FIZYKA 2. Janusz Andrzejewski

Transkrypt

1 FIZYKA wykład 7 Janusz Andrzejewski

2 Niedoceniany geniusz Nikola Tesla Nikola Tesla wynalazł (lub znakomicie ulepszył) większość urządzeń, które spowodowały to, że prąd zmienny wyparł z naszych domów prąd stały (lansowany przez Edisona). Wymienić tu można: prąd wielofazowy, silniki i prądnice, transformatory, obracające się pole magnetyczne... Łącznie uzyskał około 700 patentów, w tym na radio (na kilka lat przed Marconim!). Janusz Andrzejewski

3 Obwód LC Q E c Energia kondensatora C E c LI Energia cewki Janusz Andrzejewski 3

4 Obwód LC a) Kondensator naładowany ładunkiem Q 0, prąd w obwodzie nie płynie b) Kondensator zaczyna się rozładowywać. W obwodzie zaczyna płynąć prąd IdQ/dt. W miarę jak maleje ładunek na kondensatorze maleje też energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora, a rośnie energia pola magnetycznego, które pojawia się w cewce w miarę narastania w niej prądu. c) Na kondensatorze ładunek wynosi zero. Pomimo, że kondensator jest całkowicie rozładowany prąd dalej płynie w obwodzie (w tym samym kierunku). Jego źródłem jest SEM samoindukcji powstająca w cewce, która podtrzymuje słabnący prąd. d) Prąd powstający w cewce ładuje kondensator przeciwnie. Energia przekazywana jest z powrotem do kondensatora e) Ładunek na kondensatorze osiąga maksimum i prąd w obwodzie zanika. Sytuacja powtarza się, tylko teraz prąd rozładowania kondensatora będzie płynął w przeciwnym kierunku. Mamy więc do czynienia z oscylacjami (drganiami) ładunku (prądu). Zmienia się zarówno wartość jak i znak (kierunek) ładunku na kondensatorze Janusz Andrzejewski i prądu w obwodzie. 4

5 Obwód LC Prawo Kirchoffa U L U 0 + C di U L L UC dt Q C Ponieważ, IdQ/dt, otrzymujemy: L d Q dt Q C Przypomnienie: ma d x kx > m dt kx x( t) Acos( ω t + α) ω k m Janusz Andrzejewski 5

6 Obwód LC Korzystając z analogii, mamy: Q( t) Q0 cos( ω t) ω 1 LC dq I( t) Q ω sin( ω t) I0sin( ωt) I0 Q0 dt Napięcia na kondensatorze oraz cewce: 0 ω U C Q C Q C cos( ω ) 0 t U L L di dt LI 0 ω cos( ωt) Widać, że napięcia maksymalne na kondensatorze i cewce są takie same: 1 Q0 LI0ω L( Q0ω) ω LQ0ω LQ0 LC C Janusz Andrzejewski 6

7 Obwód LC -podsumowanie Z powyższych wzorów wynika, że w obwodzie LC ładunek na kondensatorze, natężenie prądu i napięcie zmieniają się sinusoidalnie tak jak dla drgań harmonicznych. między napięciem i natężeniem prądu istnieje różnica faz, równa π/ Podsumowując: w obwodzie LC obserwujemy oscylacje (drgania) pola elektrycznego w kondensatorze i pola magnetycznego w cewce. Mówimy, że w obwodzie LC obserwujemy drgania elektromagnetyczne, a sam obwód LC nazywamy obwodem drgającym. Janusz Andrzejewski 7

8 Obwód RLC Obwód zasilany napięciem U(t)U 0 sinωt Prawo Kirchoffa dla oczka: L di dt + RI + Q C U 0 sin ω t Różniczkując obustronnie po t mamy: L d I dt + R di dt + I C ωu 0 cosωt Janusz Andrzejewski 8

9 Obwód RLC d I dt + R L di dt + I CL ωu L 0 cosωt Przypomnienie: β 1 τ β- współczynnik tłumienia τ-stała czasowa Janusz Andrzejewski 9

10 Obwód RLC Rozwiązaniem jest: I I sin( ω t + ) 1 ωl tgφ ωc R U 0 φ I 0 R U 0 + ωl 1 ωc Wyrażenie na amplitudę prądu I 0 przypomina postać prawa Ohma: I U Z Z 1 R + ωl ωc Wielkość Z nazywamy zawadą obwodu. Janusz Andrzejewski 10

11 Obwód RLC Zauważmy, że gdy obwód zawiera tylko kondensator i źródło sinusoidalnie zmiennego napięcia to zawada jest równa Tę wielkość nazywamy opornością pojemnościową lub reaktancją pojemnościową. W takim obwodzie różnica faz pomiędzy napięciem i natężeniem prądu wynosi π/. Prąd "wyprzedza" napięcie na kondensatorze o π/. Natomiast gdyby obwód zawiera tylko cewkę i źródło napięcia sinusoidalnie zmiennego to zawada jest równa Tę wielkość nazywamy opornością indukcyjną lub reaktancją indukcyjną. Ponownie między napięciem i natężeniem prądu istnieje różnica faz, równa π/, ale teraz prąd "pozostaje" za napięciem na cewce o π/. Janusz Andrzejewski 11

12 Rezonans Drgania ładunku, prądu i napięcia w obwodzie odbywają się z częstością zasilania ω (częstością wymuszającą). Analogicznie jak dla mechanicznych drgań wymuszonych amplituda tych drgań zależy od ω i osiąga maksimum dla pewnej charakterystycznej wartości tej częstości. Przypomnijmy, że zjawisko to nazywamy rezonansem. U 0 I0 1 R + ω L ωc Dla małego oporu R czyli dla małego tłumienia warunek rezonansu jest spełniony gdy gdzie ω 0 jest częstością drgań nietłumionych (drgania w obwodzie LC). Natężenie prądu osiąga wtedy wartość maksymalną równą Janusz Andrzejewski 1

13 Rezonans Janusz Andrzejewski 13

14 Rezonans w obwodzie RLC Janusz Andrzejewski 14

15 Zastosowanie: Janusz Andrzejewski 15

16 Moc prądu zmiennego w obwodzie RLC P ( t) U ( t) I( t) Dla obwodu RLC, otrzymamy: P t) U I sinω t sin( ωt + ) ( 0 0 φ Korzystając ze wzoru na sinus różnicy kątów otrzymujemy ( sinωt cosφ cosω sinφ) P t) U I sinωt ( 0 0 t U Gdzie wykorzystano ponadto wzór: Moc średnia jest więc dana wyrażeniem ( ) 1 sin ωt cosφ sin ω sinφ sinα cosα sin( 0I0 t 1 α ( sin ω cosφ sin ω sinφ) 1 t P( t) U I0 0 t ) Janusz Andrzejewski 16

17 Moc prądu cd. ω ω Ponieważ sin t + cos t 1 to 1 sin ωt cos ωt (wykresy sinus i cosinus są takie same, jedynie przesunięte o π/). Ponadto sin ωt 0bo funkcja sinus jest na przemian dodatnia i ujemna, więc U I 0 0 P cosφ Średnia moc prądu w obwodzie RLC zależy od przesunięcia fazowegopomiędzy napięciem i prądem. Janusz Andrzejewski 17

18 Prąd zmienny To co my zwyczajowo nazywamy prądem zmiennym inżynierowie nazywają przemiennym... Janusz Andrzejewski 18

19 Moc prądu zmiennego Przy założeniu, że U ( t) U 0 sinωt I( t) I0 sinωt U 0 -U 0 Moc średnia w czasie każdego okresu wynosi P 1 T 1 T U 0I0 U 0I0 sin ωtdt U 0I0 sin ωtdt T 0 T 0 U 0 I 0 Janusz Andrzejewski 19

20 Moc prądu zmiennego Trochę matmy: Dla prądu zmiennego wprowadza się pojęcie napięcia skutecznego i prądu skutecznego. Jest to napięcie (lub prąd) stałe, które wydzieliło by na obciążeniu taką samą moc jak prąd zmienny. P U U 0 I I U I 0 sk sk sk sk Janusz Andrzejewski 0

21 Krótka historia odkrycia fali elektromagnetycznej Clerk Maxwell (1867): i wzajemnie zmienne pole elektryczne wytwarza pole magnetyczne. Może będzie z tego fala... Hermann Ludwig von Helmholtz(ok. 1884?): fale rozchodzą się? Może pan to sprawdzi, panie Hertz? Heinrich Hertz (1889): Rozchodzą się!!!... Janusz Andrzejewski 1

22 Równania Maxwella bez źródeł Przyjmujemy, że w przestrzeni nie ma ładunków ani prądów. Prawa Maxwella przyjmują wtedy postać: Janusz Andrzejewski

23 Równania Maxwella oraz falę nasze równania są spełnione przez falę elektromagnetyczną rozchodzącą się w kierunku x o następującej konfiguracji: Janusz Andrzejewski 3

24 Równania Maxwella i fala Zastosujemy prawo indukcji Faradaya do przedstawionego na rysunku wąskiego prostokąta znajdującego się w płaszczyźnie xy. Janusz Andrzejewski 4

25 Równania Maxwella i fala Podobnie zastosujemy prawo indukcji Maxwella do przedstawionego na rysunku wąskiego prostokąta znajdującego się w płaszczyźnie xz. Janusz Andrzejewski 5

26 Równania Maxwella i fala Do pierwszego z otrzymanych równań wstawimy równania opisujące postulowaną przez nas postać fali Stosunek amplitudy pola elektrycznego do amplitudy pola elektrycznego jest równy prędkości fali. Janusz Andrzejewski 6

27 Równania Maxwella i fala Podobnie z drugim równaniem. Prędkość fali elektromagnetycznej jest stała!!! Janusz Andrzejewski 7

28 Fale w ośrodkach materialnych W podobny sposób można wyprowadzi wzór, określający prędkość v fali elektromagnetycznej w ośrodku materialnym o stałej dielektrycznej ε r i względnej przenikalności magnetycznej μ r : v 1 ε ε µ ε 0 r 0µ r µ Biorąc pod uwagę, że dla większości ośrodków, za wyjątkiem ferromagnetycznych, μ r 1, otrzymujemy związek v 1 ε µ ε 0 0 r Ponieważ stała dielektryczna dowolnego ośrodka materialnego ε r > 1, prędkość fali elektromagnetycznej w ośrodku materialnym jest mniejsza od prędkości fali w próżni, v < c. Wynik ten jest zgodny z doświadczeniem. c ε r Janusz Andrzejewski 8

29 Sprawdzenie prawa Gaussa Ponieważ w przeciwległych punktach ścianek 1 i natężenie pola E ma jednakow wartoś i E ΔS a przez pozostałe ścianki nie przepływa zaden strumień, z prawa Gaussa otrzymujemy: Dla fali elektromagnetycznej musi więc zachodzi relacja E prostopadłe do c. W analogiczny sposób, korzystając z prawa Gaussa dla pola magnetycznego można pokazać, ze dla fali elektromagnetycznej musi zachodzić relacja B prostopadle do c Janusz Andrzejewski 9

30 Widmo fal elektromagnetycznych Janusz Andrzejewski 30

31 Widmo fal elektromagnetycznych Janusz Andrzejewski 31

32 Własności fal -fale radiowe f30khz - kilkaghz λ10km kilka cm Janusz Andrzejewski 3

33 Własności fal -mikrofale λ Janusz Andrzejewski 33

34 Własności fal -podczerwień λ Janusz Andrzejewski 34

35 Własności fal -światło Światło widzialne λ800nm - 400nm Janusz Andrzejewski 35

36 Własności fal -ultrafiolet λ Janusz Andrzejewski 36

37 Własności fal promienie X λ Janusz Andrzejewski 37

38 Własności fal promienie γ λ Janusz Andrzejewski 38