Instrumenty o stałym dochodzie

Transkrypt

1 Jerzy A. Dzieża Instruenty o stały dochodzie 22 września 20 roku

2 Spis treści Rozdział. Eleenty arytetyki finansowej Wartość pieniądza w czasie - jedna płatność Kapitalizacja prosta Instruenty rynku pieniężnego Kapitalizacja złożona Kapitalizacja ciągła Porównywanie stóp: efekt kapitalizacji Stopa spot Stopa forward Rozdział 2. Wartość pieniądza w czasie struień płatności Wartość dzisiejsza struienia płatności Renty Wartość przyszła ciągu płatności Wycena obligacji Stopa par Rynki obligacji Kwotowania obligacji na rynku Inne iary stopy zwrotu Y T M portfela obligacji Zależność cena stopa zwrotu w terinie do wykupu obligacji Rozdział 3. Struktura terinowa stóp procentowych Wyznaczanie krzywej 0-kuponowej Metoda bezpośrednia Metoda bootstrapu Stopa forward i krzywa forward Krzywa par Teorie struktury terinowej stopy procentowej Rozdział 4. Ryzyko stopy procentowej Ryzyko inwestowania w obligacje czynnikowe iary zienności cen obligacji

3 III 4.3. Duration obligacji Duration obligacji w odelu kapitalizacji ciągłej Duration obligacji w odelu kapitalizacji dyskretnej Iunizacja portfela obligacji Osłona portfela obligacji Wypukłość obligacji Bibliografia

4

5 Rozdział Eleenty arytetyki finansowej Czas to pieniądz. Stara prawda Nie robię przysług. Zadłuża się. Motto starożytnego Sycylijczyka Ile jesteśy w stanie zapłacić dzisiaj za ożliwość otrzyania 000 zł za rok? Czy zainwestowanie dziś kwoty 900 zł byłoby dobry posunięcie? Przypuśćy, że za 20 lat przechodziy na eeryturę i będziey potrzebować 00 tys. zł rocznie. Ile usiy zainwestować dzisiaj, aby osiągnąć wyznaczony cel, jeśli ożna inwestować środki pieniężne na przykład na 8% w skali roku? Decyzje finansowe dotyczą zysków i kosztów, które są ponoszone lub uzyskiwane w różny czasie. Inwestorzy uszą więc porównać określone kwoty pieniężne w różnych okresach. Z racji tej, że wycena papierów dłużnych opiera się na pojęciu wartości pieniądza w czasie tie value of oney), przyponiy sobie na początku podstawowe idee z ty związane. Wartość pieniądza w czasie odwołuje się do prostej zasady, że złotówka dzisiaj którą ay w ręku) jest więcej warta 00 zł 00 zł t = 0 t = czas t = 0 t = czas Rysunek.. Kapitalizacja i dyskontowanie

6 2. Eleenty arytetyki finansowej niż przyrzeczona) złotówka w przyszłości. Istnieją ku teu przynajniej trzy powody: posiadane środki ożey zainwestować np. założyć lokatę w banku) i otrzyać odsetki, czyli powiększyć kapitał początkowy, siła nabywcza naszych pieniędzy zienia się w czasie ze względu na inflację, przyszłe wpływy pieniężne są niepewne występuje ryzyko kredytowe credit risk, default risk) proble szczególnie ważny we współczesnych finansach). Odpowiey sobie na pytania: Ile wynosi wartość przyszła pewnej kwoty pieniędzy danej dzisiaj? Ile wynosi wartość dzisiejsza pewnej kwoty pieniędzy danej w ustalonej przyszłej chwili? Te rozważania przeprowadziy w sytuacji, gdy będziey ieć tylko jedną płatność przepływ pieniężny) oraz ciąg płatności w analizowany horyzoncie inwestycyjny. Zaczniey od najprostszej sytuacji, gdy odsetki nie są dopisywane do kapitału początkowego. Zate kwoty pieniężne będziey przesuwać po osi czasu. Przesunięcie kwot pieniężnych od ustalonej chwili w przyszłość będziey nazywać kapitalizacją natoiast przesunięcie kwot pieniężnych od ustalonej chwili wstecz dyskontowanie. W dalszy ciągu będziey zakładać, że wszystkie analizowane instruenty dłużne nie ają ryzyka kredytowego, co oznacza, że eitent instruentu zawsze wywiąże się ze swoich zobowiązań. Czyli wszystkie przyrzeczone płatności będą zrealizowane. Pokażey, że wartość pieniądza w czasie ożey opisać w języku stopy spot, czynnika dyskontowego oraz stopy forward... Wartość pieniądza w czasie - jedna płatność Najprostszy wyraze ziany wartości pieniądza w czasie są ziany wartości konta bankowego. Załóży, że na konto bankowe zostaje wpłacona kwota P V. Po rozpatrywany okresie przyjie ona wartość F V. Wartość P V będziey nazywać wartością teraźniejszą present value), natoiast wartość F V wartością przyszłą future value). Różnicę F V P V nazyway odsetkai. Wartość przyszła F V pewnej kwoty pieniężnej będzie zależała od tego czy: Proces odwrotny do inflacji - deflacja, sugeruje odroczenie konsupcji w czasie.

7 .. Wartość pieniądza w czasie - jedna płatność 3 t = 0 P V rt P V P V t = T czas t = 0 P V F V t = T czas Rysunek.2. Wartość przyszła w kapitalizacji prostej z dołu. odsetki są płacone tylko od noinału czyli kapitalizacja prosta siple interest), dodatkowo od narosłych odsetek czyli kapitalizacja złożona copound interest).... Kapitalizacja prosta Przypuśćy, że dysponujey w chwili obecnej kwotą pieniężną w wysokości P V złotych. Załóży, że stopa procentowa dla rocznych depozytów wynosi r > 0 i że nie ulegnie zianie w ciągu roku. Gdy złożyy pieniądze w banku na rok, uzyskay kwotę r P V odsetek. Liczbę r nazyway roczną) stopą oprocentowania. W dalszej części będziey stosować konwencję, że wszystkie stopy procentowe są zawsze podawane w skali roku. To ułatwia ich porównywanie i upraszcza zapis. Kapitalizacja prosta oznacza, że odsetki nie są dopisywane do kapitału. Zakładając, że stopa procentowa pozostaje stała, po kolejny roku ay dodatkowo rp V odsetek, co daje raze 2rP V odsetek. Ogólnie, po czasie T ierzony w latach uzyskujey T rp V odsetek, czyli przyszła wartość future value) F V kwoty pieniężnej P V po czasie T wyniesie F V = P V + rt ).) Zauważy, że na wartość przyszłą składa się kapitał P V oraz odsetki rt P V rys..2). Podkreśly, że odsetki płacone są z dołu.

8 4. Eleenty arytetyki finansowej Przykład. Przypuśćy, że ay kwotę pieniężną P V = 00 zł i lokujey ją w banku na 2 lata, przy stały roczny) oprocentowaniu r = 8%. Po dwóch latach będziey ieć F V = P V + rt ) = ,08) = 00,6 = 6 zł Liczbę + rt ) nazyway współczynnikie akuulacji lub czynnikie wartości przyszłej w kapitalizacji prostej. Natoiast odwrotność tej wielkości nazyway czynnikie dyskontowy discount factor) DF DF T ) = + rt.2) Przypuśćy teraz, że chcey wyliczyć wartość dzisiejszą P V present value) pewnej kwoty pieniężnej F V po czasie T liczony w latach). Czyli wartość dzisiejsza P V to taka kwota pieniędzy, która ulokowana w banku na okres T lat daje na po upływie tego okresu właśnie kwotę F V. Aby to zrobić, wystarczy przekształcić zależność.) i wyznaczyć P V : P V = + rt F V = + rt ) F V = DF T ) F V.3) Liczbę P V nazyway też wartością zdyskontowaną liczby F V. Przykład.2 Ile usiy ulokować na rachunku bankowy aby óc podejować co rok zł odsetek przy kapitalizacji prostej i stałej stopie oprocentowania r = 8%? Zauważy, że należne odsetki ożey wyznaczyć z zależności.): F V = P V + rt ) = P V + rt P V Wiey, że należne odsetki rt P V = zł i stąd P V = rt = ,08 = 50 tys. zł Mając dane P V, F V oraz T ożey wyliczyć r. Gdy przekształciy zależność.) uzyskay stopę zwrotu z inwestycji w dany okresie rt = F V P V P V

9 .. Wartość pieniądza w czasie - jedna płatność 5 czyli procentowy przyrost wartości dzisiejszej. Musiy jeszcze uwzględnić długość okresu, aby otrzyać stopę zwrotu w skali roku, czyli usiy przeskalować czas r = F V P V.4) T P V May wtedy stopę zwrotu rentowność) z inwestycji w skali roku. Dotychczasowe rozważania w zupełności wystarczą na do wyznaczenia rentowności bonów skarbowych kwotowanych na polski rynku pieniężny. Paiętay, że do wyceny polskich bonów skarbowych przyjujey, że rok kalendarzowy to 360 dni. Przykład.3 Inwestor kupuje 26 tygodniowy bon skarbowy o wartości noinalnej 00 zł, za 99,09 zł, na 57 dni przed wykupe. May zate F V = 00, P V = 99,09, T = Policzy rentowność r tego bonu jako stopę, dla której wartość dzisiejsza 00 zł za 57 dni wynosi 99,09 zł 99,09 + r 57 ) = czyli r = 00 99,09 ) = 0,058 = 5,8%. W ty oencie jako ćwiczenie) warto sobie przyponieć zagadnienia podaży pieniądza i zastanowić się w jaki sposób Rada Polityki Pieniężnej ustala agregaty onetarne, a w szczególności wysokość stopy operacji otwartego rynku. Paiętajy, że ta operacja dotyczy ceny pieniądza za 7 dni, podobnie jak w Europejski Banku Centralny. Zastanówy się jeszcze nad stopą zwrotu z inwestycji w bon skarbowy. Przykład.4 Inwestor kupuje bon skarbowy na okres 30 dni. Chciałby osiągnąć stopę zwrotu z tej inwestycji w wysokości 2% w ty okresie nie w skali roku). Ile powinien zapłacić za bon skarbowy o wartości noinalnej 00 zł na 30 dni do wykupu tego bonu? Stopa zwrotu z inwestycji usi spełniać warunek Czyli cena P V bonu wynosi 2% = 00 P V P V P V = ,02 = 98,039

10 6. Eleenty arytetyki finansowej dt F V 0 F V F V T czas 0 P V F V T czas Rysunek.3. Wartość dzisiejsza w kapitalizacji prostej z góry Na polski rynku pieniężny kwotuje się bony skarbowe podając ich rentowność, czyli stopę zwrotu dochodowości) rynku pieniężnego oney arket yield MMY ). Na światowych rynkach pieniężnych stosuje się też inną konwencję, służącą określeniu dochodowości inwestycji stopę dyskontową discount rate) d. Przypuśćy, że za rok ay zapłacić 00 zł. May ożliwość zapłacenia tylko 92 zł, ale dziś. Uzyskujey upust d=8% ierzony jako stosunek różnicy wartości przyszłej F V i dzisiejszej P V do wartości przyszłej F V. Czyli ay zależność na stopę dyskontową d = F V P V F V Jeśli uwzględniy horyzont czasowy T, który jest różny od roku, to otrzyay zależność dt = F V P V.5) F V Różnicę wartości przyszłej F V i dzisiejszej P V występującą w liczniku wyrażenia.5) nazyway dyskonte discount). Zauważy, że ten sposób wyznaczania dochodowości inwestycji, odpowiada kapitalizacji z góry rys..3). Przykład.5 Wyznacz cenę aerykańskiego bonu skarbowego, jeśli do terinu wykupu pozostało 50 dni, a stopa dyskontowa d = 3,2%. Po przekształceniu zależności.5) dostaniey P V = F V dt )

11 .. Wartość pieniądza w czasie - jedna płatność 7 czyli P V = 00 0, ) = 00 0,0043) = 99, wartości noinalnej. Wiey, że wartość noinalna takiego bonu to 00 tys. USD. Zate za bon usiy zapłacić ,67 USD. Gdy przekształciy zależność.5) dostaniey F V = P V dt..6) Ostatnia zależność dostarcza na interpretacji stopy dyskontowej d. Jeśli wzór.6) jest suą ciągu geoetrycznego przy założeniu, że dt < ), to ożey napisać F V = P V + dt P V + dt ) 2 P V + dt ) 3 P V + Oznacza to, że wartość przyszłą otrzyujey przez dopisanie odsetek w wysokości dt P V, a następnie odsetek od kwoty odsetek dt dt P V ), odsetek od tej kwoty dt dt dt P V )) i tak dalej. Czyli, gdy dopisujey odsetki dziś, kapitał ulega zwiększeniu o dt P V, dopisujey dziś odsetki do tej kwoty, kapitał ulega kolejneu zwiększeniu, dopisujey odsetki od kwoty zwiększenia i tak dalej. Z związku z taką interpretacją, stopę d nazyway też stopą kapitalizacji z góry. Kwota dyskonta świadczy o koszcie, który ponosi eitent bonu skarbowego. Z kolei dla jego nabywcy ważna jest inforacja o stopie zwrotu r, jaką uzyska z tytułu inwestycji w bon skarbowy. Zate naturalne jest pytanie o związek poiędzy stopai r oraz d. W analizowany przykładzie, gdzie d = 0,08 i założeniu, że T = rok) ożey wyliczyć odpowiadającą stopę r: 00 = 92 + r), a stąd r = 8 = 92 8,696%. Ogólnie, porównując zależności na wartość przyszłą obliczoną dwoa etodai ay F V = P V + rt ) F V = P V dt + rt = dt

12 8. Eleenty arytetyki finansowej czyli r = ) T dt = d = ) = T + rt d dt,.7a) r + rt.7b) Przykład.6 Jaka jest rentowności r inwestycji w aerykański bon skarbowy z przykładu.5? Korzystay z zależności.7a) i ay r = d dt = 0,032 0, = 3,34% Zastanówy się nad ty, czy oże zdarzyć się przypadek równości stopy rentowności r i dyskontowej d, czyli pytay kiedy r = d? Rozwiązujey równanie = +xt co daje x = 0. Czyli z wyjątkie ekstrealnej sytuacji zerowych xt stóp procentowych ay zawsze r d Instruenty rynku pieniężnego Kwotowanie instruentu finansowego to podawanie jego ceny kupna oraz sprzedaży. Na rynku iędzybankowy obowiązuje zasada kwotowania obustronnego, tzn. dealer a obowiązek podania ceny, po której jest skłonny nabyć dany instruent oraz ceny, po której jest gotowy go sprzedać. Kwotowania ożna podzielić na: inforacyjne, które nie zobowiązuje dealera do zawarcia transakcji po podanych przez niego cenach transakcyjne, które jest obowiązujące dla stron i w czasie zawierania transakcji nie ogą się wycofać ani zienić ceny, którą wcześniej uzgodniono Istnieją trzy sposoby kwotowania instruentów dyskontowych: cenowe ceny podawane są w procentach wartości noinalnej) stopą rentowności dochodowości) stopą dyskontową. Sposób kwotowania instruentów dyskontowych zależy od lokalnego rynku finansowego. Na polski rynku przyjęte są dwie zasady kwotowania: cenowy oraz stopą dochodowości. 2 Bardzo często zdarza się, że stopa zwrotu z inwestycji jest przedstawiana w cały horyzoncie.

13 .. Wartość pieniądza w czasie - jedna płatność 9 Wyóg kwotowania na podstawie cen występuje na rynku pierwotny, natoiast na rynku wtórny przyjęto zasadę kwotowania na podstawie dochodowości. W przypadku kwotowania cenowego dealerzy podają zwykle ceny z dokładnością do 4. iejsca po przecinku, natoiast jeśli kwotują rentownością i dyskonte zaokrąglenie wynosi 2 iejsca po przecinku. Zarówno stopa dochodowości jak i stopa dyskonta podawana jest w skali rocznej. Przykład.7 Inwestor nabywa bony skarbowe o noinale 800 tys. zł i 7-dniowy terinie wykupu po cenie 98,2 za 00. Wyznaczy i) kwotę jaka usi dysponować aby nabyć te bony skarbowe ii) rentowność nabytych instruentów iii) dyskonto z jaki nabył te instruenty. Kwota, którą przeznaczył inwestor na nabycie bonów skarbowych to Rentowność nabytych bonów 98,2% 800 tys. zł = 784,96 tys. zł r = T F V P V P V = 00,00 98,2 = 5,90% 0,325 98,2 Dyskonto nabytych bonów d = T F V P V F V = 00,00 98,2 = 5,78% 0,325 00,00 Możey sprawdzić czy stopę dyskonta wyznaczyliśy prawidłowo. Podstawiając do zależności.7b) 0,059 d = + 0,059 0,325 = 5,78% czyli ay ten sa wynik Przeanalizujy jeszcze inny przykład. Przykład.8 Załóży, że inwestor chce nabyć 225-dniowe bony skarbowe i prosi o kwotowania dwa banki. Bank A podaje kwotowanie na bazie dochodowości, która wynosi 6,24%, natoiast bank B podaje kwotowanie tego saego bonu na bazie dyskonta, które wynosi 6,08%. Którą z ofert powinien wybrać racjonalny inwestor? zakładay, że będzie to oferta o niższej cenie czy równoważnie o wyższej rentowności czy równoważnie wyższy dyskoncie). W przypadku banku A cena oferowanego bonu wynosi P V = F V + rt = 00,00 + 0, = 96,25%

14 0. Eleenty arytetyki finansowej natoiast w przypadku banku B P V = F V dt ) = 00,00 0, ) = 96,08% Lepsze warunki kupna 225-dniowych bonów skarbowych oferuje bank B. Dzień rozliczenia transakcji Na rynku iędzybankowy przyjęta jest zasada rozliczania zawartych transakcji na drugi dzień roboczy licząc od dnia, w który zawarto transakcję ustalono warunki transakcji). W żargonie bankowy takie rozliczenie nazywane jest na datę spot. Przykładowo: jeśli transakcja zawierana jest we środę, jej rozliczenie przypada na piątek pod warunkie, że czwartek i piątek są dniai roboczyi) jeśli transakcja zawierana jest w piątek, jej rozliczenie przypada na wtorek pod warunkie, że poniedziałek i wtorek są dniai roboczyi) jeśli transakcja zawierana jest w piątek, a poniedziałek byłby dnie wolny to jej rozliczenie przypadałoby na środę. Data spot jest najpowszechniej stosowaną datą rozliczenia, lecz nie jedyną. Niekiedy inwestorzy preferują inne daty. W przypadku wcześniejszej daty rozliczenia od daty spot, inwestor oże rozliczać zawartą przez siebie transakcję w ty say dniu data: over night O/N) lub następny po dokonaniu transakcji data: to next T/N). Repo i reverse repo Operacja repo to transakcja sprzedaży określonego instruentu rynku pieniężnego zwykle dotyczy bonów skarbowych) z jednoczesny zobowiązanie się sprzedającego do jego odkupienia po określonej z góry cenie w określony dniu w przyszłości. Dla sprzedającego, transakcja ta oznacza przeprowadzenie operacji repo, natoiast dla kupującego taka transakcja oznacza przeprowadzenie transakcji reverse repo. Na transakcję repo ożna patrzeć też jak na pożyczkę środków gotówkowych poprzez sprzedaż krótkoterinowych papierów dłużnych stronie przeciwnej. Na transakcję reverse repo jak na lokatę środków pieniężnych poprzez kupno krótkoterinowych papierów dłużnych od strony przeciwnej. Popularność rynku pieniężnego Do najczęściej wyienianych zalet inwestowania w bony należą dochodowość, bezpieczeństwo oraz płynność.

15 .2. Kapitalizacja złożona.2. Kapitalizacja złożona W sytuacji, gdy odsetki są dopisywane za każdy raze do kapitału, ay do czynienia z kapitalizacją złożoną copound interest). Okres, po który są one dopisywane oże być różny. Typowo jest to rok, 6 iesięcy, kwartał, iesiąc lub dzień i ówiy wtedy o kapitalizacji rocznej, półrocznej, kwartalnej, iesięcznej lub dziennej. Przypuśćy, że stopa oprocentowania jest stała i wynosi r w skali roku. Przy kapitalizacji rocznej po roku ay P V + r) tak jak przy kapitalizacji prostej po roku inwestycji). W drugi roku kwotą początkową jest P V + r) i jej wartość po roku wzrośnie do P V + r)) + r) = P V + r) 2. Ogólniej, wartość kwoty P V po T latach obliczay stosując T -krotnie powyższą regułę, co daje wzór F V = P V + r) T..8) Odsetki od odsetek już naliczonych w poprzedni okresie nazyway odsetkai składanyi copound interest). P V + r) T P V + r) 2 P V + r) t = 0 t = t = 2 t = T czas P V Rysunek.4. Składanie odsetek Rozważy sytuację, w której odsetki są dopisywane co pół roku, a roczna stopa procentowa r jest bez zian. Wtedy po okresie półroczny kwota P V wzrasta o r P V do P V + r ), a po roku do 2 2 P V + r ) + r ) = P V r 2) 2.

16 2. Eleenty arytetyki finansowej Ogólnie, po k okresach półrocznych ay P V + 2) r k, a po T latach, P V + r 2) 2T. Kapitalizacja półroczna jest korzystniejsza od rocznej z punktu widzenia osoby lokującej pieniądze. Zauważy, że zachodzi taka nierówność zakładając, że r 0): + r < + 2 r 2 + r2 4 = + r 2 )2 czyli nożąc obie strony przez P V uzyskujey nierówność P V + r) < P V + r 2 )2. Przy kapitalizacji kwartalnej ay po 3 iesiącach kwotę P V + r ), po 4 pół roku P V + r 4 )2, po roku P V + r 4 )4, a po T latach P V + 4) r 4T. Łatwo sprawdzić, że dopisywanie odsetek co kwartał jest korzystniejsze od kapitalizacji półrocznej. Ogólnie, jeśli podzieliy rok na równych okresów i stosujey kapitalizację -krotną polegającą na dopisaniu odsetek co część roku w wysokości P V ), to po k okresach ay kwotę r P V + r ) k, a po czasie T ierzony w latach F V = P V + r ) T.9) Zauważy, że T lat to T okresów odsetkowych. Peter Minuit kupił od Indian w 624 roku wyspę Manhattan za świecidełka o ówczesnej wartości 24 USD. Załóży, że Indianie ieli ożliwość wyiany świecidełek na gotówkę i zainwestowania tych pieniędzy na 5% w skali roku. Ile warte byłyby te 24 USD w 200 roku, jeśli byśy zastosowali kapitalizację prostą = ) i złożoną = 2).

17 .2. Kapitalizacja złożona 3 Za efekt częstszej kapitalizacji odpowiada annualizowany czyli w skali roku) czynnik stopy procentowej annualized interest rate factor) + r ) który powoduje, że wartość przyszła naszej inwestycji zależy od częstotliwości kapitalizacji. Porównajy wartości czynnika stopy procentowej. Rozważy roczny horyzont inwestycyjny oraz przyjijy, że ay roczną stopę procentową r = 0% tab..). Tabela.. Wartości czynników stopy procentowej i stopy efektywnej dla różnych kapitalizacji przy r=0%. Kapitalizacja czynnik stopy procentowej stopa efektywna r e roczna + r), ,00% półroczna + r 2 )2, ,25% kwartalna + r 4 )4,0383 0,38% iesięczna dzienna + r 2 )2,0473 0,47% + r 365 )365,0556 0,52% Odwróćy teraz sytuację. Jeśli wiey, że za T lat dostaniey kwotę F V, to ożey zapytać ile dzisiaj jest warta ta kwota, czyli jaka jest wartość dzisiejsza P V kwoty F V za T lat? Załóży, że ay daną stopę procentową r i naliczanie odsetek raz w roku. Wtedy wartość dzisiejsza kwoty F V wynosi Czynnik + r) T factor) DF P V = F V + r) T,.0) znany jest jako T -letni czynnik dyskontowy discount DF T ) = + r) T.) Jeśli dyskontowanie a iejsce razy w ciągu roku, to przekształcając zależność.9) dostaniey wartość dzisiejszą kwoty F V za T lat P V = F V + r ) T.2)

18 4. Eleenty arytetyki finansowej i wtedy czynnik dyskontowy DF T ) = + r ) T Przykładowo, gdy stopa procentowa r=0%, to 5-letni czynnik dyskontowy dla = wynosi DF 5) = + 0,) 5 =0,6209, a dla = 4, DF 4 5) = + 0, 4 ) 20 = 0, 603. Policzy analogicznie czynniki dyskontowe dla różnych kapitalizacji. Zakładay, że ay roczną stopę r=0% i rozważay roczny horyzont inwestycyjny tab..2). Tabela.2. Wartość czynników dyskontowych dla różnych kapitalizacji przy r=0%. Kapitalizacja czynnik dyskontowy roczna + r) 0, półroczna + r 2 ) 2 0, kwartalna + r 4 ) 4 0,90595 iesięczna dzienna + r 2 ) 2 0, r 365 ) 365 0, Kapitalizacja ciągła Rozważy sytuację, w której odsetki są dopisywane -krotnie w ciągu roku. Wtedy wartość przyszła F V kwoty P V po czasie t jest dana F V = P V Gdy przekształciy to wyrażenie uzyskay F V = P V + r ) t + r ) ) rt r = P V + r ) r rt Zauważy, że wyrażenie + r ) r dopisywania odsetek. nie zależy od okresu, a jedynie od częstości

19 .3. Kapitalizacja ciągła 5 Przechodząc do granicy z częstością dopisywania odsetek oraz korzystając z faktu, że granica li + = e r uzyskay zależność na wartość przyszłą F V w kapitalizacji ciągłej ) r F V = P V e rt..3) May zate wartość przyszłą pewnej kwoty P V w kapitalizacji ciągłej, która jest ateatyczną idealizacją częstej kapitalizacji. Uzyskany wzór jest dość dobry jej przybliżenie, a jest przy ty znacznie prostszy i łatwiejszy do przekształcania niż wzory związane z wielokrotną kapitalizacją złożoną. Model kapitalizacji ciągłej a bardzo ważną własność addytywności, której nie posiada odel dyskretny w szczególności odel kapitalizacji złożonej). 3 Niestety kapitalizacja ciągła jest stosowana praktycznie tylko w rozważaniach teoretycznych natoiast w rzeczywistości, rynki kapitałowe stosują odel kapitalizacji dyskretnej. Nietrudno się doyślić, że kapitalizacja ciągła będzie jeszcze korzystniejsza niż kapitalizacja złożona, z punktu widzenia osoby lokującej pieniądze. Przykład.9 Przypuśćy, że inwestujey 00 zł na okres roku na 0% w kapitalizacji ciągłej. Wartość przyszła naszej inwestycji wyniesie: F V = 00 e 0,0 = 0,57 Przykład.0 Załóży, że wpłaciliśy do banku 00 zł na 2 lata. W pierwszy roku nasza lokata była oprocentowana w wysokości 8% w skali roku, a w drugi roku w wysokości 2% w skali roku. Jaką uzyskay kwotę po dwóch latach, gdy stosujey kapitalizację złożoną oraz ciągłą? Czy będzie to kwota wyższa o 8% + 2% = 20% niż kwota początkowa? Zacznijy od kapitalizacji złożonej. Po 2 latach ay F V = ,08) + 0,2) = 20,96 Natoiast w kapitalizacji ciągłej wartość przyszła wynosi F V = 00 e 0,08 e 0,2 = 22,4 W obu przypadkach ay wyższą kwotę niż wynikałoby to z prostego dodania do siebie stóp zwrotu w każdy z podokresów. 3 W zasadzie trudno ówić o składaniu oprocentowania w odelu kapitalizacji prostej.

20 6. Eleenty arytetyki finansowej Konsekwencją tego faktu jest to, że w przypadku wyznaczania rocznej stopy zwrotu z inwestycji w przypadku kapitalizacji złożonej stosujey średnią geoetryczną, a w przypadku kapitalizacji ciągłej średnią arytetyczną. Przykład. Powróćy do przykładu.0. Postawy sobie teraz pytanie jaką uzyskaliśy roczną) stopę zwrotu z inwestycji w przypadku gdy stosujey kapitalizację złożoną oraz ciągłą? Zacznijy od kapitalizacji złożonej. Po 2 latach ay F V = ,08) + 0,2) = 20,96 W pierwszej chwili ogłoby się wydawać, że roczna) stopa zwrotu powinna być średnią arytetyczną czyli, że powinna wynosić 0%. Otóż tak nie jest. Roczna stopa zwrotu z tej inwestycji wynosi k = ) F V /T = P V ) 20,96 /2 = 9,982% 00,00 Natoiast w kapitalizacji ciągłej wartość przyszła wynosi F V = 00 e 0,08 e 0,2 = 22,4 Aby policzyć roczną stopę zwrotu k porównajy 00 e 2 k = 00 e 0,08 +0,2 co oznacza, że roczna stopa zwrotu k wynosi 0%. Ogólnie, ożey stwierdzić, że w przypadku kapitalizacji złożonej, roczna stopa zwrotu jest średnią geoetryczną stóp zwrotu w okresach odsetkowych, czyli k = [ + rt )/) + rt 2 )/) + rt n )/)] /n.4) gdzie rt i ), dla i n to stopa procentowa obowiązująca w i ty podokresie, a n = T liczba podokresów. Natoiast w przypadku kapitalizacji ciągłej, roczna stopa zwrotu jest średnią arytetyczną, czyli k = rt ) + rt 2 ) + + rt n ) n.5) Przy kapitalizacji ciągłej wzór na dzisiejszą wartość P V kwoty F V danej w chwili T a postać P V = F V e rt..6)

21 .3. Kapitalizacja ciągła 7 Będziey potrzebować odpowiedzi na ogólniejsze pytanie: ile wynosi wartość w dowolnej chwili t < T kwoty F V danej w chwili T. Wtedy ay do czynienia z okrese długości T t, więc kwota P V dana w chwili t przy kapitalizacji ciągłej a w chwili T wartość F V = P V e rt t). Stąd wyliczając P V uzyskujey odpowiedź na nasze pytanie: P V = F V e rt t)..7) Uwaga Zauważy, że różniczkując funkcję F V t) = P V e rt względe t dostaniey d F V t) = rp V ert dt zate spełnione jest równanie d F V t) = r F V t).8) dt z warunkie F V 0) = P V. Poday inne wyprowadzenie równości.3) oraz.8), aby pokazać jak różne podejścia się przenikają. Ustalay t > 0 i obliczay wartość oszczędności w chwili t + h ając dane F V t) i używając wzoru.) dla kapitalizacji prostej, co jest uzasadnione ty, że ay na yśli krótki okres czasu h: F V t + h) = F V t) + rh). Stąd po prostych przekształceniach dostajey F V t + h) F V t) h = rf V t). Gdy h zierza do 0, to wtedy iloraz różnicowy z lewej strony zierza do pochodnej funkcji F V ) w punkcie t co daje.8). Jak łatwo sprawdzić, funkcja dana wzore.3) spełnia to równanie.

22 8. Eleenty arytetyki finansowej.4. Porównywanie stóp: efekt kapitalizacji Jak wsponieliśy, stopy procentowe podawane są w skali rocznej annual percentage rate AP R) wraz z inforacją w jaki sposób są dopisywane składane) odsetki, czyli ile ay okresów odsetkowych w roku. Zate powstaje naturalna potrzeba porównania efektywności inwestycji przy różnych etodach kapitalizacji. Przykład.2 Pewien bank oferuje roczną lokatę oprocentowaną 6% w skali roku z kapitalizacją półroczną. Jeśli zainwestujey zł, to jaką kwotą będziey dysponować pod koniec roku? Jakie usiałoby być oprocentowanie lokaty w kapitalizacji rocznej abyśy uzyskali ten sa efekt? Podana stawka 6% nie jest stawką oprocentowania w okresie roku. Służy ona tylko do wyznaczenia oprocentowania w okresach półrocznych AP R = 6% 2 = 3% Zate jeśli zainwestujey zł to po roku uzyskay %/2) + 6%/2) = %/2) 2 = W drugi okresie odsetkowy, zarabiay dodatkowo na odsetkach z pierwszego okresu. Aby uzyskać kwotę zł pod koniec roku, usielibyśy zainwestować po stopie 6,09%, bo ,09) = co oznacza, że + 6,09 = + 6%/2) 2 i ay odpowiedź jaka usi być równoważna stopa roczna. Oznaczy przez r stopę procentową odpowiadającą krotnej kapitalizacji. Efektywna stopa procentowa r e effective annual rate EAR) to równoważna stopa procentowa, gdyby kapitalizacja następowała tylko raz w roku. May zate warunek + r e = + r ) czyli r e = + r ).9) W literaturze przediotu ożey spotkać też następującą forułę EAR = + AP R )

23 .4. Porównywanie stóp: efekt kapitalizacji 9 Przykład.3 Załóży, że pani Kowalska chciałaby założyć lokatę bankową. Poprosiła o ofertę kilka banków i otrzyała następujące propozycje: Bank A: 8,75% przy kapitalizacji rocznej Bank B: 8,65% kapitalizacji kwartalnej Bank C: 8,55% kapitalizacji iesięcznej Bank D: 8,45% kapitalizacji dziennej Który bank oferuje najlepsze warunki lokaty? Gdy podstawiy propozycje podane przez banki do zależności.9) uzyskay: Bank A: r e = + 0,0875 ) = 8,75% Bank B: Bank C: Bank D: r e = + 0,0865 ) 4 = 8,93% 4 r e = + 0,0855 ) 2 = 8,89% 2 r e = + 0,0845 ) 365 = 8,82% 365 Pani Kowalska powinna wybrać ofertę banku B. Zauważy, że jeśli chcielibyśy odpowiedzieć na pytanie jaki jest warunek aby stopa w kapitalizacji krotnej była równoważna stopie w kapitalizacji 2 krotnej. Odpowiedź uzyskujey przez porównanie z kapitalizacją roczną czyli stopą efektywną) + r ) = + r 2 2 ) 2.20) i w konsekwencji ay zależność r 2 = 2 + r ) / 2 ).2) Przykład.4 Załóży, że ay do wyboru lokatę roczną oprocentowaną w wysokości 8% w kapitalizacji półrocznej. Jaka jest wysokość równoważnej lokaty w kapitalizacji kwartalnej?

24 20. Eleenty arytetyki finansowej Przyjijy = 2, 2 = 4, r = 8%. Szukay r 2 ze wzoru.2) r 2 = 4 + 0,08 ) 2/4 ) = 7,92% 2 Wreszcie oznaczy przez r c stopę odpowiadającą kapitalizacji ciągłej. Jest ona równoważna stopie r z kapitalizacją roczną i stąd e rc = + r.22) r c = ln + r ).23) W przypadku kapitalizacji krotnej ay zależność poiędzy stopai w kapitalizacji ciągłej i złożonej e rc = + r ).24) czyli bądź równoważnie r c = ln Weźy inny przykład. + r ) = ln + r ).25) r = e rc/ ).26) Przykład.5 Inwestor stosuje następującą strategię: kupuje 3 tygodniowy bon skarbowy na przetargu, trzya go do wykupu i uzyskane środki znów reinwestuje w takie sae bony. Jaką uzyska stopę zwrotu, jeśli na każdy przetargu taki bon kosztuje 98,28% wartości noinalnej, a horyzont inwestycyjny to rok? May zate w pierwszych 3 tygodniach F V = 00, P V = 98,28, T = Rentowność r tego bonu r = T 00,0 98,28 98,28 = 7,00% Jeśli inwestor kupuje kolejne bony na przetargu przy rentowności 7%, to ay analogiczną sytuację jak w przypadku kwartalnej kapitalizacji odsetek. Stąd efektywna stopa zwrotu z takiej strategii wynosi r e = + 0,07 ) 4 = 7,86% 4

25 .4. Porównywanie stóp: efekt kapitalizacji 2 Zestawy wartości czynnika stopy procentowej oraz stopy efektywnej dla kapitalizacji złożonej i ciągłej przy założeniu, że stopa procentowa r =0% i ay roczny horyzont inwestycyjny tab..3). Widziy, dla inwestora praktycznie nie a różnicy poiędzy kapitalizacją dzienną a ciągłą. Tabela.3. Wartości czynnika stopy procentowej oraz stopy efektywnej przy r =0% dla różnych kapitalizacji. Kapitalizacja czynnik stopy procentowej stopa efektywna r e roczna + r), ,00% półroczna + r 2 )2, ,25% kwartalna + r 4 )4,0383 0,38% iesięczna dzienna + r 2 )2,0473 0,47% + r 365 )365,0556 0,52% ciągła e r,057 0,52% Zestawiy jeszcze w tabeli.4 stopy równoważne stopie r = 8%. Tabela.4. Stopy równoważne stopie r = 8%; w wierszach częstotliwość kapitalizacji, w kolunach cg 8,00% 7,85% 7,77% 7,72% 7,70% 7,70% 2 8,6% 8,00% 7,92% 7,87% 7,84% 7,84% 4 8,24% 8,08% 8,00% 7,95% 7,92% 7,92% 2 8,30% 8,3% 8,05% 8,00% 7,97% 7,97% 365 8,33% 8,6% 8,08% 8,03% 8,00% 8,00% cg 8,33% 8,6% 8,08% 8,03% 8,00% 8,00%

26 22. Eleenty arytetyki finansowej.5. Stopa spot Ceny papierów dłużnych iplikują stopy procentowe. Widzieliśy już wcześniej, że rentowność papieru dłużnego jest związana z jego ceną. Jeśli ceny papierów rosną to rentowności iplikowane stopy) spadają i odwrotnie. Wprowadziy teraz kolejny instruent dyskontowy, który generuje w czasie swojego życia przepływ pieniężny. Obligacja 0-kuponowa zero-coupon bond lub zeros) z terine do wykupu w chwili T to instruent finansowy wystawiony w chwili 0 przez eitenta obligacji, który zobowiązuje go do wypłaty nabywcy obligacji obligatariuszowi) jej wartość noinalną F face value lub noinal value) w dniu zapadalności T. BT, T ) t Bt, T ) T czas Rysunek.5. Przepływy pieniężne dla obligacji 0-kuponowej Od tego oentu będziey oznaczać cenę obligacji 0-kuponowej przez B i dla podkreślenia daty kwotowania t i daty zapadalności T często będziey dodawać arguenty Bt, T ). Czase, jeśli nie będzie konfliktu, będziey dla uproszczenia zapisu stosować notację B0, T ) = BT ). Zakładay, że obligacja nie a ryzyka kredytowego i w dniu zapadalności T na pewno wypłaci wartość noinalną F. Oczywiście, ay zależność BT, T ) = F. Uwaga W literaturze przediotu często zakłada się, że obligacja wypłaca w dniu zapadalności co oznacza, że BT, T ) =. Zauważy, że zachodzi zależność poiędzy ceną w chwili t =0 a ceną noinalną B0, T ) = + rt )) F.27) T

27 .5. Stopa spot 23 stąd ay rentowność obligacji rt ) = ) /T F.28) B0, T ) Tak zdefiniowaną stopę procentową rt ) będziey nazywać T -letnią stopą spot. Stopy spot są podstawowyi stopai procentowyi określającyi strukturę terinową. T -letnia stopa spot rt ) jest stopą procentową, określającą stopę zwrotu z inwestycji rozpoczętej dzisiaj a zakończonej w chwili T. Przykład.6 Na rynku jest kwotowana 2-letnia obligacja 0-kuponowa. Jej cena wynosi B0, 2) = 88,0% wartości noinalnej. Stąd cena dziś jest dyskontowana 2-letnią stopą spot r2) 00 88,0 = + r2)) 2 Zate 2-letnia stopa spot r2) tej obligacji wynosi r2) = ) 00 /2 = 6,60% 88 Podobnie jak wcześniej, ze stopą spot rt ) ożey związać czynnik dyskontowy DF T ) =.29) + rt )) T Wartość czynnika dyskontowego DF T ) w chwili t 0 ożey utożsaiać z ceną obligacji 0-kuponowej o noinale i czasie zapadalności trwania) T. Dla uproszczenia notacji nie będziey zaznaczać explicite zależności czynnika dyskontowego od chwili t 0 i będziey pisać Zauważy, że DF T ) zaiast DF t 0, T ). Definicja. Obligacji 0-kuponowej, wyznaczonej przez czynnik dyskontowy DF T ), odpowiada T -letnia stopa spot rt ) określona zależnością lub wprost rt ) = DF T ) = + rt )) T.30) DF T ) /T = DF T ) /T,

28 24. Eleenty arytetyki finansowej Możey teraz powiązać cenę obligacji 0-kuponowej z czynnikie dyskontowy BT ) = DF T ) F.3) Zauważy również, że dla różnych konwencji kapitalizacji, foruły określające zależność poiędzy stopą spot a czynnikai dyskontowyi będą iały postać: dla kapitalizacji złożonej -krotnej a stąd stopa spot DF T ) = BT ) = + rt )/) T F ) rt ) = DF T ) /T.32).33) dla kapitalizacji ciągłej DF c T ) = e rt )T.34) a stąd stopa spot rt ) = ln DF ct ) T = T ln BT ) F = ln F ln BT ) T.35) Przykład.7 Na rynku jest kwotowana 3-letnia obligacja 0-kuponowa. Jej cena wynosi B0, 3) = 84,2% wartości noinalnej. Na rynku kowotowane są też obligacje z kuponai wypłacanyi 2 razy do roku =2). Wyznacz 3-letnią stopę spot. 3-letni czynnik dyskontowy dla 2-krotnej kapitalizacji znay wprost z kwotowania ceny obligacji B0, 3) DF 2 3) = 0,842 Stąd 3-letnia stopa spot r3) iplikowana przez czynnik dyskontowy wynosi r3) = DF 2 3) T ) = 2 0, ) = 5,85% Pokazaliśy, że stopy spot r ożey wyznaczyć z kwotowania obligacji, bądź równoważnie znając czynnik dyskontowy.

29 .6. Stopa forward Stopa forward Do tej pory skupiliśy się na stopach procentowych które obowiązywały poiędzy chwila dzisiejszą t=0 i chwilą w przyszłości t=t. Zajijy się teraz przypadkie gdy chcey wyznaczyć stopę procentową poiędzy chwilai t oraz t 2 w przyszłości. Przykład.8 May do zainwestowania 00 zł na 9 iesięcy, przy czy ożey to zrobić na dwa sposoby ożliwość A: inwestujey na okres 9 iesięcy po stopie 8% ożliwość B: inwestujey na okres 6 iesięcy po stopie 7% i to co uzyskay reinwestujey na 3 iesiące po stopie f. Obie ożliwości inwestycyjne trwają 9 iesięcy. Powstaje naturalne pytanie jaka powinna być stopa f aby obie ożliwości dawały ten sa wynik? Spróbujy odpowiedzieć na to pytanie stosując odel kapitalizacji prostej zakładay, że ay instruenty rynku pieniężnego). ożliwość A: daje na po 9 iesiącach F V A = ,08 9/2) = 06,00 zł ożliwość B: daje na po 6 iesiącach F V B = ,07 6/2) = 03,50 zł reinwestując otrzyaną kwotę po stopie f na okres 3 iesięcy dostaniey F V B = F V B + f 3/2) = 03,50 + f 3/2) Aby obie inwestycje dawały ten sa wynik usi zachodzić równość czyli F V A = F V B 06,00 = 03,50 + f 3/2) stąd f = 9,668%. Moglibyśy powiedzieć, że brak ożliwości arbitrażu iplikuje równość. W przykładzie korzystaliśy z zależności na równość czynników wzrostu na rynku pieniężny ) ) ) + rt 2 )t 2 + rt )t = + f t 2 t ).36) i stąd stopa f f = + rt 2)t 2 + rt )t t 2 t

30 26. Eleenty arytetyki finansowej gdzie: rt ) oznacza stopę spot w okresie [0, t ], rt 2 ) oznacza stopę spot w okresie [0, t 2 ], t < t 2. W dalszy ciągu stopę f będziey oznaczać ft, t 2 ) i nazywać stopą forward startującą w chwili t i kończącą się w chwili t 2, przy czy warunki transakcji są ustalane dzisiaj czyli w chwili t 0 ). Często dla podkreślenia tego faktu stosuje się notację ft 0, t, t 2 ), gdzie t 0 oznacza datę zawarcia transakcji. Zauważay, że stopa forward jest wyznaczona jednoznacznie. To jest bardzo ważna obserwacja. Gdyby tak nie było zachodziłaby ożliwość arbitrażu. Przykład.9 May ożliwości inwestycyjne takie jak w przykładzie.8). Załóży jednak teraz, że stopa forward wynosi f 2, 3 4 ) = %. Czy ożna skonstruować strategię arbitrażową? Przyjijy też dodatkowo, że cena depozytu i kredytu jest taka saa tzn. bid-ask spread jest równy 0. Arbitrażysta zajuje długą pozycję w aktywach które są tanie i równocześnie przeciwstawną pozycję w aktywach które są drogie. W rozważany przypadku powinien zadłużać się na rynku gdzie oże tanio pozyskać środki i ulokować drogo. Czyli powinien pożyczyć środki na 9 iesięcy po stopie 8% i ulokować je na 6 iesięcy po stopie 7% i następnie odnowić lokatę na 3 iesiące po stopie %. Zyskie arbitrażysty będzie różnica % 9,668% =,34%. Jeśli przykładowo, inwestor pożyczy ln zł to jego zysk arbitrażowy wyniesie:,3382% ln zł = 3 38,64 zł W założonej sytuacji rynkowej zysk zależy od kwoty jaką oże zainwestować arbitrażysta. Uwaga W praktyce na rynku pieniężny inwestorzy korzystają z zależności + rt 2 ) t ) dni = + rt ) t ) 365 dni + f t ) 2 t 365 dni zate f = + rt 2) t rt ) t t 2 t

31 .6. Stopa forward 27 Uwaga 2 W naszy przykładzie wyznaczyliśy stopę forward f 2, 3 4 ). W praktyce rynkowej jest to cena kontraktu FRA Forward Rate Agreeent), FRA6x9. Więcej o kontraktach FRA w kursie z Instruentów pochodnych. Podobnie jak dla stopy spot, ożey wyznaczyć dla stopy forward terinowy czynnik dyskontowy DF t, t 2 ) następująco: DF t, t 2 ) = + ft, t 2 ) t 2 t ).37) Zauważy, że zależność.36) ożey wyrazić w języku czynników dyskontowych DF t 2 ) = DF t ) DF t, t 2 ) Zate terinowy czynnik dyskontowy DF t, t 2 ) = DF t ) DF t 2 ) Stopa forward w odelu kapitalizacji złożonej Pokażey teraz, jak zdefiniować stopę forward w kapitalizacji złożonej, dla dowolnej liczby okresów odsetkowych. Dla inwestycji powyżej roku, dla odelu kapitalizacji złożonej okresów na rok) i < j, porównajy czynniki wzrostu + rj) j = + ri) i + fi, j) j i).38) a stąd stopa forward + rj)/)j fi, j) = + ri)/) i j i).39) W szczególności dla = ay zate stopa forward + rj)) j = fi, j) = + ri) ) i [ + rj)) j + ri)) i + fi, j)) j i).40) ] j i.4)

32 28. Eleenty arytetyki finansowej Często, jeśli nie a kolizji oznaczeń stosuje się notację r) zaiast rt ), ając na yśli roczną stopę spot. Podobnie jak wcześniej, ożey również zdefiniować terinowy czynnik dyskontowy dla odelu kapitalizacji złożonej. Weźy dowolne, wtedy terinowy czynnik dyskontowy DF t, t 2 ) = ) t2 t ).42) + ft, t 2 )/ Zauważy, że ożey wyrazić relację poiędzy stopai spot a stopą forward w języku czynników dyskontowych DF t, t 2 ) = DF t ) DF t 2 ).43) Przykład.20 Załóży, że ay kapitalizację półroczną = 2. 3-letnia stopa spot r3)= 6,2%, a 5-letnia stopa spot r5) = 6,8%. Ile wynosi terinowy czynnik dyskontowy DF 2 3, 5)? Obliczay z zależności.32) 3-letni czynnik dyskontowy DF 2 3) = oraz 5-letni czynnik dyskontowy DF 2 5) = = 0, ,062/2) 2 3 = 0,76 + 0,068/2) 2 5 Stąd terinowy czynnik dyskontowy DF 2 3, 5) wynosi DF 2 3, 5) = DF 2 3) DF 2 5) = 0,86 Stopa forward a ceny obligacji 0-kuponowych Przyjrzyjy się bliżej relacji poiędzy stopai forward a stopai spot. Weźy zależność.40). Dla i = oraz j = 2 ay + r2) ) 2 = + r) ) + f, 2) ) 2 ).44) a dla i = 2 oraz j = 3 + r3) ) 3 = + r2) ) 2 + f2, 3) ) 3 2).45)

33 .6. Stopa forward 29 rt 4 ) ft 4, t 5 ) rt 3 ) ft 3, t 4 ) rt 2 ) ft 2, t 3 ) rt ) ft, t 2 ) rt ) = f0, t ) t t 2 t 3 t 4 t 5 lata Rysunek.6. Stopy spot i roczne stopy forward Podstawiay zależność.44) do.45) i dostajey + r3) ) 3 = + r) ) + f, 2) ) + f2, 3) ).46) Jeśli dodatkowo oznaczyy roczną stopę spot r) jako stopę forward startującą dziś i kończącą się za rok f0, ) to uzyskay + r3) ) 3 = + f0, ) ) + f, 2) ) + f2, 3) ).47) Widziy, że 3-letnią stopę spot r3) ożey wyrazić poprzez roczne stopy forward f0, ), f, 2) oraz f2, 3). Powtarzając rozuowanie, k letnią stopę spot ożna wyrazić poprzez roczne stopy forward ) k ) ) ) + rk) = + f0, ) + f, 2) + fk, k).48) Widziy, że k letnia stopa spot jest średnią geoetryczną rocznych czynników wzrostu stóp forward f0, ), f, 2),... fk, k).

34 30. Eleenty arytetyki finansowej Zauważy, że stopę forward ożna też zdefiniować w języku cen obligacji 0-kuponowych. Zapiszy zależność.40) dla j = k oraz i = k, wtedy dostaniey + rk)) k = + rk ) ) k + fk, k) ).49) i stopę forward ożey wyrazić za poocą cen obligacji 0-kuponowych Bk ) oraz Bk) fk, k) = ) k + rk) ) k = + rk ) Bk ) Bk).50) Oczywiście ostatnią zależność ożna również wyrazić w języku czynników dyskontowych fk, k) = DF k ) DF k) = DF k, k).5) Spróbujy skorzystać z tych obserwacji w następujący przykładzie. Przykład.2 Załóży, że rynek kwotuje ceny obligacji 0-kuponowych następująco t Bt) 95,2% 89,76% 83,23% 76,29% Wszystkie obligacje ają wartość noinalną równą ln zł. Klient banku chciałby pożyczyć 0 ln zł na rok za 3 lata od dzisiaj. Jaką wysokość stopy procentowej oże zaproponować bank klientowi? Aby dać odpowiedź klientowi, bank powinien zastosować następującą strategię: kupić 0 obligacji 3-letnich, które kosztują ,8323 = zł sfinansować ten zakup sprzedażą 4-letnich obligacji w kwocie zł i wartości noinalnej /0,7629 = zł ta strategia spowoduje zobowiązanie za 4 lata w wysokości zł. Przepływy gotówkowe z tej strategii wyglądają następująco:

35 .6. Stopa forward 3 rok kupno 3-letniej obligacji sprzedaż 4-letniej obligacji sua Z punktu widzenia banku ay przepływy pod koniec 3 oraz 4 roku. Rentowność takiego instruentu wynosi = 9,0969% i to jest szukana stopa forward. Oczywiście stopę forward f3, 4) ożey policzyć ze stóp spot. Stopy spot iplikowane przez ceny obligacji 0-kuponowych wynoszą odpowiednio: i stąd stopa forward f3, 4) r) = B) / = 5, 30% r2) = B2) /2 = 5, 550% r3) = B3) /3 = 6, 30% r4) = B4) /4 = 7, 000% f3, 4) = + r4))4 + r3)) 3 = 9,0969% Dla dowolnego ay zależność poiędzy stopai spot i forward + rt j) ) tj = + rt i) i w języku cen obligacji 0-kuponowych ) ti + ft i, t j ) Bt j ) = + ft ) tj t i, t j ) i ) Bt i ) co w konsekwencji prowadzi do zależności ) ) Bti t ) j t i ) ft i, t j ) = Bt j ) ) tj t i ).52).53).54)

36 Stopa forward w odelu kapitalizacji ciągłej Zobaczy teraz jaka jest zależność na stopę forward w odelu kapitalizacji ciągłej. Porównajy odpowiednie czynniki wzrostu e rt ) t e f t 2 t ) = e rt 2) t 2.55) gdzie: rt ) - stopa spot inwestycji zapadającej w chwili t rt 2 ) - stopa spot inwestycji zapadającej w chwili t 2, przy czy t < t 2 f - stopa forward dla inwestycji w okresie czasu poiędzy t a t 2. Z zależności.55) dostajey i ostatecznie rt ) t + f t 2 t ) = rt 2 ) t 2 f = ft, t 2 ) = rt 2) t 2 rt ) t t 2 t.56) Jeśli podzieliy obustronnie zależność.55) przez noinał obligacji F wtedy co oznacza, że F ert ) t e f t 2 t ) = F ert 2) t 2 B t ) e f t 2 t ) = B t 2 ) Stąd stopa forward w języku cen obligacji 0-kuponowych i czynników dyskontowych f = ) Bt ) ln = ) DF t ) ln.57) t 2 t Bt 2 ) t 2 t DF t 2 )