Geometria Różniczkowa I

Transkrypt

1 Geometria Różniczkowa I wykład trzeci NiechC (M)oznaczazbiórwszystkichgładkichfunkcjinarozmaitościM.C (M)jestrzeczywistą, przemienną algebrą z jedynką. Istotną rolę w geometrii różniczkowej odgrywają homomorfizmy tej algebry w R(R też traktowane jak rzeczywista przemienna algebra z jedynką). Każdy punkt q M zadaje taki homomorfizm, mianowicie ϕ q :C (M) R, ϕ q (f)=f(q). Sprawdzenie, że takie odwzorowanie jest homomorfizmem polega na sprawdzeniu, że jest liniowe oraz że zachowuje strukturę mnożenia i element neutralny. Można pokazać, że homomorfizmy zadawaneprzezpunktysąjedynymihomomorfizmamialgebryc (M)wR.Mamywięcpewien rodzaj dualności między rozmaitością a algebrą funkcji gładkich na niej. Okazuje się, że rozmaitość różniczkowalną można definiować algebraicznie wykorzystując zaobserwowaną przez nas przed chwilą dualność. Niech F będzie rzeczywistą przemienną algebrą zjedynką,a F =Hom R (F,R)zbioremhomomorfizmów.Wiemyjuż,żegdyF=C (M) to F =M.PowstajepytanieczydlakażdejalgebryFznajdziemyrozmaitośćMtakąże F =M,czyliczykażdarzeczywistaalgebraprzemiennazjedynkąjestalgebrąfunkcjina jakiejś rozmaitości. Odpowiedź brzmi nie. W szczególności algebra taka musi spełniać warunek kerϕ=0 ϕ F gdyż nie ma nietrywialnych funkcji na rozmaitości znikających we wszystkich punktach. Algebry, które mają tę własność nazywają się geometryczne. Szczegółowe rozważania na temat jakie algebry mogą być algebrami funkcji i precezyjną definicję rozmaitości w tym języku znaleźć można w książce Jet Niestruyev Smooth manifolds and observables. Motywacją do takiego podejścia stanowią rozważania nad mechaniką kwantową. Klasyczna geometria różniczkowa stanowi naturalny język do opisywania świata fizyki klasycznej(w sensie niekwantowej). Przestrzenie konfiguracyjne dla układów klasycznych mają strukturę rozmaitości, czasoprzestrzeń w OTW też jest pewną rozmaitością. Wielkości takie jak energia, siła, metryka... pole elektromagnetyczne dają się bardzo dobrze opisać właśnie w języku geometrii różniczkowej. Problem pojawia się, kiedy przechodzimy do mechaniki kwantowej i okazuje się, że natychmiast wypadamy ze schematu algebry przemiennej. W szczególności potrzebujemy przestrzeni na której współrzędne nie są przemienne. Należałoby więc algebrę przemienną zastąpić nieprzemienną. W ten sposób powstała geometria nieprzemienna. Z jej zastosowaniami w fizyce bywa różnie, ale jako teoria matematyczna ma się bardzo dobrze. Nie będziemy szczegółowo rozwijać podejścia Jeta Niestruyeva, spójrzmy tylko na kilka przykładów rozmaitości, o których mówiliśmy w zeszłym tygodniu. Przykład1.JeśliF={f C (R): f(x)=f(x+1)}to F =S 1. Przykład2.JeśliF={f C (R 2 ): f(x,y)=f(x+1, y)}to F jestwstęgąmoebiusa. 1

2 2 Przykład3.JeśliF={f C (R): f(x)=f(x+1, y)=f(x,y+1}to F jestbutelką Kleina. WdalszymciąguzestrukturyC (M)korzystaćbędziemyjedynielokalnie.Potrzebnebędą takżegładkiekrzywe,tznelementyc (I,M),gdzieI RjestotwartymodcinkiemwR zawierającym zero. Definiujemy dwie relacje równoważności: (1)Niechγ,γ C (I,M).Mówimy,zekrzyweγiγ sąrównoważnejeśli γ(0)=γ (0) oraz f C d(f γ) (M) (0)= d(f γ ). Złożenie f γ jest gładką funkcją rzeczywistą określoną w otoczeniu zera, więc wyznaczaniepochodnejwt=0masens.klasęrównoważnościkrzywejγoznaczamy γ(0)albo tγ(0) i nazywamy wektorem stycznym do M w punkcie q. Zbiór wszystkich wektorów stycznych to przestrzeń styczna oznaczana TM. Łatwo zauważyć, że istnieje kanoniczneodwzorowanieτ M :TM M,τ M ( γ(0))=γ(0).strukturąprzestrzenistycznej będziemy zajmować się nieco później. (2)Wzbiorzepar(q,f),gdzieq M,f C (M)definiujemyrelacjęrównoważności następującymwarunkiem:dwiepary(q,f)i(q,f )sąrównoważnejeśli q=q, γ C d(f γ) (I,M),γ(0)=q (0)= d(f γ). Klasęrównoważnościpary(q,f)oznaczamydf(q)inazywamyróżniczkąfunkcjifw punkcieq.zbiórwszystkichróżniczektoprzestrzeńkostycznaoznaczanat M.Istnieje kanoniczneodwzorowanieπ M :T M M,π M (df(q))=q. O klasach równoważności krzywych mówimy, że są to wektory styczne, ale na razie żadnej struktury wektorowej na przestrzeni stycznej nie wprowadziliśmy. Dużo łatwiej jest zacząć od przestrzenikostycznej.strukturaprzestrzeniwektorowejwalgebrzec (M)jestzachowywana przezrelacjęrównoważności,tznjeślipara(q,f)jestrównoważna(q,f )orazpara(q,g)jest równoważna(q,g )totakże(q,f+g)jestrównoważna(q,f +g ),oznaczato,że df(q)+dg(q)=d(f+g)(q). Podobniejeślipara(q,f)jestrównoważna(q,f )topara(q,λf)jestrównoważnaparze(q,λf ) czyli λdf(q)=d(λf)(q). Przestrzeńróżniczekfunkcjizaczepionychwjednympunkcie(T q M)jestwięcprzestrzeniąwektorową. O każdej przestrzeni wektorowej chcemy zazwyczaj wiedzieć, jaki jest jej wymiar i jak wyglądają bazy tej przestrzeni: Fakt 1. Każdą różniczkę df(q) można jednoznacznie zapisać jako kombinację liniową różniczek funkcjix i tworzącychukładwspółrzędnychwotoczeniupunktuq. Dowód:NiechUbędziedziedzinąmapyzawierającąqiniechϕ=(x 1,...,x n )oznaczawspółrzędnewutakie,żeϕ(q)=(0,...,0).rozważmyukładnkrzywychγ i zdefiniowanychjako t γ i (t)=ϕ 1 (0,...,0,t,0,...,0),

3 gdzie t jest na i-tej pozycji. Wprowadzamy oznaczenie f x i(q)=df γ i (0). Inaczejmówiąc f x i (q)jestpochodnącząstkowąwzględemi-tejwspółrzędnejfunkcjif ϕ 1 w punkcie(0,...,0) R n.oznaczmyprzez ffunkcję f= f x 1(q)x1 + f x 2(q)x2 + + f x n(q)xn. Łatwozauważyć,żepary(q,f)i(q, f)sąrównoważne,czyliróżniczkidf(q)id f(q)sąrówne: ( f df(q)=d f(q)=d + + f ) (q)= f (1)+ + f (q). x 1(q)x1 x n(q)xn x 1(q)dx1 x n(q)dxn Różniczka funkcji f jest więc istotnie kombinacją liniową różniczek współrzędnych. Do wykazaniapozostajejednoznaczność,czyliliniowaniezależnośćróżniczekdx i.załóżmywięc,że iλ i dx i (q)=0.zdefinicjimnożeniaróżniczekprzezliczbęwiemy,że λ i dx i (q)=d( λ i x i )(q). i i Jeśli iλ i dx i (q)=0tofunkcjah= iλ i x i jestrównoważnafunkcjizerowej,atooznacza,że dlakażdejzkrzywychγ i h γ i mazerowąpochodnąwt=0: 0= dh γ i (0)= d(λ it) (0)=λ i. Przestrzeń kostyczna w punkcie q jest zatem n-wymiarową przestrzenią wektorową. Zauważmyteraz,żekażdywektorstycznyv= γ(0)definiujefunkcjonałliniowynaprzestrzenit q M (jeśliγ(0)=q)wzorem φ v (df(q))= d(f γ) (0). Przyporządkowanie funkcjonałów wektorom jest injektywne. Jeśli dwie krzywe są nierównoważne, to znaczy istnieją przynajmniej dwie funkcje gładkie, które je rozróżniają. Z definicji relacji równoważności par punkt-funkcja wnioskujemy, że także różniczki tych funkcji są różne.każdyfunkcjonałnat Modpowiadapewnemuwektorowistycznemu.Istotnie,skoro (dx 1 (q),...,dx n (q))jestbaząwt q M,tokażdyfunkcjonałjestjednoznaczniezadanyprzez układnliczbφ i =φ(dx i (q)).weźmykrzywą t ϕ 1 (φ 1 t,φ 2 t,...,φ n t). Wektorstycznydotejkrzywejodpowiadafunkcjonałowirównemuφ.MożemyzatemT q M zidentyfikowaćjakozbiórz(t q M) iwtensposóbwprowadzićwt q Mstrukturęprzestrzeni wektorowej. W ten sposób przestrzenie styczna i kostyczna w punkcie stanowią parę wektorowych przestrzenidualnych.elementybazydualnejdo(dx 1,...,dx n )(oejchwiliniebędziemypisać 3

4 4 argumentu q przy różniczkach funkcji wspołrzędnościowych) oznaczamy ( ) x 1,...,. x n Wektor x i jeststycznydokrzywejt ϕ 1 (x 1 (q),...,x i (q)+t,...x n (q)).oznaczeniana wektory styczne do krzywych wzdłuż współrzędnych przypominają operatory różniczkowania i nie jest to przypadkowa zbieżnosć oznaczeń. NiechAiBbędądwiemaalgebramirzeczywistymi,przemiennymizjedynkąiniechρ:A Boznaczahomomorfizmtychalgebr.OdwzorowanieD:A B,którejestlinioweispełnia warunek D(a 1 a 2 )=ρ(a 1 )D(a 2 )+ρ(a 2 )D(a 1 ) nazywamy różniczkowaniem względem homomorfizmu ρ. Powyższy warunek przypomina regułę Leibniza znaną z rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej. Istotnie operacja brania pochodnej w punkcie jest różniczkowaniem algebry różniczkowalnych funkcji rzeczywistych względemhomomorfizmubędącegoewaluacjąfunkcjiwpunkcie.zauważmy,żed(1 A )=0, ponieważ D(1 A )=D(1 A 1 A )=ρ(1 A )D(1 A )+ρ(1 A )D(1 A )=1 B D(1 A )+1 B D(1 A )=2D(1 A ). W dalszym ciągu będziemy rozważać różniczkowania algebry funkcji gładkich na rozmaitości M o wartościech w algebrze R względem ewaluacji funkcji w punkcie q. Zbiór tych różniczkowań jest oczywiście wyposażony w strukturę przestrzeni wektorowej, gdyż jest popdprzestrzenią w przestrzeni wszystkich odwzorowań liniowych z A do B. Niech teraz v = γ(0) będzie wektorem stycznym w punkcie γ(0) = q. Wektorowi temu przypisać można następujące różniczkowanie: D v (f)= d(f γ) (0). Definicja jest poprawna, tzn. nie zależy od wyboru reprezentanta wektora stycznego a także rzeczywiście definiuje różniczkowanie, gdyż D v (fg)= d(fg) γ (0)= d(f γ)(g γ) (0)= f(γ(0)) dg γ (0)+g(γ(0)) df γ (0)=f(q)D v (g)+g(q)d v (f). Różne wektory styczne definiują różne różniczkowania, co wynika wprost z definicji wektora stycznego. Powstaje teraz pytanie czy każdemu różniczkowaniu możemy przyporządkować wektorstyczny,tznczywektorystycznezadająwszystkieróżniczkowaniaalgebryc (M).Żebysię o tym przekonać będziemy potrzebować lematu o funkcjach znikających w punkcie: Lemat 1(O funkcjach znikających w punkcie). Niech f będzie funkcją gładką na otoczeniu O punktu0 R n.niechtakżef(0)=0.wówczasf(x)=x i g i (x)dlapewnychfunkcjigładkichg i. Dowód:Ustalmyx Oizdefiniujmy F:I R, F(t)=f(0+tx).

5 OdcinekIjestnatyleduży,żebyzawierać0i1.FunkcjaFjestgładka,gdyżfunkcjafjest gładka, wiadomo także, że F(0) = 0. Zgodnie z podstawowym twierdzeniem rachunku różniczkowego i całkowego F(1)= F (s)ds, F (s)= f. 0 x i(sx)xi Możemy więc napisać równość dla f(x)=f(1)= 0 f 1 ds=x i f g x i(sx)xi 0 x i(sx)ds=xi i (x) f g i (x)= 0 x i(sx)ds. Skorofunkcjafjestgładka,tofunkcjeg i takżesągładkie(twierdzeniaocałkachzparametrem). WracamyterazdodyskusjiróżniczkowańalgebryC (M)względemewaluacjiwpunkcieq. Korzystajączpowyższegolematuorazwspółrzędnychϕ=(x 1,...,x n )wotoczeniuupunktu qtakich,żeϕ(q)=0,funkcjęfwotoczeniupunktuqzapisaćmożemyjako f(y)=f(q)+x i (y)g i (y), y U. Sprawdzaliśmy już, że każde różniczkowanie na funkcjach stałych znika, więc D(f)=D(f(q)+x i g i )=D(x i g i )=D(x i )g(q)+x i (q)d(g i )=D(x i )g i (q) WartośćróżniczkowaniaDnafunkcjif zależywięcodwartościd i =D(x i )nafunkcjach współrzędnościowychorazwartościg i wq.weźmyterazkrzywąγ(t)=ϕ 1 (d 1 t,d 2 t,...,d n t)i sprawdźmy jakiemu różniczkowaniu odpowiada wektor styczny do tej krzywej: = f. x i(q)di Biorącfunkcjęfpostacif(q)+x i g i stwierdzamy,że f (q)=g x i i (q),zatemwektorstyczny do γ odpowiada właśnie różniczkowaniu D. Skonstruowaliśmy zatem wzajemnie jednoznaczną D γ(0) = df γ = df(d1 t,d 2 t,...,d n t) odpowiedniośćmiędzyróżniczkowaniamiawektoramistycznymi.oznaczenie x i nabierazatem sensu.różniczkowaniew kierunkuwspółrzędnej x i przyporządkowujefunkcjifpochodną x i (q),taksamozadziaławektorstycznydokrzywej t (x 1 (q),x 2 (q),...,x i (q)+t,...,x n (q)). Bezpośredni rachunkiem sprawdzamy, że istotnie baz złożona z różniczkowań cząstkowych jest dualna do bazy złożonej z różniczek współrzędnych. Prawdziwy jest więc wzór na ewaluację kowektora α na wektorze v we współrzędnych α i dx i,v j x j =αi v i. 5