Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji
|
|
- Sylwia Piekarska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 1 Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji Granice funkcji Zadanie 1 Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć (1) Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki. Weźmy dowolny ciąg zbieżny do jedynki i taki, że dla wszystkich. Bez uszczerbku dla ogólności rozważań, możemy przyjąć, że wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Zgodnie z definicją Heinego granicy funkcji, zamiast obliczać (1) musimy znaleźć (2) Będziemy zatem przekształcać powyższe wyrażenie: (3) Ponieważ, więc otrzymujemy następującą wartość granicy: (4) O ciągu nie zakładaliśmy nic ponad to, że jest zbieżny do jedynki, więc, na mocy definicji Heinego, taką samą wartość ma granica (1). Zadanie 2 Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć (5) Należy skorzystać z faktu, iż (6)
2 Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 2 Weźmy dowolny ciąg i dobierzmy ciąg liczb naturalnych taki, że oraz (7) Dla dowolnych liczb spełniających zachodzą nierówności: (8) Podobnie dla liczb spełniających mamy: (9) W efekcie uzyskujemy układ nierówności: (10) Wykorzystamy je poniżej podstawiając:, oraz : (11) Ale:, co pozwala nam przepisać (11) w formie: (12) Skorzystamy teraz z twierdzenia o trzech ciągach. W tym celu wykażemy, że zarówno ciąg po lewej jak i po prawej stronie zbiega do. Ponieważ, więc (13) O ciągu wiemy, że zbieżny jest do liczby, co z definicji oznacza, iż (14) Biorąc otrzymujemy wniosek, iż istnieje takie, że a zatem: (15) Przechodząc teraz w (12) z do nieskończoności otrzymujemy wniosek, że także (16) Na mocy definicji Heinego wnosimy stąd, iż (17) Z kolei dla możemy przekształcić nasze wyrażenie w następujący sposób: (18) i po podstawieniu oraz skorzystaniu z (17), otrzymujemy:
3 Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 3 (19) Zadanie 3 Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć (20) Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki. Weźmy dowolny ciąg zbieżny do zera. Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że dla dowolnego mamy:, a zatem funkcja tangens jest dobrze określona. Jak wiemy, zgodnie z definicją Heine'go, w miejsce (20) obliczyć należy: (21) Wyrażenie pod znakiem granicy przekształcimy w następujacy sposób: (22) gdzie wykorzystaliśmy wzory: (23) Prawa strona (22) dąży do, gdyż (to samo oczywiście dotyczy ), co łatwo wykazać posługując się oszacowaniem: (24) Na mocy definicji Heinego widzimy więc, że (25) Zadanie 4 Wykorzystując definicję Cauchy'ego granicy funkcji wykazać, że granica (20) z poprzedniego zadania równa jest. Należy oszacować wyrażenie: (26)
4 Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 4 Wykorzystując przekształcenia poprzedniego zadania, a w szczególności końcowe wyrażenie w (22) możemy napisać: (27) Możemy przyjąć, że w interesującym nas obszarze zmienności (tj. małe i ) zachodzi: (28) Wiemy bowiem z (24), że dla bliskich zeru spełnione są nierówności: (29) W konsekwencji: (30) Jeśli teraz - zgodnie z definicją Cauchy'ego - wziąć dowolnie małe, to zawsze możemy dobrać na przykład w następujący sposób: i nierówność pociągnie za sobą: (31) co kończy dowód. Zadanie 5 Wykorzystując definicję Cauchy'ego granicy funkcji wykazać, że granica (32) równa jest. Należy oszacować wyrażenie: (33) Wybierzmy dowolne i zażądajmy aby (ale ), gdzie za chwilę odpowiednio dobierzemy. Znajdziemy górne ograniczenie na wyrażenie (33) przepisując je w formie: (34) Jeśli teraz wybierzemy, to otrzymamy oczekiwany wynik:
5 Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 5 (35) z którego wynika, że granica (32) rzeczywiście równa jest. Zadanie 6 Zbadać, czy istnieje granica: (36) Należy porównać granice jednostronne. Obliczymy najpierw: (37) Następnie: (38) Jak widzimy, granice jednostronne istnieją, ale są różne: (39) skąd wynika, że granica (36) nie istnieje. Zadanie 7 Zbadać, czy istnieje granica: (40) Należy porównać granice jednostronne. Obliczymy najpierw: (41) Podobnie: (42) Jak widać, granice jednostronne istnieją, ale są różne: (43) czyli granica (40) nie istnieje.
6 Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 6 Zadanie 8 Zbadać, czy istnieje granica: (44) gdzie (45) Należy porównać granice jednostronne. Obliczymy najpierw prawostronną granicę funkcji : (46) gdzie wykorzystaliśmy pierwszy z wzorów (23). Granicę lewostronną znajdziemy w podobny sposób: (47) gdzie tym razem skorzystaliśmy z faktu, że (48) Ponieważ granice lewo- i prawostronna są różne, więc granica (44) nie istnieje. Zadanie 9 Znaleźć granicę: (49) W argumencie funkcji sinus należy wydzielić czynnik. Najpierw przekształcimy argument sinusa pisząc: (50) Ułamek ma dla granicę równą, czyli różną od zera. Wykorzystamy to pisząc:
7 Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 7 (51) Skorzystaliśmy przy tym z faktu, że (52) oraz (53) gdzie w pierwszym przypadku podstawiliśmy, a w drugim. Zadanie 10 Znaleźć granicę: (54) Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki. Wyrażenie można przepisać w postaci: (55) Teraz wykorzystamy wzór: (56) Kładąc mamy: (57) i, po wstawieniu do (55), uzyskujemy wynik końcowy: (58)
8 Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji 8 Zadanie 11 Zbadać, dla jakiej wartości parametrów istnieje granica: (59) i równa jest. Należy doprowadzić wyrażenie do postaci ilorazowej. Rozpatrywana granica ma charakter. Aby więc wynik był skończony, to na pewno musi zachodzić:. Wyrażenie pod znakiem granicy przepiszemy w postaci ilorazu, mnożąc je i dzieląc przez ten sam czynnik: (60) Istnienie granicy z powyższego wyrażenia wymaga, aby i, czyli. Ponadto aby (61) musimy mieć, czyli.
9 Źródła i autorzy artykułu 9 Źródła i autorzy artykułu Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/granice funkcji Źródło: Autorzy: Torado Licencja Attribution-Share Alike 3.0 PL / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/ pl
1 Granice funkcji. Definicja 1 (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f(x) w punkcie x = a, co zapisujemy.
Granice funkcji Definicja (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f() w punkcie = a, co zapisujemy f() = g (.) a jeżeli dla każdego ε > 0 można wskazać taką liczbę (istnieje
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 23 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 3. Rozwiąż równanie: sin 5x cos x + sin x = 0. W rozwiązaniach podobnych zadań często korzystamy ze wzorów trygonometrycznych
Bardziej szczegółowos n = a k (2) lim s n = S, to szereg (1) nazywamy zbieżnym. W przeciwnym przypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.
Szeregi liczbowe Definicja Szeregiem liczbowym nazywamy wyrażenie a n = a + a 2 + a 3 + () Liczby a n, n =, 2,... nazywamy wyrazami szeregu. Natomiast sumę n s n = a k (2) nazywamy n-tą sumą częściową
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych
PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych Numer zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Odpowiedź A B B C C D C B B C
Bardziej szczegółowoKorzystając z wzorów de Morgana zwartość można także określić w terminach zbiorów domkniętych.
Rozdział 6 Zwartość 6.1 Przestrzenie zwarte Definicja 6.1.1. Przestrzeń topologiczna (X, T ) nazywa się zwarta jeśli jest przestrzenią Hausdorffa oraz z dowolnego pokrycia przestrzeni X zbiorami otwartymi
Bardziej szczegółowoZagadnienia transportowe
Mieczysław Połoński Zakład Technologii i Organizacji Robót Inżynieryjnych Wydział Inżynierii i Kształtowania Środowiska SGGW Zagadnienia transportowe Z m punktów odprawy ma być wysłany jednorodny produkt
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 9. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 2017/2018 FUNKCJE WYKŁADNICZE, LOGARYTMY
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 9 FUNKCJE WYKŁADNICZE, LOGARYTMY Dla dowolnej liczby a > 0, liczby
Bardziej szczegółowoKONKURSY MATEMATYCZNE. Treść zadań
KONKURSY MATEMATYCZNE Treść zadań Wskazówka: w każdym zadaniu należy wskazać JEDNĄ dobrą odpowiedź. Zadanie 1 Wlewamy 1000 litrów wody do rurki w najwyższym punkcie systemu rurek jak na rysunku. Zakładamy,
Bardziej szczegółowo1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
Bardziej szczegółowoStatystyki opisowe. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Statystyki opisowe 1 / 57
Statystyki opisowe Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Statystyki opisowe 1 / 57 Struktura 1 Miary tendencji centralnej Średnia arytmetyczna Wartość modalna Mediana 2 Miary rozproszenia Roztęp Wariancja
Bardziej szczegółowoBLOK I. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:
BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f() = przy = zakładając, że przyrost zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f() w punkcie
Bardziej szczegółowoI. LOGICZNE STRUKTURY DRZEWIASTE
I LOGICZNE STRUKTURY DRZEWIASTE Analizując dany problem uzyskuje się zadanie projektowe w postaci pewnego zbioru danych Metoda morfologiczna, która została opracowana w latach 1938-1948 przez amerykańskiego
Bardziej szczegółowoMatematyka dla liceum/funkcja liniowa
Matematyka dla liceum/funkcja liniowa 1 Matematyka dla liceum/funkcja liniowa Funkcja liniowa Wstęp Co zawiera dział Czytelnik pozna następujące informacje: co to jest i jakie ma własności funkcja liniowa
Bardziej szczegółowo14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.
Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących
Bardziej szczegółowo2.Prawo zachowania masy
2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco
Bardziej szczegółowoTWIERDZENIE PITAGORASA
PODSTAWY > Figury płaskie (2) TWIERDZENIE PITAGORASA Twierdzenie Pitagorasa dotyczy trójkąta prostokątnego, to znaczy takiego, który ma jeden kąt prosty. W trójkącie prostokątnym boki, które tworzą kąt
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu
Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na
Bardziej szczegółowoTest F- Snedecora. będzie zmienną losową chi-kwadrat o k 1 stopniach swobody a χ
Test F- nedecora W praktyce często mamy do czynienia z kilkoma niezaleŝnymi testami, słuŝącymi do weryfikacji tej samej hipotezy, prowadzącymi do odrzucenia lub przyjęcia hipotezy zerowej na róŝnych poziomach
Bardziej szczegółowoZadania z parametrem
Zadania z paramerem Zadania z paramerem są bardzo nielubiane przez maurzysów Nie jes ławo odpowiedzieć na pyanie: dlaczego? Nie są o zadania o dużej skali rudności Myślę, że głównym powodem akiego sanu
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 2. Działania na zbiorach
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 2. Działania na zbiorach 1 Suma zbiorów Niech A i B będą dowolnymi zbiorami. Definicja 2.1. (suma zbiorów) Suma zbiorów
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań stopnia pierwszego metodą wyznacznikową
Przedmowa Rozwiązywanie układów równań stopnia pierwszego metodą wyznacznikową To opracowanie jest napisane z myślą o gimnazjalistach, ale mogą z niego korzystać wszyscy którzy chcą się dowiedzieć lub
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
TYPY GRAFÓW c.d. Graf nazywamy dwudzielnym, jeśli zbiór jego wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne podzbiory, tak że żadne dwa wierzchołki należące do tego samego podzbioru nie są sąsiednie. G
Bardziej szczegółowoTEST WIADOMOŚCI: Równania i układy równań
Poziom nauczania: Gimnazjum, klasa II Przedmiot: Matematyka Dział: Równania i układy równań Czas trwania: 45 minut Wykonała: Joanna Klimeczko TEST WIADOMOŚCI: Równania i układy równań Liczba punktów za
Bardziej szczegółowoPrzykłady wybranych fragmentów prac egzaminacyjnych z komentarzami Technik ochrony fizycznej osób i mienia 515[01]
Przykłady wybranych fragmentów prac egzaminacyjnych z komentarzami Technik ochrony fizycznej osób i mienia 515[01] 1 2 3 4 5 6 Efektem rozwiązania zadania egzaminacyjnego przez zdającego była praca 7 egzaminacyjna,
Bardziej szczegółowoSTA T T A YSTYKA Korelacja
STATYSTYKA Korelacja Pojęcie korelacji Korelacja (współzależność cech) określa wzajemne powiązania pomiędzy wybranymi zmiennymi. Charakteryzując korelację dwóch cech podajemy dwa czynniki: kierunek oraz
Bardziej szczegółowoXXIX OLIMPIADA FIZYCZNA (1979/1980). Etap II, zadanie doświadczalne D.
9OF_II_D KO OF Szczecin: www.o.szc.pl XXIX OLIMPIADA FIZYCZNA (979/98). Etap II, zadanie doświadczalne D. Źródło: W. Gorzkowski: Olimpiady izyczne XXIII i XXIV. WSiP, Warszawa 977. Autor: Waldemar Gorzkowski,
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Bardziej szczegółowoKARTY PRACY UCZNIA. Twierdzenie Pitagorasa i jego zastosowanie. samodzielnej pracy ucznia. Zawarte w nich treści są ułożone w taki sposób,
KARTY PRACY UCZNIA Twierdzenie Pitagorasa i jego zastosowanie opracowanie: mgr Teresa Kargol, nauczyciel matematyki w PSP nr 162 w Łodzi Karty pracy to materiały pomocnicze, które mogą służyć do samodzielnej
Bardziej szczegółowoKwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego
Kwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego Zjawisko fotoelektryczne. Zadanie 1. Jaką prędkość posiada fotoelektron wytworzony przez kwant γ o energii E γ=1,27mev? W porównaniu z pracą wyjścia
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 2 Zbiory rozmyte logika rozmyta Rozmywanie, wnioskowanie, baza reguł, wyostrzanie
Ćwiczenie nr 2 Zbiory rozmyte logika rozmyta Rozmywanie, wnioskowanie, baza reguł, wyostrzanie 1. Wprowadzenie W wielu zagadnieniach dotyczących sterowania procesami technologicznymi niezbędne jest wyznaczenie
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Klasa I ZAKRES PODSTAWOWY. Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2012/13. 1. Liczby rzeczywiste
Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2012/13 MATEMATYKA Klasa I /nauczyciel M.Tatar/ ZAKRES PODSTAWOWY Hasła programowe Wymagania szczegółowe. Uczeń: 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite,
Bardziej szczegółowoZadanie 3 - (7 punktów) Iloczyn składników Jeśli zapis liczby 22 w postaci sumy zawiera składnik 1, lepiej pogrupować go z innym składnikiem
Zadanie 1 - (7 punktów) Latające kartki Ponieważ są 64 liczby od 27 do 90 włącznie, mamy 64 strony, czyli 16 kartek (16= 64 : 4). Pod stroną 26. znajdują się strony 24., 22.,..., 4. i 2. wraz z ich nieparzystymi
Bardziej szczegółowo7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH
OBWODY SYGNAŁY 7. EZONANS W OBWODAH EEKTYZNYH 7.. ZJAWSKO EZONANS Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu nazywane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi. ozpatrując bezźródłowy obwód
Bardziej szczegółowoZakład Ubezpieczeń Społecznych Departament Statystyki i Prognoz Aktuarialnych
Zakład Ubezpieczeń Społecznych Departament Statystyki i Prognoz Aktuarialnych Struktura wysokości emerytur i rent wypłacanych przez ZUS po waloryzacji w marcu 2011 roku. Warszawa 2011 I. Badana populacja
Bardziej szczegółowo1. Podstawy budowania wyra e regularnych (Regex)
Dla wi kszo ci prostych gramatyk mo na w atwy sposób napisa wyra enie regularne które b dzie s u y o do sprawdzania poprawno ci zda z t gramatyk. Celem niniejszego laboratorium b dzie zapoznanie si z wyra
Bardziej szczegółowoWielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Bardziej szczegółowoSearch. (Wyszukiwarka) (Moduł Magento) v.1.0.0
Search (Wyszukiwarka) (Moduł Magento) v.1.0.0 Strona 1 z 10 Spis treści Zgodny z Magento... 3 Instalacja... 3 Opis... 4 Konfiguracja... 4 Metoda wyświetlania atrybutu szybkiego wyszukiwania... 4 Atrybut
Bardziej szczegółowoPodejmowanie decyzji. Piotr Wachowiak
Podejmowanie decyzji Co to jest sytuacja decyzyjna? Jest to sytuacja, kiedy następuje odchylenie stanu istniejącego od stanu pożądanego. Rozwiązanie problemu decyzyjnego polega na odpowiedzeniu na pytanie:
Bardziej szczegółowoPodprzestrzeń wektorowa, baza, suma prosta i wymiar Javier de Lucas
Podprzestrzeń wektorowa, baza, suma prosta i wymiar Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Niech W = {(x 1, x 2, x 3 ) K 3 : x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 }. Czy W jest podprzestrzeni a gdy
Bardziej szczegółowoZASADY WYPEŁNIANIA ANKIETY 2. ZATRUDNIENIE NA CZĘŚĆ ETATU LUB PRZEZ CZĘŚĆ OKRESU OCENY
ZASADY WYPEŁNIANIA ANKIETY 1. ZMIANA GRUPY PRACOWNIKÓW LUB AWANS W przypadku zatrudnienia w danej grupie pracowników (naukowo-dydaktyczni, dydaktyczni, naukowi) przez okres poniżej 1 roku nie dokonuje
Bardziej szczegółowoPodstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych
Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja
Bardziej szczegółowoDotyczy: Odnowa centrum wsi śegiestów poprzez budowę oświetlenia ulicznego wzdłuŝ drogi powiatowej 1517K w śegiestowie
Zp.271.14.2014 Muszyna, dnia 03 kwietnia 2014 r. Miasto i Gmina Uzdrowiskowa Muszyna ul. Rynek 31 33-370 Muszyna Dotyczy: Odnowa centrum wsi śegiestów poprzez budowę oświetlenia ulicznego wzdłuŝ drogi
Bardziej szczegółowoKASA EDUKACYJNA INSTRUKCJA. WARIANT I - dla dzieci młodszych
INSTRUKCJA KASA EDUKACYJNA WARIANT I - dla dzieci młodszych rekwizyty: 1) plansza (żółta) 2) pionki - 4 szt. 3) kostka do gry 4) żetony (50 szt.) 6) kaseta z monetami i banknotami rys. 1 Przygotowanie
Bardziej szczegółowoWniosek o udzielenie czasu wolnego w zamian za czas przepracowany w godzinach nadliczbowych
Wniosek o udzielenie czasu wolnego w zamian za czas przepracowany w godzinach nadliczbowych Uwagi ogólne Definicja godzin nadliczbowych Pracę w godzinach nadliczbowych stanowi praca wykonywana ponad obowiązujące
Bardziej szczegółowoARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA
Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY LISTOPAD 015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 180 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16
Bardziej szczegółowo3b. Rozwiązywanie zadań ze skali mapy
3b. Rozwiązywanie zadań ze skali mapy SKALA MAPY określa stopień zmniejszenia odległości przedstawionej na mapie w stosunku do odpowiedniej odległości w terenie. Wyróżniamy następujące rodzaje skali: SKALA
Bardziej szczegółowoPołączenie VPN Host-LAN IPSec z wykorzystaniem Windows XP. 1. Konfiguracja serwera VPN. 2. Konfiguracja klienta VPN. 3. Zainicjowanie połączenia
1. Konfiguracja serwera VPN 2. Konfiguracja klienta VPN 3. Zainicjowanie połączenia Procedura konfiguracji została oparta na poniższym przykładzie. Główne założenia: typ tunelu: Host-LAN protokół VPN:
Bardziej szczegółowoOgólna charakterystyka kontraktów terminowych
Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/14 Zbiory przeliczalne Przyjmujemy, że = {0, 1, 2, 3, n-1} dla n>0 oraz = przy n=0. Zbiór skończony to zbiór bijektywny z pewnym
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA. Poziom podstawowy
LANIMETRIA oziom podstawowy Zadanie ( pkt) W prostokątnym trójkącie ABC dana jest długość przyprostokątnej AC = Na przeciwprostokątnej AB wybrano punkt D, a na przyprostokątnej BC punkt E w taki sposób,
Bardziej szczegółowoGeometria Wykreślna Wykład 3
Geometria Wykreślna Wykład 3 OBRÓT PUNKTU Z obrotem punktu A związane są następujące elementy obrotu: - oś obrotu - prosta l, - płaszczyzna obrotu - płaszczyzna, - środek obrotu - punkt S, - promień obrotu
Bardziej szczegółowoWzmacniacz operacyjny
Wzmacniacz operacyjny. Czas trwania: 6h. Cele ćwiczenia Badanie podstawowych układów pracy wzmacniacza operacyjnego. 3. Wymagana znajomość pojęć idea działania wzmacniacza operacyjnego, ujemne sprzężenie
Bardziej szczegółowoSztuczna inteligencja : Naiwny klasyfikator Bayesa
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 18 kwietnia 2012 Rysunek: Klasyfikator Bayesa Jakie jest prawdopodobieństwo, że nowy obiekt będzie zielony/czerwony? Jaki będzie kolor nowego obiektu? Obliczenie
Bardziej szczegółowo1 Kilka uwag teoretycznych
Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia
Bardziej szczegółowoZestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy
Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI Dodjąc( bądź odejmując) do siebie dw wektory (lub więcej), dodjemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne
Bardziej szczegółowoPRACA KLASOWA PO REALIZACJI PROGRAMU NAUCZANIA W KLASIE 4
PRACA KLASOWA PO REALZACJ PROGRAMU NAUCZANA W KLASE 4 PLAN PRACY KLASOWEJ Nr zad. Czynności sprawdzane Cele / Wymagania Odniesienie do podstawy programowej Odpowiedzi 1 zapisywanie liczby w systemie dziesiątkowym
Bardziej szczegółowoUkład równań oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny
Układ równań oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny Przedmowa To opracowanie jest napisane z myślą o gimnazjalistach, ale mogą z niego korzystać wszyscy którzy chcą się dowiedzieć lub przypomnieć sobie jaki
Bardziej szczegółowoPoprawne uwzględnianie nie przerw w ogrzewaniu w audycie energetycznym
Poprawne uwzględnianie nie przerw w ogrzewaniu w audycie energetycznym Podstawowy problem z poprawnym uwzględnianiem niem przerw w ogrzewaniu w audycie energetycznym zgodnym z ustawą termomodernizacyjną
Bardziej szczegółowoKomentarz do prac egzaminacyjnych w zawodzie technik administracji 343[01] ETAP PRAKTYCZNY EGZAMINU POTWIERDZAJĄCEGO KWALIFIKACJE ZAWODOWE
Komentarz do prac egzaminacyjnych w zawodzie technik administracji 343[01] ETAP PRAKTYCZNY EGZAMINU POTWIERDZAJĄCEGO KWALIFIKACJE ZAWODOWE OKE Kraków 2012 Zadanie egzaminacyjne zostało opracowane
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Bardziej szczegółowoSCHEMATY STRON. Baner... 3. Nawigacja... 6. Nawigacja okruszkowa... 9. Prawa kolumna zobacz również... 10. Boksy... 11. Zwykła strona...
SCHEMATY STRON SPIS TREŚCI Baner... 3 Nawigacja... 6 Nawigacja okruszkowa... 9 Prawa kolumna zobacz również... 10 Boksy... 11 Zwykła strona... 13 Strona bez podstron... 14 1 Schemat strony to zestaw elementów
Bardziej szczegółowoBogusław Jackowski GRAFIKA DYSKRETNA BACHOTEK 1998
Bogusław Jackowski GRAFIKA DYSKRETNA BACHOTEK 1998 Motto: bit kształtuje świadomość filozofia Hakunów Nr 1 B. Jackowski: Grafika dyskretna, Batchotek 1998 Mapa bitowa niekoniecznie musi być prostokątna...
Bardziej szczegółowoPoniżej przedstawiono przykłady zestawień wyników pomiarów i analiz z wartościami granicznymi i dopuszczalnymi: Przykład 1
Poniżej przedstawiono przykłady zestawień wyników pomiarów i analiz z wartościami granicznymi i dopuszczalnymi: Przykład 1 12 13 Przykład 2 14 15 Ad V. Ocena poszczególnych komponentów środowiska. Tylko
Bardziej szczegółowo40. Międzynarodowa Olimpiada Fizyczna Meksyk, 12-19 lipca 2009 r. ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA
ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA Celem tego zadania jest podanie prostej teorii, która tłumaczy tak zwane chłodzenie laserowe i zjawisko melasy optycznej. Chodzi tu o chłodzenia
Bardziej szczegółowoPolska-Warszawa: Usługi w zakresie doradztwa prawnego i reprezentacji prawnej 2015/S 181-327894
1/5 Niniejsze ogłoszenie w witrynie TED: http://ted.europa.eu/udl?uri=ted:notice:327894-2015:text:pl:html Polska-Warszawa: Usługi w zakresie doradztwa prawnego i reprezentacji prawnej 2015/S 181-327894
Bardziej szczegółowoRekompensowanie pracy w godzinach nadliczbowych
Rekompensowanie pracy w godzinach nadliczbowych PRACA W GODZINACH NADLICZBOWYCH ART. 151 1 K.P. Praca wykonywana ponad obowiązujące pracownika normy czasu pracy, a także praca wykonywana ponad przedłużony
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania
Wieczorowe Studia Licencjackie Wrocław, 4..2006 Wstęp do programowania Wykład nr 7 (w oparciu o notatki K. Lorysia, z modyfikacjami) Obliczanie współczynnika dwumianowego Newtona. Definicja. n = m n! m!(
Bardziej szczegółowoWarunki formalne dotyczące udziału w projekcie
Witaj. Interesuje Cię udział w projekcie Trener w rolach głównych. Zapraszamy więc do prześledzenia dokumentu, który pozwoli Ci znaleźć odpowiedź na pytanie, czy możesz wziąć w nim udział. Tym samym znajdziesz
Bardziej szczegółowo7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka
7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka Oczekiwane przygotowanie informatyczne absolwenta gimnazjum Zbieranie i opracowywanie danych za pomocą arkusza kalkulacyjnego Uczeń: wypełnia komórki
Bardziej szczegółowoREGULAMIN TURNIEJU SPORTOWEJ GRY KARCIANEJ KANASTA W RAMACH I OGÓLNOPOLSKIEGO FESTIWALU GIER UMYSŁOWYCH 55+ GORZÓW WLKP. 2013 R.
REGULAMIN TURNIEJU SPORTOWEJ GRY KARCIANEJ KANASTA W RAMACH I OGÓLNOPOLSKIEGO FESTIWALU GIER UMYSŁOWYCH 55+ GORZÓW WLKP. 2013 R. Termin: 13 kwietnia 2013 r. godz. 10:45 15:45 Miejsce: WiMBP im. Zbigniewa
Bardziej szczegółowoWNIOSEK o przyznanie dofinansowania na zakup podręczników. dla ucznia klasy.. (nazwa szkoły/placówki oświatowej)
Załącznik nr 1 Kraków,.. WNIOSEK o przyznanie dofinansowania na zakup podręczników dla ucznia klasy.. (nazwa szkoły/placówki oświatowej) I. Dane wnioskodawcy: 1. Imię i nazwisko. 2. Adres zamieszkania...
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warszawski Teoria gier dr Olga Kiuila LEKCJA 5
Ad przykład: Stonoga LEKCJA 5 SPNE: każdy gracz zaakceptuje propozycje przyjęcia dowolnej sumy w każdym okresie (czyli każdy gracz wierze, że rywal skończy grę w następnym kroku) Interpretacja gry Stonoga:
Bardziej szczegółowoWykład 4 Wybrane zagadnienia programowania w C++
Wykład 4 Wybrane zagadnienia programowania w C++ Przykład programu obiektowego Dziedziczenie polimorfizm i metody wirtualne Wzorce (szablony) funkcji Wzorce klas 2016-01-03 Bazy danych-1 W4 1 Dziedziczenie
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY
Bardziej szczegółowoMamy rok 2014, kolejna grupa absolwentów opuściła mury naszej szkoły. Szkołę ukończyły 2 klasy Liceum Ogólnokształcącego i 2 Technikum.
LOSY ABSOLWENTÓW ZESPOŁU SZKÓŁ W CZERWIONCE-LESZCZYNACH ROKU SZKOLNEGO 2013/2014 Mamy rok 2014, kolejna grupa absolwentów opuściła mury naszej szkoły. Szkołę ukończyły 2 klasy Liceum Ogólnokształcącego
Bardziej szczegółowoFabian Stasiak. Zbiór wicze Autodesk Inventor 2018 KURS ZAAWANSOWANY. ExpertBooks
Fabian Stasiak PRZYK ADOWE WICZENIE Z PODR CZNIKA Zbiór wicze Autodesk Inventor 2018 KURS ZAAWANSOWANY ExpertBooks 60 wiczenie 1.15 Podstawy pracy z cz ciami wielobry owymi. Zawias W tym wiczeniu poznamy
Bardziej szczegółowoRegulamin w konkurencjach solowych
sezon 2016-2017 Regulamin w konkurencjach solowych SENIORZY Program krótki : dozwolona jest muzyka wokalna - czas trwania programu krótkiego 2:40 (+/- 10 sek.) Ogólne: Wycofanie dodatkowych 30 sek. przed
Bardziej szczegółowoSZABLONY KOMUNIKATÓW SPIS TREŚCI
SZABLONY KOMUNIKATÓW SPIS TREŚCI Zarządzanie zawartością stron... 2 Dodawanie komunikatu... 3 Lista komunikatów... 6 Lista komunikatów na stronie głównej... 9 ZARZĄDZANIE ZAWARTOŚCIĄ STRON Istnieją dwa
Bardziej szczegółowoZAPYTANIE OFERTOWE PRZEDMIOT ZAMÓWIENIA: DOSTAWA UŻYWANEGO SAMOCHODU DOSTAWCZEGO DLA ZAKŁADU WODOCIĄGÓW I KANALIZACJI W PACZKOWIE
ZAPYTANIE OFERTOWE PRZEDMIOT ZAMÓWIENIA: DOSTAWA UŻYWANEGO SAMOCHODU DOSTAWCZEGO DLA ZAKŁADU WODOCIĄGÓW I KANALIZACJI W PACZKOWIE PACZKÓW DNIA 24 PAŻDZIERNIKA 2013 1 Nazwa oraz adres Zamawiającego Zakład
Bardziej szczegółowo1. Obliczenie SDR pojazdów silnikowych ogółem w punkcie pomiarowym typu P
Załącznik nr 2 PRZYKŁAD OBLICZENIA SDR I RODZAJOWEJ STRUKTURY RUCHU W PUNKTACH POMIAROWYCH. Obliczenie SDR ogółem w punkcie pomiarowym typu P Zestawienie zbiorcze wyników z pomiarów przeprowadzonych w
Bardziej szczegółowoOdpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 23 Zadania zamknięte. Wskazówki do rozwiązania. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, zatem
Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz Zadania zamknięte Numer zadania Poprawna odpowiedź Wskazówki do rozwiązania B W ( ) + 8 ( ) 8 W ( 7) ( 7) ( 7 ) 8 ( 7) ( 8) 8 ( 8) Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest
Bardziej szczegółowoZadania powtórzeniowe I. Ile wynosi eksport netto w gospodarce, w której oszczędności równają się inwestycjom, a deficyt budżetowy wynosi 300?
Zadania powtórzeniowe I Adam Narkiewicz Makroekonomia I Zadanie 1 (5 punktów) Ile wynosi eksport netto w gospodarce, w której oszczędności równają się inwestycjom, a deficyt budżetowy wynosi 300? Przypominamy
Bardziej szczegółowoRozdział 7. Wykorzystanie funkcji daty i czasu do analizy danych
Moduł 2. Wykorzystanie programu Excel do zadań analitycznych Rozdział 7. Wykorzystanie funkcji daty i czasu do analizy danych Zajęcia 7. 2 godziny Zakres zdobytych umiejętności: Zapoznanie się z wybranymi
Bardziej szczegółowoRegulamin Stypendium. Fundacji Rodziny Maciejko
Regulamin Stypendium Fundacji Rodziny Maciejko 1 Postanowienia ogólne 1. Niniejszy regulamin określa zasady przyznawania i wypłacania stypendium studentom rozpoczynającym studia na Politechnice Warszawskiej
Bardziej szczegółowoZamawiający potwierdza, że zapis ten należy rozumieć jako przeprowadzenie audytu z usług Inżyniera.
Pytanie nr 1 Bardzo prosimy o wyjaśnienie jak postrzegają Państwo możliwość przeliczenia walut obcych na PLN przez Oferenta, który będzie składał ofertę i chciał mieć pewność, iż spełnia warunki dopuszczające
Bardziej szczegółowoWYNIKI BADANIA PT. JAK TAM TWOJE POMIDORY? :)
WYNIKI BADANIA PT. JAK TAM TWOJE POMIDORY? :) Badanie przeprowadziłam w formie ankiety, którą wypełniło 236 czytelników Słonecznego Balkonu. Poniżej prezentuję odpowiedzi na najważniejsze pytania. Zdecydowana
Bardziej szczegółowoPomiary napięć i prądów w obwodach prądu stałego
WARSZTATY INŻYNIERSKIE ELEKTROTECHNICZNE Grupa Podgrupa Numer ćwiczenia Nazwisko i imię Ocena Data wykonania. ćwiczenia. Podpis prowadzącego. zajęcia. Uwaga! ćwiczenie realizowane w 5-ciu 5. podgrupach
Bardziej szczegółowoEfektywność nauczania w Gimnazjum w Lutyni
Efektywność nauczania w Gimnazjum w Lutyni Efektywność nauczania w danej szkole często utożsamiana jest z jej wynikami egzaminacyjnymi. Gdyby wszystkie szkoły w Polsce pracowały z uczniami o tym samym
Bardziej szczegółowofor (i=1; i<=10; i=i+1) instrukcja; instrukcja zostanie wykonana 10 razy for (inicjalizacja; test; aktualizacja) instrukcja;
Rok akademicki 2011/2012, Pracownia nr 8 2/30 Informatyka 1 Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 2011/2012 Pracownia nr
Bardziej szczegółowoRozliczenia z NFZ. Ogólne założenia. Spis treści
Rozliczenia z NFZ Spis treści 1 Ogólne założenia 2 Generacja raportu statystycznego 3 Wczytywanie raportu zwrotnego 4 Szablony rachunków 4.1 Wczytanie szablonów 4.2 Wygenerowanie dokumentów rozliczenia
Bardziej szczegółowoFirma (nazwa) lub nazwisko oraz adres wykonawcy
BZ.4-/0 Czerwonak, dnia września 00r. INFORMACJA O WYBORZE NAJKORZYSTNIEJSZEJ OFERTY DOTYCZY: postępowania o udzielenie zamówienia publicznego prowadzonego w trybie przetargu nieograniczonego, którego
Bardziej szczegółowoDodano: 15.05.2013 KALKULATOR BRUTTO-NETTO
Dodano: 15.05.2013 KALKULATOR BRUTTO-NETTO Niemiecki system podatkowy jest dość złożony, dlatego przy wyliczaniu wynagrodzenia brutto/netto, warto posłużyć się powszechnie dostępnymi kalkulatorami, np:
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego EXCEL do rozwiązywania układów równań liniowych metodą wyznacznikową
SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:
Bardziej szczegółowoZałącznik nr 1 wzór Formularza Oferty FORMULARZ OFERTY
Załącznik nr 1 wzór Formularza Oferty FORMULARZ OFERTY w ramach postępowania o udzielenie zamówienia prowadzonego w trybie przetargu nieograniczonego na wykonanie: Modernizacji zblokowanego urządzenia
Bardziej szczegółowoZałącznik nr 2 Testy logiczne służące sprawdzeniu jakości danych uczestników projektów współfinansowanych z EFS
Załącznik nr 2 Testy logiczne służące sprawdzeniu jakości danych projektów współfinansowanych z EFS W załączniku zawarto podstawowe testy logiczne pozwalające zweryfikować jakość i spójność danych monitorowanych
Bardziej szczegółowoTemat: Mnożenie liczby całej przez ułamek. Obliczanie ułamka z danej liczby.
Temat: Mnożenie liczby całej przez ułamek. Obliczanie ułamka z danej liczby. Cele lekcji: A. Uczeń zna zasadę mnożenia liczby naturalnej przez ułamek. B. Uczeń potrafi pomnożyć ułamek przez liczbę całą
Bardziej szczegółowoPROCEDURA REKRUTACJI DZIECI DO KLASY PIERWSZEJ DO SZKOŁY PODSTAWOWEJ W OSTASZEWIE NA ROK SZKOLNY 2015/2016
PROCEDURA REKRUTACJI DZIECI DO KLASY PIERWSZEJ DO SZKOŁY PODSTAWOWEJ W OSTASZEWIE NA ROK SZKOLNY 2015/2016 1. Zasady prowadzenia postępowania rekrutacyjnego zostały przygotowane w oparciu o treść ustawy
Bardziej szczegółowoPRZETWORNIK NAPIĘCIE - CZĘSTOTLIWOŚĆ W UKŁADZIE ILORAZOWYM
PRZETWORNIK NAPIĘCIE - CZĘSTOTLIWOŚĆ W UKŁADZIE ILORAZOWYM dr inż. Eligiusz Pawłowski Politechnika Lubelska, Wydział Elektryczny, ul. Nadbystrzycka 38 A, 20-618 LUBLIN E-mail: elekp@elektron.pol.lublin.pl
Bardziej szczegółowo