ELEMENTY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ

Transkrypt

1 ELEMENTY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ Wykład 9 ELEMENTY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ What I'm really interested in is whether God could have made the world in a different way; that is, whether the necessity of logical simplicity leaves any freedom at all. Albert Einstein Zdj. Albert Einstein ( ). W 1905r. opublikował szczególną teorię względności (STW),a w 1916r. ogólną teorię względności. (OTW). 1

2 MECHANIKA RELATYWISTYCZNA Fizyka relatywistyczna jest związana z pomiarem miejsca i czasu zdarzeń w układach odniesienia, które poruszają się względem siebie. Stanowi nowe podejście do jednoczesności zdarzeń,, a także jaka odległość dzieli je w czasie i przestrzeni. Teoria względności (TW) zajmuje się transformacjami wyników pomiarów między poruszającymi się względem siebie układami odniesienia. Teoria jest nazwana szczególną, gdyż dotyczy tylko inercjalnych układów odniesienia, w których spełnione są zasady dynamiki Newtona. Ogólna teoria względności (OTW) dotyczy układów poruszających się z przyspieszeniem i stanowi inne spojrzenie na grawitację.

3 Wybrane przykłady z historii pomiaru prędkości światła Galileo Galilei ( ) Ok pierwsza próba pomiaru prędkości światła metodą czasu przelotu. Rys. Dwaj eksperymentatorzy O 1 i O zaopatrzeni w latarnie. O 1 odsłania latarnie, dając sygnał do O, który wtedy odsłania swoją latarnię. Rezultat: albo nieskończona albo zbyt duża żeby ją zmierzyć taką metodą 3

4 Pomiar prędkości światła - Metoda astronomiczna Ole Roemer ( ) 1676 wyznacza prędkość światła na podstawie obserwacji zaćmień satelity Jowisza. Pierwsze doświadczalne potwierdzenie, że prędkość światła jest skończona 4

5 Idea metody Roemera Obserwowany na Ziemi czas trwania zaćmienia satelity Io zależy od odległości do Ziemi c = m/s Zgadza się rząd wielkości, ale przyjęto za mały promień orbity Ziemi. 5

6 Pomiar w laboratorium Armand Fizeau ( ) pierwszy laboratoryjny pomiar prędkości światła. Metoda pomiaru wirujące koła zębate Rezultat: 6

7 9.1. TEORIA ETERU W XIX wieku uważano, że fale elektromagnetyczne rozchodzą się w hipotetycznym ośrodku - zwanym eterem, wypełniającym całą przestrzeń (cały kosmos) łącznie z ciałami materialnymi. v eteru Sol Ziemia v eteru Jeżeli istnieje eter, to czy ma on określoną prędkość? 7

8 Jeżeli inny układ odniesienia poruszałby się względem eteru z prędkością v,to mierzona w tym układzie prędkość światła, zgodnie z transformacją Galileusza, powinna wynosić:, c' c v c' c v c' c v a) -jeżeli kierunek ruchu światła i układu odniesienia jest taki sam b) -jeżeli kierunek ruchu światła i układu odniesienia jest przeciwny v eteru Czy istnieje eter? Sol Ziemia v eteru Ziemia porusza się w swoim obiegu wokół Słońca z prędkością liniową (9,79 km/s ). v 30 km/s Założenie: Ziemia porusza się względem eteru, zatem czas potrzebny na przejście światła pomiędzy dwoma punktami przy powierzchni Ziemi powinien zatem zależeć od kierunku ruchu światła. 8

9 9.. Doświadczenie Michelsona Morley a ( rok 1881) Próba wykrycia zależności prędkości światła od ruchu układu odniesienia (Ziemia), poruszającego się względem eteru. 1) Jeżeli kierunek ruchu światła i układu odniesienia jest taki sam, to c' c v L c v z Mierzono czas przelotu PZ1P i PZP: P c v z c v z (tab.) (9.1) L1 1 (tab.) Rys. Schemat interferometrem Michelsona (9.) gdzie: v z 1 oraz c 1 (9.3) 9

10 Doświadczenie Michelsona Morley a Bieg promienia oglądany przez nieruchomy eter: (9.4) (9.5) 10

11 Doświadczenie Michelsona Morley a Przy założeniu istnienia eteru obraz interferencyjny w polu widzenia ulega zmianie przy obrocie, oczekujemy: zmiany t zmiany fazy przesunięcia prążków interferencyjnych. Obracając cały układ o 90 stopni zwierciadła Z 1 i Z zmieniają się rolami, a różnica czasów jest równa: (9.6) Wnioski z doświadczenia: Brak zmian w obrazie interferencyjnym Prędkość światła nie dodała się do prędkości Ziemi, zatem hipoteza o stacjonarnym eterze jest błędna Prędkość światła jest stała i nie zależy od układu odniesienia W roku 1887 Albert Michelson z pomocą Edwarda Morleya powtórzyli eksperyment, wynik również był negatywny. 11

12 9.3. POSTULATY EINSTEINA 1. Postulat względności Dla wszystkich obserwatorów w inercjalnych układach odniesienia prawa fizyki są takie same. Żaden z układów nie jest wyróżniony. Postulat ten nie oznacza, że obserwatorzy we wszystkich układach inercjalnych, którzy mierzą wielkości fizyczne, uzyskają takie same wartości- w większości przypadków wcale tak nie będzie. To prawa fizyki, które wiążą ze sobą wyniki pomiarów, mają być takie same.. Postulat stałej prędkości światła We wszystkich inercjalnych układach odniesienia i we wszystkich kierunkach światło w próżni rozchodzi się z tą samą prędkością c. Ten sam postulat sformułowany inaczej oznacza, że w przyrodzie istnieje pewna nieprzekraczana prędkość c, która ma taką samą wartość we wszystkich kierunkach i wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Okazuje się, że światło porusza się z tą graniczną prędkością, podobnie jak wszystkie cząstki pozbawione masy ( z dobrym przybliżeniem można za takie uważać neutrina, których masy są niezwykle małe). Prędkość żadnego ciała przenoszącego energię lub informacje nie może przekroczyć prędkości granicznej. Co więcej żadna cząstka mająca masę nie może osiągnąć prędkości c, niezależnie od tego jak długo byłaby przyspieszana. 1

13 Weryfikacja postulatu stałej prędkości światła Zał. Jeżeli prędkość światła jest taka sama we wszystkich inercjalnych układach odniesienia, to światło emitowane przez poruszające się źródło powinno rozchodzić się z taką samą prędkością, jak światło źródła spoczywającego w laboratorium. Założenie potwierdzono eksperymentalnie. Rolę źródła światła spełniał obojętny pion π 0 Ulega ona rozpadowi na dwa fotony : Rys. źródło: W roku 1964 fizycy z Europejskiej Organizacji Badań Jądrowych CERN (Conseil Europeen pour la Recherche Nucleaire), przeprowadzili eksperyment. Wytworzyli wiązkę pionów poruszających się w układzie z laboratorium z v= 0,99975c. Następnie zmierzyli oni prędkość promieniowania emitowanego przez to poruszające się źródło. Wnioski: Prędkość światła emitowanego przez piony (π 0 ) jest taka sama, jak w przypadku π 0 spoczywających względem laboratorium. Warto podkreślić, że prędkość światła nie jest maksymalną prędkością obserwowaną w przyrodzie (np. świecąc ruchomym laserem na Księżycu, możemy spowodować, że plamka lasera będzie poruszać się szybciej od światła), ale żaden fizyczny układ odniesienia nie może jej przekroczyć. 13

14 Mechanika relatywistyczna Prędkość światła w ośrodku zależy od elektrycznych i magnetycznych własności tego ośrodka. W przypadku próżni mamy zależność: c (9.7) gdzie ε 0 - podatność elektryczna, μ 0 -podatność magnetyczna próżni. Zdjęcie Mgławicy Ślimaka (NGC 793) został stworzony z obrazów uzyskanych za pomocą Wide Field Imager (WFI), astronomicznej kamery przymocowanej do,-metrowego teleskopu Max-Planck Society/ESO znajdującego się w obserwatorium La Silla w Chile. Źródło: 14

15 Mechanika relatywistyczna Rys. Zgodnie z wynikami doświadczeń i drugim postulatem STW światło opuszcza reflektor z prędkością c i z taką samą prędkością dociera do przechodnia. Źr.: Fizyka dla szkół wyższych S. J. Ling, J. Sanny, W. Moebs 9.4. Transformacja Lorentza Transformacja Galileusza nie zgadza się w pełni z postulatami Einsteina Szukamy takiej transformacji współrzędnych, żeby w obu układach współrzędnych wiązka światła miała prędkość c. Na bazie postulatów, Einstein podał nowe wzory transformacyjne, opisujące przejście między układami nieruchomym O (x, y, z) i ruchomym O (x, y, z ) i vice versa. Wzory te noszą nazwę transformacji Lorentza, na pamiątkę holenderskiego fizyka i matematyka Hendrika Lorentza ( ), który wyprowadził je wcześniej. 15

16 Mechanika relatywistyczna W chwili początkowej t = t 0 = 0 początki obu układów pokrywały się. Punkt x porusza się razem z układem (x, y, z ). Równania wiążące czas i położenie zdarzeń widzianych w układzie S, to Rys. Transformacja Lorentza wiąże zdarzenia w obu układach. Transformacja Lorentza : x' v t' x v 1 c y y' z t z' v t' x' c v 1 c (9.9) 16

17 Mechanika relatywistyczna Odwrotna transformacja przedstawia współrzędne układu S w zmiennych układu S. Zamieniając miejscami primowane i nieprimowane współrzędne, otrzymujemy: Transformacja odwrotna: (9.10) x' y' z' t' t y z x 1 v c 1 vt v c v c x v c ; 1 1 (9.11) Definicja czynnika β i γ Lorentza: Prędkość światła c nie zmienia się, jest inwariantna (niezależna) względem transformacji Lorentza. 17

18 Mechanika relatywistyczna Prawa i sformułowania dotyczące nowych odkryć nie mogą być sprzeczne z prawami fizyki klasycznej. ( Zasada korespondencji, Niels Bohr 193r.) Gdy prędkość v << c, wzory transformacji Lorentza przekształcają się x x' vt' v ' ' c x 1 ~ 1 t t v 1 c x x' vt' w transformacje Galileusza. t t' Mechanika klasyczna okazuje się być granicznym, szczególnym przypadkiem mechaniki relatywistycznej. 18

19 9.5. DYLATACJA CZASU Konsekwencje transformacji Lorentza Zbadamy zagadnienie pomiaru czasu w obu układach. W chwili początkowej t = t 0 = 0 początki obu układów pokrywały się. Punkt Z porusza się razem z układem (x, y, z ), prędkość v = const.. Korzystając z transformacji Lorentza (i transformacji odwrotnej) możemy zapisać różnicę współrzędnych dwóch zdarzeń w czasoprzestrzeni: v t x t' c v 1 c t' ( t x) c Dany odstęp czasu można wyznaczyć np. na podstawie przebytej przez światło odległości. FIZYKA Rys. 1. Definicja - wykład układów 9 współrzędnych 19

20 DYLATACJA CZASU W układzie współrzędnych x y znajduje się pręt o długości L, ustawiony wzdłuż osi y, na końcu którego jest umocowane zwierciadło. W układzie x y ( własnym), światło przebywa drogę OZO w czasie: (9.18) Rys. 1. Definicja układów współrzędnych 0

21 Czas DYLATACJA CZASU przebiegu światła w układzie xy należy obliczyć: (9.19) (9.0) (9.1) 1

22 Dzieląc czasy mierzone w obu układach: : (9.) Zatem czas trwania zjawiska, zachodzącego w pewnym punkcie przestrzeni - mierzony w układzie odniesienia, względem którego ten punkt się porusza jest dłuższy niż czas trwania tego zjawiska w układzie odniesienia, w którym punkt spoczywa. stąd Zmiana czasu o czynnik ' ', gdzie 1 v 1 c nazywana jest DYLATACJĄ (WYDŁUŻENIEM) CZASU. I jest to cecha samego czasu, a nie specjalnej konstrukcji zegara świetlnego. Również wszystkie procesy fizyczne (chemiczne; i biologiczne!) muszą być spowalniane w ruchu. (9.3) (9.4)

23 DYLATACJA CZASU Przykład 1 1. Cząstki elementarne zwane mionami (μ) powstają w wysokich partiach atmosfery na wysokości 10 km., na skutek oddziaływania z promieniowaniem kosmicznym. Czas życia mionów t 0 = x 10-6 s. Jaką drogę pokonają miony? Czy i jaka część dotrze do powierzchni Ziemi? a) Klasyczne rozwiązanie: Mion nie dotrze do powierzchni Ziemi. b) Relatywistyczne rozwiązanie: Niech v = c; Czas życia mionu należy obliczyć, korzystając ze wzoru: t (0.999) 45x10 s t t 0 1 v c Droga jaką pokona mion wynosi: Mion z łatwością dociera do powierzchni Ziemi. Druga odpowiedź jest prawdziwa: miony docierają do powierzchni Ziemi! 3

24 DYLATACJA CZASU Przykład. GPS. (Globalny System Pozycjonowania) uwzględnia grawitacyjną dylatację czasu w procedurze precyzyjnego określania położenia. Inaczej położenie byłoby wyznaczone znacznie mniej dokładne. Miliony ludzi korzystających z GPS-ów wykorzystuje codziennie (i sprawdza zarazem ich poprawność) równania STW. Rys. Aktualnie aktywnych jest 31 satelitów (stan na 5 maja 016) z 3 docelowych. źródło: 4

25 Przykład - Paradoks bliźniąt Rys. Paradoks bliźniąt to eksperyment myślowy, którego sprzeczność tkwi w rożnym tempie starzenia się rodzeństwa, z którego jedno odbywa podroż kosmiczną z prędkością zbliżoną do prędkości światła. Źródło: Fizyka dla szkół wyższych S. J. Ling, J. Sanny, W. Moebs W tej historii wnioski obu bliźniąt są sprzeczne jeden wyklucza drugi. Ta sprzeczność ta jest wynikiem fałszywych założeń. Astronautka przyspiesza, wyruszając w podroż, i zwalnia, zbliżając się do celu (analogicznie wracając). W takim przypadku statek kosmiczny nie jest układem inercjalnym, do którego moglibyśmy bezpośrednio zastosować wzór na dylatację czasu. sytuacja nie jest symetryczna i nie można powiedzieć, że astronauta obserwuje te same efekty, co jego bliźniak. 5

26 9.6. KONTRAKCJA DŁUGOŚCI Skrócenie długości (relatywistyczne) Przyjmijmy teraz, że w układzie X Y znajduje się nieruchomy pręt o długości L, skierowany wzdłuż osi x, na końcu którego jest umocowane zwierciadło (rys. (a)). W układzie tym długość pręta L można wyrazić wzorem: (9.6) gdzie τ - czas przebiegu impulsu świetlnego z punktu O do zwierciadła Z i z powrotem (do O ). 6

27 b) Skrócenie długości (relatywistyczne) W układzie nieprimowanym (rys (b)) dla ruchu światła w dodatnim kierunku osi x mamy zależność: (9.7) (9.8) Podobnie, dla ruchu światła odbitego od zwierciadła (rys. (c)), otrzymujemy: c) (9.9) gdzie: τ - czas, w jakim impuls świetlny powrócił do punktu O. Stąd: (9.30) Całkowity czas τ przebiegu impulsu świetlnego jest więc równy: (9.31) 7

28 Skrócenie długości (relatywistyczne) Długość pręta L w układzie nieprimowanym można więc wyrazić wzorem: (9.3) Dzieląc stronami równanie (9.3) przez (9.6) znajdziemy: (9.33) Biorąc pod uwagę dylatację czasu: (9.34) (9.35) Długość ciała - mierzona w układzie odniesienia, względem którego ciało się porusza - jest w kierunku ruchu mniejsza niż jego długość mierzona w układzie, w którym ciało spoczywa. Efekt ten nazywa się KONTRAKCJĄ (SKRÓCENIEM) LORENTZA. 8

29 Przykład. Długość własna i czas własny w rożnych układach inercjalnych Dla obserwatora znajdującego się na Ziemi mion porusza się z prędkością 0,95c przez 7,05 μs od momentu powstania do rozpadu. Tak więc mion pokonuje odległość względem Ziemi równą: W układzie odniesienia mionu czas jego życia wynosi, μs. W tym układzie Ziemia ma czas na przebycie jedynie: Rys. (a) Obserwator znajdujący się na Ziemi rejestruje przemieszczenie się mionu równe odległości,01 km. (b) Ta sama droga ma długość 0,67 km, gdy jest obserwowana z układu odniesienia mionu. Otoczenie (Ziemia, powietrze i chmury) porusza się względem mionu i ulega skróceniu w kierunku przemieszczenia. Źródło: Fizyka dla szkół wyższych S. J. Ling, J. Sanny, W. Moebs Odległość pomiędzy tą samą parą zdarzeń (w tym przypadku produkcją mionu i jego rozpadem) zależy od FIZYKA tego, w - wykład ktorym 9 układzie dokonywany jest pomiar i czy układ porusza się względem zdarzenia. 9

30 Mechanika relatywistyczna 9.7. Czas i przestrzeń w mechanice relatywistycznej W mechanice relatywistycznej czas przestaje odróżniać się od współrzędnych przestrzennych. Czas pomnożony przez prędkość światła c staje się dodatkową współrzędną. Przestrzeń zamienia się w czasoprzestrzeń 4 wymiarową (4D):. Weźmy dwa różne punkty w czasoprzestrzeni. Kwadrat odległości dwóch punktów w czasoprzestrzeni jest niezmiennikiem przekształcenia (transformacji) Lorentza. (9.36) ( s) ( ct) ( x) ( y) ( z ) (9.37) Wielkość (ΔS ) nazywamy interwałem czasoprzestrzennym. 30

31 Współrzędne przestrzenne Czas i przestrzeń (mechanika relatywistyczna) x, y, z i współrzędna czasowa t wszystkich możliwych zdarzeń rozpatrywanych w określonym inercjalnym układzie odniesienia tworzą czterowymiarową przestrzeń zdarzeń o współrzędnych ct, x, y, z nazywamy ją czasoprzestrzenią lub przestrzenią Minkowskiego. Rzut (D), czterowymiarowej (4D) czasoprzestrzeni Minkowskiego (1908). Pionowa oś to oś czasu; pozioma współrzędną przestrzenną. Linia przerywano to linia świata obserwatora. Górna środkowa ćwiartka, to zbór przyszłych możliwych, widzialnych zdarzeń dla obserwatora (przyszłość), dolna środkowa ćwiartka to zbiór przeszłych zdarzeń (przeszłość), punkt przecięcia oznacza teraźniejszość. Dwie środkowe ćwiartki oznaczają obszary czasoprzestrzeni niedostępne dla obserwatora (c skończone!). Punkty oznaczają zdarzenia w czasoprzestrzeni. Rys. Czasoprzestrzeń Minkowskiego. Stożek świetlny. 31

32 Czas i przestrzeń (mechanika relatywistyczna) Czasoprzestrzeń Równanie stożka świetlnego: (9.4) Zdarzenie (teraźniejszość) "gdzie indziej" Punkt w czasoprzestrzeni nosi nazwę punktu świata, a zbiór punktów opisujących przemieszczenia danego ciała w czasie i przestrzeni tworzy linię świata. Linie te mieszczą się wewnątrz stożka zwanego stożkiem świetlnym lub stożkiem Minkowskiego. Stożek świetlny lub stożek Minkowskiego Stożek ten określa przeszłość i przyszłość zdarzenia O. Wszystkie zdarzenia z obszaru "gdzie indziej" ani nie mogły mieć wpływu na zdarzenie O w przeszłości, ani nie mogą mieć w przyszłości; nie pozostają z tym zdarzeniem w żadnym stosunku przyczynowym. 3

33 Mechanika relatywistyczna 9.8. Relatywistyczne dodawanie prędkości według Einsteina Zajmiemy się przypadkiem gdy cząstka ma już pewną prędkość Sprawdzimy jaką prędkość poruszają się względem siebie ze stałą prędkością v = const. Z transformacji (odwrotnej) Lorentza otrzymujemy : x' x vt Dla nieskończenie małych przyrostów x i t : I otrzymamy: dx' dx u x ' dx' dt' u x ' vdt dt w układzie odniesienia XYZ. zmierzy obserwator w układzie X Y Z, jeżeli układy odniesienia dx vdt oraz i u v ' t c t x v dt' dt c v c dx 1 v c u x x v u x dx (9.43) (9.44) (9.45) wzór Einsteina na dodawanie prędkości. gdzie: u x dx dt Wzory z transformacji Lorentza przechodzą we wzory transformacji Galileusza: Dla / c 0 v otrzymamy: u' u v 33

34 Przykład 1 Niech układ O porusza się z prędkością v 1 =0.98c (skierowaną wzdłuż osi X układu), a w układzie O punkt x porusza się z prędkością v =0.98c. Wyznacz prędkość punktu x względem nieruchomego układu O. Rozwiązanie: Zgodnie z transformacją prędkości: v v 1 1 v v v 1 c 0.98c 0.98c v c (0.98c) 1 c Dla v 1 = v = c, otrzymamy v =c. Składając prędkości nigdy nie przekroczymy prędkości światła. 34

35 Mechanika relatywistyczna 9.9. Elementy dynamiki relatywistycznej Masa w mechanice relatywistycznej. Jak opisać zachowanie ciała pod wpływem sił w sytuacji, gdy transformacja Lorentza, jest prawdziwa? W klasycznej dynamice (Newtona) przyjmuje się, że masa ciała jest niezależna od jego prędkości, tj. jest jednakowa we wszystkich układach odniesienia. Przypomnijmy postacie II zasady dynamiki Newtona: F ma F dp dt Einstein ( w 1905r) wniósł istotną poprawkę do założeń Newtona, stwierdzając, że w mechanice relatywistycznej masa ciała zmienia się z jego prędkością. Jej wartość w układzie, w którym ciało ma prędkość wynosi: v d( mv) dt (9.46) Zależność masy od prędkości (9.47) m 0 We wzorze tym ma stałą wartość i nazywa się masą spoczynkową ciała (mierzoną w układzie odniesienia, w którym ciało spoczywa), m- nazywamy relatywistyczną masą ciała.. 35

36 Mechanika relatywistyczna m m 0 3 Zmiana masy przy małych prędkościach jest znikoma. Masa cząstki rośnie wraz z prędkością od v~0,5c i zmierza do nieskończoności gdy V c. 1 0,5 1 v c m Rys. Zależność czynnika Lorentza od stosunku prędkości v. Klasyczna definicja pędu: Nowa definicja pędu: która zapewni prawdziwość zasady zachowania pędu przy transformacji do dowolnego układu współrzędnych, podana przez Einsteina. m 0 Zmiana masy z prędkością została potwierdzona wieloma doświadczeniami przeprowadzonymi dla cząstek elementarnych Pęd w mechanice relatywistycznej p mv, gdzie jest prędkością ciała. p mv m 0 v v 1 c v c (9.48) 36

37 Mechanika relatywistyczna Relatywistyczna zależność prędkości ciała od czasu działania stałej siły. Rozpatrzmy teraz ruch ciała pod wpływem stałej siły F działającej równolegle do kierunku ruchu. Zależność prędkości v ciała od czasu t obliczamy na podstawie drugiej zasad dynamiki Newtona: d F m v 0 1 Po scałkowaniu zależności (7.48) otrzymamy: m v 1 v c v c dp dt Fdt F t C (9.49) (9.50) 0 (9.51) gdzie C-stała całkowania. Zakładając, że dla t=0, v=0, otrzymamy C=0. Rozwiązując (na tablicy) równanie (7.49) względem v, otrzymamy zależność: Ft v( t) (9.5) F t m0 1 m c 0 37

38 Mechanika relatywistyczna v( t) Ft m 0 v( t) Ft m0 1 F t m0c Rys. Zależność prędkości ciała od czasu działania stałej siły w mechanice klasycznej i relatywistycznej W przeciwieństwie do opisu klasycznego, z powyższej zależności wynika, że cząstki nie da się przyspieszać w nieskończoność działając stałą siłą. 38

39 Mechanika relatywistyczna II zasada dynamiki w postaci relatywistycznej (9.53) (9.54) (9.55) 39

40 Mechanika relatywistyczna Relatywistyczna energia kinetyczna (9.56) (9.57) (9.58) 40

41 Mechanika relatywistyczna (9.59) (9.60) Po scałkowaniu porządkujemy otrzymane wyrażenie. (9.61) 41

42 Mechanika relatywistyczna Uwzględniając granice całkowania, otrzymujemy wzór na energię kinetyczną: (9.6) (9.63) E m Według Einsteina ten drugi człon: 0 0c ma sens energii spoczynkowej ciała wielkości, której istnieniu zawdzięczamy m.in. bombę atomową... wzór Einsteina: lub wyraża równoważność masy i energii. 4

43 Mechanika relatywistyczna Przykład. Potwierdzenie słuszności związku wyrażającego równoważność masy i energii. W wyniku zderzenia dwóch jąder złota energia kinetyczna jąder zamienia się w masy tysięcy cząstek powstałych w zderzeniu, zgodnie ze wzorem: 43

44 Mechanika relatywistyczna Czy dla małych prędkości wzór na energię kinetyczną przejdzie w klasyczne wyrażenie? (9.64) (9.65) (9.66) (9.67) Otrzymaliśmy wzór przybliżony na energię kinetyczną, który można stosować tylko dla małych prędkości (małych w porównaniu z prędkością światła; v<<c). 44

45 Mechanika relatywistyczna ZWIĄZEK ENERGII, PĘDU I MASY (9.67) (9.68) (9.69) Związek energii całkowitej, pędu i masy spoczynkowej. Stąd: (9.70) Wzór ten przyjmuje szczególnie prostą postać dla cząstek o zerowej masie spoczynkowej, m0 =0, które poruszają się w każdym układzie odniesienia z prędkością światła (np. fotony, neutrina). Zachodzi wówczas związek: E=cp. 45

46 Czterowektor w czasoprzestrzeni Jeśli w powyższym wyrażeniu pęd określimy przez współrzędne : (9.71) otrzymamy czterowektor energii-pędu : (9.7) (9.73) (9.74) (9.75) 46

47 Mechanika relatywistyczna Transformacja Lorentza pędu i energii ma podobną postać do transformacji współrzędnych i czasu: (9.76) Prędkość światła jest graniczną prędkością: żadne ciało o różnej od zera masie spoczynkowej nie osiągnie tej prędkości. 47

48 Cząstki o zerowej masie spoczynkowej Istnieją również cząstki, które nie mają masy spoczynkowej! Należą do nich np. FOTONY kwanty promieniowania elektromagnetycznego. Teoria korpuskularna światła każe je traktować jak cząstki ze względu na to, że mają one pęd i energię, choć nie mają masy masy spoczynkowej! Korzystając ze wzoru: podstawiając m 0 E otrzymujemy: p c p E c 4 m c związek między pędem i energią takiej bezmasowej cząstki. Korzystając ze związku: Mechanika relatywistyczna p u E c m 0 (9.77) (9.78) (9.79) stwierdzimy, że prędkość cząstki o masie spoczynkowej musi wynosić! c 48

49 Ogólna teoria względności (OTW)- wzmianka Ogólna teoria względności (OTW) sformułowana przez Alberta Einsteina w 1915 roku, a opublikowanej w roku Główna teza OTW: siła grawitacji wynika z lokalnej geometrii czasoprzestrzeni i na odwrót grawitacja kształtuje czasoprzestrzeń. Podstawą tej teorii jest zasada równoważności (masa grawitacyjna jest równoważna masie bezwładnej w tym sensie, że nie sposób doświadczalnie odróżnić jednej od drugiej). Jednym z wniosków tej teorii jest stwierdzenie, że obecność masy odkształca otaczającą ją przestrzeń i wobec tego poruszające się w takiej przestrzeni ciała mają tory zakrzywiające się ku masie, która to odkształcenie spowodowała, co powoduje powstanie przyspieszeń ( normalne w ruchu krzywoliniowym) i jest obserwowane jako działanie sił grawitacyjnych! Inną konsekwencją tej teorii są np.: - powiększenie się długości fali światła emitowanego przez źródło, mające masę grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni; - zakrzywianie się wiązki światła w pobliżu dużej masy. 49

50 Ogólna teoria względności Zgodnie z ogólną teorią względności masa powoduje odkształcenie czasoprzestrzeni, a odkształcona czasoprzestrzeń wyznacza ruch poruszających się w niej mas. W konsekwencji w pobliżu masywnych obiektów przestrzeń się zakrzywia a czas płynie wolniej. Zaburzenie ruchu planet przez ugięcie czasoprzestrzeni w pobliżu ciał o dużej masie Ilustracja koncepcji o ugięciu czasoprzestrzeni w pobliżu ciała o dużej masie zakrzywiającego czasoprzestrzeń. 50

51 Mechanika relatywistyczna materiały dodatkowe (dla chętnych) Rys. Albert Einstein ( ), jako człowiek stulecia z okładki magazynu Time. 51

52 Mechanika relatywistyczna materiały dodatkowe (dla chętnych) Transformacja czasu - wyprowadzenie Skorzystamy z postulatu o równouprawnieniu obu układów odniesienia. Transformacja odwrotna do transformacji (8.8) powinna więc mieć postać (8.9): (9.1) (znak + odpowiada przeciwnemu kierunkowi ruchu układu nieprimowanego względem primowanego ). Podstawiając wyrażenie (8.8*) do wzoru (8.9) znajdujemy: (9.13) skąd, wyznaczamy czas t : (9.14) (9.15) 5

53 Mechanika relatywistyczna Czynnik występujący przy współrzędnej x można wyrazić jako: (9.16) Transformację czasu określa więc wyrażenie: (9.15) (9.16) (9.17) Ostatecznie wzory opisujące transformacji Lorentza: (9.9*) 53

54 Czas i przestrzeń (mechanika relatywistyczna) t dt dx Rys. przedstawia górną część czasoprzestrzeni, dla której czas jest dodatni, czyli od teraźniejszości w przyszłość. Zaznaczono zdarzenie teraźniejszości i trzy zdarzenia w przyszłości: a) wewnątrz stożka świetlnego, b) na zewnątrz stożka świetlnego oraz c) na stożku świetlnym. dt Kolorem zielonym zaznaczono obszar na zewnątrz stożka światła. Rys. Czasoprzestrzeń Minkowskiego, od teraźniejszości do przyszłości. dx x Wzór na interwał czasoprzestrzenny przybierze postać: (9.38) Kwadrat odległości dwóch punktów w przestrzeni Euklidesowej jest równy (twierdzenie Pitagorasa): ( ds) ( dx) ( dy ) 54

55 Czas i przestrzeń (mechanika relatywistyczna) t dx Na rys. ukazano trzy możliwe wartości interwału (współrzędne: t, x) : a) interwał typu czasowego, może istnieć związek przyczynowo skutkowy między zdarzeniami, zdarzenia leżą wewnątrz stożka świetlnego (rys. linia czerwona), rzeczywisty; dt ct x ( s) 0 (9.39) Rys. Czasoprzestrzeń Minkowskiego, od teraźniejszości do przyszłości. dx dt x b) interwał typu przestrzennego, nie ma związku przyczynowo skutkowego między zdarzeniami, zdarzenia wewnątrz i na zewnątrz stożka świetlnego (rys. linia niebieska), zespolony; ct x ( s) 0 (9.40) c) interwał zerowy, zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym, zdarzenia na pobocznicy stożka świetlnego (rys. linia żółta). ct x ( s) 0 (9.41) 55

56 Dziękuję za uwagę! 56