Zasady zachowania. Fizyka I (Mechanika) Wykład VI:

Transkrypt

1 Zasady zachowania Fizyka I (Mechanika) Wykład VI: Zasady zachowania energii i pędu Zasada zachowania momentu pędu Zderzenia elastyczne Układ środka masy

2 Zasada zachowania pędu II zasada dynamiki Pęd układu dp d p i dt = F Σ i 3 dp 3 Prawo ruchu układu: F tot F tot = 0 = i F Σ i = d dt i = i i p i p i = ÓÒ Ø d p i dt dp 4 4 dp Dla dowolnego układu izolowanego, suma pędów wszystkich elementów układu pozostaje stała. izolowany układ inercjalny A.F.Żarnecki Wykład VI

3 Praca i energia Energia potencjalna Siła F( r) jest zachowawcza (konserwatywna), jeśli praca przez nia wykonana zależy tylko od położenia punktów poczatkowego (A) i końcowego (B) można ja wyrazić przez zmianę energii potencjalnej W AB = B A F( r) d r = E p ( r A ) E p ( r B ) = E p Siła zachowawcza nie może zależeć od czasu ani od prędkości. Zwiazek siły i energii potencjalnej: F = ( E p x, E p y, E p z ) = E p ( r) Znajomość potencjału siły zachowawczej jest rownoważna znajomości samej siły. Energia potencjalna jest określona z dokładnościa do stałej, istotne sa tylko jej zmiany. A.F.Żarnecki Wykład VI

4 Zasada zachowania energii Zasada zachowania energii Praca siły zachowawczej F( r) pomiędzy A i B wyraża się przez energię potencjalna W AB = B F( r) d r = E A p EB p A Z drugiej strony, praca siły działajacej na ciało zmienia energię kinetyczna: W AB = E B k EA k E B k EA k = E A p EB p E B k + EB p = E A k + EA p E = E p + E k = ÓÒ Ø W ruchu pod działaniem sił zachowawczych energia całkowita jest zachowana. A.F.Żarnecki Wykład VI 3

5 Wahadło balistyczne Zasada zachowania energii Pocisk o masie m wbija się z prędkościa v w nieruchome wahadło o masie M m M V Prędkość jaka uzyska wahadło możemy wyznaczyć z zasady zachowania pędu (zderzenie całkowicie nieelastyczne) V p i = m v = (m + M) v = p f v = m v m + M A.F.Żarnecki Wykład VI 4

6 Wahadło balistyczne Zasada zachowania energii Wahadło wychyla się na wysokość h: energia kinetyczna zamienia się na potencjalna h V Z zasady zachowania energii: (przyjmujemy, że w położeniu poczatkowym E p = 0) E i = E k = (M + m)v h = v g = E f = E p = (M + m)gh E k = 0 Poczatkowa energia kinetyczna wahadła NIE jest równa energii kinetycznej pocisku!!! A.F.Żarnecki Wykład VI 5

7 Zasada zachowania momentu pędu Siły centralne Jeśli układ ciał (lub pojedyńcze ciało) działa jakaś siła zewnętrzna F tot 0 to pęd układu musi się zmieniać: p i const. Siły które działaja na układ często sa siłami centralnymi - działaja w kierunku ustalonego źródła siły. Jeśli położenie źródła przyjmiemy za środek układu F tot = F(r,...) i r Przykład: siła grawitacyjna F(r) = G m m r siła kulombowska F(r) = Q Q 4πǫ r siła spężysta F(r) = k r Czy można coś uratować z zasady zachowania pędu?... A.F.Żarnecki Wykład VI 6

8 Zasada zachowania momentu pędu Moment pędu Zdefiniujmy dla punktu materialnego: L = r p moment pędu względem O zależy od wyboru poczatku układu Dla v c L = m r v L = m r v sin θ A.F.Żarnecki Wykład VI 7

9 Moment pędu Zasada zachowania momentu pędu Ruch po płaszczyźnie: L = m r ( v r + v θ ) L = m r v θ L = m r dθ dt = m r ω Przypadek szczególny: ruch po okręgu - r=const Moment bezwładności I = m r moment pędu możemy przedstawić w ogólnej postaci L = I ω A.F.Żarnecki Wykład VI 8

10 Zasada zachowania momentu pędu Moment siły M = r F moment siły względem O Równanie ruchu d L dt = = d r dt d( r p) dt p + r d p dt = v p + r F = 0 + M M = 0 L = ÓÒ Ø A.F.Żarnecki Wykład VI 9

11 Zasada zachowania momentu pędu Czastka swobodna Siła centralna Moment siły: (względem źródła) M = r F = r i r F(r,...) = 0 L = const Moment pędu względem dowolnego punktu 0 pozostaje stały: L = m v r sin θ = m v b = ÓÒ Ø Moment pędu, liczony względem źródła siły centralnej pozostaje stały. b - parametr zderzenia odległość najmniejszego zbliżenia do O A.F.Żarnecki Wykład VI 0

12 Zasada zachowania momentu pędu Prędkość polowa Pole jakie wektor wodzacy punktu zakreśla w jednostce czasu: ds dt Y II prawo Keplera ds = L r v = dt m = Y ÓÒ Ø V planeta r d θ V V X Slonce Ο d θ r F X V 3 ds = r rdθ = r dr = r v dt W ruchu pod działaniem sił centralnych prędkość polowa jest stała. A.F.Żarnecki Wykład VI

13 Zderzenia Poprzednio rozpatrywaliśmy zderzenia ciał z punktu widzenia zasady zachowania pędu (i momentu pędu) zasada zachowania pędu jest zawsze bezwzględnie spełniona Czy zachowana jest energia kinetyczna? TAK - jeśli działajace siły maja charakter zachowawczy siły kulombowskie, siły spężystości E p = 0 E k = 0 NIE - jeśli mamy wkład sił niezachowawczych w wyniku zderzenia następuja trwałe zmiany (np. odkształcenia) w zderzajacych się ciałach A.F.Żarnecki Wykład VI

14 Zderzenia Zderzenia sprężyste Przypadek jednowymiarowy: Z zasad zachowania: ÔÖÞ p : m V + m V = m V ÔÓ M M V =0 V E : m V Przekształcamy: + m V = m V p : m V = m (V V ) M M E : m V = m (V V ) = m (V V )(V + V ) V V V = V + V V V = V wartość bezwzględna prędkości względnej przed i po zderzeniu jest taka sama A.F.Żarnecki Wykład VI 3

15 Zderzenia Zderzenia sprężyste Przekształcajac dalej otrzymujemy: m (V + V ) = m (V V ) V (m + m ) = V (m m ) Ostatecznie: V = m m m + m V V = m m + m V Przypadek szczególny: m = m V = V = 0 V = V Zderzajace się ciała wymieniaja się prędkościami; rozwiazanie słuszne także w przypadku V 0 A.F.Żarnecki Wykład VI 4

16 Zderzenia Zderzenia sprężyste m > m Masa pocisku większa od masy tarczy : Przypadek graniczny: m m V = m m m + m V = V V = m m + m V = V Pocisk nie zauważa zderzenia Tarcza uzyskuje prędkość V Otrzymujemy: V > V > 0 Po zderzeniu oba ciała poruszaja się w ta sama stronę. A.F.Żarnecki Wykład VI 5

17 Zderzenia Zderzenia sprężyste m < m Masa pocisku mniejsza od masy tarczy : Otrzymujemy: Przypadek graniczny: m m V = V V = 0 V = m m m + m V < 0 V = m m + m V > 0 Prędkość pocisku zmienia znak pocisk odbija się od tarczy Sprężyste odbicie od nieruchomej ściany A.F.Żarnecki Wykład VI 6

18 Zderzenia m m Tarcza oddala się od pocisku ( ściana ) Tarcza przybliża się do pocisku ( ściana ) pocisk traci energię pocisk zyskuje energię Mikroskopowy obraz ochładzania (ogrzewania) się gazu przy rozprężaniu (sprężaniu) A.F.Żarnecki Wykład VI 7

19 Zderzenia nie centralne Zderzenia Do tej pory rozpatrywaliśmy tzw. zderzenia centralne, dla których parametr zderzenia b = 0 pocisk trafia w sam środek tarczy W przypadku gdy b 0 zderzenie trzeba rozpatrywać w dwóch wymiarach: V V =0 Θ Θ b V Zasada zachowania pędu: p x : m V cos θ + m V cos θ = m V ÔÓ Þ ÖÞ Ò Ù p y : m V sin θ m V sin θ = 0 ÔÖÞ y x V Dla zderzeń spężystych: E k : m V + m V = m V Znajomość m, m i V (V = 0) nie wystarcza do wyznaczenia pełnej kinematyki zderzenia ( V, V, θ i θ )! musimy ustalić b albo jeden z parametrów rozproszenia (np. kat θ ). A.F.Żarnecki Wykład VI 8

20 Zderzenia Zderzenia nie centralne Jeśli masy zderzajacych się sprężyscie ciał sa równe m = m zagadnienie bardzo się upraszcza Z zasad zachowania: V + V = V Θ V V Θ V + V = V Θ Θ wektory V, V i V tworza trójkat prostokatny. V θ + θ = π A.F.Żarnecki Wykład VI 9

21 Zderzenia m = m Fotografia zderzajacych się kul: Zderzenie proton-proton w komorze pęcherzykowej: V V V niska energia padajacej wiazki dynamika nierelatywistyczna A.F.Żarnecki Wykład VI 0

22 Zderzenia m = m b=r Stan końcowy zależy od parametru zderzenia b b=r b=0 V V b=0 b=r b = 0 zderzenie centralne V = V V = 0 b >= R brak zderzenia (kule mijaja się) V = 0 b=r V = V A.F.Żarnecki Wykład VI

23 Układ izolowany Izolowany układ wielu ciał: m p m 4 CM m VCM p 4 3 m Zasada zachowania pędu: P = i Układ środka masy p 3 p układ inercjalny p i = ÓÒ Ø Środek masy Klasyczna definicja położenia środka masy: i m R = i r i i m i średnia ważona z r i (z wagami w i = m i ) Ruch środka masy: m i =const V CM = d dt R = i m i VCM = i P = M V CM = i i m i d dt r i i m i m i v i pęd układu możemy zwiazać z ruchem środka masy A.F.Żarnecki Wykład VI p i

24 Układ środka masy Prędkość środka masy: V CM = i p i i m i (klasycznie) = P M Zawsze możemy tak zmienić układ odniesienia, żeby środek masy spoczywał Układ środka masy Układ środka masy jest w wielu przypadkach najwygodniejszym układem odniesienia szereg relacji bardzo się upraszcza p 3 CM p 3 Zasada zachowania pędu w CMS: (zmienne w CMS oznaczamy ) P = i p i = 0 p p 4 układ środka masy (CMS) 4 ogólna definicja układu środka masy słuszna także w przypadku v c A.F.Żarnecki Wykład VI 3

25 Układ środka masy Zderzenia nie centralne Układ środka masy: Układ laboratoryjny: V y V V =0 Θ V Θ b V y V b Θ Θ V V x x Zasada zachowania pędu: P = 0 Skomplikowane wyrażenia na prędkości końcowe w funkcji np. kata rozproszenia θ. Łatwiej jeśli m = m V V = V V θ = θ = m m A.F.Żarnecki Wykład VI 4

26 Układ środka masy Zderzenia sprężyste Układ środka masy: Zasada zachowania energii: V = m m V b V Θ V m V ( + m V m + m m ) V = = m V ( m + m m + m V ) V V Θ V = V V = V y x V Niezależnie od mas zderzajacych się ciał, wartości ich prędkości przed i po zderzeniu sprężystym sa takie same. W układzie środka masy! A.F.Żarnecki Wykład VI 5

27 Układ środka masy m = m Układ laboratoryjny: Układ środka masy: b=r V V = 0 V b=r V V V b=r b=0 V CM b=0 b=r b=r b=0 b=0 b=r V V V CM=0 b=r b=r A.F.Żarnecki Wykład VI 6

28 Układ środka masy m < m Układ środka masy: Układ laboratoryjny V V V V =0 V b=r V b=r b=0 b=r b=0 b=r b=0 b=r V CM b=0 b=r V V V CM =0 b=r Dla m = m v = v b=r V CM = 3 V A.F.Żarnecki Wykład VI 7

29 Układ środka masy m > m Układ środka masy: Układ laboratoryjny: V b=r V V b=r V =0 V V b=r b=0 b=r b=0 b=r b=0 V CM b=r b=0 V b=r V CM =0 V b=r Dla m = m v = v V CM = 3 V A.F.Żarnecki Wykład VI 8

30 Układ środka masy m > m Układ laboratoryjny: V V =0 Zwiazek między prędkościami: V CM = v = m m + m V V V * v = m m v = m m + m V V V CM Θ max V * Maksymalny kat rozproszenia pocisku : sin θ max = v V CM = m m Dla tarczy ograniczenie nie zależy od stosunku mas: 0 < θ < π A.F.Żarnecki Wykład VI 9

31 Układ środka masy Energia układu Transformacja prędkości: v i = v i + VCM v * v v v * 3 v3 M V v 4 CM v * 4 * v Energia kinetyczna układu: = i E k = i ( mi (v i ) m i v i = i + m i v i VCM Z zasady zachowania pędu: i m i v i V CM Ostatecznie: E k m i v i + V CM + m i V CM = V CM m i v i = V CM P = 0 i = E k + M V CM ) Energia kinetyczna układu jest suma energii wewnętrznej (Ek ) i energii kinetycznej układu jako całości. A.F.Żarnecki Wykład VI 30

32 Układ środka masy Moment pędu układu Transformacja galileusza: r i = r i + RCM v i = v i + VCM v * v v v * 3 v3 M V v 4 CM v * 4 * v Całkowity moment pędu względem poczatku układu L = i = i = m i r i v i m i ( RCM + r i ) ( VCM + v i ) m i i + i Z definicji CMS: otrzymujemy: RCM V CM + R CM m i v i i m i r i V CM + m i r i vi i mi v i = m i r i = 0 L = M R CM V CM + L CM Moment pędu układu jest suma wewnętrznego momentu pędu ( L CM ) (względem CM) i momentu pędu układu jako całości. A.F.Żarnecki Wykład VI 3

33 Układ środka masy Ruch środka masy Dla układu izolowanego P ÓÒ Ø = środek masy pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym I Zasada Dynamiki Pod działaniem sił zewnętrznych: F zw zmiana pędu układu: d P dt = i = i d p i dt F zw i = i + i F zw i j F ij = F zw II Zasada Dynamiki W oparciu o pojęcie środka masy możemy opisać ruch układu jako całości stosujac równania ruchu punktu materialnego. A.F.Żarnecki Wykład VI 3

34 Egzamin Przykładowe pytania testowe:. Dla ciała, poruszajacego się w polu sił centralnych, zachowana(y) jest A energia potencjalna B moment pędu C energia kinetyczna D pęd. Dla ciała, poruszajacego się w polu sił zachowawczych, zachowana(y) jest A moment pędu B pęd C energia kinetyczna D energia całkowita 3. Ciało A spuszczono swobodnie z wysokości cztery razy większej niż ciało B: h A = 4h B. Uzyskane prędkości A v A = v B B v A = v B C v A = 4 v B D v A = v B 4. Pocisk uderza centralnie z prędkościa v w nieruchoma tarczę o takiej samej masie. Zakładajac, że zderzenie jest elastyczne, prędkość pocisku po zderzeniu wyniesie A v = v B v = 0 C v = v D v = v 5. W zderzeniu sprężystym pocisku o masie m z nieruchoma tarczę o masie M suma katów rozproszenia pocisku i tarczy była większa od 90. Można na tej podstawie wnioskować, że A m M B m > M C m < M D m M A.F.Żarnecki Wykład VI 33

35 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego