Przedmiot: Układy Logiczne Literatura:

Transkrypt

1 Przedmot: Układy Logczne Lteratura:. Halna Kamonka-Mkuła, n.: Synteza analza ukłaów cyfrowych. Wydawnctwo Pracown Komputerowej Jacka Skalmerskego, Glwce 6.. Władysław Majewsk: Układy logczne. Wydawnctwa Naukowo- Technczne, Warszawa. Jerzy Swńsk Henryk Małysak [red.]: Zbór zadań z układów przełączających. Wydawnctwo Poltechnk Śląskej, Glwce. 4. Tadeusz Łuba: Synteza układów logcznych. Ofcyna Wydawncza Poltechnk Warszawskej, Warszawa Wojcech Głock: Układy cyfrowe. Wydawnctwa Szkolne Pedagogczne, Warszawa.

2 Program wykładu:. Elementy arytmetyk systemów cyfrowych systemy lczbowe operacje arytmetyczne kodowane bnarne. Algebra Boola funkcje formuły boolowske formy kanonczne funktory logczne, systemy funcjonalne pełne zasady mnmalzacj formuł boolowskch metoda satek Karnaugh a realzacje funkcj logcznych. Układy kombnacyjne. elementy syntezy UK typowe układy kombnacyjne: komutatory, konwertery, sumatory, komparatory.

3 4. Układy sekwencyjne a. asynchronczne statyczne układy sekwencyjne przerzutnk asynchronczne elementy syntezy przykłady b. synchronczne układy sekwencyjne przerzutnk synchronczne elementy syntezy typowe układy: rejestry, lcznk. 5. Uklady z zależnoścam czasowym.

4 Układy logczne - wprowadzene Systemy lczbowe Lczby pojęca abstrakcyjne, umożlwające wyrażene wynku lczena przedmotów lub pomaru (porównana z wzorcem) pewnej welkośc. System lczbowy to zbór reguł do jednoltego zapsywana lczb za pomocą umownych znaków. Znak (symbole), za pomocą których zapsuje sę lczby nazywamy cyfram. Systemy lczbowe można podzelć na pozycyjne addytywne

5 Pozycyjne systemy lczbowe W pozycyjnych systemach lczbowych ten sam symbol (cyfra) ma różną wartość w zależnośc od pozycj jaką zajmuje w danej lczbe. Na przykład, w dzesętnym zapse lczby, perwsza jedynka ma wartość, a druga. Przykłady: dzesętny system lczbowy - w powszechnym użycu współcześne dwójkowy system lczbowy - system o podstawe, stosowany w elektronce cyfrowej, np. w komputerach. Przyczyną stosowana jest prostsza budowa układów wększa odporność na błędy bramek logcznych (elementów, z których budowany jest układ cyfrowy) przy mnejszej lczbe możlwych stanów. Poneważ najmnejszą użyteczną lczbą stanów jest, węc najtanej najproścej buduje sę układy cyfrowe bazujące na systeme dwójkowym. szesnastkowy system lczbowy -używany czasem przez nformatyków. Cyfry od do 5 oznacza sę kolejnym dużym lteram alfabetu. System szesnastkowy jest wygodnejszy dla programstów od dwójkowego, gdyż zapsy lczb ne są tak długe. Jednocześne łatwo przelczać lczby z systemu dwójkowego na szesnastkowy odwrotne - każdej cyfrze szesnastkowej odpowadają cztery cyfry dwójkowe. (Z podobnych powodów czasem używa sę ósemkowego systemu lczbowego). Dodatkową korzyścą systemu szesnastkowego jest to, że każdy bajt może być zakodowany dwema cyfram szesnastkowym.

6 Addytywne systemy lczbowe W addytywnych systemach lczbowych symbole mają zawsze tę samą wartość, a lczbę uzyskuje sę przez ch sumowane. aramejsk system lczbowy najstarszy system tego typu rzymsk system lczbowy - używany do dzś, np. do zapsu stuleca.

7 W systeme rzymskm do zapsu lczb używa sę 7 lter, z których każda oznacza lczbę według podanej tabel: Znak I V X L C D M Wartość Aby utworzyć lczbę, trzeba zestawć odpowedne znak, poczynając od tego oznaczającego lczbę najwększą do tego oznaczającego lczbę najmnejszą. Przykłady: IV = 4 VII = 7 XL = 4 CM = 9 MXXV = 5 MMVIII = 8

8 Pozycyjne systemy lczbowe Ogólny zaps lczby dzesętnej: L = a n n Kaaa = a = podstawa systemu lczbowego a {,9} - cyfra -tej pozycj n lość cyfr lczby L Przykład 5 = 5

9 Dla lczb ułamkowych podstawa występuje w potęgach ujemnych, a zatem zaps lczby dzesętnej ma postać: L = an Kaaa, a a Ka l = n = l a n lość cyfr częśc całkowtej lczby L l lość cyfr częśc ułamkowej lczby L Część ułamkową oddzelamy od częśc całkowtej przecnkem

10 = = =, n l l n p p b b b b b b b b L K K Ogólne dla systemu pozycyjnego o podstawe p: p dowolna dodatna lczba wększa od Dla p = otrzymujemy system dwójkowy (bnarny). = = =, n l l n b b b b b b b b L K K

11 Ogranczymy sę do lczb całkowtych... Przykład. = czyl: =

12 Konwersja lczby dwójkowej na dzesętną. Przykład: Należy zamenć lczbę bnarną na lczbę dzesętną. = * 4 * * * * = 6 8 = 5

13 Konwersja lczby dzesętnej na dwójkową Sposób (od pozycj btu najbardzej znaczącego) Wyszukwane najwyższej potęg lczby. Przykład: Należy zamenć lczbę dzesętną 7 na lczbę bnarną. Najwększą potęgą lczby mnejszą od 7 jest 4 = 6, a zatem lczba dwójkowa będze mała 5 btów na najstarszym bce pszemy????. Odejmujemy 7-6 =. Dla najwyższą potęgą jest. Zatem na następnym bce pszemy uzyskujemy???. Następne mamy - 8 =. Dla najwyższą potęgą jest. Poneważ ne wystąpła tutaj druga potęga lczby, to na trzecej pozycj pszemy, otrzymujemy??, natomast na drugej pozycj pszemy, poneważ wystąpła perwsza potęga lczby,?. Po odjęcu - =, dostajem zerową potęgę lczby, czyl =. Ostateczne trzymujemy węc lczbę dwójkową.

14 Sposób (od pozycj btu najmnej znaczącego) Kolejne dzelene przez Przykład. Należy zamenć lczbę na lczbę dwójkową: Reszta : = 5 najmłodszy bt 5 : = : = : = =

15 System szesnastkowy (heksadecymalny) L 6 = a n n Kaaa = a = 6 gdze: a {,5} Aby ułatwć zaps wprowadzono dla lczb od do 5 stosuje sę zaps lterowy: - A, - B, - C, - D, 4 - E, 5 - F.

16 Konwersja lczby dwójkowej na szesnastkową Przejśce pomędzy kodem dwójkowym a heksadecymalnym polega na pogrupowanu zapsu dwójkowego w grupy czterobtowe zapsanu ch wartośc wykorzystując lczby z zakresu Przykład. Należy zamenć zaps lczby dwójkowej na zaps szesnastkowy. Znajdujemy grupy czterobtowe (od btu najmłodszego): lczba dwójkowa (bnarna) lczba szesnastkowa (heksadecymalna) 6 C E = 6CE 6 Konwersja odwrotna jest analogczna

17 Operacje matematyczne dodawane odejmowane mnożene dzelene operacje na pojedynczych cyfrach bardzej złożone Przykłady

18 ... X n p = K... y y y y y y Y n p = K dodawane: p p p Y X S = < = < = p r y dla p r y dla r p r y dla p r y p r y dla r y s

19 ... X n p = K... y y y y y y Y n p = K odejmowane: p p p Y X S = < = < = r y dla r y dla r r y dla p r y r y dla r y s

20 Uwag: Mnożene dzelene lczb może być wykonywane z zastosowanem arytmetycznego dodawana oraz logcznego przesuwana, odpowadającego mnożenu przez p lub p - Odejmowane może być wykonane przez dodane do odjemnej p-tego lub (p-)-szego uzupełnena odjemnka, przy stosowanu określonych zasad.

21 Uzupełnena lczb X p = n n L uzupełnene p-te: X = p n X dla X X = dla X = uzupełnene (p-)-sze: X n = p X Uwaga: Dwukrotne uzupełnene lczby X daje nam tę samą lczbę

22 Przykład. dla systemu dwójkowego X = n = 5 X X = = 5 5 X = = X = X = = Algorytm lczena uzupełneń dla p= X X X

23 Lczby ze znakem: X p = ± n n L = ± X Dla wszystkch sposobów zapsu znak zapsywany jest na dodatkowej pozycj (cyfra znaku) : = dla lczb dodatnch; n = dla lczb ujemnych. n n

24 . zaps modułowy (znak moduł) Uwaga: Mamy węc dwa rodzaje zera (dodatne ujemne).. zaps odwrotny (znak uzupełnene do p-) Uwaga: Mamy znów dwa rodzaje zera (dodatne ujemne o jakej postac??).. zaps dopełnenowy (znak uzupełnene do p) Uwaga: tylko jedno zero.. X p X n n n n L = = n < > = X dla X p X dla X p X n n < > = X dla X p X dla X p X n n

25 Odejmowane jako dodawane lczb ze znakem Zasady dodawana lczb ze znakem przedstawonych w zapse odwrotnym dopełnenowym można sformułować następująco: Dodawane lczb przedstawonych w zapse odwrotnym polega na dodawanu odpowadających sobe cyfr dodajnej dodajnka łączne z cyfram znaku, zgodne z zasadam dla pojedynczych cyfr. W przypadku wystąpena przenesena z pozycj znakowej, prawdłowy wynk uzyskuje sę przez dodane tego przenesena do uzyskanego rezultatu na najmnej znaczącej pozycj Dodawane lczb przedstawonych w zapse dopełnenowym polega na dodawanu odpowadających sobe cyfr dodajnej dodajnka łączne z cyfram znaku, zgodne z zasadam dla pojedynczych cyfr, przy odrzucenu występującego przenesena z pozycj znakowej.

26 Przykład (układ dwójkowy, zaps dopełnenowy) X = 8; Y = X Y = = = =.;.; X Y = ; = ; X Y =. =. X Y =.. =. = 9 X Y =.. =. = 7 Y X =.. =. = = 7 X Y =.. =. = = 9

27 Uwag: Stopeń złożonośc realzacj dzałań arytmetycznych jest uzależnony od sposobu przedstawena lczb ujemnych. Podstawowym dzałanem arytmetycznym jest dodawane. Mnożene dzelene lczb może być realzowane poprzez dodawane oraz tzw. przesuwane. Wynk dzałana ne może przekraczać maksymalnej wartośc słowa lczbowego. Gdy przekroczene take wystąp nadmar -układ cyfrowy pownen to wykryć ne dopuścć do dalszych oblczeń wykorzystujących neprawdłowy wynk. W nektórych układach cyfrowych wykrywane nadmaru powoduje automatyczną korekcję powstałego błędu, w nnych następuje zatrzymane oblczeń zasygnalzowane tego faktu.

28 Kody Czynność przypsywana różnym nformacjom pewnych symbol jest nazywna kodowanem, a zestaw symbol przypsany tej nformacj kodem tej nformacj. Najbardzej rozpowszechnonym kodam dwójkowym są: kod naturalny dwójkowy, kod Grey'a, kod dwójkowo-dzesętny BCD (ang. Bnary Coded Decmal), kod perścenowy czyl kod z należący do grupy kodów z n kod pseudoperścenowy Johnsona,

29 Kod Grey'a Cechą charakterystyczną kodu Grey'a jest to, że sąsadujące kombnacje kodowe różną sę wartoścam tylko jednego btu. Tablcę kodu Grey'a można utworzyć na podstawe tablcy kodu dwójkowego naturalnego posługując sę następującą regułą: G = B B = B B B B gdze: G - -ty bt kodu Grey'a, B - -ty bt kodu bnarnego, B - bt kodu bnarnego.

30 lna lustra 4 lna lustra lna lustra 9 4 5

31 Kod dwójkowo dzesętny BCD Kod dwójkowo dzesętny jest odmaną kodu dwójkowego naturalnego, gdze każdej cyfrze dzesętnej przyporządkowywuje sę lczbę bnarną. Ne następuje tutaj kodowane całej lczby, a kodowana jest każda cyfra oddzelne

32 Kod pseudoperścenowy 4 5

33 Kod perścenowy 4 5

34 Tablca kodu dwójkowego z btem parzystośc

35 Tablca kodu dwa z pęcu

36 Algebra Boole a George Boole r. Algebrą Boole a nazywamy system algebraczny < K,o,,, >, w którym K jest zborem, o oraz wyróżnonym elementam tego zboru, oraz operacjam (nazywanym także dzałanam lub operatoram) dwuargumentowym określonym w zborze K

37 Zamast termnu suma w odnesenu do symbolu [] używane są także termny : alternatywa lub dysjunkcja (OR) AB czytamy A lub B Zamast termnu loczyn [ ] możemy używać zamenne termnu konunkcja (AND) A B czytamy A B

38 Szczególne znaczene do opsu układów logcznych ma dwuwartoścowa algebra Boole'a czyl taka, w której zbór K jest dwuelementowy {, }. Wartośc mogą reprezentować: Logczne Fałsz (False) Przełącznk otwarty - Wyłączony (Off) Nsk pozom napęca (Low ) Ne (No) Logczna Prawda (True) Przełącznk zamknęty Włączony (On) Wysok pozom napęca (Hgh) Tak (Yes)

39 Funkcja boolowska Zmenną bnarną nazwemy zmenną przyjmującą jedną z dwóch wartośc: lub Funkcją boolowską zmennych (argumentów) bnarnych,..., n nazywamy odwzorowane: f : X Y gdze: X B n = {,} {,}... {,}, Y {,} n-razy Jeżel X = B n, to funkcję nazywamy zupełną; w przecwnym przypadku jest to funkcja nezupełna, zwana równeż funkcją ne w pełn określoną. Reprezentacje funkcj boolowskch: Tablca prawdy (zależnośc) Formuła (wyrażene) boolowske... wele nnych sposobów opsu (np. BDD)

40 Jeżel f () będze funkcją logczną jednego argumentu to można określć co najwyżej cztery take funkcje. Symbol Nazwa Oznaczene wartość funkcj gdy = = f funkcja zerowa f powtórzene f negacja f funkcja jedynkowa

41 Własnośc negacj f ()= Tablca prawdy Funkcja przyjmuje wartość przecwną do stanu wejśca f () Symbol

42 Mamy 6 funkcj dwuargumentowych f(, ): f - funkcja stała, f - funkcja NOR, f - funkcja mplkacj (zakazu), f - negacja, f 4 - funkcja mplkacj (zakazu), f 5 - negacja, f 6 -suma wyłączająca (modulo ) lub XOR, f 7 - funkcja NAND, f 8 - loczyn, AND, f 9 - funkcja równoważnośc, f - funkcja tożsama ze zmenną, f - funkcja mplkacj, f - funkcja tożsama ze zmenną, f - funkcja mplkacj, f 4 - suma, OR, f 5 - funkcja stała.

43 Spośród funkcj dwuargumentowych f (,y) najważnejszym są: Nazwa Oznaczene Wartość funkcj gdy (,y) równa sę (,) (,) (,) (,) suma, dysjunkcja, OR y, y loczyn, konjunkcja, AND y, y

44 Własnośc alternatywy Y=AB Tablca prawdy Funkcja przyjmuje wartość wtedy gdy co najmnej jedno z wejść przyjmuje stan A B Y A B Y Symbol

45 Własnośc konunkcj Y=A*B Tablca prawdy Funkcja przyjmuje wartość tylko wtedy gdy oba wejśca przyjmują stan A B Y A B Y Symbol

46 Własnośc funkcj XOR (sumy modulo ) Y=A B Tablca prawdy Funkcja przyjmuje wartość wtedy, gdy tylko jedno z wejść przyjmuje stan A B Y A B Y Symbol

47 Reprezentacje funkcj boolowskch - Tablca prawdy tablcowe przedstawene odwzorowana f f(,, ) f: B B Funkcja nezupełna f Funkcja zupełna f

48 Uproszczony zaps tablcy prawdy f = Σ[(,, 5, 7, (, 6)] f f = Σ(,, 5, 6, 7) f

49 Formuła boolowska Formuła boolowska to wyrażene, w którym zmenne boolowske połączone są operatoram: (OR), (AND), (NOT) a b a b a b a

50 Formuła boolowska - przykład f f = f = Ogromne znaczene formuł boolowskch...

51 Operatory logczne mają swoje realzacje technczne tzw. bramk logczne AND OR f NOT 4 5 Realzacja funkcj f f = 4 5

52 Sens fzyczny mnmalzacj f f f

53 Komentarz Zatem upraszczając wyrażena boolowske będzemy mogl jednocześne uproścć ch realzację, np. zmnejszyć lczbę zastosowanych bramek co decyduje o kosztach realzacj tym samym jest głównym czynnkem zwększającym konkurencyjność produktu na rynku. f f 4 5 Podstawy teoretyczne upraszczana wyrażeń boolowskch zawarte są w algebrze Boole a.

54 Prawa własnośc algebry Boole a l.p. Nazwa aksjomatu Aksjomaty dotyczące dodawana mnożena prawo łącznośc (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) prawo przemennośc AB=BA AB=BA prawo stnena jednego elementu dentycznoścowego A=A A* =A 4 prawo dopełnena A A = A A =

55 Prawa własnośc algebry Boole a l.p. N azw a tw erdzena tw erdzena dotyczą ce dodawana mnoż ena prawo stałych elementów A= A = prawo powtórzena AA=A A A = A prawo podwójnej negacj A = A 4 prawo de Morgana A B = A * B AB = A B 5 prawo rozdzelczośc ABC=(AB)(AC) A(BC)=ABAC 6 reguła pochłanana AAB=A A(AB)=A 7 reguła pochłanana A A B = A B A( A B) = AB 8 reguła sklejana AB AB = A (A B)(A B ) = A 9 reguła nepełnego sklejana AB AB = (A B)(A B ) = A A B A B A(A B)(A B ) reguła uogólnonego sklejana AB CB = (A B)(C B ) = AC AB CB (A C)(A B)(C B )

56 Transformacja formuły Przykłady przekształcana funkcj boolowskch f Realzacja uproszczonej funkcj f = = f = = ( ) = ) ( = ) ( = = = = = =

57

58

59

60

61 Pojęca podstawowe stosowane w zapse funkcj logcznych Lterał argument funkcj boolowskej (zmenna bnarna) lub negacja (dopełnene) tego argumentu. F Implkant funkcj logcznej (boolowskej) F - to loczyn lterałów, dla których wartość logczna funkcj boolowskej wynos. Implkant zawerający wszystke zmenne funkcj F nazywamy mplkantem perwotnym (elemetntarnym). Implkant perwotny może być wyrażony: 4 5 dwójkowo, np.. () 6 dzesętne, np. (6) lterałowo, np. 7 Implkant prosty - to mplkant funkcj boolowskej, który po odrzucenu dowolnego lterału (zmennej) przestaje być mplkantem.

62 Pojęca podstawowe stosowane w zapse funkcj logcznych Implcent funkcj llogcznej F - to suma lterałów, dla których wartość logczna funkcj boolowskej wynos. F Implcent zawerający wszystke zmenne funkcj F nazywamy mplcentem perwotnym (elemetntarnym). Implcent perwotny może być wyrażony: dwójkowo, np.. () 4 dzesętne, np. (4) 5 lterałowo, np. ( ) 6 Implcent prosty - to mplcent funkcj, który po odrzucenu dowolnego lterału przestaje być mplcentem. 7

63 Postac (formy) kanonczne Postać sumy (alternatywna, dysjunkcyjna) funkcj F wyrażene boolowske określające funkcję F będące sumą jej mplkantów. Kanonczna postać sumy funkcj F suma wszystkch mplkantów perwotnych F. Postać loczynu (konunkcyjna ) funkcj F wyrażene boolowske określające funkcję F będące loczynem jej mplcentów. Kanonczna postać loczynu funkcj F suma wszystkch mplcentów perwotnych F.

64 Kanonczna postać sumy f = F

65 Kanonczna postać loczynu ) ( f = F ) ( ) (

66 Realzacja funkcj logcznych System funkcjonalne pełny - zestaw funktorów logcznych, pozwalający zrealzować dowolną funkcję logczną. Mnmalny SFP system, w którym usunęce dowolnego funktora powoduje, że przestaje być SFP Podstawowy SFP zawera funktory (bramk) AND, OR, NOT ne jest mnmalny. Przykłady systemów mnmalnych: AND, NOT OR, NOT NAND NOR Przykłady realzacj funkcj: F =

67 Mnmalzacja funkcj logcznych Mnmalzacja polega na znalezenu takego zapsu funkcj logcznej, by zawerał on najmnejszą lczbę lterałów operacj logcznych. W ogólnym przypadku w wynku mnmalzacj można uzyskać klka równoważnych postac skróconych. Klasyczne metody mnmalzacj:. metoda satek Kranaugha. metoda Qune a Mc Cluskeya

68 Metoda satek Karnaugha. Satka Karnaugha stanow grafczną reprezentację funkcj logcznej.. Zawera te same nformacje co tablca prawdy każdemu werszow tablcy odpowada jedna kratka (pole) w satce.. Rozmar satk Karnaugha zależy od lczby zmennych. 4. Wersze kolumny satk Karnaugha opsane są za pomocą kodu Gray a (lczby ne są kolejnym lczbam dwójkowym), a węc kody kolejnych elementów różną sę tylko na jednej pozycj. 5. Tak ops umożlwa wykorzystane reguły sklejana do przeprowadzana uproszczeń, tzn. znaczy, żezmenną, która w dwóch sąsednch kratkach przyjmuje różne wartośc, można pomnąć w zapse wyrażena.

69 Przykłady satek Kanaugha dla funkcj logcznych o różnej lczbe argumentów.

70 Algorytm mnmalzacj Etap perwszy polega na przygotowanu satk dla danej lczby zmennych wpsanu w kratk wartośc funkcj. W polach odpowadających zmennym, dla których wartość funkcj jest neokreślona, należy wpsać znak neokreślonośc. W etape drugm należy narysować obwedne możlwe najwększych obszarów obejmujących wyłączne jedynk (dla postac sumacyjnej), albo wyłączne zera (dla postac loczynowej), sąsadujące ze sobą. Rysowane obwedn odbywa sę według następujących zasad:. lczba pól połączonych ze sobą, mus być potęgą dwójk (,, 4,..., n ) pownna być możlwe najwększa.. łączone są tylko pola sąsedne, tzn. oddzelone od sebe lną ponową, lną pozomą lub krawędzą tablcy,. łączone pola muszą meć kształt symetryczny względem swych os (kwadraty lub prostokąty). 4. grupy powstałe w wynku łączena muszą zawerać wszystke jedynk (zera) funkcj. 5. jeśl w tablcy występują znak neokreślonośc, to poła, w których występuje ten znak, można łączyć (jeżel ne ma nnych ogranczeń) z jedynkam albo z zeram, zachowując zasady łączena przedstawone powyżej. Etap trzec - zapsane funkcj logcznej.

71 Przykłady sklejeń w tablcy Karnaugha

72 Przykład. Zaps mplkantów (mplcentów) odpowadających grupom 4 kratkowym dla funkcj czterech zmennych Z.