Temat XXXIII. Szczególna Teoria Względności

Transkrypt

1 Temat XXXIII Szczególna Teoria Względności

2 Metoda radiolokacyjna

3 Niech w K znajduje się urządzenie nadawcze o okresie T, mierzonym w układzie K Niech K oddala się od K z prędkością v wzdłuż osi x i rejestruje sygnały z okresem T Zależność między czasem T i T zapiszemy w postaci:t =kt

4 Zakładamy nadto, że: współczynnik k nie zależy od położenia nadajnika i odbiornika. Nie zależy również od czasu emisji i odbioru sygnału, oraz od kierunku. Słowem zakładamy, że przestrzeń i czas jest jednorodna i izotropowa. Zakładamy również, że k nie zależy od wartości T. Przy tych założeniach szukamy wartości współczynnika k jako funkcji wzajemnej prędkości v obu układów.

5 Niech sygnał zostanie wysłany w momencie gdy początki obu układów pokrywają się. Po czasie T z K wychodzi sygnał numer. Obserwator w K odbierze ten sygnał po czasie kt, według swojego zegara. Jednocześnie niech sygnał odbije się od zwierciadła w kierunku początku układu K. Obserwator w K stwierdza: sygnał nr. odbiłem w chwili t =0, a sygnał nr. w chwili t =kt. Zatem obserwator A jest też nadawcą sygnału o okresie kt według zegara K

6 Obserwator w K stwierdza, że układ K oddala się od niego z prędkością o wartości v, zatem odbity sygnał goni oddalający się układ. Sytuacja jest symetryczna i jeżeli żaden inercjalny układ nie jest wyróżniony, odbity sygnał w układzie K zostanie odebrany po czasie kt k T

7 Rysunkowo

8 Dla obserwatora w układzie K sygnał nr. był w drodze przez czas: k T T T k W tym czasie przebył drogę: T k c Zatem czas przelotu światła od K do K wynosił T k

9 Rysunkowo

10 Odległość KK, w układzie K, w momencie odbicia wynosi T k c W jakim momencie, według zegara K, nastąpiło odbicie sygnału? Drugi sygnał zostaje wysłany w chwili T, a powraca w chwili k T, stąd mamy moment odbicia k T

11 Rysunkowo

12 Podsumujmy: Punkt odbicia określiliśmy w układzie K zgodnie ze wzorem T k c Czas odbicia określiliśmy k T w układzie K zgodnie ze wzorem Zatem prędkość K mierzona w układzie K wynosi v k k Tc T

13 v k Tc v k k k T c k B B Przydatne wzory k k B k k B

14 Uwaga Zmiana v -> -v oznacza B B k B B k B v c

15 Dylatacja czasu radarowo Drugi sygnał z układu K wysyłamy po czasie T W układzie K sygnał został odebrany w czasie kt Ale z punktu widzenia K, czas odebrania sygnału k T w K jest T k T k T kt k

16 k T T k T kt k k = + B B T T T T v c

17 Przekształcenie Lorentza

18 Z pomocą metody radiolokacyjnej znajdziemy wzory na przekształcenie współrzędnych między układem K i K. Niech w chwili t=t =0 początki obu układów pokrywają się. W chwili t obserwator A wysyła sygnał do A, który odbiera ten sygnał w chwili t. W chwili dotarcia sygnału do A wysyła on własny sygnał w kierunku sygnału, który do niego dotarł

19 Niech sygnały docierają to punktu, P gdzie ulegają odbiciu. Dotarcie do punktu P nazwiemy zdarzeniem P W chwili t sygnał wraca do A, jednak część tego sygnału biegnie dalej do A, który odbiera go w chwili t. Obserwator A przypisze zdarzeniu P współrzędną t t t

20

21 t t t x t t c Rozwiązując ten układ mamy x t t ; t t c x c

22 Do podobnych wniosków dochodzi obserwator A t ' t ' t ' x' x' x' c x' ' ' ; ' ' t t t t c x' c

23 Korzystając z współczynnika k mamy t 0 k t 0 t 0 k t 0 Korzystamy z x' ' ' ; ' ' t t t t c x t t ; t t c x x t k t c c x c t x' c x k t ' c x' c

24 x x t k t c c x k t ' c Wzory te zapiszemy w postaci dogodnej do rozwiązania ze względu na t i x x x t k t c c x x t t c k c t x' c

25 x x t k t c c Po rozwiązaniu mamy x x t t c k c k k t t x k kc k k x x ct k kc

26 Przydatne wzory k k k B k B k k v t t x t t x k kc c k k x x ct x x Vt k kc

27 Przekształcenia Lorentza t = γ t v c x x = γ x Vt Jeżeli v<<c t t x = γ x Vt

28 x' ' ' ; ' ' t t t t c x' c x x t k t c c t x k t ' c x' c Równania te mnożymy na krzyż x t c x c t Przy okazji mamy wielkość niezmienniczą ze względu na zmianę układu współrzędnych

29 Interwał Należy zdać sobie sprawę, że każdy niezmiennik jest cennym nabytkiem teorii i wskazuje na coś ważnego w jej strukturze. Jako taki zasługuje na własną nazwę. Wyliczony niezmiennik nazywa się interwałem x x t t c t x c t x c c c t x c t x

30 O mierzeniu odległości

31 Klasycznie y y x x y y x x liczba,,, d y x y x nowa,,, d y y x x y x y x nowa,,, d y y x x y x y x

32 x x = x x y y Z twierdzenia Pitagorasa mamy Zgodnie z funkcją d nowa otrzymujemy wartość

33 Matematycy, którzy lubią mieć wszystko uporządkowane zdefiniowali funkcję, która z jednej strony spełnia nasze oczekiwania co do własności odległości a z drugiej strony uogólnia pojęcie odległości. d(p,p ) = d(p,p ) d(p,p )=0 wtedy i tylko wtedy gdy P =P, d(p,p 3 ) d(p,p )+ d(p,p 3 ) (nierówność trójkąta)

34 Funkcja ta nazywa się metryką i ma następujące właściwości d(p,p ) = d(p,p ) d(p,p )=0 wtedy i tylko wtedy gdy P =P, d(p,p 3 ) d(p,p )+ d(p,p 3 ) (nierówność trójkąta) Naturalną metrykę nazywamy metryką pitagorejską

35 W geometrii euklidesowej metryka pitagorejska jest niezmiennikiem geometrycznym. Szczególna teoria względności wychodzi poza geometrię euklidesową

36 Szkoła malowania imienia Hermanna Minkowskiego

37 Diagram czasoprzestrzenny

38 Diagram czasoprzestrzenny to wykres w układzie współrzędnych x,ct lub x,y, ct

39 Punkt na diagramie czasoprzestrzennym nazywamy zdarzeniem Linia świata, to tor cząstki wykreślony na diagramie czasoprzestrzennym

40 Interwał Interwał jest funkcją zdefiniowaną na współrzędnych par zdarzeń w postaci s c t x y z s c t x y z s c t x y z

41 Interwał jest niezmiennikiem geometrycznym w teorii względności

42 Geometria

43 c t x y z c t x y z c t x y z t Interwał jednostkowy definiuje układ hiperbol jednostkowych - - x Tak zdefiniowaną przestrzeń nazywamy przestrzenią Minkowskiego

44 W dwóch wymiarach przestrzennych

45 Interwał nie spełnia warunków nałożonych na metrykę - nie jest metryką Dwa zdarzenia A i B leżą na linii światła fotonu. W takim przypadku choć punkty A i B nie pokrywają się ze sobą obliczony dla nich interwał będzie równy zeru.

46 Stożek świetlny

47 Stożek świetlny jest zdefiniowany przez zbiór możliwych linii świata światła przechodzącego przez dany punkt (zdarzenie)

48

49 Rodzaje interwałów s c t x y z s 0 czasowy s 0 zerowy s 0 przestrzenny Brak związków przyczynowych

50 Powrót do malowania

51

52

53

54

55

56 Paradoks bliźniąt graficznie

57

58 Umarł król, niech żyje król!

59 Wymagania Interwał, rodzaje Hiperbole jednostkowe wykresy Równoczesność na wykresie Stożek świetlny

60 Przykładowe zadanie Które z równań jest niezmiennicze ze względu na przekształcenia Lorentza: a) pierwsze równanie Maxwella (prawo Gaussa dla pola elektrycznego; b) równanie harmonicznej fali elektromagnetycznej; c) klasyczne równanie ruchu Newtona; d) Trzecie równanie Maxwella (prawo Faradaya).