Interakcyjna metoda komputerowa do nauczania elementów Szczególnej Teorii

Transkrypt

1 Interakcyjna metoda komputerowa do nauczania elementów Szczególnej Teorii Wzglȩdności Micha l Kulik praca magisterska napisana pod kierunkiem dra hab. Stanis lawa G lazka w Nauczycielskim Kolegium Fizyki Wydzia lu Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego Warszawa, 2003

2 Spis treści 1 Wstȩp 2 2 Różne sposoby nauczania STW 3 3 Opis programu Pierwsza strona programu Krok startowy Krok Krok 2, synchronizacja Krok Krok Krok 5, pomiar d lugości transportera w ruchu Krok Krok Krok Krok Krok Krok Krok Krok Strona Strony 2 i Strona Strona Strona Strona Strony 8 i Strona Strony 11 i Strona Strona Strona Krok Krok Krok Pierwsze reakcje studentów 23 5 P lyta CD z opisywanym programem 24 1

3 1 Wstȩp Sformu lowania takie jak:,,czas p lynie wolniej jeśli sie dostatecznie szybko poruszasz, czy,,przedmioty bed ace w ruchu skracaja sie przyciagaj a ludzka uwage, i powoduja powstanie pytania: dlaczego? Na pierwszym roku studiów dowiedzia lem sie, że żaden obiekt nie może poruszać sie z predkości a wieksz a od predkości świat la. By lo to niezgodne z moim zdrowym rozsadkiem. Wyobraża lem sobie wielki statek kosmiczny, lecacy z predkości a 0.75c wzgledem mnie. Z tego statku startuje ma la sonda kosmiczna, która osiaga predkość 0.5c wzgledem statku. Oczywisty by l dla mnie fakt, że w tej sytuacji sonda porusza sie wzgledem mnie z predkości a 1.25c. Myśle, że wielu studentów mia lo i ma do tej pory podobne problemy. Reakcja studenta na taka trudność może być siegni ecie do źród la, czyli do pracy pt.,,o elektrodynamice cia l w ruchu z roku 1905 [1]. Einstein wyjaśni l relacje miedzy pojeciami czasu i przestrzeni dla różnych obserwatorów w przypadku, gdy ci obserwatorzy poruszaja sie wzgledem siebie z predkości a porównywalna do predkości świat la. Czytajac prace Einsteina można sie dowiedzieć, jak jemu uda lo sie zrozumieć te relacje, i samemu spróbować odpowiedzieć na pytania, które powstaja przy okazji próby zrozumienia Szczególnej Teorii Wzgledności (STW). W niniejszej pracy opisany jest komputerowy program edukacyjny, którego zadaniem jest pomóc w zrozumieniu rozdzia lu,,cześć kinematyczna pracy Einsteina. Opisujac kolejne ekrany zamieszczone w programie, staram sie omówić trudności, które moga sie pojawić podczas prób zrozumienia STW, a przez to wyjaśnić sposób konstrukcji programu, który s luży pokonywaniu tych trudności. Program jest przeznaczony dla studentów pierwszych lat fizyki, którzy nie mieli jeszcze okazji zrozumieć STW. W konstrukcji programu można wyróżnić trzy cześci. Pierwsza obejmuje kroki od 1 do 12, które moga s lużyć studentowi jako laboratorium do wykonywania doświadczeń myślowych. W tych krokach student zapoznaje sie z zagadnieniami zwiazanymi z STW, a dokonujac pomiarów i wykonujac w poszczególnych krokach zadania, buduje swoja intuicje, która jest mu potrzebna do przejścia przez krok 13. Druga cześci a jest sam krok 13. Ten krok polega na interakcyjnej lekturze 15 stron, na których jest przedstawione wyprowadzenie transformacji Lorentza zgodnie z treścia artyku lu Einsteina [1]. Dopiero ten krok jest w laściwym wprowadzeniem do teorii, kiedy student zebra l już pewne doświadczenie i może zrozumieć podstawy STW. Trzecia cześci a sa kroki od 14 do 16, w których program zapoznaje studenta z konsekwencjami transformacji Lorentza. Jednocześnie te kroki pozwalaja studentowi zastosować wprowadzona teorie do konkretnych problemów fizycznych. Program jest napisany w jezyku Java 2, bo ten jezyk umożliwia zamieszczenie programu na stronie internetowej i udostepnienie wielu studentom minimalnym kosztem. Rozpoczynajac prace nad programem, s labo zna lem zasady pro- 2

4 gramowania w jezyku Java 2. Uczy lem sie tych zasad w miare potrzeb i powstawania pomys lów na kolejne ekrany programu. Zapewne profesjonalny programista rozwiaza l by wiele technicznych problemów lepiej (moje postepy w nauce programowania także owocowa ly wieloma usprawnieniami kodu), ale sposób napisania kodu jest wystarczajacy do sprawnego dzia lania programu. Wiele problemów sprawi lo mi dostosowanie programu jednocześnie do dwóch systemów operacyjnych Linux i Windows. W trakcie pisania programu zauważy lem, że na niektórych komputerach, najcześciej w systemie Linux, nie wyświetlaja sie polskie czcionki. Ponieważ opuszczenie kropek i ogonków wnosi mniejsze trudności, niż brak polskich liter, kiedy nie moga sie wyświetlić, w tekstach programu zrezygnowa lem z używania polskich liter, i np. zamiast litery,, a, uży lem po prostu litery,,a. Kod programu ma oko lo 6000 wierszy, a jego wydruk zaja lby ponad 120 stron. Biorac pod uwage oszczedność papieru i pieniedzy, zdecydowa lem sie umieścić kod na do l aczonej do tej pracy p lycie CD z opisywanym programem. Obecnie program jest też umieszczony pod adresem:,, stglazek/stw. 2 Różne sposoby nauczania STW Od 1905 roku powsta lo wiele pomys lów na nauczanie STW. Klasyk dydaktyki fizyki A. Arons [2] proponuje zaczać od wprowadzenia postulatów Einsteina o równouprawnieniu inercjalnych uk ladów odniesienia oraz o niezależności predkości świat la od predkości źród la. Nastepnie proponuje omówić eksperyment myślowy dotyczacy synchronizacji zegarów, w którym można zauważyć różnice zdań miedzy dwoma obserwatorami poruszajacymi sie wzgledem siebie z predkości a v. Kolejnym krokiem proponowanym przez Aronsa jest zwrócenie studentom uwagi na problem pomiaru d lugości przedmiotu w uk ladzie, w którym ten przedmiot sie porusza. Pomiar d lugości przedmiotu w ruchu wymaga zaznaczenia po lożeń poczatku i końca przedmiotu w jednej chwili czasu. Ponieważ jedna chwila czasu jest różnie definiowana przez różnych obserwatorów, to ich wyniki pomiaru d lugości też bed a różne. Wed lug Aronsa jest to sposób na przygotowanie studentów do, na poczatku trudnych do zaakceptowania, konsekwencji STW. R. Feynman [3] rozpoczyna od przedstawienia studentom poprawki, która wnosi STW do drugiego prawa Newtona (m = m 0 γ). Nastepnie analizuje transformacje Galileusza i przytacza fakt, że zastosowanie jej do praw Maxwella powoduje niezgodność tych praw z zasada wzgledności. Odwo luje sie też do doświadczenia Michelsona i Morleya. W ten sposób wprowadza transformacje Lorentza, jako te, dzieki której wszystkie prawa fizyki wygladaj a taka samo, niezależnie od inercjalnego uk ladu, w którym te prawa obserwujemy. 3

5 A. Szymacha [4], korzystajac tylko z zasady wzgledności, wyprowadza zwiazek pomiedzy wspó lrzednymi x i t, a wspó lrzednymi x i t przypisywanymi zdarzeniom w dwóch uk ladach odniesienia, poruszajacych sie wzgledem siebie z predkości a v. Zwiazek ten zawiera pewna sta l a C. Jeśli sta la C jest równa zero, to wyprowadzony zwiazek upraszcza sie do transformacji Galileusza, jeśli C jest dodatnie i równe 1/c 2 to zwiazek staje sie transformacja Lorentza. Istotna cecha tego sposobu jest brak za lożenia o niezależności predkości świat la od predkości źród la. Podobny sposób prezentuje A. Sen [5]. Analizujac eksperyment myślowy (poruszajacy sie wzgledem peronu pociag i mucha poruszajaca sie wzgledem obu) wyprowadza zwiazek miedzy predkościami (muchy wzgledem pociagu, pociagu wzgledem peronu, i muchy wzgle- dem peronu) zawierajacy sta l a f. Jeśli sta la f jest równa 1 to transformacja predkości jest transformacja Galileuszowa, jeśli f < 1 to otrzymany zwiazek pomie- dzy predkościami staje sie transformacja predkości Lorentza. Analogiczne rozumowanie jest zastosowane dla transformacji wspó lrzednych. R. Wolfson [6] k ladzie duży nacisk na historyczne uzasadnienie powstania STW. Analizuje zasade wzgledności Galileusza oraz (ogólnie) prawa Maxwella. Omawia problem odpowiedzi na pytanie, wzgledem jakiego uk ladu odniesienia świat lo porusza sie z predkości a c? Opowiada o doświadczeniu Michelsona i Morleya, i jego wynikach. Wreszcie mówi, że fizycy odrzucili hipoteze istnienia eteru i przedstawia nowe podejście do pojeć przestrzeni i czasu, które zaproponowa l A. Einstein. Warty uwagi jest sposób, w jaki Wolfson mówi o postulatach Einsteina. Mówi o tym, że postulaty sa dwa: równouprawnienie uk ladów odniesienia oraz niezależność predkości świat la od predkości źród la, ale jego zdaniem z pierwszego postulatu wynika drugi. Ponieważ pierwszy postulat zapewnia, że wszystkie prawa fizyki wygladaj a tak samo niezależnie od inercjalnego uk ladu, w którym te prawa opisujemy, to także prawa Maxwella powinny wygladać tak samo w każdym uk ladzie inercjalnym. Prawa Maxwella implikuja istnienie fali elektromagnetycznej, poruszajacej sie z predkości a c. Zatem predkość świat la musi wynosić c niezależnie od ruchu źród la, żeby pierwszy postulat by l spe lniony także dla praw Maxwella. S. Bażański [8] także rozpoczyna od historycznych podstaw STW. Omawia doświadczenia majace istotny wp lyw na powstanie STW takie jak: doświadczenie Michelsona i Morleya, zjawisko aberracji, doświadczenie Fizeau. Wartym zauważenia jest fakt, że autor nie używa rysunków czasoprzestrzeni, na których linia świata studenta w roli obserwatora jest pionowa. Pozwala to uniknać petryfikacji uk ladu odniesienia, czyli przywiazania studenta do uk ladu, w którym jego linia świata jest pionowa. Przywiazanie studenta do obrazu czasoprzestrzeni,w którym jego linia świata jest pionowa, może spowodować powstanie w g lowie studenta przeświadczenia, że jego uk lad odniesienia jest w jakiś sposób wyróżniony. Aby uniknać takiego przyzwyczajenia w kroku dziesiatym jest również druga mapa czasoprzestrzeni, na której student może zauważyć, jak jego linie świata narysuje obserwator spoczywajacy w uk ladzie, w którym student porusza sie z predkości a v. 4

6 Kolejny sposób wprowadzania teorii wzgledności proponuja W. Kopczyński i A. Trautman. We wstepie do ksiażki pt.,,czasoprzestrzeń i grawitacja [7] pisza:,,(...) W niniejszej ksiażce po lożyliśmy nacisk przede wszystkim na strone pojeciow a szczególnej i ogólnej teorii wzgledności. Dużo uwagi poświeciliśmy aspektom geometrycznym tych teorii. (...). W kontaktach ze studentami można zauważyć, że taki geometryczny punkt widzenia jest dla nich atrakcyjny, ale wymagajacy zapoznania sie z wieloma przyk ladami, które przyzwyczajaja umys l do myślenia o czasoprzestrzeni w jezyku geometrii. Program opisywany w tej pracy oddaje do rak użytkownika narzedzie do interakcyjnej wizualizacji doświadczeń myślowych, jakby w roli sto lu laboratoryjnego. Student, oprócz s luchania lub czytania, może za pomoca komputera wykonywać eksperymenty pomagajace oswoić sie z pojeciem czasoprzestrzeni (krok 2 i 5). Może też zobaczyć animacje ilustrujace niektóre efekty STW (krok 8 i 12). Niemniej program nie ma na celu wyeliminowania kontaktu studenta z wyk ladowca. Bezpośrednia relacja miedzy studentem, a nauczycielem jest nieod l acznym elementem procesu uczenia sie. Chodzi o to, żeby ten kontakt u latwić dostarczajac narzedzia do wizualizacji niezbednych doświadczeń myślowych (,,gedanken ) Einsteina. 3 Opis programu 3.1 Pierwsza strona programu Po otwarciu strony internetowej, mieszczacej sie pod adresem,, stglazek/stw, wyświetla sie tekst fabu ly programu. G lównym zadaniem tej fabu ly jest zachecenie studenta do klikniecia na przycisk uruchamiajacy program. Tekst jest utrzymany w nastroju science-fiction, choć opowiada o zdarzeniach, które moga zdarzyć sie w odleg lej przysz lości. Temat historyjki zosta l wybrany w ten sposób dlatego, że w życiu codziennym dzisiejszego cz lowieka trudno jest spotkać efekty relatywistyczne. Tekst wprowadza w świat ogromnych odleg lości i predkości porównywalnych z predkości a świat la. Jest to wstep do uświadomienia użytkownikowi, że aby zrozumieć STW musi zaczać myśleć nie tylko o,,w lasnym podwórku, nie o odleg lościach rzedu Warszawa - Szczecin, czy nawet Warszawa - Sydney, ale o odleg lościach rzedu Ziemia - Mars, czy Ziemia - S lońce. Także predkości, z którymi poruszamy sie na codzień, sa w porównaniu z predkości a świat la bardzo ma le. Świat lo, na pokonanie drogi równej obwodowi Ziemii potrzebuje zaledwie oko lo 0.13s. Żeby wyobrazić sobie efekty zwiazane ze STW należy myśleć o obiektach, które moga odbyć podróż dooko la świata w czasie rzedu jednej sekundy, a nie 80-ciu dni, czy nawet kilku godzin. W tym programie takimi obiektami sa transportery, kursujace miedzy Uk ladem S lonecznym, a Alfa Centauri. Odleg lość miedzy tymi obiektami wynosi oko lo 4 lat świetlnych (ok km). Żeby podróż transportera trwa la krócej niż życie cz lowieka na Ziemii, jego predkość musi być tego 5

7 samego rzedu co predkość świat la. Kolejnym celem historyjki jest umotywowanie studenta do wykonywania zadań zamieszczonych na ekranach. Motywem do dzia lania jest cheć sprawdzenia, że potrafi sie zdobyć dobrze p latna posade w dużej firmie dzia lajacej w ca lej galaktyce. Można zdobywać punkty, a na końcu dowiedzieć sie, czy wygra lo sie konkurs. 3.2 Krok startowy Ten krok jest w cześci kontynuacja pierwszej strony. Górna cześć ekranu sk lada sie z niebieskiego t la, symbolizujacego przestrzeń kosmiczna, i poruszajacej sie czerwonej kreski, symbolizujacej transporter. Jasno niebieska kreska, w po l aczeniu z zegarem, zapoznaje użytkownika ze skala d lugości i predkości poruszajacego sie transportera. Losowana przy każdym uruchomieniu programu d lugość transportera może wynosić od 200 do 600 tysiecy kilometrów. Predkość transportera zawiera sie w przedziale od 100 do 250 tys. km/s. Zatem odleg lość równa d lugości równika Ziemii transporter pokonuje w czasie rzedu 0.4s. Wycieczka w przysz lość, do świata, w którym podróż doko la Ziemii trwa u lamek sekundy, jest niezbedna do wyobrażenia sobie STW jako prawdy codziennego życia. G lówne zadanie, postawione przed uczestnikiem konkursu o prace, to pomiar d lugości transportera. W tym kroku użytkownik musi wybrać definicje operacyjna, której bedzie używa l do pomiaru d lugości. Ważny jest fakt, że transporter porusza sie wzgledem ekranu (czyli wzgledem uk ladu odniesienia użytkownika w roli obserwatora), a wiec po lożenia poczatku i końca transportera zmieniaja sie w czasie. Definicja operacyjna d lugości musi uwzgledniać ten fakt. 3.3 Krok 1 Ten ekran sk lada sie wy l acznie z tekstu, z którym powinien zapoznać sie student, bo może on pomóc zrozumieć problemy mogace powstać na dalszych ekranach. Tekst nawiazuje do odpowiedzi na pytanie o definicje d lugości z poprzedniego ekranu. Poprawna definicja zawiera sformu lowanie,,jedna chwila czasu. Powstaje tu problem jednoczesności zdarzeń zachodzacych w punktach znajdujacych sie w dużej odleg lości od siebie, gdy d lugość transportera jest o rzad lub dwa wieksza od rozmiarów Ziemii. Ekran ma uzasadniać potrzebe zastanowienia sie nad sposobem synchronizacji zegarów znajdujacych sie w dużej odleg lości. Jeśli zsynchronizujemy zegary rozmieszczone w przestrzeni, to w każdym miejscu bedzie wiadomo, która jest godzina i bedzie można podać po lożenia obu końców transportera o tej samej godzinie. 6

8 3.4 Krok 2, synchronizacja Celem ekranu jest pokazanie jak może wygladać proces synchronizacji dwóch odleg lych od siebie identycznych zegarów A i B. Na poczatku ukazuje sie mapa nieba, na której zaznaczone sa po lożenia tych zegarów. Użytkownik może wybrać kliknieciem, przy którym zegarze chce sie znaleźć. Po kliknieciu ukazuje sie o- kienko z odczytem wskazań zegara podpisanego (odpowiednio) litera A lub B. Jeśli po dokonaniu wyboru użytkownik kliknie na mapie w miejscu drugiego zegara, to wyświetla sie okno komunikatu, który ma mu uświadomić jak daleko znajduje sie zegar i jak dużo czasu zajmie podróż. Problem polega na tym, że odleg lość miedzy zegarami jest ogromna i nie da sie odczytać jednocześnie obu wskazań, tak jak można to zrobić, jeśli zegary znajduja sie blisko siebie. Dlatego w laśnie ekran jest tak skonstruowany, że wyboru można dokonać tylko raz. Ponieważ podróż do drugiego zegara jest niemożliwa, student powinien wykorzystać przyciski umieszczone na obs lugiwanym przez siebie zegarze. Przycisk podpisany,,wyślij impuls do... umożliwia wys lanie impulsu niosacego informacje. Obs lugiwany zegar zapamietuje swoje wskazanie w momencie wys lania. Odleg ly zegar, odsy la impuls natychmiast z powrotem, w momencie otrzymania, dodajac informacje o swoim wskazaniu w momencie odes lania. W chwili powrotu impulsu do użytkownika obs lugiwany przez niego zegar zapamietuje swoje wskazanie. Wszystkie trzy informacje o czasach wys lania, odes lania i odebrania odes lanego impulsu sa wyświetlane w okienku obs lugiwanego zegara. Ponieważ zegary spoczywaja wzgle- dem siebie, można przyjać za lożenie, że droga impulsu w obie strony zajmuje tyle samo czasu. Wykorzystujac ten fakt można policzyć, o ile godzin, minut i sekund trzeba przestawić w lasny zegar, aby oba zegary w tej samej chwili wskazywa ly ten sam czas. Predkość przesy lanego sygna lu wcale nie musia laby być c. Ważne jest to, że wszyscy obserwatorzy musza stosować te sama procedure, żeby żaden z nich nie by l wyróżniony, i żeby obowiazywa la zasada wzgledności. Świat lo jest naturalnym kandydatem. 3.5 Krok 3 STW wprowadza pojecie czasoprzestrzeni, a w szczególności odpowiada na pytanie: jakie sa zwiazki pomiedzy wspó lrzednymi, przypisywanymi zdarzeniom przez różnych obserwatorów, poruszajacych sie wzgledem siebie ze sta l a predkości a v? Żeby opisać czasoprzestrzeń, warto pos lużyć sie rysunkiem (mapa czasoprzestrzeni), 7

9 na którym bedzie można zaznaczać zdarzenia. Ten ekran zapoznaje użytkownika z mapami czasoprzestrzeni, które sa używane także w nastepnych krokach. Po kliknieciu na,,tajemniczy przycisk ukazuje sie ramka z zadaniem jakie trzeba wykonać, aby uzyskać dostep do nastepnych ekranów. Polecenie ma zachecić studenta do zastanowienia sie nad tym, jak zaznaczać zdarzenia w uk ladzie wspó lrzed- nych ct, x. Drugi akapit tekstu umieszczonego w ramce zapoznaje użytkownika z pojeciem linii świata, jako zbioru zdarzeń, należacych do historii danego obiektu, którym odpowiada linia na mapie czasoprzestrzeni. 3.6 Krok 4 W tym kroku pokazana jest mapa czasoprzestrzeni, na której przedstawiony jest proces synchronizacji 27 zegarów, spoczywajacych wzgledem obserwatora rysujacego te mape. Na rysunku zaznaczone sa cztery zdarzenia sk ladajace sie na proces synchronizacji dwóch, wybranych zegarów. Jest to taki sam proces, jak wykorzystany przez użytkownika na ekranie 2. Lewy zegar możemy oznaczyć litera A, a prawy litera B. Polecenie brzmi: Wpisz w okienko litere oznaczajac a zdarzenie równoczesne ze zdarzeniem M. Ta litera oznaczone jest zdarzenie odes lania impulsu przez zegar B. Zdarzenie równoczesne z nim to zdarzenie znajdujace sie na linii świata zegara A, w po lowie odcinka l acz acego zdarzenia wys lania i odebrania impulsu. Uzmys lowienie sobie tego faktu jest niezbedne do zrozumienia różnicy miedzy procesami synchronizacji zegarów w wykonaniu różnych obserwatorów. 3.7 Krok 5, pomiar d lugości transportera w ruchu Kiedy użytkownik umie już zsynchronizować zegary może przystapić do kolejnego etapu. Na ekranie, co 15 sekund, od lewej strony ekranu pojawia sie czerwona kreska, symbolizujaca transporter. Ponieważ wszystkie kursujace transportery sa identyczne, pomiar można powtarzać wiele razy, aż uzyska sie poprawny wynik. Wzd luż kierunku ruchu rozstawionych jest 800 identycznych zsynchronizowanych zegarów, po jednym na 1000km. Poruszajac zamieszczonym na ekranie suwakiem, student może decydować, który z nich chce odczytywać. Może wiec wykorzystać definicje operacyjna d lugości wybrana na ekranie pierwszym. W okienku zegara wyświetlane sa cztery informacje: Wskazanie zegara numer 0 w chwili, gdy poczatek transportera mija punkt x = 0. Wskazanie zegara numer 0 w chwili, gdy koniec transportera mija punkt x = 0. 8

10 Wskazanie zegara o numerze wybranym suwakiem przez studenta, w chwili, gdy poczatek transportera mija ten zegar. Wskazanie zegara o numerze wybranym suwakiem przez studenta, w chwili, gdy koniec transportera mija ten zegar. Należy ustawić suwak w punkcie, w którym poczatek transportera znajdzie sie w tej samej chwili czasu co jego koniec w punkcie x = 0. Wspó lrzedna znajdujacego sie tam zegara jest jednocześnie poszukiwana d lugościa transportera w ruchu. Wyświetlane informacje można także wykorzystać do obliczenia predkości transportera. 3.8 Krok 6 Postawione pytanie dotyczy porównania d lugości transportera w ruchu i w spoczynku wzgledem studenta. Ma ono uzmys lowić studentowi, że jeszcze daleko do końca. Uda lo mu sie zmierzyć d lugość transportera w ruchu, ale nie ma podstaw do stwierdzenia, że d lugość transportera w spoczynku jest taka sama. Ekran ten sugeruje, że obiekt bed acy w ruchu jest krótszy. Powstaje pytanie dlaczego? Odpowiedź można uzyskać korzystajac z nastepnych etapów programu. 3.9 Krok 7 Tekst zamieszczony na ekranie jest wstepem do odpowiedzi na pytanie: Dlaczego wynik pomiaru d lugości transportera w ruchu jest różny od wyniku pomiaru d lugości w uk ladzie, w którym transporter spoczywa. Do zmierzenia d lugości potrzebne sa wspó lrzedne dwóch równoczesnych zdarzeń. Tekst sugeruje, że obserwatorzy, poruszajacy sie wzgledem siebie, różnie definiuja zdarzenia równoczesne. Powstaje pytanie: Skad bierze sie ta różnica zdań miedzy obserwatorami? Nastepne ekrany pomagaja znaleźć na nie odpowiedź Krok 8 Opierajac sie na doświadczeniach przeprowadzonych pod koniec XIX wieku, których historycznym przyk ladem jest doświadczenie Michelsona i Morleya przeprowadzone w 1881r. (nie jest jasne, czy Einstein zna l ich wyniki), Einstein zapostulowa l w swoim artykule, że predkość świat la jest niezależna od ruchu źród la. Ani- 9

11 macje ukazuja jedna z konsekwencji tego postulatu. Istota ekranu jest pokazanie, że identyczny proces inaczej wyglada w przypadku, gdy transporter spoczywa, a inaczej, gdy transporter porusza sie wzgledem obserwatora. Jest to pośredni krok do zrozumienia, że inne zdarzenia zostana uznane za równoczesne przez obserwatora poruszajacego sie, a inne przez obserwatora spoczywajacego wzgledem użytkownika, jeśli za lożyć, że świat lo porusza sie z predkości a nie zależna od predkości źród la (ze swoja w lasna predkości a, niezależnie od tego jak powsta lo) Krok 9 Ekran jest interakcyjna mapa czasoprzestrzeni, przedstawiajac a proces wysy lania impulsów, taki jak pokazany na poprzednim ekranie. Poruszajac suwakiem, można zobaczyć jak zmienia sie mapa w zależności od predkości transportera. Warto zauważyć, że zmiana predkości o najmniejsza możliwa wartość, czyli 1000km/s, tylko nie znacznie zmienia mape czasoprzestrzeni. Obiekt poruszajacy sie z predkości a 1000km/s wzgledem Ziemii pokonuje odleg lość Warszawa Berlin w czasie krótszym od jednej sekundy. Ta ogromna predkość to zaledwie 1 pr edkości 300 świat la. Przy takim ustawieniu suwaka zdarzenia A i C wygladaj a na rysunku na prawie równoczesne, a przecież transporter ma d lugość rzedu setek tysiecy kilometrów. Jeśli student uświadomi sobie skale omawianych wielkości, może odpowiedzieć na pytanie, dlaczego konsekwencje STW moga sie wydawać sprzeczne z nasza intuicja oparta na doświadczeniach z życia codziennego. Na autostradzie miedzy Ko lbaskowem, a Berlinem, jadac dobrym samochodem, można osiagn ać predkość rzedu 250 km = h km = c. Samoloty ponaddźwiekowe s poruszaja sie z predkościami rzedu 1 km, czyli s c. Nasza intuicja jest wiec oparta na zjawiskach, w których ruchy odbywaja sie zbyt wolno, żeby wczuć sie w predkości bliskie c Krok 10 Na poczatku na ekranie widoczna jest mapa czasoprzestrzeni, a na niej narysowane sa linie świata dwóch zegarów, poruszajacych sie razem z transporterem (predkość można regulować za pomoca suwaka). Na mapie jest także narysowana linia świata impulsu świetlnego przesy lanego miedzy zegarami. Polecenie brzmi:,,ustaw suwakiem dowolna predkość miedzy km/s, a km/s. Wybierz kliknieciem zielony punkt na linii świata zegara A, w którym należa loby zaznaczyć zdarzenie równoczesne ze zdarzeniem K z punktu widzenia obserwatora poruszajacego sie wzgledem Ciebie razem z zegarami.. Na ekranie 4 należa lo wybrać zdarzenie zaz- 10

12 naczone na mapie czasoprzestrzeni na linii świata zegara A, które by lo równoczesne ze zdarzeniem odes lania impulsu przez zegar B. To zdarzenie odpowiada lo punktowi znajdujacemu sie w po lowie odleg lości miedzy punktami, w których zaznaczone by ly zdarzenia polegajace na wys laniu i odebraniu impulsu przez zegar A. Ponieważ teraz w kroku 10 zak ladamy, że zegary A i B sa identyczne, zbudowane wed lug tej samej procedury co zegary A i B, to punkt, w którym należy zaznaczyć zdarzenie równoczesne ze zdarzeniem K musi także leżeć w miejscu znajdujacym sie w po lowie odleg lości pomiedzy punktami odpowiadajacymi zdarzeniom wys lania i odebrania impulsu przez zegar A. Tak bedzie uważa l ruchomy obserwator jeśli postapi tak jak my. Kiedy użytkownik kliknie w odpowiednim miejscu, pojawia sie linie świata pozosta lych zegarów, a także linie l acz ace punkty o tej samej wspó lrzednej czasowej wed lug obserwatora poruszajacego sie razem z transporterem. Krok ten pomaga studentowi zauważyć, że dwa zdarzenia równoczesne dla obserwatora w transporterze nie sa równoczesne dla studenta w roli obserwatora, wzgledem którego transporter sie porusza. Mapa tych zdarzeń pozwala śledzić zmiany powodowane zmiana pred- kości, która można zmieniać suwakiem. Po wykonaniu zadania na dole ekranu pojawia sie prze l acznik, dzieki któremu można zmienić mape w ten sposób, żeby by la widoczna także synchronizacja zegara B ze wskazaniem zegara A. Prze l acznik umieszczony jest na ekranie, żeby student by l świadomy, że bez wzgledu na to, czy synchronizujemy zegar A z B, czy B z A wynik synchronizacji jest taki sam. Oprócz prze l acznika, po wykonaniu zadania pojawia sie przycisk przenoszacy do drugiej misji kroku dziesiatego. Jak już wspomnia lem ważne jest, aby student nie przyzwyczaja l sie do faktu, że na mapie czasoprzestrzeni jego linia świata jest pionowa. W laśnie w tym celu w kroku 10 zosta la umieszczona dodatkowa misja. Student ma przed soba mape czasoprzestrzeni, na której przedstawiony jest ten sam proces synchronizacji zegara A z zegarem B. Jednak tym razem mapa narysowana jest z punktu widzenia obserwatora, wzgledem którego student porusza sie z dowolna predkości a v, ustawiana suwakiem. Jest to też szczególny przypadek, w którym transporter porusza sie wzgledem studenta z predkości a km/s. Zadanie także polega na tym, żeby kliknać w miejscu, w którym należa loby zaznaczyć zdarzenie równoczesne ze zdarzeniem K. Ponownie trzeba kliknać w punkcie znajdujacym sie w po lowie odcinka l acz acego zdarzenia wys lania i odebrania impulsu przez zegar A. Ważna w tej misji kroku 10 jest możliwość zmiany swojej predkości wzgledem jakiegoś uk ladu odniesienia. W ten sposób student uczy sie, że jego linia świata nie musi być pionowa i, że uk lad odniesienia studenta nie jest wyróżniony. 11

13 3.13 Krok 11 Na poprzednim ekranie zosta ly zaznaczone na mapie czasoprzestrzeni dwa zdarzenia równoczesne z punktu widzenia obserwatora poruszajacego sie razem z transporterem. Żeby zmierzyć d lugość transportera, trzeba podać po lożenia jego obu końców w jednej chwili czasu, czyli podać wspó lrzedne dwóch odpowiednich równoczesnych zdarzeń. D lugość transportera w ruchu zosta la zmierzona w kroku 5. Ponieważ obserwator poruszajacy sie razem z transporterem uznaje inne zdarzenia za równoczesne, to wynik jego pomiaru jest różny od wyniku pomiaru w uk ladzie, w którym transporter sie porusza. Ekran pomaga zrozumieć dlaczego d lugość transportera, zmierzona w uk ladzie poruszajacym sie razem z transporterem, różni sie od d lugości zmierzonej w uk ladzie, w którym transporter jest w ruchu Krok 12 Animacja przedstawia dwa identyczne zegary, z których jeden porusza sie, a drugi spoczywa wzgledem użytkownika (ekranu). Dzia lanie zegara polega na odbijaniu świat la tam i z powrotem miedzy lusterkami. Zadanie dla użytkownika to obliczenie stosunku okresu zegara poruszajacego sie do okresu zegara w spoczynku wzgledem ekranu. Za lóżmy, że okres zegara jest czasem w jakim świat lo przebywa droge od jednego lusterka do drugiego i z powrotem jeden raz. Jeśli odleg lość miedzy lusterkami wynosi L, to okres zegara w spoczynku wynosi: T s = 2L c, (1) gdzie c to predkość świat la. Odleg lość miedzy lusterkami zegara w ruchu także wynosi L, ale żeby ten zegar cykna l jeden raz, świat lo musi przebyć inna droge, oznaczona 2x. Okres zegara w ruchu wynosi zatem: T r = 2x c, (2) Droga jaka świat lo przebywa w ruchomym zegarze od lusterka do lusterka w jedna strone wynosi: x = c T r 2. (3) W czasie, gdy świat lo przebywa droge x, zegar przebywa droge v T r /2. Jeśli narysujemy na p laszczyźnie (kartce papieru) drogi, które świat lo i zegar przebywaja w 12

14 czasie T r /2 to powstaje trójkat prostokatny o przyprostokatnych o d lugości L i v T r /2, oraz przeciwprostokatnej o d lugości x. Możemy zatem napisać twierdzenie Pitagorasa: ( L 2 + v T ) 2 r = x 2. (4) 2 Wstawiajac obliczone ze wzorów (1) i (3) wartości L i x możemy napisać: ( c T s 2 ) 2 + ( v T r 2 ) 2 = ( c T r 2 ) 2. (5) Przekszta lcajac to równanie możemy wyrazić stosunek T r do T s w zależności od predkości zegara v i sta lej c. Wstawiajac podana w poleceniu predkość zegara w ruchu można obliczyć żadany stosunek. Na środku ekranu znajduje sie niebieski przycisk, s lużacy do zmiany kierunku predkości poruszajacego sie zegara. Warto zauważyć, że niezależnie od kierunku ruchu zegara sposób liczenia okresu zegara spoczywajacego oraz zegara poruszajacego sie jest taki sam. Zegar poruszajacy sie cyka wolniej niezależnie od tego, czy porusza sie z predkości a v, czy v wzgledem ekranu. Jeśli przyjmiemy, że ruchomy zegar porusza sie razem z transporterem, poruszajacym sie wzgledem ekranu z predkości a v, to zegar spoczywajacy wzgledem ekranu (użytkownika) porusza sie w uk ladzie transportera z predkości a v. Z punktu widzenia użytkownika zegar w transporterze cyka wolniej, natomiast z punktu widzenia obserwatora w transporterze to zegar użytkownika idzie wolniej. Tego wymaga zasada wzgledności Krok 13 Zadaniem tego ekranu jest uporzadkowanie wiedzy zdobytej przez użytkownika na poprzednich ekranach oraz wykorzystanie tej wiedzy do wyprowadzenia transformacji Lorentza. Sposób wyprowadzenia opiera sie na wspomnianej wcześniej pracy Einsteina pt.,,o elektrodynamice cia l w ruchu. Krok 13 sk lada sie z pietnastu stron, które student musi przeczytać, żeby znaleźć zwiazek miedzy wspó lrzednymi jakie przypisuja tym samym zdarzeniom różni obserwatorzy, poruszajacy sie wzgle- dem siebie z predkości a v. Żeby dostać sie do kolejnej strony tekstu, użytkownik musi wype lnić puste miejsce, lub wpisać w okienko liczbe potrzebna na czytanej stronie. Na stronach sa listy odpowiedzi do wyboru i okienka, w które należy wpisać w laściwe liczby. Student jest zmuszony zrozumieć i przemyśleć czytany tekst, żeby wiedzieć co wybrać i przejść dalej. 13

15 Strona 1 Zadanie umieszczone na tej stronie nawiazuje do kroku 2, obrazujacego proces synchronizacji zegarów spoczywajacych wzgledem siebie. Pytanie dotyczy wskazania pierwszego zegara w chwili, gdy drugi zegar odes la l impuls. Żeby odpowiedzieć na zadane na stronie pytanie, należy uwzglednić fakt, że po zsynchronizowaniu zegarów ich wskazania powinny spe lniać nastepuj ac a zależność: t A1 = t B1 = t A0 + t A2 2 ;, (6) gdzie t A1 = t B1 to wskazania zegarów w momencie odes lania impulsu przez drugi zegar (wskazania sa sobie równe, bo zegary sa już zsynchronizowane), t A0 to wskazanie pierwszego zegara w chwili wys lania impulsu, t A2 to wskazanie pierwszego zegara w chwili odebrania impulsu Strony 2 i 3 Tekst zamieszczony na tej stronie rozpoczyna sie od pytania: Jak opisać czasoprzestrzeń? Nastepnie postawione jest pytanie: Jaki jest zwiazek miedzy wspó lrzed- nymi, przypisywanymi zdarzeniom przez różnych obserwatorów, poruszajacych sie wzgledem siebie ze sta l a predkości a v? Odpowiedź na to pytanie jest g lównym zadaniem ca lego ekranu 13. Pierwszym krokiem do uzyskania odpowiedzi na to pytanie jest pytanie o sposób przypisywania zdarzeniom wspó lrzednej czasowej przez jednego z obserwatorów. Żeby w każdym miejscu w przestrzeni obserwator móg l przypisać zdarzeniu wspó lrzedn a czasowa, musi w każdym miejscu umieścić zegar. Żeby określić, które zdarzenia sa równoczesne, obserwator musi zsynchronizować zegary rozmieszczone w przestrzeni. Klikajac na umieszczony w tekście przycisk, student może wrócić do kroku 2, w którym może synchronizować zegary jeszcze raz, jeśli ma watpliwości. Nastepnie podana jest zależność, jaka powinny spe lniać wskazania zsynchronizowanych zegarów. W tej zależności jest puste miejsce, które student musi wype lnić. Konieczność wype lnienia pustego miejsca nie pozwala na,,przeczytanie tekstu bez zrozumienia Strona 4 Kolejnym krokiem do otrzymania transformacji Lorentza jest za lożenie, że każdy obserwator wykonuje proces synchronizacji, za pomoca tej samej procedury. Zatem obserwator poruszajacy sie razem z transporterem wykona proces synchronizacji zegarów spoczywajacych wzgledem niego (jego zegarów). Wskazania jego zegary bed a spe lnia ly te sama zależność matematyczna. W tej zależności, tak jak na stronie 14

16 3, też jest wolne miejsce, które student musi wype lnić. Ponieważ wzór określajacy zależność miedzy wskazaniami zegarów jest taki sam dla każdego obserwatora, do wype lnienia pustego miejsca należy wybrać te sama liczbe, która wystepuje we wzorze (1) na stronie 3. Nastepnie powstaje pytanie: czy dwa zdarzenia, zachodzace w jednej chwili czasu τ (czyli jednoczesne wed lug obserwatora w transporterze), bed a uznane również za zachodzace w tej samej chwili przez obserwatora, wzgledem którego transporter sie porusza, tzn. czy bed a mia ly te sama wspó lrzedn a czasowa t? Odpowiedź na to pytanie można uzyskać czytajac nastepn a strone Strona 5 Na stronie 5 znajduje sie wyjaśnienie, w jaki sposób powstaje mapa czasoprzestrzeni narysowana np. na ekranie 10. Jest także podana instrukcja, opisujaca w jaki sposób zaznaczyć na mapie czasoprzestrzeni zdarzenia równoczesne wed lug obserwatora w transporterze. W tekście jest przycisk otwierajacy okienko z rysunkiem, z którego można korzystać czytajac te instrukcje. Ostatnie zdanie na stronie 5 jest próba pokazania użytkownikowi, że obserwator w transporterze też może rysować mape czasoprzestrzeni, na której zaznacza zdarzenia sk ladajace sie na proces synchronizacji. Jego mapa wyglada tak jak ta na rysunku 1, przy ustawieniu predkości v, tzn przy przeciwnej predkości do tej z jaka transporter porusza sie w naszym uk ladzie Strona 6 Postawione jest tutaj pytanie o zwiazek pomiedzy czasem τ przypisywanym przez obserwatora w transporterze, a czasem t przypisywanym przez użytkownika (przez obserwatora, wzgledem którego transporter sie porusza). Żeby znaleźć ten zwiazek, student musi najpierw odpowiedzieć na pytanie jaka jest zależność pomiedzy czasem τ, a czasem t i liczba x, która jest wspó lrzedn a przypisywana zegarowi poruszajace- mu sie razem z transporterem w chwili t = 0 przez studenta w roli obserwatora. Aby zobaczyć jaka jest ta zależność, należy wykorzystać rysunek 2. Na tym rysunku można zmieniać za pomoca suwaka predkość zegara wzgledem obserwatora rysujacego mape, a za pomoca drugiego suwaka zmieniać wartość x. Zielone proste to odpowiednio: linia świata zegara nazwanego x (bo w chwili t = 0 mia l wspó lrzedn a x = x ) i linia zdarzeń równoczesnych w uk ladzie transportera ze zdarzeniem miniecia przez ten zegar punktu x = x. Jeśli na rysunku ustawimy v 0, to można zauważyć, że przy zmianie x o x, wspó lrzedna τ (wspó lrzedna zdarzenia polegajacego na minieciu przez zegar punktu o wspó lrzednej x = x, wed lug obserwatora rysujacego mape) zmienia sie proporcjonalnie o τ (zielona prosta zdarzeń o jednakowym τ przesuwa sie w dó l). Analogicznie jeśli zmienimy x o x to wspó lrzedna τ zmieni sie o τ. 15

17 Strona 7 Żeby przejść do strony 8, należy znaleźć wartość sta lej b, jeśli a = 0.6 i v = 0.8c. Problem sprowadza sie do znalezienia zależności pomiedzy sta l a b i sta l a a. Żeby znaleźć te zależność, należy wykorzystać, za lożona w tekście strony 7, zależność miedzy czasem τ, a czasem t i liczba x, oraz proces synchronizacji zegara, który w chwili t = 0 mia l wspó lrzedne przestrzenne (0, 0, 0), z zegarem, który w tej samej chwili mia l wspó lrzedne (x, 0, 0). Dla uproszczenia problemu dobrze jest tak ponumerować osie, aby wys lanie impulsu przez zegar (0,0,0) nastapi lo w chwili τ A 0 = t A0 = 0. Dla zdarzenia odebrania impulsu przez zegar (0,0,0) możemy napisać równanie: cτ A 2 = act A (7) Dla zdarzenia odes lania impulsu przez zegar (x,0,0) możemy napisać: cτ B 1 = act B 1+?. (8) Znak zapytania oznacza konieczność wyboru opcji. Jeśli zegary obserwatora w transporterze sa już zsynchronizowane, to musi zachodzić zależność: cτ B 1 = cτ A 2 2. (9) Po lożenie zegara (x,0,0) w chwili odes lania przez niego impulsu wyraża si e wzorem: x (tb 1 ) = x + vt B 1. (10) Ale impuls świetlny w chwili jego odes lania przez zegar (x,0,0) znajdowa l si e w tym samym miejscu w przestrzeni co zegar (x,0,0), wi ec możemy napisać, że: x + vt B 1 = ct B 1 x = t B 1(c v). (11) Ponieważ świat lo bieg lo w prawo przez czas t B 1 a potem wraca lo przez czas t A 2 t B 1 i znalaz lo sie w tym samym punkcie co zegar (0, 0, 0) po czasie t A 2, możemy napisać, że: v + c vt A 2 = ct B 1 c(t A 2 t B 1) t B 1 = t A 2. (12)? l acz ac ze soba zależności od (7) do (12), student może napisać jedno równanie zawierajace tylko jedna wielkość (np. t A 2) i wyeliminować ja przez podzielenie przez nia obu stron równania, i w ten sposób znaleźć zależność sta lej b od a. Potem pozostaje wstawienie zadanych wartości a i v, i obliczenie wartości sta lej b. 16

18 Strony 8 i 9 Na tych stronach jest dok ladnie pokazany sposób wyprowadzenia zwiazku miedzy sta lymi a i b. Ten zwiazek jest nastepnie wstawiony do napisanej na stronie 7 zależności miedzy τ, a t i x. Ze zwiazku miedzy b i a wynika, że sta la b ma znak przeciwny do a, czyli jeśli a jest dodatnie to b jest ujemne. Jest to zgodne z tym, co można zauważyć na rysunku 2 ze strony 6 jeśli zwiekszamy x, przy sta lym t, to τ maleje. Żeby uzyskać dostep do strony 10, należy uzupe lnić brakujace symbole za pomoca list symboli do wyboru, wykonujac jeszcze raz kroki prowadzace do znalezienia zwiazku miedzy b i a Strona 10 Kolejnym zadaniem postawionym przed użytkownikiem jest obliczenie wspó lrzednej przypisywanej przez obserwatora w transporterze zegarowi o wspó lrzednej x wed lug studenta w roli obserwatora, wzgledem którego transporter sie porusza. Problem sprowadza sie do znalezienia zależności miedzy ξ (wspó lrzedn a przypisywana przez obserwatora w transporterze), a x, t i sta l a a. Ponownie do znalezienia szukanej zależności należy wykorzystać proces synchronizacji i znaleziona na stronie 9 zależność: [ cτ = a ct cv ] c 2 v 2 x. (13) Dla uproszczenia problemu dobrze jest tak ponumerować osie, żeby τ = t = 0. Świat lo wys lane z zegara (0,0,0) dociera do zegara (x,0,0) po czasie τ. Ponieważ zegary oddalone sa w uk ladzie transportera o ξ = ξ niezależnie od czasu τ, to możemy napisać, że ξ = cτ. (14) Co prawda wystepuje tu ta sama wartość c, ale istotny jest fizyczny zwiazek ξ = cτ, który zachodzi niezależnie od wartości c. Wstawiajac wartość cτ ze wzoru (13) możemy napisać, że [ ξ = a ct cv ] c 2 v 2 x. (15) W uk ladzie, w którym transporter sie porusza, zegar (x,0,0) znajduje sie po czasie t w x = x + vt. Świat lo wys lane z zegara (0,0,0) po czasie t znajduje sie w tym samym miejscu co zegar (x,0,0). Możemy wiec napisać, że ct = x + vt t = x c v. Wykorzystujac powyższy wzór, możemy wyeliminować t ze wzoru (15) i w ten sposób znaleźć zależność pomiedzy ξ, a x, a i v. Do znalezionej zależności wystarczy wstawić zadane w poleceniu wartości i obliczyć wartość ξ. 17

19 Strony 11 i 12 Na tych stronach przedstawione jest wyprowadzenie wzoru na ξ, które musia l wykonać student, żeby obliczyć wartość ξ na stronie 10. Podobnie jak w przypadku wspó lrzednej ξ, korzystajac z procesu synchronizacji zegarów, można znaleźć zwiazek pomiedzy wspó lrzednymi η, a y, oraz pomiedzy ζ, a z. Możemy rozważyć proces synchronizacji zegara (0, 0, 0) z zegarem (0, y, 0). Ponownie warto tak ponumerować osie, żeby chwila τ = 0 pokrywa la sie z chwila t = 0. W uk ladzie transportera zegar (0, y, 0) jest oddalony od zegara (0, 0, 0) o η = cτ, gdzie τ to czas, który potrzebny jest świat lu na pokonanie drogi miedzy zegarami. Znowu istotny jest fizyczny zwiazek η = cτ, a nie wartość c. Świat lo wys lane z zegara (0, 0, 0) musi, wed lug studenta w roli obserwatora, pokonać droge równa ct, żeby dotrzeć do zegara (0, y, 0). Możemy to zapisać wzorem s = ct (16) Ponieważ zegar porusza sie w kierunku dodatnim osi x z predkości a v wzgledem studenta, w roli obserwatora, to zegar (0, y, 0), po czasie t, znajduje sie w punkcie majacym wspó lrzedne (vt, y, 0), Rysujac p laszczyzne xy, a na niej tor ruchu świat la od zegara (0, 0, 0) do zegara (0, y, 0), można zobaczyć, że droga jaka przebywa świat lo miedzy zegarami jest odcinkiem, który jest przeciwprostokatn a trójkata prostokatnego o przyprostokatnych majacych d lugość y i vt. Korzystajac z twierdzenia Pitagorasa, możemy napisać, że (ct) 2 = y 2 + (vt) 2 t = y c2 v 2. (17) Korzystajac z zależności (13), dla zdarzenia odebrania impulsu przez zegar (0, y, 0), możemy napisać, że cτ = a ct + 0. (18) Wstawiajac za t obliczona wartość ze wzoru (17) możemy napisać, że η = a c c2 v 2 y. (19) Ponieważ wspó lrzedna y zegara (0, y, 0) jest ca ly czas równa y, to możemy przepisać wzór (19) w postaci c η = a c2 v y. (20) 2 Ponieważ takie samo rozumowanie, jak dla p laszczyzny xy, możemy zastosować do p laszczyzny xz (bo uk lad transportera porusza si e tylko w kierunku x), to w 18

20 analogiczny sposób, korzystajac z synchronizacji zegara (0, 0, 0) z zegarem (0, 0, z ), można znaleźć zależność c ζ = a c2 v z. (21) 2 Otrzymaliśmy zwiazki pomiedzy wspó lrzednymi zawierajace jedna, nieznana jeszcze sta l a a. Zamiast sta lej a możemy wstawić odpowiednia, nieznana funkcje φ(v), w której jest ukryta sta la a, żeby przepisać te same zwiazki za pomoca φ(v). Użytkownik musi rozstrzygnać jak zastosowana w programie funkcja φ(v) zależy od a i v, oraz wpisać w okienko ile wynosi φ(v) dla konkretnych wartości a i v. Zadanie to można wykonać porównujac zależności miedzy wspó lrzednymi napisane za pomoca φ(v), z tymi samymi zależnościami zapisanymi na poprzednich stronach za pomoca sta lej a Strona 13 Tekst na tej stronie jest pierwszym krokiem do znalezienia odpowiedzi na pytanie: Ile wynosi φ(v)? Polecenie umieszczone w tekście brzmi: Wpisz poniżej ile wynosi φ(v) φ( v). Żeby znaleźć wartość tego wyrażenia, należy wykonać dwie transformacje wspó lrzednych. Jedna z uk ladu użytkownika, w roli obserwatora, do uk ladu transportera poruszajacego sie z predkości a v wzgledem użytkownika i druga z uk ladu transportera do uk ladu użytkownika, poruszajacego sie z predkości a v wzgledem transportera. Jeśli student wykona te transformacje, to otrzyma tożsamość, z której wynika ile musi być równe φ(v) φ( v). Otrzymana w ten sposób wartość należy wpisać w okienko na dole strony Strona 14 Po znalezieniu odpowiedzi na pytanie o wartość wyrażenia φ(v) φ( v), pozostaje pytanie: ile wynosi φ(v)? Żeby student móg l znaleźć odpowiedź na to pytanie, rozważany jest problem zmiany d lugości obiektu w kierunku prostopad lym do kierunku ruchu transportera. W tekście postawione jest pytanie: Czy d lugość w kierunku prostopad lym do kierunku ruchu może zależeć od kierunku predkości transportera? Odpowiedź brzmi: nie. Ze wzgledu na symetrie, d lugość w kierunku prostopad lym do ruchu nie może zależeć od znaku predkości transportera. Postawione na stronie 14 pytanie doprowadza w ten sposób do sformu lowania warunku, który musi spe lniać funkcja φ(v): η φ(v) = η φ( v) φ(v) = φ( v). (22) 19

21 Można to po l aczyć z warunkiem otrzymanym na stronie 13, φ(v) φ( v) =?, (23) gdzie znak zapytania oznacza wartość wyrażenia obliczona na stronie 13. Znajac te dwa warunki na funkcje φ(v), student może znaleźć jej wartość i wpisać w okienko na dole strony Strona 15 Jeśli na stronie 14 student znalaz l wartość φ(v), to może ja wstawić do zależności podanych na stronie 12 i otrzymać w ten sposób zwiazek pomiedzy wspó lrzednymi przypisywanymi zdarzeniom przez różnych obserwatorów, poruszajacych sie wzgle- dem siebie z predkości a v. Zwiazek ten jest nazywany transformacja Lorentza i jest on wypisany na stronie 15, żeby student móg l go wykorzystać do obliczeń na nastepnych ekranach Krok 14 W tym kroku student jest proszony o odpowiedź na pytanie: O ile m lodsi sa pasażerowie statku kosmicznego, wys lanego z Ziemii na Marsa, od osób pozostajacych na Ziemii, jeśli statek porusza sie przez 90 dni ze sta l a predkości a v wzgledem Ziemii? Żeby odpowiedzieć na to pytanie można wykorzystać wyprowadzona w kroku 13 transformacje Lorentza. Możemy rozpatrywać dwa zdarzenia, start statku z Ziemii oraz dotarcie statku do Marsa. Dla uproszczenia dobrze jest przyjać, że start statku nastepuje w chwili t = τ = 0 i w punkcie (x = ξ = 0, y = η = 0, z = ζ = 0), gdzie t, x, y, z to wspó lrzedne uk ladu, w którym Ziemia spoczywa, a τ, ξ, η, ζ to wspó lrzedne uk ladu poruszajacego sie razem ze statkiem, z predkości a v wzgledem Ziemii. W uk ladzie Ziemii zdarzenie dotarcia statku do Marsa ma wspó lrzedne (t, vt, 0, 0), gdzie t to czas lotu, a vt to odleg lość jaka przebywa statek poruszajac sie z predkości a v przez czas t. Zatem wed lug mieszkańców Ziemii podróż statku trwa t = 90 dni. Żeby dowiedzieć sie ile czasu up lyne lo w uk ladzie statku, należy obliczyć wspó lrzedn a czasowa, jaka przypisze zdarzeniu dotarcia statku do Marsa obserwator w statku. Nazwijmy ja τ. Korzystajac z transformacji Lorentza możemy napisać, że cτ = 1 [ ct v 1 v2 c vt ]. (24) c 2 20

22 Upraszczajac to równanie, można znaleźć zależność czasu τ od czasu t. Wstawiajac wartość predkości zadana na ekranie 14 można obliczyć o ile wcześniejszy czas, w porównaniu z zegarem na Ziemii, pokaże zegar pok ladowy statku, w chwili dotarcia statku do Marsa (bez zmiany predkości). Dla predkości podanej na ekranie obliczona różnica wskazań jest bardzo ma la. Celem tego ekranu jest pokazanie, że nawet przy predkościach osiaganych obecnie przez obiekty kosmiczne efekty relatywistyczne sa tak ma le, że nie można ich zauważyć na zwyk lym zegarku recznym Krok 15 Ekran ma za zadanie zachecić studenta do sprawdzenia zgodności transformacji Lorentza z postulatem postawionym na poczatku pracy Einsteina o niezależności predkości świat la od ruchu źród la. Jak obliczyć predkość dowolnego obiektu wzgle- dem uk ladu studenta? Musimy obliczyć różnice wspó lrzednych przestrzennych dwóch zdarzeń należacych do historii tego obiektu, a potem podzielić te różnice przez różnice wspó lrzednych czasowych tych zdarzeń. Dla uproszczenia można przyjać, że obiekt porusza sie w kierunku dodatnim osi x uk ladu studenta. Zatem predkość obiektu w jego uk ladzie możemy zapisać wzorem V = x 2 x 1 t 2 t 1, (25) gdzie x 1, t 1, x 2, t 2 sa wspó lrzednymi zdarzeń 1 i 2, należacymi do historii obiektu, którego predkość chcemy obliczyć. W identyczny sposób oblicza predkość tego obiektu obserwator, podróżujacy statkiem z predkości a v wzgledem studenta. Pred- kość zmierzona w uk ladzie statku jest wyrażona wzorem V = ξ 2 ξ 1 τ 2 τ 1, (26) gdzie ξ 1, τ 1, ξ 2, τ 2 sa odpowiednio wspó lrzednymi przypisywanymi zdarzeniom 1 i 2 przez obserwatora w statku poruszajacego sie wzgledem studenta z predkości a v. Dla każdej wspó lrzednej przypisywanej zdarzeniom przez obserwatora w statku, możemy napisać zwiazki: [ ξ 2 = γ x 2 v ] c ct 2, (27) [ ξ 1 = γ x 1 v ] c ct 1, (28) [ cτ 2 = γ ct 2 v ] c x 2, (29) [ cτ 1 = γ ct 1 v ] c x 1. (30) 21

23 Odejmujac stronami równanie (28) od równania (27), możemy napisać, że [ ξ 2 ξ 1 = γ x 2 x 1 v ] c (ct 2 ct 1 ). (31) Odejmujac stronami równanie (30) od równania (29) możemy napisać, że [ c(τ 2 τ 1 ) = γ ct 2 ct 1 v ] c (x 2 x 1 ). (32) Nastepnie możemy podzielić stronami równanie (31) przez równanie (32) i napisać, że ξ 2 ξ 1 = (x 2 x 1 ) v (ct c 2 ct 1 ) τ 2 τ 1 (t 2 t 1 ) v (33) (x c 2 2 x 1 ) Lewa strona tego równania to po prostu V zgodnie ze wzorem (26). Możemy teraz podzielić licznik i mianownik prawej strony tego równania przez (t 2 t 1 ). Po prawej stronie równania (33) powstaja wyrażenia, zamiast których można wstawić V zgodnie ze wzorem (25). W ten sposób możemy otrzymać zwiazek pomiedzy predkości a V mierzona w uk ladzie studenta, a predkości a V mierzona w uk ladzie statku poruszajacego sie wzgledem studenta z predkości a v. Wstawiajac predkość obiektu równa wartości predkości świat la, student może obliczyć, że wartość pred- kości świat la wynosi c niezależnie od ruchu źród la i niezależnie od tego, w która strone świat lo jest wys lane. Zatem w ciagu 10 sekund przebywa ono te sama droge niezależnie od tego, czy zosta lo wys lane w przód, czy w ty l statku kosmicznego, poruszajacego sie z predkości a v wzgledem studenta Krok 16 Na ekranie 5 użytkownik móg l zmierzyć d lugość transportera w ruchu. Żeby odpowiedzieć na pytanie, ile wynosi d lugość transportera w spoczynku, potrzebna jest transformacja Lorentza wyprowadzona w kroku 13. Na ekranie 15 student jest proszony o obliczenie d lugości transportera w spoczynku. Do obliczeń można wykorzystać dwuwymiarowa mape czasoprzestrzeni zamieszczona na ekranie 11. Na tej mapie jest zaznaczony szarym pasem zbiór zdarzeń, należacych do historii transportera. Dla uproszczenia możemy przyjać, że lewy koniec transportera mija punkt x = ξ = 0 w chwili t = τ = 0, czyli, że zdarzenie O na mapie z ekranu 11 ma wspó lrzedne (0, 0, 0, 0). D lugość transportera w uk ladzie studenta jest różnica miedzy wspó lrzednymi x przypisywanymi równoczesnym w uk ladzie studenta zdarzeniom O i C. Możemy te d lugość oznaczyć przez L i napisać, że L = x C x O. (34) 22