Problemy i zadania na egzamin ustny dla klasy 3B:

Transkrypt

1 Prblemy i zadania na egzamin ustny dla klasy 3B: Zasady: Lsujesz dwa z pniżej zamieszcznych zadań. Masz 5 minut na przygtwanie zarysu dpwiedzi. Na dpwiedź ustną masz 10 minut. Swje rzwiązania prezentujesz na kartce lub na tablicy (d wybru). W pzstałym czasie mżesz nawiązać d zadań z części pisemnej i pprawić znalezine w nich błędy. Zadania: 1. Pdaj definicję wartści bezwzględnej liczby. Rzwiąż równanie 2 x x + x + 6 = Pdaj definicję wartści bezwzględnej liczby. Sprządź wykres funkcji y = x +1-2 ; x R 3. Pdaj definicję wartści bezwzględnej liczby. Sprządź wykres funkcji y = 2 x - x +1-2; x R 4. Pdaj definicję wartści bezwzględnej liczby. Rzwiąż nierównść x 3 + x Dany jest układ równań: 2 2 mx ( m+ 2) y = 3m ( m 1) x my= 3( m 1) a)wyznacz parametr m tak, aby ten układ był znaczny. b) Znajdź rzwiązanie układu dla m=1. Przedstaw ilustrację graficzną teg układu równań. 6. Dla jakich całkwitych wartści parametru p rzwiązanie układu ( p 1) px+ 2 y = 3p x + py= p jest parą liczb różnych znaków? 7. Dla jakich wartści parametru m rzwiązanie układu ( m+ 1) x my= 4 3x 5y = m x jest parą liczb (x,y) taką, że 1 y?

2 2 8. Rzwiązaniem nierównści kwadratwej x + bx+ c > 0jest przedział (-2, 4), Wyznacz współczynniki b i c. 9. Dla jakich wartści parametru m równanie (m - 1)x 2-2mx + m - 2 = 0 ma dwa różne, ujemne pierwiastki rzeczywiste? 10. Dla jakich wartści parametru m pierwiastki równania x 2 + mx + 4 = 0 spełniają warunek 2 2 x ( ) x2 = 2 x1 + x2 11. Funkcja f przyprządkwuje każdej liczbie rzeczywistej m liczbę rzwiązań równania: x 2 + mx + m = 0, m R. Naszkicuj wykres funkcji f. 12. Wyznacz pstać gólną funkcji kwadratwej takiej, że: wykres jej przechdzi przez punkt (-1,-10), dla x = 1 f(x) = 0 raz siąga największą wartść dla x =2, Udwdnij, że 2 jest liczbą niewymierną. 14. Pdaj interpretację gemetryczną rzwiązania układu dwóch równań liniwych z dwiema niewiadmymi. 15. Omów znane Ci metdy algebraiczne rzwiązywania układów dwóch równań pierwszeg stpnia z dwiema niewiadmymi. 16. Funkcja y= ax + b jest malejąca i jej miejscem zerwym jest liczba ujemna. Ustal znak wyrażenia a + b. 17. Dana jest pstać gólna trójmianu kwadratweg. Wyprwadź wzór na pstać kanniczna trójmianu kwadratweg. 18. Pdaj definicje liczby wymiernej. Zamień ułamek kreswy 3,2(8) na ułamek zwykły. 19. Wyknaj działania na przedziałach liczbwych: a) 2;3 ( 1; 3 )= b) 2;3 ) 1; 3 = c) 2;3 ) \ 1; 3) = 20. Pdaj definicje: sumy, ilczynu i różnicy zbirów, zilustruj przykładami. 21. Pdaj definicję zawierania się zbirów, zilustruj przykładami. 22. Uzasadnij, że wyrażenie n n dla każdeg n N jest liczbą pdzielną przez Pdaj definicję ptęgi wykładniku całkwitym. Pdaj twierdzenie dtyczące mnżenia i dzielenia ptęg jednakwych wykładnikach.

3 a) Oblicz, stsując przywłane twierdzenie: Przy jakich załżeniach dla każdeg n Nprawdziwa jest następująca nierównść: a n > a n+1? 25. Klumna demnstrantów prusza się p ulicy z prędkścią 3km/h. Mtcyklista jadący z prędkścią 15km/h ptrzebwał 2 minut na t, aby przejechać d pczątku d kńca klumny. Oblicz długść klumny demnstrantów Uzasadnij wzór ( a b) = a 3a b+ 3ab b. 27. Dany jest trójkąt równbczny bku a. Wyprwadź wzór na: a) wyskść, b) prmień kła pisaneg, c) prmień kła wpisaneg, d) ple. 28 Dla jakiej wartści parametru t funkcja y = 4t 2t(x +1) 3x, gdzie x R jest funkcją rsnącą. 29. Wykaż, że jest liczbą całkwitą. 30. Wyknaj działania, pamiętaj załżeniach: 2 x y y = x 2y x+ 2y 4y x 31. Pdaj definicję pierwiastka kwadratweg. Omów pznane własnści działań na pierwiastkach wraz z załżeniami. a) Uprść wyrażenie: Pdaj dwie liczby naturalne, między którymi na si liczbwej leży jeg wartść. 32. Uzasadnij cechy pdzielnści przez 3, 9 i Zdefiniuj NWD i NWW. Pdaj znane Ci własnści. 34. Omów Algrytm Euklidesa. Oblicz NWD(432;136), stsując algrytm Euklidesa. 35. Pdaj definicję funkcji. Pdaj przykłady przyprządkwań, które są funkcjami i przyprządkwań, które nie są funkcjami Przedstaw tw. Talesa załżenia, tezę i dwód. 37. Przedstaw tw. Pitagrasa załżenia, tezę i dwód. 38. Przedstaw tw. dwusiecznej kąta zewnętrzneg trójkąta.

4 39. Przedstaw tw. dcinku łączącym śrdki ramin w trapezie 40. Przedstaw tw. śrdkwych w trójkącie 41. Przedstaw tw stycznej d kręgu, tw, kątach w kręgu: wpisanym, śrdkwym i dpisanym. 42. Wymień i zdefiniuj pznane izmetryczne przekształcenia gemetryczne Omów składanie symetrii siwych rzpatrując różne przypadki wzajemneg płżenia si symetrii. 44. Omów wzajemne płżenie dwóch prstych w przestrzeni, sfrmułuj twierdzenie trzech prstpadłych Omów wzajemne płżenie dwóch płaszczyzn w przestrzeni. W jaki spsób mżna zmierzyć kąt między płaszczyznami? 44.2 Omów wzajemne płżenia prstej i płaszczyzny w przestrzeni. W jaki spsób mżna zmierzyć kąt między prstą i płaszczyzną? Pdaj warunek prstpadłści prstej d płaszczyzny. 45. Omów rzut równległy na płaszczyznę, pdaj przykład rzutu defrmująceg. 46. Zdefiniuj znane Ci prprcje trygnmetryczne w trójkącie prstkątnym. Uzasadnij, że dla każdeg 0 < α < 90 zachdzą równści: csα a) = tg α i = ctg α csα b) sin( 90 α) = csα i cs( 90 α) = c) tg( 90 α) = ctgα i ctg(90 α) = tgα 47. Udwdnij jedynkę trygnmetryczną. Sprawdź prawdziwść tżsamści: 1 = ctgα dla α ( 0 ; ) 1+ csα Oblicz wartści funkcji trygnmetrycznych kątów 30 0, 60 0 i Rzwiąż równanie a(x 1) = 2(a x) 1 jeżeli a = - tg 60 0 ctg (sin 60 0 ) Krzystając z wykresu funkcji sinus rzwiąż równanie dla x (-90, 90 ): = Wyznacz kąty trójkąta prstkątneg, wiedząc, że ilraz sinusa i tangensa jedneg z kątów strych teg trójkąta jest równy ½. 51. Rzucamy dwiema kstkami. Czy bardziej prawdpdbne jest trzymanie parzystej, czy nieparzystej sumy czek na bu kstkach? 52. W wreczku jest pięć kul pnumerwanych liczbami: 0, 1, 2, 3, 4. Lsujemy ze zwracaniem dwie kule. Liczbe z pierwszej kuli mnżymy przez 10 i ddajemy d teg ilczynu liczbę z drugiej kuli. Ile liczb dwucyfrwych mżemy w ten spsób trzymać?

5 Oblicz prawdpdbieństw, że a) trzymana liczba jest większa d 40, b) trzymana liczba jest pdzielna przez 5, c) każda cyfra trzymanej liczby jest inna. 53. W wreczku jest pięć kul pnumerwanych liczbami: 0, 1, 2, 3, 4. Lsujemy bez zwracania dwie kule. Liczbę z pierwszej kuli mnżymy przez 10 i ddajemy d teg ilczynu liczbę z drugiej kuli. Ile liczb dwucyfrwych mżemy w ten spsób trzymać? Oblicz prawdpdbieństw, że d) trzymana liczba jest większa d 40, e) trzymana liczba jest pdzielna przez 5, f) każda cyfra trzymanej liczby jest inna. 54. Na ile spsbów mżna ustawić w szeregu 14 uczniów? 55. Ile liczb pięcicyfrwych mżna trzymać wykrzystując trzy cyfry:1, 2, W wreczku są dwie kule: biała i jedna czerwna. Zaprpnwan ci udział w następującej grze. Z wreczka lsuje się dwa razy bez zwracania kulę. Jeżeli bydwie wylswane kule będą teg sameg klru, t ty wygrywasz, jeśli nie wygrywa twój przeciwnik. Kt ma większą szansę wygrać ty czy twój przeciwnik? 57. W wreczku są dwie kule: białe i dwie czerwne. Zaprpnwan ci udział w następującej grze. Z wreczka lsuje się dwa razy bez zwracania kulę. Jeżeli bydwie wylswane kule będą teg sameg klru, t ty wygrywasz, jeśli nie - wygrywa twój przeciwnik. Kt ma większą szansę wygrać ty czy twój przeciwnik? 58. Pdaj klasyczną definicję prawdpdbieństwa. Oblicz prawdpdbieństw trzymania przynajmniej jedneg rła przy dwukrtnym rzucie mnetą. 59. Używając symblu Newtna, ( a + b) 7 przedstaw w pstaci sumy. 60. Pdaj definicję symblu Newtna. Oblicz: 5 a) = 3 8 b) = Pdaj definicję symblu Newtna, Uzasadnij własnści: a) = = 1 0 n n b) = = n 1 n 1 n c) = k n k 62. Pdaj definicję przystawania mdul n. Udwdnij twierdzenia, że kngruencje mżna mnżyć i ptęgwać strnami raz ddawać strnami. 63. Pdaj definicję przystawania mdul n. Oblicz, stsując kngruencje, resztę z dzielenia przez 7 liczby ( k+ kn) 2, jeżeli wiadm, że reszta z dzielenia przez 7 liczby k wynsi 1, a liczba n daje przy dzieleniu przez 7 liczbę 2.

6 64. Ile dzielników ma liczba 136?