Analiza II.2*, lato komentarze do ćwiczeń
|
|
- Antoni Janiszewski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Analiza.2*, lato komentarze do ćwiczeń Marcin Kotowski 5 czerwca , zadanie 2 z serii domowej 1 Pokażemy, że jeśli f nie jest stała, to całka: f(x f(y B B x y dx dy jest nieskończona. Szacując jak na ćwiczeniach, mamy: ( f(x f(y B B x y dx Df y (x y dy B B x y dx dy C gdzie C to skończony fragment powstały z reszty we wzorze Taylora. Zamieniając zmienne możemy równoważnie szacować całkę: Df y (z dz dy B B y z Jeśli f nie jest stała, to dla pewnego y 0 B mamy Df y0 0. Załóżmy bez straty ogólności, że Df y0 = 1. Z ciągłości pochodnej możemy wybrać ε > 0 dostatecznie małe, by B(y 0, ε B(0, 1 oraz dla każdego y B(y 0, ε zachodziło Df y 1. Dobierzmy również δ > 0 tak, 2 by dla każdego y B(y 0, ε zachodziło B(0, δ B(0, 1 y. Możemy więc szacować: ( Df y (z ( Df y (z f y, z dz dy dz dy = B B y z B(y 0,ε B(0,δ z B(y 0,ε B(0,δ z dz dy Zauważmy, że ze względu na niezmienniczość całki oraz iloczynu skalarnego na obroty możemy zastosować izometrię U taką, że U f y = λe 1, by otrzymać: f y, z B(0,δ z B(0,δ dz = λ e 1, z z dz 1 e 1, z dz 2 B(0,δ z gdzie λ 1, gdyż f 2 y = Df y 1. Ostatnia całka zaś jest rozbieżna, bowiem po 2 przejściu do współrzędnych sferycznych mamy e 1, z = z 1 = rf(φ (gdzie f(φ oznacza nieistotną tu część kątową, więc: e 1, z B(0,δ z dz = δ r δ dr 0 r rn 1 dr J(φ f(φ dφ = C 0 r = + 1
2 2 3 V 2019, kohomologie torusa 2.1 Torus 2-wymiarowy Niech π i : S 1 S 1 S 1 będzie rzutowaniem na i-tą współrzędną. Rozpatrujemy zorientowane dodatnio krzywe γ 1, : [0, 2π] S 1 S 1 : γ 1 (t = (e it, 1 (t = (1, e it Rozpatrujemy θ i := πi θ. Zauważmy, że rozpatrując torus T 2 jako R 2 \Z 2 i odwzorowanie ilorazowe p : R 2 T 2 mamy p θ i = dx i (dlaczego?. Wybierając w T x (S 1 S 1 = T x S 1 T x S 1 bazę złożoną z wektorów stycznych do krzywych γ 1,, łatwo zobaczyć, że (θ 1 x (v, w = v oraz (θ 2 x (v, w = w. Pokażemy najpierw, że γ i θ j = 2π dla i = j i 0 dla i j. Obliczamy: θ i = γ i πi θ = γ i θ = 2π π γ i Przedostatnia równość wynika ze wzoru na zamianę zmiennych dla całkowania 1-form. Alternatywnie, możemy obliczyć wprost z parametryzacji np. dla i = 1: 2π 2π θ 1 = θ γ1 (t(γ 1(tdt = θ γ1 (t((1, 0dt = 2π γ Aby pokazać, że np. θ 1 = 0, mamy z zamiany zmiennych: θ 1 = π1θ = θ = 0 π 1 gdyż π 1 jest pętlą stale równą 1. Lemma 1. Niech M będzie rozmaitością, x, y M i niech η 1, η 2 : [0, 1] M będą dwiema gładkimi krzywymi takimi, że η 1 (0 = η 2 (0 = x, η 1 (1 = η 2 (1 = y. Załóżmy, że η 1 i η 2 są gładko homotopijne z zachowaniem końców. Wtedy dla dowolnej zamkniętej 1-formy ω mamy η 1 ω = η 2 ω. Dowód. Analogicznie jak dla M = R n, który to przypadek udowodniliśmy na ćwiczeniach Proszę prześledzić dowód i zwrócić uwagę, że tak samo, jak w R n, na dowolnej rozmaitości każda zamknięta 1-forma jest lokalnie dokładna. Alternatywny dowód korzysta z tw. Stokesa. Rozpatrzmy dwie pętle η 1, η 2 : S 1 M oraz zamkniętą 1-formę ω na M. Niech H : S 1 [0, 1] M będzie gładką homotpią pomiędzy η 1 i η 2. Mamy: 0 = H dω = dh ω = H ω = S 1 [0,1] S 1 [0,1] (S 1 [0,1] H ω H ω = η1ω η0ω S 1 {1} S 1 {0} S 1 S 1 Czyli S 1 η 1ω = S 1 η 0ω, a to oznacza po prostu równość całek po pętlach. 2
3 Rozpatrzmy dowolną gładką pętlę γ : [0, 1] T 2, γ(0 = γ(1 = (1, 1. Grupa podstawowa torusa jest izomorficzna z Z 2 i jest generowana przez pętle γ 1,, a więc γ jest homotopijna z pętlą γ k,l postaci kγ 1 + l dla pewnych k, l Z (gdzie plus oznacza konkatenację pętli. Aby móć skorzystać z Lematu 1, musimy mieć gładką homotopię pomiędzy γ a γ k,l. stnienie takiej gładkiej homotopii wynika z następującego twierdzenia. Twierdzenie 2. Niech M będzie rozmaitością z brzegiem, N rozmaitością bez brzegu oraz f : M N odwzorowaniem ciągłym. Wtedy f jest homotopijne z odwzorowaniem gładkim. Jeśli f jest gładka na domkniętym podzbiorze A M, homotopię można wybrać tak, by zachowywała A. Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli H : S 1 [0, 1] M jest ciągłą homotopią pomiędzy krzywymi η 1 i η 2, to H jest homotopijna (jako odwzorowanie S 1 [0, 1] M z gładką homotopią H przy zachowaniu S 1 {0}, S 1 {1}. Nietrudno zobaczyć, że wtedy H jest homotopią pomiędzy η 1 i η 2. Dowód Twierdzenia 2 można znaleźć np. w ntroduction to smooth manifold Lee (Theorem Oczywiście twierdzenie to jest znacznie ogólniejsze, niż nam potrzeba. Samo stwierdzenie, że całki z zamkniętych 1-form po homotopijnych (niekoniecznie gładko krzywych są równe, można udowodnić na piechotę (proszę dać znać, to znajdę referencję z przystępnym dowodem albo napiszę sam. Dla dowolnej 1-formy ω mamy więc: γ ω = ω = k ω + l kγ 1 +l γ 1 Niech teraz ω będzie formą zamkniętą i niech c i := 1 2π γ i ω. Dla dowolnej pętli γ mamy: (ω c 1 θ 1 c 2 θ 2 = k γ (ω c 1 θ 1 c 2 θ 2 + l γ 1 (ω c 1 θ 1 c 2 θ 2 = 0 Ponieważ ω c 1 θ 1 c 2 θ 2 ma całkę zero po każdej gładkiej pętli γ, jest różniczką pewnej formy, czyli: ω c 1 θ 1 c 2 θ 2 = dα Wynika stąd, że klasy form [θ 1 ], [θ 2 ] generują H 1 (T 2 i izomorfizm f : H 1 (T 2 R 2 zadany jest przez f([ω] := ( 1 2π γ 1 ω, 1 2π γ 1 ω (to nie zależy od wyboru reprezentanta [ω], gdyż z tw. Stokesa γ i dα = Torus n-wymiarowy Obliczymy teraz kohomologie n-wymiarowego torusa = S 1 S 1. (a Pokazaliśmy na ćwiczeniach, że dla dowolnego g odwzorowanie L g jest gładko homotopijne z identycznością, a więc, na mocy zadania z pracy domowej, L g = id jako odwzorowanie kohomologii. ω 3
4 (b W ogólności, rozpatrzmy formę ω(g zależną od parametru g, taką, że dla dla dowolnego x i v 1,..., v k T x funkcja g ω(g x (v 1,..., v k jest gładka. Możemy wtedy określić formę ω(gdµ(g wzorem: ( ω(gdµ(g x (v 1,..., v k := (ω(g x (v 1,..., v k dµ(g Łatwo sprawdzić, że ω(gdµ(g istotnie jest gładką formą różniczkową. Jeśli f : jest gładkim odwzorowaniem, to dla dowolnego x i v 1,..., v k T x mamy: ( (f T ω(gdµ(g x (v 1,..., v k = ω(g f(x dµ(g (f v 1,..., f v k = n T ( n ω(gf(x (f v 1,..., f v k dµ(g = ((f ω(g x (v 1,..., v k dµ(g czyli można wejść z f pod całkę. Rozpatrzmy teraz formę: ω = L gωdµ(g Pokażemy, że ω jest niezmiennicza. Kładąc ω(g = L gω otrzymujemy dla dowolnego h : L hω = L h L gωdµ(g = L hl gωdµ(g = L ghωdµ(g = L gωdµ(g = ω gdzie w przedostatniej równości skorzystaliśmy z niezmienniczości miary Haara. Dla dowolnej zamkniętej formy ω mamy [ω] = [ω]. stotnie, dla dowolnego g odwzorowanie L g : H k ( H k ( jest identycznością, a więc [L gω] = [ω], czyli L gω = ω + dα g. Tak więc: ω = L gωdµ(g = ωdµ(g + ( dα g dµ(g = ω + d α g dµ(g gdyż dµ = 1. Fakt, że można z d wejść pod całkę, sprawdzamy analogicznie jak dla f. (c Dla każdego punktu x rozpatrzmy otoczenie U = (e it 1 x,..., e itn x, gdzie t i ( ε, ε dla małego ε > 0, rozpatrzmy V = ( t 1, t 1 ( t n, t n oraz dyfeomorfizm ϕ : V U, ϕ(s 1,..., s n = (e is 1 x,..., e isn x. W tych współrzędnych wszystkie odwzorowania L g, dla g dostatecznie bliskich identyczności, działają jak przesunięcia. Dokładniej, rozpatrzmy formy dx 1,..., dx n na V. W tych współrzędnych dowolna k-forma ω zapisuje się jako: ϕ ω = f dx gdzie = k i f : V R są gładkimi współczynnikami (czasem w takich przypadkach standardowo przeciążamy notację i piszemy ω zamiast ϕ ω. Dla dowolnego 4
5 g = (e is 1,..., e isn takiego, że s i V, mamy L g ϕ = ϕ T g, gdzie T g jest przesunięciem o wektor s = (s 1,..., s n. A więc forma L gω wyraża się we współrzędnych jako: ϕ L gω = (L g ϕ ω = (ϕ T g ω = Tg φ ω = Tg f dx = T g f dx gdyż formy dx i są niezmiennicze na translacje. Ponieważ Tg f (y = f (y + s, niezmienniczość formy ω wymusza, że współczynniki f są lokalnie stałe. loczyny zewnętrzne form kątowych θ i1 θ ik są po prostu przeciągnięciami form dx i1 dx ik we współrzędnych jak wyżej. Wynika stąd ich liniowa niezależność oraz, na mocy obserwacji o stałych współczynnikach, fakt, że każda forma niezmiennicza jest ich kombinacją liniową. (d Rozpatrzmy formy stopnia k + 1 i przypuśćmy, że mamy [ c θ ] = 0 H k+1 ( dla pewnych współczynników c. Oznacza to, że: c θ = dα dla pewnej k-formy α. Forma α niekoniecznie jest niezmiennicza, ale istnieje forma niezmiennicza β taka, że dα = dβ. stotnie, niech β := α, mamy wtedy dβ = dα = dα = ( c θ = c θ = dα, bo formy niezmiennicze θ są punktami stałymi. Ponieważ β jest k-formą niezmienniczą, musi być postaci: β = J d J θ J gdzie J = k. Ale formy θ j są wszystkie zamknięte, a więc dβ = 0, co dowodzi, że wszystkie współczynniki c = 0. Kończy to dowód, że H k ( R (n k. 2.3 Torus 2-wymiarowy, ciąg Mayera-Vietorisa Zapiszmy T 2 = U V, gdzie U = S 1 ( ε, π + ε, V (π ε, 2π + ε (parametryzujemy kawałek okręgu kątem są zbiorami otwartymi powstałymi z przecięcia torusa pionowo na pół (tak, że U V składa się dwóch rozłącznych zbiorów, z których każdy jest homotopijnie równoważny z okręgiem. Oba zbiory U, V również są homotopijne z okręgiem. Wynika stąd, że H 0 (U = H 0 (V = R, H 0 (U V = R 2 (bo są dwie spójne składowe, H 1 (U = H 0 (V = R, H 1 (U V = R 2 (bo znamy kohomologie S 1, H 2 (U = H 2 (V = H 2 (U V = 0. Wiemy także, że H 0 (T 2 = R. W ciągu Mayera-Vietorisa niewiadome są więc jedynie H 1 (T 2 oraz H 2 (T 2 (choć z jednego z zadań domowych wiadomo, że H n (M = R dla rozmaitości wymiaru n, więc w szczególności H 2 (T 2 = R. Aby obliczyć H 1 (T 2, przyjrzyjmy się fragmentowi ciągu: 0 H 0 (T 2 H 0 (U H 0 (V H 0 (U V H 1 (T 2 H 1 (U H 1 (V H 1 (U V 5
6 Dokładność ciągu i prosty rachunek na wymiarach pokazuje, że dla δ 0 : H 0 (U V H 1 (T 2 mamy kerδ 0 = imδ 0 = R. mplikuje to, że dimh 1 (T 2 {1, 2, 3} co najmniej 1, bo zawiera obraz δ 0, a co najwyżej 3, bo inaczej jądro i : H 1 (T 2 H 1 (U H 1 (V = R 2 miałoby wymiar co najmniej 2, a keri = imδ 0 = R. Kluczową strzałką jest i V i U : H 1 (U H 1 (V H 1 (U V i obserwacja, że jądro i V i U ma wymiar 1. Przypomnijmy, że (i V i U([ω], [τ] = [τ ω]. Jądro i V i U na pewno nie jest trywialne, gdyż np. jeśli weźmiemy formę kątową θ 1 i ω = θ 1 U, τ = θ 1 V, to [ω] 0, [τ] 0 (bo całki po pętli γ 1 nie znikają, ale [ω τ] = 0, bo ω = τ na U V. Jednak i V i U nie może być również odwzorowaniem zerowym, gdyż np. dla ω jak wyżej mamy (i V i U([ω], 0 = [ω] i to jest 0, znów dlatego, że całka nie znika. Z powyżśzych rozważań oraz dokładności ciągu wynika, że nie może być H 1 (T 2 = R (bo wtedy i V i U byłoby izomorfizmem ani H 1 (T 2 = R 3 (bo wtedy i : H 1 (T 2 H 1 (U H 1 (V byłoby na, więc i V i U byłoby zerowe. A więc H 1 (T 2 = R 2. Łatwo obliczyć H 2 (T 2 patrząc na fragment ciągu: H 1 (U H 1 (V H 1 (U V H 2 (T 2 0 Mamy bowiem, że δ 1 : H 1 (U V H 2 (T 2 jest na. Ale kerδ 1 = im(i V i U = R, co wobec H 1 (U V = R 2 daje H 2 (T 2 = R. 6
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ i 18 listopada 2011
Wykład 11 i 12 Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 15 i 18 listopada 2011 Zanim przejdziemy do formułowaniu lematu Poincaré musimy zdefiniować pojęcie transportu formy. Dyskutowaliśmy już wcześniej
Bardziej szczegółowoz pokryciem (O i ) i I rozkładu jedności (α i ) i I. Zauważmy najpierw, że ( i I α i )ω dω = d(1 ω) = d d(α i ω). Z drugiej jednak strony
Dowód: Niech M będzie jak w założeniach twierdzenia. Weźmy skończony atlas O i, ϕ i ) na M zgodny z orientacją. Zbiór indeksów I może być skończony, gdyż rozmaitość M jest zwarta. Õi, ϕ i ) oznaczać będzie
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoZadania o transferze
Maria Donten, 5.12.2007 Zadania o transferze 1. Oznaczenia, założenia i przypomnienia Przez M i M będziemy oznaczać rozmaitości gładkie, przy czym M nakrywa M. Przyjmujemy, że gładkie odwzorowanie p :
Bardziej szczegółowoCałki powierzchniowe w R n
Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe wiadomości wstępne
Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoLokalizacja ekwiwariantnych teorii kohomologii
Lokalizacja ekwiwariantnych teorii kohomologii Stanisław Szawiel 18 maja 2008 1 Preliminaria 1.1 Kilka faktów o lokalizacji algebraicznej Potrzebujemy kilku prostych faktów o lokalizacji algebraicznej.
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowo6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek
6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek Mówimy, że funkcja holomorficzna f ma w punkcie a zero krotności k, jeśli f(a) = f (a) = = f (k ) (a) = 0, f (k) (a) 0. Rozwijając f w szereg Taylora w otoczeniu
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowo5.6 Klasyczne wersje Twierdzenia Stokes a
Ostatecznie f = 1 r 2 f ) r 2 r r + ctg ϑ f r 2 ϑ + 1 2 f r 2 ϑ + 1 2 2 f r 2 sin 2 ϑ ϕ 2 56 Klasyczne wersje Twierdzenia Stokes a Odpowiedniość między polami wektorowymi i jednoformami lub n 1)-formami
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =
Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia 6 3 4 5 6 7 8 9 Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe
opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba
Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba): E = Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 22 października 2013 1 Przestrzeń styczna i kostyczna c.d. Pora na podsumowanie: Zdefiniowaliśmy przestrzeń styczną do przestrzeni afinicznej
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowo3. Iloczyn zewnętrzny w ogólności nie jest przemienny, ale zachodzi wzór:
2 Iloczyn zewnętrzny jest łączny, tzn: (α β) γ α (β γ) 3 Iloczyn zewnętrzny w ogólności nie jest przemienny, ale zachodzi wzór: α β ( 1) kl β α Dowód: Punkt (1) wynika łatwo z definicji Dowód punktu (2)
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoGeometria Różniczkowa I
Geometria Różniczkowa I wykład ósmy Orientacja przestrzeni wektorowej. Mówimy, że dwie bazy e i f w skończenie-wymiarowej przestrzeniwektorowejv mająjednakowąorientacjęjeślimacierzprzejścia[id] f e madodatni
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 30 grudnia 2013 1 Całkowanie form różniczkowych 11 Klasyczne wersje Twierdzenia Stokes a W tej części zajmiemy się interpretacją poniższych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoRozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Bardziej szczegółowoAnaliza I.2*, lato 2018
Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład 2. Paweł Staszel
Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu
Bardziej szczegółowo28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Bardziej szczegółowoSystem BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10
System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki
Bardziej szczegółowoTopologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne
Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Agnieszka Bojanowska, Stefan Jackowski 9 czerwca 2013 1 Kompleksy łańcuchowe Zad. 1. Niech I będzie odcinkiem w kategorii kompleksów łańcuchowych, czyli kompleksem
Bardziej szczegółowoSumy kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera. Lemat Minkowskiego
Sumy kwadratów TWIERDZENIE LAGRANGE A Każda liczba naturalna da się przedstawić w postaci sumy czterech kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera Każda liczba pierwsza postaci 4k + 1 daje się przedstawić w
Bardziej szczegółowoKryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoRozdział 3. Tensory. 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych
Rozdział 3 Tensory 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty P są scharakteryzowane przez współrzędne kartezjańskie wektora wodzącego r = x 1 i 1 + x 2 i 2 +
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowo2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoWykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 5 Matematyka 3, semestr zimowy / 9 listopada W trakcie tego i następnych kilku wykładów zajmować się będziemy analizą zespoloną, czyli różniczkowaniem i całkowaniem funkcji argumentu zespolonego
Bardziej szczegółowoAlgebry skończonego typu i formy kwadratowe
Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoTopologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 17 listopada 2013 1 Wielokowektory i wieloformy na powierzchni Poprzedni wykład zakończyliśmy na sformułowaniu następującego faktu:
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowo4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady
Zmienne losowe i ich rozkłady 29 kwietnia 2019 Definicja: Zmienną losową nazywamy mierzalną funkcję X : (Ω, F, P) (R n, B(R n )). Definicja: Niech A będzie zbiorem borelowskim. Rozkładem zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoR k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0
Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowo1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.
WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R
Bardziej szczegółowoGeometria Różniczkowa II wykład piąty
Geometria Różniczkowa II wykład piąty Wykład piąty poświęcony będzie pojęciu całkowalności dystrybucji oraz fundamentalnemu dal tego zagadnienia twierdzeniu Frobeniusa. Przy okazji postanowiłam sprawdzić
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoRedukcja wariancji w metodach Monte-Carlo
14.02.2006 Seminarium szkoleniowe 14 lutego 2006 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda
Bardziej szczegółowo