Algorytm określania symetrii czasteczek

Transkrypt

1 O czym to b Podzi 21 września 2007

2 O czym to b O czym to b Podzi 1 2 3

3 O czym to b Podzi W lasności symetrii hamiltonianu: zmniejszenie z lożoności obliczeń i wymagań pami eciowych, utrzymanie tożsamościowych (wynikajacych z symetrii) relacji, u latwienie interpretacji obliczeń.

4 O czym to b Podzi Czasteczka a Jakie informacje bed a nam potrzebne? grupa punktowa, wspó lrz edne po symetryzacji, transformacja z orientacji wejściowej (wspó lrz edne podane przez użytkownika) do standardowej (wyznaczonej przez program).

5 O czym to b Podzi Ustawienie wst epne Czasteczka a Jeśli liczba atomów == 1, to obliczenia atomowe (K h ). Wyznacz środek masy i umieść go w OXYZ. Wyznacz g lówne osie tensora momentu bezw ladności.

6 O czym to b Podzi Czasteczka a Wartości w lasne momentu bezw ladności 3 równe: bak, 2 równe: wszystkie niezerowe: bak, przynajmniej jedna zerowa: czasteczka, 3 różne wartości w lasne: bak a.

7 Czasteczka O czym to b Podzi Czasteczka a Ustaw oś odpowiadajac a momentowi == 0 równolegle do osi Z, Jeśli czasteczka i jej odbicie wzgledem p laszczyzny OZ (czyli XY) sa takie same, to D h, wpp C v.

8 a O czym to b Podzi Czasteczka a Zorientuj osie momentu bezw ladności zgodnie z osiami OXYZ, Sprawdź, które osie sa osiami dwukrotnymi (moga być 3, 1, lub brak),

9 O czym to b Podzi Czasteczka a a (3 osie dwukrotne) Jeśli wszystkie osie X, Y i Z sa osiami dwukrotnymi, to D 2 lub D 2h jeśli oprócz osi C 2 jest dodatkowo środek inwersji, a C 2 oraz i generuja p laszczyzne symetrii prostopad l a do OZ, to jest D 2h, wpp jest D 2.

10 O czym to b Podzi a (1 oś dwukrotna) Czasteczka a Jeśli jest 1 oś dwukrotna (pokrywajaca sie z OX, OY lub OZ), to ustaw ja do OZ. Może być C 2h, C 2v lub C 2 jeśli jest p laszczyzna symetrii, to C 2h wpp, jeśli jest p laszczyzna osi Z, to grupa C 2v, wpp. grupa C 2.

11 O czym to b Podzi Czasteczka a a (brak osi dwukrotnych) Jeśli nie ma osi dwukrotnych, to C s, C i lub C 1. jeśli jest p laszczyzna symetrii, to jest C s, a p laszczyzna symetrii ma być p laszczyzna XY. jeśli jest środek inwersji, to grupa C i, wpp. grupa C 1.

12 O czym to b Podzi Czasteczka a Trójkrotna degeneracja bak. Możliwe sa grupy: kubiczne T, T d, T h, O, O h, I lub I h, oraz D 2d, D 2h lub D 2. Może sie zdarzyć, że bak jest przypadkowo. Jeśli sa 3 prostopad le 2-krotne osie, to grupy: D 2d, D 2h lub D 2, wpp przypadek najtrudniejszy (omówiony przy okazji baka symetrycznego).

13 O czym to b Podzi Czasteczka a : Ustalenie orientacji standardowej 1 Znajdź oś g lówna, 2 ustaw czasteczk e tak, aby oś g lówna by la OZ, 3 znajdź g lówna p laszczyzne, czyli p laszczyzne symetrii zawierajac a oś g lówna, 4 obróć czasteczk e, aby g lówna p laszczyzna by la p laszczyzna XZ (czyli OY),

14 O czym to b Podzi Czasteczka a : Pozosta le elementy symetrii po pierwsze znajdź osie C 2, znajdź p laszczyzny (korzystajac z wygenerowanych par) sprawdź, czy p laszczyzna zawiera OXYZ (tanie) jeśli tak, to sprawdź, czy jest to p laszczyzna symetrii teraz sprawdź osie C 6,..., C 3, S 6 (= C 6 ),..., S 2 (= C 2 = i),

15 O czym to b Podzi Czasteczka a 1 Dwie wartości w lasne momentu ladunku sa równe i różne od trzeciej (bak ): może być dowolna grupa aksjalna, czyli każda oprócz kubicznych. 2 Z wyjatkiem rzadkich przypadków, jedyna osia jest oś o krotności >= 3 (pokrywajaca sie z niezdegenerowana osia tensora momentu bezw ladności).

16 O czym to b Podzi Czasteczka a : orientacja osi g lównej 1 Ustaw niezdegenerowana oś OZ (g lówna oś), 2 określ jej krotność, czyli dla n (8, 7, 6, 5, 4, 3, 2) rób: jeśli geometria obrócona o 2π/n jest równoważna danej, to dopisz oś C n do zbioru osi, jeśli geometria obrócona o 2π/2n i odbita w p laszczyźnie do osi jest równoważna danej, to dopisz oś S 2n do zbioru osi, jeśli geometria obrócona o 2π/n i odbita w p laszczyźnie do osi jest równoważna danej, to dopisz oś S n do zbioru osi.

17 O czym to b Podzi Czasteczka a : orientacja pozosta lych elementów symetrii 1 Poszukaj ewentualnej osi C 2 OZ (bierzemy pierwsza znaleziona). 2 Jeśli jest, to zorientuj ja osi OX. Orientacja standardowa jest osiagni eta. pozostaje znaleźć pozosta le osie C 2 wraz z S 4 oraz p laszczyzny (σ v lub/i σ h ) i środek inwersji. 3 wpp, poszukaj σ v. Jeśli istnieje, to ustaw ja w p laszczyźnie XZ. wpp, poszukaj σ h. Jeśli istnieje, to ustaw ja w p laszczyźnie XY.

18 O czym to b Podzi Czasteczka a : określanie pozosta lych elementów symetrii 1 Teraz czasteczka znajduje sie w orientacji standardowej (zarówno przy obecności jak i nieobecności osi C 2 ). Jeszcze raz wyznacz osie C 2 i p laszczyzny. 2 Jeśli czasteczka jest p laska, to dodaj p laszczyzne symetrii do zbioru, 3 Sprawdź istnienie środka symetrii.

19 O czym to b Podzi Czasteczka a i symetryzacja 1 Majac wyznaczone elementy symetrii przeglada sie tablice zawierajac a elementy symetrii każdej grupy jeśli któraś grupa pasuje, to BINGO! wpp, znajdź grupe, która ma najwiecej elementów spośród znalezionych; wypisz ostrzeżenie, gdyż możliwe, że po niewielkiej zmianie kryterium ε zostanie znaleziona wyższa grupa symetrii. Zmiana kryterium należy do użytkownika.

20 Symetryzacja O czym to b Podzi Czasteczka a 1 Stwórz liste flag odpowiadajac a liście atomów, a nastepnie dla każdego atomu rób: Sprawdź, czy po zastosowaniu kolejno wszystkich znalezionych elementów symetrii któryś inny atom jest do niego równoważny. jeśli tak, to ustaw flage odpowiadajac a temu równoważnemu atomowi. 2 Teraz atomy, dla których flaga nie zosta la ustawiona, sa nierównoważne przez symetrie.

21 Symetryzacja O czym to b Podzi Czasteczka a 1 Weź list e nierównoważnych atomów oraz list e dok ladnych elementów symetrii. 2 Dla każdego atomu rób: dla każdego elementu symetrii zastosuj ten element do wspó lrz ednych atomu. jeśli nie ma atomu o takich (nowych) wspó lrz ednych, to dodaj ten atom (wspó lrz edne). 3 Teraz lista zawiera symetryzowane wspó lrz edne atomów.

22 Czynności końcowe O czym to b Podzi Czasteczka a Ponieważ każda operacja symetrii jest rejestrowana, to można latwo wyznaczyć macierz transformacji z orientacji wejściowej do orientacji standardowej.

23 O czym to b Podzi Algorytm znajdywania osi C 2 i p laszczyzn symetrii Algorytm znajdywania osi C n i S n (n > 2) Algorytm obrotu wzgledem dowolnej osi o dowolny kat Algorytm znajdywania osi C 2 i p laszczyzn symetrii 1 Dla i = 1,... liczba atomów rób: Dla j = i + 1,... liczba atomów rób: weź atom i ty i j ty. Znajdź v środek odcinka ij. Jeśli odleg lość v od OXYZ (czyli v ) jest > ε, to znormalizuj v. wpp v = i, znormalizuj v. obróć wspó lrzedne wokó l v o kat π. Jeśli wspó lrzedne sie pokrywaja, to dodaj oś C 2 do zbioru, obróć wspó lrzedne wokó l v o kat π/2 oraz odbij w p laszczyźnie do v. Jeśli wspó lrzedne sie pokrywaja, to dodaj oś S 4 do zbioru. P laszczyzny P: dla n P, v P równanie p laszczyzny P = (n 1, n 2, n 3): D = n v. D < ε P OXYZ. Jeśli p laszczyzna jest p laszczyzna symetrii, to dopisz ja do puli. Dla k = j + 1,... liczba atomów weź atom i, j, k i zastosuj algorytm znajdywania osi C n i S n (n > 2) (nastepna plansza). 2 Sprawdź wystepowanie środka symetrii.

24 O czym to b Podzi Algorytm znajdywania osi C 2 i p laszczyzn symetrii Algorytm znajdywania osi C n i S n (n > 2) Algorytm obrotu wzgledem dowolnej osi o dowolny kat Algorytm znajdywania osi C n i S n (n > 2) 1 Sprawdź, czy trójka jest wpó l. Jeśli tak, to weź nastepn a, wpp: oblicz wspó lczynniki p laszczyzny zawierajacej te trójke, a stad wektor normalny, przechodzacy przez OXYZ. Sprawdź, czy to jest oś C n lub S n. Jeśli znaleziono oś, to dopisz ja do zbioru.

25 O czym to b Podzi Algorytm znajdywania osi C 2 i p laszczyzn symetrii Algorytm znajdywania osi C n i S n (n > 2) Algorytm obrotu wzgledem dowolnej osi o dowolny kat Algorytm obrotu wzgledem dowolnej osi o dowolny kat 1 unormuj oś 2 oblicz ( kwaternion: cos(k at/2), sin(kat/2) oś[1], sin(kat/2) oś[2], sin(kat/2) oś[3] ) 3 znormalizuj kwaternion 4 W = kwaternion[0]; X = kwaternion[1]; Y = kwaternion[2]; Z = kwaternion[3] macierz obrotu: mat = 1 2(Y 2 + Z 2 ) 2(XY ZW ) 2(XZ + YW ) 2(XY + ZW ) 1 2(X 2 + Z 2 ) 2(YZ XW ) 2(XZ YW ) 2(YZ + XW ) 1 2(X 2 + Y 2 )

26 O czym to b Podzi Dzi ekuj e za uwag e i zapraszam do dyskusji.