Geometria Różniczkowa I
|
|
- Kazimiera Kowalewska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Geometria Różniczkowa I wykład ósmy Orientacja przestrzeni wektorowej. Mówimy, że dwie bazy e i f w skończenie-wymiarowej przestrzeniwektorowejv mająjednakowąorientacjęjeślimacierzprzejścia[id] f e madodatni wyznacznik. Relacja jednakowej orientacji jest, jak łatwo sprawdzić, relacją równoważności w zbiorze baz. Dzieli ona zbiór baz na dwie klasy równoważności, które nazywamy orientacjami. Mówimy, że przestrzeń wektorowa jest zorientowana jeśli ma wyróżnioną orientację. Ze względu na własności wyznacznika orientacja bazy e zmienia się na przeciwną jeśli zmienimy znak przy jednym z wektorów bazowych lub zamienimy miejscami dwa wektory bazowe. Niektóre przestrzeniewektorowemająkanonicznąorientację.wprzestrzeni R n kanonicznajestorientacja, której reprezentantem jest kanoniczna baza. Orientacja rozmaitości. Przestrzeń styczna do rozmaitości w punkcie jest skończenie-wymiarową przestrzenią wektorową, więc ma dwie możliwe orientacje. Będziemy mówili, że rozmaitość M jest zorientowana, jeśli przestrzenie styczne we wszytskich punktach mają wybrane orientacje w sposób uzgodniony. Oznacza to, że w dziedzinie każdej mapy(o, ϕ) orientacje we wszystkich punktach są zgodne lub we wszystkich punktach przeciwne niż orientacja zadana przez bazę(,..., ).Zauważmy,żejeślirozmaitośćjestzorientowanatomożnananiejwybrać x 1 x n atlaszgodnyzorientacją.istotnie,niech(o i,φ i ) i I będziedowolnymatlasemnam.konstruujemynowyatlas(u i,ψ i ) i I wnastępującysposób:jeślimapa(o i,φ i )jestzgodnazorientacjąpozostawiamyjąbezzmiankładącu i =O i,ψ i =φ i.jeślibazapochodzącaodmapy (O i,φ i )maorientacjęprzeciwnąkładziemyu i =O i orazjeśliφ i =(x 1,x 2,...,x n )kładziemy ψ i =( x 1,x 2,...,x n ).Orientacjęnarozmaitościmożnateżzadaćwskazującatlas,wktórym wyznaczniki wszystkich macierzy przejścia między pochodzącymi od współrzędnych bazami przestrzeni stycznych są dodatnie. Okazuje się, że nie na wszystkich rozmaitościach da się wybrać orientację. Takie, na których się nie da nazywają się nieorientowalne. Najbardziej znanym przykładem rozmaitości nieorientowalnej jest wstęga Moebiusa. Sięgnijmy do drugiego wykładu w trakcie którego zdefiniowaliśmy wstęgę Moebiusa jako zbiór klas równoważności i wprowadziliśmy na niej struturę rozmaitości różniczkowej wskazując atlas: Przykład 1. W R ] 1, 1[ definiujemy relację równoważności (x,y) (x,y ) x x=k Z, y =( 1) k y. Obserwujemy, że każda klasa równoważności ma reprezentanta w pasku[0, 1[ ] 1, 1[ oraz że odcinkix=0ix=1utożsamiamyzmieniającjednakichorientację. 1
2 2 DoopisaniawstęgiMoebiusapotrzebnesądwiemapy:zdziedzinąU={[(x,y)]:x/ Z} orazo={[(x,y)]:x ]k 1 2,k+1 2 [}: U O O DlakażdejklasyleżącejwUistniejereprezentant(α,y)taki,żeα ]0,1[.Definiujemyodwzorowanie ϕ:u R 2, ϕ([α,y])=(α,y). DlakażdejklasyleżącejwOistniejereprezentant(β,y)taki,żeβ ] 1 2,2 3 [.Definiujemyodwzorowanie ψ:o R 2, ϕ([β,y])=(β,y). Przyjrzyjmy się jeszcze zamianie współrzędnych. Zbiór O U składa się z dwóch składowych spójnychaib A B WobszarzeAzamianazmiennychmapostaćψ ϕ 1 (α,y) (1+α, y),zaśwobszarze Bzamianatajestidentycznością.Bazyzadawaneprzezmapy(O,ϕ)i(U,ψ)sątakiesamew obszarze B ale inne w obszarze A. W obszarze A zamiana zmiennych prowadzi do macierzy przejścia [ ] z wyznacznikiem 1. Nie da się uzgodnić orientacji drugiej mapy z orientacją pierwszej. Jeśli rozmaitość jest orientowalna, każdy atlas można zastąpić atlasem zgodnym z orientacją, mającym te same dziedziny map. Okazuje się więc, że istotnie wstęga Moebiusa nie jest orientowalna. Rozmaitości orientowalne to np. sfera, walec, torus, rzeczywiste przestrzenie projektywne wymiaru parzystego. Orientowalne są także wszystkie rozmaitości zanurzone, które są poziomicami odwzorowania spełniającego warunki jak w twierdzeniu o definiowaniu powierzchni zanurzonej. Przyjrzyjmy się bliżej sytuacji, gdy powierzchnia S jest poziomicą funkcji F: R n R. JejprzestrzeństycznawpunkciejestjądrempochodnejF ijestpodprzestrzeniąwr n.ze względu na istnienie kanonicznego iloczynu skalarnego można napisać R n =T x S gradf(x).
3 Ze względu na założenia gradf jest nieznikającym polem wektorowym w punktach S o wartościachwr n.orientacjępowierzchnismożnawybraćnp.wtakisposóbabywkażdympunkcie baza(gradf,f),gdziefjestbaząt x Sbyłazgodnazkanonicznąorientacją R n.łatwosprawdzić, że taki sposób wyboru orientacji jest zgodny. Nieorientowalne są wstęga Moebiusa, butelka Kleina, rzeczywiste przestrzenie projektywne wymiaru nieparzystego. Gładki rozkład jedności: Rozmaitości na których pracujemy to rozmaitości parazwarte. Oznacza to, że dla każdego pokrycia otwartego istnieje drobniejsze od niego pokrycie, które jest lokalnie skończone. Warunek lokalnej skończoności oznacza, że każdy punkt rozmaitości ma otoczenie, którego przecięcia z elementami pokrycia są niepuste jedynie dla skończonej liczby elementów pokrycia. Składowa spójna rozmaitości parazwartej ma też własność, która nazywa się przeliczalnością w nieskończoności. Oznacza to, że istnieje wstępujący ciąg zbiorów zwartych(k i ) i N taki,żek j Int(K j+1 )oraz i NK i =M. Definicja1.GładkimrozkłademjednościnaMzwiązanymzatlasem(O i,ϕ i ) i I nazywamy układgładkichfunkcjiα i onastępującychwłasnościach:(1)suppα i O i,(2)każdypunkt p MmaotoczenieWtakie,żeW suppα i jedyniedlaskończonejliczbyfunkcjiα i,(3) 0 α 1 1, p M i Iα i (p)=1. Twierdzenie 1. Na rozmaitości parazwartej istnieje gładki rozkład jedności. Dowód: Rozkład jedności konstruujemy dla każdej składowej spójnej oddzielnie, dlatego założymyteraz,żemjestspójna.wdalszymciągub r oznaczaćbędzieotwartąkulęwr n o promieniur.używaćbędziemyb 1 ib 3.Potrzebnabędzieteżfunkcja h:r R, h(t)=exp ( 1 (t 2)(t 1) ) dla t ]1,2[, h(t)=0 wprzeciwnymrazie. 3 Definiujemyterazfunkcjęf:[0, [ Rwzorem f(x)= 2 x 2 1 h(t)dt. h(t)dt
4 4 Funkcjatajestgładka,mawartość1dlax [0,1]oraz0dlax [2, [. Jako rozmaitość parazwarta M jest przeliczalna w nieskończoności, to znaczy można ją wyczerpaćzbioramizwartymi(k i ) i N otejwłasności,żek i IntK i+1.rozpoczynamyoddanegopokryciaotwartego{o i } i I.Ustalmynachwilępunktq M.Istniejep Ntakie,że q K p+1 \K p,istniejetakżei Itakie,żeq O i.bierzemyterazukładwspółrzędnych (V q,ϕ q )wotoczeniuqtaki,żebyϕ q (q)=0ϕ 1 q (B 3) O i,ϕ 1 q (B 3 ) K p+2 \K p 1. Rozważając odpowiednie układy współrzędnych dla wszystkich q M otrzymujemy atlas (V q,ϕ q ) q M.Wszczególnościzbiory{ϕ 1 q (B 1)} qım stanowiąpokrycieotwartevrozmaitości M. Wybierzemy teraz z niego pokrycie przeliczalne, lokalnie skończone: V jest także pokryciem K 1,możnawięczniegowybraćpokrycieskończone.Mamywięc(q 1,...,q j1 )punktówtakich,że {ϕ 1 q jk (B 1 )}stanowiąpokryciek 1.ZbiórK 2 \ IntK 1 teżjestzwarty,więcmapokrycieskończone wybranezv.todajenamkolejne{q j1 +1,...,q j2 }punkty,takie,że{ϕ 1 (B 1 )} k j2 jestpokryciemk 2.Indukcyjnieotrzymujemy(q jp+1,...,q jp+1 )punktówdefiniującychpokryciek p+1 \K p itakie,że{ϕ 1 (B 1 )} k jp+1 stanowiąpokryciek p+1.postępującwtensposóbotrzymujemy przeliczalnepokryciemzbioramiϕ 1 (B 1 ).OczywiścietakżeukładzbiorówU k =ϕ 1 (B 3 )jest pokryciemm.wrazzodwzorowaniamiϕ qk układtentworzyatlasdrobniejszyniżwyjściowe pokrycie(o i ).Łatwoteżprzekonaćsię,żeatlastenjestlokalnieskończony.Używajączdefiniowanejwcześniejfunkcjifdefiniujemyrodzinęfunkcjid k wzorem d k (q)=f( ϕ qk (q) ), jeśli ϕ qk (q) istnieje,wprzeciwnymprzypadku d k (q)=0. Ostatecznie α k (q)= d k(q) id i (q) jestszukanymrozkłademjedności.nośnikkażdejzfunkcjiα j jestzawartywktórymśzezbiorów wyjściowegopokrycia(o i ) Rozkładu jedności można użyć np. do pokazania następującego przydatnego twierdzenia Twierdzenie 2. Na rozmaitości orientowalnej wymiaru n istnieje gładka nieznikająca n-forma i odwrotnie, jeśli taka forma istnieje, to rozmaitość jest orientowalna.
5 Dowód: Weźmy lokalnie skończony atlas na M taki, że wszystkie zamiany zmiennych mają dodatnijacobian.niech(α i ) i I będzierozkłademjednościzwiązanymztymatlasem.wkażdej dziedziniemapyo i definiujemyformęω i posługującsięwspółrzędnymi(x 1 i,...x n i): Forma ω i =α i dx 1 i dx2 i dxn i. ω= i Iα i dx 1 i dx 2 i dx n i ma żądaną własność, tzn jest nieznikająca w każdym punkcie. Istotnie, niech p M będzie dowolne,niechtakże{i 1,i 2,...i m }będziezbioremindeksówodpowiadającychtymelementom atlasu,któreprzecinająsięzotoczeniemwpunktup.wpunkciepformęωmożnawięczapisać jako m ω(p)= α ik (p)dx 1 i k dx 2 i k dx n i k k=1 Punktpwrazzpewnymotoczeniemleżywdziedziniekażdejzmapzindeksamizezbioru {i 1,i 2,...i m },możemywięcwszystkieskładnikipowyższejsumyzapisaćwjednymukładzie współrzędnych,naprzykładw(x 1 i 1,...x n i 1 ): [ m ω(p)= α i1 (p)+ α ik (p)det ( ] [ϕ ik ϕ 1 i 1 ] ) dx 1 i 1 dx 2 i 1 dx n i 1. k=2 Wszystkie składniki powyższej sumy są dodatnie, zatem cała suma też jest dodatnia, w szczególności nie jest równa zero. Wykażemy teraz, że jeśli istnieje nieznikająca n-forma to rozmaitość jest orientowalna. Niech ω będzie taką formą. Weźmy także atlas składający się z map o spójnych dziedzinach. W każdej zmapformaωmożebyćzapisanawewspółrzędnychjako f(x)dx 1 dx 2 dx n. Ponieważ dziedzina mapy jest spójna funkcja f, jako niezerowa, ma ustalony znak. Jeśli jest to znak dodatni mapę tę pozostawiamy bez zmian, jeśli zaś ujemny mapę zmieniamy na przykład zamieniając pierwszą współrzędną na przeciwną. W ten sposób tworzymy nowy atlas w którym współczynniki funkcyjne przy współrzędnościowych n-formach dla formy ω są dodatnie. Skądinąd wiadomo, że na przecięciu dwóch map współczynniki te różnią się o jacobian zamiany zmiennych. Oznacza to, że wszystkie te jacobiany są dodatnie. Poprawiony przez nas atlas jest zgodny, tzn w szczególności może zadawać orientację na M. Orientację na rozmaitości możemy więc zadać wskazując w zgodny sposób orientację każdej z przestrzeni stycznych, wskazując zgodny atlas lub wskazując niezerową formę. Orientacja zadawana przez formę, to ta orientacja przy której współczynniki funkcyjne w zapisie formy we współrzędnych są dodatnie. Formy tego rodzaju nazywa się często formami objętości. Całkowanie form różniczkowych. Na analizie zdefiniowano całkę Riemanna po nadającym siędocałkowaniaobszarzedwr n.nadającysiędocałkowaniaoznaczałmierzalnywsensie Jordana. Całkę Riemanna definiuje się korzystając z umiejętności liczenia objętości małych kostekwr n,wykorzystujączatemstrukturęmetryczną.narozmaitościniemamytejstruktury, 5
6 6 a próba skorzystania ze współrzędnych prowadzi do niepowodzenia. Nie możemy zdefiniować całkizfunkcjifnarozmaitościdjakocałkizf ϕ 1 poobszarze,nawetzakładając,że mieści się on w dziedzinie jednej mapy, ponieważ wynik całowania zależał będzie od wybranych współrzędnych.całkawmapie(o,ϕ)to zaścałkawmapie(u,ψ)to f ϕ 1, ψ(d) f ψ 1. Całki te nie są równe, gdyż(zgodnie z twierdzeniem o zamianie zmiennych) f ϕ 1 = f ψ 1 det[ψ ϕ 1 ]. ψ(d) Do całkowania po obszarze na rozmaitości potrzebujemy więc obiektu, który transformuje się z jacobianem zamiany zmiennych, czyli n-formy. Przyjrzyjmy się najpierw uproszczonej sytuacji, gdyobszardmieścisięwdziedziniejednej(anawetdwóch)map.niechtakżeωbędzien-formą nam.jejwyrażeniawewspółrzędnychwobumapach(o,ϕ=(x 1,...,x n ))to Funkcjeaibzwiązanesąrównością ω=a(x)dx 1 dx n, ω=b(y)dy 1 dy n. a(x)=b(ψ ϕ 1 (x))det[ϕ ψ 1 ] zatemcałkimogąróżnićsięconajwyżejoznak. b= b ψ ϕ 1 det[ϕ ψ 1 ] =± ψ(d) Kłopot ze znakiem bierze się z faktu, że wyznacznik jacobianu może być zarówno dodatni jak i ujemny. Wyjściem z tej sytuacji jest zdefiniowanie całki po obszarze zorientowanym. Wybór konkretnej orientacji pozwala używać jedynie współrzędnych zgodnych z orientacją. Możemy już zdefiniować całkę po obszarze D z orientacją ı w uproszczonej sytuacji, gdy cały obszar mieści się w dziedzinie jednej mapy: ω= a ϕ 1, ω=adx 1 dx n (D,ı) gdzie(o,ϕ)jestmapązgodnązorientacją.gdyobszardniemieścisięwdziedziniejednej mapypotrzebujemyrozkładujedności.weźmylokalnieskończonyatlas(o i,ϕ i ) i I zgodnyz orientacjąıirozkładjedności(α i ) i I związanyztymatlasem.wsposóbtrywialnyprawdąjest, że ω(p)= i Iα i ω(p) CałkęzformyωpoobszarzeDzorientacjąımożemyterazzdefiniowaćwzorem (α i ϕ 1 )(ω i ϕ 1 ) (D,ı)= i I ϕ i (D O i ) Dla zwartego obszaru D jedynie skończona liczba składników jest niezerowa. a.
7 Przykład2.Obliczyćcałkęzformyω=dy dzpofragmenciesferys 2 dlaktóregox 0 iz 0zorientacjązadanąprzezbazęwektory(, )pochodząceodsferycznegoukładu θ ϕ współrzędnych. Formaωzdefiniowanajestna R 3.ŻebyjąscałkowaćpoS 2 trzebająnajpierwobciąćdos 2.W tymceluzapisujemywłożenieκ:s 2 R 3 wewspółrzędnych: κ(θ,ϕ)=(cosϕsinθ,sinϕsinθ,cosθ). Obcięcie formy do sfery realizuje się jako pull-back za pomocą włożenia: κ ω=d(sinϕsinθ) d(cosθ)=(cosϕsinθdϕ+sinϕcosθdθ) ( sinθdθ)= (cosϕsinθd) ( sinθdθ)= cosϕsin 2 θdϕ dθ Kolejność współrzędnych zgodna z orientacją jest(θ, ϕ), więc formę zapisać należy jako ω= cosϕsin 2 θdϕ dθ=cosϕsin 2 θdθ dϕ Obszarcałkowaniawewspółrzędnych(θ,ϕ)to[0, π 2 ] [ π 2,π].Ostatecznie 2 π π ω= cosϕsin 2 2 θ= sin 2 2 θdθ cosϕdϕ= π 4 2=π (D,ı) [0, π 2 ] [ π 2,π 2 ] 0 2 π 2 7
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów
Bardziej szczegółowoGeometria Różniczkowa I
Geometria Różniczkowa I wykład drugi Powierzchnie zanurzone, o których rozmawialiśmy na poprzednim wykładzie są bardzo istotną klasą przykładów rozmaitości różniczkowych. Pod koniec dzisiejszego wykładu
Bardziej szczegółowoz pokryciem (O i ) i I rozkładu jedności (α i ) i I. Zauważmy najpierw, że ( i I α i )ω dω = d(1 ω) = d d(α i ω). Z drugiej jednak strony
Dowód: Niech M będzie jak w założeniach twierdzenia. Weźmy skończony atlas O i, ϕ i ) na M zgodny z orientacją. Zbiór indeksów I może być skończony, gdyż rozmaitość M jest zwarta. Õi, ϕ i ) oznaczać będzie
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ i 18 listopada 2011
Wykład 11 i 12 Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 15 i 18 listopada 2011 Zanim przejdziemy do formułowaniu lematu Poincaré musimy zdefiniować pojęcie transportu formy. Dyskutowaliśmy już wcześniej
Bardziej szczegółowoRys. 11: Pomocne wykresy.
3 2 1 0-1 -2-3 -10-8 -6-4 -2 0 Rys. 11: Pomocne wykresy. wszystkim πe t = πe s +2πl dla l Z, tzn e s = e t +2l. Potrzeba ponadto także aby (e t 1) 2 = (e s 1) 2. Wstawiając do drugiego warunku konsekwencję
Bardziej szczegółowo5.6 Klasyczne wersje Twierdzenia Stokes a
Ostatecznie f = 1 r 2 f ) r 2 r r + ctg ϑ f r 2 ϑ + 1 2 f r 2 ϑ + 1 2 2 f r 2 sin 2 ϑ ϕ 2 56 Klasyczne wersje Twierdzenia Stokes a Odpowiedniość między polami wektorowymi i jednoformami lub n 1)-formami
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 30 grudnia 2013 1 Całkowanie form różniczkowych 11 Klasyczne wersje Twierdzenia Stokes a W tej części zajmiemy się interpretacją poniższych
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowo3. Iloczyn zewnętrzny w ogólności nie jest przemienny, ale zachodzi wzór:
2 Iloczyn zewnętrzny jest łączny, tzn: (α β) γ α (β γ) 3 Iloczyn zewnętrzny w ogólności nie jest przemienny, ale zachodzi wzór: α β ( 1) kl β α Dowód: Punkt (1) wynika łatwo z definicji Dowód punktu (2)
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 17 listopada 2013 1 Wielokowektory i wieloformy na powierzchni Poprzedni wykład zakończyliśmy na sformułowaniu następującego faktu:
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoKryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 22 października 2013 1 Przestrzeń styczna i kostyczna c.d. Pora na podsumowanie: Zdefiniowaliśmy przestrzeń styczną do przestrzeni afinicznej
Bardziej szczegółowoZadania o transferze
Maria Donten, 5.12.2007 Zadania o transferze 1. Oznaczenia, założenia i przypomnienia Przez M i M będziemy oznaczać rozmaitości gładkie, przy czym M nakrywa M. Przyjmujemy, że gładkie odwzorowanie p :
Bardziej szczegółowoGrupa klas odwzorowań powierzchni
Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoGeometria Różniczkowa II wykład piąty
Geometria Różniczkowa II wykład piąty Wykład piąty poświęcony będzie pojęciu całkowalności dystrybucji oraz fundamentalnemu dal tego zagadnienia twierdzeniu Frobeniusa. Przy okazji postanowiłam sprawdzić
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoWykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 5 Matematyka 3, semestr zimowy / 9 listopada W trakcie tego i następnych kilku wykładów zajmować się będziemy analizą zespoloną, czyli różniczkowaniem i całkowaniem funkcji argumentu zespolonego
Bardziej szczegółowoAnaliza II.2*, lato komentarze do ćwiczeń
Analiza.2*, lato 2018 - komentarze do ćwiczeń Marcin Kotowski 5 czerwca 2019 1 11 2019, zadanie 2 z serii domowej 1 Pokażemy, że jeśli f nie jest stała, to całka: f(x f(y B B x y dx dy jest nieskończona.
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I 7 października 23 Powierzchnie zanurzone Tegoroczna wersja wykładu z geometrii różniczkowej będzie różniła się od poprzedniej kolejnością materiału. Zgodnie z
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowo, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.
Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +
Bardziej szczegółowoWykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 1 listopada 013 1 Odwzorowanie styczne i cofnięcie formy cd: 1.1 Transport pola wektorowego i cofnięcie formy W poprzednim paragrafie
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład 2. Paweł Staszel
Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =
Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia 6 3 4 5 6 7 8 9 Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 6 stycznia 014 1 Różniczkowanie pól i form 1.1 Pochodna kowariantna Zobaczmy jak we współrzędnych wyglądać będzie równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Bardziej szczegółowoTopologia I Wykład 4.
Topologia I Wykład 4. Stefan Jackowski 24 października 2012 Przeciąganie topologii przez rodzinę przekształceń X zbiór. f = {f i : X Y i } i I rodziną przekształceń o wartościach w przestrzeniach topologicznych
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba
Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba): E = Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej przypisujący
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoZajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoCałki powierzchniowe w R n
Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści
Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd. 5. - Warszawa, 2010 Spis treści Wstęp 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe 13 1. Zbiory 13 2. Działania na zbiorach 14 3. Produkty kartezjańskie 15 4. Relacje
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ MACIERZE ODWZOROWAŃ LINIOWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 MACIERZE ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 12, 08.01.2014 Typeset by Jakub Szczepanik. Motywacje 2/10 W celu wykonania obliczeń numerycznych w zagadnieniach
Bardziej szczegółowoPodstawy teoretyczne na egzamin z MMFiA II.
Podstawy teoretyczne na egzamin z MMFiA II. Bartłomiej Dębski 14 lutego 2010 Streszczenie Oddaję w ręce Czytelników krótki przegląd zagadnień omawianych w ramach egzaminu z MMFiA II. Znajdują się tutaj
Bardziej szczegółowoTopologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 7. Klasyfikacja homotopijna odwzorowań
Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 7. Klasyfikacja homotopijna odwzorowań Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 31 stycznia 2011 1 Odwzorowania w sfery Wykażemy, że klasa homotopii odwzorowania
Bardziej szczegółowo1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.
WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoGeometria Różniczkowa I
Geometria Różniczkowa I wykład trzeci NiechC (M)oznaczazbiórwszystkichgładkichfunkcjinarozmaitościM.C (M)jestrzeczywistą, przemienną algebrą z jedynką. Istotną rolę w geometrii różniczkowej odgrywają homomorfizmy
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowo14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoWykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoAlgebraiczne własności grup klas odwzorowań
Algebraiczne własności grup klas odwzorowań Michał Stukow Uniwersytet Gdański Forum Matematyków Polskich 7 września 2006 1 Definicje i przykłady 2 Zastosowania 3 Skręcenia Dehna 1 Definicje i przykłady
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoTopologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowo1 Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych
Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych 2. Wektory. 2.. Wektor jako n ka liczb W fizyce mamy do czynienia z pojęciami lub obiektami o różnym charakterze. Są np. wielkości,
Bardziej szczegółowo