W. Guzicki Zadanie 23 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

Transkrypt

1 W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 3. Rozwiąż równanie: sin 5x cos x + sin x = 0. W rozwiązaniach podobnych zadań często korzystamy ze wzorów trygonometrycznych z następujących dwóch grup. Po pierwsze mamy wzory na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów: sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α, sin(α β) = sin α cos β sin β cos α, cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β, cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β. Po drugie, mamy wzory na sumy i różnice funkcji trygonometrycznych: sin α + sin β = sin α + β sin α sin β = sin α β cos α + cos β = cos α + β cos α cos β = sin α + β cos α β, cos α + β, cos α β, sin β α. Ze wzorów pierwszej grupy łatwo wynikają wzory na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta: sin α = sin(α + α) = sin α cos α + sin α cos α = sin α cos α, cos α = cos(α + α) = cos α cos α sin α sin α = cos α sin α = = cos α 1 = 1 sin α. Te wzory można uogólnić na większe wielokrotności kąta. Każdy wzór można zapisać na kilka sposobów; szczególnie przydatne jest wyrażenie funkcji trygonometrycznych wielokrotności kąta za pomocą funkcji sinus lub funkcji cosinus (tam, gdzie jest to możliwe). Najpierw wyprowadzimy wzory na funkcje potrojonego kąta: sin 3α = sin(α + α) = sin α cos α + sin α cos α = = sin α cos α cos α + sin α(1 sin α) = sin α cos α + sin α sin 3 α = = sin α(1 sin α) + sin α sin 3 α = sin α sin 3 α + sin α sin 3 α = = 3 sin α sin 3 α = sin α(3 sin α) = sin α( cos α 1), cos 3α = cos(α + α) = cos α cos α sin α sin α = = ( cos α 1) cos α sin α cos α sin α = cos 3 α cos α sin α cos α = = cos 3 α cos α (1 cos α) cos α = cos 3 α cos α cos α + cos 3 α = = cos 3 α 3 cos α = cos α( cos α 3) = cos α(1 sin α).

2 W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony Następnie wyprowadzimy wzory na sin α i cos α: sin α = sin( α) = sin α cos α = sin α cos α (1 sin α) = = (sin α sin 3 α) cos α, cos α = cos( α) = cos α sin α = (1 sin α) ( sin α cos α) = = 1 sin α + sin α sin α cos α = = 1 sin α + sin α sin α(1 sin α) = = 1 sin α + sin α sin α + sin α) = 1 8 sin α + 8 sin α. Wreszcie potrzebny nam będzie wzór na sin 5α: sin 5α = sin(α + α) = sin α cos α + sin α cos α = = (sin α sin 3 α) cos α cos α + sin α(1 8 sin α + 8 sin α) = = (sin α sin 3 α) cos α + sin α 8 sin 3 α + 8 sin 5 α = = (sin α sin 3 α)(1 sin α) + sin α 8 sin 3 α + 8 sin 5 α = = (sin α sin 3 α sin 3 α + sin 5 α) + sin α 8 sin 3 α + 8 sin 5 α = = (sin α 3 sin 3 α + sin 5 α) + sin α 8 sin 3 α + 8 sin 5 α = = sin α 1 sin 3 α + 8 sin 5 α + sin α 8 sin 3 α + 8 sin 5 α = = 5 sin α 0 sin 3 α + 16 sin 5 α. Powszechnie znane są wartości funkcji trygonometrycznych dla kilku kątów: 30, 5 oraz 60. Korzystając ze wzorów na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów możemy obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych dla kilku innych kątów. Na przykład: sin 15 = sin(5 30 ) = sin 5 cos 30 sin 30 cos 5 = 6 =. sin 75 = sin( ) = sin 5 cos 30 + sin 30 cos 5 = 6 + =. Korzystając ze wzorów redukcyjnych możemy też obliczyć: 3 1 = = 6 sin 195 = sin 15 =, 6 + sin 55 = sin 75 =. Teraz przejdziemy do rozwiązywania równań trygonometrycznych. Zaczniemy od innego równania.

3 W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 3 Zadanie 3a. Rozwiąż równanie: sin 5x sin 3x + sin x = 0. Rozwiązanie. Sposób I. Przekształcamy lewą stronę równania: sin 5x sin 3x + sin x = (sin 5x + sin x) sin 3x = sin 5x + x cos 5x x = sin 3x cos x sin 3x = sin 3x( cos x 1). sin 3x = Nasze równanie ma zatem postać równoważną Możliwe są zatem dwa przypadki. sin 3x( cos x 1) = 0. Przypadek 1. sin 3x = 0. Zatem 3x = n 180 dla pewnej liczby całkowitej n. Stąd otrzymujemy pierwszą serię rozwiązań: x = n 60, gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą. Te rozwiązania możemy zapisać także inaczej: x 1 = 0 + n 360, x = 60 + n 360, x 3 = 10 + n 360, x = n 360, x 5 = 0 + n 360, x 6 = n 360. Przypadek. cos x 1 = 0. Zatem cos x = 1, cos x = cos 60. Stąd otrzymujemy następne dwie serie rozwiązań: x = 60 + n 360 lub x = n 360, x = 30 + n 180 lub x = n 180. Te rozwiązania można także zapisać inaczej: x 7 = 30 + n 360, x 8 = 10 + n 360, x 9 = n 360, x 10 = n , 30, 60, 10, 150, 180, 10, 0, 300 oraz 330.

4 W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony Rozwiązanie. Sposób II. Skorzystamy ze wzorów wyprowadzonych na początku tego tekstu. Nasze równanie ma postać równoważną: (5 sin x 0 sin 3 x + 16 sin 5 x) (3 sin x sin 3 x) + sin x = 0, 16 sin 5 x 16 sin 3 x + 3 sin x = 0. Podstawmy t = sin x. Otrzymujemy następujące równanie piątego stopnia: Mamy teraz dwa przypadki. 16t 5 16t 3 + 3t = 0, t(16t 16t + 3) = 0. Przypadek 1. t = 0, sin x = 0. Zatem x = n 180, gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą. Te rozwiązania możemy zapisać inaczej: x 1 = 0 + n 360, x = n 360. Przypadek. 16t 16t + 3 = 0. Otrzymaliśmy równanie dwukwadratowe. Podstawiamy u = t : 16u 16u + 3 = 0. Obliczamy wyróżnik trójmianu po lewej stronie: = ( 16) 16 3 = 16 (16 1) = 16 = 6. Zatem u 1 = 16 8 = 1 oraz u = Stąd otrzymujemy cztery rozwiązania równania: = 3. t 1 = 1, t = 1 3, t 3 = oraz t = Mamy zatem osiem rozwiązań równania trygonometrycznego: sin x = 1, sin x = sin( 30 ). Wówczas 3. x 3 = 10 + n 360, x = n 360. sin x = 1, sin x = sin 30. Wówczas x 5 = 30 + n 360, x 6 = n 360.

5 W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 5 sin x = 3, sin x = sin( 60 ). Wówczas x 7 = 0 + n 360, x 8 = n 360. sin x = 3, sin x = sin 60. Wówczas x 9 = 60 + n 360, x 10 = 10 + n , 30, 60, 10, 150, 180, 10, 0, 300 oraz 330. Zadanie 3b. Rozwiąż równanie: sin 5x sin 3x sin x = 0. Rozwiązanie. Sposób I. Przekształcamy lewą stronę równania: 5x 3x sin 5x sin 3x sin x = (sin 5x sin 3x) sin x = sin cos = sin x cos x sin x = sin x( cos x 1). 5x + 3x sin x = Nasze równanie ma zatem postać równoważną Możliwe są zatem dwa przypadki. sin x( cos x 1) = 0. Przypadek 1. sin x = 0. Zatem x = n 180 dla pewnej liczby całkowitej n. Te rozwiązania możemy zapisać także inaczej: x 1 = 0 + n 360, x = n 360. Przypadek. cos x 1 = 0. Zatem cos x = 1, cos x = cos 60. Stąd otrzymujemy następne dwie serie rozwiązań: x = 60 + n 360 lub x = n 360, x = 15 + n 90 lub x = 75 + n 90.

6 W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 6 Te rozwiązania można także zapisać inaczej: x 3 = 15 + n 360, x = n 360, x 5 = n 360, x 6 = 85 + n 360, x 7 = 75 + n 360, x 8 = n 360, x 9 = 55 + n 360, x 10 = 35 + n , 15, 75, 105, 165, 180, 195, 55, 85 oraz 35. Rozwiązanie. Sposób II. Skorzystamy ze wzorów wyprowadzonych na początku tego tekstu. Nasze równanie ma postać równoważną: (5 sin x 0 sin 3 x + 16 sin 5 x) (3 sin x sin 3 x) sin x = 0, 16 sin 5 x 16 sin 3 x + sin x = 0. Podstawmy t = sin x. Otrzymujemy następujące równanie piątego stopnia: 16t 5 16t 3 + t = 0, t(16t 16t + 1) = 0. Mamy teraz dwa przypadki. Przypadek 1. t = 0, sin x = 0. Zatem x = n 180, gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą. Te rozwiązania możemy zapisać inaczej: x 1 = 0 + n 360, x = n 360. Przypadek. 16t 16t + 1 = 0. Otrzymaliśmy równanie dwukwadratowe. Podstawiamy u = t : 16u 16u + 1 = 0. Obliczamy wyróżnik trójmianu po lewej stronie: = ( 16) 16 = 16 (16 ) = 16 1 = 19.

7 W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 7 Zatem = 8 3 i stąd u 1 = Teraz zauważamy, że 3 = 3 = 3 8 oraz u = = = ( 3 1) 8 i podobnie + 3 = ( 3 + 1). 8 Stąd otrzymujemy cztery rozwiązania równania: t 1 = u 1 = =, t = 6 u 1 =, t 3 = 6 + u =, t = 6 + u =. Mamy zatem osiem rozwiązań równania trygonometrycznego: sin x = 6, sin x = sin( 15 ). Wówczas x 3 = n 360, x = 35 + n 360. sin x = 6, sin x = sin 15. Wówczas x 5 = 15 + n 360, x 6 = n 360. sin x = 6+, sin x = sin( 75 ). Wówczas x 7 = 55 + n 360, x 8 = 85 + n 360. sin x = 6, sin x = sin 75. Wówczas x 9 = 75 + n 360, x 10 = n 360. = , 15, 75, 105, 165, 180, 195, 55, 85 oraz 35.

8 W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 8 Zauważmy, że pierwszy sposób rozwiązania obu równań nie różnił się istotnie. Drugi sposób rozwiązania w równaniu 3b prowadził do bardziej skomplikowanego równania wielomianowego i wymagał znajomości wartości funkcji sinus dla kątów 15 i 75. Przejdźmy teraz do rozwiązania równania z zadania 3. Okaże się, że sposób drugi prowadzi do jeszcze większych komplikacji. Rozwiązanie. Sposób I. Przekształcamy lewą stronę równania: sin 5x cos x + sin x = (sin 5x + sin x) cos x = sin 5x + x cos 5x x cos x = = sin 3x cos x cos x = cos x( sin 3x 1). Nasze równanie ma zatem postać równoważną cos x( sin 3x 1) = 0. Możliwe są zatem dwa przypadki. Przypadek 1. cos x = 0. Zatem x = 90 + n 180 dla pewnej liczby całkowitej n. Stąd otrzymujemy pierwszą serię rozwiązań: x = 5 + n 90, gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą. Te rozwiązania możemy zapisać także inaczej: x 1 = 5 + n 360, x = n 360, x 3 = 5 + n 360, x = n 360. Przypadek. sin 3x 1 = 0. Zatem sin 3x = 1, sin 3x = cos 30. Stąd otrzymujemy następne dwie serie rozwiązań: 3x = 30 + n 360 lub 3x = n 360, x = 10 + n 10 lub x = 50 + n 10. Te rozwiązania można także zapisać inaczej: x 5 = 10 + n 360, x 6 = n 360, x 7 = 50 + n 360, x 8 = 50 + n 360, x 9 = n 360, x 10 = 90 + n , 5, 50, 130, 135, 170, 5, 50, 90 oraz 315.

9 W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 9 Rozwiązanie. Sposób II. Skorzystamy ze wzorów wyprowadzonych na początku tego tekstu. Nasze równanie ma postać równoważną: (5 sin x 0 sin 3 x + 16 sin 5 x) (1 sin x) + sin x = 0, 16 sin 5 x 0 sin 3 x + sin x + 6 sin x 1 = 0. Podstawmy t = sin x. Otrzymujemy następujące równanie piątego stopnia: 16t 5 0t 3 + t + 6t 1 = 0. Przekształćmy to równanie w sposób równoważny: Mamy teraz dwa przypadki. Przypadek 1. t 1 = 0, t = 1. Zatem t = Stąd otrzymujemy cztery serie rozwiązań: 16t 5 8t 3 1t 3 + 6t + t 1 = 0, 8t 3 (t 1) 6t(t 1) + (t 1) = 0, (t 1)(8t 3 6t + 1) = 0. lub t =, sin x = sin( 5 ) lub sin x = sin 5. x 1 = 5 + n 360, x = n 360, x 3 = 5 + n 360, x = n 360. Przypadek. 8t 3 6t + 1 = 0. Otrzymaliśmy równanie trzeciego stopnia, które nie ma rozwiązań wymiernych (co można łatwo sprawdzić). Popatrzmy najpierw na wykres wielomianu stojącego po lewej stronie równania. Zauważamy, że ten wielomian ma trzy pierwiastki rzeczywiste (a więc nie ma także dobrych wzorów na pierwiastki tego wielomianu). Będziemy mogli jednak domyślić się, jakie liczby są tymi pierwiastkami. Będziemy szukać wśród sinusów

10 W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 10 znanych kątów. y t 1 t t 3 x Przybliżone wartości tych pierwiastków są równe: t 1 0,93969, t 0,17368 oraz t 3 0,7660. Można się przekonać, że są to też przybliżone wartości trzech sinusów: sin( 70 ) 0,93969, sin 10 0,17368 oraz sin 50 0,7660. Można się przekonać, że te trzy sinusy rzeczywiście są pierwiastkami rozważanego wielomianu. Zauważmy bowiem, że Zatem 8t 3 6t = (3t t 3 ) = (3 sin x sin 3 x) = sin 3x. 8 sin 3 ( 70 ) 6 sin( 70 ) + 1 = sin( 10 ) + 1 = sin = 1 = sin = = = 0, 8 sin sin = sin = = = 0, 8 sin sin = sin = sin = = Zatem rzeczywiście = = 0. t 1 = sin( 70 ), t = sin 10 oraz t 3 = sin 50.

11 W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 11 Stąd dostajemy sześć serii rozwiązań. sin x = sin( 70 ). Wówczas x 5 = 50 + n 360, x 6 = 90 + n 360. sin x = sin 10. Wówczas sin x = sin 50. Wówczas x 7 = 10 + n 360, x 8 = n 360. x 9 = 50 + n 360, x 10 = n , 5, 50, 130, 135, 170, 5, 50, 90 oraz 315. Uwaga. Na zakończenie zauważmy, że liczba sin 10 jest pierwiastkiem wielomianu trzeciego stopnia, który nie ma pierwiastków wymiernych. Stąd wynika, że odcinek długości sin 10 nie jest konstruowalny za pomocą cyrkla i linijki. A więc kąta 10 także nie można skonstruować za pomocą cyrkla i linijki.