V.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c

Transkrypt

1 r. akad. 005/ 006 V.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c 1. Relatywistyczny pęd. Relatywistyczne równanie ruchu. Relatywistyczna energia kinetyczna 3. Relatywistyczna energia całkowita i energia spoczynkowa 4. Czterowektor energii i pędu. 5. Układ środka masy i układ laboratoryjny 6. Zastosowanie w problemach fizycznych: aberracja światła, rozpady cząstek nietrwałych, Jan Królikowski Fizyka IBC 1

2 r. akad. 005/ Pęd relatywistyczny Z szeregu doświadczeń wynika, że należy zmodyfikować nierelatywistyczną definicję wektora pędu: p= mv. Poprawne wyrażenie relatywistyczne ma postać: p = mv 1 = γ m v v c ~ Dla elektronów m m m ev ev e = m γ =γ e Jan Królikowski Fizyka IBC

3 r. akad. 005/ 006 Pęd relatywistyczny cd. Spójny opis dostajemy definiując pęd relatywistyczny jako iloczyn masy i czterowektora prędkości: µ µ µ dx dx 1 u = = =γ( c, v,, ) x vy vz ; γ= dτ d( t/ γ) 1 v c = γ = γ = ( ) (,,,, ) (, ) x y z µ p m c c cv cv cv mc cp E cp p= mγ v= mu Czas własny Jan Królikowski Fizyka IBC 3

4 Relatywistyczne uogólnienie równania ruchu r. akad. 005/ 006 dp = d ( mv γ ) = F dt dt Jan Królikowski Fizyka IBC 4

5 Uogólnienie II zasady dynamiki dla v c r. akad. 005/ 006 Wiemy już, że II zasada dynamiki zapisana jako pochodna pędu po czasie= sile jest słuszna relatywistycznie. Oznacza to, że: µ dp µ = K dτ dp dp dτ m m = = F K = F γ dt dτ dt Konstrukcja i interpretacja K 0 : µ µ dp K = uµ ; K = γf dτ µ µ µ dp du 1 d µ K uµ = uµ = muµ = m u uµ = dτ dτ dτ 0 K u γ γ 1 de K = = F v = P = 0 u c c c dt Jan Królikowski Fizyka IBC 5 0

6 r. akad. 005/ Całkując pracę powinniśmy dostać zmianę energii kinetycznej: v v d E = = k F ds ( mγv) ds = 0 0 dt v ds = dmv ( γ ) = dt 0 v = mv γ mvdv γ = mv γ + / γ 0 mc mc E k = γ m c mc Relatywistyczna Energia spoczynkowa E 0 Relatywistyczna energia całkowita E Jan Królikowski Fizyka IBC 6

7 r. akad. 005/ 006 Związek między energią i pędem γ β γ = 1 mc 4 ( ) E p c = mc = E= p c + mc p + m ( ) c= 1 Prędkość cząstki wyraża się przez jej wektor pędu i energię: cp cp v = c; β= E E zaś jej czynnik Lorentza γ wynosi: γ= E mc Jan Królikowski Fizyka IBC 7

8 r. akad. 005/ Czterowektor energii- pędu Podobnie do interwału czasoprzestrzennego: ( ) s = ct r = inv który jest niezmiennikiem tr. Lorentza, wielkość utworzona z E i relatywistycznego pędu jest niezmiennikiem. Sugeruje to, że E i wektor pędu.c mogą być czasową i przestrzennymi składowymi czterowektora, który transformuje się zgodnie z transformacją Lorentza: E p c = mc ( ) ( ) x y z E µ = E, p c, p c, p c µ =0,1,,3 Jan Królikowski Fizyka IBC 8

9 Czterowektor E-p podlega tr. Lorentza r. akad. 005/ 006 Pod wpływem pchnięcia Lorentza wzdłuż osi OX z prędkością V czterowektor E p transformuje się następująco: gdzie V ʹ γv E pxc E c ʹ p x c V = γ ʹ V pc x E p y c c ʹ p z c pc y pc z 1 V γ V =, β V = 1 V c c Jan Królikowski Fizyka IBC 9

10 Dowód oparty jest na transformacji prędkości.. r. akad. 005/ 006 v v V x x 1 v = v = v / γ y V v y V x 1 z γ z V v v / c Jan Królikowski Fizyka IBC 10

11 Czteropęd fotonu (cząstki o zerowej masie) Dla cząstki o zerowej masie spoczynkowej zachodzi: E p c = 0 r. akad. 005/ 006 Stąd energia fotonu związana z częstością wzorem E=hν wiąże się z pędem wzorem: p = k γ / c= hν / c Zaś czteropęd fotonu lecącego w kierunku : k µ = hν hνeˆ (, ) ê Jan Królikowski Fizyka IBC 11

12 5. Układ środka masy i układ laboratoryjny r. akad. 005/ 006 W przypadku nierelatywistycznym zdefiniowaliśmy układ środka masy układu N punktów materialnych poprzez warunek: N p i= 1 * i = 0 narzucony na wektorową sumę pędów p * i w tym układzie. Ten warunek definiuje ŚM także w przypadku relatywistycznym. Prowadzi to do wzoru na prędkość układu ŚM V względem układu inercjalnego: mv i i pi V = = m m i Układ ŚM i wyjściowy UI połączone są tr. Galileusza: i p = p mv * i i i Jan Królikowski Fizyka IBC 1

13 r. akad. 005/ 006 cd. ŚM-uogólnienie na przypadek relatywistyczny Ponieważ prędkość cząstki relatywistycznej wyraża się przez jej relatywistyczny pęd i energię: pc v = c E Możemy uogólnić wyrażenie na prędkość układu ŚM jako: V pc i = c vi 0 E i Do znalezienia czterowektorów energii pędu w ŚM musimy zastosować tr. Lorentza z powyższym pchnięciem miedzy układami. p i m i Jan Królikowski Fizyka IBC 13

14 r. akad. 005/ 006 C=1 Dalej we wszystkich rozważaniach będziemy stosowali układ z W tym układzie jednostek: C=1 [m]=[e]=[p] Najczęściej będziemy podawali masy cząstek w GeV/c, energię w GeV, pędy w GeV/c. Jan Królikowski Fizyka IBC 14

15 r. akad. 005/ 006 Układ ŚM i układ laboratoryjny LAB Terminologia wiąże się z doświadczeniami wykonywanymi w fizyce jądrowej i cząstek elementarnych przy akceleratorachźródłami cząstek pocisków relatywistycznych. LAB C=1 ŚM (CMS) ( ) = +, E m p p ( E m,0 ) = p * = 0 Po zderzeniu w LAB: suma energii cząstek wylatujących z reakcji jest równa E 1 +m, zaś suma (wektorowa) pędów pędowi pocisku p 1. Po zderzeniu w ŚM: suma pędów produktów jest równa zero, suma energii jest równa E 1 *+E * Jan Królikowski Fizyka IBC 15

16 Układ ŚM i układ laboratoryjny LAB cd. r. akad. 005/ 006 W LAB wektory czteropędów: µ µ P = E = m + p, p ; P = m,0 ( ) ( ) Kwadrat sumy czterowektorów jako kwadrat czterowektora jest niezmiennikiem tr. Lorentza: ( µ µ ) ( ) P + P = E + m p = = m + m + m E = inv: = s 1 1 W ŚM wektory czteropędów: P * = E * = m + p *, p * ; ( ) µ P * = E * = m + p *, p * ( ) µ 1 1 zaś niezmiennik s wynosi: ( 1 * µ * µ ) ( 1 * *) s= P + P = E + E = E ŚM Niezmiennik s jest kwadratem energii w układzie ŚM Jan Królikowski Fizyka IBC 16

17 Energia progowa na produkcję N cząstek {m i } r. akad. 005/ 006 Pytanie praktyczne: jaką minimalną energię energię progową E th w LAB musi mieć cząstka (z akceleratora, wiązki), żeby zderzając się ze stacjonarną tarczą o masie m wyprodukować N cząstek o masach {m i } w stanie końcowym? W układzie ŚM N cząstek może spoczywać. Będą one wtedy miały najmniejszą możliwą energię równą sumie ich energii spoczynkowych (sumie mas). W LAB: 1 s= m + m + m Eth E th = W ŚM: s= mʹi Porównując dostajemy wyrażenie na energię progową: mʹi m m m 1 Jan Królikowski Fizyka IBC 17

18 r. akad. 005/ 006 Dodatek: Notacja i iloczyn skalarny czterowektorów Zdefiniujemy czterowektor kontrawariantny: ( 0, ) a µ = a a i czterowektor kowariantny: ( 0, ) a = µ a a Czterowektor kontrawariatny transformuje się zgodnie z transformacją Lorentza. Iloczyn skalarny definiujemy jako: a = a a = a a a ( ) µ 0 µ Jan Królikowski Fizyka IBC 18