Całka potrójna. Całka potrójna po prostopadłoscianie. f (x i, y i, z i ) x i y i z i. (1)

Transkrypt

1 Całka potrójna Całka potrójna po prostopadłoscianie Rozważmy prostopadłościan = {(x, y, z) R 2 : a x b, c y d, p z q}, gdzie a, b, c, d, p, q R, oraz funkcję trzech zmiennych f : R ograniczoną w tym prostopadłościanie. rostopadłościan dzielimy na n prostopadłościanów i o wymiarach x i, y i, z i, dla i {1, 2,..., n}, które mają rozłączne wnętrza. odział ten oznaczmy symbolem n. W każdym z prostopadłościanów i wybierzmy dowolnie punkt A i = (x i, y i, z i ), następnie wyznaczmy wartość funkcji f w tych punktach i rozważmy sumę postaci S n = n f (x i, y i, z i ) x i y i z i. (1) i=1 Sumę tę nazywamy sumą całkową funkcji f po prostopadłoscianie. Liczbę Dla każdego i {1, 2,..., n} niech d i oznacza długość przekątnej prostopadłościanu i, wtedy d i = ( x i ) 2 + ( y i ) 2 + ( z i ) 2. δ n = max {d 1, d 2,..., d n } nazywamy średnicą podziału n prostopadłościanu. Rozważmy następnie ciąg podziałów ( n ) n N prostopadłościanu. Ciąg taki nazywamy ciągiem normalnym podziałów, jeżeli odpowiadający mu ciąg średnic (δ n ) n N dąży do zera, tj. lim δ n = 0. n Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostopadłościanu ciąg sum całkowych (S n ) n N jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów pośrednich A i, to tę granicę nazywamy całką potrójną funkcji f po prostopadłościanie i oznaczamy symbolem f (x, y, z) dv lub f (x, y, z) dxdydz. (2) Jeżeli całka (2) istnieje, to mówimy, że funkcja f jest całkowalna po prostopadłościanie. Zwróćmy uwagę, że całka (2) oznacza granicę wspólną dla wszystkich ciągów sum całkowych, które można otrzymać, rozpatrując różne ciągi normalne podziałów prostopadłoscianu i niezależnie od nich wybierając na różne sposoby punkty A i. Inaczej mówiąc, istnienie całki (2) zapewnia to, że

2 każde dwie sumy całkowe (1) różnią się od siebie dowolnie mało, jeżeli tylko średnice podziałów, dla których zostały one utworzone, są dostatecznie małe. Fakt 1. (O całkowalności funkcji ciągłej) Jeżeli f jest ciągłą funkcją określoną na prostopadłościanie, to jest na nim całkowalna. Twierdzenie 1. (O liniowości całki) Jeżeli funkcje f i g są całkowalne po prostopadłościanie, to 1. (f (x, y, z) + g (x, y, z)) dv = f (x, y, z) dv + g (x, y, z) dv, 2. (f (x, y, z) g (x, y, z)) dv = f (x, y, z) dv g (x, y, z) dv, 3. (c f (x, y, z)) dv = c f (x, y, z) dv, gdzie c R. Twierdzenie 2. (O addytywności względem obszaru całkowania) Jeżeli funkcja f jest całkowalna po prostopadłościanie, to dla dowolnego podziału tego prostopadłościanu na prostopadłościany 1 i 2 o rozłącznych wnętrzach zachodzi równość f (x, y, z) dv = f (x, y, z) dv + f (x, y, z) dv. 1 2 Twierdzenie 3. (O zamianie całki potrójnej na całki iterowane) Jeżeli funkcja f jest ciągła na prostopadłościanie = [a, b] [c, d] [p, q], to q d b f (x, y, z) dv = f (x, y, z) dx dy dz. p c a waga 1. owyższe twierdzenie będzie prawdziwe także wtedy, gdy po prawej stronie równości napiszemy dowolną inną całkę iterowaną (w tym przypadku jest sześć rodzajów całek iterowanych). Twierdzenie 4. (Całka potrójna z funkcji o rozdzielonych zmiennych) Jeżeli f jest funkcją o rozdzielonych zmiennych, czyli f(x, y, z) = g(x)h(y)k(z), gdzie funkcje g, h i k są ciągłe odpowiednio na przedziałach [a, b], [c, d] i [p, q], to b d q f (x, y, z) dv = g (x) dx h (y) dy k (z) dz. [a,b] [c,d] [p,q] a c p

3 Całka potrójna po obszarze normalnym Niech R 3 będzie obszarem ograniczonym, dowolnym prostopadłościanem zawierającym obszar i niech f : R będzie funkcją ograniczoną. Rozważmy funkcję f : R określoną wzorem { f (x, y, z), (x, y, z) f (x, y, z) = 0, (x, y, z) \. Całkę potrójną funkcji f po obszarze definiujemy wzorem f (x, y, z) dv = f (x, y, z) dv, o ile całka po prawej stronie znaku równości istnieje. Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna na obszarze. Obszar domknięty nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny xoy, jeżeli można go zapisać w postaci = {(x, y, z) : (x, y) D xy, g(x, y) z h(x, y)}, gdzie D xy jest obszarem regularnym na płaszczyźnie xoy, a funkcje g i h są ciągłe na D xy, przy czym g(x, y) < h(x, y), dla (x, y) należących do wnętrza obszaru D xy. Obszar domknięty nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny xoz, jeżeli można go zapisać w postaci = {(x, y, z) : (x, z) D xz, p(x, z) y q(x, z)}, gdzie D xz jest obszarem regularnym na płaszczyźnie xoz, a funkcje p i q są ciągłe na D xz, przy czym p(x, z) < q(x, z), dla (x, z) należących do wnętrza obszaru D xz. Obszar domknięty nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny yoz, jeżeli można go zapisać w postaci = {(x, y, z) : (y, z) D yz, r(y, z) x s(y, z)}, gdzie D yz jest obszarem regularnym na płaszczyźnie yoz, a funkcje r i s są ciągłe na D yz, przy czym r(y, z) < s(y, z), dla (y, z) należących do wnętrza obszaru D yz.

4 waga 2. Jeżeli jest obszarem normalnym względem płaszczyzny xoy, to D xy jest rzutem obszaru na tę płaszczyznę. Analogiczna uwaga jest prawdziwa również w pozostałych dwóch przypadkach. Twierdzenie 5. (Całki iterowane po obszarach normalnych) Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym = {(x, y, z) : (x, y) D, g(x, y) z h(x, y)}, normalnym względem płaszczyzny xoy, gdzie funkcje g i h są ciągłe na obszarze regularnym D, to h(x,y) f (x, y, z) dv = f (x, y, z) dz d. D g(x,y) waga 3. rawdziwe są także analogiczne wzory z całkami iterowanymi po obszarach normalnych względem pozostałych płaszczyzn układu. waga 4. Jeżeli obszar normalny względem płaszczyzny xoy można zapisać w postaci to zachodzi równość = {(x, y, z) : a x b, c(x) y d(x), g(x, y) z h(x, y)}, f (x, y, z) dv = b a d(x) c(x) h(x,y) g(x,y) f (x, y, z) dz dy dx. Całka potrójna po obszarze regularnym Obszarem regularnym w przestrzeni nazywamy sumę skończonej liczby obszarów normalnych względem płaszczyzn układu o parami rozłącznych wnętrzach. Twierdzenie 6. (Całka po obszarze regularnym w przestrzeni) Niech obszar regularny R 3 będzie sumą obszarów normalnych 1, 2,..., n R 3 o parami rozłącznych wnętrzach oraz niech funkcja f będzie całkowalna na. Wtedy f (x, y, z) dv = f (x, y, z) dv + f (x, y, z) dv f (x, y, z) dv. 1 2 n waga 5. Całki po obszarach regularnych mają te same własności co całki po prostopadłościanach (liniowość, addytywność względem obszaru całkowania).

5 Wartość średnia funkcji na obszarze Wartością średnią funkcji f na obszarze R 3 nazywamy liczbę def f śr = 1 f (x, y, z) dv gdzie oznacza objętość obszaru. Twierdzenie 7. (O wartości średniej dla całek potrójnych) Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze normalnym, to w tym obszarze istnieje taki punkt (x 0, y 0, z 0 ), że f śr = f(x 0, y 0, z 0 ). Zamiana zmiennych w całkach potrójnych Wspólrzędne walcowe ołożenie punktu w przestrzeni R 3 można opisać trójką liczb (α, r, h), gdzie: α - oznacza miarę kąta między rzutem promienia wodzącego punktu na płaszczyznę xoy, a dodatnią częścią osi Ox, czyli 0 α < 2π, r - oznacza odległość rzutu punktu na płaszczyznę xoy od początku układu współrzędnych, czyli 0 r <, h - oznacza odległość (dodatnią dla z > 0 i ujemną dla z < 0) punktu od płaszczyzny xoy, czyli < h <. Trójkę liczb (α, r, h) nazywamy współrzędnymi walcowymi punktu przestrzeni. Fakt 1. (Zależność między współrzędnymi walcowymi i kartezjańskimi) Współrzędne kartezjańskie (x, y, z) punktu przestrzeni danego we współrzędnych walcowych (α, r, h) określone są wzorami W : x = r cos α, y = r sin α, z = h. waga 6. rzekształcenie W, które punktowi (α, r, h) przyporządkowuje punkt (x, y, z) określony powyższymi wzorami, nazywamy przekształceniem walcowym. rzekształcenie walcowe W jest klasy C 1 i ma jakobian r sin α cos α 0 J(α, r, h) = r cos α sin α = r sin2 α r cos 2 α = r.

6 Twierdzenie 8. (Współrzędne walcowe w całce potrójnej) Niech 1. obszar Ω we współrzędnych walcowych będzie obszarem normalnym, 2. funkcja f będzie ciągła w obszarze, który jest obrazem obszaru Ω przy przekształceniu walcowym, tzn. = W(Ω). Wtedy f (x, y, z) dv = f (r cos α, r sin α, h) r dhdrdα. Ω waga 7. Jeżeli we współrzędnych walcowych obszar Ω ma postać Ω = {(α, r, h) : β α γ, a(α) r b(α), c(α, r) h d(α, r)}, gdzie funkcje a i b są ciągłe na przedziale [β, γ] [0, 2π], a funkcje c i d są ciągłe na obszarze {(α, r) : β α γ, a(α) r b(α)}, to γ b(α) d(α,r) f (r cos α, r sin α, h) r dhdrdα = f (r cos α, r sin α, h) r dh dr dα. Ω β a(α) c(α,r) Współrzędne walcowe stosujemy głównie wtedy, gdy obszar całkowania jest ograniczony fragmentami powierzchni walców, sfer, stożków lub płaszczyzn. Wspólrzędne sferyczne ołożenie punktu w przestrzeni R 3 można opisać trójką liczb (α, β, r), gdzie: α - oznacza miarę kąta między rzutem promienia wodzącego punktu na płaszczyznę xoy, a dodatnią częścią osi Ox, czyli 0 α < 2π, β - oznacza miarę kąta między wektorem wodzącym punkrtu, a płaszczyzną xoy, czyli π 2 β π 2, r - oznacza odległość punktu od początku układu współrzędnych, czyli 0 r <. Trójkę liczb (α, β, r) nazywamy współrzędnymi sferycznymi punktu przestrzeni. waga 8. Współrzędne sferyczne (α, β, r) punktów położonych na powierzchni Ziemi są odpowiednio długością i szerokością geograficzną, a r jest promieniem Ziemi.

7 Fakt 2. (Zależność między współrzędnymi sferycznymi i kartezjańskimi) Współrzędne kartezjańskie (x, y, z) punktu przestrzeni danego we współrzędnych sferycznych (α, β, r) określone są wzorami S : x = r cos α cos β, y = r sin α cos β, z = r sin β. waga 9. rzekształcenie S, które punktowi (α, β, r) przyporządkowuje punkt (x, y, z) określony powyższymi wzorami, nazywamy przekształceniem sferycznym. rzekształcenie sferyczne S jest klasy C 1 i ma jakobian r sin α cos β r cos α sin β cos α cos β J(α, β, r) = r cos α cos β r sin α sin β sin α cos β 0 r cos β sin β = r2 cos β. Twierdzenie 9. (Współrzędne sferyczne w całce potrójnej) Niech 1. obszar Ω we współrzędnych sferycznych będzie obszarem normalnym, 2. funkcja f będzie ciągła w obszarze, który jest obrazem obszaru Ω przy przekształceniu sferycznym, tzn. = S(Ω). Wtedy f (x, y, z) dv = f (r cos α cos β, r sin α cos β, r sin β) r 2 cos β drdβdα. Ω waga 10. Jeżeli we współrzędnych sferycznych obszar Ω ma postać Ω = {(α, β, r) : ϕ α φ, a(α) β b(α), c(α, β) r d(α, β)}, gdzie funkcje a i b są ciągłe na przedziale [ϕ, φ] [0, 2π], a funkcje c i d są ciągłe na obszarze {(α, β) : ϕ α φ, a(α) β b(α)}, to f (r cos α cos β, r sin α cos β, r sin β) r 2 cos β drdβdα = = φ ϕ Ω b(α) a(α) d(α,β) c(α,β) f (r cos α cos β, r sin α cos β, r sin β) r 2 cos β dr dβ dα. Współrzędne sferyczne stosujemy głównie do opisu obszarów całkowania, które są ograniczone fragmentami sfer, stożków lub płaszczyzn.

8 Zastosowania całki potrójnej Całkę potrójną można zastosować między innymi w geometrii, do obliczenia objętości bryły. A mianowicie, objętość obszaru R 3 wyraża się wzorem: = dv. Całka potrójna ma ogromne zastosowanie w fizyce między innymi przy wyznaczaniu masy bryły, momentów statycznych, momentów bezwładności, natężenia pola elektrycznego, energii potencjalnej, czy energii kinetycznej. Więcej informacji na ten temat można znaleźć dla przykładu w książce: Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas, Analiza matematyczna 2. Definicje, twierdzenia, wzory. Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2000.