Przykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami. Rozwiążemy następujący układ równań:

Transkrypt

1 Przykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami Rozwiążemy następujący układ równań: Po zapisaniu układu w postaci macierzy rozszerzonej będziemy dążyć do uzyskania macierzy jednostkowej po lewej stronie kreski. W przykładzie tym wykorzystamy rzadko uzywaną operację przesunięcia kolumny na koniec macierzy (przed kreskę), dlatego też nad macierzą zapiszemy numery zmiennych, którym odpowiadają poszczególne kolumny. Pierwszą czynnością będzie pozbycie się liczb stojących w pierwszej kolumnie pod górną jedynką. Od drugiego wiersza odejmiemy trzy wiersze pierwsze. Od trzeciego i czwartego wiersza odejmiemy dwa wiersze pierwsze. Od ostatniego wiersza odejmiemy jeden wiersz pierwszy. Widzimy teraz, że druga kolumna jest proporcjonalna do pierwszej. Nie ma szans, abyśmy w tej kolumnie uzyskali 1 na drugiej pozycji od góry. Dlatego przepchniemy ją na koniec, zaraz przed kreskę. Oczywiście, wymaga to zmian w numeracji kolumn widniejącej nad macierzą.

2 Po ostatniej operacji okazało się, że mamy dwa proporcjonalne (wręcz identyczne!) wiersze. Usuniemy jeden z nich. Teraz zamienimy wiersz drugi z trzecim, aby na przekątnej mieć kolejną jedynkę. Pozbędziemy się wszystkich liczb leżących w drugiej kolumnie, poza jedynką. Od wiersza pierwszego i czwartego odejmiemy trzy wiersze drugie, zaś do wiersza trzego dodamy cztery wiersze drugie. I znowu uzyskaliśmy dwa proporcjonalne wiersze wykasujemy jeden z nich. Zauważamy, że trzecia kolumna jest kombinacja liniowa pierwszej i drugiej kolumny nigdy nie uzyskamy w niej jedynki na samym dole. Przepchniemy więc tę kolumnę przed kreskę, oczywiście zmieniając oznaczenia kolumn nad macierzą.

3 Po zamianie kolumn możemy uporządkować trzeci wiersz podzielimy go przez -18. Za pomocą dopiero co uzyskanej jedynki usuniemy liczby -10 oraz 3. Od drugiego wiersza odejmiemy trzy wiersze trzecie, zaś do pierwszego wiersza dodamy dziesięć wierszy trzecich. Otrzymaliśmy macierz jednostkową po lewej stronie kreski, jednak istnieją jeszcze dwie dodatkowe kolumy związane ze zmiennymi x 2 i x 4 zmienne te są parametrami rzeczywistymi rozwiązania: Po umieszczeniu tych parametrów po prawej stronie znaku równości nareszcie otrzymujemy rozwiązanie układu: Ten sam przykład w programie GaussMatrix Krok 1. W programie GaussMatrix wybierz aplikację Rozwiązywanie układów równań, w aplikacji tej wybierz opcję podania własnego przykładu i na następnym ekranie wybierz 5 równań i 5 zmiennych. Następnie wprowadź dane z układu równań do macierzy: jeżeli któraś ze zmiennych nie występuje w danym równaniu, zostaw 0 w jej polu edycyjnym, jeżeli w równaniu występuje +x i lub -x i, wpisz w pole edycyjne 1 lub -1. Naciśnij przycisk Dalej.

4 Krok 2. Na ekranie pojawiło się następujące okno: Dodawanie wiersza pomnożonego przez Dodawanie wiersza podzielonego przez Mnożenie wiersza przez Przepchnięcie kolumny przed kreskę Zamiana dwóch wierszy Wykasowanie jednego z proporcjonalnych wierszy Dzielenie wiersza przez Wykasowanie wiersza z samymi zerami Możesz cofnąć się o kilka kroków jeżeli się pomylisz lub stwierdzisz, że należałoby obrać inną strategię. Po cofnięciu się, możesz zmienić zdanie i powrócić do swojego ostatniego kroku. Możesz w dowolnej chwili zacząć ten sam przykład od nowa. Krok 3. Teraz należy pozbyć się liczb w pierwszej kolumnie, położonych pod górną jedynką. Naciśni guzik, który zmienia dany wiersz w ten sposób, że dodaje do niego inny wiersz pomnożony przez liczbę niezerową. W małym okienku podaj takie parametry, które będą oznaczać, że chcesz zmienić drugi wiersz odejmując od niego trzy wiersze pierwsze: Analogicznie zmień pozostałe wiersze: - od wiersza trzeciego i czwartego odejmij dwa wiersze pierwsze, - od wiersza piątego odejmij jeden wiersz pierwszy.

5 Po tych operacjach lewa górna część aplikacji wygląda następująco: Krok 4. Naciśnij przycisk służący do przepychania kolumny przed kreskę przepchnij kolumnę drugą. Krok 5. Wiersze drugi i trzeci są identyczne usuń jeden z nich (obojętnie który) przy pomocy przycisku usuwającego proporcjonalne wiersze. Krok 6. Odszukaj odpowiedni przycisk i zamień miejscami wiersze drugi i trzeci. Po tych operacjach ostatnia macierz powinna wyglądać następująco: Krok 7. Zmień zawartość następujących wierszy: - od wiersza pierwszego i czwartego odejmij 3 wiersze drugie, - do wiersza trzeciego dodaj 4 wiersze drugie. Krok 8. Dwa ostatnie wiersze są proporcjonalne usuń więc trzeci wiersz. Krok 9. Przepchnij kolumnę trzecią przed kreskę. Ostatnia macierz wygląda teraz następująco: Krok 10. Podziel ostatni wiersz przez -18. Krok 11. Do pierwszego wiersza dodaj 10 wierszy trzecich. Od drugiego wiersza odejmij 3 wiersze trzecie.

6 Krok 12. Mamy już rozwiązanie: