stosukem łędu ezwzględego do modułu wartośc merzoej: δ Δ/ Wk pomaru dowolej welkośc fzczej możem węc zaprezetować w postac: ± Δ ( ± δ Oszacowae epewośc pomarowch może ć zadaem skomplkowam trudm. W przpadku pomarów ezpośredch możlwe jest określee epewośc pomarowej jako zwązaej z ajmejszą podzałką skal przrządu wkorzstwaego w dam ekspermece. Możlwe jest uzskae wększej preczj prz dokoau lowej terpolacj, czl oce odcka mędz dzałkam skal. I tak p. ljką z ajmejszą podzałką mlmetrową możem dokoać pomaru z epewoścą ± mm, gd dspoujem taśmą merczą o podzałce cm, epewość pomarowa sęge tegoż właśe ± cm, cha że terpolacja długośc przpadającej medz podzałkam pozwol am zmejszć epewość do ±,5 cm lu awet do ±, cm. Ale awet w przpadku prostch pomarów ezpośredch dokładość przrządów pomarowch ekoecze mus w ezpośred sposó przeosć sę a wk pomaru. Przkładem może ć epewość zwązaa z określeem (zdefowaem początku końca merzoego oektu, cz zdefowaem początku końca ekspermetu prz pomarach czasu. W efekce dspoowae ardzo dokładm przrządem ekoecze zapewa określoą dokładość pomaru, p. w ręczm pomarze czasu egu sprterskego a m refleks dośwadczee oso dokoującej pomaru mają wększ wpłw a dokładość pomaru ż dokładość stopera. W takch przpadkach dopero welokrote powtórzee ekspermetu może ujawć rzeczwstą epewość pomarową. Mus zostać jedak zagwaratowa waruek, że za każdm razem merzm rzeczwśce tę samą welkość (p. koleje prók zawerają te same stężea sustratów prz pomarach stałej szkośc reakcj. Warto róweż zdać soe sprawę z faktu, ż welokrote powtarzae pomaru e ujawa łędów sstematczch, choć jest skuteczą metodą aalz przpadkowch epewośc pomarowch. Aalza statstcza epewośc pomarowch Dokoując welokrote pomaru dowolej welkośc fzczej spodzewam sę, że otrzmam zór wartośc merzoej welkośc. Choć w ser pomarów welkośc (,, 6

7 3... część wków może ulec powtórzeu, zór różącch sę wartośc pozwala am oceć zarówo wartość prawdzwą merzoej welkośc, jak epewość pomarową, a podstawe rozrzutu, rozproszea (waracj otrzmach wków. Najczęścej użwam przlżeem welkośc prawdzwej jest średa artmetcza wków z pró: Najczęścej użwaą marą epewośc pomarowej (marą rozproszea wków jest z kole waracja (S lu odchlee stadardowe z pró (S: S ( S ( Przkład lczow: olczae średej artmetczej odchlea stadardowego; pomarów dało astępujące wk:8,5; 9,; 9,;,;,4;,4;,6;,8;,3;,6 - ( - 8,5 -, 4,84 7,5 9, -,6,56 8,8 9, -,5,5 84,64, -,6,36,,4 -,3,9 8,6,4,7,49 9,96,6,9,8 34,56,8,, 39,4,3,6,56 5,9,6,9 3,6 58,76 7 ( ( 8,78 63,68 Uwaga: ( - 63,68 *(,7 8,78 Średa,7; odchlee stadardowe S (,4 7

8 Wk przedstawoe w tael wraźe pokazują, że średa artmetcza jest dorą mara welkośc przecętej, wokół której skupoe są otrzmae wartośc. Suma odchleń wartośc od średej, zgode z defcją średej artmetczej, wos zero. Część uzskach wartośc jest wększa ż średa, część mejsza. W rezultace odchlee średe e może ć wkorzstae jako mara rozproszea tch wartośc. Taką marę moża jedak uzskać lcząc sumę kwadratów tch odchleń ormalzując w zależośc od lcz aalzowach wartośc. Z tael wraźe jedak wdać, że przedzał ± S e oejmuje wszstkch przedstawoch w tael wartośc. Cz możem w takm raze uzać S za marę epewośc pomarowej? Rozkład ormal W celu uzskaa terpretacj odchlea stadardowego rozpatrzm ajważejsz (z puktu wdzea praktczch teoretczch zastosowań rozkład prawdopodoeństwa: rozkład ormal (zwa też rozkładem Gaussa. Fukcja gęstośc prawdopodoeństwa rozkładu ormalego posada postać: f ( m m, ( e π gdze m jest wartoścą oczekwaą (zwaą też wartoścą średą, a - odchleem stadardowm zmeej losowej podlegającej temu rozkładow. Jest oa zormalzowaa: + f ( d co ozacza, że prawdopodoeństwo zalezea w całm zakrese od - do + wos %, a pole powerzch pod wkresem fukcj wos. 8

9 ,8 f(,7,6,5 N(;,5,4,3 N(,, N(4,,, Rs. Fukcje gęstośc prawdopodoeństwa rozkładów ormalch N(m, o różch wartoścach średch (m odchleach stadardowch ( Jako, że rozkład ormal zależ tlko od tch dwóch parametrów wstarcz smolcz zaps N(m, do jego ozaczea. Perwsz z parametrów określa wartość średą rozkładu, wokół której jest o smetrcz, a drug szerokość rozkładu. Uwaga: pola powerzch pod zaprezetowam a rsuku 3 rozkładam woszą (waruek ormalzacj. Zajomość fukcj gęstośc prawdopodoeństwa pozwala określć prawdopodoeństwo zalezea zmeej losowej, podlegającej takemu rozkładow, w określom przedzale: P a < < } f ( d { m, a gdze f( d ozacza prawdopodoeństwo zalezea zmeej w przedzale od do + d. W praktce wgode jest korzstać ze stadardowego rozkładu ormalego N(,, którego fukcja gęstośc prawdopodoeństwa przjmuje postać: a dstruata F(: f ( u e π u F ( P{ u < } f ( u du została stalcowaa. 9

10 Podstawee u ( m/ pozwala dokoać zma zmech:, któr podlega rozkładow ormalemu N(m, a zmeą u, która podlega stadarzowaemu rozkładow ormalemu N(,. Korzstając z powższego podstawea dokoując zma grac całkowaa możem prawdopodoeństwo P{a < < } wrazć za pomocą wartośc dstruat, zalezoch w talcach dstruat rozkładu N(,: ( ( } { ( ( } {, (, π π m a F m F m u m a P du u f du e d e d f a P m m a m m a u a m a m < < < < Przkład do rsuku 3: : N(4, u: N(,; P{6 < < 8} P{ < u < }- pola zaceowae a rs ,,,,3,4 f( N(, N(4, Rs. 3 Normalzacja rozkładu ormalego N(4, do stadarzowaego rozkładu ormalego N(,. Zaceowae pole określa oszar rówego prawdopodoeństwa w ou rozkładach

11 W szczególośc prawdopodoeństwo uzskaa welkośc w zakrese ± od wartośc oczekwaej m wos: P{ m - < < m + },68 Załóżm, że wk ser pomarów ekspermetalch welkośc podlegają takemu właśe rozkładow ormalemu N(m,. Cągła fukcja rozkładu ozacza, że mógł o zostać osągęt w wku wkoaa eskończoej lośc pomarów welkośc fzczej, której prawdzwa wartość wos m, a pomar podlega wpłwow tlko łędów przpadkowch, czl oarczo jest określoą epewoścą pomarową. Jej marą jest. Cz rzeczwśce możem uzać taką terpretację za wargodą? Stosukowo łatwo jest zaakceptować fakt, że wkres (hstogram opsujące zor skończoe (o ograczoej lcze wartośc p. pomarów,, 3... ędą dążł wraz ze wzrostem lośc pomarów do wkresów graczch opswach fukcjam cągłm. /f( Rs. 4 Hstogram skończoego zoru wków z dopasowaą fukcją gęstośc prawdopodoeństwa rozkładu ormalego Trudej sę jedak pogodzć z faktem, że rozkład cągłe jede asmptotcze dążą do zera (czl w przpadku rozkładu ormalego fukcja gęstośc prawdopodoeństwa e osąga wartośc w całm przedzale od - do +. A to ozacza określoe prawdopodoeństwo uzskaa wku pomaru skraje odegającego od welkośc prawdzwej. Faktcze jedak fukcje gęstośc prawdopodoeństwa są fukcjam szko zeżm do zera a ogół, poza pewm wąskm przedzałem, prawdopodoeństwo otrzmaa wku staje sę zkomo małe.

12 W rezultace korzstae z fukcj gęstośc prawdopodoeństwa pozwala uzskać wgodą terpretację wków pomarów ekspermetalch epewośc z m zwązach. Moża owem wkazać, że ajlepszm estmatorem (oceą ezaego parametru wartośc oczekwaej m, a węc wartośc prawdzwej, jest średa artmetcza ser pomarów, a waracj zmeej losowej, kwadrat odchlea stadardowego z pró, S. Uzskujem w te sposó terpretację epewośc pomarowej, wrażoej za pomocą odchlea stadardowego z pró, S, jako 68% prawdopodoeństwo otrzmaa wku pomaru w przedzale ± S (lu 95% prawdopodoeństwo otrzmaa wku w przedzale ± S, tp. Rozkład średej artmetczej W powższm omóweu ograczlśm sę do rozkładu ormalego, choć w ektórch przpadkach ardzej odpowede do stosowach techk pomarowch mogą ć rozkład cągłe ego tpu (a fukcja gęstośc prawdopodoeństwa p. rozkład Possoa, rozkład logartmczo-ormal, rozkład χ. Zaczee rozkładu ormalego jego szeroke wkorzstae w aukach przrodczch wka z dzałaa cetralego twerdzea graczego mówącego, że suma dużej lcz zmech losowch ezależch ma asmptotcz rozkład ormal. Im słow jeżel wk pomaru arażo jest a wpłw welu źródeł ewelkch przpadkowch łędów, a łęd sstematcze są zaedwale, uzskwae wartośc ajlepej ędą opswae graczm rozkładem ormalm.

13 f( f( Rs. 5 Porówae rozkładu zmeej (wkres gór rozkładu średej (wkres dol. Na wkrese zaprezetowao odpowede hstogram fukcje gęstośc prawdopodoeństwa rozkładu ormalego. Pukt,.... reprezetują przkładow zór wków ser pomarów zmeej ; średa ser Zastaówm sę oece ad prostm ptaem o rozkład wartośc średej. Załóżm, że wk ser pomarów ekspermetalch podlegają rozkładow ormalemu N(m,. Dokoując ser pomarów oczekujem, że ch wk ułożą sę zgode z fukcją gęstośc prawdopodoeństwa daego rozkładu. Moża węc oczekwać, że ajwększa lcza wków skupoa ędze wokół wartośc oczekwaej m, choć zajdzem wśród ch wartośc mejsze wększe, oraz odegające mej lu ardzej od wartośc oczekwaej m. Jedakże lcząc wartość średą wków ser pomarowej możem spodzewać sę, że wartość ta ędze po perwsze odegać zacze mej od wartośc oczekwaej m, ż skraje wk pojedczch pomarów, a po druge tm ardzej ędze zlżoa do m, m węcej wków jest do tej wartośc zlżoch. Im węcej pomarów wkoam w celu polczea z ch wartośc średej tm jej odchlee od wartośc oczekwaej m powo ć mejsze. Jedocześe wkoując klkaaśce takch ser pomarowch e oczekujem, że polczoe wartośc średe ędą detcze, ale raczej, że podlegać ędą róweż rozkładow. Rozkład wartośc średej ędze oczwśce skupo wokół tej samej wartośc 3

14 oczekwaej m, co rozkład pojedczego pomaru, ale waracja wartośc średej ędze zacze mejsza. Moża wkazać, że jeżel podlega rozkładow ormalemu N(m,, to podlega rozkładow ormalemu N(m,. Co węcej, ezależe od rozkładu welkośc (może to ć rozkład opswa dowolą fukcją gęstośc prawdopodoeństwa, ze skończoą średą waracją, gracz rozkład średej artmetczej (dla dużej lośc pomarów, > 5 ędze rozkładem ormalm N(m,. Jest to kolej argumet podkreślając ważość rozkładu ormalego os azwę twerdzea Ldeerga-Lev ego. f( f( 8 5 Rs. 6 Rozkład średch f( uzskwach z ser, 8 lu 5 pomarów zmeej podlegającej rozkładow f( Podsumujm, jake wosk wkają z powższch rozważań. Po perwsze uzasadają oe wór średej jako wartośc poprawej, czl ajlepszego przlżea wartośc prawdzwej. Po druge, przlżee to jest tm dokładejsze (oarczoe mejszm łędem m wększa lcza pomarów została wkoaa. W graczm przpadku eskończoej lośc pomarów doszlśm do prawdzwej wartośc merzoej welkośc fzczej. W praktce trzea soe jedak zdawać sprawę z faktu, że asze wcześejsze założee o raku łędów sstematczch jest orazem wdealzowam. O le 4

15 zwększae lcz pomarów pozwala zmmalzować łęd przpadkowe, statstcze o tle e zmejsz łędów sstematczch ch wpłwu a łąd pomarow. Przedzał ufośc estmacja przedzałowa Oszacowae (estmacja ezaej wartośc merzoej welkośc fzczej za pomocą pojedczego parametru, p. poprzez wkorzstae wartośc średej artmetczej jako ajlepszego przlżea wartośc prawdzwej, azwae jest w statstce metodą estmacj puktowej. Pewą marą epewośc estmacj z wkorzstaem średej artmetczej może ć odchlee stadardowe z pró, S, choć jak już wspomelśm powżej rozkład średej e pokrwa sę z rozkładem merzoej welkośc. Wgode jest węc w oparcu o rozkład wartośc średej dokoać estmacj przedzałowej wartośc merzoej welkośc, p. metodą przedzałów ufośc stworzoą przez polskego matematka J. Nemaa. Estmacja przedzałowa dokouje szacuku w postac podaa przedzału wartośc, któr z dużm prawdopodoeństwem oejmuje wartość prawdzwą. Jeżel założm, że welkość podlega rozkładow ormalemu N(m, to średa artmetcza z - elemetowej ser pomarowej podlega rozkładow N(m, Dokoując podstawea. m u otrzmam dla u stadarzowa rozkład N(,. Załóżm, że dokoam estmacj przedzałowej welkośc u. Możem dokłade polczć z jakm prawdopodoeństwem welkość u leż w przedzale (-u α, u α : P{-u α < u < u α } F(u α - Możem róweż stuację odwrócć. Werając artrale prawdopodoeństwo, z którm chcem stworzć te przedzał zajdzem taką wartość u α (rs. 7, która speł asze wmagaa: P{-u α < u < u α } F(u α - -α co jest rówoważe przedzałow ufośc dla m: P{ - u α Kostrukcja przedzału ufośc: < m < +uα } -α : N(m, : N(m, m dla u u: N(, 5

16 P{ - u α < m < +uα } -α P{-u α < u < u α } F(u α - -α u m ( ± α dla wraego -α u α Przekształcea: P{-u α < u < u α } F(u α - -α u ( - m / P{-u α < P{- u α P{ - u α m < u α } -α / < m < u α < m < +u α } -α - ; (- } -α p. -α,95 u α,96 f( -α -u α Rs. 7 Sposó zajdwaa wartośc u α prz kostrukcj przedzałów ufośc u α W rezultace otrzmalśm przedzał ufośc, w którm wartość prawdzwa m jest zawarta z prawdopodoeństwem -α. u m ( ± α Welkość -α azwam współczkem ufośc, a stworzo dla wraego współczka przedzał azwam przedzałem ufośc. Wartość -α przjmuje sę suektwe, jako dowole duże, lske, prawdopodoeństwo. Jest oo marą zaufaa do prawdłowego szacuku. Najczęścej werae wartośc -α to,95 lu,99, a zalezoe dla ch wartośc u α woszą odpowedo,96,575. Zaletą estmacj przedzałowej w postac przedzałów ufośc jest preczje określee epewośc pomarowej poprzez wzaczee grac przedzału, w którm merzoa wartość prawdzwa jest zawarta z określom prawdopodoeństwem. Warto 6

17 zwrócć uwagę a fakt, że preczja estmacj przedzałowej zależ od dwóch czków: wraego współczka ufośc -α (wpłw a wartość u α lcz wkoach pomarów,. Wmagając wększego pozomu ufośc w wkoae ozaczee, przedzał ufośc ulega poszerzeu (wzrasta wartość u α. Moża jedak temu przecwdzałać zwększając lczę pomarów. W rezultace moża z gór zaplaować lczę pomarów ezędch do osągęca określoej preczj (zwaej często maksmalm łędem szacuku, d - rówm połowe wzaczoego przedzału: m ( ± d, gdze d u α stąd dla pożądaego d ależ wkoać co ajmej pomarów: uα > d Podkreślm jedak po raz kolej, że tego tpu dzałaa prowadzące do zwększea preczj pomarowej są skutecze jede w odeseu do łędów przpadkowch. Ne wspomelśm jedak do tej por jaką wartość wkorzstać we wzorze a przedzał ufośc. Możem soe worazć stuację, że waracja wków pomarowch jest zaa mmo, że przstępujem do pomaru ezaej welkośc. Tak może sę zdarzć jeżel dspoujem właścwe skalrowam układem pomarowm, p. poprzez wkoae podoch pomarów welkośc fzczch, którch wartość prawdzwa jest zaa. Tpowm przkładem może ć tutaj pracowa studecka. Z drugej zaś stro wkoując dużą lość pomarów ( > 5 estmacja puktowa, którą uzskujem za pomocą odchlea stadardowego S staje sę a tle preczja, że możem w mejsce wkorzstać wartość odchlea stadardowego z pró, S. Jeżel jedak zarówo wartość prawdzwa jak waracja welkośc : N(m,, pozostają ezae, a lcza pomarów jest róweż ograczoa ( < 5 kostrukcja przedzału ufośc mus zostać zmeoa. Okazuje sę, że welkość: m t S podlega rozkładow t Studeta; azwa rozkładu pochodz od pseudomu aukowego Studet agelskego matematka W. Gosseta, któr powższe twerdzee udowodł. Fukcję rozkładu gęstośc prawdopodoeństwa rozkładu t Studeta, w którm zwczajowo w mejsce zmeej stosuje sę smol t, przedstawa poższ wzór, w którm mam tlko jede ezależ parametr k, tzw. lczę stop swood: 7

18 f k + Γ( ( t k + kπ Γ( k / t + ( + k p gdze: k - lcza stop swood, Γ( p e d dla p> Fukcja gęstośc prawdopodoeństwa rozkładu t Studeta odega ezacze od fukcj rozkładu N(,, szczególe dla skch wartośc k; jest oa wolej zeża do zera ż rozkład ormal. Jedocześe gd rośe lcza stop swood różca medz ooma rozkładam szko zaka ; praktcze oa rozkład stają sę a tle zlżoe dla > 5, że odpowed przedzał ufośc może zostać skostruowa wg wcześej omówoej metod.,4, f(t f( N(,, -4-4 t/ Rs. 8 Porówae fukcj gęstośc prawdopodoeństwa rozkładu t-studeta (k 4 rozkładu ormalego N(, Korzstając z podstawea m t przedzał ufośc, skostruowa a S podstawe elemetowego zoru wków pomarów, o wartośc średej odchleu stadardowm S, moża przedstawć w astępując sposó: t m ( ± W zależośc od wraego artrale współczka ufośc -α parametr t α zajdujem z talc rozkładu t Studeta, zazwczaj skostruowach a odmeej zasadze ż talce dstruat: dla odpowedej wartośc -α lcz stop swood k - ezpośredo podae są wartośc t α. Podsumowując: α S 8

19 Wkoując pomarów,..., lcząc, S werając pozom ufośc -α (,95;,99.., przedzał ufośc dla średej tworzm wg wzorów podach w tael pożej: Taela. Przedzał ufośc Model I : N(m,, zae lu e zae, >5, S Model II : N(m,, e zae, <5 u m ( α tα S ± m ( ± Zajdowae u α : P{-u α < u < u α } F(u α - -α talce dstruat rozkładu ormalego Zajdowae t α : P{ t > t α } α talce wartośc t α dla różch k - α Zależość welkośc fzczch Zrozumee metodk pomaru welkośc fzczej, omówoej powżej, pozwala am przstąpć do odkrwaa podstawowch praw wążącch róże welkośc fzcze. Określo model fzcz adaego zjawska, popart odpowedm opsem matematczm (wzorem, pozwala zrozumeć aturę adach zjawsk. Dla ekspermetatora dokoującego owch odkrć aukowch cz szukającego potwerdzea teoretczch rozważań kluczowe jest przede wszstkm uzskae potwerdzea stea zależośc dwóch welkośc fzczch. Dośwadczee zaprojektowae w celu potwerdzea zalezea tego zwązku mędz dwema welkoścam fzczm mus polegać a pomarze ou tch welkośc rówocześe. Co węcej pomar tak e może sę ograczć tlko do otrzmaa pojedczej par wartośc ou welkośc, ale ezęde jest uzskae co ajmej klku takch puktów we współrzędch zmech. Najczęścej stosowaą metodą prowadzącą do tego celu jest take zaprojektowae ekspermetu, w którm jedej z tch welkośc (zwaej zmeą ezależą przporządkowae są wartośc drugej welkośc, zwaej zmeą zależą. Zwązek mędz dwema welkoścam może ć wzajem, zma jedej zmeej powodują zma drugej odwrote. Często jedak wraźe moża wróżć zmeą zależą ezależą, co uzasada wspoma model ekspermetu, w którm ekspermetator zmea jedą z welkośc, p. stężee sustacj merz zmaę wartośc drugej welkośc p. szkość reakcj. Gd udało sę zmerzć 9

20 oe te welkośc ezłęde, w szerokm zakrese zma jedej z ch, ezt skomplkowae dopasowae odpowedej fukcj matematczej pozwolło uzskać odpowed ops matematcz zjawska. Cz jedak fakt, że pomar ou welkośc oarczo jest epewoścą pomarową e powoduje takego utrudea tego zadaa, ż staje sę oo ewkoale? Na rsuku pożej przedstawoo przkład ekspermetu, w którm wraźe wdocza jest zależość zmeej od zma zmeej, zależość prawdopodoe lowa. Powstaje jedak ptae jak ajlepej tego tpu zależość lową arsować wśród porozrzucach a wkrese puktów ekspermetalch. 3 + e -^ 5 5 Rs. 9 Wkres puktow grafcza lustracja metod ajmejszch kwadratów Ustalee postac fukcj, która opsuje zależość mędz zmem azwam regresją. Z praktczego puktu wdzea ograczm sę w dalszej dskusj do regresj II rodzaju, czl lowej lu elowej fukcj f( zalezoej metodą ajmejszch kwadratów. Metoda ajmejszch kwadratów Omówm metodę ajmejszch kwadratów w oparcu o fukcję lową, po perwsze ze względu a jej przejrzstość, a po druge ważość zależośc lowch w aukach przrodczch. Załóżm, że steje prawdzwa lowa zależość welkośc od, którą możem zapsać w postac: β + β Estmacja puktowa ezach parametrów β β pozwala am zaleźć ajardzej optmale ch oszacowae, czl przedstawć poszukwaą zależość lową w postac: +

21 Metoda ajmejszch kwadratów polega a takm worze parametrów, a suma kwadratów reszt e (rs. 9 osągęła mmum. (. m ( ˆ e Q Ozacza to, że spośród możlwch do worażea prostch jake moglśm arsować a wkrese f(, werzem tę, dla której suma kwadratów odchleń puktów od prostej przjme wartość mmalą. Zwróćm uwagę, że Q jest fukcją dwóch zmech (wór różch wartośc, prowadz do otrzmaa dla daego zoru puktów o współrzędch (, różch wartośc Q. Stąd warukem koeczm zalezea mmum fukcj jest zerowae sę pochodch cząstkowch względem ou zmech (jest to zarazem waruek wstarczając. W rezultace otrzmujem układ dwóch rówań dwóch ewadomch: ( ( ( ( Q Q + + pozwalając wzaczć : ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Współczk oszą azwę współczków regresj lowej z pró. Najprostszą marą dokładośc wzaczea współczków regresj są tzw. łęd stadardowe:

22 S S S ( S S ( ( S S + ( ( resztkowe odchlee stadardowe łąd stadardow wsp. kerukowego łąd stadardow wrazu wolego Warto w tm mejscu podkreślć fakt, że metoda ajmejszch kwadratów pozwala zacze preczjej określć epewośc pomarowe p. za pomocą kostrukcj odpowedch przedzałów ufośc dla współczków regresj, dla samej krzwej, cz przedzałów toleracj pozwalającch odrzucać skraje pukt ekspermetale. Zateresowach odsłam do wrach pozcj lteratur. Warto róweż admeć, że wele popularch programów komputerowch, arkusz kalkulacjch w prost sposó pozwala te welkośc zaleźć ez wększego trudu. Przkład lczow: Olczae podstawowch parametrów charakterzującch lową zależość + ( - ( - ( - ( - ( ,57, ,74, ,857, ,43, ,86, ,49,837 Suma ,486 Średa 4 6 6/8,4; 6,4 4 7,43; S 5,486/ 5,4; r 6/ 8 34,98; S,4/ 8,; S,4 6 +,88; 7 8

23 Najczęścej wkorzstwam parametrem służącm ocee mar lowej zależośc dwóch welkośc jest współczk korelacj z pró: r ( ( ( ( Współczk korelacj z pró może przjmować wartośc z zakresu - r, prz czm m jego wartość jest lższa ± tm slejsze jest potwerdzee lowej zależośc zmech (+ wskazuje a zależość wprost proporcjoalą, a - odwrote proporcjoalą. Gd wartość współczka korelacj przjmuje wartość lską zeru o zmech mówm, że są eskorelowae. Prawdzwe pozostają stwerdzea: - zmee ezależe są eskorelowae (twerdzee odwrote e jest jedak prawdzwe, - zmee skorelowae są zależe. Warto jedak pamętać, że współczk korelacj z pró jest jede estmatorem współczka korelacj, dla którego powższe stwerdzea pozostają ezwzględe prawdzwe. Jak dla każdego estmatora wargodość szacuku tak uzskaa wzrasta wraz z lczą puktów pomarowch, stąd ależ zachować ostrożość w wkorzstau współczka korelacj z pró, jako argumetu a rzecz lu przecw korelacj adach zmech, a podstawe ezt lczch pró. Współczk korelacj z pró ese poadto dodatkowe eezpeczeństwa. Wele zależośc elowch może w ograczom przedzale ć dorze aproksmowaa zależoścam lowm, p. dla przedstawoej a rsuku zależośc potęgowej (D uzskujem dość wsok współczk korelacj. Im przkładem może ć pojawee sę korelacj dla zmech eskorelowach (A, gd wpłw a oe te zmee ma trzec czk (B, p. podczas, gd są eskorelowae, wspól czk z doprowadz do wsokej korelacj z od z. I tak p. wahaa temperatur w trakce ekspermetu wpłwające zarówo a zmeą jak mogą spowodować, że doszukam sę efzczej zależośc ou tch zmech. Kolejm przkładem łędej oce korelacj jest tzw. pozora korelacja (C. Choć w wąskch zakresach zmee pozostają eskorelowae, drastcza zmaa waruków ekspermetalch odmee lokuje wk ekspermetale a wkrese, w rezultace prowadząc do uzskaa wsokego współczka korelacj. Jest to przkład aalogcz do przkładu omówoego powżej (A, B, gd lżej eokreślo czk (ardzo często metodcz ądź aparaturow jest odpowedzal za przesuęce mędz oema grupam puktów. 3

24 A z B r,95 r,6 z C D,5 +5 r,98 r,99 Rs. Przkład łędego wkorzstaa współczka korelacj z pró jako mar zależośc lowej zmech W rezultace argumetacja a korzść wosku o steu zależośc zmech oparta a współczku korelacj z pró, powa ć wsparta logczą terpretacją fzczej stro tej zależośc, dodatkową aalzą współczka korelacj z pró ewetuale wkoaem dodatkowch pomarów. Metodę ajmejszch kwadratów moglśm aalogcze zastosować do welomaów wższego stopa ż perwsz. Przrówae do zera pochodch cząstkowch względem ezach parametrów prowadz do układu k rówań k ewadomch dla dowolego welomau k stopa. Częścej jedak wkorzstuje sę metod ajmejszch kwadratów w przpadku regresj welorakej, czl zależośc zmeej zależej od węcej ż jedej zmeej ezależej, co pozwala poszukwać ardzej złożoch zależośc. Metodka zajdwaa odpowedego układu rówań jest w tm przpadku rówe prosta jak dla welomau zapsaa w postac macerzowej dla z f(, wgląda astępująco: 4

25 z A + B + C z C B A z C B A z C B A z z z C B A Z Y X Rs. Regresja weloraka z A + B + C Pozwala oa określać zależość zmeej zależej od welu czków wrać spośród ch te, które mają domując wpłw a zmeość z. Rówe ważm zagadeem są metod regresj lowej stosowae do ważch z puktu wdzea auk przrodczch zależośc elowch, które mogą zostać sprowadzoe do zależośc lowch poprzez odpowede podstawee lu przekształcee. Np. stosukowo skomplkowaa ekspoecjala zależość stałej szkośc reakcj od temperatur, zaa pod azwą zależośc Arrheusa może w wku zlogartmowaa ou stro zostać sprowadzoa do zależośc lowej l k od /T: k A ep(-e A /RT l k l A - (E A /R (/T k/s - T/K regresja lowa regresja elowa 3, 3, 3,4 - l( /(l mol s k - - T /( K 5

26 Rs. Zależość Arrheusa porówae wków uzskach metodą regresj learzowaej (czerwoa la a wkresach w różch układach współrzędch regresj elowej (czara la Jeżel węc w mejsce zależośc k od T metoda ajmejszch kwadratów zostae zastosowaa do zależośc l k od /T, pozwol to zaleźć l A oraz E A /R, po prostch przekształceach współczk przedekspoecjal A eergę aktwacj E A. O le jedak dokładość metod ajmejszch kwadratów, p. w przpadku welomau, prowadz do ajlepszego oszacowaa ezach współczków, o tle metoda learzacj wprowadza dodatkowe łęd zwązae z charakterem zastosowaego podstawea lu przekształcea (rs.. Moża te łęd ograczć stosując fukcje regresj elowej z wkorzstaem wsoce sprawch ekoomczch metod mmalzacj fukcj metodam teracjm, jak powszeche oece metod Leveerga- Marquarda cz metoda Smple. Ich stosukowo łatwa dostępość powa skłaać do stosowaa regresj elowej w mejsce prostszej regresj elowej learzowaej. Dzałaa a lczach przlżoch Wartośc uzskae w wku dośwadczeń, oarczoe określom epewoścam pomarowm (łędam pomarowm, podlegają ardzo często dalszm przekształceom prowadzącm do ozaczea ch welkośc fzczch (wków pomarów pośredch, czl takch a które składają sę lcze pomar ezpośrede. W dzałaach a lczach przlżoch koecze jest stosowae odpowedch reguł służącch określau dokładośc wków pomarów pośredch ch zaokrąglau. Lcza cfr w rozwęcu dzesętm lcz, wku pomaru ezpośredego, ograczoa jest dokładoścą pomaru (klasą użwaego przrządu lu epewoścą pomarową. Zawarte w takm wku cfr możem podzelć a cfr zaczące, czl określające dokładość ozaczea zera służące do wzaczea pozcj dzesętch cfr zaczącch. Cfram zaczącm są węc wszstke cfr róże od zera, zera zawarte pomędz tm cfram oraz te zera a końcu lcz, którch zaczee wka z dokładośc pomaru, p. (cfr zaczące zazaczoe pogrueem:,34 ±,;,5 ±,; 567 ± 3; 789 ± 4 Prawdłowe przedstawee wku pomaru pośredego wmaga zajomośc epewośc pomarowch wków składającch sę a wk ostatecz reguł, wg której łęd wków składowch przeoszą sę a ostatecz wk pomaru. Woraźm soe 6

27 dowole przekształcee (fukcję łączącą wk pomaru pośredego, q, z wkem pomaru ezpośredego,, oarczoego epewoścą pomarową Δ. Na rsuku 3 wraźe wdocze jest przeesee łędu pomarowego a epewość ozaczea welkośc q. q ( p Δq [df( /d ] +C a Δ Rs. 3 Przeoszee łędów w zależoścach fukcjch q q( f( Δq q( + Δ - q( f( + Δ - f( Poeważ dla dostatecze małego przedzału u wokół dowolej wartośc zmeej, p. a f(+u-f( [df/d] a u, stąd: Δq q( + Δ - q( f( + Δ - f( [df/d] a Δ W celu prezetacj epewośc pomarowej jako lcz dodatej Δq, (odchlee wku pożej powżej określoej wartośc smolzuje zak ± wzór powższ powe ć zaprezetowa jako: Δq dq/d a Δ W przpadku, gd welkość q jest fukcją welu zmech otrzmam ogólą postać rachuku łędu maksmalego, czl przeoszea epewośc pomarowch w przekształceach matematczch: Δq q/ a Δ + q/ Δ q/ z w Δz Z powższej zależośc w prost sposó moża wprowadzć ogóle reguł przeoszea łędu w prostch dzałaach artmetczch p. - sum (aalogcz wzór dla różc: 7

28 q + Δq q/ Δ + q/ Δ Δq Δ + Δ Δ + Δ - loczu (aalogcz wzór dla lorazu: q Δq q/ Δ + q/ Δ Δ + Δ : q Δq q Δ + Δ Δ Δ + δ + δ Przkład lczow: 3,7 ±, 3,7( ±,6,43 ±,3 3,7( ±, q + 5,7 ±,5; q -,84 ±,5 q 4,676[ ± (,6 +,] 4,676( ±,7 4,676 ±,6 q /,87[ ± (,6 +,],87( ±,7,87 ±,6 W rachuku łędu maksmalego, zaprezetowam powżej, e jest raa pod uwagę wzajema zależość lu ezależość rozpatrwach welkośc ch epewośc. W przpadku welkośc zależch możem meć do czea z stuacją, w której welkośc te odegają jedocześe w tm samm keruku od welkośc poprawej, p. w górę w rezultace suma tch welkośc przjme wartość maksmalą. W przpadku welkośc ezależch moża spodzewać sę, że zawżee jedch welkośc ( + Δ może zostać częścowo zrekompesowae w wku zażea ch ( - Δ. W efekce epewość wku powa ć mejsza, ż przewdwaa w rachuku łędu maksmalego. I rzeczwśce, zakładając, że welkośc pozostają ezależe podlegają rozkładom ormalm, odpowedo : N(m, oraz : N(m, to welkość q + podlega rozkładow ormalemu q: N(m q, q, gdze m q m + m +. Traktując jako epewośc pomarowe Δ Δ możem porówać łąd sum uzska z rachuku łędu maksmalego: Δq Δ + Δ metod statstczch: Poeważ: Δ q Δ + Δ. q 8

29 Δ + Δ Δ stąd Δ Δ + Δ > Δ + Δ. W rezultace, zakładając ezależość epewośc pomarowch pomarów ezpośredch, ależ zmodfkować wzór wkając z rachuku łędu maksmalego. Nepewość pomarowa daa jest wzorem: q q Δq Δ + Δ + K + q Δ z ( ( ( z Należ jedak pamętać, że wszędze tam, gdze e mam pewośc odośe ezależośc zmech stosowae rachuku łędu maksmalego jest poprawejszą metodą ozaczaa łędu pomaru pośredego. Przkład: Olczć pojemość ceplą kalormetru wg wzoru K R t/dt gdze: - atężee prądu,75 ±,5A R - opór spral grzejej 45 ± Ω t - czas przepłwu prądu 6 ± s dt - przrost temperatur kalormetru ± K ΔK K/,75 Δ + K/ R 45 ΔR + K/ t 6 Δt + K/ (dt Δ( dt ΔK Rt/dT,75 Δ + t/dt 45 ΔR + R/dT 6 Δt Rt/(dT Δ( dt K 434,4 ± 43,5 prz czm łąd po uwzględeu metod statstczch ezależośc zmech wósł ± 55,6. Podsumowując: Rachuek łędu maksmalego 9

30 Nepewość wartośc fukcj jedej zmeej Δq dq/d Δ Nepewość wartośc fukcj welu zmech q(,,...z Δq q/ Δ + q/ Δ q/ z Δz Nepewość sum różc q + Δq Δ + Δ q - Δq Δ + Δ Nepewość loczu lorazu q δq δ + δ q / δq δ + δ Metod statstcze Nepewość wartośc fukcj welu zmech q(,,...z q q Δq K q z ( Δ + ( Δ + + ( Δz Wrae pozcje lteraturowe:. J. B. Czermńsk, A. Iwasewcz, Z. Paszek, A. Skorsk, Metod statstcze dla chemków, PWN, Warszawa 99.. J. Greń, Statstka matematcza, PWN, Warszawa J. Greń, Statstka matematcza. Modele zadaa, PWN, Warszawa J. R. Talor, Wstęp do aalz łędu pomarowego, PWN, Warszawa W. Kloeck, Statstka dla żerów, PWN, Warszawa W. Ufalsk, K. Mądr, Ecel dla chemków e tlko, WNT, Warszawa. 7. W. Kaczmarek, M. Kotłowska, A. Kozak, J. Kudńska, H. Szdłowsk, Teora pomarów, PWN, Warszawa S. Bradt, Metod statstcze olczeowe aalz dach, PWN, Warszawa M. A. Whte, Quatt Calculus: Uamguous Destgato of Uts Graphs ad Tales, J. Chem. Edu. 75, 67-9 (998. Podps pod rsukam 3

31 Rs. Zależość Arrheusa zależość logartmu stałej szkośc reakcj (l k od odwrotośc temperatur (T - Rs. Fukcje gęstośc prawdopodoeństwa rozkładów ormalch N(m, o różch wartoścach średch (m odchleach stadardowch ( Rs. 3 Normalzacja rozkładu ormalego N(4, do stadarzowaego rozkładu ormalego N(,. Zaceowae pole określa oszar rówego prawdopodoeństwa w ou rozkładach Rs. 4 Hstogram skończoego zoru wków z dopasowaą fukcją gęstośc prawdopodoeństwa rozkładu ormalego Rs. 5 Porówae rozkładu zmeej (wkres gór rozkładu średej (wkres dol. Na wkrese zaprezetowao odpowede hstogram fukcje gęstośc prawdopodoeństwa rozkładu ormalego. Pukt,.... reprezetują przkładow zór wków ser pomarów zmeej ; średa ser Rs. 6 Rozkład średch f( uzskwach z ser, 8 lu 5 pomarów zmeej podlegającej rozkładow f( Rs. 7 Sposó zajdwaa wartośc u α prz kostrukcj przedzałów ufośc Rs. 8 Porówae fukcj gęstośc prawdopodoeństwa rozkładu t-studeta (k 4 rozkładu ormalego N(, Rs. 9 Wkres puktow grafcza lustracja metod ajmejszch kwadratów Rs. Przkład łędego wkorzstaa współczka korelacj z pró jako mar zależośc lowej zmech Rs. Regresja weloraka z A + B + C Rs. Zależość Arrheusa porówae wków uzskach metodą regresj learzowaej (czerwoa la a wkresach w różch układach współrzędch regresj elowej (czara la Rs. 3 Przeoszee łędów w zależoścach fukcjch 3