Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 3 (Materiały)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 3 (Materiały)"

Transkrypt

1 Metoda analityczna Przed przystąpieniem do rozwiązania programu liniowego metodą analityczną, należy sprowadzić program do postaci KANONICZNEJ. Model o postaci kanonicznej to taki, w którym wszystkie warunki ograniczające mają postać RÓWNOŚCI. Nierówność typu: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 można zastąpić następującym równaniem: Nierówność typu: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n + x n+1 = b 1 x 1, x 2,, x n, x n+1 0 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 można zastąpić następującym równaniem: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n x n+1 = b 1 x 1, x 2,, x n, x n+1 0 Zmienna X n+1 to zmienna swobodna (dodatkowa, uzupełniająca). Zmienna swobodna wyraża różnicę pomiędzy prawą i lewą stroną nierówności. Innymi słowy mierzy wielkość niewykorzystanych wyrazów wolnych warunków ograniczających. Standardowe zadanie MAKSYMALIZACJI programu liniowego: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2... a m1 x 1 + a r2 x a mn x n b m x 1, x 2,, x n 0 Artur Piątkowski WZ UW Strona 1

2 F(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n MAX można sprowadzić do postaci KANONICZNEJ: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n + x n+1 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n + x n+2 = b 2... a m1 x 1 + a r2 x a mn x n + x n+m = b m x 1, x 2,, x n, x n+1, x n+2,, x n+m 0 F(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n + 0x n+1 + 0x n x n+m MAX Zmienne swobodne dodajemy również do funkcji celu, jednak nie wpływają one na jej wartość, ponieważ są dodawane ze współczynnikiem zero. Układ w postaci kanonicznej można również przedstawić w postaci macierzowej: Ax = b x 0 cx MAX ZADANIE 1 Firma McCain jest światowym potentatem w branży frytek. W swojej fabryce, która znajduje się w Buriey (stan Idaho), produkuje frytki Golden Longs oraz frytki My Fries Classic. Fabryka zaopatruje się w ziemniaki u dwóch dostawców Pana Andersona oraz Pana Lee. Z jednej tony ziemniaków zakupionych u Pana Andersona można wyprodukować 0,2 t frytek Golden Longs oraz 0,6 t frytek My Fries Classic. Z jednej tony ziemniaków zakupionych u Pana Lee można wyprodukować 0,3 t frytek Golden Longs oraz 0,6 t frytek My Fries Classic. Ze względu na ograniczenia technologiczne nie można produkować więcej, niż 18 ton miesięcznie frytek Golden Longs oraz nie więcej, niż 48 ton miesięcznie frytek My Fries Classic. Przy zakupie ziemniaków od Pana Andersona zysk względny wynosi 5 USD, natomiast od Pana Lee 6 USD. Artur Piątkowski WZ UW Strona 2

3 Ile ton ziemniaków należy zakupić od Pana Andersona oraz Pana Lee, żeby zmaksymalizować zysk. Do rozwiązania zadania wykorzystać metodę analityczną. Dostawca ziemniaków Rodzaj frytek Pan Anderson Pan Lee Golden Longs 0,2 0,3 My Fries Classic 0,6 0,6 Zmienne decyzyjne x 1 ilość ziemniaków zakupiona u Pana Andersona x 2 ilość ziemniaków zakupiona u Pana Lee Warunki ograniczające 0, 2x 1 + 0, 3x , 6x 1 + 0, 6x 2 48 x 1, x 2 0 Funkcja celu F(x 1, x 2 ) = 5x 1 + 6x 2 MAX Postać KANONICZNA: 0, 2x 1 + 0, 3x 2 + x 3 = 18 0, 6x 1 + 0, 6x 2 + x 4 = 48 x 1, x 2, x 3, x 4 0 F(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 5x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX X 3,X 4 zmienne swobodne (niewykorzystane moce produkcyjne przy produkcji frytek Golden Longs oraz My Fries Classic). Artur Piątkowski WZ UW Strona 3

4 Bazowa postać KANONICZNA: 0, 2x 1 + 0, 3x 2 + x 3 + 0x 4 = 18 0, 6x 1 + 0, 6x 2 + 0x 3 + x 4 = 48 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Tworzymy macierz A, która jest macierzą współczynników stojących po lewej równań: 0, 2 0, A = [ 0, 6 0, ] Powstała macierz o dwóch rzędach m=2 oraz czterech kolumnach n=4.wykorzystując symbol Newtona, który jest funkcją dwóch argumentów całkowitych nieujemnych, można określić wszystkie kombinacje dwuelementowe (m=2) ze zbioru czteroelementowego (n=4). W takim wypadku mamy co najwyżej: ( n m ) = n! m! (n m)! = (4 2 ) = 4! = 6 rozwiązań bazowych 2! 2! Jeżeli n>m, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, ale skończoną liczbę rozwiązań bazowych. Jeżeli zadanie programowania liniowego ma rozwiązanie optymalne, to ma także rozwiązanie optymalne bazowe. Rozwiązania optymalnego należy szukać wśród rozwiązań bazowych, których liczba jest skończona. Rozwiązania bazowe: x 1, x 2, x 1, x 3, x 1, x 4, x 2, x 3, x 2, x 4, x 3, x 4 Jeżeli baza wynosi x 1, x 2, to w takim wypadku pozostałe zmienne decyzyjne x 3, x 4 są NIEBAZOWE i równają się zero (X n =0). Oznaczmy bazę x 1, x 2 za pomocą macierzy B, która jest częścią macierzy A. 0, 2 0, 3 B = [ 0, 6 0, 6 ] W takim wypadku pozostała część macierzy A to zmienne niebazowe, które równają się zero (zaznaczone na kolor czerwony). 0, 2 0, A = [ 0, 6 0, ] Artur Piątkowski WZ UW Strona 4

5 Pierwsze rozwiązanie bazowe (x 1, x 2 ): 0, 2x 1 + 0, 3x 2 = 18 0, 6x 1 + 0, 6x 2 = 48 x 1 = 60, x 2 = 20 F(x 1, x 2 ) =420 Drugie rozwiązanie bazowe (x 1, x 3 ): 0, 2x 1 + x 3 = 18 0, 6x 1 = 48 x 1 = 80, x 3 = 2 F(x 1, x 3 ) =400 Trzecie rozwiązanie bazowe (x 1, x 4 ): 0, 2x 1 = 18 0, 6x 1 + x 4 = 48 x 1 = 90, x 4 = 6 Rozwiązanie sprzeczne Czwarte rozwiązanie bazowe (x 2, x 3 ): 0, 3x 2 + x 3 = 18 0, 6x 2 = 48 x 2 = 80, x 3 = 6 Rozwiązanie sprzeczne Piąte rozwiązanie bazowe (x 2, x 4 ): 0, 3x 2 = 18 Artur Piątkowski WZ UW Strona 5

6 0, 6x 2 + x 4 = 48 x 2 = 60, x 4 = 12 F(x 2, x 4 ) =360 Szóste rozwiązanie bazowe (x 3, x 4 ): x 3 = 18 x 4 = 48 F(x 3, x 4 ) =0 Zmienne Zmienne bazowe decyzyjne X 1, X 2 X 1, X 3 X 1, X 4 X 2, X 3 X 2, X 4 X 3, X 4 X X X X Wartość funkcji celu 420 MAX 400 Rozwiązanie sprzeczne Rozwiązanie sprzeczne { x 1 = 60 x 2 = 20 F(x 1, x 2 ) = 420 Odp.: W celu maksymalizacji zysku należy zakupić 60 ton ziemniaków od Pana Andersona oraz 20 ton ziemniaków od Pana Lee. Taka kombinacja dostaw zapewni zysk na poziomie 420. Algorytm Simpleks Spośród wielu metod służących do rozwiązywania zadań programowania liniowego do najbardziej rozpowszechnionej należy algorytm simpleks, który został opracowany przez Georgea Danzinga. Algorytm simpleks jest wykorzystywany do rozwiązywania dowolnego Artur Piątkowski WZ UW Strona 6

7 typu zagadnień programowania liniowego. Istota algorytmu simpleks, podobnie jak metody analitycznej, polega na badaniu kolejnych rozwiązań bazowych programu liniowego w postaci kanonicznej, w taki sposób, że: 1. Należy znaleźć (dowolne) rozwiązanie bazowe programu. 2. Należy sprawdzić, czy znalezione rozwiązanie jest optymalne. 3. Jeżeli dane rozwiązanie nie jest optymalne, należy przejść do następnego, lepszego rozwiązania bazowego. 4. Postępowanie kończy się w momencie odnalezienia rozwiązania optymalnego (nie można go już poprawić). Algorytm simpleks jest procedurą interacyjną (etapową). Wyniki poszczególnych etapów zestawia się w kolejnych tablicach simpleks. Przechodzenie do kolejnych, lepszych rozwiązań bazowych, jest równoznaczne ze zmianą wierzchołków zbioru rozwiązań dopuszczalnych. Algorytm simpleks jest powszechnie wykorzystywany przez pakiety komputerowe, które służą do rozwiązywania modeli programowania liniowego. Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem MS Excel 2010 Do rozwiązywania programów liniowych można wykorzystać dodatek Solver, który znajduje się w arkuszu kalkulacyjnym MS Excel Dodatek jest domyślnie wyłączony. W celu jego aktywacji należy otworzyć arkusz kalkulacyjny MS Excel 2010, następnie wybrać zakładkę Plik i przejść do Opcji. Artur Piątkowski WZ UW Strona 7

8 W opcjach programu Excel należy wybrać Dodatki. Wyświetlą się aktywne i nieaktywne dodatki aplikacji. Dodatek Solver jest domyślnie nieaktywny. Należy zaznaczyć go i wybrać opcję Przejdź. Pojawi się okienko Dodatki. Należy zaznaczyć w nim dodatek Solver i wybrać opcję OK. Artur Piątkowski WZ UW Strona 8

9 Od tego momentu dodatek Solver będzie dostępny w zakładce Dane. Artur Piątkowski WZ UW Strona 9

10 ZADANIE 2 Farmer z Teksasu prowadzi hodowlę bydła. Racjonalna hodowla wymaga dostarczenia rocznie każdej sztuce bydła trzech składników odżywczych: białka ogólnego, włókien surowych, oraz tłuszczów surowych. Składników odżywczych należy dostarczyć następujące ilości: białko ogólne co najmniej 1000 jednostek, włókno surowe co najmniej 800 jednostek, tłuszcz surowy co najmniej 1150 jednostek, lecz nie więcej niż 1700 jednostek. Składniki te są zawarte w czterech paszach. W poniższej tablicy podano zawartość każdego ze składników w jednym kwintalu pasz oraz ceny zakupu poszczególnych pasz. Tabela 1. Zawartość składników odżywczych w paszach. Rodzaj paszy Zawartość składników odżywczych w paszach Cena zakupu Białko ogólne Włókna surowe Tłuszcze surowe paszy Lactoma HP USD Unipro XP USD Topsan USD Sanolac Rot USD Jakie ilości poszczególnych pasz należy zakupić, aby roczne koszty wyżywienia bydła były możliwie najniższe. Należy wziąć również pod uwagę, że paszy Unipro XP bydło powinno otrzymać rocznie nie mniej niż 20 q, natomiast paszy Lactoma HP 1,5 raza więcej niż paszy Topsan. Ponadto z analizy lokalnego rynku wiadomo, że nie będzie można otrzymać więcej niż 30 q paszy Sanolac Rot. Rozwiązać model z wykorzystaniem dodatku Solver, który znajduje się w arkuszu kalkulacyjnym MS Excel Czy został wykorzystany cały limit paszy Sanolac Rot? 2. Jak zmieni się rozwiązanie optymalne, jeżeli pasza Lactoma HP podrożeje o 120 USD, pasza Unipro XP podrożeje o 30 USD, pasza Topsan potanieje o 90 USD, natomiast pasza Sanolac Rot potanieje o 100 USD? Czy zmiana cen jest korzystna z ekonomicznego punktu widzenia? 3. Czy optymalne ilości zakupu poszczególnych pasz ulegną zmianie (w stosunku do modelu pierwotnego), jeżeli paszy Unipro XP trzeba będzie dostarczyć nie mniej niż paszy Lactoma HP? Jeżeli tak, to czy ta zmiana jest korzystna z ekonomicznego punktu widzenia? Artur Piątkowski WZ UW Strona 10

11 Pierwszym etapem jest zapisanie powyższego problemu decyzyjnego za pomocą programu liniowego: Zmienne decyzyjne x 1 wielkość zakupu paszy Lactoma HP x 2 wielkość zakupu paszy Unipro XP x 3 wielkość zakupu paszy Topsan x 4 wielkość zakupu paszy Sanolac Rot Warunki ograniczające 50x x x x x x x x x x x x x x x 2 20 x 1 = 1, 5 x 3 x 4 30 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Funkcja celu F(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 180x x x x 4 MIN Następnie należy zaimplementować powyższy program do arkusza kalkulacyjnego MS Excel Należy przenieść do arkusza poszczególne części programu: zmienne decyzyjne, warunki ograniczające oraz funkcję celu. Najpierw należy wydzielić komórki na szukane zmienne decyzyjne są to komórki B2 : B5. Zostały one zaznaczone na różny odcień koloru pomarańczowego. Artur Piątkowski WZ UW Strona 11

12 Następnie należy zaimplementować warunki ograniczające. Każdy warunek ograniczający składa się z dwóch stron: lewej i prawej strony. Lewą stronę warunków ograniczających należy umieścić w jednej kolumnie arkusza kalkulacyjnego, wyrazy wolne prawej strony w sąsiedniej kolumnie. Za pomocą formuły należy zapisać wzór ograniczenia, wykorzystując komórki zmiennych decyzyjnych. Po zapisaniu wszystkich warunków ograniczających lewa strona ograniczeń wynosi zero, ponieważ zmienne decyzyjne początkowo nie przyjmują żądnej wartości. Artur Piątkowski WZ UW Strona 12

13 Ostatnim krokiem jest zapisanie wzoru funkcji celu, wykorzystując komórki zmiennych decyzyjnych. Po zaimplementowaniu modelu do arkusza kalkulacyjnego, należy go rozwiązać z wykorzystaniem dodatku Solver. Artur Piątkowski WZ UW Strona 13

14 W oknie dodatku Solver należy ustawić cel (komórkę funkcji celu), kryterium funkcji celu (w tym przypadku MIN) oraz zmienne decyzyjne (komórki czterech zmiennych decyzyjnych, które wyrażają wielkości zakupu poszczególnych rodzajów pasz). Następnie należy dodać oddzielnie wszystkie 7 warunków ograniczających. Żeby to zrobić, należy kliknąć w pole dodaj. Następnie należy dodać prawą i lewą stroną warunku ograniczającego oraz zaznaczyć zwrot nierówności. W przypadku równania należy wybrać symbol równości. Artur Piątkowski WZ UW Strona 14

15 Po dodaniu wszystkich warunków ograniczających powinno pojawić się siedem ograniczeń. Następnie należy zaznaczyć pole Ustaw wartości nieujemne dla zmiennych bez ograniczeń odpowiada ono za warunek trywialny/brzegowy (o nieujemności zmiennych decyzyjnych) oraz wybrać metodą rozwiązania modelu Algorytm Simpleks. Ostatnim krokiem jest wybranie pola ROZWIĄŻ. Artur Piątkowski WZ UW Strona 15

16 Po rozwiązaniu modelu z wykorzystaniem dodatku Solver zostały wyświetlone wartości zmiennych decyzyjnych (wielkości zakupu poszczególnych pasz), które gwarantują optymalną (minimalną) wielkość funkcji celu. Odp1.: Należy zakupić 21 jednostek paszy Lactoma HP, 20 jednostek paszy Unipro XP, 14 jednostek paszy Topsan oraz 10 jednostek paszy Sanolac Rot, aby roczny koszt wyżywienia bydła był najniższy i wynosił USD. W celu znaleznienia odpowiedzi na drugie pytanie należy przenanalizowac ostatni warunek ograniczający. Wynika z niego, że nie został wykorzystany cały limit paszy Sanolac Rot. Artur Piątkowski WZ UW Strona 16

17 Odp2.: Nie został wykorzystany cały limit paszy Sanolac Roc istnieje jeszcze 20 jednostek zapasu tej paszy, które można wykorzystać. W celu zbadania zmian rozwiązania optymalnego, pod wpływem zmiany cen poszczególnych pasz, należy zbudować nową funkcje celu F. Funkcja celu F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 300x x x x 4 MIN Następnie nową funkcję celu należy zaimplementować do arkusza kalkulacyjnego oraz ustawić nowy cel (nową funkcję celu) w dodatku Solver i rozwiązać model. Odp3.: Zmiana cen pasz spowoduje, że zmienią się ich optymalne wielkości zakupu. Nowa kombinacja optymalnych wielkości zakupu wynosi: 15 jednostek paszy Lactoma HP, 20 jednostek paszy Unipro XP, 10 jednostek paszy Topsan oraz 30 jednostek paszy Sanolac Rot. Przy takich wielkościach zakupu roczny koszt wyżywienia bydła wyniesie USD. Jest to korzystne z ekonomicznego punktu widzenia, ponieważ funkcja celu zmniejszy się o 100 USD. Artur Piątkowski WZ UW Strona 17

18 W celu uzyskania odpowiedzi na ostanie pytanie należy dodać ósmy warunek ograniczający, który uwzględnia zależności pomiędzy ilością paszy Unipro XP oraz paszy Lactoma HP. x 2 x 1 Nowy warunek ograniczający należy zaimplementować do arkusza kalkulacyjnego oraz do dodatku Solver. Należy pamiętać, że badamy zależności w stosunku do modelu wyjściowego (w tym celu należy zmienić cel w dodatku Solver z F na F). Po rozwiązaniu modelu uzyskujemy nową wartość funkcji celu oraz nowie wielkości zakupu poszczególnych pasz. Odp4.: Jeżeli paszy Unipro XP trzeba będzie dostarczyć nie mniej niż paszy Lactoma HP, to zmienią się optymalne wielkości zakupu poszczególnych pasz. Będą one wynosiły: 22,5 jednostki paszy Lactoma HP, 22,5 jednostki paszy Unipro XP, 15 jednostek paszy Topsan oraz 5 jednostek paszy Sanolac Rot. Taka kombinacja zakupów zapewni optymalną wielkość funkcji celu na poziomie USD. Nie jest to korzystne z ekonomicznego punktu widzenia, ponieważ funkcja celu zwiększy się o 200 USD. Artur Piątkowski WZ UW Strona 18

19 Literatura 1. Guzik B. (2009). Wstęp do badań operacyjnych. Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Poznań. 2. Kukuła K. (1999). Badania operacyjne w przykładach i zadaniach. PWN, Warszawa. 3. Lipiec-Zajchowska M. Wspomaganie procesów decyzyjnych. Tom III. Badania Operacyjne, Wyd. C.H. Beck, Warszawa Radzikowski W. (1994). Badania operacyjne w zarządzaniu. Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa. 5. Sikora W. (2008). Badania operacyjne. PWE, Warszawa. Artur Piątkowski WZ UW Strona 19

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały) Analiza wrażliwości Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy. Z punktu widzenia decydenta (menadżera) jest istotne, żeby wiedzieć jak na rozwiązanie optymalne wpływają zmiany parametrów

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały) Otwarte zagadnienie transportowe Jeżeli łączna podaż dostawców jest większa niż łączne zapotrzebowanie odbiorców to mamy do czynienia z otwartym zagadnieniem transportowym. Warunki dla dostawców (i-ty

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały) ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały) Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy

Bardziej szczegółowo

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 1 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 1 (Materiały) Wprowadzenie Badania operacyjne (BO) to stosunkowo młoda dyscyplina naukowa, która powstała w czasie II Wojny Światowej, w związku z utworzeniem przy niektórych sztabach sił zbrojnych specjalnych grup

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych Rozwiązywanie problemów programowania liniowego z użyciem MS Excel + Solver

Badania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych Rozwiązywanie problemów programowania liniowego z użyciem MS Excel + Solver Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Wydział Techniki Morskiej i Transportu Katedra Konstrukcji, Mechaniki i Technologii Okręto w Badania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie programów matematycznych

Rozwiązywanie programów matematycznych Rozwiązywanie programów matematycznych Program matematyczny składa się z następujących elementów: 1. Zmiennych decyzyjnych:,,, 2. Funkcji celu, funkcji-kryterium, która informuje o jakości rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Barbadoska 16 mb 24 mb Afrykańska 16 mb 10 mb

Barbadoska 16 mb 24 mb Afrykańska 16 mb 10 mb I. Ćwiczenia 2 Firma McCain jest światowym potentatem w branży frytek. W swojej fabryce, która znajduje się w Buriey (stan Idaho), produkuje frytki Golden Longs oraz frytki My Fries Classic. Fabryka zaopatruje

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j

Bardziej szczegółowo

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Ecel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Firma produkująca samochody zaciągnęła kredyt inwestycyjny w wysokości mln zł na zainstalowanie

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia programowania liniowego dotyczą modelowania i optymalizacji wielu problemów decyzyjnych, na przykład:

Zagadnienia programowania liniowego dotyczą modelowania i optymalizacji wielu problemów decyzyjnych, na przykład: Programowanie liniowe. 1. Aktywacja polecenia Solver. Do narzędzia Solver można uzyskać dostęp za pomocą polecenia Dane/Analiza/Solver, bądź Narzędzia/Solver (dla Ex 2003). Jeżeli nie można go znaleźć,

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Ćwiczenia 2 Programowanie liniowe Metoda geometryczna Plan zajęć Programowanie liniowe metoda geometryczna Przykład 1 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych Zamknięty zbiór rozwiązań dopuszczalnych

Bardziej szczegółowo

Microsoft EXCEL SOLVER

Microsoft EXCEL SOLVER Microsoft EXCEL SOLVER 1. Programowanie liniowe z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Excel - użycie dodatku Solver

Excel - użycie dodatku Solver PWSZ w Głogowie Excel - użycie dodatku Solver Dodatek Solver jest narzędziem używanym do numerycznej optymalizacji nieliniowej (szukanie minimum funkcji) oraz rozwiązywania równań nieliniowych. Przed pierwszym

Bardziej szczegółowo

Metody Ilościowe w Socjologii

Metody Ilościowe w Socjologii Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji

Bardziej szczegółowo

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11)

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11) Microsoft EXCEL - SOLVER 2. Elementy optymalizacji z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału Problem przydziału Przykład Firma KARMA zamierza w okresie letnim przeprowadzić konserwację swoich urządzeń; mieszalników,

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

Metoda simpleks. Gliwice

Metoda simpleks. Gliwice Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2

Bardziej szczegółowo

Analiza danych przy uz yciu Solvera

Analiza danych przy uz yciu Solvera Analiza danych przy uz yciu Solvera Spis treści Aktywacja polecenia Solver... 1 Do jakich zadań wykorzystujemy Solvera?... 1 Zadanie 1 prosty przykład Solvera... 2 Zadanie 2 - Optymalizacja programu produkcji

Bardziej szczegółowo

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM EKONOMIKA W ELEKTROTECHNICE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 6 Analiza decyzji

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Zagadnienie transportowoprodukcyjne ZT-P programowanie liniowe Ćw. L. 8 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym

Bardziej szczegółowo

Dualność w programowaniu liniowym

Dualność w programowaniu liniowym 2016-06-12 1 Dualność w programowaniu liniowym Badania operacyjne Wykład 2 2016-06-12 2 Plan wykładu Przykład zadania dualnego Sformułowanie zagadnienia dualnego Symetryczne zagadnienie dualne Niesymetryczne

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH

OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza Wydział Zarządzania Katedra Metod Ilościowych OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH Prowadzący: dr Tomasz Pisula e-mail: tpisula@prz.edu.pl Treści kształcenia:

Bardziej szczegółowo

Wybrane elementy badań operacyjnych

Wybrane elementy badań operacyjnych Wybrane elementy badań operacyjnych 1 Przykład 1. GWOŹDZIE. Pewna fabryczka może produkować dwa gatunki gwoździ II i I. Do wyprodukowania tony gwoździ II gatunku potrzeba 1,2 tony stali oraz 1 roboczogodzinę

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1 Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci

Bardziej szczegółowo

1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną

1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną binarną są określane mianem zadania programowania binarnego. W stosunku do dyskretnych modeli decyzyjnych stosuje się odrębną klasę metod ich rozwiązywania. W dalszych częściach niniejszego rozdziału zostaną

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja procesów technologicznych przy zastosowaniu programowania liniowego

Optymalizacja procesów technologicznych przy zastosowaniu programowania liniowego Optymalizacja procesów technologicznych przy zastosowaniu programowania liniowego Wstęp Spośród różnych analitycznych metod stosowanych do rozwiązywania problemów optymalizacji procesów technologicznych

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Ax = b (1)

Układy równań liniowych. Ax = b (1) Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Przykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami. Rozwiążemy następujący układ równań:

Przykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami. Rozwiążemy następujący układ równań: Przykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami Rozwiążemy następujący układ równań: Po zapisaniu układu w postaci macierzy rozszerzonej będziemy dążyć do uzyskania macierzy jednostkowej po lewej stronie

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia:

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Programowanie liniowe, metoda geometryczna, dobór struktury asortymentowej produkcji Zachodniopomorski Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 7

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 7 Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe Ćw. L. 7 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym zapisem

Bardziej szczegółowo

c j x x

c j x x ZESTAW 1 Numer indeksu Test jest wielokrotnego wyboru We wszystkich mają być nieujemne 1 Pewien towar jest zmagazynowany w miejscowości A 1 w ilości 700 ton, w miejscowości 900 ton Ma być on przewieziony

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Schemat postępowania w badaniach operacyjnych decydent sytuacja decyzyjna decyzje decyzje dopuszczalne niedopuszczalne kryterium wyboru zadanie decyzyjne zmienne decyzyjne warunki

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Komputerowe wspomaganie rozwiązywania zadań programowania nieliniowego Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 5 Planowanie

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do badań operacyjnych

Wprowadzenie do badań operacyjnych Wprowadzenie do badań operacyjnych Hanna Furmańczyk 10 października 2008 Badania operacyjne (ang. operations research) - dyscyplina naukowa związana z teorią decyzji pozwalająca wyznaczyć metodę i rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

2. Tworzenie tabeli przestawnej. W pierwszym oknie dialogowym kreatora określamy źródło danych, które mamy zamiar analizować.

2. Tworzenie tabeli przestawnej. W pierwszym oknie dialogowym kreatora określamy źródło danych, które mamy zamiar analizować. 1. Tabele przestawne Tabele przestawne pozwalają zestawiać dane zawarte w bazach danych przechowywanych w skoroszytach lub plikach zewnętrznych. Tabela przestawna jest dynamicznym zestawieniem danych zawartych

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007

ALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007 ALGORYTM SIMPLEX 7 Zagadnienie asortymentu produkcji Firma produkuje dwa wyroby P, P. Ograniczeniem dla produkcji są trzy surowce S, S i S.Nakłady jednostkowe surowców są następujące: S S S Zysk jednostkowy

Bardziej szczegółowo

Programowanie matematyczne

Programowanie matematyczne dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Ćwiczenia 1. Wprowadzenie. Filip Tużnik, Warszawa 2017

Badania operacyjne. Ćwiczenia 1. Wprowadzenie. Filip Tużnik, Warszawa 2017 Badania operacyjne Ćwiczenia 1 Wprowadzenie Plan zajęć Sprawy organizacyjne (zaliczenie, nieobecności) Literatura przedmiotu Proces podejmowania decyzji Problemy decyzyjne w zarządzaniu Badania operacyjne

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Rysunek 8. Rysunek 9.

Rysunek 8. Rysunek 9. Ad 2. Dodatek Excel Add-Ins for Operations Management/Industral Engineering został opracowany przez Paul A. Jensen na uniwersytecie w Teksasie. Dodatek można pobrać ze strony http://www.ormm.net. Po rozpakowaniu

Bardziej szczegółowo

Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2

Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Document: Exercise*02*-*manual ---2014/11/12 ---8:31---page1of8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Wybrane zagadnienia z

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 Forma zaliczenia wykładu: egzamin pisemny.

Badania operacyjne. Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 Forma zaliczenia wykładu: egzamin pisemny. Badania operacyjne Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 michal.kulej@pwr.wroc.pl Materiały do zajęć będa dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia wykładu: egzamin

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego:

Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego: Zadanie Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Zastosowanie Matlab a... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Zagadnienie standardowe... 3 1.3 Zagadnienie transportowe... 5 1 Zastosowanie Matlab a Anna Tomkowska [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Bardziej szczegółowo

Przykład: frytki i puree Analiza wrażliwości współczynników funkcji celu

Przykład: frytki i puree Analiza wrażliwości współczynników funkcji celu Analiza wrażliwości: współczynników funkcji celu analiza wrażliwości pozwala odpowiedzieć na pytanie, w jakich granicach mogą się zmieniać te parametry, aby dotychczasowe rozwiązanie było optymalne, wyrazów

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny Excel

Arkusz kalkulacyjny Excel Arkusz kalkulacyjny Excel Ćwiczenie 1. Sumy pośrednie (częściowe). POMOC DO ĆWICZENIA Dzięki funkcji sum pośrednich (częściowych) nie jest konieczne ręczne wprowadzanie odpowiednich formuł. Dzięki nim

Bardziej szczegółowo

maj 2014 Politechnika Gdańska Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa St. II stop., sem. I

maj 2014 Politechnika Gdańska Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa St. II stop., sem. I Politechnika Gdańska Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa St. II stop., sem. I Podstawy teorii optymalizacji Wykład 12 M. H. Ghaemi maj 2014 Podstawy teorii optymalizacji Oceanotechnika, II stop., sem.

Bardziej szczegółowo

Wykład 2: Arkusz danych w programie STATISTICA

Wykład 2: Arkusz danych w programie STATISTICA Wykład 2: Arkusz danych w programie STATISTICA Nazwy przypadków Numer i nazwa zmiennej Elementy arkusza danych Cechy statystyczne Zmienne (kolumny) Jednostki statystyczne Przypadki (wiersze) Tworzenie

Bardziej szczegółowo

TEMAT: Ilustracja graficzna układu równań.

TEMAT: Ilustracja graficzna układu równań. SCENARIUSZ LEKCJI PRZEPROWADZONEJ W KLASIE III TEMAT: Ilustracja graficzna układu równań. Cel ogólny: Uczeń rozwiązuje metodą graficzną układy równań przy użyciu komputera. Cele operacyjne: Uczeń: - zna

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Zasady pracy w arkuszu kalkulacyjnym Microsoft Excel z dodatkiem Solver

Zasady pracy w arkuszu kalkulacyjnym Microsoft Excel z dodatkiem Solver Zasady pracy w arkuszu kalkulacyjnym Microsoft Excel z dodatkiem Solver Microsoft Excel Solver jest narzędziem umożliwiającym optymalizację problemów i wspomagającym proces podejmowania różnorodnych decyzji.

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1 A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b

Bardziej szczegółowo

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Optymalizacji

Laboratorium Metod Optymalizacji Laboratorium Metod Optymalizacji Grupa nr... Sekcja nr... Ćwiczenie nr 4 Temat: Programowanie liniowe (dwufazowa metoda sympleksu). Lp. 1 Nazwisko i imię Leszek Zaczyński Obecność ocena Sprawozdani e ocena

Bardziej szczegółowo

łączny czas pracy (1 wariant) łączny koszt pracy (2 wariant) - całkowite (opcjonalnie - dla wyrobów liczonych w szt.)

łączny czas pracy (1 wariant) łączny koszt pracy (2 wariant) - całkowite (opcjonalnie - dla wyrobów liczonych w szt.) 14. Zadanie przydziału z ustalonym poziomem produkcji i limitowanym czasem pracy planowanie wielkości produkcji (wersja uproszczona) Producent może wytwarzać n rodzajów wyrobów. Każdy z wyrobów można być

Bardziej szczegółowo

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że Stwierdzeń będzie. Przy każdym będzie należało ocenić, czy jest to stwierdzenie prawdziwe, czy fałszywe i zaznaczyć x w tabelce odpowiednio przy prawdzie, jeśli jest ono prawdziwe lub przy fałszu, jeśli

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej:

ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + +

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KL.I

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KL.I WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KL.I a w roku szkolnym 2015/2016 na poszczególne stopnie w oparciu o PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM i podręcznik nr w wykazie 168/1/2015/z1 Prowadzący zajęcia: mgr Elżbieta

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Przedmiot: Nr ćwiczenia: 1 Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Temat: Programowanie liniowe Cel ćwiczenia: Opanowanie umiejętności modelowania i rozwiązywania problemów

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie Zarządzania Przedsiębiorstwem Laboratorium 02

Wspomaganie Zarządzania Przedsiębiorstwem Laboratorium 02 Optymalizacja całkowitoliczbowa Przykład. Wspomaganie Zarządzania Przedsiębiorstwem Laboratorium 02 Firma stolarska produkuje dwa rodzaje stołów Modern i Classic, cieszących się na rynku dużym zainteresowaniem,

Bardziej szczegółowo