Transformacja Lorentza - Wyprowadzenie

Transkrypt

1 Transformacja Lorentza - Wyprowadzenie Rozważmy obserwatorów zwiazanych z różnymi inercjalnymi uk ladami odniesienia, S i S. Odpowiednie osie uk ladów S i S sa równoleg le, przy czym uk lad S porusza sie wzgledem S z predkości a V równoleg l a do osi x(x ) a poczatki uk ladów w chwili t = t = 0 pokrywaja sie. Każdy z obserwatorów S i S rejestruje to samo zdarzenie i przypisuje mu wspó lrzedne przestrzenne i czasowe, mianowicie x, y, z, t oraz x, y, z, t. W fizyce nierelatywistycznej zwiazek miedzy tymi wspó lrzednymi dany jest poprzez transformacje Galileusza: x = x V t, y = y, z = z, t = t Różniczkujac po czasie powyższe zwiazki ( = ) otrzymamy relacje pomiedzy predkościami v x = v x V, v y = v y, v z = v z Jeśli predkość świat la w uk ladzie S ma wartość c to na podstawie transformacji Galileusza, predkość świat la w uk ladzie S jest inna i ma wartość c V. Jest to niezgodne z doświadczeniem. Poszukajmy uogólnionych transformacji pomiedzy wsó lrzednymi zachowujacych ι wartość predkości świat la. W ogólnym przypadku chcemy aby to by ly transformacje liniowe, ponieważ jedynie takie transformacje umożliwiaja spe lnienie pierwszej zasady dynamiki Newtona. A wiec szukamy transformacji w postaci: x = ax + bt () x = a x + b t (2) spe lniajacych akcjomat Einsteina mówiacy o tym, że predkość świat la c jest taka sama we wszystkich uk ladach inercjalnych. Musimy teraz wyznaczyć wartości sta lych a, b, a, b. Poczatek uk ladu S (x = 0) w uk ladzie S porusza sie ze sta l a predkości a V, zatem: 0 = ax + bt bt = ax b = a x t = av Podstawiajac powyższe wyrażenie na b do równania ( 2) otrzymujemy: x = a(x V t) (3) Transformacje odwrotna otrzymamy pamietaj ac o tym, że uk lad S porusza sie wzgledem S z predkości a V, zatem x = a (x + V t ) (4) Z symetrii pomiedzy uk ladami S i S wynika, że musi zachodzić zwiazek a = a. Rozpatrzmy teraz ruch sygna lu świetlnego wys lanego w chwili t = t = 0 kiedy x = x = 0. Sygna l rozchodzi sie w obu uk ladach z predkości a c, a wiec: x = ct (5) Podstawmy teraz wyrażenia na x i x z równań (5) i (6) do równanń (3) i (4): Mnożac te równania stronami otrzymamy: x = ct (6) ct = a(ct V t) (7) ct = a(ct + V t ) (8) c 2 tt = a 2 tt (c 2 V 2 ) c 2 = a 2 (c 2 V 2 )

2 i ostatecznie: a 2 = c 2 c 2 V 2 = V 2 c 2 a = γ(v ) (9) V 2 c 2 Ostatecznie otrzymujemy wi ec wyrażenia na transformacje wspó lrz ednych x i x : x = x V t V 2 /c 2 w przód oraz x = x + V t V 2 /c 2 w ty l Ponieważ uk lady S i S poruszaja sie wzgledem siebie wzd luż osi x(x ) wiec transformacje pozosta lych wspó lrzednych przestrzennych, podobnie jak w przypadku transformacji Galileusza, maja postać: (0) y = y y = y () z = z z = z (2) Aby otrzymać transformacje dla wspó lrz ednej czasowej, wyznaczynmy z równania (8) t : Podstawiajac za x z równania (7) dostajemy: t = x av x V t = at + x( a2 ) av I ostatecznie podstawiajac za a znajdujemy wyrażenia na transformacje wspó lrzednej czasowej: t = t V x/c2 V 2 /c 2 w przód oraz t = t + V x /c 2 V 2 /c 2 w ty l (3) (4) (5) Röwnania (0),(),(2) i (5) tworza zbiór transformacji Lorentza pomiedzy inercjalnymi uk ladami odniesienia S i S. Transformacja Lorentza - Zastosowanie Samolot startuje z zegarem atomowym na pok ladzie, który zosta l zsynchronizowany w momencie startu z zegarem spoczywajacym w miejscu startu. Po krótkim czasie przyspieszenia, który zaniedbujemy, samolot leci ze sta la predkości a v = 0.9c. Niech pozostajacy w miejscu startu obserwator znajduje sie w inercjalnym uk ladzie odniesienia O, natomiast pilot znajduje sie w uk ladzie O zwiaznym z samolotem. Przy pomocy tranformacji Lorentz a odpowiedz na nastepuj ace pytania: a) Obserwator wysy la w chwili t = ms sygna l (zdarzenie ). W jakim po lożeniu x 0 w uk ladzie O znajduje si e wtedy samolot? b) Jaki czas t i po lożenie x przypisze zdarzeniu pilot w uk ladzie O? c) W chwili t 2 = t pilot nada odpowiedź (zdarzenie 2). Jaki czas t 2 i po lożenie x 2 przypisze zdarzeniu 2 obserwator w uk ladzie O? d) W tej samej chwili t 2 = t samolot l aduje. Ile trwa l lot i jaka odleg lość przeby l samolot dla pilota i obserwatora?

3 Rozwiazanie a) Wzgledem obserwatora samolot porusza sie ze sta la predkości a v, wiec w chwili t znajdowa l sie w po lożeniu x 0 = vt = 270 km b) Znajac wspó lrzedne zdarzenia w uk ladzie O (x, t ) możemy podać jego wspó lrzedne w uk ladzie O przy użyciu transformacji Lorentz a. x = γ(x vt ), t = γ(t vx c 2 ) gdzie γ = ( ( v c )2 ) /2 = 2.29 W uk ladzie O zdarzenie mia lo miejsce w x = 0 i czasie t, zatem x = γvt = 69 km t = γt = 2.29 ms c) Zdarzenie 2 nastepuje w uk ladzie O w chwili t 2 = t i w miejscu x 2 = 0. To samo zdrzenie w uk ladzie O nastapi w chwili t 2 i w po lożeniu x 2, które obliczymy przy użyciu odwrotnej transformacji Lorentz a x 2 = γ(x 2 + vt 2 ), t 2 = γ(t 2 + vx 2 c 2 ) x 2 = γvt 2 = γ 2 vt = 42 km t 2 = γt 2 = γ 2 t = 5.26 ms d) Dla pilota czas trwania lotu wynosi l t 2 = 2.29 ms natomiast dla obserwatora t 2 = 5.26 ms. Dla pilota czas trwania lotu jest czasem w lasnym (bo start i ladowanie w uk ladzie O mia lo miejsce w tym samym miejscu). Mamy tu do czynienia ze zjawiskiem wyd lużenia (dylatacji) czasu. Pilot stwierdzi l, że przeby l odleg lość x = 69 km bo dla niego w chwili l adowania miejsce startu znajdowa lo sie w odleg lości x a sam znajduje sie w po lożeniu x 2 = 0. Obserwator stwierdzi l, że samolot przeby l odleg lość x 2 = 42 km. Dla obserwatora odleg lość od startu do ladowania jest d lugościa w lasna, gdyż powierzchnia ziemi w uk ladzie O spoczywa. Mamy tu do czynienia ze zjawiskiem skrócenia (kontrakcji) d lugości. Nie oznacza to, że czas w uk ladzie O p lynie wolniej niż w uk ladzie O. Szczególna teoria wzgledności mówi jedynie że czas w lasny czyli odleg lość czasowa dwóch zdarzeń które maja miejsce w tym samym miejscu w pewnym uk ladzie inercjalnym jest krótszy niż odleg lość czasowa tych samych zdarzeń widziana w uk ladzie który porusza sie wzgledem niego. Zwróćmy uwage że czas od startu do wys lania sygna lu w chwili t przez obserwatora ( ms) jest krótszy niż odleg lość czasowa t tych samych zdarzeń widzianych przez pilota (2.26 ms). Szczególna teoria wzgledności nie wyróżnia tutaj żadnego inercjalnego uk ladu odniesienia. Pr edkość relatywistyczna W akceleratorze czastek przyspieszono elektron (o masie m e i ladunku e o zaniedbywalnie ma lej predkości poczatkowej poprzez przejście przez obszar o różnicy potencja lów U. Energia kinetyczna elektronu wzros la o eu. Oblicz jaka jest końcowa predkość elektronu liczona klasycznie i relatywistycznie dla dwóch różnych napieć U = kv oraz U 2 = 0MV.

4 Rozwiazanie Energia kinetyczna w mechanice klasycznej dana jest wzorem a pr edkość klasyczna E k = m ev 2 k 2 eu = m ev 2 k 2 v k = 2eU m e W mechanice relatywistycznej energia kinetyczna jest różnica energii ca lkowitej (mc 2 ) i energii spoczynkowej (m e c 2 ) E k = mc 2 m e c 2 gdzie masa relatywistyczna m zależy od pr edkości m = γm e, γ = ( vr c )2 eu = m e c 2 ( vr c )2 m ec 2 Z tego równania obliczymy predkość relatywistyczna elektronu. eu = + ( vr c )2 m e c 2 ( v r c )2 = v r = c Dla różnicy potencja lów U = kv otrzymamy klasycznie v k = 8800 km/s relatywistycznie v r = 8800 km/s ( + eu m ec 2 ) 2 ( + eu m ec 2 ) 2 Dla takich energii efekty relatywistyczne sa zaniedbywalnie ma le. Dla różnicy potencja lów U 2 = 0 MV otrzymamy klasycznie v k = km/s = 6.25c relatywistycznie v r = km/s = 0.999c W rachunkach klasycznych pr edkość elektronu by laby wielokrotnie wi eksza niż pr edkość świat la co jest niemożliwe.

5 Dynamika relatywistyczna W europejskim centrum badań jadrowych CERN w Szwajcarii zbudowano ko lowy akcelerator LHC (Large Hadron Collider) o promieniu r = 4.3 km. Akcelerator zaprojektowono aby przyspieszać dwie przeciwbieżne wiazki protonów do energii E k =. 0 6 J na jeden proton o masie spoczynkowej M p = kg. Promień akceleratora musi być tak duży, ponieważ si la dośrodkowa wywierana przez magnesy zakrzywiajace wiazk e protonów nie jest wstanie utrzymać protony o maksymalnej predkości na orbicie o mniejszym promieniu. a) Oblicz pr edkość v protonów rozp edzonych do energii E k ; b) Oblicz si l e dośrodkowa F wywierana przez magnesy na protony o predkości v kraż ace po okregu o promieniu r; c) Jakie b lyby rozmiary LHC, r k, w świecie w którym nie by loby efektów relatywistycznych? Należy za lożyć, że chcemy przyspieszyć protony do tej samej predkości v przy użyciu takich samych magnesów zakrzywiajacych. Rozwiazanie a) Energia kinetyczna protonu jest różnica jego energii ca lkowitej E = Mc 2 = γm p c 2 i spoczynkowej M p c 2 E k = γm p c 2 M p c 2 = (γ )M p c 2 Ponieważ γ = E k + = M p c2 γ = v 2 /c 2 wi ec γ 2 ( v 2 /c 2 ) = v = c /γ 2 = c Protony o maksymalnej energii poruszaja sie praktycznie z predkości a świat la c. Przyjmijmy w dalszych obliczeniach v = c. b) Rozpedzone protony poruszaja sie po okregu o promieniu r ze sta l a predkości a v. Tor protonów jest zakrzywiany pod wp lywem si ly dośrodkowej wywieranej przez magnesy zakrzywiajace. Wymagana jest do tego si la dośrodkowa F = d p F = d(m v) = d(m pγ v) Ponieważ wartość predkości nie zmienia sie (zmienia sie jedynie jej kierunek) wiec czynnik γ nie zmienia sie z czasem, zatem F = M p γ d( v) = M p γ a Oprócz czynnika γ jest to wynik identyczny jak w fizyce nierelatywistycznej (Newtonowskiej), gdzie już znamy wyrażenie na przyspieszenie dośrodkowe a = v 2 /r w ruchu ze sta l a predkości a v po okregu

6 o promieniu r. Ponieważ pr edkość protonów jest praktycznie równa c, wi ec a = c 2 /r a si la dośrodkowa ma wartość F = M p γc 2 /r Wartość numeryczna wydaja si e śmiesznie ma la F = N c) Przy zaniedbaniu efektów relatywistycznych, taka sama si la wystarczy laby na utrzymanie protonów o masie M p na ko lowej orbicie o promieniu r k F = M p v 2 /r k = M p c 2 /r k M p γc 2 /r = M p c 2 /r k r k = r/γ = 0.59 m W świecie nierelatywistycznym, do przyspieszenia protonów do predkości świat la wystarczy lby akcelerator wielkości średniego stolika. Alcelerator LHC zosta l zbudowany do badań oddzia lywań miedzy czastkami elementarnymi. W tych zastosowaniach istotna jest duża wartość energii (pedów) zderzajacych sie protonów a nie ich predkość. Prosze zwrócić uwage, że pedy i energie protonów niestety również by lyby mniejsze o czynnik γ.