Seminarium: Efekty kwantowe w informatyce

Transkrypt

1 Seminarium: Efekty kwantowe w informatyce Aleksander Mądry

2 Sprawy organizacyjne Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105.

3 Sprawy organizacyjne Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105. Każdy kto będzie chciał otrzymać zaliczenie zobowiązany będzie do:

4 Sprawy organizacyjne Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105. Każdy kto będzie chciał otrzymać zaliczenie zobowiązany będzie do: przeczytania i zrozumienia wskazanych materiałów (możliwość skonsultowania się z prowadzącym)

5 Sprawy organizacyjne Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105. Każdy kto będzie chciał otrzymać zaliczenie zobowiązany będzie do: przeczytania i zrozumienia wskazanych materiałów (możliwość skonsultowania się z prowadzącym) wybrania najważniejszych idei i technik (możliwość skonsultowania swojego wyboru z prowadzącym)

6 Sprawy organizacyjne Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105. Każdy kto będzie chciał otrzymać zaliczenie zobowiązany będzie do: przeczytania i zrozumienia wskazanych materiałów (możliwość skonsultowania się z prowadzącym) wybrania najważniejszych idei i technik (możliwość skonsultowania swojego wyboru z prowadzącym) przygotowania referatu (wymagane wykonanie slajdów)

7 Sprawy organizacyjne Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105. Każdy kto będzie chciał otrzymać zaliczenie zobowiązany będzie do: przeczytania i zrozumienia wskazanych materiałów (możliwość skonsultowania się z prowadzącym) wybrania najważniejszych idei i technik (możliwość skonsultowania swojego wyboru z prowadzącym) przygotowania referatu (wymagane wykonanie slajdów) wygłoszenie referatu

8 Motywacje

9 Motywacje Skąd pomysł na rozważanie mechaniki kwantowej z punktu widzenia obliczeniowego?

10 Motywacje Skąd pomysł na rozważanie mechaniki kwantowej z punktu widzenia obliczeniowego? Feynman - Teza Churcha

11 Motywacje Skąd pomysł na rozważanie mechaniki kwantowej z punktu widzenia obliczeniowego? Feynman - Teza Churcha Ladner i demon Maxwella - informacja jest fizycznym obiektem

12 Motywacje Skąd pomysł na rozważanie mechaniki kwantowej z punktu widzenia obliczeniowego? Feynman - Teza Churcha Ladner i demon Maxwella - informacja jest fizycznym obiektem Dlaczego trzeba zbadać możliwości obliczeń kwantowych?

13 Motywacje Skąd pomysł na rozważanie mechaniki kwantowej z punktu widzenia obliczeniowego? Feynman - Teza Churcha Ladner i demon Maxwella - informacja jest fizycznym obiektem Dlaczego trzeba zbadać możliwości obliczeń kwantowych? Teza Churcha i prawo Moora

14 Motywacje Skąd pomysł na rozważanie mechaniki kwantowej z punktu widzenia obliczeniowego? Feynman - Teza Churcha Ladner i demon Maxwella - informacja jest fizycznym obiektem Dlaczego trzeba zbadać możliwości obliczeń kwantowych? Teza Churcha i prawo Moora Kryptografia, ponieważ potrafimy faktoryzować liczby za pomocą komputera kwantowego to musimy brać pod uwagę moc (i ograniczenia) obliczeń kwantowych

15 Motywacje Skąd pomysł na rozważanie mechaniki kwantowej z punktu widzenia obliczeniowego? Feynman - Teza Churcha Ladner i demon Maxwella - informacja jest fizycznym obiektem Dlaczego trzeba zbadać możliwości obliczeń kwantowych? Teza Churcha i prawo Moora Kryptografia, ponieważ potrafimy faktoryzować liczby za pomocą komputera kwantowego to musimy brać pod uwagę moc (i ograniczenia) obliczeń kwantowych Patrzenie na mechanikę kwantową z punktu widzenia obliczeniowego, pozwala nam lepiej poznać samą mechanikę kwantową

16 Motywacje Skąd pomysł na rozważanie mechaniki kwantowej z punktu widzenia obliczeniowego? Feynman - Teza Churcha Ladner i demon Maxwella - informacja jest fizycznym obiektem Dlaczego trzeba zbadać możliwości obliczeń kwantowych? Teza Churcha i prawo Moora Kryptografia, ponieważ potrafimy faktoryzować liczby za pomocą komputera kwantowego to musimy brać pod uwagę moc (i ograniczenia) obliczeń kwantowych Patrzenie na mechanikę kwantową z punktu widzenia obliczeniowego, pozwala nam lepiej poznać samą mechanikę kwantową klasyczna złożoność obliczeniowa

17 Przypomnienie podstawowych faktów z algebry liniowej Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb zespolonych C. jest to taki podzbiór {v 1,... v k }, że

18 Przypomnienie podstawowych faktów z algebry liniowej Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb zespolonych C. Baza jest to taki podzbiór {v 1,... v k }, że dla każdego wektora v V istnieją takie liczby zespolone α i, że v = i α iv i

19 Przypomnienie podstawowych faktów z algebry liniowej Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb zespolonych C. Baza jest to taki podzbiór {v 1,... v k }, że dla każdego wektora v V istnieją takie liczby zespolone α i, że v = i α iv i wszystkie v i są liniowo niezależne tzn. jeśli i α iv i = 0 to α i = 0

20 Przypomnienie podstawowych faktów z algebry liniowej Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb zespolonych C. Baza jest to taki podzbiór {v 1,... v k }, że dla każdego wektora v V istnieją takie liczby zespolone α i, że v = i α iv i wszystkie v i są liniowo niezależne tzn. jeśli i α iv i = 0 to α i = 0 Każda baza w przestrzeni V ma taka samą liczność. Liczność dowolnej bazy nazywamy wymiarem V. Mając daną przestrzeń V możemy dla dowolnego wektora v V obliczyć bazę V zawierającą v.

21 Przypomnienie podstawowych faktów z algebry liniowej Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb zespolonych C. Baza jest to taki podzbiór {v 1,... v k }, że dla każdego wektora v V istnieją takie liczby zespolone α i, że v = i α iv i wszystkie v i są liniowo niezależne tzn. jeśli i α iv i = 0 to α i = 0 Każda baza w przestrzeni V ma taka samą liczność. Liczność dowolnej bazy nazywamy wymiarem V. Mając daną przestrzeń V możemy dla dowolnego wektora v V obliczyć bazę V zawierającą v. Mając jakąś ustaloną bazę {v 1,... v k } w V możemy opisywać dowolny wektor v V podając tylko jego współczynniki rozkładu w tej bazie (α 1,..., α k )

22 Przypomnienie podstawowych faktów z algebry liniowej - iloczyn skalarny Iloczynem skalarnym nazywamy odwzorowanie : V V C będące symetryczne: v w = w v liniowe w drugim argumencie: v αw + βz = α v w + β v z dodatnio określone v v 0 i v v = 0 wtw v = 0

23 Przypomnienie podstawowych faktów z algebry liniowej - iloczyn skalarny Iloczynem skalarnym nazywamy odwzorowanie : V V C będące symetryczne: v w = w v liniowe w drugim argumencie: v αw + βz = α v w + β v z dodatnio określone v v 0 i v v = 0 wtw v = 0 Iloczyn skalarny definiuje normę na V v 2 = v v

24 Przypomnienie podstawowych faktów z algebry liniowej - iloczyn skalarny Iloczynem skalarnym nazywamy odwzorowanie : V V C będące symetryczne: v w = w v liniowe w drugim argumencie: v αw + βz = α v w + β v z dodatnio określone v v 0 i v v = 0 wtw v = 0 Iloczyn skalarny definiuje normę na V v 2 = v v Mówimy, że baza {v 1,... v k } jest ortonormalna gdy v i = 1 (mówimy, że v i jest znormalizowany) v i v j = 0 dla i j

25 Przypomnienie podstawowych faktów z algebry liniowej - iloczyn skalarny Iloczynem skalarnym nazywamy odwzorowanie : V V C będące symetryczne: v w = w v liniowe w drugim argumencie: v αw + βz = α v w + β v z dodatnio określone v v 0 i v v = 0 wtw v = 0 Iloczyn skalarny definiuje normę na V v 2 = v v Mówimy, że baza {v 1,... v k } jest ortonormalna gdy v i = 1 (mówimy, że v i jest znormalizowany) v i v j = 0 dla i j Jeśli v = (α 1,..., α k ) i w = (β 1,..., β k ) względem jakiejś ortonormalnej bazy to v w = i α i β i

26 Przypomnienie podstawowych faktów z algebry liniowej - iloczyn skalarny Iloczynem skalarnym nazywamy odwzorowanie : V V C będące symetryczne: v w = w v liniowe w drugim argumencie: v αw + βz = α v w + β v z dodatnio określone v v 0 i v v = 0 wtw v = 0 Iloczyn skalarny definiuje normę na V v 2 = v v Mówimy, że baza {v 1,... v k } jest ortonormalna gdy v i = 1 (mówimy, że v i jest znormalizowany) v i v j = 0 dla i j Jeśli v = (α 1,..., α k ) i w = (β 1,..., β k ) względem jakiejś ortonormalnej bazy to v w = i α i β i Przestrzenią Hilberta nazywamy dowolną przestrzeń wektorową z iloczynem skalarnym będąca zupełna w normie indukowanej przez ten iloczyn (ale my się ograniczymy do C d ).

27 Aksjomaty mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa jest zbudowana na kilku bardzo prostych (choć może nieintuicyjnych) aksjomatach.

28 Aksjomaty mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa jest zbudowana na kilku bardzo prostych (choć może nieintuicyjnych) aksjomatach. Zasada superpozycji: mówi nam o tym w jakich stanach może znajdować się układ kwantowy oraz w jakim stanie może znajdować się układ złożony z dwóch niezależnych podukładów

29 Aksjomaty mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa jest zbudowana na kilku bardzo prostych (choć może nieintuicyjnych) aksjomatach. Zasada superpozycji: mówi nam o tym w jakich stanach może znajdować się układ kwantowy oraz w jakim stanie może znajdować się układ złożony z dwóch niezależnych podukładów Zasada pomiaru: mówi nam, jakie informacje są dostępne obserwatorowi układu kwantowego

30 Aksjomaty mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa jest zbudowana na kilku bardzo prostych (choć może nieintuicyjnych) aksjomatach. Zasada superpozycji: mówi nam o tym w jakich stanach może znajdować się układ kwantowy oraz w jakim stanie może znajdować się układ złożony z dwóch niezależnych podukładów Zasada pomiaru: mówi nam, jakie informacje są dostępne obserwatorowi układu kwantowego Unitarna ewolucja: mówi nam, w jaki sposób układ kwantowy ewoluuje w czasie

31 Qubity Rozważmy atom wodoru

32 Qubity Rozważmy atom wodoru Prawo Bohra mówi, że elektron może znajdować się na jednej z konkretnych orbit. Np. 0 lub 1. Oznaczmy, te stany jako 0 i 1

33 Qubity Rozważmy atom wodoru Prawo Bohra mówi, że elektron może znajdować się na jednej z konkretnych orbit. Np. 0 lub 1. Oznaczmy, te stany jako 0 i 1 Mechanika kwantowa mówi, że może on też znajdować się w dowolnej wypukłej superpozycji tych stanów. Czyli stan elektronu w ogólności równy jest e = α 0 + β 1, gdzie α 2 + β 2 = 1. Układ kwantowy posiadający dwa stany bazowe nazywamy qubitem

34 Qubity Rozważmy atom wodoru Prawo Bohra mówi, że elektron może znajdować się na jednej z konkretnych orbit. Np. 0 lub 1. Oznaczmy, te stany jako 0 i 1 Mechanika kwantowa mówi, że może on też znajdować się w dowolnej wypukłej superpozycji tych stanów. Czyli stan elektronu w ogólności równy jest e = α 0 + β 1, gdzie α 2 + β 2 = 1. Układ kwantowy posiadający dwa stany bazowe nazywamy qubitem Oczywiście nie oznacza to, że elektron może być pomiędzy orbitami 0 i 1.

35 Qubity Rozważmy atom wodoru Prawo Bohra mówi, że elektron może znajdować się na jednej z konkretnych orbit. Np. 0 lub 1. Oznaczmy, te stany jako 0 i 1 Mechanika kwantowa mówi, że może on też znajdować się w dowolnej wypukłej superpozycji tych stanów. Czyli stan elektronu w ogólności równy jest e = α 0 + β 1, gdzie α 2 + β 2 = 1. Układ kwantowy posiadający dwa stany bazowe nazywamy qubitem Oczywiście nie oznacza to, że elektron może być pomiędzy orbitami 0 i 1. Jak w takim razie interpretować tę superpozycję?

36 Pomiar Po pierwsze, zauważmy, że jeśli interpretować 0 i 1 jako wyróżnione ortonormalne wektory bazowe (zwane też bazą obliczeniową) w pewnej abstrakcyjnej przestrzeni Hilberta H. To dowolny stan układu e = α 0 + β 1 jest także wektorem w H o normie 1 który w bazie obliczeniowej wyraża się jako (α, β).

37 Pomiar Po pierwsze, zauważmy, że jeśli interpretować 0 i 1 jako wyróżnione ortonormalne wektory bazowe (zwane też bazą obliczeniową) w pewnej abstrakcyjnej przestrzeni Hilberta H. To dowolny stan układu e = α 0 + β 1 jest także wektorem w H o normie 1 który w bazie obliczeniowej wyraża się jako (α, β). Okazuje się, że współczynniki α i β nie są bezpośrednio dostępne obserwatorowi - należą one do prywatnego świata elektronu. Obserwator może jedynie przeprowadzić pomiar, którego wynik będzie zależał od nich - będąc w ten sposób jakimś estymatorem ich wartości.

38 Pomiar Po pierwsze, zauważmy, że jeśli interpretować 0 i 1 jako wyróżnione ortonormalne wektory bazowe (zwane też bazą obliczeniową) w pewnej abstrakcyjnej przestrzeni Hilberta H. To dowolny stan układu e = α 0 + β 1 jest także wektorem w H o normie 1 który w bazie obliczeniowej wyraża się jako (α, β). Okazuje się, że współczynniki α i β nie są bezpośrednio dostępne obserwatorowi - należą one do prywatnego świata elektronu. Obserwator może jedynie przeprowadzić pomiar, którego wynik będzie zależał od nich - będąc w ten sposób jakimś estymatorem ich wartości. Przez pomiar w mechanice kwantowej rozumiemy wybranie jakiejś bazy { e 1,..., e k } w przestrzeni H odpowiadającej danemu układowi i zrzutowaniu wektora stanu φ tego układu na tę bazę.

39 Pomiar Po pierwsze, zauważmy, że jeśli interpretować 0 i 1 jako wyróżnione ortonormalne wektory bazowe (zwane też bazą obliczeniową) w pewnej abstrakcyjnej przestrzeni Hilberta H. To dowolny stan układu e = α 0 + β 1 jest także wektorem w H o normie 1 który w bazie obliczeniowej wyraża się jako (α, β). Okazuje się, że współczynniki α i β nie są bezpośrednio dostępne obserwatorowi - należą one do prywatnego świata elektronu. Obserwator może jedynie przeprowadzić pomiar, którego wynik będzie zależał od nich - będąc w ten sposób jakimś estymatorem ich wartości. Przez pomiar w mechanice kwantowej rozumiemy wybranie jakiejś bazy { e 1,..., e k } w przestrzeni H odpowiadającej danemu układowi i zrzutowaniu wektora stanu φ tego układu na tę bazę. Dokładniej niech φ = i α i e i. Wtedy wynikiem takiego pomiaru jest z prawdopodobieństwem α i 2 wynik i, a układ jest od tej pory w stanie e i

40 Pomiar Przykład: pomiar stanu elektronu w bazie obliczeniowej. e = α 0 + β 1. A więc z prawdopodobieństwem α 2 pomiar da wynik odpowiadający stanowi 0 ( e = 0 po pomiarze) i z prawdopodobieństwem β 2 = 1 α 2 wynikiem będzie stan 1 ( e = 1 ).

41 Pomiar Przykład: pomiar stanu elektronu w bazie obliczeniowej. e = α 0 + β 1. A więc z prawdopodobieństwem α 2 pomiar da wynik odpowiadający stanowi 0 ( e = 0 po pomiarze) i z prawdopodobieństwem β 2 = 1 α 2 wynikiem będzie stan 1 ( e = 1 ). Zauważmy, że pod wpływem pomiaru stan układu się zmienia. Ma to daleko idące konsekwencje dla kwantowej teorii informacji (tzw. no-cloning theorem) i jest podstawą np. całkowicie bezpiecznej dystrybucji klucza w kanale publicznym

42 Pomiar Przykład: pomiar stanu elektronu w bazie obliczeniowej. e = α 0 + β 1. A więc z prawdopodobieństwem α 2 pomiar da wynik odpowiadający stanowi 0 ( e = 0 po pomiarze) i z prawdopodobieństwem β 2 = 1 α 2 wynikiem będzie stan 1 ( e = 1 ). Zauważmy, że pod wpływem pomiaru stan układu się zmienia. Ma to daleko idące konsekwencje dla kwantowej teorii informacji (tzw. no-cloning theorem) i jest podstawą np. całkowicie bezpiecznej dystrybucji klucza w kanale publicznym Inny przykład: e = α 0 + β 1 i pomiar w bazie + = 1 2 ( ), = 1 2 ( 0 1 ).

43 Pomiar Wynik e = α 0 + β 1 = α( 1 2 ( + + )) + β( 1 2 ( + )) = 1 2 ((α + β) + + (α β) ). Czyli z prawdopodobieństwem 1 2 ( α + β 2 ), e = + po pomiarze i z prawd. 1 2 ( α β 2 ), e =.

44 Dwa qubity Co jeśli będziemy mieli dwa qubity?

45 Dwa qubity Co jeśli będziemy mieli dwa qubity? Rozważmy na przykład dwa atomy wodoru

46 Dwa qubity Co jeśli będziemy mieli dwa qubity? Rozważmy na przykład dwa atomy wodoru Klasycznie mamy cztery możliwe stany 00, 01, 10 i 11.

47 Dwa qubity Co jeśli będziemy mieli dwa qubity? Rozważmy na przykład dwa atomy wodoru Klasycznie mamy cztery możliwe stany 00, 01, 10 i 11. Z zasady superpozycji układ ten może być w dowolnym stanie φ = α α α α 11 11

48 Dwa qubity Co jeśli będziemy mieli dwa qubity? Rozważmy na przykład dwa atomy wodoru Klasycznie mamy cztery możliwe stany 00, 01, 10 i 11. Z zasady superpozycji układ ten może być w dowolnym stanie φ = α α α α Co z pomiarami?

49 Dwa qubity Oczywiście, możemy po prostu wykonać pomiar poprzez wskazanie bazy (czteroelementowej) i zrzutowanie wektora stanu w sposób opisany wcześniej.

50 Dwa qubity Oczywiście, możemy po prostu wykonać pomiar poprzez wskazanie bazy (czteroelementowej) i zrzutowanie wektora stanu w sposób opisany wcześniej. Jednakże, możliwe są jeszcze tzw. częściowe pomiary. Są to pomiary w których nie wybieramy pełnej bazy pomiarowej lecz dokonujemy podziału przestrzeni H na więcej niż dwie podprzestrzenie ortogonalne.

51 Dwa qubity Oczywiście, możemy po prostu wykonać pomiar poprzez wskazanie bazy (czteroelementowej) i zrzutowanie wektora stanu w sposób opisany wcześniej. Jednakże, możliwe są jeszcze tzw. częściowe pomiary. Są to pomiary w których nie wybieramy pełnej bazy pomiarowej lecz dokonujemy podziału przestrzeni H na więcej niż dwie podprzestrzenie ortogonalne. Podprzestrzenie S, S H nazywamy ortogonalnymi, gdy dla każdych v S, v S v v = 0.

52 Dwa qubity Oczywiście, możemy po prostu wykonać pomiar poprzez wskazanie bazy (czteroelementowej) i zrzutowanie wektora stanu w sposób opisany wcześniej. Jednakże, możliwe są jeszcze tzw. częściowe pomiary. Są to pomiary w których nie wybieramy pełnej bazy pomiarowej lecz dokonujemy podziału przestrzeni H na więcej niż dwie podprzestrzenie ortogonalne. Podprzestrzenie S, S H nazywamy ortogonalnymi, gdy dla każdych v S, v S v v = 0. Przykład: φ = α α α α 11 11, chcemy zmierzyć na której orbicie jest pierwszy elektron (nie interesuje nas pozycja drugiego elektronu) Oczywiście prawdopodobieństwo, że pierwszy elektron jest na orbicie i wynosi α i0 2 + α i1 2. Zaś po pomiarze układ będzie w stanie φ = α i0 i0 +α i1 i1 αi0 2 + α i1 2

53 Dwa qubity Oczywiście, możemy po prostu wykonać pomiar poprzez wskazanie bazy (czteroelementowej) i zrzutowanie wektora stanu w sposób opisany wcześniej. Jednakże, możliwe są jeszcze tzw. częściowe pomiary. Są to pomiary w których nie wybieramy pełnej bazy pomiarowej lecz dokonujemy podziału przestrzeni H na więcej niż dwie podprzestrzenie ortogonalne. Podprzestrzenie S, S H nazywamy ortogonalnymi, gdy dla każdych v S, v S v v = 0. Przykład: φ = α α α α 11 11, chcemy zmierzyć na której orbicie jest pierwszy elektron (nie interesuje nas pozycja drugiego elektronu) Oczywiście prawdopodobieństwo, że pierwszy elektron jest na orbicie i wynosi α i0 2 + α i1 2. Zaś po pomiarze układ będzie w stanie φ = α i0 i0 +α i1 i1 Widzimy, że mimo zmiany stanu wciąż αi0 2 + α i1 2 nie mamy pewności co do stanu drugiego elektronu.

54 Iloczyn tensorowy Rozważmy teraz dwa qubity, które są od siebie niezależne.

55 Iloczyn tensorowy Rozważmy teraz dwa qubity, które są od siebie niezależne. Każdemu z nich odpowiada wektor jednostkowy e i = α i 0 i + β i 1 i w przestrzeni Hilberta C 2. Wiemy też, że układowi złożonemu z tych dwóch atomów odpowiada wektor jednostkowy e 1 e 2 w przestrzeni Hilberta C 4.

56 Iloczyn tensorowy Rozważmy teraz dwa qubity, które są od siebie niezależne. Każdemu z nich odpowiada wektor jednostkowy e i = α i 0 i + β i 1 i w przestrzeni Hilberta C 2. Wiemy też, że układowi złożonemu z tych dwóch atomów odpowiada wektor jednostkowy e 1 e 2 w przestrzeni Hilberta C 4. Jaki jest związek pomiędzy e 1 e 2 i e i?

57 Iloczyn tensorowy Rozważmy teraz dwa qubity, które są od siebie niezależne. Każdemu z nich odpowiada wektor jednostkowy e i = α i 0 i + β i 1 i w przestrzeni Hilberta C 2. Wiemy też, że układowi złożonemu z tych dwóch atomów odpowiada wektor jednostkowy e 1 e 2 w przestrzeni Hilberta C 4. Jaki jest związek pomiędzy e 1 e 2 i e i? Odpowiedz: e 1 e 2 = e 1 e 2 = (α β ) (α β ) = α 1 α α 1 β β 1 α β 1 β Gdzie formalna definicja iloczynu tensorowego zostanie podana później

58 Splątanie Pytanie: Czy każdy stan układu dwóch qubitów e 1 e 2 da się wyrazić jako iloczyn tensorowy dwóch qubitów e i?

59 Splątanie Pytanie: Czy każdy stan układu dwóch qubitów e 1 e 2 da się wyrazić jako iloczyn tensorowy dwóch qubitów e i? Innymi słowy, czy każdy układ dwu qubitowy da się podzielić na dwa niezależne qubity?

60 Splątanie Pytanie: Czy każdy stan układu dwóch qubitów e 1 e 2 da się wyrazić jako iloczyn tensorowy dwóch qubitów e i? Innymi słowy, czy każdy układ dwu qubitowy da się podzielić na dwa niezależne qubity? Jak łatwo się przekonać, odpowiedź brzmi nie. A bardzo ważnym 1 przykładem takiego stanu dwuqubitowego jest 2 ( )

61 Splątanie Pytanie: Czy każdy stan układu dwóch qubitów e 1 e 2 da się wyrazić jako iloczyn tensorowy dwóch qubitów e i? Innymi słowy, czy każdy układ dwu qubitowy da się podzielić na dwa niezależne qubity? Jak łatwo się przekonać, odpowiedź brzmi nie. A bardzo ważnym 1 przykładem takiego stanu dwuqubitowego jest 2 ( ) Stany o takiej własności tzn. takie których nie da się przedstawić jako iloczyn tensorowy podukładów nazywamy stanami splątanymi. A korelację (nie niezależnych) podukładów okazują się nieznanym nigdzie poza mechaniką kwantową zjawiskiem zwanym splątaniem. Okazuje się, że praktycznie wszystkie fenomeny kryptografii kwantowej wywodzą się z istnienia splątania.

62 Paradoks EPR Jak splątanie działa w praktyce?

63 Paradoks EPR Jak splątanie działa w praktyce? Rozważmy stan φ = 1 2 ( ). Zauważmy, że jeśli zmierzymy wartość pierwszego bitu to wartość drugiego bitu jest dokładnie taka sama.

64 Paradoks EPR Jak splątanie działa w praktyce? Rozważmy stan φ = 1 2 ( ). Zauważmy, że jeśli zmierzymy wartość pierwszego bitu to wartość drugiego bitu jest dokładnie taka sama. Co więcej wiemy jaka ta wartość będzie przed jej pomiarem.

65 Paradoks EPR Jak splątanie działa w praktyce? Rozważmy stan φ = 1 2 ( ). Zauważmy, że jeśli zmierzymy wartość pierwszego bitu to wartość drugiego bitu jest dokładnie taka sama. Co więcej wiemy jaka ta wartość będzie przed jej pomiarem. Ale przecież nie jest powiedziane, że oba qubity nie są oddalone od siebie o setki lat świetlnych. Czyżby możliwość komunikacji szybszej od światła?

66 Paradoks EPR Jak splątanie działa w praktyce? Rozważmy stan φ = 1 2 ( ). Zauważmy, że jeśli zmierzymy wartość pierwszego bitu to wartość drugiego bitu jest dokładnie taka sama. Co więcej wiemy jaka ta wartość będzie przed jej pomiarem. Ale przecież nie jest powiedziane, że oba qubity nie są oddalone od siebie o setki lat świetlnych. Czyżby możliwość komunikacji szybszej od światła? Nie, ale wciąż to zachowanie wydaje się dziwne i nieintuicyjne

67 Paradoks EPR Jak splątanie działa w praktyce? Rozważmy stan φ = 1 2 ( ). Zauważmy, że jeśli zmierzymy wartość pierwszego bitu to wartość drugiego bitu jest dokładnie taka sama. Co więcej wiemy jaka ta wartość będzie przed jej pomiarem. Ale przecież nie jest powiedziane, że oba qubity nie są oddalone od siebie o setki lat świetlnych. Czyżby możliwość komunikacji szybszej od światła? Nie, ale wciąż to zachowanie wydaje się dziwne i nieintuicyjne Jak to wytłumaczyć? Pomysł Einsteina-Podolskiego-Rosenberga był taki: podczas stworzenia stanu splątanego obie cząstki ustalają (baardzo długą) listę możliwych pomiarów jakim mogą być poddawane i ustalają jaki powinien być ich wynik. Później, po rozdzieleniu w przypadku pomiaru po prostu zachowują się stosownie do tych ustaleń.

68 Paradoks EPR Jak splątanie działa w praktyce? Rozważmy stan φ = 1 2 ( ). Zauważmy, że jeśli zmierzymy wartość pierwszego bitu to wartość drugiego bitu jest dokładnie taka sama. Co więcej wiemy jaka ta wartość będzie przed jej pomiarem. Ale przecież nie jest powiedziane, że oba qubity nie są oddalone od siebie o setki lat świetlnych. Czyżby możliwość komunikacji szybszej od światła? Nie, ale wciąż to zachowanie wydaje się dziwne i nieintuicyjne Jak to wytłumaczyć? Pomysł Einsteina-Podolskiego-Rosenberga był taki: podczas stworzenia stanu splątanego obie cząstki ustalają (baardzo długą) listę możliwych pomiarów jakim mogą być poddawane i ustalają jaki powinien być ich wynik. Później, po rozdzieleniu w przypadku pomiaru po prostu zachowują się stosownie do tych ustaleń. Wydaje się to brzmieć rozsądnie - poza tym Einstein to mądry człowiek...

69 Nierówności Bella...ale i tutaj się poważnie mylił. Nie tylko dlatego, że mechanika kwantowa postuluje coś innego. My potrafimy eksperymentalnie udowodnić, że EPR się mylili.

70 Nierówności Bella...ale i tutaj się poważnie mylił. Nie tylko dlatego, że mechanika kwantowa postuluje coś innego. My potrafimy eksperymentalnie udowodnić, że EPR się mylili. Służą temu tzw. nierówności Bella

71 Nierówności Bella...ale i tutaj się poważnie mylił. Nie tylko dlatego, że mechanika kwantowa postuluje coś innego. My potrafimy eksperymentalnie udowodnić, że EPR się mylili. Służą temu tzw. nierówności Bella Rozważmy następujące dwa protokoły rozgrywane pomiędzy Alicją (A) i Bobem (B):

72 Nierówności Bella...ale i tutaj się poważnie mylił. Nie tylko dlatego, że mechanika kwantowa postuluje coś innego. My potrafimy eksperymentalnie udowodnić, że EPR się mylili. Służą temu tzw. nierówności Bella Rozważmy następujące dwa protokoły rozgrywane pomiędzy Alicją (A) i Bobem (B): Klasyczny: Alicja i Bob współdzielą jakiś ustalony przez nich wcześniej ciąg znaków S. Następnie otrzymują niezależne bity X A i X B (każdy ma swój tylko) i ich zadaniem jest podanie takich a i b (przez odpowiednio Alicję i Boba), że X A X B = a b

73 Nierówności Bella...ale i tutaj się poważnie mylił. Nie tylko dlatego, że mechanika kwantowa postuluje coś innego. My potrafimy eksperymentalnie udowodnić, że EPR się mylili. Służą temu tzw. nierówności Bella Rozważmy następujące dwa protokoły rozgrywane pomiędzy Alicją (A) i Bobem (B): Klasyczny: Alicja i Bob współdzielą jakiś ustalony przez nich wcześniej ciąg znaków S. Następnie otrzymują niezależne bity X A i X B (każdy ma swój tylko) i ich zadaniem jest podanie takich a i b (przez odpowiednio Alicję i Boba), że X A X B = a b Kwantowy: Alicja i Bob współdzielą stan φ = 1 2 ( ). Następnie otrzymują niezależne bity X A i X B (każdy ma swój tylko) i ich zadaniem jest podanie takich a i b (przez odpowiednio Alicję i Boba), że X A X B = a b.

74 Nierówności Bella Można udowodnić, że najlepsze co mogą zrobić Alicja i Bob w przypadku klasycznym, to przyjąć strategię wg której zawsze zwracają a = b = 0. Czyli udaje im się otrzymać równość X A X B = a b z prawdopodobieństwem 0, 75. Jest to implikacja tzw. nierówności Bella, które podaje się w terminach wartości oczekiwanych.

75 Nierówności Bella Można udowodnić, że najlepsze co mogą zrobić Alicja i Bob w przypadku klasycznym, to przyjąć strategię wg której zawsze zwracają a = b = 0. Czyli udaje im się otrzymać równość X A X B = a b z prawdopodobieństwem 0, 75. Jest to implikacja tzw. nierówności Bella, które podaje się w terminach wartości oczekiwanych. Jednakże w kwantowej wersji protokołu można to zrobić lepiej

76 Nierówności Bella Można udowodnić, że najlepsze co mogą zrobić Alicja i Bob w przypadku klasycznym, to przyjąć strategię wg której zawsze zwracają a = b = 0. Czyli udaje im się otrzymać równość X A X B = a b z prawdopodobieństwem 0, 75. Jest to implikacja tzw. nierówności Bella, które podaje się w terminach wartości oczekiwanych. Jednakże w kwantowej wersji protokołu można to zrobić lepiej jeśli X A = 0 Alicja dokonuje pomiaru w bazie standardowej i zwraca wynik jako a jeśli X A = 1 Alicja dokonuje pomiaru w bazie standardowej obróconej o Π 8 i zwraca wynik jako a jeśli X B = 0 Bob dokonuje pomiaru w bazie standardowej i zwraca dopełnienie wyniku jako b jeśli X B = 1 Bob dokonuje pomiaru w bazie standardowej obróconej o Π 8 i zwraca dopełnienie wyniku jako b

77 Nierówności Bella Interesuje nas Pr[a b X A X B ] = X A,X B 1 4 Pr[a b X A X B X A, X B ]

78 Nierówności Bella Interesuje nas Pr[a b X A X B ] = 1 X A,X B 4 Pr[a b X A X B X A, X B ] Liczymy

79 Nierówności Bella Interesuje nas Pr[a b X A X B ] = 1 X A,X B 4 Pr[a b X A X B X A, X B ] Liczymy Czyli

80 Nierówności Bella Co więcej, powyższy protokół można zaimplementować i zrobiono to w przypadku trochę innego acz analogicznego protokołu. Wyniki wydają się jednoznacznie potwierdzać powyższe wyliczenia tym samym odrzucając teorię ukrytych zmiennych