s n = a k (2) lim s n = S, to szereg (1) nazywamy zbieżnym. W przeciwnym przypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.

Transkrypt

1 Szeregi liczbowe Definicja Szeregiem liczbowym nazywamy wyrażenie a n = a + a 2 + a 3 + () Liczby a n, n =, 2,... nazywamy wyrazami szeregu. Natomiast sumę n s n = a k (2) nazywamy n-tą sumą częściową szeregu. Jeżeli istnieje granica k= lim s n = S, n to szereg () nazywamy zbieżnym. W przeciwnym przypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny. W definicji numeracja wyrazów rozpoczyna się od. Nie ma to jednak istotnego znaczenia, bo podobnie można zdefiniować n=n0 a n, gdzie n 0 jest dowolną liczbą naturalną. Ten szereg różni się od szeregu tym, że pierwsze n 0 wyrazów jest równe 0. Ogólniej, można stwierdzić, że zmiana dowolnej skończonej liczby wyrazów nie ma wpływu na zbieżność (tzn. po takiej zmianie szereg zbieżny pozostanie nadal zbieżny, a szereg rozbieżny pozostanie nadal rozbieżny). Przykłady. Znaleźć wzór na sumę s n i zbadać zbieżność szeregu a n n ; 2. 2 n 300 ; 3. ( ) n ; 4. n(n+).

2 Zauważmy, że gdy szereg a n jest zbieżny, to zarówno s n jak i s n dążą do granicy S. Ponieważ a n = s n s n, więc lim n a n = 0. Mamy więc następujące twierdzenie Twierdzenie (warunek konieczny zbieżności szeregu) Jeżeli szereg a n jest zbieżny, to jego wyraz ogólny a n dąży do 0. Ten warunek nie jest wystarczający. Jest wiele (nawet nieskończenie wiele!) szeregów, których wyraz ogólny a n dąży do 0, ale które są rozbieżne. Bardzo ważnym przykładem jest szereg harmoniczny: n = Na szeregach można wykonywać działania arytmetyczne. Twierdzenie 2. Jeżeli szereg a n jest zbieżny, to dla dowolnego c R szereg ca n jest zbieżny oraz ca n = c a n. 2. Jeżeli szeregi a n, b n są zbieżne, to szereg (a n + b n ) jest zbieżny oraz (a n + b n ) = c a n + b n. Na ogół trudne jest wyznaczenie wzoru analitycznego na sumę s n, a co za tym idzie wyznaczenie sumy szeregu S. Należy więc postawić zadanie łatwiejsze: zbadać tylko zbieżność szeregu. Jeśli wiadomo, że szereg jest zbieżny, to można potem obliczać chociaż jego wartość przybliżoną (biorąc np. 00 czy 000 wyrazów szeregu, zależnie od dokładności przybliżenia jaką chcemy osiągnąć). Twierdzenia podające warunki zbieżności szeregu nazywamy kryteriami zbieżności. 2

3 Na początek zajmiemy się szeregami o wartościach nieujemnych. Twierdzenie 3 (kryterium porównawcze) Jeżeli 0 a n b n dla n N, to. Jeżeli szereg b n jest zbieżny, to szereg a n jest zbieżny; 2. Jeżeli szereg a n jest rozbieżny, to szereg b n jest rozbieżny. Aby to twierdzenie skutecznie stosować trzeba dysponować pewną bazą informacji, tj. znać jakąś grupę szeregów zbieżnych bądź rozbieżnych. Będziemy korzystali z następującej informacji: Szereg postaci (tzw. szereg Dirichleta) jest zbieżny dla α >, a rozbieżny dla α. n α Zauważmy, że dla n = otrzymujemy szereg harmoniczny. Przykłady. Zbadać zbieżność szeregu:. sin 2 n n 2 ; Ponieważ sin2 n n 2 n 2 oraz n 2 zbieżny. 2. n(n+) ; Teraz n(n+) (n+) 2 = n+ oraz n+ jest zbieżny, więc sin 2 n n 2 też jest jest rozbieżny (bo jest to szereg harmoniczny bez pierwszego wyrazu), więc n(n+) rozbieżny. 3. 3n+ n 2 3 ; 4. 3n+ n też jest Twierdzenie 4 (kryterium ilorazowe) Jeżeli a n 0 i lim n a n+ a n = q, to 3

4 . jeżeli q <, to szereg a n jest zbieżny; 2. jeżeli q >, to szereg a n jest rozbieżny. Kryterium ilorazowe nazywane jest też kryterium d Alemberta. Nie rozstrzyga ono zbieżności, gdy q =, a takich przypadków jest wiele. Np. dla szeregów n otrzymamy q =, a pierwszy z nich jest zbieżny, drugi rozbieżny. Przykłady. Zbadać zbieżność szeregu:. n! n n ; 2. (2n)!. Twierdzenie 5 (kryterium pierwiastkowe) Jeżeli a n 0 i lim n an = q, to n 2. jeżeli q <, to szereg a n jest zbieżny; 2. jeżeli q >, to szereg a n jest rozbieżny. Inna nazwa: kryterium Cauchy ego. Gdy q =, nie rozstrzyga ono zbieżności. Przykłady. Zbadać zbieżność szeregu:. ( ) 3n+2 n; 2n+3 2. (ln n) n. Twierdzenie 6 (kryterium całkowe) Niech funkcja f(x) będzie nieujemna i nierosnąca dla x [, ]. Wtedy szereg f(n) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy całka niewłaściwa f(x)dx jest zbieżna. Przykłady.. Wykazać rozbieżność szeregu harmonicznego obliczając całkę dx. x 4

5 2. Wykazać zbieżność szeregu (n) α dla α >. Wszystkie powyższe kryteria zakładały nieujemność wyrazów szeregu. Definicja 2 Szereg a n nazywamy bezwzględnie zbieżnym, gdy szereg a n utworzony z jego wartości bezwzględnych jest zbieżny. Szereg zbieżny, ale nie bezwzględnie zbieżny, nazywamy warunkowo zbieżnym. Jeżeli a n jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny. Z tej uwagi wynika praktyczne postępowanie przy badaniu zbieżności szeregu. Najpierw należy wyjaśnić, czy szereg jest bezwzględnie zbieżny. Mamy tu do dyspozycji cztery wymienione wyżej kryteria zbieżności. Jeśli okaże się jednak, że szereg nie jest bezwzględnie zbieżny, to powstaje problem zbadania zbieżności warunkowej. Tu jednak nie ma skutecznych twierdzeń. W zasadzie mamy tylko jedno twierdzenie, i to dotyczące dość specjalnego szeregu. Definicja 3 Szereg postaci ( ) n a n = a a 2 + a 3 a 4 + gdzie a n 0 nazywamy naprzemiennym. Takim szeregiem jest np. ( ) n n = nazywany szeregiem anharmonicznym. Twierdzenie 7 (kryterium Leibniza) Jeśli ciąg a n jest nieujemny, nierosnący i dąży do 0, to ( ) n a n jest zbieżny. 5

6 Przykłady.. Ciąg n jest nieujemny, nierosnący i dąży do 0. Zatem szereg anharmoniczny jest zbieżny (ale tylko warunkowo, bo utworzony z jego wartości bezwzględnych szereg harmoniczny jest rozbieżny). 2. ( ) n ln n n. (warunkowo zbieżny) 3. ( ) n n++ n. (warunkowo zbieżny) 4. ( ) n n+ n. (rozbieżny warunek konieczny nie jest spełniony) 5. ( ) n. (bezwzględnie zbieżny) n 2 2 Szeregi potęgowe Szereg postaci f n (x) którego wyrazy są funkcjami zmiennej x, określone w tej samej dziedzinie D, nazywamy szeregiem funkcyjnym. Dla ustalonego x D szereg może być zbieżny lub nie. Zbiór wszystkich x D dla których szereg jest zbieżny nazywamy obszarem zbieżności szeregu. Obszar ten może być zbiorem pustym! Np. dla szeregu n x obszarem zbieżności jest przedział (, ), a dla szeregu x n obszarem zbieżności jest przedział (, ). W dalszym ciągu ograniczymy się do dwóch specjalnych grup szeregów: potęgowych i trygonometrycznych. 6

7 Definicja 4 Szereg postaci nazywamy szeregiem potęgowym. Dla x 0 = 0 mamy szereg a n x n. a n (x x 0 ) n, (3) Twierdzenie 8 (o obszarze zbieżności szeregu potęgowego) Jeśli R jest liczbą wyznaczoną ze wzoru lub ze wzoru a n R = lim n a n+, (4) R = lim n n a n, (5) to szereg (3) jest zbieżny w przedziale (x 0 R, x 0 + R) i rozbieżny w przedziałach (, x 0 R), (x 0 + R, ). W punktach x 0 R, x 0 + R szereg może być zbieżny lub nie. Określoną wyżej liczbę R nazywamy promieniem zbieżności szeregu, a przedział (x 0 R, x 0 + R) przedziałem zbieżności. Przykłady. Zbadać zbieżność szeregów:. x n n3 n. Obliczamy a n R = lim n a n+ = lim n n3 n (n+)3 n+ = lim n (n + )3 n+ n3 n n + = 3 lim n n = 3, Zatem szereg jest na pewno zbieżny w ( 3, 3). Dla x = 3 otrzymujemy szereg harmoniczny, który jest rozbieżny, a dla x = 3 szereg anharmonicz- n ny ( ) n, warunkowo zbieżny. Ostatecznie przedziałem zbieżności n jest [ 3, 3). 7

8 2. x n n. Po podobnej (jak wyżej) analizie otrzymamy przedział zbieżności [, ). W następnym przykładzie ograniczymy się do promienia zbieżności. 3. (n!) 2 (2n)! xn. Tutaj a n R = lim n a n+ = lim (n!) 2 [2(n + )]! n (2n)![(n + )!] = 2 (2n + )(2n + 2) 4n + 2 = n lim = lim (n + ) 2 n n + = 4. Podstawowym zagadnieniem jest przedstawienie danej funkcji w postaci szeregu potęgowego. Definicja 5 Załóżmy, że funkcja f ma w punkcie x 0 pochodne dowolnego rzędu. Można wtedy utworzyć szereg f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n = f(x 0 ) + f (x 0 )! (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 +, 2! który nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie x 0. Jeżeli x 0 = 0, to ten szereg nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f. Zatem pod warunkiem, że funkcja ma wszystkie pochodne można utworzyć pewien szereg z nią związany. Niestety nie zawsze jest tak, że jego suma będzie równa tej funkcji. Potrzebne są dodatkowe założenia. Twierdzenie 9 (o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora) Jeżeli. funkcja f ma na otoczeniu U punktu x 0 pochodne dowolnego rzędu; 2. dla każdego x U reszta wzoru Taylora dąży do 0, tj. lim R f (n) (c) n(x) = lim (x x 0 ) n = 0, n n n! 8

9 to dla każdego x U. f(x) = f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! Przykłady. Posługując się powyższym wzorem wykazać, że dla x R sin x = e x = cos x = n! xn = + x! + x2 2! + ; ( ) n (2n + )! x2n+ = x x3 3! + x5 5! x7 7! + ; ( ) n (2n)! x2n = x2 2! + x4 4! x6 6! +. Posługując się już wyprowadzonymi rozwinięciami można znaleźć dalsze wykonując operacje na szeregach (dodawanie, mnożenie przez stałą, całkowanie, różniczkowanie...) Przykłady. Wykorzystując równości sinh x = 2 (ex e x ), cosh x = 2 (ex + e x ) wykazać, że dla x R sinh x = cosh x = x 2n+ (2n + )! = x + x3 3! + x5 5! + x7 7! + ; x 2n (2n)! = + x2 2! + x4 4! + x6 6! +. Przykład. Już ze szkoły znana jest równość x = x n dla x (, ) (szereg geometryczny). Zamieniając w niej x na x otrzymamy + x = ( ) n x n dla x (, ). 9

10 Całkujemy od 0 do x: ln x = dla x (, ). x 0 + t dt = x 0 ( ) n t n dt = ( ) n n + xn+ Szereg geometryczny jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego szeregu dwumianowego: ( + x) α = gdzie symbol ( ) α n określamy następująco: ( ) α = n Przykladowo dla α = 3 mamy: ( ) α x n dla α R, x (, ) n α(α )(α 2)... (α n + ). n! 3 + x = + 3 x 2 2!3 2 x ! ! Szeregi Fouriera Szereg postaci 2 a 0 + (a cos x + b sin x) + (a 2 cos 2x + b 2 sin 2x) + = (6) = 2 a 0 + a n cos nx + b n sin nx (7) nazywamy szeregiem trygonometrycznym. Każdy wyraz tego szeregu jest funkcją trygonometryczną o okesie 2π. Jeżeli szereg jest zbieżny w przedziale [, π], to jest zbieżny dla wszystkich x i jego suma jest funkcją okresową. Stąd wynika, że rozwinięcie w szereg trygonometryczny mogą mieć tylko funkcje okresowe o okresie 2π. 0

11 Stawiamy zatem następujące zadanie. Przypuśmy, że funkcja f(x), o okresie 2π, ma przedstawienie Jak wyliczyć współczynniki a n i b n? f(x) = 2 a 0 + a n cos nx + b n sin nx. (8) Zauważmy najpierw, że dla n N jest cos x dx = 0 oraz sin x dx = 0. Zatem całkując równość (8) otrzymamy f(x) dx = 2 a 0 dx, a więc a 0 = π f(x) dx. Aby obliczyć a n dla n > 0 mnożymy najpierw równość (8) przez cos nx i potem całkujemy: f(x) cos nx dx = 2 a 0 cos nx dx + + (a k cos kx cos nx dx + b k k= ) sin kx cos nx dx. Ale całki cos kx cos nx dx są równe 0 dla k n. Żeby to stwierdzić, wystarczy skorzystać ze wzoru trygonometrycznego cos kx cos nx = (cos(k + n)x + cos(k n)x). 2 Również sin kx cos nx dx są równe 0 dla k N. Tym razem korzystamy ze wzoru trygonometrycznego sin kx cos nx = (sin(k + n)x + sin(k n)x). 2

12 A zatem jedyną niezerową całką po prawej stronie jest cos2 nx dx = π. Zatem mamy skąd otrzymujemy f(x) cos nx dx = a n a n = π cos 2 nx = πa n, f(x) cos nx dx. Analogicznie znajdziemy wzór na b n ; należy pomnożyć równość (8) przez sin nx i całkować, korzystając przy tym ze wzoru sin kx sin nx dx = 0 dla k n. Tę zależność otrzymamy wykorzystując równość sin kx sin nx = (cos(k n)x cos(k + n)x). 2 Po rachunkach podobnych do poprzednich uzyskamy: Otrzymane wzory b n = π f(x) sin nx dx. a 0 = π a n = π b n = π f(x) dx, f(x) cos nx dx. f(x) sin nx dx. nazywamy wzorami Eulera-Fouriera. Stosując te wzory można dla dowolnej funkcji całkowalnej w przedziale [, π] utworzyć szereg trygonometryczny nazywany szeregiem Fouriera funkcji f(x). Ale ten szereg nie musi być wcale zbieżny! A jeśli nawet jest zbieżny, to niekoniecznie do funkcji f(x). Żeby to zapewnić potrzebne są dodatkowe założenia. 2

13 Definicja 6 Mówimy, że funkcja f(x) spełnia warunki Dirichleta, gdy. f(x) jest przedziałami monotoniczna w [, π]; 2. f(x) = (f(x o) + f(x + 0)) dla x (, π); 2 3. f() = f(π) = (f( + 0) + f(π 0)). 2 Symbole f(x 0) i f(x + 0) oznaczają granicę lewostronną i prawostronną w punkcie x. Twierdzenie 0 (Dirichleta) Jeżeli funkcja f(x) spełnia warunki Dirichleta, to jej szereg Fouriera jest zbieżny do funkcji f(x) w przedziale [, π]. Poza tym przedziałem równość zachodzi jedynie wtedy, gdy funkcja f(x) jest okresowa o okresie 2π. Przykłady. Znajdziemy szereg Fouriera funkcji f(x) = x. Obliczamy Zatem x = 2 π + 2 π a 0 = π, a n = 2 πn 2 [( )n ], b n = 0. dla x [, π]. n 2 [( )n ] cos nx = 4 π 2. Dla funkcji f(x) = x cos x obliczamy k= cos(2k )x (2k ) 2 a 0 = 0 a n = 0, b = 2, b n = 2n n 2 ( )n dla n >. 3

14 A więc x cos x = 2 sin x + n=2 2n n 2 ( )n sin nx dla x (, π). Równość zachodzi tylko w przedziale otwartym, bo trzeci warunek Dirichleta nie jest spełniony. 3. Niech Szereg Fouriera tej funkcji: 0 dla < x < 0 f(x) = x dla 0 x < π f(x) = π [ ] 4 2 cos(2n )x n sin nx + ( ). π (2n ) 2 n 4